2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测(八)指数与指数函数理

课时达标检测（八） 指数与指数函数[小题对点练——点点落实]对点练(一) 指数幂的运算 1．化简4a 23·b -13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a 3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23⎛⎫⎪⎝⎭13--b-13-23＝－6ab －1＝－6a b，故选C.2．(2018·大同模拟)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫0.06415－2.5 23－39×38－π0＝________. 解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315⎛⎫ ⎪⎝⎭5223⨯-⨯－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0. 答案：03．给出以下结论： ①当a <0时，(a 2) 32＝a 3；②na n＝|a |(n >1，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2) 12－(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥2且x ≠73；④若2x ＝16,3y＝127，则x ＋y ＝7.其中正确结论的序号是________． 解析：因为a <0，所以(a 2)32>0，a 3<0，所以①错误；②显然正确；由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，所以③正确；因为2x ＝16，所以x ＝4，因为3y ＝127＝3－3，所以y ＝－3，所以x ＋y ＝4＋(－3)＝1，所以④错误．答案：②③对点练(二) 指数函数的图象及应用1．函数f (x )＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x－1a的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x－1a 的图象，而1a大于1，故选D.2．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C因为函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2－4x ＝4，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C.3．如图，在面积为8的平行四边形OABC 中，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y＝a x(a >0，且a ≠1)经过点E ，B ，则a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选A 设点E (t ，a t)，则点B 的坐标为(2t,2a t)．因为2a t＝a 2t，所以a t＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t×2t ＝4t ，又平行四边形OABC 的面积为8，所以4t ＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝ 2.故选A.4．(2018·东北三校联考)若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选D 方程|a x－1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图①，∴0<2a <1，即0<a <12；②当a >1时，如图②，而y ＝2a >1不符合要求．∴0<a <12.5．(2018·北京模拟)已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫45a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b，给出下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ； ④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式的个数为________．解析：函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫45a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立．③④不可能成立．答案：2对点练(三) 指数函数的性质及应用1．(2018·日照模拟)若x ∈(2,4)，a ＝2x 2，b ＝(2x )2，c ＝22x，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c解析：选B ∵b ＝(2x )2＝22x，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较当x ∈(2,4)时x 2,2x,2x的大小即可．用特殊值法，取x ＝3，易知x 2>2x>2x ，则a >c >b .2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C 当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.3．(2018·广西质检)若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x－2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0解析：选A ∵x log 52≥－1，∴2x ≥15，则f (x )＝4x －2x ＋1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x－1)2－4.当2x＝1时，f (x )取得最小值－4.4．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．5．设f (x )＝e x,0<a <b ，若p ＝f ()ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝f a f b ，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q解析：选 C ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝e x在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝f a f b ＝e a e b ＝e a ＋b 2＝q ，故q ＝r >p .故选C.6．已知实数a ，b 满足12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14，则( )A ．b <2b －aB ．b >2b －aC ．a <b －aD ．a >b －a解析：选B 由12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，得a >1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，故2a <b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14，得⎝⎛⎭⎪⎫22b >⎝ ⎛⎭⎪⎫224，得b <4.由2a <b ，得b >2a >2，a <b 2<2，∴1<a <2,2<b <4. 对于选项A ，B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)>0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋14，由于1<a <2,2<b <4，故该式的符号不确定，故C ，D 错误．故选B.7．(2018·河南十校联考)设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤K ，K ，f x >K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：选D 根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴K ≥1，故选D.8．(2018·信阳质检)若不等式(m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：(m 2－m )2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1可变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2.设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立．显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3.答案：(－2,3)[大题综合练——迁移贯通]1．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a x(a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝13或3.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)， ∵22t－1＞0，∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．3．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。