球的表面积与体积
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
如何计算球的体积和表面积
如何计算球的体积和表面积计算球的体积和表面积球是数学中一个常见的几何体，它在现实生活中也有很多应用。
无论是在数学课上还是在实际问题中，计算球的体积和表面积都是必不可少的。
下面将分别介绍如何计算球的体积和表面积。
一、计算球的体积球的体积是指球内所有点所组成的空间，通常用单位体积所包含的球半径为1的球数量来表示。
计算球的体积的公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π表示圆周率（取近似值3.14159），r表示球的半径。
例如，如果球的半径为5米，那么可以按照上述公式进行计算：V = (4/3)π(5²) = (4/3)π(25) ≈ 523.6因此，球的体积约为523.6立方米。
二、计算球的表面积球的表面积是指球球面的总面积。
球的表面积计算公式如下：S = 4πr²其中，S表示球的表面积，π表示圆周率（取近似值3.14159），r 表示球的半径。
以球的半径为5米为例，可以按照上述公式进行计算：S = 4π(5²) = 4π(25) ≈ 314.16因此，球的表面积约为314.16平方米。
总结：计算球的体积和表面积是常见的数学问题。
通过上述计算公式，可以得到准确的结果。
需要注意的是，在实际问题中，可能会有其他要求和约束，需要根据具体情况进行相应的计算。
在应用中，还可以使用数值计算工具或计算器来进行球的体积和表面积的计算，以提高效率和准确性。
结论通过以上的介绍，我们可以了解如何计算球的体积和表面积。
对于数学学科来说，掌握如何计算球的体积和表面积是基础的知识点，也是应用数学的实际需求。
无论是在学术研究中还是在实际工作中，了解和应用这些计算方法都是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者能够掌握如何进行球的体积和表面积的计算。
球体的表面积和体积计算
球体的表面积和体积计算球体是一种简单而常见的几何图形，它具有很多独特的性质和特点。
在数学和物理学中，计算球体的表面积和体积是一个基本而重要的问题。
在本文中，我们将介绍如何准确计算球体的表面积和体积。
一、球体的表面积计算公式要计算球体的表面积，我们可以使用以下公式：S = 4πr²其中，S表示球体的表面积，π是圆周率（约为3.14159），r是球体的半径。
这个公式的推导过程较为复杂，我们可以简单解释一下。
我们可以将球体看作由无数微小的面元组成，每个面元都是一个微小的圆形。
球体的表面积就是这些微小圆形的面积之和。
而每个微小圆形的半径都等于球体的半径r，因此我们可以将每个微小圆形的面积表示为πr²。
最后，将所有的微小圆形面积之和即得到了球体的表面积。
二、球体的体积计算公式要计算球体的体积，我们可以使用以下公式：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π是圆周率，r是球体的半径。
这个公式的推导也较为复杂，我们可以简单解释一下。
我们可以将球体看作无数个微小的圆柱体叠加而成。
每个微小圆柱体的体积可以表示为πr²h，其中h是圆柱体的高度，也就是球体半径r对应的微小圆柱体的高度。
由于球体是各向同性的，每个微小圆柱体的高度都等于r。
因此，我们将微小圆柱体的体积表示为πr²r，即πr³。
最后将所有微小圆柱体的体积之和即得到了球体的体积。
三、实例应用假设我们需要计算一个半径为5cm的球体的表面积和体积。
根据上述公式，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 计算表面积：S = 4πr²= 4 × 3.14159 × 5²≈ 314.159 cm²2. 计算体积：V = (4/3)πr³= (4/3) × 3.14159 × 5³≈ 523.599 cm³因此，半径为5cm的球体的表面积约为314.159 cm²，体积约为523.599 cm³。
球的体积和表面积
球的体积和表面积球是一种立体几何体，具有特殊的性质。
在数学中，球的体积和表面积是球的基本属性，也是许多实际应用中需要计算的重要参数。
球的体积球的体积是指球所占据的空间大小。
我们可以使用以下公式来计算球的体积：V = (4/3) * π * r³其中，V代表球的体积，π是一个常数，约等于3.14159，r代表球的半径。
通过这个公式，我们可以根据给定的半径，准确地计算出球的体积。
需要注意的是，球的半径必须为正数，否则计算结果将没有实际意义。
球的表面积球的表面积是指球的外表面积大小。
我们可以使用以下公式来计算球的表面积：A = 4 * π * r²其中，A代表球的表面积，π是一个常数，约等于3.14159，r代表球的半径。
与计算球的体积类似，根据给定的半径，我们可以准确地计算出球的表面积。
同样，球的半径必须为正数，否则计算结果将失去实际意义。
数值计算示例为了更好地理解球的体积和表面积的计算方法，这里给出一个数值计算示例。
假设球的半径为5cm，我们可以使用上述公式来计算球的体积和表面积。
首先计算球的体积：V = (4/3) * π * (5)^3 ≈ 523.6cm³接下来计算球的表面积：A = 4 * π * (5)^2 ≈ 314.2cm²因此，对于半径为5cm的球，它的体积约为523.6cm³，表面积约为314.2cm²。
应用举例球的体积和表面积在实际应用中具有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用举例。
1.工程建设：在建筑和土木工程中，球的体积和表面积的计算可以用于设计和规划工程中的圆形结构，例如球形储罐或建筑物的圆顶。
2.3D建模：在计算机图形学和动画领域，球的体积和表面积的计算可以用于生成和渲染球形对象，例如球体模型或球形特效。
3.物体密度计算：球的体积可以用于计算物体的密度。
通过测量物体的质量和体积，可以计算物体的密度，进而了解物体的物理性质。
球的表面积与体积
1. 球的体积
4 3 定理：半径为R的球的体积是 V R 3
知识新授
例1.有一种空心钢球，质量为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
答案：4.5
2. 球的表面积
o
定理：半径为ห้องสมุดไป่ตู้的球的表面积是
S 4 R
2
例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
O (2)
例3.一个正方体的顶点在球面上，它的棱长 为4cm，求这个球的体积和表面积。
C′
o
A
课堂练习
P32 练习
1， 2 ， 3
课后作业
P33 习题1.3
B组
1
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欢，蚰蜒蝎子赶上山！这句俗语寓意着，三月三是一个万象更新的好日子！这一日的到来，预示着整整一个严冬已经过 去，新的一年从此开始了！那一日，故乡的天空湛蓝湛蓝的，不时有成群的鸽子飞过。金色的阳光暖暖地普照着大地。 大路边上一排排的杨树和柳树，已经冒出了碧绿的新芽，漂亮的大喜鹊成双成对地雀跃在枝头上欢唱着。远处的几棵杏 子树，已经穿上了淡粉色的盛装；更远处的一大片桃树，似乎都在含苞待放了„„随着阵阵微风轻柔地拂面而来，让人 能够闻得到漫山遍野上飘逸着的那复苏泥土沁人心肺的清香。路旁田埂上齐刷刷新出土的小草在微风中轻轻地摆动着， 一丛丛一片片迎春的二月兰已经绽放开了她们那淡紫色的笑脸，黄澄澄的蒲公英花儿安逸地点缀在绿茸茸的草地间„„ 这一切，曾经是耿正兄妹三人最喜欢的乡野风景啊！但今天，他们却无心欣赏„„日头即将到半上午时，骡车终于慢慢 悠悠地走到了右转弯路口。只要转过这个路口，就走上五道庙前的那条西行大道了！“喔—”耿正轻抖缰绳吆喝一声， 大白骡驾着骡车转上宽阔的东西向大道，依然还是慢慢地向东走去„„骡车走得太慢了，徒步跟在车后的一高一中一矮 三个中年男人只能慢慢地走着才不至于超过去。事实上，今儿一早耿正兄妹三人乘坐大骡车离开客栈之后仅走了几十步 远时，这三个人就从后面左侧的岔道上追上来了。不过，要说“追”也并不恰当，只是他们三个人走路的速度比大白骡 还要快很多，所以，他们与骡车之间相隔的距离就越来越近了而已。到相隔仅有十多步远的时候，其中的那个矮个子说： “真晦气，怎么是挂送灵车。咱们快些走，超过去！”说着，就甩膀子迈大步要快走的样子。那个高个子赶快伸手拉住 他，并且低声说：“嘘，小声点儿说话！你们看，这挂车看上去不轻，后面还装了两袋草料，还有那把铁锹，看起来是 赶远路的呢！”矮个子也放低了声音说：“管他是赶近路的还是赶远路的，反正是一挂晦气的送灵车„„”不等他继续 说下去，高个子就皱起眉头有些不耐烦地瞪了他一眼，低声说：“你怎么就不用脑子想一想啊，这天气已经热起来了， 拉个死人，还不早臭了！”听他这么说，一直没有开口说话的那个中个子男人就伸长脖子张大鼻孔用劲吸了几下，然后 放低嗓音对高个子说：“是啊，大哥，怎么一点儿味儿也没有啊？”矮个子也赶快用劲吸几下，恍然大悟一般悄声说： “真是没有臭味儿，难道说他们拉的不是死人！”高个子摇摇手不让他们继续说下去，小声说：“咱们就跟在后面，看 他们去哪里。等晚上住进了客栈以后，咱再想办法看个究竟。依我看，说不准儿是一桩大买卖呢！”三个家伙会心地相 互眨眨眼轻轻地窃笑了一下，就放慢脚步跟在骡车的后面，看似很轻松地溜
球体的表面积和体积计算
球体的表面积和体积计算球体是一种几何体，具有独特的形状和特点。
计算球体的表面积和体积是数学中的基本问题之一。
本文将详细介绍如何准确计算球体的表面积和体积。
一、球体的表面积计算表面积是指球体上所有表面的总面积。
对于球体，其表面积的计算公式如下：A = 4πr²其中，A代表表面积，π代表圆周率（取近似值3.14159），r代表球体的半径。
在计算球体表面积时，首先需要确定球体的半径，然后将半径代入表面积公式进行计算。
下面通过一个例子来说明具体的计算步骤。
例：计算半径为5 cm的球体的表面积。
解：根据公式A = 4πr²，将r替换为5，得到A = 4π(5)² = 4π(25) = 100π cm²。
所以，半径为5 cm的球体的表面积为100π cm²。
二、球体的体积计算体积是指球体的内部空间容纳的大小。
对于球体，其体积的计算公式如下：V = (4/3)πr³其中，V代表体积，π代表圆周率，r代表球体的半径。
在计算球体的体积时，同样需要确定球体的半径，然后将半径代入体积公式进行计算。
下面通过一个例子来说明具体的计算过程。
例：计算半径为2 m的球体的体积。
解：根据公式V = (4/3)πr³，将r替换为2，得到V = (4/3)π(2)³ =(4/3)π(8) = (32/3)π m³。
所以，半径为2 m的球体的体积为(32/3)π m³。
综上所述，球体的表面积和体积的计算公式为A = 4πr²和V =(4/3)πr³。
通过确定球体的半径，将半径代入相应的公式中，即可准确计算出球体的表面积和体积。
提示：在实际问题中，有时需要对球体进行单位转换。
例如，将球的半径从厘米转换为米，需要注意单位换算的正确性。
此外，在使用计算器进行计算时，应尽量保留较精确的数值，只在最后的结果中进行取舍。
请根据实际情况灵活运用上述公式，准确计算球体的表面积和体积。
球的体积与表面积公式
球的体积与表面积公式球体是一种三维几何体，其特点是每一点到中心点的距离都相等。
计算球的体积和表面积是在数学和几何学中的基本问题。
本文将介绍球的体积和表面积的计算公式，并且通过实例演示如何应用这些公式进行计算。
一、球的体积公式球体的体积是指球内部所占据的空间大小，用于描述球体的容积。
球的体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π是一个数学常数，近似值为3.14159，r 表示球的半径。
例如，如果已知一个球的半径为5单位长度，我们可以使用体积公式计算该球的体积。
V = (4/3)π(5)³≈ 523.6因此，该球的体积近似为523.6个单位体积。
二、球的表面积公式球体的表面积是指球的外部曲面的总面积，用于描述球的大小。
球的表面积公式如下：A = 4πr²其中，A表示球的表面积，π是一个数学常数，近似值为3.14159，r表示球的半径。
举个例子，如果已知一个球的半径为5单位长度，我们可以使用表面积公式计算该球的表面积。
A = 4π(5)²≈ 314.159因此，该球的表面积近似为314.159个单位面积。
三、应用实例为了更好地理解球的体积和表面积公式的应用，我们举个具体的实例。
假设有一个网球，其半径为3.5单位长度，我们可以通过体积公式计算该网球的体积。
V = (4/3)π(3.5)³≈ 179.592因此，该网球的体积近似为179.592个单位体积。
同时，我们可以通过表面积公式计算该网球的表面积。
A = 4π(3.5)²≈ 153.937因此，该网球的表面积近似为153.937个单位面积。
这个实例向我们展示了如何使用球的体积和表面积公式进行计算。
通过掌握这些公式，我们可以方便地计算不同半径的球体的体积和表面积，为实际问题解决提供了数学工具和便利。
总结：本文介绍了球的体积和表面积的公式，并通过实例演示了如何应用这些公式进行计算。
球体的体积与表面积关系
球体的体积与表面积关系球体是一种几何体，具有圆心和半径。
球体的体积与表面积是球体的两个重要属性，它们之间有一定的关系。
本文将探讨球体的体积与表面积的关系，并从几何角度解释其原因。
我们来定义球体的体积和表面积。
球体的体积是指球体所包围的空间大小，通常用单位立方米（m³）表示。
球体的表面积是指球体外部所覆盖的面积，通常用单位平方米（m²）表示。
假设球体的半径为r，根据球体的定义可知，球体的体积可以通过以下公式计算：V = (4/3)πr³同样地，球体的表面积可以通过以下公式计算：S = 4πr²现在，我们来探讨球体的体积与表面积之间的关系。
观察上述两个公式，我们可以发现球体的体积和表面积都与半径r有关。
但是，它们的关系并不是简单的线性关系，而是一种非线性关系。
首先来看球体的体积与半径r的关系。
从上述公式V = (4/3)πr³可以看出，球体的体积与半径r的立方成正比。
也就是说，当半径r 增加一倍时，球体的体积将增加8倍。
这是因为球体的体积是由半径的立方决定的，即半径的三次方。
所以，球体的体积增长速度比半径的增长速度要快得多。
接下来来看球体的表面积与半径r的关系。
从上述公式S = 4πr²可以看出，球体的表面积与半径r的平方成正比。
也就是说，当半径r 增加一倍时，球体的表面积将增加4倍。
这是因为球体的表面积是由半径的平方决定的，即半径的二次方。
所以，球体的表面积增长速度比半径的增长速度要慢一些，但仍然是正比关系。
球体的体积与表面积之间存在着一种非线性关系。
球体的体积与半径的立方成正比，而表面积与半径的平方成正比。
这意味着当半径增加时，球体的体积增长得更快，而表面积增长得更慢。
例如，当半径从1米增加到2米时，球体的体积将增加8倍，而表面积只增加4倍。
这种非线性关系可以从几何角度进行解释。
球体的体积是由球体内部所包围的空间大小决定的，而表面积是由球体外部所覆盖的面积决定的。
圆球的表面积公式和体积公式
圆球的表面积公式和体积公式
圆球的表面积公式和体积公式是指一个圆球的表面积和体积可以用统一的公式来计算，它是几何数学中最重要的几何体之一，广泛应用于生活中。
一般来说，圆球是一种近似球形的物体，它的表面是圆形的，其中只有一个中心点，中心点到表面的距离称为半径r。
根据三角函数的基本性质可知，一个圆的面积和周长都可以用圆的半径r来表示。
因此，圆球的表面积S和体积V可以分别用下面的公式来计算：
圆球的表面积公式：S=4πr²
圆球的体积公式：V=4/3πr³
其中，S表示圆球的表面积，V表示圆球的体积，r表示圆球的半径，π表示圆周率（取值为
3.1415926……）。
同时，我们也可以用另一种方法来计算圆球的表面积S和体积V，即把圆球看作由多个小圆块组成的。
这样，我们可以用如下的公式来计算圆球的表面积S和体积V：圆球的表面积公式：S=2πr(h+r)
圆球的体积公式：V=(4/3)πr³
其中，h表示圆球的高度，r表示圆球的半径，π表示圆周率（取值为3.1415926……）。
此外，圆球的表面积S和体积V也可以通过立体几何的原理来计算。
例如，我们可以把圆球看作由三棱锥和六棱柱组成的，并利用三棱锥和六棱柱的体积公式来计算圆球的表面积S和体积V。
总之，圆球的表面积S和体积V可以用多种方法来计算，从最常见的公式法到更复杂的几何原理法，只要能正确的把握公式和原理，就可以很容易的计算出圆球的表面积S和体积V。
球的体积与表面积的计算
球的体积与表面积的计算在数学中，球是一个非常重要的几何体，它具有许多独特的性质和特点。
球的体积和表面积是我们经常需要计算的问题之一。
在本文中，我将向大家介绍如何计算球的体积和表面积，并通过一些实例来加深理解。
一、球的体积计算球的体积是指球内部所包含的空间大小。
我们可以使用以下公式来计算球的体积：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π是一个数学常数，约等于3.14，r表示球的半径。
举个例子，如果一个球的半径为5厘米，那么我们可以使用上述公式来计算它的体积：V = (4/3) ×3.14 × 5³ ≈ 523.33立方厘米所以，这个球的体积约为523.33立方厘米。
二、球的表面积计算球的表面积是指球的外部曲面的总面积。
我们可以使用以下公式来计算球的表面积：A = 4πr²其中，A表示球的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14，r表示球的半径。
让我们通过一个例子来计算球的表面积。
假设一个球的半径为10厘米，我们可以使用上述公式来计算它的表面积：A = 4 × 3.14 × 10² ≈ 1256平方厘米所以，这个球的表面积约为1256平方厘米。
三、实际应用举例球的体积和表面积的计算在日常生活中有许多实际应用。
例如，当我们购买一个水池或者鱼缸时，我们需要知道它的容量，这就需要计算出一个球形容器的体积。
另外，当我们制作一个球形蛋糕或者球形巧克力时，我们需要知道表面积来确定所需的材料。
举个例子，假设我们要制作一个直径为20厘米的巧克力球，我们可以先计算出它的体积：V = (4/3) × 3.14 × 10³ ≈ 4188.79立方厘米然后，我们可以计算出它的表面积：A = 4 × 3.14 × 10² ≈ 1256平方厘米通过这些计算，我们可以确定所需的巧克力量和材料，以便制作出完美的巧克力球。
球的表面积与体积
O
例2. 将一个气球的半径变为原来的2倍， 则它的表面积与体积如何变化？
例3. 三个球的表面积之比为1：2：3，则
它们的体积之比是多少？
C′
o
A 若正方体的顶点在球面上，我们把这个正方体 叫做球的内接正方体，或把这个球叫做正方体 的外接球 外接球的直径等于它的内接正方体的对角线
D′ A′ B′
C′
o
D
C
A B 若一个球在正方体的内部，且与正方体的每个面 都相切，我们把这个正方体叫做球的外切正方体， 或者把这个球叫做正方体的内切球 内切球的直径等于它的外切正方体的棱长
例4 求正方体的内切球和外接球的体积 之比。
例5 一个与球心距离为2的平面截球所 得的面积为π，则求球的表面积；
在球内相距1cm的两个平行平面，截球所得的截面 圆的面积分别是5 cm2和8 cm2 ，球心不在两截 面之间，求球的表面积
球ห้องสมุดไป่ตู้体积和表面积
球的特殊性
球的三视图都是全等的圆；
球的截面都是圆面，其中过球心的截面面 积最大 球可以看成是空间里，到定点距离小于等 于定长的点的集合
1. 球的体积
定理：半径为R的球的体积是
4 3 V R 3
2. 球的表面积
定理：半径为R的球的表面积是
S 4R
2
例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径, 求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱表面积的三分之二.
o1 o2
B
A
o1
o2
B A
o
o
球的表面积体积公式
球的表面积体积公式球的表面积体积公式是有关球体物理学上最基本的几何概念之一。
它指的是由一个定义在三维空间中的球所围成的外形，拥有一个完整的表面，并且拥有一个确定的体积。
由于球体的特殊性，它们可以被用来描述很多自然界中的物体，例如地球、月球、火星、行星、星云等，而球的表面积体积公式可以用来计算它们的表面积和体积。
球的表面积体积公式是由法国数学家拉格朗日在1700年代提出的，它表示球体的表面积S和它的体积V的关系，即:S=4πR² (1) V= 4/3πR³ (2)其中R为球的半径。
从数学角度来看，球的表面积体积公式的推导是基于变分原理的：假设存在一个球体的表面，其体积为V，这时将该球体的表面分割成许多小的正方体，每个小正方体的体积都相同，假设为dV，那么该球体的表面积S就可以写成以下形式：S=∫dS = ∫n dS (3)其中n表示正方体的数量，dS为每个正方体的表面积，分析可知，dS可表示为：dS = 6dV (4)将（3）式代入（4）式，可得：S=6∫dV (5)现在，要求求得球体的表面积，只需要求得该球体的体积，将其代入（5）式即可。
接下来，要求得球体的体积V，可以采取积分的方法：V=∫dV (6)将球体的半径R代入（6）式，可得：V=∫R²sinθdφdθ (7)将（7）式积分，可得：V= 4/3πR³ (8)将（8）式代入（5）式，可得：S=4πR² (9)将（9）式代入（1）式，可得：S=4πR² (10)由此可见，球的表面积体积公式S=4πR²和V=4/3πR³是由变分原理推导出来的，其中R为球的半径，π为常数π，它们可以用来计算球体的表面积和体积。
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
球的体积与表面积
球的体积与表面积球是一种具有特殊几何形状的立体物体，其具有许多重要的性质和特点。
其中，球的体积和表面积是我们常常涉及到的概念，并且在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将对球的体积与表面积进行详细的论述，以便更好地理解和应用这些概念。
一、球的体积球的体积是指球所占据的三维空间的大小，可以用单位立方长度来进行度量。
球的体积计算公式是根据球的半径来推导的，即V =(4/3)πr³，其中V表示体积，π是一个常数，近似等于3.14159，r表示球的半径。
通过这个公式，我们可以很方便地计算任意大小的球的体积。
例如，如果给定一个球的半径r为5cm，那么可以通过代入公式计算出这个球的体积V = (4/3)π(5)³ ≈ 523.6cm³。
需要注意的是，球的体积与半径之间存在着立方关系。
也就是说，如果我们将球的半径增加一倍，那么球的体积就会增加8倍。
这种关系在实际应用中非常有用，可以帮助我们理解和预测球的性质。
二、球的表面积球的表面积是指球的外侧表面的大小，可以用单位面积来进行度量。
球的表面积计算公式也是根据球的半径来推导的，即A = 4πr²，其中A表示表面积，π是一个常数，近似等于3.14159，r表示球的半径。
同样地，我们可以利用这个公式来计算任意大小的球的表面积。
例如，给定一个球的半径r为5cm，代入公式可以计算得到球的表面积 A = 4π(5)² ≈ 314.16cm²。
和球的体积一样，球的表面积也与半径之间存在着平方关系。
也就是说，如果我们将球的半径增加一倍，那么球的表面积就会增加4倍。
这个关系在物理学和工程学中经常被使用，有助于我们设计和评估球状物体的性能。
三、体积与表面积的关系球的体积和表面积是密切相关的，两者之间存在着一定的数学关系。
具体来说，球的体积和表面积之间的比值是常数，被称为球的体积-表面积比。
球的体积-表面积比的推导可以通过球的体积和表面积公式来完成。
球的表面积和体积
球的表面积和体积球是几何形体中的一种，具有较为简单的形状，但却有着丰富的数学性质和物理特征。
其中，球的表面积和体积是球的两个最基本的属性，它们不仅在数学和物理学中有着广泛的应用，也在日常生活中有着实际的意义。
本文将从数学的角度出发，详细论述球的表面积和体积的计算方法以及它们在现实中的应用。
一、球的表面积对于一个球体而言，其表面积代表了球体的外部区域的大小。
为了计算球体的表面积，我们首先需要了解球的半径。
球体的半径是从球心到球面上任意一点的距离。
根据数学原理，球的表面积可以通过以下公式进行计算：表面积= 4πr²其中，π是一个固定的常数，约等于3.14159，r表示球体的半径。
该公式表明，球的表面积与半径的平方成正比。
例如，假设球的半径为10 cm，那么我们可以通过公式计算出球的表面积：表面积= 4π(10)² = 4π(100) ≈ 1256.64 cm²因此，该球的表面积约为1256.64平方厘米。
二、球的体积球的体积表示了球体内部所包含的空间大小。
球体的体积计算也依赖于球的半径。
根据数学原理，球的体积可以通过以下公式进行计算：体积= (4/3)πr³公式中，π代表圆周率，r表示球体的半径。
由该公式可知，球的体积与半径的立方成正比。
以半径为10 cm的球体为例，我们可以使用上述公式计算球的体积：体积= (4/3)π(10)³ = (4/3)π(1000) ≈ 4188.79 cm³因此，该球的体积约为4188.79立方厘米。
三、球的表面积和体积的应用球的表面积和体积在现实生活中具有广泛的应用。
举例来说：1. 建筑工程：在建筑设计中，球体常出现在建筑造型和结构设计中。
通过计算球的表面积和体积，可以帮助建筑师更好地把握建筑空间和结构布局，提高建筑的美观性和可持续性。
2. 地理测量：在地理测量中，球体被用作地球的模型。
通过计算地球的表面积和体积，可以帮助地理学家了解地球的具体尺寸和特征，从而推导出更多关于地球的信息。
圆球的体积与表面积
圆球的体积与表面积对于一个圆球来说，它的体积和表面积是直接相关的。
体积是指圆球所占据的三维空间的大小，而表面积则是圆球外表面的面积。
在本文中，将详细探讨圆球的体积和表面积之间的数学关系，并介绍如何计算和应用这些概念。
一、圆球的体积要计算一个圆球的体积，我们需要知道它的半径。
半径是指从圆球的中心到球面上任意一点的距离。
假设圆球的半径为r，则它的体积可以通过下面的公式计算：V = (4/3)πr³其中，V表示圆球的体积，π约等于3.14159。
这个公式可以从球体的几何性质推导得出，具体的证明过程可以参考数学教材或相关资料。
需要注意的是，计算体积时半径的单位应保持一致，例如都是以厘米或者米为单位。
举个例子，如果我们有一个半径为5厘米的圆球，那么它的体积可以通过将半径代入公式中计算得出：V = (4/3)π(5³) ≈ 523.6 cm³所以这个圆球的体积约为523.6立方厘米。
二、圆球的表面积圆球的表面积是指其外表面的总面积。
同样，要计算一个圆球的表面积，我们只需要知道它的半径。
圆球的表面积可以通过以下公式计算：A = 4πr²其中，A表示圆球的表面积，π约等于3.14159，r表示圆球的半径。
同样需要注意，半径的单位在计算表面积时应保持一致。
以刚才的例子为参考，如果我们有一个半径为5厘米的圆球，那么它的表面积可以通过将半径代入公式中计算得出：A = 4π(5²) ≈ 314.16 cm²所以这个圆球的表面积约为314.16平方厘米。
三、体积与表面积的关系从上述的计算公式中可以看出，圆球的体积与半径的立方成正比，而表面积与半径的平方成正比。
也就是说，如果我们将半径增加一倍，那么圆球的体积将增加8倍，而表面积将增加4倍。
这个关系在实际生活中具有一定的应用价值。
例如，在设计装饰物品时，如果我们希望增加物体的体积，我们可以通过增加半径来实现。
而如果我们想要增加物体的表面积，我们可以通过减小半径来实现。
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球的表面积与体积
第三课时球的表面积与体积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.
（2）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间
的关系．情感、态度与价值
让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学
生学习的兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：球的表面积与体积的计算
难点：简单组合体的体积计算
（三）教学方法
讲练结合
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，
点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩
固
探索新知1．球的体积：
2．球的表面积：
师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？
生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.
师 (肯定) ：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力
典例分析例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.
因为，
，
所以，（2）因为，
，
所以，S球 = S圆柱侧.
例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的
体积之比为（）
A．6:13 B．5:．3:4 D．7:【解析】如图所示，作圆
台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.
设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 +
r2.
∵∠AOB = 90°，OE⊥AB (E为切点)，
∴R2 = OE2 = AEBE = r1r2.
由已知S球∶S圆台侧= 4 R2∶ (r1+r2)2 = 3∶4
(r1 + r2)2V球∶V圆台故选A.
例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a，求这个球的体积.
解：∵PA、PB、PC两两垂直，
PA = PB = PC = a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.
又∵P、A、B、C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.
∴∴
教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并
点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）
教师投影例2并读题，
师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.
生：球内切于圆台.
师：你准备怎样研究这个组合体？
生：画出球和圆台的轴截面.
师：圆台的高与球的哪一个量相等？
生：球的直径.
师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？
生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.
师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.
师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.
教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.
师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P –
ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.
通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想
象能力和问题解决的能力.
本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养
学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.
随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它
的体积扩大到原来的几倍？
（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.
（3）一个球的体积是100 cm2，试计算它的表面积( 取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).
参考答案：
1．（1）8倍；（2）（3）104.学生独立完成巩固
所学知识
归纳总结1．球的体积和表面积
2．等积变换
3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.
课后作业1.3 第三课时习案学生独立完成固化练习
提升能力
备用例题
例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．
【分析】可以用球的截面性质。
即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．
【解析】如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA = OBR，则O1是△ABC的外心．设M是AB的中点，由于AC = BC，则O1∈CM．
设O1M = x，易知O1M⊥AB，则O1A = ，– O1M = –x
又O1A∴ ．解得
则O1A = O1B．
在Rt△OO1A中，O1O = ，∠OO1A = 90°，OA = R，由勾股定理得．解得．
故．
例2．如图所示棱锥P – ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD = a，PA = PC = ，且PD是四棱锥的高．
（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．
【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用
体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱
锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，
则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．，
，
，
S□ABCD = a2．
VP – ABCD = VS – PDA + VS – PDC + V S – ABCD + VS – PAB + Vs – PBC ，
，
，
所以，，
即球的最大半径为．
（2）法一：设PB的中点为F．
因为在Rt△PDB中，FP = FB = FD，
在Rt△PAB中，FA = FP = FB，
在Rt△PBC中，FP = FB = FC，
所以FP = FB = FA = FC = FD．
所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．
法二：球心O在如图EF上，设OE = x，EA = ，
又
即球心O在PB中点F上．
【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法．。