第12章小结与复习 大赛获奖教学课件

针对训练
6.求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解. 解：原方程可化为-5x+5=0,解得x=1. 7.已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值. 解：∵x2+9y2+4x-6y+5=0, ∴(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，
∴(x+2)2+(3y-1)2=0.∴x+2=0,3y-1=0,解得x=-2, y= 1 , 3
【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件， 第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几 个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式； （2）判断过程要从左到右保持恒等变形.
解：（1）不是，因为最后不是做乘法运算，不是积的形式； （2）不是，因为从左边到右边是做乘法运算； （3）是； （4）不是，因为令x=2,y=1,左边=10，右边=32，不是恒等变形.
4．整式的除法 (1)单项式除以单项式 单项式相除，把 系数 、 同底数幂 分别相除作为商的 因式 ， 对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一 个 因式 . (2)多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式， 再把所得的商 相加 . [点拨] 多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式 除以单项式．
针对训练
4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为 a2-2b+1 .
5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A，得商为2x，余式为x-1，
则这个多项式是
x2 2x 1 2
.
考点三 整式的乘法公式的运用
例3 先化简,再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中x=3,y=1.5. 【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号内的，再 进行整式的除法运算. 解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x
8．因式分解的步骤 (1)如果多项式的各项有公因式，那么先 提取公因式 ； (2)在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，观察多 项式的次数：二项式可以尝试运用 平方差 公式分解因式；三 项式可以尝试运用两数和(差)的公式分解因式； (3)分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能
再分解 为止．
方法总结 在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代
数式看做一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题， 可以简化计算过程，且不易出错.
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10.若xn=5，则（x3n）2-5（x2）2n= 12500 .
11.若x+y=2，则 1 x2 xy 1 y2 = 2 .
2
2
数形结合思想
=(2x2-2xy) ÷2x
=x-y. 当x=3,y=1.5时，原式=3-1.5=1.5.
方法总结 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全
平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全 平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构 特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.
例7 如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，
把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面
积，验证公式是 a2-b2=(a+b)(a-b) . b
b
b
b
a
bb a-b
a
a
a
【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴 影 部分可知其面积是两个正方形的面积差（a2-b2),又由于图的 梯形的上底是是2b,下底是2a,高为a-b,所以梯形的面积是 （2a+2b)(a-b) ÷2=(a+b)(a-b),根据面积相等，得乘法公式 a2-b2=(a+b)(a-b).
（2）原式=（-8）×（-8）2015 ×（0.125）2015 =（-8）[（-8） ×0.125]2015 =（-8）×（-1）2015=8.
方法总结
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的 乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式 乘除及因式分解的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负 数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.

2 5

a12
b31
c 12 a3b4c. 5
（2）原式=（-2x）·（-6x3）+5·（-6x3）+x2·（-6x3）
=12x4-30x3-6x5.
方法总结
将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中
转化
数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式 单项式
×多项式
转化
项 完全相同 ，另一项
结构特 点
互为相反数 ； ②右边
是 二 项式，是乘式中两
(或差)的 平方 ；②右边是 三 项式，是左边二项式中
两项的 平方和 ，再 加上 (或
项的 平方差 ，即相同项的 减去)它们 积 的2倍.
平方与相反项的平方的差.
顺口溜
和差积，平方差
首平方，尾平方，首尾 两 倍 中间放，加减看前方，同加 异减
公式的常 a2＝ (a＋b) (a－b)＋b2； a2＋b2＝(a＋b)2－ 2ab , 或(a－b)2＋ 2ab ；
用变形 b2＝ a2 －(a＋b)(a－b). (a＋b)2＝(a－b)2＋ 4ab .
[点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公 式的主要作用是简化运算；
(2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多 项式．
考点五 本章数学思想和解题方法
转化思想
例5
计算：(1)-2a·3a2b3·
2 5
bc
(
;
(2)（-2x+5+x2）·（-6x3）.
【解析】(1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的乘法和同底
数幂的乘法；(2)多项式乘以单项式可以转化为单项式乘以单项
式.
解：（1）原式=

2

3
∴ xy (2) 1 2 .
33
考点四 因式分解
例4 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a; (2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10; (3)x2-6x+9=(x-3)2; (4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.
针对训练
1.下列计算不正确的是（ D ） A.2a3 ÷a=2a2 C. a4 ·a3=a7
B. (-a3)2=a6 D. a2 ·a4=a8
2. 计算：0.252015 ×（-4）2015-8100 ×0.5301. 解:原式=[0.25 ×（-4）]2015-（23）100 ×0.5300 ×0.5
字母，还可以是一个任意的代数式；(2)这几个法则容易混淆， 计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．
2．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 相同字母的幂 分别 相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一 起作为积的一个 因式 . 单项式与多项式相乘，用 单项式 和 多项式 的每一项分别相 乘，再把所得的积 相加 . 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 与另一个 多项式的 每一项 相乘，再把所得的积 相加 .
3．乘法公式 公式名称 两数和乘以这两数的差
两数和(差)的平方
两数和(差)的平方，等
两数和与这两数的差的积，于这两数的 平方和 加
文字表示
等于这两数的平方差
上(减去) 这两数积 的2
倍
式子表示 (a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
①左边是两个 二 项式相 乘，这两个二项式中有一 ①左边是一个 二 项式的和
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
=
2 3
xy

2 3
.
当x=1,y=3时，原式=
2 3
xy
2 3

2 1 3 3
2 3

4
3.
方法总结 整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多
项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以 单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练 掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再 算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.
(n为正整数)
同底数幂的 除法
同指底数数相幂减相. 除，底数不变，a(整ma÷≠数a0，n,＝m且、amm＞－n为nn)正
相同点 运算中的底数不变，只对 指数 运算
不同点
（1）同底数幂相乘是指数 相加 （2）幂的乘方是指数 相乘 （3）积的乘方是每个因式分别 乘方 （4）同底数幂相除是指数 相减
[注意] (1)其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的
方法总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与 整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公 式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因 式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.
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8.下列变形，是因式分解的是（ C ） A. a(x+y)=ax+ay B. x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1) C. am2-a=a(m+1)(m-1) D. m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3.