第二章——实数
第二章实数
§2.2平方根学习目标：1、了解数的平方根的概念，会用根号表示数的平方根2、了解开方与乘方是互逆运算，会利用这个关系求平方根学习重点与难点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根. 学习过程： 一、探索新知1.因为( -3)2=______,32=_______;所以( )2=92．完成40页“想一想” 3．写出平方根的概念。
4．写出下列各数的平方根：（1）81；（2）0.49;(3) 425；（4）0；（5）—45．完成40页“议一议”6．_______________，读作____________________；a 是________，_______表示正的平方根; _______表示负的平方根 7.什么叫开平方运算? 二 知识运用1．求下列各数的平方根(参照41页例3)（1）0.0064；(2) 2(5)-；(3)7；1242．下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根： （1）－64；（2）2(4)-；（3）210- 3．完成42页“想一想”三、巩固练习：42页随堂练习 四、小结§2.2算术平方根学习目标：1.了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根.2.能用平方运算去求数的算术平方根学习重点与难点：算术平方根的定义，会计算数的算术平方根 一、知识回顾1、一个正数的平方根有_________2、求下列各数的平方根。
(1)4916; (2) 600; (3) 610-; (4) 5. 二、探索新知一个正数a 有_____平方根，其中_____的平方根叫算术平方根，记作_____，读作_____，0的算术平方根是_____ 三、知识运用 1、讲解P38例1 2、求下列各式的值(1)10000 (2)-144 (3)12125(4)625± (5)8149±3、讲解P 39例2四、巩固练习：P 39页1、2 五、小结§2.3立方根 学习目标：1、了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根.2、能用立方运算求数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算. 学习重点与难点：立方根的概念与会计算数的立方根 一、知识回顾1、什么是平方根？2、怎样表示一个正数a 的平方根？ 二、探索新知1、写出立方根的概念并举例说明？2、完成P 44“做一做”3、完成P44“议一议”4、表示3a _____________，读作_____________，5、什么叫开立方？ 三、知识运用1、讲解P 45例1分析“求立方根要通过_____________运算实现。
《实数》PPT课件
即实数可以分为有理数和无理数.
实数
有理数 无理数
无理数和有理数一样，也有正负之分.
如： 是__正__的，
是_负____的.
【正数】 大于0的实数 【负数】 小于0的实数
包括所有的正有理数和正无理数. 包括所有的负有理数和负无理数.
议一议
1.你能把下列各数分别填入相应的集合内吗?
正数集合
负数集合
议一议
77，绝对值 7
.
（3）相反数 -7，倒数 1 ，绝对值7.
7
3.在数轴上作出与 对应的点．
课堂小结
通过今天的学习，说说你的收获和体会?
作业布置
1. 习题2.8.
2.求
的相反数和绝对值.
的相反数为
；绝对值为
.
2.0属于正数吗？属于负数吗？
3.实数还可以怎样分类？
实数的 第一种分类
实数的 第二种分类
实数
有理数 无理数
实数
正实数 0
负实数
Байду номын сангаас
实数的相关概念
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，和有理数范围 内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
与______互为相反数.
与______互为倒数.
_____，
____，
___.
1.在有理数范围内，能进行哪些运算？用哪些运算律？ 2.判断下列各式成立吗？
有理数的运算及运算律对实数仍然适用.
想一想
1.
的绝对值是________.
2. a是一个实数，它的相反数是_______.
绝对值是__________________. 当a≠0时，它的倒数是___________.
第二章-实数理论
数系理论
• 欧几里德的《几何原本》中的比例理论以及 讨论了现在有理数中的相关结果,但是在比 例线段的术语下讨论的.
• Muller 1855《一般算术》和Grassmann 1861 《算术》中有讨论, 但是讲得不清楚
• Peano 1889《算术原理新方法》引入Peano公 理系统解决了这个问题。他用了许多符号: , 和N0表示自然数集。
• Weierstrass (1857), Méray (1869) Dedekind (1872), Cantor (1873)
• (来源于Kline IV P46-47)
引入实数的方法
• Weierstrass: 有自然数出发定义正有理数, 然后用无穷多个有理数集合定义实数
• Dedekind: 有理数分割 • Canter: 有理数基本列等价类
有趣的现象
• 数的使用几乎与人类的历史一样长, 有人通过 观察推断: 动物有数感. 在人类文明史中, 数的 概念是逐步扩展开来的. 然而数的严格意义上 的理论直到在十九世纪后半叶才完成.
• 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比 和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等
• 建立数系理论为了完善数学分析理论 • 建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何
似, 也记s0(x)=[x]
有理数的十进小数表示
• 如果aZ, 自然地对应x: x(0)=a, k>0, x(k)=0
• 与中学实数定义衔接，用十进小数定义实数 系，然后建立相关的性质
• 建立实数的序 • 建立实数的完备性 • 利用有理数的运算和实数的完备性定义实数
的运算
§4 有理数系的性质
• 自然数系及其运算 • 有理数系的建立 • 有理数的运算性质 • 有理数的序性质和稠密性质 • 有理数的不完备性
第二章 实数 易错剖析+重难点突破训练(含答案)2024-2025-北师大版数学八年级上册
第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰【例1】 在−π ，227，0，3−4，5.⋅6，−2.5656656665⋯ （相邻两个5之间6的个数逐次加1）中，无理数有（ ）.A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都是分数，如：23.跟踪练习1. 下列各数：3.14159，−27，0，−π ，−17，其中有理数有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 在0，227，−1，−π2，0.101001⋯ （相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4易错点二 不能够熟练掌握实数比较大小的方法【例2】 比较大小：52 33（填“> ”“=”或“< ”）.实数大小比较的常用方法：（1）根据性质比较：正数>0> 负数；（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；（3）差量法：对于任意两个实数a ，b ，①当a−b >0时，a >b ；②当a−b =0时，a =b ；③当a−b <0时，a <b ；（4）平方法：若要比较任意两个实数a ，b 的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推a ，b 本身的大小；（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.跟踪练习3. 下列实数中，最小的数是（）.A. −2B. −3C. 1D. 34. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（）.A. a>0B. b<0C. a>bD. |a|>|b|易错点三二次根式的化简要彻底【例3】计算：12−27+613.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.跟踪练习5. 计算：（1）232−18−12；（2）35+4135−75115;（3）128−0.5−412+250.重难点突破重难点一实数的相关概念熟练掌握实数的有关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方，实数涉及的概念较多，且均属于基础知识，往往稍不注意就容易出错，像相反数、倒数、绝对值的意义、概念就容易混淆出错，此部分知识主要在选择题中考查，很少在填空题或者解答题中出现.提醒：多注意0和π的特殊性以及平方根和算术平方根的概念理解.1. 实数−2的相反数是（）.A. −2B. 2C. −12D. 122. 下列各数是无理数的是（）.A. 0B. 2C. −13D. 3.33. 25的平方根是 .4. 无理数5的倒数是（）.A. −5B. −55C. −5 D. 555. 16的算术平方根的相反数是（）.A. 2B. −2C. 4D. −46. 下列说法中，正确的是（）.A. 16的平方根是4B. 任何实数都有立方根C. 若一个数的绝对值是它本身，则这个数是正数D. 算术平方根等于本身的数只有17. 一只蚂蚁位于数轴的原点，现在向右爬了4个单位长度到了点A，则点A所表示的数是（）.A. 4B. −4C. ±4D. ±8重难点二实数的混合运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等，其中减法可以转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算；同时要掌握好实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键还要把握好符号关；实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算.提醒：注意零指数幂和负整数指数幂的运算，还有绝对值的化简及乘方运(a≠0)；特别地：算有括号和无括号的区别，公式：a0=1(a≠0)；a−p=1a p(a≠0).a−1=1a.8. 计算：3−8−|2−5|+(1−3)0+4×529. 计算：4+|−2|−(−2024)0+(12)−1.10. 计算：−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1.11. 计算：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4.12. 计算：|−5|+2−2−(π−2024)0.重难点三利用实数性质及二次根式化简求值实数及其相关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方.实数是牵连概念最多的一个考点，需要我们准确掌握各种概念的定义及其考察方向.二次根式的性质：①(a)2=a(a≥0)；②a2 =a(a≥0)；③a2=|a|(a取全体实数).做这类习题需先根据实数的性质得出结论，或先对二次根式进行化简，再代入求值，注意书写格式.13. 实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，则化简|a+b|−a2−3(b−a)3的结果为 .14. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示.化简：a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|.15. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+ |a−b|.16. 先化简，再求值：x (6−x )+(x +5)(x−5)，其中x =6−2.17. 已知a =13−2，b =13+2.（1） 求a +b 的值；解：a =13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b =13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.（2） 求a 2−3ab +b 2的值.第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰跟踪练习1．C 2．B（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都.是分数，如：23【例1】 A易错点二不能够熟练掌握实数比较大小的方法跟踪练习3．B4．D实数大小比较的常用方法：（1）根据性质比较：正数>0>负数；（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；（3）差量法：对于任意两个实数a，b，①当a−b>0时，a>b；②当a−b=0时，a=b；③当a−b<0时，a<b；（4）平方法：若要比较任意两个实数a，b的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推a，b本身的大小；（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.【例2】>易错点三二次根式的化简要彻底跟踪练习5．（1）解：232−18−12=82−32−22=922.（2）35+4135−75115=155+1215−515=36155.（3）128−0.5−412+250=12×22−22−322+2×52=2−22+102=92.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.【例3】解：原式=23−33+6×33=23−33+23=3.重难点突破重难点一实数的相关概念1．B2．B3．±54．D5．B6．B7．A重难点二实数的混合运算8．解：3−8−|2−5|+(1−3)0+4×52=−2−(5−2)+1+25=−2−5+2+1+25=5+1.9．解：4+|−2|−(−2024)0+(12)−1=2+2−1+2=5.10．解：−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1=2+1−(3−1)+(−3)=2+1−3+1−3=1−3.11．解：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4=1+4−1+3−2=5.12．解：|−5|+2−2−(π−2024)0−1=5+14=4+14.=174重难点三利用实数性质及二次根式化简求值13．−a−2b14．解：根据数轴可得c<b<0<a，∴a−b>0，c−a<0，b+c<0，∴a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|=a−(a−b)−(c−a)−(b+c)=a−a+b−c+a−b−c=a−2c.15．解：由数轴可知a<0，b>2，∴a−b<0，a−3<0,3−b<0,∴a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+|a−b|=|a|+|−b|−[−(a−3)]−[−(3−b)]+[−(a−b)]=−a+b+a−3+3−b+b−a=b−a.16．解：原式=6x−x2+x2−5=6x−5，当x=6−2时，原式=6×(6−2)−5=6−23−5=1−23.17．（1）解：a=13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b=13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.17．（1）a+b=3+2+3−2=23.（2）∵ab=(3+2)(3−2)=3−2=1，∴a2−3ab+b2=(a+b)2−5ab=(23)2−5=12−5=7.。
八上数学第二章实数
八上数学第二章实数八年级数学上册第二章“实数”主要涉及实数的概念、性质及其运算。
以下是该章节的主要内容：1.平方根和算术平方根：非负实数a的算术平方根是满足x^2=a的实数x；非负实数a的平方根是满足x^2=a的实数x，正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，即0本身，负数没有平方根。
2.无理数：无限不循环小数称为无理数。
常见的无理数包括无限不循环小数、开方开不尽的数等。
3.实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数包括整数和分数，而无理数则是指不能表示为两个整数的比的数。
4.实数的运算：实数的加、减、乘、除运算与正数和0的运算规则相同，但需要注意负数的运算。
在运算过程中，需要注意运算法则和运算顺序，以免出现错误。
5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。
在学习这一章时，学生需要理解并掌握实数的概念、性质和运算规则，同时还需要能够运用所学知识解决实际问题。
此外，学生还需要注意与之前所学有理数知识的联系和区别，以便更好地掌握数学基础知识。
实数这一章的重点内容还包括以下几个方面：1.平方根的性质：实数的平方根具有一些重要的性质，例如正实数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是算术平方根。
此外，当被开方数的小数点向右每移动两位时，其算术平方根的小数点会向右移动一位。
2.立方根的性质：实数的立方根也有其独特的性质。
例如，当被开方数的小数点每向右移动三位时，其立方根的小数点会向右移动一位。
3.实数的表示：实数可以用不同的方式来表示，例如根号形式、小数形式和分数形式等。
此外，实数还可以在数轴上表示出来，这样可以更直观地理解实数的性质和运算。
4.实数的运算性质：实数的加、减、乘、除等运算具有一些重要的性质，例如运算法则、运算律和运算顺序等。
学生需要理解和掌握这些性质，以便能够正确地进行实数的运算。
5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。
八年级第二章实数知识点
八年级第二章实数知识点第一节正数和负数实数分为正数、负数和零。
当数比一定的基准数“大”或“小”时，它就成为正数或负数。
当两个正数相加时，和仍为正数；当两个负数相加时，和也为负数；当正数和负数相加时，当它们的绝对值相等时，和为0，即一个正数和与它相等的负数相加等于0。
正数、负数之间也可以进行减法和乘法运算，当一个数乘以正数时，积还是正数；当一个数乘以负数时，积为负数。
第二节绝对值绝对值是指一个实数到0的距离，即 $|a|$ 的等于 $a$ 或 $-a$ 中，距离0更近的那个数。
绝对值的计算公式如下：$|a|$ =$ \begin{cases}a , a\geq0\\ -a , a<0\end{cases}$第三节有理数和无理数所有小数，可以表示成有限小数或无限循环小数的数都是有理数，例如 $\frac{1}{2}$、 $0.75$和$-0.3$等。
无法表示成有限小数或无限循环小数的数称为无理数。
常见的无理数有 $\sqrt{2}$、$\pi$和$e$等，无理数可以用无限不循环小数表示。
第四节数轴和坐标数轴是一个直线，用于表示实数。
数轴的一个固定点称为原点$O$。
数轴上任取一个有向线段$AB$，称$A$为起点，$B$为终点。
坐标就是表示实数的一种方法。
在数轴上，从原点$O$到点$A$的有向线段上任取一个点$P$，则实数$a$表示点$P$到原点的距离。
若$a>0$，则点$P$在$O$的右侧；若$a<0$，则点$P$在$O$的左侧。
若$a=0$，则点$P$在原点O上。
第五节容斥原理容斥原理是一种常用的计数方法。
当要计算多个集合的并集时，容斥原理可以用来避免重复计算。
容斥原理的表述如下：设$A_1 , A_2, \cdots ,A_n$为$n$个集合，以及它们的并集为$S$，则有：$$ |A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| =\sum\limits_{i=1}^{n}{|A_i|} -\sum\limits_{1 \leq i<j \leq n}{| A_i\cap A_j|} + \sum\limits_{1 \leq i<j<k \leq n}{|A_i \cap A_j \cap A_k|} - \cdots+(-1)^{n+1} |A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n| $$例如，三个集合$A,B,C$的并集$A\cup B \cup C$的元素个数为：$$ |A \cup B \cup C | = |A| + |B| + |C| - | A \cap B | - | A \cap C | - | B \cap C| + |A \cap B \cap C| $$以上就是八年级第二章实数知识点的内容，通过学习这些知识点，我们可以更好地理解和应用数学知识。
北师大版八年级数学上册第二章 实数
所以 2m＋2n＋1 的平方根为± 3.
1.实数的两种分类方法是什么？
2．实数与数轴上的点有什么关系？ 实数与数轴上的点是一一对
应的关系
3．实数的性质有哪些？
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数
范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样
教材习题：完成课本39页随堂练习，40页习题2.8.
作业本作业： ．
实践性作业：制作一个底面半径为5 cm，高为20
cm的圆柱形纸盒．
(1)圆柱的侧面展开图是什么形状？
(2)这个侧面展开图各边的长是多少？
数是什么？当a≠0时，它的倒数是什么？它的绝对值是什么？
相反数：a与－a互为相反数，0的相反数仍是0；倒数：当
1
a≠0时，a与
互为倒数(0没有倒数)；绝对值：正数的绝对值
a
是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
(1)如教材图2－5，OA＝OB，数轴上点A对应的数是什么？它
介于哪两个整数之间？
我们尝试用数轴上的一个点来表示 .
由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2
的正方形ABCD，它的边长为 .观察正方形ABCD，可知它的一边是一
个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1.这样，就
可以在数轴上确定一个点来表示 .
要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯
6 实数
1. 通过了解实数的概念并能按要求将实数进行分类，会在实数范
围内求一个数的相反数、倒数、绝对值，发展运算能力．
2．通过利用数轴上的点来表示实数的过程，将数和图形结合在一
起，让学生进一步体会数形结合的思想，发展应用意识．
第二章实数知识点
5、立方根：如果x3=a,则x叫做a的立方根，也叫a的三次方根，记作“ ”.
6、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
7、求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数.
二、实数
1、无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数有三种类型：⑴含根号且开不尽方的数，如 、 等；⑵化简后含有π的式子，如π、2π、 ；⑶有规律但不循环的无限小数，如0.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数递增1）.
三、二次根式的性质
1、二次根式具有双重非负性，即： ≥0（a≥0）.
2、（ ）2=a（a≥0），反过来a=（ ）2（a≥0）.
3、 = （分类讨论）
记忆口诀：二次根式三性质，双重非负是前提，平方在外直接开，平方在内绝对值。
第二章实数知识点
一、平方根、立方根
1、平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，也叫a的二次方根，记作“± ”.
2、一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是它本身；负数没有平方根.
3、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ ”.正数的算术平方根只有一个，且具有非负性.
2、有理数和无理数统称为实数，实数和数轴上的点是一一对应的.
3、形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，它具有双重非负性，即 ≥0、a≥0.
4、最简二次根式：⑴被开方数不含分母；⑵也不含开得尽方的因数或因式.二者必须同时具备。化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
5、化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，它们可以合并，合并时把它们的系数相加减，结果仍作为系数.
第二章实数
第二章实数一、认识无理数1、现实生活中存在不是有理数的数求面积为5的正方形的边长。
设边长为x ，则x 2=5。
这里x 既不是整数也不是分数，也就是说，没有一个有理数的平方是5。
现实生活中存在着大量的不是有理数的数。
2、估计数值的大小采用“夹逼法”就是用两个平方数左右来靠近这个数。
用x 表示正方形的边长，若x 2=2，则x 既不是整数也不是分数，我们可以用夹逼的方法估计x 的值，从而求出x 的近似值。
方法：找出最接近这个数的两个平方数，因为12＜2＜22，所以1＜x ＜2。
即x 的整数位是1.因为 1.42=1.96,1.52=2.25.，所以 1.4＜x ＜1.5。
继续确定：因为 1.412=1.9881，1.422=2.0146，所以1.41＜x ＜1.42根据四舍五入法，所以得到，x 的十分位上的数字是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数。
采用夹逼法，首先确定整数位，确定方法是根据给定数，找出这个数前后的平方数。
再确定十分位，注意确定十分位要计算到百分位，四舍五入，确定十分位。
以此类推。
3、无理数无理数：无限不循环小数叫无理数圆周率π=3.14159265…是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.有限小数------ 有理数小数的分类： 无限循环小数--- 有理数无限不循环小数--无理数注意：-π/7 不是分数，是一个无理数目前学习的无理数的表现形式：主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π；以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）（3）还有下节学习到的开方开不尽的数，如:39,5,2 应当注意的是：带根号的数不一定是无理数，如9等；无理数也不一定带根号，如π4、有理数、无理数的联系与区别1）把下列数写成小数的形式。
第二章实数
2.1认识无理数一、基本知识1、无理数：无限不循环小数称为无理数常见的无理数的形式：（1）有规律的但不循环；如1.2.112211122211112222……。
（2）特殊字符；如π。
（3）带有根号的有的是，有的不是；如22、无理数与有理数：（1）都可以写成小数形式，但有理数是有限的或者循环的，无理数是无限且不循环的小数；（2）有理数可以写成两个整数比的形式，无理数不能写成两个整数比形式。
3、无理数的和、商、积、差可能是无理数，也可能是有理数。
二、基础练习1、把下列各数分别填在相应的大括号内：21,0.3,3.1415926,3,,0.101001000100001(1010,989989998.372π--相邻两个之间的的个数逐次加），有理数有｛ ……｝；无理数有｛……｝ 2、x 2=13，那马精确到十分位x= 。
3、如图2.1.1，是由五个边长等于1的正方形图案，，如果把他们剪拼成一个正方形。
（1）、求拼成的正方形边长；（2）、所拼成的正方形边长近似值（精确到十分位） （3）、画出剪拼成正方形的示意图。
4、如图2.14，是边长等于1的小正方形组成的方格，试一试，把图中阴影部分剪拼成一个正方形。
5、羽毛球落在3米高的树上，拿来一个4米长的梯子，梯子底端离树底端至少1米，不计身高和臂长，问能否拿到这个羽毛球。
6、如图2.1.5，在边长为1的方格纸上有一个三角形ABC ，它的顶点位置如图所示，说出那些边长等于无理数；求出近似值（精确到小数点后1位）2.2 平方根一、基本知识1、算数平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即：x 2=a ，那么这个正数x 就叫a 的算数平方根。
记为a 。
0的算术平方根为0.2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即：x 2=a ，那么这个数x 就叫a 的平方根。
记为a ±。
0的平方根为0.3、（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0的平方根只有一个是0；（3）负数没有平方根。
第二章 实数
第二章 实数一、教学目标（一）知识目标1．掌握无理数和实数的概念，会对实数进行分类。
2．能进行简单的实数四则运算和近似计算。
二、教学重点【知识结构】⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 【知识要点】1. 平方根如果x=a 2,则x 叫做a 的平方根，计作x=±a 若a>0,则a 有两个平方根，即±a ； 若a=0,则a 的平方根是0，即±a =0；一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，他是0本身；负数没有平方根。
2. 算数平方根a ≥0时，a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，即a 。
根据这个概念可以知道，算术平方根是非负数，即a ≥0（a ≥0）；0的算术平方根是0，即√0=0 3. 平方根的求法①被开方数是完全平方数，可以通过开平方运算求平方根。
②被开方数不是完全平方数，可以用计算器求正数的算术平方根，求出来的数是近似值。
4. 立方根如果一个数x 的立方等于a,即x ³=a,那么这个数x 就叫做a 的立方根 5. 二次根式一般的，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式这样的二次根式，叫做最简二次根式。
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
三、经典例题透析四、应用与练习经典例题透析类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、1.4C、D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．【变式3】【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10因此3π-9＞0，3π-10＜0∴类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）A. B.C.D.解析：（估算）因为，所以选B举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________.【答案】1）；.2）-3. 3）， ，【变式2】求下列各式中的 （1） （2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4类型三．数形结合3. 点A 在数轴上表示的数为，点B 在数轴上表示的数为，则A ，B 两点的距离为______解析：在数轴上找到A 、B 两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是（ ）．A ．－1 B ．1－C ．2－D ．－2【答案】选C[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简【答案】：类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：(1) |-1.4|(2) |π-3.142|(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)(5) |x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
第二章：实数知识结构图
第二章：实数知识结构图一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等。
二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
1和-1的倒数等于本身。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
实数与数轴的点是一一对应的。
三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
初二数学上册第二章实数
第二章：实数本章的知识网络结构：知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：4.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；5.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
6.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
2.6实数(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“实数”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法用整数或分数表示的数？”（如√2、π等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索实数的奥秘。
举例：通过在数轴上表示实数，让学生直观地理解实数与数轴之间的关系。
2.教学难点
（1）无理数的理解：无理数的概念较为抽象，学生难以理解。
解决方法：通过具体实例（如√2、π等）和实际操作（如计算近似值），帮助学生理解无理数，并掌握无理数的表示方法。
（2）实数的运算：实数的运算规则较多，学生容易混淆。
解决方法：通过分类讲解、典型例题和练习，让学生掌握实数的运算规律，提高运算能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解实数的基本概念。实数是包括有理数和无理数的数的集合，它是数学中最重要的数集，具有封闭性、可比较性、可运算性等性质。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示实数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调实数的定义和分类、实数的性质和运算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
1.对于实数中较难理解的概念，如无理数，需要更多具体、形象的例子和操作，帮助学生理解。
2.在实数的运算教学中，要增加练习量，让学生在实际操作中掌握运算规则。
3.在实践活动和小组讨论中，注意引导学生深入思考，提高他们的逻辑思维和口头表达能力。
在今后的教学中，我会根据本次教学反思的结果，调整教学策略，以期提高学生的实数学习效果。
五、教学反思
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 实数2.1 认识无理数知识点1 现实生活中存在不是有理数的数整数和分数统称为有理数。
比如面积为5的正方形的边长为x ，则x 2 = 5，这里的x 既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在大量不是有理数的数。
例1 以下各正方形的边长不是有理数的是（ ） A. 面积为49的正方形 B. 面积为169的正方形 C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.21的正方形练习1 正三角形的边长为4，高h （ ）A. 是整数B. 是分数C. 是有理数D.不是有理数 知识点2 估计数值的大小用x 表示正方形的边长，若x 2 = 2，这里的x 既不是整数，也不是分数，我们可以用夹逼的方法估计x 的值，从而求出x 的近似值。
方法：因为1<2<4，所以1<x<2，即x 的整数位是1，又因为1.42=1.96,1.52=2.25，而2在1.42与1.52之间，所以x 的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数。
例2 已知直角三角形的两直角边长分别是9 cm 和5 cm ，斜边长是x cm ，估计x 在哪两个整数之间。
练习2如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）A.在1~2之间的有限小数B.在1~2之间的分数C.在1~2之间的有理数D.在1~2之间的无理数3.估计面积为5的正方形的边长b 的值（结果精确到十分位）。
知识点3 无理数的概念无限不循环小数称为无理数。
例如，圆周率π=3.14159265……是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数。
再如0.989 889 888 988 889……（相邻两个9之间8的个数逐次加1）也是无理数。
注意：（1）无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数。
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
有限小数 （2）小数的分类：小数 无限循环小数无限不循环小数——无理数 例3 下面各数中，哪些是无理数？哪些是有理数？ （1）π=3.14159265 (2)2=1.41421……（3）1.21021002100021……（相邻的两个21之间0的个数逐次加1） （4）0...75=0.575757…… （5）7π-（6）722 是有理数， 是无理数。
练习4.下面各数中，(1)3.14 ；(2) π；(3)723；（4）41.3 ；（5）3.1414414441…… 是有理数， 是无理数。
课堂练习1.下列说法正确的是（ ）A.有理数和无理数的差都是有理数B.无限小数都是无理数C.有理数都是有限小数D.两个无理数的和不一定是无理数 2.下列说法中错误的是（ ）A.任何有理数都可以用有限小数表示B.任何有限小数都是有理数C.无限不循环小数是无理数D.无理数是无限小数 3.下列说法中正确的是（ ）A.有理数只是有限小数B.无理数是无限不循环小数C.无限小数是无理数D.3π是分数 有理数4.下列实数中，是无理数的是（ ） A.2 B.2π C.31 D.21 5.下列各数02，6π，4-，65.0 ，0.7070070007……（相邻两个7之间0的个数依次加1）中，无理数的个数与有理数的个数之积为（ ）A.0B.2C.4D.6 6.介于3和π之间的一个无理数是（ ） A.23π+ B. 3.15 C. 3.1 D. 3.2 7.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 8.下列无理数中，在-2与1之间的是（ ）A ．5-B ．-3C ．3D ．5 9.如右图所示，正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，则三角形ABC 中，边长是无理数的边数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310.在①0，②3.14，③π1，④ .70.，⑤234.101010-……（相邻两个1之间有一个0）， ⑥⋯⋯010.10100100-（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）中，是有理数， 是无理数。
11.在25-，3π，12，161-，3.14, 0，41.3 ， 0.1, 12-1.8，215，14.0-，0.1211211121……（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，哪些是正数？哪些是有理数？哪些是无理数？2.2（1）算术平方根（一）实际应用1、一个人工湖湖面面积为64平方千米的正方形，这个正方形湖的边长是多少千米？ 解答：设正方形湖的边长为x 千米，则可得方程： ，因为x>0，所以x= .2、讨论：问题1可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”吗？ （二）新课：算术平方根 1、算术平方根概念及性质（1）已知一个正数x 的平方等于a,即x 2=a （x>0），那么这个正数x 叫做a 的 ，记为“a ”，读作“根号a ”，此符号“”读作 ，a 与 x 的关系是a x（填 ＜，＞，﹦），即(a )2 =a.（2）“0”的算术平方根是 ，即0= 。
（３）12= ，“1”的算术平方根是 ，即1= 。
（4）负数没有算术平方根。
2、求一个正数的算术平方根 ①410的意义是什么？ 410 =②4916的意义是什么？4916=③2)81-(的意义是什么？2)81-(=④计算：0036.0 =______; 64.0=______ ; 12149 =_______;2-10x 4 =______; 410x 25 =_______（三）归纳总结1、什么叫算术平方根，能自己叙述了吧？2、“a ”表示什么意义？3、a 中的“a ”取值范围？ 练习：1、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A.a+1 B.a 2+1 C.1a + D.1a 2+2、求下列各数的算术平方根 （1）121 （2）4964（3）0.000001 （4）2.56 （5）225（6）400 （7）9 （8）3625（9）13 （10）72、判断：1.一个正数的算术平方根一定是一个正数（ ）2.0的算术平方根是0（ ）3.8的算术平方根是4（ ）4.—16的算术平方根是—4（ ）2.2 （2） 平方根（一）思考讨论1、16=4，也就是42= 。
还有其他的数的平方等于16吗？2、平方等于649的数有几个？平方等于0.81的有几个？ 3、一个正数有几个平方根？；0有几个平方根？；负数呢？ （二）平方根的有关概念及性质 概念：1.如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的2.求一个数a 的平方根的运算，叫做 ，其中a 叫做 。
性质：1.一个正数有几个平方根？ 因为：（1）（+4）2= ，（-4）2= ，“16”的平方根有 、 ；（2）（+83）2= ，（-83）2= ，“ 649”的平方根有 、 ；（3）（+0.9）2= ，（-0.9）2= ，“0.81”的平方根有 、 ； 所以： 正数a 有 （几个） 平方根，一个是a 的 ，另一个是“ ”，它们互为 。
这两个平方根合起来可以记作“ ”，读作“ ”。
2.“0”有几个平方根-0= ，+0= ，因此“0”有 （几个）平方根，它是 ; 3.负数有没有平方根,即一个数的平方可能为负数吗？（+2）2= ，02= ，（-2）2= ，其他的数呢？因此， （有或没有）一个数的平方为负数，即负数没有平方根。
4.（1）（64）2= ；（2）（12149）2= ；（3）（2.7）2= ；（4）对于正数a 即a>0,（a ）2= 。
例1 求下列各数的平方根 （1）64 （2）12149练习1 求下列各数的平方根 （1）169 （2）4916 （3）18 （4）()6-10例 2求下列各数的平方根（1）0.0004 （2）()225- （3）11练习 2 求下列各数的平方根（1）225 （2）196 （3）12181 （4）2100）（ （5）27综合练习1.在下列说法中，正确的说法个数是（ ）①负数没有平方根，所以只有正数才有平方根； ②算术平方根等于其本身的数只有0和1两个； ③一个数的平方的算术平方根是它的本身；④如果a>0，则a 有平方根，反之若a 有平方根，则a>0. A.0 B.1 C.3 D.4 2、已知一个数的平方根为3x+1和x-1，则x 的值为（ ）A.0B.1C.2D.3 3、若9b 4a 22==，，且ab<0，则a-b 的值为（ ）A.-2B.5C.±5D.-54、小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积是144平方米，计划用400块地板砖，求每块地板砖的边长？（三）拓展：1、平方根的有关概念：平方根、开平方？2、正数、0、负数关于平方根有什么性质？3、平方根与算术平方根有什么区别？ 填表并分析平方根与算术平方根的区别与联系121 -0 169196（-0.225）211 a （a ≥0）361289算术平方根平方根两者的区别与联系是 四 达标训练 一 、选择题1、49的平方根是（ ）A.7B.7±C.7D.7± 2、下列计算正确的是（ ）A.525±=B.749=±C.20540025= D.-33-2=）（3、下列说法正确的是（ ）A.36的平方根是6B.3的算术平方根是3±C.3-是-3的平方根D.4是16的算术平方根 4、625的平方根是（ ）A.25±B.25C.5±D.155、下列各式计算正确的是（ ）A.39±=B.39=±C.22-2=）（ D.44-2=二、填空题6、算术平方根等于36的数是______。
7、若8-x x -82=）（，则x 的取值范围是__________。
8、196的算术平方根是______，24-）（的算数平方根_______。
9、平方根和算术平方根相等的数有__________。
10、求下列各式的值 （1）225 （2）25214- （3）4112± （4）23--）（12、求下列方程中的x（1）169x 2= （2）0121-9x 2= （3）93-x 412=）（（4）361-x 2=）（13、如果一个正数的平方根为2a-7和a-20，求这个正数？14.已知（x-2）2+3y -+4z -=0,求x 、y 、z 的值。
2.3 立方根知识点1 立方根的概念一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即()a =3x ，那么这个数x 叫做a 的立方根（也叫做三次方根）。