2014年北师大版数学八上能力培优5.6二元一次方程组与一次函数
北师版八年级数学5.6二元一次方程与一次函数
滕州市八年级数学教案课题：5.6二元一次方程与一次函数（1）课型：新授课授课人: 滕州市北辛中学韩芳授课时间：2012年12月30日，星期日，第二节课课前准备：制作课件，学习目标：1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.2.会用列二元一次方程组的方法求两个一次函数图象的交点坐标教法与学法指导：本节课主要采用“自主探究—--小组讨论---合作竞学”型课堂教学模式.通过学生解二元一次方程组并把方程转化为一次函数，画出一次函数的图象，引导学生充分思考方程组的解与函数图象交点间的关系，小组讨论，总结出二元一次方程与一次函数的关系，增强学生数形结合的意识，.在课堂教学中，方法与规律由教师引导，学生归纳，营造小组互助竞学的氛围.教具准备：三角板、多媒体、自制课件.教学过程：一．感悟导入：1、同学们，什么叫二元一次方程的解？2、一次函数的图像是什么？3、如图，求一次函数的图像的解析式设计意图：让学生回顾二元一次方程的解的定义，回顾一次函数的图像及一次函数解析式的求法，为下面的内容做铺垫，二、自主探究（探究一）二元一次方程和一次函数的图像的关系师：提出问题：1.方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个解来生：方程x+y=5的解有无数多个，如：师：问题2．在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y =5−x的图像上吗？生：都在，因为都满足函数解析式。
师：问题3.在一次函数y=5－x的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？问题4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y = 5−x 的图象相同吗？生：小组讨论，得出结论二元一次方程和一次函数的图像的关系；（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；（2）一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．设计意图：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=5+-x相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识．（探究二）两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．师：前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．解方程组5, 2 1. x yx y+=⎧⎨-=⎩生：用代入法或加减法解出2,3 xy=⎧⎨=⎩师：你能把方程（1）和方程（2）化为函数形式吗？生：方程（1）可化为y = 5−x；方程（2）可化为y = 2x−1师：在同一直角坐标系内分别作出一次函数y = 5−x和y = 2x−1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组5,2 1.x yx y+=⎧⎨-=⎩的解有什么关系？你能说明理由吗？生：小组合作，画出两个函数图象师：巡视指导，学生作图不太熟练，师提醒学生两点作图生：观察图象，得出一次函数y = 5−x和y = 2x−1的图像的交点为(2，3)，师：问题3．方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？生：函数图象交点坐标即是方程组的解师：这说明我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法，用作图法来解方程组的步骤如下：1、把二元一次方程化成一次函数的形式2、在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点3、交点坐标就是方程组的解师：根据“函数图象交点坐标即是方程组的解”，那如何来求两个函数的交点坐标呢？生：那就可以把解析式写成方程组的形式来解方程组的解，方程组的解即是函数图象交点坐标.师：对，非常好，注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组师：1、有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？2、一次函数y = 2−x，y = 5−x的图象之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？生：没有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5；一次函数y = 2–x，y = 5−x的图象是两条平行的直线.师：我们可以得到：二元一次方程组无解<=>一次函数的图象平行（无交点）二元一次方程组有一解<=>一次函数的图象相交（有一个交点）二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图象重合（有无数个交点）设计意图：通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．三、合作竞学师：例1用作图像的方法解方程组22, 2 2. x yx y-=-⎧⎨-=⎩解：由x-2y= - 2可得y=12+x ，同理，由2x – y=2可得y=2x – 2，在同坐标系中作出一次函数y =12+x 的图象和y=2x –2的图象，观察图象，得两直线交于点（2，2），所以方程组的解是例2 如图，直线1l 与2l 的交点坐标是 ．师指导学生先由两点求一次函数解析式，再联立方程组求交点坐标。
新北师大数学八上第5章 二元一次方程组 5.6 二元一次方程与一次函数【习题课件】 (2)
课后训练
16．如图，直线 l1：y＝x＋1 与直线 l2：y＝mx＋n 相交于点 P(2，b)．
课后训练
(1)求 b 的值； 解：将点 P(2，b)的坐标代入 y＝x＋1，得 b＝2＋1＝3.
(2)直接写出方程组xm－x－y＋y＋1＝n＝0，0 的解； 解：方程组的解为xy＝＝32.，
(1)求两直线的交点 C 的坐标． 解：由题意，可得方程组yy＝ ＝－2x＋2x3－，1的解为xy＝＝1－. 1， 所以两直线的交点 C 的坐标为(－1，1)．
课后训练
(2)求△ABC 的面积． 解：直线 y＝2x＋3 与 y 轴的交点 A 的坐标为(0，3)，直线 y＝－2x－1 与 y 轴的交点 B 的坐标为(0，－1)， 所以 OA＝3，OB＝1. 所以 AB＝4. 所以 S△ABC＝12×4×1＝2.
课堂导练
6．把方程 x＋y＝2 的两个解xy＝＝11，和xy＝＝20，组成有序实数
对(1，1)，(0，2)，过这两点画直线 l，下列各点不．在．直线 l 上的是( B )
A．(4，－2)
B．(2，1)
C．(－2，4)
D．(－4，6)
课堂导练
7．一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标， 相当于求相应的__二__元__一__次__方__程__组__的__解__；反过来，解一 个__二__元__一__次__方__程__组__相当于确定两条直线交点的坐标．
课堂导练
2．若二元一次方程 3x－2y＝1 所对应的直线是 l，则下列各
点不．在．直线 l 上的是( B )
A．(1，1)
B．(－1，1)
C．(－3，－5)
D．2，52
课堂导练 3．以方程 y－2x－2＝0 的解为坐标的点组成的图象是( C )
北师大版八年级上册5.6 二元一次方程与一次函数课件
2 3
, .
问题1.你是用什么方法求解的？
问题2.经历了刚才的活动，还有别的方法吗？ 上述方程移项变形转化为一次函数y=-x+5与y=2x-1 在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象．
图象法：
yx5
第一支：在图象上取两点
5y
y2x1
（0,5)，(5,0)，作出一次 4 11、请把手放下。不要说它的意思，我想听大家说说你遇到过的丈二和尚摸不着头脑的事情，如果说的好，就说明你真的理解了。
6、嗯，这是相同的地方。不同的地方呢?
0 x 6、玲玲还有一个特别的能耐，就是看到大家读的口型不用听就可以知道你们读的什么字。要不要试试? 1 -2 0 1、请大家齐读课题。(指导玲的轻声读音。)
3 8 朗读感悟 y x 一、导入：
x
7、没有啊。
55
课后思考
＝2%
【解析】【解答】A：（2r）2：πr2=4r2：πr2=4：π；
和y = x - 2 的图象，图象有怎样的位置关系？
问题2：方程组x y 1 解的情况如何？你x 发y 现 2了
y
l1 : y x 1
l2 : y x 2
3
2
什么？ 1
-2 -1 0 1 2 3
x
-1
-2
你发现了什么？
归纳：对于两条直线 l1:yk1xb1,l2:yk2xb2
当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元 一次方程组有一组解. 当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此 时对应的二元一次方程组无解.
读吧。
和这两个函数图象 方程组 的解 是 10、第二，写句子时，最好能理解你要写的句子的意思。你们理解吗?
的交点坐标有什么 2xy1 y3
5.6二元一次方程与一次函数-八年级上册初二数学(北师大版)
5.反思与改进：在教学过程中，关注学生的反馈，针对学生的掌握情况及时调整教学策略，以提高教学效果。
标题：五、教学反思
固定字符：五、教学反思
1.培养学生的逻辑思维能力：通过二元一次方程与一次函数的学习，让学生掌握分析问题、解决问题的方法，提高逻辑推理和运算求解能力。
2.培养学生的空间想象能力：在一次函数图像的绘制和分析过程中，让学生能够将实际问题转化为数学图像，培养空间想象力和图形分析能力。
3.培养学生的应用意识：结合实际问题，让学生理解数学知识在实际生活中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的应用意识。
2.教学难点
-理解并运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，尤其是如何选择合适的消元方法。
-将实际问题抽象为一次函数模型，特别是如何确定k和b的值，以及如何通过图像来分析问题。
-理解一次函数图像上任意一点的坐标意义，以及如何利用图像来求解不等式问题。
举例解释：
（1）对于消元法，难点在于如何选择合适的变量进行消元，以及如何处理含参的情况。教师可以通过对比不同类型的例题，如含有相同系数的方程和含有相反系数的方程，来指导学生选择合适的方法。
-能够将实际问题转化为数学模型，利用二元一次方程和一次函数求解问题。
举例解释关系，通过具体例题（如两个物品的价格和数量问题）让学生理解如何列出方程并求解。
（2）在介绍一次函数时，通过绘制图像，让学生直观地看到一次函数与直线的关系，并通过例题（如物品的售价与成本关系）来加深理解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
北师大版八年级数学上册第五章5.6--二元一次方程与一次函数关系必做题
二元一次方程与一次函数必做题二元一次方程与一次函数的关系基础题1. 如图所示是一次函数y=ax-b的图像，则关于x的方程ax-1=b的解为x=_______2. 若二元一次方程3x-2y=1所对应的直线是L,则下列各点不在直线L上的是（）A. (1, 1)B. (-1, 1)C. (-3, -5)D. (2, )3. 已知直线y=ax+7, y=4-3x, y=2x-11相交于一点，求a的值能力题4. 若一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点在直线-2x+by=18上，则b=______5. 已知正比例函数y=2x的图象与一次函数y=x+2的图象相交于点P, 点A是x轴上一点，且=6,则点A坐标是_________6. 如图，直线: =2x+3与直线: =kx-1交于点A, 点A横坐标为-1，且直线与x轴交于点B, 与y轴交于点D, 直线与y 轴交于点C, 连接BC①求点A坐标及直线的函数表达式②求ΔABC面积7. 如图，已知直线AB: y=x+1分别与x轴，y轴交于点A, B, 直线CD: y=x+b分别与x轴，y轴交于点C, D,且直线AB与CD相交于点p, =2①求b的值和点P的坐标②求ΔADP面积二元一次方程组与一次函数的关系基础题8. 如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B, 则这个一次函数的表达式是_______9. 如图，已知直线: y=3x+1与y轴交于点A, 且和直线: y=mx+1交于点P（-2，a）,根据以上信息解答下列问题①求a的值②不解关于x, y的方程组y=3x+1y=mx+n 请你直接写出它的解③若直线, 表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x3, 求直线的函数表达式10. 若点A(2, -3), B(4, 3), C(5, a)在同一条直线上，则实数a=_______11. 已知y=kx+b(k0)的图象过点（0，2）且与两坐标轴围成的三角形面积是2，则此一次函数表达式为____12. 甲，乙两车从A城出发匀速行驰至B城，在整个行驰过程中，甲，乙两车离开A城的距离y(单位：km)与甲车行驰时间x(单位;h)之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解答下列问题① A, B两城相距多少千米？②分别求甲，乙两车离开A城的距离y与x的关系式③求乙车出发后几小时追上甲车？能力题13. 甲，乙两车分别从A, B两地同时出发，沿同一条公路相向行驰，相遇后，甲车继续以原速行驰到B地，乙车立即以原速原路返回到B地，甲，乙两车距B地的路程y(km)与各自行驰的时间x(h)之间的关系如图所示① m=________ n=________②求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围③当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程14. 如图, 分别表示A步行与B骑车在同一路上行驰的路程s(单位;km)与时间t(单位：h)的关系① B出发时与A相距_____km, B骑了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是_______h, B初始出发后，_____h与A相遇②求出A行走的路程S与时间t的函数关系式③若B的不发生故障，保持出发时的速度前进，则B出发多少小时与A相遇，相遇时距离B的出发点多少千米？并在图上表示出这个相遇点15. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于点A, 点B, 点D在y轴的负半轴上，若将ΔDAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处①求线段AB的长和点C坐标②求直线CD的表达式③ y轴上是否存在一点p, 使=, 若存在，请求出点P坐标，若不存在，说明理由16. 某地植物园从正门到侧门有一条小路，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时间开始休息，休息了0.6h 后仍按原速继续行走，乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正门，到达正门后休息0.2h, 然后按原路原速匀速返回侧门，甲，乙到侧门的距离y(km)与出发时间x(h)之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题①求甲在休息前，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围②求甲，乙第一次相遇的时间③直接写出乙回到侧门时，甲到侧门距离17. 如图，直线经过A, B两点（1）求出直线的表达式（2）若直线经过点C, D, 且直线, 交于点P①求出直线的解析式②求出ΔBPC面积18. 已知一次函数图象过点（2，2），它与两坐标轴围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的解析式19. 已知A(8, 0)及在第一象限的动点P(x, y), 且x+y=0, 设ΔOPA面积为S,(1) 求S关于x的函数解析式（2）求x的取值范围（3）求S=12时P点坐标。
北师大版 八年级数学上册期末培优训练：二元一次方程组(含答案)
八年级上学期期末培优训练：二元一次方程组1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？2．期中考试即将结束，为了表彰优秀，李老师用W元钱购买奖品，若以3支钢笔和4本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以4支钢笔和7本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．（1）请用y的代数式表示x；（2）若用这W元钱全部购买笔记本，总共可以买几本？（3）若李老师用这钱恰好买75份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的a，b的值．3．为传承中华文化，学习六艺技能，某中学组织初二年级学生到孔学堂研学旅行．已知大型客车每辆能坐60人，中型客车每辆能坐45人，现该校有初二年级学生375人．根据题目提供的信息解决下列问题：（1）这次研学旅行需要大、中型客车各几辆才能使每个学生上车都有座位，且每辆车正好坐满？（2）若大型客车租金为1500元/辆，中型客车租金为1200元/辆，请帮该校设计一种最划算的租车方案．4．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去720元，求甲、乙两种电影票各买了多少张？5．有人沿环城无轨电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面超过他，每隔4分钟有一辆电车迎面向他驶来．若此人速度不变，不计电车停车时间，问：每隔多少分钟从电车车站发出一辆车？6．列方程解应用题改革开放40年来我国铁路发生了巨大的变化，现在的铁路运营里程比1978年铁路运营里程多了75000公里，其中高铁更是迅猛发展，其运营里程约占现在铁路运营里程的20%，只差600公里就达到了1978年铁路运营里程的一半，问1978年铁路运营里程是多少公里．7．开学初，小聪去某文具商店购买学习用品的数据如下表，因污损导致部分数据无法识别．商品名单价（元）数量（个）金额（元）签字笔326自动铅笔 1.5记号笔4软皮笔记本29圆规 3.51合计/828仔细观察表格中数据之间的关系，解决下列问题：（1）这家文具商店软面笔记本的单价是元/本；小聪购买圆规共花费元；（2）小聪购买了自动铅笔、记号笔各几支？（3）若小明也在同一家文具店购买了软面笔记本和自动铅笔两种文具，已知他恰好花费12元，请你对小明购买的软面笔记本和自动铅笔数量的可能性进行分析．8．甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某学校用78元钱买这两种笔作为数学竞赛一二等奖奖品，钱恰好用完，若买下的乙种笔是甲种笔的两倍，请问两种笔各买了几支？9．一旅客乘轮船从甲港顺流航行到乙港，用了4小时，又从乙港逆流航行到甲港，用了6小时．于是他判断：如果水是静止的，轮船在两个港口之间运行一趟需要5小时，你说他说得对吗？10．某医疗器械经销部经营甲、乙两种医疗器械，甲器械每台2万元，乙器械每台5万元．今年厂方给经销部规定了24万元的营销任务，那么该经销部要想完成任务，有哪些销售方案可选择？若乙器械的利润是甲器械的3倍，那么你觉得选择哪个方案更好些？11．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意如下：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马和小马各有多少匹？请解答上述问题．12．用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0.5元，试问三种笔各买了多少支？13．把一根长9米的钢管截成2米长和1米长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？14．某地区住宅用电之电费计算规则如下：每月每户不超过50度时，每度以4元收费；超过50度的部分，每度以5元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去）．（1）下表给出了今年3月份A，B两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整，电量（度）电费（元）A240B合计90（2）若假定某月份C用户比D用户多缴电费38元，求C用户该月可能缴的电费为多少？15．由甲、乙两运输队承包运输15000立方米沙石的任务，要求在10天之内（包含10天）完成．已知两队共有20辆汽车，甲队每辆车每天能够运输100立方米的沙石，乙队每辆车每天能够运输80立方米的沙石，前3天两队一共运输了5520立方米．（1）求甲乙两队各有多少辆汽车？（2）3天后，甲队另有紧急任务需要抽调车辆支援，在不影响工期的情况下，甲队最多可以抽调多少辆汽车走？参考答案1．解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，由题意可得，，解得：，答：甲原有36文钱，乙原有24文钱．2．解：（1）依题意，得：60×（3x+4y）＝40×（4x+7y），∴x＝2y．（2）60×（3x+4y）÷y＝60×（3×2y+4y）÷y＝600．答：总共可以买600本．（3）依题意，得：75×（ax+by）＝60×（3x+4y），∴b＝8﹣2a．∵a，b均为正整数，∴，，．3．解：（1）设需要大型客车x辆，中型客车y辆，根据题意，得：60x+45y＝375，当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝；当x＝3时，y＝；当x＝4时，y＝3；当x＝5时，y＝；当x＝6时，y＝；∵要使每个学生上车都有座位，且每辆车正好坐满，∴有两种选择，方案一：需要大型客车1辆，中型客车7辆；方案二：需要大型客车4辆，中型客车3辆．（2）方案一：1500×1+1200×7＝9900（元），方案二：1500×4+1200×3＝9600（元），∵9900＞9600，∴方案二更划算．4．解：设购买甲电影票x张，乙电影票y张，由题意知：，解得．答：购买甲电影票24张，乙电影票16张．5．解：设电车的速度为a千米/分钟，行人的速度为b千米/分钟，依题意，得：4（a+b）＝12（a﹣b），解得：a＝2b，∴＝＝6．答：每隔6分钟从电车车站发出一辆车．6．解：设1978年铁路运营里程是x公里，现在铁路运营里程是y公里，根据题意得：，解得：．答：1978年铁路运营里程是52000公里．7．解：（1）软面笔记本的单价为：9÷2＝4.5（元/本），小聪买圆规共花费：3.5×1＝3.5（元），故答案为：4.5，3.5，（2）设小聪购买了自动铅笔x支，记号笔y支，根据题意得：，解得：，答：小聪购买了自动铅笔1支，记号笔2支，（3）若购买了1本软面笔记本，花费4.5元，则剩下12﹣4.5＝7.5元购买自动铅笔，数量为7.5÷1.5＝5支，符合题意，若购买2本软面笔记本，花费4.5×2＝9元，剩下12﹣9＝3元购买自动铅笔，数量为3÷1.5＝2支，符合题意，若购买3本软面笔记本，花费为4.5×3＝13.5＞12，不合题意，答：小明购买了1本软面笔记本和5支自动铅笔或者2本软面笔记本和2支铅笔．8．解：设甲种笔买了x支，乙种笔买了y支，根据题意得：，解得：．答：甲种笔买了6支，乙种笔买了12支．9．解：设轮船的速度为x千米/小时，水速为y千米/小时，依题意，得：4（x+y）＝6（x﹣y），∴x＝5y，∴静水航行所需时间为＝小时，∴该判断不对．10．解：设分别销售甲、乙两种医疗器械x、y台，由题意得，2x+5y＝24，∵2x与24都是偶数，∴5y也是偶数，∴y＝2时，x＝7，y＝4时，x＝2，故，销售方案为：方案一，销售甲器械7台，乙器械2台，方案二，销售甲器械2台，乙器械4台；设甲器械每台的利润为a万元，则乙器械每台的利润为3a万元，方案一利润，7a+2•3a＝13a，方案二利润，2a+4•3a＝14a，∵13a＜14a，∴选择方案二更好些．11．解：设大马x匹，小马y匹，依题意得：，解得：，答：大马有25匹，小马有75匹．12．解：设金笔买了x支，铂金笔买了y支，则圆珠笔买了（100﹣x﹣y）支，依题意，得：10x+3y+0.5（100﹣x﹣y）＝100，∴y＝20﹣x．∵x，y均为正整数，∴x为5的倍数，∴x＝5，y＝1，100﹣x﹣y＝94．答：金笔买了5支，铂金笔买了1支，圆珠笔买了94支．13．解：截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长9米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，由题意得，2x+y＝9，因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：，，，则有四种不同的截法．14．解：（1）设A用户用电量为x度，则4×50+5（x﹣50）＝240，解得x＝58；B用户的用电量：90﹣58＝32（度）．B用户的电费：32×4＝128（元）A、B用户的电费：240+128＝368（元），故答案是：电量（度）电费（元）A58240B32128合计90368（2）设3月份C用户用电x度，D用户用电y度．∵38不能被4和5整除，∴x＞50，y≤50，∴200+5（x﹣50）﹣4y＝38∴5x﹣4y＝88，∴．∵，∴50＜x≤57.6．又∵x是4的倍数，∴x＝52，56 C用户可能缴的缴电费为210元或230元．15．解：（1）设甲队有x辆汽车，乙队有y辆汽车，根据题意得：，解得：，答：甲队有12辆汽车，乙队有8辆汽车，（2）设甲队最多可以抽调m辆汽车走，根据题意得：7[100（12﹣m）+80×8]≥15000﹣5520，解得：m，m最大的整数是4，答：甲队最多可以抽调4辆汽车走．。
北师大版八年级上册数学教案：5.6二元一次方程组与一次函数
举例：求解方程组{y=3x-2, y=-x+4}，通过绘制两个一次函数的图像，找到它们的交点(2, 4)。
（3）实际应用问题中的二元一次方程组。重点教授如何从实际情境中抽象出二元一次方程组，并运用所学知识解决实际问题。
举例：小华和小明同时从同一地点出发，小华以每小时5公里的速度向南走，小明以每小时4公里的速度向东走，经过2小时后他们相距多远？可抽象为方程组{x=5t, y=4t}。
2.教学难点
（1）理解一次函数图像与二元一次方程组解的关系。难点在于帮助学生建立数形结合的观念，理解图像上的点与方程组解的一一对应关系。
举例：如何将两个物体同时运动的问题转化为二元一次方程组，并求解。
（4）解决含有两个未知数的方程组问题。对于一些学生来说，同时处理两个未知数可能会感到困惑，需要教授他们如何系统化地解决这类问题。
举例：如何按步骤解决方程组{3x+2y=8, 2x-3y=1}？
在教学过程中，需要针对这些重点和难点内容，通过生动的例子、直观的图像和实际操作，帮助学生透彻理解并掌握相关知识。同时，注重引导学生积极思考、提问和讨论，以提高他们对二元一次方程组与一次函数的理解和应用能力。
北师大版八年级上册数学教案：5.6二元一次方程组与一次函数
一、教学内容
北师大版八年级上册数学教案：5.6二元一次方程组与一次函数
本节课我们将探讨以下内容：
1.理解二元一次方程组的解与一次函数的关系；
2.学习利用一次函数图像求解二元一次方程组；
3.掌握二元一次方程组的解在实际问题中的应用；
4.举例说明二元一次方程组与一次函数的交集和平衡点。
八年级数学上册二元一次方程组5.6二元一次方程与一次函数课件新版北师大版
交于点Q,则点Q的坐标为 ( D )
A.(4,15) B.(-4,15)
C.(4,-15) D.(-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,-15)
解析：由
������ ������
= =
23������������--73,解得
������ ������
= =
--41,5.因此交点坐标是(-4,-15).
1.下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x2y=2的解的是( C )
组
4������-������ = ������ = 2������
1, +
3的解是
������ = 2, ������ = 7 .
4.在直角坐标系中,一次函数 y=k1x+b1,y=k2x+b2 的图象 l1,l2 如图所
示,则方程组
������ ������
= =
������1 ������ ������2 ������
y=-2x+8 的图象 l2,两直线 l1,l2 的交点坐标为(3,2),所以方程组
���2������+��� +������������==58, 的解是
������ ������
= =
3, 2.
解析:对于二元一次方程x-2y=2,当x=0时,y=-1;当y=0时,x=2,故直线
与两坐标轴的交点应该是(0,-1),(2,0). 2.方程组 72������������-+3������������==28,的解,即一次函数 y= 73x-23
和 y= 8-2x
的图象的交点坐标.
3.已知一次函数 y=4x-1 与 y=2x+3 的图象交点坐标为(2,7),则方程
5.6 二元一次方程与一次函数 北师大版数学八年级上册素养提升卷(含解析)
第五章 二元一次方程组6 二元一次方程与一次函数基础过关全练知识点1 二元一次方程与一次函数的关系1.(2021山西太原五中月考)在平面直角坐标系中,以二元一次方程2x -y =1的解为坐标的点组成的图象可能是( )( )A BC D知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系2.【学科素养·几何直观】(2023四川渠县期末)如图,函数y =ax +b 和y =kx 的图象交于点P ,根据图象可得,关于x 、y 的二元一次方程组ax ―y +b =0,kx ―y =0的解是( )( )A.x =―4y =―2 B.x =4y =2 C.x =―2y =―4 D.x =2y =43.(2022福建三明期末)已知关于x ,y 的二元一次方程组y =(3―k )x ―2,y =(3k ―5)x +5无解,则一次函数y =kx -1的图象不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.【新独家原创】已知关于x ,y 的方程组x ―y =3,kx +y =1的解是x =1,y =m ,则直线l 1:y =x -3与直线l 2:y =-kx +1的交点在第 象限.5.【教材变式·P 124T 3】如图,直线y 1=kx +b 与坐标轴交于A (0,2),B (m ,0)两点,与直线y 2=-4x +12交于点P (2,n ),直线y 2=-4x +12交x 轴于点C ,交y 轴于点D.(1)求m ,n 的值;(2)方程组y =kx +b ,y =―4x +12的解为 ;(3)求△PBC 的面积.能力提升全练6.(2022陕西中考,6,★★☆)在同一平面直角坐标系中,直线y =-x +4与y =2x +m 相交于点P (3,n ),则关于x ,y 的方程组x +y ―4=0,2x ―y +m =0的解为( )A.x =―1y =5 B.x =1y =3 C.x =3y =1 D.x =9y =―57.(2021广西梧州中考,14,★☆☆)如图,在同一平面直角坐标系中,直线l 1:y =14x +12与直线l 2:y =kx +3相交于点A ,则关于x 、y 的方程组y =14x +12,y =kx +3的解为 .( )8.(2022重庆八中期末,18,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ,直线AB 的解析式为y =-58x +5,直线CD 的解析式为y =kx +b (k ≠0),两直线交于点Em 且OB ∶OC =5∶4.(1)求直线CD 的解析式;(2)将直线CD 向下平移一定的距离,使得平移后的直线经过A 点,且与y 轴交于点F ,求四边形AEDF 的面积.素养探究全练9.【过程性学习试题】【运算能力】规定:二元一次方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2的解记为P(x,y),若存在P'(x',y')满足x'=x+y,y'=x-y,则称P'是P的“乌拉之点”(注:“乌拉”为俄语,译为“快速进行”或“胜利”之意).(1)点A(-1,2)的“乌拉之点”A'的坐标为 ;(2)若方程组2x+y=7,的解记为M(x,y),点M的“乌拉之点”为M'(x',y'), x=y―1且满足kx'+y'=4,求k的值;(3)已知m是39的整数部分,n是c4的算术平方根(其中c>0),当a≥b≥0时,Q(3a―b,2b)的“乌拉之点”是Q'(m,2n),问:c可能取得的最大值是多少?答案全解全析基础过关全练1.B 二元一次方程2x -y =1可化为y =2x -1,图象过第一、三、四象限,故选B.2.A ∵函数y =ax +b 和y =kx 的图象交于点P ,∴方程组y =ax +b ,y =kx 的解为x =―4,y =―2,即方程组ax ―y +b =0,kx ―y =0的解为x =―4,y =―2,故选A.3.B ∵关于x ,y 的二元一次方程组y =(3―k )x ―2,y =(3k ―5)x +5无解,∴直线y =(3-k )x -2与直线y =(3k -5)x +5无交点,即两直线平行,∴3-k =3k -5,解得k =2,当k =2时,一次函数y =kx -1即为y =2x -1,图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限,故选B.4.四解析 ∵方程组x ―y =3,kx +y =1的解是x =1,y =m ,∴1-m =3,∴m =-2,∴直线l 1与直线l 2的交点为(1,-2),在第四象限.5.解析 (1)把点P (2,n )代入y 2=-4x +12,得n =-8+12=4,∴P (2,4).把A (0,2),P (2,4)代入y 1=kx +b ,得b =2,2k +b =4,解得k =1,b =2,∴y 1=x +2.把B (m ,0)代入y 1=x +2,得0=m +2,解得m =-2,∴m =-2,n =4.(2)∵直线y 1=kx +b 与直线y 2=-4x +12交于点P (2,4),∴方程组y =kx +b ,y =―4x +12的解为x =2,y =4.(3)当-4x +12=0时,x =3,∴C (3,0),∵B (-2,0),C (3,0),∴BC =5,∴S △PBC =12×5×4=10.能力提升全练6.C ∵直线y =-x +4与直线y =2x +m 相交于点P (3,n ),∴n =-3+4=1,∴P (3,1),∴关于x ,y 的方程组x +y ―4=0,2x ―y +m =0的解为x =3,y =1.7.x =2y =1解析 ∵直线l 1:y =14x +12与直线l 2:y =kx +3相交于点A (2,1),∴关于x 、y 的方程组y =14x +12,y =kx +3的解为x =2,y =1.8.解析 (1)将m y =-58x +5,得m =83,∴在y =-58x +5中,当x =0时,y =5,∴B (0,5),∴OB =5,∵OB ∶OC =5∶4,∴OC =4,即点C 的坐标为(-4,0).将C (-4,0)代入y =kx +b (k ≠0),+b =103,4k +b =0,解得k =12,b =2,∴直线CD 的解析式为y =12x +2.(2)在y =-58x +5中,当y =0时,-58x +5=0,解得x =8,∴点A 的坐标为(8,0).设直线CD 向下平移后的解析式为y =12x +m (m ≠2),将A 点的坐标代入,得m =-4,∴直线AF 的解析式为y =12x -4,∴点F 的坐标为(0,-4),∵直线CD 的解析式为y =12x +2,∴D (0,2),如图,连接OE ,∴四边形AEDF 的面积=S △ODE +S △OAE +S △OAF =12×2×83+12×8×103+12×8×4=32.素养探究全练9.解析 (1)设点A (-1,2)的“乌拉之点”A'的坐标为(x',y'),根据“乌拉之点”的定义可得,x'=x+y=-1+2=1,y'=x-y=-1-2=-3,∴点A(-1,2)的“乌拉之点”A'的坐标为(1,-3).(2)2x+y=7①,x=y―1②,把②代入①,得2(y-1)+y=7,解得y=3,把y=3代入②,得x=2.所以M(2,3).∵点M的“乌拉之点”为M'(x',y'),∴x'=x+y=2+3=5,y'=x-y=2-3=-1,又∵kx'+y'=4,∴5k-1=4,∴k=1.(3)∵36<39<49,∴6<39<7,∴39的整数部分m=6.∵c4=c2,n是c4的算术平方根(其中c>0),∴n=c2=c,∴Q'(m,2n)即为Q'(6,2c).∵当a≥b≥0时,Q(3a―b,2b)的“乌拉之点”是Q'(m,2n),∴3a―b+2b=6,3a―b―2b=2c,∴2c=3a―b+2b-4b=6-4b,∴c=3-2b,∵b≥0,∴3-2b≤3,∴c可能取得的最大值是3.。
北师大版数学八年级上优课精选练习5.6二元一次方程与一次函数(1)
5.6二元一次方程与一次函数泗县中学马秀才教学目标：知识与技能1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系，2、让学生掌握两直线在同一坐标系中的位置关系，能根据图象确定二元一次方程组的解。
过程与方法1,通过学生思考，观察交流与探究理解二元一次方程（组）与一次函数的对应关系。
2，掌握图象法解二元一次方程组的一般步骤，体会近似解与准确解。
情感态度与价值观通过积极参与合作探究等数学学习活动，培养学生独立思考积极探究，合作创新的精神。
教学重点难点：重点：理解二元一次方程和一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
难点：应用方程和函数之间的对应关系即数形结合和转化思想解决问题。
教法与学法指导：在教师的启发引导下，以小组合作交流的形式展开教学活动，给学生提供探索的空间，引导学生积极探究，培养学生的自主合作的创新意识与创新能力．同时采用探索发现----建立模型-----巩固训练-----拓展延伸的模式进行教学，在教学过程中让数形结合和转化思想渗透于整个教学过程中。
教具：多媒体课件、三角板彩色粉笔等。
学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸等。
教学过程一、创设问题，引入新课【设计说明】教师通过数学故事引起学生对这节课的兴趣，为新知识学习奠定基础，同时也要不断激活学生的思维生成新问题，引起认知冲突，从而很自然地引入新课。
1、十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动。
他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。
在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系。
笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程。
这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的关系。
北师版八年级上册数学5.6 二元一次方程与一次函数
5.6 二元一次方程与一次函数【学习目标】【知识目标】1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式【能力目标】通过学生的思考和操作,在力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.【情感目标】通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣.【学习重点】1、二元一次方程和一次函数的关系2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解【学习难点】方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力【学习过程】 一、忆一忆1、 同学们:什么叫二元一次方程的解?2、 一次函数的图象是什么?3、 如图,求一次函数的图象的解析式 二、试一试1、 问题：方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个解来[方程x+y=5的解有无数多个，如：x=-1 x=0 x=1 x=2 x=3y=6 y=5 y=4 y=2 等2、 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5－x 的图象上吗？3、 在一次函数y=5－x 的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？4、 以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x 的图象相同吗？三、做一做在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x 和y=2x －1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组 x+y=52x － y=1 的解有什么关系？你能说明理由吗？[一次函数y=5－x 和y=2x －1的图象的交点为（2，3），因此， x=2 就是方程组y=3x+y=52x x观察图象，得两直线交于点（2，2），所以方程组x-2y= - 22x – y=2的解是 x = 2y= 3同学们你从本题中感悟到什么？原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：1、 把二元一次方程化成一次函数的形式2、 在直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点。
北师大版八年级数学上《5.6 二元一次方程与一次函数》.docx
初中数学试卷桑水出品《5.6 二元一次方程与一次函数》一、选择题1．已知方程组的解为，则函数y=﹣2x+3与y=﹣x+的交点坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣l）2．已知方程组的解是，则一次函数y=ax+b与y=kx的交点P的坐标是______．3．下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2交于点A，则方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．5．以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（）A．有一个交点B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能6．若方程组没有解，则一次函数y=2﹣x与y=﹣x的图象必定（）A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定7．若直线y=+n与y=mx﹣1相交于点（1，﹣2），则（）A．m=，n=﹣B．m=，n=﹣1 C．m=﹣1，n=﹣D．m=﹣3，n=﹣8．体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（）进球数0 1 2 3 4 5人数 1 5 x y 3 2A．y=x+9与y=x+B．y=﹣x+9与y=x+C．y=﹣x+9与y=﹣x+D．y=x+9与y=﹣x+9．直线y=x+1与y=﹣2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．把直线y=﹣x﹣3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第二象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4二、填空题11．如图，直线l1，l2交于点A，观察图象，点A的坐标可以看作方程组______的解．12．一次函数y=mx+4与y=nx﹣2的图象交于x轴上一点，则m：n的值是______．13．若方程组无解，则y=kx+3图象不经过第______象限．三、解答题14．已知函数y=﹣2x+6与函数y=3x﹣4．（1）在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象；（2）求这两个函数图象的交点坐标；（3）根据图象回答，当x在什么范围内取值时，函数y=﹣2x+6的图象在函数y=3x﹣4的图象的上方？15．用作图象的方法解方程组：．16．如图，直线l 1：y=3x+1与直线l 2：y=mx+n 相交于点P （1，b ）．（1）求b 的值；（2）不解关于x ，y 的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l 3：y=nx+m 是否也经过点P ？请说明理由．17．已知l 1：直线y=﹣x+3和l 2：直线y=2x ，l 1与x 轴交点为A ．求：（1）l 1与l 2的交点坐标；（2）经过点A 且平行于l 2的直线的解析式．。
北师大版八年级数学上册5.6.二元一次方程与一次函数共26张PPT
最后，找到两条直线交点坐标即为方程组的解
一次函数y=x+1和y=x-2的图像 利用图像法求二元一次方程组的解一般步骤：
(2)在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗?
两条直线重合，有
个交点；
（3）所以原方程组的解是：
是平行直线 由（1）得P（1，2），就是方程组的解
（3）直线l3：y=nx+m是否也 经过点P？请说明理由.
例2 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按
月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费 y （元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示.
(1)分别写出当0≤x≤15 和x＞15时，y与x的函数
关系式；
Y(元) 39
(2)若某用户十月份用 27
两条直线相交，有
个交点；
2、方程组
有
个解；
若两条直线平行，则二元一次方程组无解
y
4 3 2 1
y=x+1 y=x-2
思路l：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值．(因作图误差可能有较大差别)
x-y= -1 事实上只要通过移项便可得到 方程组 无解 分析：因为图像的交点坐标为P（-1,2），
x-y=2 点(0,5), (-2,7), (2,3) 在一次函数y=-x+5的图象上吗？
5.6. 二元一次方程与一次函数
1、方程组
x y 2 x y 5
有
1
2、方程组 3、方程组
x y 3 2 x 2 y 6
有
3x y 7
2 x y 5 有
0
无数
两条直线互相平行，有 0 个交点；
两条直线重合，有 无数 个交点；
两条直线相交，有 1 个交点；
北师大版初中数学八年级(上)备课资料5-6 二元一次方程与一次函数
6二元一次方程与一次函数典型例题题型一二元一次方程与一次函数表达式的互化例1有下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2y-x＝-2的解的是()解析：二元一次方程2y -x＝-2变形得一次函数y＝12x-1，当x＝0时，y＝-1；当y＝0时，x＝2，因此，函数y＝12x-1的图象过点(0，-1)，(2，0).故选C.答案：C例2直线l是以二元一次方程8x-4y＝5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵8x-4y＝5，∴y＝2x-5 4 .∵k＝2>0，b＝-54<0，∴图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限.故选B.答案：B题型二一次函数图象交点的坐标与二元一次方程组的解的关系的应用1.一次函数图象交点的坐标与二元一次方程组的解之间转化互求例3如图1，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组,y ax by kx=+⎧⎨=⎩的解是()A.3,1xy=⎧⎨=-⎩B.3,1xy=-⎧⎨=-⎩C.3,1xy=-⎧⎨=D.3,1xy=⎧⎨=⎩解析：由题图，知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P(-3，1)，即x＝-3，y＝1同时满足两个函数表达式，所以关于x、y的二元一次方程组,y ax by kx=+⎧⎨=⎩的解是3,1.xy=-⎧⎨=⎩故选C.答案：C例4若直线y＝3x+6与直线y＝2x+4的交点坐标为(a，b)，则解为,x ay b=⎧⎨=⎩的方程组是()A.36,24y xx y-=⎧⎨+=⎩B.360,240x yx y++=⎧⎨--=⎩C.360,240x yx y+-=⎧⎨+-=⎩D.36,24x yx y-=⎧⎨-=⎩解析：∵直线y＝3x+6与直线y＝2x+4的交点坐标为(a，b)，∴解为,x ay b=⎧⎨=⎩的方程组是36,24,y x y x =+⎧⎨=+⎩即360,240.x y x y +-=⎧⎨+-=⎩故选C. 答案：C2.根据二元一次方程(组)与一次函数的关系求字母参数的值例5 已知一次函数y ＝ax +2与y ＝kx +b ，且方程组2,ax y kx y b -=-⎧⎨-=-⎩的解为2,1,x y =⎧⎨=⎩一次函数y ＝k x +b 的图象与y 轴的交点为B (0， -1)，你能确定k ，a ，b 的值吗？分析：已知二元一次方程组的解，即可得出相应两个一次函数图象的交点坐标，由此可知，两个函数图象的交点坐标为(2，1)，可以求出a 的值，再结合B (0，-1)，即可求出k 和b 的值.解：设两个一次函数图象的交点为A .因为方程组2,ax y kx y b -=-⎧⎨-=-⎩的解是2,1,x y =⎧⎨=⎩所以相应两个一次函数图象的交点A 的坐标为(2，1)， 所以点A 在函数y ＝ax +2的图象上，所以2a +2＝1，a ＝-12. 因为点A (2，1)和B (0， -1)均在函数y ＝kx +b 的图象上，所以21,1,k b b +=⎧⎨=-⎩解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩题型三 用图象法解二元一次方程组例6 用图象法解方程组4,2 1.x y x y +=⎧⎨-=-⎩分析：将方程组中的两个方程分别化为函数表达式的形式，在同一坐标系中作出两个函数的图象，两个函数图象交点的横、纵坐标即为x ，y 的值.解：由x +y ＝4得y ＝4-x ，由2x -y ＝-1得y ＝2x +1.如图2所示，在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝4-x 和y ＝2x +1的图象.观察图象可得两函数图象的交点坐标为(1，3)，所以原方程组的解为1,3.x y =⎧⎨=⎩拓展资源二元一次方程组与一次函数我们知道，对于一个二元一次方程，通过适当的变形，即得一次函数的表达式，它们之间也存在着密不可分的联系，为了帮助同学们学习好二元一次方程与一次函数之间的联系，现提醒同学们在学习时应注意掌握以下几点：一、熟练掌握二元一次方程与一次函数之间的区别和联系二元一次方程与一次函数既有着本质的区别，又有着内在的联系.具体如下： 区别：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数则有两个变量；(2)二元一次方程有一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以是一个等式表示两个变量之间的关系，又可以是列表或图象来表示两个变量之间的关系.联系：(1)在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上.(2)以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的.二、知道两个一次函数图象的交点与二元一次方程组解的联系在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数图象的交点.如一次函数y ＝-2x +4与y ＝32x -132的图象的交点为(3，-2)，则3,2x y =⎧⎨=-⎩就是二元一次方程组24,3213x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，反之也成立. 三、正确理解当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数图象的位置关系当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的图象就没有交点，则两个一次函数图象就平行.反过来，当两个一次函数的图象平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组35,31x y x y -=⎧⎨-=-⎩无解，则一次函数y ＝3x -5与y ＝3x +1的图象就平行，反之也成立.四、会用作图的方法解二元一次方程组用作图的方法解二元一次方程组一般有下列几个步骤：(1)将相应的二元一次方程改写成一次函数的表达式；(2)在同一直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；(3)观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解.。
北师大数学八年级上册第五章5.6二元一次方程与一次函数
5.6二元一次方程与一次函数（解析）知识精讲一．二元一次方程组与一次函数的关系1．由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+．所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．2．一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标．三点剖析一．考点：1．二元一次方程组与一次函数的关系；二．重难点：1．二元一次方程组与一次函数的关系；三．易错点：解方程出错．二元一次方程组与一次函数的关系例题1、 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，得到两条直线平行，则此方程组（ ） A.无解 B.有唯一解 C.有无数个解 D.以上都有可能 【答案】 A【解析】 两直线平行，没有交点，所以由这两条直线的解析式建立的方程组无解，故答案为A 选项例题2、 若以二元一次方程x ＋2y －b ＝0的解为坐标的点（x ，y ）都在直线112y x b =-+-上，则常数b ＝（ ）A.12B.2C.－1D.1 【答案】 B【解析】 因为以二元一次方程x ＋2y －b ＝0的解为坐标的点（x ，y ）都在直线112y x b =-+-上，直线解析式乘以2得2y ＝－x ＋2b －2，变形为：x ＋2y －2b ＋2＝0， 所以－b ＝－2b ＋2， 解得：b ＝2．例题3、 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x ＋3与直线l 2：y ＝mx ＋n 交于点A （－1，b ），则关于x 、y的方程组3y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为（ ）A.21x y =⎧⎨=⎩B.21x y =⎧⎨=-⎩C.12x y =-⎧⎨=⎩D.12x y =-⎧⎨=-⎩【答案】 C【解析】 ∵直线l 1：y ＝x ＋3与直线l 2：y ＝mx ＋n 交于点A （－1，b ），∴当x ＝－1时，b ＝－1＋3＝2， ∴点A 的坐标为（－1，2），∴关于x 、y 的方程组3y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩．例题4、 如图，直线l 1：1y x =+与直线l 2：y mx n =+相交于点P （1，b ）．（1）求b 的值；（2）不解关于x ，y 的方程组1y x y mx n=+⎧⎨=+⎩，请你直接写出它的解；（3）直线l 3：y nx m =+是否也经过点P ？请说明理由．【答案】 （1）2b =（2）12x y =⎧⎨=⎩（3）经过【解析】 （1）∵（1，b ）在直线1y x =+上，∴当x =1时，112b =+=；（2）方程组的解是12x y =⎧⎨=⎩；（3）直线y nx m =+也经过点P ．理由如下：∵当1x =时，2y nx m m n =+=+=，∴（1，2）满足函数y nx m=+的解析式，则直线经过点P ．随练1、 直线1y x =-与直线25y x =-+的交点坐标是__________．【答案】 ()21，【解析】 一次函数的交点只需联立求解即可，得到125y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得，2x =，1y =．随练2、 如图的坐标平面上有四直线L 1、L 2、L 3、L 4．若这四直线中，有一直线为方程式3x －5y ＋15＝0的图形，则此直线为何？（ ）A.L 1B.L 2C.L 3D.L 4 【答案】 A【解析】 将x ＝0代入3x －5y ＋15＝0得：y ＝3， ∴方程式3x －5y ＋15＝0的图形与y 轴的交点为（0，3）， 将y ＝0代入3x －5y ＋15＝0得：x ＝－5，∴方程式3x －5y ＋15＝0的图形与x 轴的交点为（－5，0）， 观察图形可得直线L 1与x 、y 轴的交点恰为（－5，0）、（0，3）， ∴方程式3x －5y ＋15＝0的图形为直线L 1．随练3、 已知一次函数y=ax+2的图象与x 轴的交点坐标为（3，0），则一元一次方程ax+2=0的解为（ ） A.x=3 B.x=0 C.x=2 D.x=a 【答案】 A【解析】 根据题意当x=3时，y=0，即方程ax+2=0成立，则方程的解是x=3．课后练习1、 求一次函数y=3x ﹣1与y=2x 图像的交点坐标． 【答案】 （1，2）．【解析】 解方程组312y x y x =-=⎧⎨⎩得12x y ==⎧⎨⎩．所以一次函数y=3x ﹣1与y=2x 图像的交点坐标是（1，2）．2、 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，得到两条直线平行，则此方程组（ ） A.无解 B.有唯一解 C.有无数个解 D.以上都有可能 【答案】 A【解析】 两直线平行，没有交点，所以由这两条直线的解析式建立的方程组无解，故答案为A 选项． 3、 若点（m ，n ）在函数y=2x+1的图像上，则代数式4m ﹣2n+1的值是（ ）A.1B.﹣1C.2D.﹣2 【答案】 B【解析】 ∵点（m ，n ）在函数y=2x+1的图像上， ∴2m+1=n ，即2m ﹣n=﹣1，∴4m ﹣2n+1=2（2m ﹣n ）+1=2×（﹣1）+1=﹣1． 故选B ．4、 函数y ax =与函数23y x b =+的图像如图所示，则关于x 、y 的方程组0323ax y y x b -=⎧⎨-=⎩的解是__________．【答案】 12x y =⎧⎨=⎩【解析】 方程组的解即为函数图象交点的坐标，∴方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩．5、 在直角坐标系中直接画出函数y x =的图象；若一次函数y kx b =+的图象分别过点()11A -，，()22B ，，请你依据这两个函数的图象写出方程组||y x y kx b =⎧⎨=+⎩的解．【答案】 22x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩【解析】 如图；由图象可知，两个函数的交点坐标为()22，和()11-，； ∴方程组||y x y kx b =⎧⎨=+⎩的解为22x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩．6、 已知某直线经过点A （0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是 ．【答案】 y=x+2或y=﹣x+2．【解析】 解：设直线解析式为y=kx+b ， 把（0，2）代入得b=2， 所以y=kx+2，把y=0代入得x=﹣2k，所以12×2×|﹣2k |=2，解得：k=1或﹣1，所以所求的直线解析式为y=x+2或y=﹣x+2． 故答案为：y=x+2或y=﹣x+2．7、 如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （3，0），连接AB ，将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A ′处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ，求直线BC 的解析式．【答案】 1322y x =-+【解析】 ∵A （0，4），B （3，0），∴4OA =，3OB =，在Rt △OAB 中，22=5AB OA OB =+，∵△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A ′处，∴5BA BA '==，CA CA '=，∴532OA BA OB '='-=-=，设OC t =，则4CA CA t ='=-，在Rt △OA ′C 中，∵222OC OA CA +'='，∴()22224t t +=-，解得32t =，∴C 点坐标为（0，32），设直线BC 的解析式为y kx b =+，把B （3，0）、C （0，32）代入解得直线BC 的解析式为1322y x =-+．故答案为：1322y x =-+．。
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5.6二元一次方程组与一次函数
专题 二元一次方程组与一次函数关系的应用（附答案）
1. 甲、乙两车从A 地将一批物品匀速运往B 地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B 地．如图，线段OP 、MN 分别表示甲、乙两车离A 地的距离s(千米)与时间t （小时）的关系，a 表示A 、B 两地间的距离．请结合图象中的信息解决如下问题：
(1)分别计算甲、乙两车的速度及a 的值；
(2)乙车到达B 地后以原速立即返回，请问甲车到达B 地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A 地？并在图中画出甲、乙在返回过程中离A 地的距离s （千米）与时间t （小时）的函数图象．
2. 小华观察钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观察.为了研究方便，他将分针与原始位置OP （图2）的夹角记为y 1度，时针与原始位置OP 的夹角记为y 2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t 分钟，观察结束后，他利用所得的数据绘制成图象（图3），
并求出了y 1与t 的函数关系式：
16(030)6360(3060)t t y t t ⎧=⎨-+⎩
＜≤≤≤. 请你完成：
（1）求出图3中y 2与t 的函数关系式；
（2）直接写出A 、B 两点的坐标，并解释
这两点的实际意义；
（3）若小华继续观察一小时，请你在图3
中补全图象.
答案：
1．解：（1）由题意知，甲的速度为405.160=km/h ，乙的速度为605
.05.160=-km/h. 设甲到达B 地的时间为t ，则⎩
⎨⎧=-=,3060,40a t a t 解得t=4.5，a=180. （2）如图，线段PE 、NE 分别表示甲、乙两车返回时离A 地的距离s （千米）与时间 （小时）的关系，点E 的横坐标为：18020.5 6.560
⨯+=，若甲、乙两车同时返回A 地， 则甲返回时需用的时间为：1806.5240
-=（小时），∴甲返回的速度为90k
m /h. 图象如图所示．
2．解：（1）由图3可知：y 2的图象经过点（0,60）和（60,90），设y 2=at+b ，则
0606090a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得1260
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. ∴图3中y 2与t 的函数关系式为：y 2=
12t+60. （2）A 点的坐标是A （12011,72011），点A 是6(030)y t t =≤≤和y 2=12
t+60的交点；B 点的坐标是B （60013,108013），点B 是6360(3060)y t t =-+＜≤和y 2=12
t+60的交点. （3）补全图象如下：。