第一讲 相似的概念与定义

（ 7） （ 8）
1l 2l Zl 1 1
得
xn x1 x2 Dl ( , , , )0 x10 x20 xn 0
（ 9）
例 对于稳定的不可压缩流体，设物性为场变量， 这种运动连续介质中的力、热问题所需的微分方 程组为 u v w 0 x y z
定义2： 另取 n 个性质与变量 相同的参量 可写出相似变换：
x11, x21,, xn1 , x110 , x210 ,, xn10 ,
x1 c1 x11 x2 c2 x21 x n cn xn1
x1 0 c1 x110 x2 0 c2 x210 xn 0 cn xn10
第一项 2 ucv / cv cv u u / cv u u u cv x cv xcl / cl cl c v x / cl
u v w u cv , v cv , w cv cv cv cv x y z x cl , y cl , z cl cl cl cl p c , p cp , c c cp c
(4)由方程组任一项中的、由c1，c2，…，cn 组成的量团去除全方程各项，得到比方程组总 相数Zl-1个、由ca(a=1，2，…，n）所构成的新 幂积函数，即有（Zl-1）项为含c1，c2，…，cn 组成的乘因子，而有一项为不含c1，c2，…，cn 的，只含xa/ca 这个因子，并用C表示，最终结 果可写
x1i = c1i x11 x2i = c2i x21 x3i = c3i x31
x1i0= c1i x110 x2i0 = c2i x210 x3i0 = c3i x310
两式等号左右对应相除，得
x1 x1 0 x2 x2 0 x3 x3 0
x11 x110 x21 x210 x31 x310
因变量
x1 , x2 ,, xk 参量 如弹性模量 xk 1 , xk 2 ,, xn m=n-k
变量 如坐标、时间
一个现象中，如要确定m个因变量，就必须 有m个方程，以构成完整的或闭合的方程组。
设变量集满足方程组。
Dl ( x1 , x2 ,, xn ) 0
(l 1,2,, m) （1）
力学建模
中国石油大学（华东） 胡玉林
2015年7月15日
第一讲 相似的概念与定义
相似
自然界中两个或两个以上现象在外在 表现及内在规律性方面的一致性
工程中指“模型”与“原型”之间的一 致性
几何 相似
A
l AB
lCA
A
C
l AB
lC A
l BC
B l BC
B
C
A
l AB
lCA
A


c
p , p cp , c cp c
u v w u cv , v cv , w cv cv cv cv x y z x cl , y cl , z cl cl cl cl p c , p cp , c c cp c
u v u 1 p 2 u v w u x y z x
模拟与 广义的模拟是指对自然现象的一种人 仿真 为的相似比拟技术
狭义的模拟是指不同物理体系间的相 似比拟技术 ，也称异类模拟 仿真常指不同物理体系间的相似比拟 技术
现今常指用数学手段、利用计算机 数值分析方法对工程现象进行研究的一 项技术——故也称数值模拟 从本质上讲，两者是一致的，只是在采用的研究 手段及路径上有所区别
ci
xi xi 0
xi1 xi10
注： 1、两种变换等价 2、恒等变换
ci 1
3、第一种变换具有单值可逆性
几何 相似
设有N个分别由封闭表面S1、S2、….、 SN围成的空间域V1、V2、……VN。把S1称为 起始面，若用S1上坐标为（x11，x21，x31)的任 意点A，可表示出表面集Si(i=1,2,….N)中每一 表面上空间坐标为（x1i，x2i，x3i)的一点Ai， 且这N个点集由下式联系 x1i = c1i x11 x2i = c2i x21 x3i = c3i x31 c1i ， c2i ， c3i ，— — 几何变换系数
p p p 2 T u x v y w z x , y , z 变量有 因变量 u, v, w, p, T 常量 , , , c p
以l=2为例，先引出第一相对型方程
T T T c p u x v y w z
u v u 1 p 2 u v w u x y z x
v v v 1 p 2 u v w v x y z y w w w 1 p 2 u v w w x y z z
u v w 0 x y z u v u 1 p 2 u v w u x y z x
时间相似——对应时间间隔成比例
力相似
P 1 P 2
l1
l2
l3
P 1 l1 l2
P2
l3
l1 l2 l3 Cl const l2 l3 l1 P P2 1 C P const P2 P 1
力相似可转化为质量相似
相似 说明自然界和工程中各相似现象原理 理论 的学说
模型的 分类
从实用角度可分为 ：
（1）参观用模型
物理模型 ——保持工作规律相
（2）定量研究
似的模型
数学模型 ——保持信息传递 规律相似的模型
用模型
（3）定性研究用模型
相似 变换
——最简单的线性变换
x11, x21,, xn1 , 由它 定义1： 取 n 个变量，
们确定的一组最简单的线性变换：
x1 c1 x11 x2 c2 x21 x n cn xn1
ti ctit1
相似间段
同理，设ti0为参考时间段，第二种变换形式为
ti t1 ti 0 t10
相对型 方程
以前相似的定义
x c x 1
是必要的，但不够完善，因系数不应有任意选择 某一现象，各物理量的变化被相应的 数理方程所支配 一般起见，视为场加以讨论
变量场
自变量
x1 , x2 ,, xn
U i c iU1
称函数场Ui为相似场
设在区域的每个参考点上物函数等于Ui0，由于
U i 0 c iU10
对任何点成立，
U i c iU1
两式对应相除，得
Ui U1 U i 0 U 10
即物理场Ui相似变换的第二种形式
对于非定常场，引入相似时间段的概念 如果第i个场的时间段与起始场（i=1)的时 间段t1可表示为
u v u 1 p 2 u v w u x y z x
(1)取数集c1，c2，…，cn，并以ca(a=1， 2，…，n）中的每一个数去与相应的变量x1， x2,…，xn构成如下的恒等变量。
xa xa ca ca
（ 2）
(2)将式（2）代入式（1），即对每一个 变量坐恒等变换。 (3)分解因子，把每一项分解成两部分，一 部分由x1/c1，x2/c2，…，xn/cn（简写为xa/ca)的 一部分或全部组成，而另一部分则由ca(a=1， 2，…，n）中的一部分或全部组成。
C1l C2l CZl 1 1
于是，式（3）则变为
（ 4）
xn x1 x2 Dl ( , ,, ) 0 c1 c2 cn
（ 5）
2、第二相对型方程
(1)取取性质与变量x1，x2，…，xn相同的 常数集xa0(a=1，2，…，n）和变量集xa0(a=1， 2，…，n）中的每一个对应的变量构成恒等式。
(1)作恒等变换式
设坐标量变换 c x c y c z 速度量变换 cu cv cw u v u cv , v cv cv cv x y x cl , y cl cl cl
cl cv
w , w cv cv z , z cl cl
c (2)代入第二式 u v u 1 p 2 u v w u x y z x
设式（1）中第i个方程由Zi项相加而成，其中 每一项都是变量（x1，x2,…，xn）中的全部或部分 变量的幂积，以及因变量（xk+1，xk+2,…，xn ）对自 变量（x1，x2,…，xk）的各阶导数的幂级组成。 如
x yx zx X 0 x y z
1、第一相对型方程
两式相除
c1
x1 x1 0
x11 x110
故有
x1 x1 0 x2 x2 0 x n x n 0
表明：用单位 xi10 测量变量
x11 x110 x21 x210 xn1 xn10
xi1 所得常数，分别等于 用测量单位 xi 0 测量 xi
集
所得的常数，即
xa xa 0 xa xa 0
(2)对式（1）进行恒等变换。 (2-1)分解因子。
（ 6）
(2-2)用由xa0构成的幂积乘因子去除方程各 项，并得到
xn x1 x2 Dl ( , , , ; 1l , 2l , , Zl 1 ) 0 x10 x20 xn 0
第二相对型方程 同理令
是研究自然现象中个性与共性、或 特殊于一般的关系以及内部矛盾与外界 条件之间的关系的理论
相似 一种可以把个别现象的研究成果推广 方法 到所有相似现象上去的科学方法
是以相似理论为指导，具体研究自 然界和工程中各种相似现象的一种方法
模型
指用于表示或比拟自然现象的物理实 体或数学概念
工程中常指的模型是与物理系统密 切有关的物理装置
则称两个函数相似
如果想象为物理场，如温度场，应力场