2011年三角函数高考题
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2011 年高考试题数学（理科）三角函数一、选择题:a 1. (2011 年高考ft东卷理科 3)若点（a,9）在函数 y 3x 的图象上，则 tan= 的值为6（A）0 (B) 3 3(C) 1(D) 3【答案】D【解析】由题意知:9=3a ,解得 a =2,所以 tan a2 tan tan ,故选 D. 3663 2. (2011 年高考ft东卷理科 6)若函数 f (x) sin x (ω>0)在区间 0, 上单调递增， 3 在区间 , 上单调递减，则 ω= 3 2 （A）3（B）23（C）22（D）3【答案】C【解析】由题意知,函数在 x 处取得最大值 1,所以 1=sin ,故选 C.333.(2011 年高考安徽卷理科 9)已知函数 f (x) sin(2x ) ，其中 为实数，若f (x) f ( ) 对 x R 恒成立，且 f ( ) f ( ) ，则 f (x) 的单调递增区间是62（A） ,k k 3 6 (k Z )（C） k 6, k 2 (k Z ) 3 （B） k ,k (k Z ) 2 （D） k , k (k Z )2【答案】C.【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.【解析】若 f (x) f ( ) 对 x R 恒成立，则 f ( ) sin( )1，所以663 k , k Z ， k , k Z .由 f ( ) f ( ) ，（ k Z ），可知3262(A) 2 3答案： D(B) 2 2(C) 3(D) 2解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A= 2 sinA，即 sinB（sin2A+cos2A）= 2 sinA，b故 sinB= 2 sinA，所以 a 2 ； 15.(2011 年高考辽宁卷理科 7)设 sin（）+ = ，则sin 243(A) 7(B) 1(C) 1999（ ）7(D)9答案： A217解析： sin 2 cos 2 22sin 4 1 2 9 1 9 .16.(2011 年高考浙江卷理科 6)若 0＜＜ ， - ＜＜ 0 ， cos( ) ，22433 cos( ) ， 则 cos( ) 42 32（A） 3 3（B） 3 3（C） 5 3 9（D） 6 9【答案】 C【解析】： ( ) ( )cos( 2 ) cos[(24 42 cos( )cos( ) sin( )sin( )4 424 42 1 3 2 2 6 3 4 3 5 3 故选 C33 3 399 ) ( )] 4 427. (2011 年高考全国新课标卷理科 5)已知角 的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则，cos2 （ ）A 4 5B 3 5C2 3cos2解析：由题知 tan 2 , cos 2 cos2sin2 sin2D3 41tan21tan23 选B58.(2011 年高考全国新课标理 11)设函数 f (x) sin( x ) cos( x )( 0, ) 2的最小正周期为 ，且 f (x) f (x) ，则 （A） f (x) 在 0, 2 单调递减 （C） f (x) 在 0, 2 单调递增 3 （B） f (x) 在 4 , 4 单调递减 3 （D） f (x) 在 4 , 4 单调递增解析： f (x) 2 sin( x )4，所以 2 ，又 f(x)为偶函数， k k ,k z ， f ( x) 4242 sin(2x ) 2 cos 2x ，选 A 29. (2011 年高考天津卷理科 6)如图，在△ ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB AD, 2AB 3BD, BC 2BD ，则 sin C 的值为（ ）A. 3 3B． 3 6C． 6 3【答案】DD． 6 6【解析】设 BD a ,则由题意可得: BC 2a,理得：AB AD 3 a ,在ABD 中,由余弦定 2AB2 AD2 BD2 2 3a 2 a2cos A 4= 1 ，所以sin A =2 AB AD2 ( 3 a)2 321 cos2 A22 3，在△ABC 中，由正弦定理得， AB BC3a ，所以 2 2a6 ，解得sin C = ，故选sin C sin Asin C 2 2 a63D. 10．(2011 年高考湖北卷理科 3)已知函数 f ( x) 3 sin x cos x, x R ，若 f ( x) 1 ，则 x 的取值范围为A.{x | kx k ,kz}C.{x | k 3 x k65 , k z} 6答案：B 解析：由 3 sin x cos x 1 ，即sin(x B.{x | 2k2k , k z} 3D. {x | 2k 5 x 2k , k z}66 1 ，解得2k) 62x 2k 5 66, k z ， 6即 2kx 2k ,k z ，所以选 B. 311．(2011 年高考陕西卷理科 6)函数 f (x) x cos x 在[0, ) 内（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点【答案】B【解析】：令 y1 x ， y2 cos x ，则它们的图像如图故选 B12.(2011 年高考重庆卷理科 6)若ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a, b, c 满足(a b)2 c2 4 ，且C 600 ，则 ab 的值为4（A）3(C)1(B) 8 4 32(D)3解析：选 A。
2011年高考试题解析数学(理)分项版之专题5-三角函数1答案
一、选择题 1、2、３、【答案】C.【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即s i n ϕ<，所以72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得7()s i n (2)6f x x π=+，由7222262k x k πππππ-++剟，得563k x k ππππ--剟，故选C.4、答案： D解析：由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2A=2sinA ，即sinB （sin 2A+cos 2A ）=2sinA ，故sinB=2sinA ，所以2ba=； 5、答案： A解析：217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6、【答案】 C 【解析】()()2442βππβαα+=+-- cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα+++1322634353333399+=⨯+⨯== 故选C7、8、9、【答案】D 【解析】设BD a =,则由题意可得:2,BC a = 32AB AD a ==,在ABD ∆中,由余弦定理得：222cos 2AB AD BD A AB AD +-==⋅22232432()2a a a ⨯-⨯=13，所以sin A =21cos A -=223，在△ABC 中，由正弦定理得，s i n s i n A B B C C A =，所以322sin 223aa C a =，解得sin C =66，故选D. 10、答案：B 解析：由3sin cos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得522,666πππππ+≤-≤+∈k x k k z ，即22,3k x k k zππππ+≤≤+∈，所以选 B.11、【答案】B 【解析】：令1y x =，2cos y x =，则它们的图像如图故选B12、解析：选A 。
2011年全国高考试题
课标理数 15.C7[2011·天津卷] 已知函数 f(x)＝tan (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)设α∈ 0， π α 4 ，若 f 2 ＝2cos2α，求α的大小．
2x＋
π 4.
π π π kπ 课标理数 15.C7[2011· 天津卷] 【解答】 (1)由 2x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，得 x≠ ＋ ，k∈Z. 4 2 8 2 π x≠ kπ x∈R 8 ＋ ，k∈Z 所以 f(x)的定义域为 . 2 π f(x)的最小正周期为 . 2 a＋π α π sin 4 α＋ (2)由 f 2 ＝2cos2α，得 tan 4 ＝2cos2α， π ＝2(cos2 α－sin 2α) α＋ cos 4 sinα＋cosα 整理得 ＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)． cosα－sinα π 0， 1 1 因为α∈ 4 ，所以 sinα＋cosα≠0，因此(cosα－sinα)2＝ ，即 sin2α＝ . 2 2 π π 0， 0，
3π (2)由(1)知，B＝ －A，于是 4 π π B＋ A＋ 3sinA－cos 4 ＝ 3sinA－cos( π－A)＝ 3sinA＋cosA＝2sin 6 . π A＋ 3π π π 11π π π π 因为 0<A< ，所以 <A＋ < .从而当 A＋ ＝ ，即 A＝ 时，2sin 6 取最大值 2. 4 6 6 12 6 2 3 π B＋ π 5π 综上所述， 3sinA－cos 4 的最大值为 2，此时 A＝ ，B＝ . 3 12
大纲理数 17.C9[2011·四川卷] 已知函数 f(x)＝sin (1)求 f(x)的最小正周期和最小值；
x＋
7π 3π x－ 4 ＋cos 4 ，x∈R.
《2011年高考数学试题分类汇编三角函数》
a3 ，求函数 f ( x) 的解析式． 13 1 解： (Ⅰ )由 q = 3, S 3 = 得 a1 = ，所以 an = 3n− 2 ； 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a3 = 3 ，因为函数 f ( x) 最大值为 3，所以 A = 3 ， π π π 又当 x = 时函数 f ( x) 取得最大值，所以 sin( + ϕ ) = 1 ，因为 0 < ϕ < π ，故 ϕ = ， 6 3 6 π 所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) = 3sin(2 x + ) 。 6
(a + 4) 2 = a 2 + (a − 4)2 − 2a (a − 4) cos120� ，则 a = 10 ，所以三边长为 6,10,14.△ABC 的面 1 积为 S = × 6 × 10 × sin120� = 15 3 . 2 π 安徽文(15)设 f ( x) = a sin 2 x + b cos 2 x ，其中 a，b ∈ R，ab ≠ 0，若 f ( x ) ≤ f ( ) 对一切则 6 7π π 11π x ∈ R 恒成立，则① f ( ② f( ) ＜ f ( ) ③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 )=0 10 5 12 π 2π ⎤ ⎡ ④ f ( x) 的单调递增区间是 kπ + , kπ + (k ∈ Z ) ⎢ 6 3 ⎥ ⎣ ⎦ ⑤存在经过点（a ，b）的直线与函数的图 f ( x) 像不相交
2011年高考三角函数题汇编(老师)
2011年高考三角函数题汇编一、选择、填空题1、 [2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝－8、 r ＝16＋y 2，∵sin θ＝－255＝y 16＋y 2＝－255， 2. [2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45【解析】在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. B 3、[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.－55. 4、[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α， ∴cos 2α＝14， sin 2α＝1－cos 2α＝34， ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D. 5、 [2011·重庆卷] 若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. ∴tan α＝sin αcos α＝43. 6、[2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D. 7、 [2011·辽宁卷] 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79故选A. 解sin2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ.由于sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，代入得sin2θ＝－79， 8、[2011·江苏卷] 已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2, 则tan x tan2x的值为________． 【解析】 因为tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＝13，tan2x ＝2×131－19＝2389＝34，即tan x tan2x ＝49.9、[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增 A 【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π， 所以ω＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4，又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ， 所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ， 又因为||φ<π2，所以φ＝π4. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎫0，π2上单调递减． 10、[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图1－7，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )图1－7A ．2＋ 3 B.3 C.33 D ．2－ 3 【解析】 由图象知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝ tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝3，故选B. 11、 [2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) A.13B ．3C ．6D ．9 【解析】 将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.12、[2011·湖北卷] 已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 【解析】 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x －π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z . B 13、[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则 ( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．D 14、[2011·山东卷] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32. C 15、[2011·江苏卷] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f (0)的值是________ 62．【解析】 由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋32π，即φ＝2k π＋π3，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62. 16、[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数 B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数A 【解析】 ∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π， ∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π3，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－52π，π2上递增 17、[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为____27.____． 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A . 所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A＝3cos A ＋5sin A ＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527) 所以AB ＋2BC 的最大值为27.18、若0<α<π2，－π2<β<0，cos π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. C 19、已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为____153____．【解析】 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝12bc sin120°＝15 3.20、[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 【解析】 因为tan A ＝2，所以sin A ＝255；再由：a sin A ＝b sin B ，即a 255＝522，可得a ＝210 21、[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________. a ＝52322、[2011·福建卷] 如图1－5，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC＝45°，则AD 的长度等于________． 图1－5【解析】 在△ABC 中，cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝(23)22×2×23＝32，则∠ACB ＝30°. 在△ACD 中，由AD sin C ＝AC sin ∠ADC ，∴AD ＝AC ·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2. 23、[2011·福建卷] 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 【解析】 方法一：由S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，得 12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. 由AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°＝22＋22－2×2×2×12＝4， ∴ AB ＝2，即边AB 的长度等于2. 方法二：由S △AB C ＝12AC ·BC sin C ，得 12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. ∴AC ＝BC ＝2, 又∠ACB ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB ＝2，即边AB 的长度等于2.24、 [2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D. 2【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B得a sin B ＝b sin A ，所以a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，故选D.25、[2011·四川卷] 在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎤0，π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π 【解析】 根据正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，即有cos A ≥12，所以角A 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，π3，选择C. 26、[2011·天津卷]在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66【解析】 设BD ＝2，则AB ＝AD ＝3，BC ＝4.在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22×AD ×BD ＝3＋4－32×3×2＝33， ∴sin ∠BDC ＝1－cos 2∠BDC ＝1－13＝63. 在△BDC 中，由正弦定理得4sin ∠BDC ＝2sin C ，即sin C ＝12sin ∠BDC ＝12×63＝66. 27、[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12 B.12C ．－1D ．1 【解析】 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. D28、[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．1534【解析】 解法1：由AC sin B ＝AB sin C ，即7sin120°＝5sin C ， 所以sin C ＝5sin120°7＝5314， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°，所以sin A ＝sin(60°－C )＝sin60°cos C －cos60°sin C ＝32×1114－12×5314＝3314， 所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×5×7×3314＝1534. 29、[2011·重庆卷] 若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34 C.31516 D.1116【解析】 由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入6sin A ＝4sin B ＝3sin C ， 得6a ＝4b ＝3c ， ∴b ＝32a ，c ＝2a ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，①将b ＝32a ，c ＝2a 代入①式，解得cos B ＝1116.故选D. 30、 [2011·泰安期末] 已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( ) A.53 B. －134 C. 135 D. 13431、[2011·抚州模拟] 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为 ________．32、[2011·济南三模] 函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，133、[2011·重庆卷] 已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 【解析】 cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)， ∵sin α＝12＋cos α，∴cos α－sin α＝－12， 两边平方得1－2sin αcos α＝14， 所以2sin αcos α＝34. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＋sin α＝(cos α＋sin α)2＝1＋34＝72， ∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－142.二、解答题1、 [2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π. 2、[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C . 又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4. (2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是 3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 3、[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值． 【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝b 2－c 2. 故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2， 所以sin C ＝cos A ＝13.4、 [2011·广东卷] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f (0)的值； (2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值． 【解答】 (1)f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－2sin π6＝－1. (2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6＝2sin α， 65＝f (3β＋2π)＝2sin 13×(3β＋2π)－π6＝ 2sin β＋π2＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35，又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365. 5、[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小． 【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z . 所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠π8＋k π2，k ∈Z . f (x )的最小正周期为π2. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0， 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12. 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12. 6、[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．【解答】 由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，cos A ＝12，sin A ＝32. 再由正弦定理，得 sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ， 所以B 不是最大角，B <π2， 从而 cos B ＝1－sin 2B ＝22.知 sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫32＋12 .设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12. 7、[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C . 【解答】 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故 cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C . 故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°， 所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.8、[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C＝b sin B .(1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .【解答】 由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45° ＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6. 9、[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14. (1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4， ∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值； (2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2⎝⎛⎭⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C 2， 由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12， 两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1. 11、 [2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【解答】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c.(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.12、[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ..所以原式化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B . 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 又因为A ＋B ＋C ＝π， 所以原等式可化为sin C ＝2sin A ， 因此sin Csin A ＝2.(2)由正弦定理及sin Csin A＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5. 从而a ＝1， 因此b ＝2.已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．【解答】 (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B ，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，由题设知p ＞0，所以62＜p ＜ 2. 14、[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值； (2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．【解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2. 则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63， 由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32.15、 [2011·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． 【解】 (1)由B ＝C ，2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，故cos2A ＝2cos 2A －1＝－79.sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝cos2A cos π4－sin2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218. 16、[2011·重庆卷] 设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)．求函数 f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．【解答】 f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin2x －cos2x .由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1， 解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时 ,2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f (x )为减函数．所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2. 又因f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2. 17、[2011·重庆卷] 设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)c os x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值． 【解答】 (1)f (x )＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)依题意g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32 ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g (x )为增函数， 所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.。
2011年高考题(三角函数)
2011年高考题汇总(三角函数部分)第一部分 选择题1（2011安徽理数）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x R ∈ 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是 （ ） A ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2（2011福建理数）若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值等于 （ ）A 2B 3C 4D 6 3（2011福建文数）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 24αα+=，则tan α= （ ）A2B3C D4（2011湖北理数）已知函数()cos f x x x =-，x R ∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 （ ） A ,3x k x k k Zππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B 22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C 5,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ D 522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ 5（2011湖南理数）由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A12B 1 C2D6（2011湖南文数）曲线sin 1sin cos 2x y x x=-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为 （ ）A 12- B 12C 2-D27（2011辽宁理数）△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2sin sin cos a A B b A +=，则b a= （ ）A B C D 8（2011辽宁文数）已知函数()tan()(0,)2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如图，则()24f π= （ ）A 2+B C2D 2-9（2011全国卷I 理数）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （ ） A 45-B 35-C35D4510（2011全国卷I 理数）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -= （ ）A ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 11（2011全国卷I 文数）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 （ ）A BC D12（2011全国卷I 文数）若4sin 5a =-，a 是第三象限角，则sin 4a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A 10-B10C 10-D1013（2011全国卷II 理数）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （ ） A13B 3C 6D 914（2011山东理数）若点(,9)a 在函数3x y =的图像上，则tan6a π的值为 （ ）A 0B 3C 1D 15（2011山东理数）若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （ ） A 3 B 2 C32D2316（2011陕西理数）函数()cos f x x =在[)0,+∞内 （ ）A 没有零点B 有且仅有一个零点C 有且仅有两个零点D 有无穷多个零点 17（2011陕西理数）设集合{}22cos sin ,M y y x x x R==-∈，1N x x x R i ⎧⎫=-<∈⎨⎬⎩⎭i 为虚数单位，则M N 为 （ ）A ()0,1B (]0,1C [)0,1D []0,1 18（2011陕西文数）方程cos x x =在(),-∞+∞内 （ ）A 没有根B 有且仅有一个根C 有且仅有两个根D 有无穷多个根 19（2011上海文数）若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为,EF ，则 （ ） A E F ∅ B E ÙF C E F = D E F =∅20（2011四川理数）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是 （ ） A 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦ B ,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭21（2011天津理数）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A = （ ）A 30︒B 60︒C 120︒D 150︒22（2011天津文数）如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将sin ()y x x R =∈的图像上的所有的点 （ ）A 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变23（2011浙江理数）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是 （ ）A []4,2--B []2,0-C []0,2D []2,4 24（2011浙江文数）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若c o s s i n a A b B =，则2sin cos cos A A B += （ ） A 12-B12C 1-D 125（2011重庆理数）若△ABC 的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且60C =︒，则a b 的值为 （ ）A 43B 8-C 1D 2326（2011重庆文数）若△ABC 的内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B = （ ）A4B34C16D1116第二部分 填空题27（2011安徽理数）已知△ABC 的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为_____________。
2011年高考真题二：三角函数、解三角形、平面向量
专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．(2011年高考湖北卷)已知函数f ()x ＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f ()x ≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 2．(2011年高考重庆卷)已知向量a ＝()1，k ，b ＝()2，2，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2011年高考四川卷)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝()a ，b .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn＝( )A.215B.15C.415D.134．(2011年高考山东卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32 C ．2 D ．35．(2011年高考浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．16．(2011年高考辽宁卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．127．(2011年高考陕西卷)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x i ＜1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]8．(2011年高考大纲全国卷)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.79．(2011年高考大纲全国卷)设函数f ()x ＝cos ωx ()ω>0，将y ＝f ()x 的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 10．(2011年高考湖北卷)若向量a ＝()1，2，b ＝()1，－1，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π4 11．(2011年高考重庆卷)若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.111612．(2011年高考课标全国卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 二、填空题13．(2011年高考大纲全国卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝__________. 14．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.15．(2011年高考江苏卷)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________． 16．(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．17．(2011年高考安徽卷)设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．18．(2011年高考江西卷)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.19．(2011年高考上海卷)在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.20．(2011年高考重庆卷)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝__________. 21．(2011年高考福建卷)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b 等于________． 22．(2011年高考安徽卷)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．23．(2011年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.三、解答题24．(2011年高考四川卷)已知函数f ()x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期和最小值；()2已知cos ()β－α＝45，cos ()β＋α＝－45，0<a <β≤π2，求证：[]f ()β2－2＝0.25．(2011年高考山东卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b .(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．26．(2011年高考湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 ，a ，b ，c 满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．27．(2011年高考湖北卷)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b＝2，cos C ＝14.()1求△ABC 的周长； ()2求cos ()A －C 的值．28．(2011年高考重庆卷)设函数f ()x ＝sin x cos x －3cos ()π＋x cos x ()x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期；()2若函数y ＝f ()x 的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g ()x 的图象，求y ＝g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．29．(2011年高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值．专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．【解析】选B.∵f ()x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴f ()x ≥1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z . 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .2．【解析】选D.a ＋b ＝()1，k ＋()2，2＝()3，k ＋2. ∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1.∴a ·b ＝()1，1·()2，2＝4. 3．【解析】选B.向量α的坐标有()2，1，()2，3，()2，5，()4，1，()4，3，()4，5，共6种情况，以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形共有C 26＝15个． 以a ，b 为邻边所作平行四边形的面积为 S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝|a ||b |1－cos 2〈a ，b 〉＝|a ||b | 1－()a ·b 2|a |2|b |2＝|a |2|b |2－()a ·b 2. 分别以a ＝()2，1，b ＝()4，1；a ＝()2，1，b ＝()4，3；a ＝()4，5，b ＝()2，3为邻边的平行四边形面积为2，故m ＝3，所以m n ＝315＝15.4．【解析】选B.∵y ＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由y ＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 5．【解析】选D.∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1. 6．【解析】选D.由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.7．【解析】选C.M ＝{y |y ＝|cos 2x |，x ∈R }＝{y |0≤y ≤1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x i ＜1＝{x ||－x i|＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，则M ∩N ＝[0,1)．8．【解析】选B.∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝1＋4＋4×⎝⎛⎭⎫－12＝5－2＝3. ∴|a ＋2b |＝ 3.9．【解析】选C.由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 10．【解析】选C.2a ＋b ＝2()1，2＋()1，－1＝()3，3， a －b ＝()1，2－()1，－1＝()0，3， ()2a ＋b ·()a －b ＝9.|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3. 设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∴α＝π4.11．【解析】选D.由6sin A ＝4sin B ＝3 sin C 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由正弦定理知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4， 不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ()k >0，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝()22＋42－32k 22×2k ×4k＝1116.12．【解析】选D.∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2cos 2x ， 当0<x <π2时，0<2x <π，故f (x )＝2cos 2x 在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减． 又当x ＝π2时，2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2＝－2，因此x ＝π2是y ＝f (x )的一条对称轴． 二、填空题13．【解析】∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴()2cos α2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 【答案】－5514．【解析】∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又k a －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0. ∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0.(θ为a 与b 的夹角) ∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线， ∴cos θ≠－1，∴k ＝1. 【答案】115．【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2得tan x ＝13，tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝12(1－tan 2x )＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132＝49. 【答案】4916．【解】法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】517．【解析】由f (x )≤⎪⎪⎪⎪f (π6)对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴． 又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 的周期为π， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝f ⎝⎛⎭⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0.故①正确． ∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π5与对称轴的距离相等． ∴⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2kx ，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，tan φ＝b a ＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . 由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间不确定，故④不正确． ∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a ，∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2.又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0. ∴－a 2＋b 2<b <a 2＋b 2，∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交．故⑤不正确． 【答案】①③ 18．【解析】b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.又因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.【答案】－6 19．【解析】法一：如图，在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7，cos ∠BAD ＝32＋(7)2－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD ＝3×7×5714＝152.法二：∵AD →＝AB →＋BD →，∴AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝|AB →|2＋|AB →||BD →|·cos 120°＝9＋3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝152. 【答案】15220．【解析】∵cos α＝－35且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－45，∴tan α＝43.【答案】4321．【解析】a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1. 【答案】1 22．【解析】由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋1×2×cos 〈a ，b 〉＝－6，∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.【答案】π323．【解析】根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.【答案】523三、解答题24．【解】(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.()2证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[]f ()β2－2＝4sin 2π4－2＝0.25．【解】(1)由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2. 26．【解】(1)由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，故C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12，所以当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 27．【解】()1∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.()2∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A＝ 1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴cos ()A －C ＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.28．【解】()1f ()x ＝12sin 2x ＋3cos 2x＝12sin 2x ＋32()1＋cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f ()x 的最小正周期为T ＝2π2＝π.()2依题意g ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g ()x 为增函数， 所以g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.29．【解】(1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝⎛⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218.。
2011年三角函数高考题欣赏
2011年三角函数高考题欣赏1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,（1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若cb A 3,31cos ==，求C sin 的值.2、设A B C ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知11. 2.c o s .4a b C ===（Ⅰ）求A B C ∆的周长（Ⅱ）求()co s A C-的值3、在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ．（Ⅰ）求角C 的大小；（B+4π）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。
4、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C=90°，，求C ．5、在A B C ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．已知()sin sin sin ,A C p Bp R +=∈且214a c b=．（Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值；（Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；答案与提示1、解：（1）由题设知cos ,cos 3sin ,cos 26sincos 6cossin ≠==+A A A A A A 所以从而ππ，.3,0,3tan ππ=<<=A a A 所以因为（2）由.,cos 23,31cos 222222c baA bc cbac b A -=-+===得及31cos sin ,2===A CB 所以π2、 解：（Ⅰ）22212c o s 14444caba b C =+-=+-⨯=2.c ∴=A B C ∴∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）1c o s ,s in 44C C =∴===s in 4s in 28a C A c∴===,a c A C<∴< ，故A 为锐角，7c o s .8A ∴===7111c o s ()c o s c o s s in s in .848816A C A C A C ∴-=+=⨯+⨯=3、解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以s in 0.s in c o s .c o s 0,ta n 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是in c o s ()in c o s ()4in c o s 2s in ().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2s in ()6A π+取最大值2．in c o s ()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==4、解：由a c +=及正弦定理可得s in s in in .A C B +=…………3分又由于90,180(),A C B A C -=︒=︒-+故c o s s in in ()C C A C +=+in (902)C =︒+o s 2.C =…………7分c o s in c o s 2,22C C C +=c o s(45)c o s 2.C C ︒-= 因为090C ︒<<︒， 所以245,C C =︒-15C =︒5、解 （I ）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4a c a c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,1,41,1.4a a c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或（II ）解：由余弦定理，2222c o s b a c a c B =+-222222()22c o s 11c o s ,2231c o s ,22a c a c a c B pb b b B pB =+--=--=+即因为230c o s 1,(,2)2B p <<∈得，由题设知0,2p p ><<所以。
2011三角函数高考题精选
2011三角函数高考题精选1.（11江苏7）已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________2.（11江苏15）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,3.（1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值. 4.（11重庆6）若ABC 的内角A 、B 、C 所对的变a 、b 、c 满足22a b 4c +==（）且C=60°，则ab 的值为（A ）43 （B ）8- (C) 1 (D) 235.(11重庆16) 设a R ∈，()()3cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭满足()02f x f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求函数在11{,}424ππ上的最大值和最小值6.（11浙江18）（本题满分14分）在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =．（Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；7.（11新课标11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 8.（11新课标5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）459.（11天津6）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C 的值为A ．3 B ．6 C ．3 D ．610.（11天津）（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．11.（11四川6）在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是 (A)(0，6π] (B)[6π，π) (c)(0，3π] (D) [3π，π)12.（11四川）已知函数73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈ (1)求()f x 的最小正周期和最小值； （2）已知44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=13.（11山东3）若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为：（A ）0 （B ）3（C ）1 （D 14.（11山东17）（本小题满分12分）在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a =cos B b .（Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.15.（11辽宁4）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=abA ．B ．CD 16.（11辽宁16）已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f的部分图像如下图，则=)24(πf ．17.（11湖南17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （I ）求角C 的大小；（II ）c o s ()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．18.（11湖北）（本小题满分10分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知11. 2.cos .4a b C ===（Ⅰ）求ABC ∆的周长（Ⅱ）求()cos A C -的值19.（11广东本小题满分12分）已知函数1()2sin(),.36f x x x R π=-∈ 1.求5()4f π的值；2.设106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值.20.（11安徽9）已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对Rx ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是(A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ(B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ(C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ(D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 21.（11安徽14）已知⊿ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则⊿ABC 的面积为 .22.（11北京9）在ABC ∆中。
2011年数学高考分类汇编解答题(理)01——三角函数
01 三角函数1. （天津卷理）15．（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小． 【解析】15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I ）解：由2,42x k k Z πππ+≠+∈，得,82k x k Z ππ≠+∈. 所以()f x 的定义域为{|,}82k x R x k Z ππ∈≠+∈ ()f x 的最小正周期为.2π （II ）解：由()2cos 2,2a f a =得tan()2cos 2,4a a π+=22sin()42(cos sin ),cos()4a a a a ππ+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a aa a a a a a+=+-- 因为(0,)4a π∈，所以sin cos 0.a a +≠因此211(cos sin ),sin 2.22a a a -==即由(0,)4a π∈，得2(0,)2a π∈.所以2,.612a a ππ==即 2. （北京理）15．（本小题共13分） 已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-。
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
【解析】（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π （Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以 于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1. 3. （四川理）17、 已知函数73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈ (1)求()f x 的最小正周期和最小值； （2）已知44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin 44442sin()4f x x x x x x x x πππππ=+++=-=-max 2,()2T f x π∴==（2）4cos()cos cos sin sin (1)54cos()cos cos sin sin (2)5cos cos 00cos 022βααβαββααβαβαβππαβββ-=+=+=-=-=<<≤⇒=⇒=2()(())20f f ββ∴=-=4. （全国大纲卷理）17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，，求C ．【解析】17．解：由a c +=及正弦定理可得s i n s i n 2s i n .A CB +=…………3分又由于90,180(),A C B A C -=︒=︒-+故c o s s i n 2s i n ()C C A C ++s i n (902)C =︒+c o s 2.C=…………7分cos 2,C C C += c o s (45)c o s2C C ︒-= 因为090C ︒<<︒， 所以245,C C =︒-15C =︒5. （江西卷理）17（本小题满分12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin CC C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值. 解：（1）已知2sin 1cos sin C C C -=+ 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin22222C C C C C C C -+=-+∴ 整理即有：012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin22=⎪⎭⎫⎝⎛+-⇒=+-C C C C C C C 又C 为ABC ∆中的角，02sin≠∴C412sin 2cos 2cos 2sin 2412cos 2sin 212cos 2sin 222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-∴C C C C C CC C43sin 432cos 2sin2=⇒=∴C C C （2）()8422-+=+b a b a()()2,2022044442222==⇒=-+-⇒=++--+∴b a b a b a b a又47sin 1cos 2=-=C C ，17cos 222-=-+=∴C ab b a c 6. （山东卷理）17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b．（I ）求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。
2011年高考数学 第四章 第三节三角函数的图像
同步检测训练一、选择题 1．(2009·某某皖北联考一)定义一种运算(a ，b )(c ，d )＝ad －bc ，将函数f (x )＝(1，sin x )(3，cos x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案：C解析：f (x )＝(1，sin x )(3，cos x )＝cos x －3sin x ＝2cos(x ＋π3)，向左平移φ(φ>0)个单位得y ＝2cos(x ＋π3＋φ)，由于它是偶函数，则φ的最小值是2π3，故选C.2．(2009·某某质检)关于函数y ＝sin2x －3cos2x 图象的对称性，下列说法正确的是()A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点(π3，0)对称D ．关于点(π6，0)对称答案：D解析：y ＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)，经验证函数图象关于(π6，0)对称，故选D.3．(2009·某某六市一模)已知f ′(x )是函数f (x )＝sin x 的导数，要得到y ＝f ′(2x ＋π3)的图象，只需将y ＝f (2x )的图象()A ．向左平移个π6个单位B ．向右平移5π6个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移5π12个单位答案：D解析：f ′(x )＝cos x ，f ′(2x ＋π3)＝cos(2x ＋π3)＝cos2(x ＋π6)，f (2x )＝sin2x ＝cos2(x －π4)，则要得到y ＝f ′(2x ＋π3)的图象，只需将y ＝f (2x )的图象向左平移5π12个单位，故选D.4．(2007·某某)如下图，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π的简图是()答案：A解析：当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D. 而x ＝－π6时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－12，排除C ，故选A. 5．(2007·某某)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A ．关于点(π3，0)对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称答案：A解析：T ＝π⇒ω＝2⇒f (π3)＝sin(2π3＋π3)＝0∴f (x )关于(π3，0)对称，故选A.6．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是()A ．y =sin(x +π6)B ．y =sin(2x -π6)C ．y =cos(4x -π3)D ．y =cos(2x -π6)答案：D解析：本题考查三角函数的图象．当x ＝π12时y ＝1由此可排除A 、B.由图可知，此函数的周期T ＝4(π12＋π6)＝π∴ω＝2ππ＝2故选D.7．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin(2x ＋π4)的图象上所有的点的()A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度答案：C解析：y ＝2cos x ＝2sin(x ＋π2)，y ＝2sin(2x ＋π4)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin(x ＋π4)的图象，再向左平移π4个单位得到y ＝2sin(x ＋π2)的图象．故选C.8．(2009·市东城区)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象()A ．关于点(π3，0)对称B ．关于点(5π3，0)对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称答案：B解析：∵函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，∴ω＝12；∴f (x )＝2sin(12x ＋π6)．而f (x )＝sin x 的图象关于点(kπ，0)(k ∈Z )对称，∴12x ＋π6＝kπ⇒x ＝2kπ－π3(k ∈Z )；即函数f (x )＝2sin(12x ＋π6)的图象关于点(2kπ－π3，0)(k ∈Z )对称；又f (x )＝sin x 的图象关于直线x ＝kπ＋π2(k ∈Z )对称，∴12x ＋π6＝kπ＋π2⇒x ＝2kπ＋23π(k ∈Z )；即函数f (x )＝2sin(12x ＋π6)的图象关于直线x ＝2kπ＋23π(k ∈Z )对称，结合选项，故选B.二、填空题9．(2009·市西城区)对于函数f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，h (x )＝x ＋π3， 有如下四个命题：①f (x )－g (x )的最大值为2；②f [h (x )]在区间[－π2，0]上是增函数；③g [f (x )]是最小正周期为2π的周期函数；④将f (x )的图象向右平移π2个单位可得g (x )的图象．其中真命题的序号是________． 答案：①②解析：f (x )－g (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)≤2，故①正确；当x ∈[－π2，0]时，x ＋π3∈[－π6，π3]，函数f [h (x )]＝sin(x ＋π3)为增函数，故②正确；函数g [f (x )]＝cos(sin x )的最小正周期为π，故③错误；将f (x )的图象向左平移π2个单位可得g (x )的图象，故④错误．10．(2009·东城3月·12)关于函数f (x )＝sin x (cos x －sin x )＋12给出下列三个命题：(1)函数f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；(2)直线x ＝π8是函数f (x )的图象的一条对称轴；(3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝22sin2x 的图象向左平移π4而得到．其中正确的正确序号是________．(将你认为正确命题序号都填上) 答案：(1)(2)解析：f (x )＝sin x (cos x －sin x )＋12＝12sin2x －12(1－cos2x )＋12＝ 22sin(2x ＋π4)．对于(1)，x ∈[π2，5π8]，2x ＋π4∈[5π4，3π2]，则函数f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数，(1)正确；对于(2)，验证直线x＝π8是函数f (x )的图象的一条对称轴，则(2)正确；对于(3)，函数f (x )的图象可以由函数y ＝22sin2x 的图象向左平移π8而得到，则(3)不正确；故填(1)(2)．11．(2009·某某丹阳高级中学一模)给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是________．①若cos α＝cos β，则α－β＝2kπ，k ∈Z ；②函数y ＝2cos(2x ＋π3)的图象关于x ＝π12对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.答案：①②④ 解析：对于①，若cos α＝cos β，则α－β＝2kπ或α＋β＝2kπ或k ∈Z ，①不正确；对于②，函数y ＝2cos(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)对称，则②不正确；对于③，经验证函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数，则③正确；对于④，函数y ＝sin|x |不是周期函数，则④不正确；综上所述，应填①②④.三、解答题 12．(2009·某某市二调)已知向量a ＝(sin x,23cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设f (x )＝a ·b －1.(1)若x ∈[0，π2]，求f (x )的值域；(2)(理)若函数y ＝f (x )的图象按向量m ＝(t,0)作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，求向量m 的坐标．(文)若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝α(α>0)对称，求α的最小值．解：(1)f (x )＝a ·b －1＝2sin2x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)．x ∈[0，π2]⇒2x －π6∈[－π6，5π6]⇒sin(2x －π6)∈[－12，1]⇒f (x )的值域y ∈[－1,2]．(2)(理)由(1)可设平移后的函数解析式为y ＝2sin[2(x ＋φ)－π6]，即y ＝2sin[2x ＋(2φ－π6)]，∵其图象关于原点对称，∴2φ－π6＝kπ，k ∈Z .即φ＝π12＋kπ2，k ∈Z .令k ＝0得所求的φ＝π12.因此所求的m ＝(－π12，0)．(文)由题设，2α－π6＝kπ＋π2(k ∈Z )，即α＝kπ2＋π3(k ∈Z )．∵α>0，∴当k ＝0时，αmin ＝π3.13．(2009·某某六市一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点(3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．解：∵f (x )是R 上的偶函数，且0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin(ωx ＋π2)＝cos ωx .又∵图象关于点(3π4，0)对称，∴f (3π4)＝0.即cos 3π4ω＝0，3π4ω＝kπ＋π2，k ∈Z ，∴ω＝43k ＋23，k ∈Z .又f (x )在[0，π2]上是单调函数，∴π2ω≤π，∵ω>0，∴0<ω≤2，即0<43k ＋23≤2，∴－12<k ≤1，k ∈Z .∴k ＝0或k ＝1，∴ω＝23或ω＝2.14．(2008·某某一中)已知函数f (x )＝12cos2x －sin x cos x －12sin2x .(1)求f (x )的最小正周期和函数f (x )图象的对称轴的方程； (2)求f (x )的单调增区间；(3)函数y ＝cos2x 的图象可以由函数f (x )的图象经过怎样的变换得到？解：(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. f (x )的最小正周期为T ＝π，函数f (x )图象的对称轴的方程为x ＝kπ2－π8(k ∈Z )．(2)f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－5π8，kπ－π8(k ∈Z )． (3)先将f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位，再将图象上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的2倍．15．已知函数f (x )＝A sin 2(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)，且y ＝f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．(1)求φ；(2)计算f (1)＋f (2)＋…＋f (2008)．解：(1)y ＝A sin2(ωx ＋φ) ＝A 2－A2cos(2ωx ＋2φ)． ∵y ＝f (x )的最大值为2，A >0， ∴A 2＋A2＝2，A ＝2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0， ∴12×2π2ω＝2，ω＝π4. ∴f (x )＝22－22cos(π2x ＋2φ)＝1－cos(π2x ＋2φ)．∵y ＝f (x )过(1,2)点，∴cos(π2＋2φ)＝－1.∴π2＋2φ＝2kπ＋π，k ∈Z ， ∴2φ＝2kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ＝kx ＋π4，k ∈Z .又∵0<φ<π2，∴φ＝π4.(2)解法一：∵φ＝π4，∴y ＝1－cos(π2x ＋π2)＝1＋sin π2x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4. 又∵y ＝f (x )的周期为4,2008＝4×502. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2008)＝4×502＝2008.解法二：∵f (x )＝2sin2(π4x ＋φ)，∴f (1)＋f (3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，f (2)＋f (4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4. 又y ＝f (x )的周期为4,2008＝4×502. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2008)＝4×502＝2008.。
2011年高考数学三角函数及解三角形配套试卷及答案
2011年《新高考全案》高考总复习配套测评卷单元检测卷(八)三角函数及解三角形时间：90分钟，满分150分一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分) 1．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＞0cos θ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0cos θ＜0. B2．设sin α＝35，α∈(π2，π)，则tan α的值为( )A.34B ．－34C.43D ．－43sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.B3．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )A ．－12B.12 C ．－32D.32原式＝sin163°·sin223°＋cos163°cos223°＝cos(163°－223°)＝cos(－60°)＝12.B4．函数y ＝sin(2x －π4)的图象向左平移π8个单位，所得的图形对应的函数是( )A ．偶函数，但不是奇函数B ．奇函数，但不是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数y ＝sin(2x －π4)――→左移π8y ＝sin ＝sin2x . ∴函数为奇函数，故选B. B5．已知cos(α－π4)＝14，则sin2α的值为( )A.3132B ．－3132C ．－78D.78cos ＝2cos 2(α－π4)－1＝2×(14)2－1＝－78＝cos(2α－π2)＝sin2α.C6．在△ABC 中，A ＝105°，C ＝45°，AB ＝2，则AC 等于( )A ．1B ．2 C.2 D ．2 2由题意可知B ＝180°－105°－45°＝30°，在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，∴2sin45°＝AC sin30°，解得AC ＝1. A7．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，∴AB ＝3a . B8．(2006·山东)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3解法一：(余弦定理)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得：3＝1＋c 2－2c ×1×cos π3＝1＋c 2－c ，∴c 2－c －2＝0，∴c ＝2或－1(舍)．解法二：(正弦定理)由a sin A ＝b sin B ，得：3sin π3＝1sin B，∴sin B ＝12，∵b ＜a ，∴B ＝π6，从而C ＝π2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2.B二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分)9．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则tan(α＋β)＝________. 由韦达定理得tan α＋tan β＝3. tan α·tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝31＋3＝34.3410．函数y ＝sin x ＋3cos x 的最小值是________．∵y ＝2sin(x ＋π3)，∴y 的最小值是－2.－211．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.依题由正弦定理得：(3sin B －sin C )·cos A ＝sin A ·cos C ，即3sin B ·cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，∴cos A ＝33. 3312．cos π5cos 2π5的值是________．原式＝2sin π5cos π5·cos 2π52sin π5＝sin 2π5·cos2π52sinπ5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sinπ5＝14.1413．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则a b ＋c ＋bc ＋a＝________.因为∠C ＝60°，所以a 2＋b 2＝c 2＋ab ，所以(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(c ＋a )，所以ab ＋c＋b c ＋a ＝1，故填1. 114．若x ＝π12，则sin 4x －cos 4x ＝________.sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x＝－cos π6＝－32.－32三、解答题(共4小题，满分52分)15．(本小题满分12分)已知α的始边为x 轴非负半轴，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25，且cos α＜0，求实数k . 由sin α＝25＞0，cos α＜0，知α位于第二象限，故k ＜0，设P (x ，kx )(x ＜0)是终边上一点，则sin α＝kxk 2x 2＋x 2＝－k1＋k 2＝25⇒k ＝－2. 16．(本小题满分12分)已知3sin θ－sin(π2－2θ)cos(π＋θ)·cos θ＝1，θ∈(0，π)，求θ的值．由已知3sin θ＋cos2θ＝1，∴3sin θ－2sin 2θ＝0， ∴sin θ(sin θ－32)＝0. ∵0＜θ＜π，∴sin θ＝32，θ＝π3，或θ＝2π3.17．(2009·北京)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值． (1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π，∴－32≤sin2x ≤1，∴f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 18．(2009·湖南卷)(本小题满分14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值．(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.。
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(09解三角形) (1)
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全一、选择题：1．(2011辽宁理)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（ ）A ．．2. (2011四川文、理)在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是（ ） (A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3π，π) 2. 答案：C解析：由题意正弦定理3．(2011天津理)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C的值为 ( )A ．3 B ．6 C ．3．6【答案】D【解析】设BD ＝2，则3==AD AB ，4=BC ，由余弦定理得332323432cos 222=⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠BD AD AB BD AD ADB ， ∴36311cos 1sin 2=-=∠-=∠BDC BDC .由正弦定理得CBDC sin 2sin 4=∠，即663621sin 21sin =⨯=∠=BDC C . 4. (2011浙江文)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2s i n c o s c o s A A B += ( )(A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 1【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A .5．(2011重庆文)若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =（ ）A ．4 B ．34C ．16D ．11166．(2011重庆理)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为（ ）A ．43 B ．8-． 1 D ．23二、填空题：1.(2011安徽理)已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________1..【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为θ，由余弦定理得，则10a =，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为1610sin120152S =⨯⨯⨯=. 2. (2011北京文)在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = .3【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B Aπ=∠==所以5,13sin 34a a π==3. (2011北京理)在ABC ∆中。
2011三角函数高考题详解
（一）选择题1、若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)3 2、在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是 （A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B += (A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 4．若a ∈（0， 2π），且sin 2a+cos2a=14，则tana 的值等于A ．22B ．33C ．2D ．35、已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数6、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．22-D ．22（二）填空题7、 ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为________．答案：4315 8．已知a ∈（3,2ππ），t a n 2,c o s αα=则=答案：55-9．函数2sin cos y x x =-的最大值为 。
答案：510．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是 千米。
2011年高考数学试题分类汇编_专题三角函数_理
2011年高考试题数学（理科）三角函数一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为（A ）【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D. 2. (2011年高考山东卷理科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【答案】C【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选C.3.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】C.【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知(A) 答案： D解析：由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2，即sinB （sin 2A+cos 2A ），故，所以ba= 5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79答案： A解析：217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6.(2011年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+=（A ）3 （B ）3- （C ）9 （D ）9-【答案】 C 【解析】：()()2442βππβαα+=+-- cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα+++1333399=⨯+== 故选C 7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ）A 54-B 53-C 32D 43 解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B8.(2011年高考全国新课标理11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 解析：()2s i n ()4f x x πωϕ=++，所以2ω=，又f(x)为偶函数，,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈，())2f x x x π∴=+=，选A9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ==，则sin C 的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设BD a =,则由题意可得:2,BC a =AB AD ==,在ABD ∆中,由余弦定理得：222cos 2AB AD BD A AB AD +-==⋅2232a a ⨯-13，所以sin A=3，在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AB BC C A =，所以2sin C =，解得sin CD.10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈ B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 答案：Bcos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得522,666πππππ+≤-≤+∈k x k k z ，即22,3k x k k z ππππ+≤≤+∈，所以选B.11．(2011年高考陕西卷理科6)函数()cos f x x =在[0,)+∞内（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两一个零点（D ）有无穷个零点 【答案】B 【解析】：令1y =2cos y x =，则它们的图像如图故选B12.(2011年高考重庆卷理科6)若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为（A ）43(B) 8-(C)1 (D) 23解析：选A 。
2011-2013年三角函数高考题
2011-2013高考真题分类汇编-三角函数 一、选择题1. (2011年山东理6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）232.(2011年浙江理6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=则cos()2βα+=（A （B ） （C ） （D ）3. (2011年新课标理5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ） A 54-B 53- C 32 D 434.(2011年新课标11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增5．(2011年湖北理3)已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈ B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 6. (2011年四川理6)在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是( ) (A)(0，6π] (B)[6π，π) (c)(0，3π] (D) [3π，π)7．(2011年全国理5)（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 8. 【2012浙江理4】把函数12cos +=x y 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是9. 【2012新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24()B 13[,]24()C1(0,]2()D (0,2] 10.【2012四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）12. A B C D11. 【2012陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A.B. C. 12 D. 12-12. 【2012湖南理6】函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-=6cos sin πx x x f 的值域为A ． [ -2 ,2] C.[-1,1 ] , ] 13【2012天津理2】设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件14.【2012天津理6】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）252415. (2013年浙江数学理）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43C.43-D.34-16．（2013年陕西卷理）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定17．（2013四川卷理）函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π二、填空题1. (2011年新课标卷16)在ABC ∆中，60,B AC == 则2A B B C +的最大值为 。
高考数学真题解析分项版05三角函数 文
2011年高考试题解析数学（文科）分项版05 三角函数一、选择题:1. （2011年高考山东卷文科3)若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为（A ）【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D. 2. （2011年高考山东卷文科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)34. （2011年高考海南卷文科11)设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,则( )A.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称D.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为())44f x x ππ=++=)2x π+=2x ,故选D.5. （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于A.B. C.D. 【答案】D【解析】因为α∈（0，2π），且2sin α+1cos 24α=，所以2sin α+221cos sin 4αα-=,即21cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3πα=,即tan α=选D.6.（2011年高考浙江卷文科5)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【答案】 D【解析】：由余弦定理得：2sin ,2sin ,a R A b R B ==2sin cos 2sin sin R A A R B B ∴=2sin cos sin A A B =即则222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=，故选D7. (2011年高考天津卷文科7)已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 【答案】A 【解析】由题意知26ππω=,解得13ω=,又1sin()132πϕ⨯+=,且πϕπ-<≤,所以3πϕ=,所以1()sin()33f x x π=+,故A 正确.8.（2011年高考辽宁卷文科12)已知函数()tan()(1,||)2f x A x πωϕωϕ=+><, y=f(x)的部分图像如图,则()24f π=(A)22 答案：B解析：函数f(x)的周期是32882πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故22πωπ==，由tan 1,3tan 20,8A A ϕπϕ=⎧⎪⎨⎛⎫⋅+= ⎪⎪⎝⎭⎩得,14A πϕ==.所以()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故tan 224244f πππ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9. （2011年高考陕西卷文科6)方程cos x x =在(),-∞+∞内 (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根 【答案】C【解析】：令1||y x =，2cos y x =，则它们的图像如图 故选C10.（2011年高考全国卷文科7)设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C 【解析】()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-= 22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C11. （2011年高考江西卷文科10)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及中心M 在Y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿X 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）【答案】A【解析】根据中心M 的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M 的位置会先变高，当C 到底时，M 最高，排除CD 选项，而对于最高点，当M 最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A.12. （2011年高考四川卷文科8)在△ABC 中，sin 2A ≤ sin 2B+ sin 2C-sinBsinC,则A 的取值范围是 （A ）(0,]6π （B ）[,)6ππ(C) (0,]3π（D ）[,)3ππ 答案：C解析：由正弦定理，得222a b c bc ≤+-，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，则1cos 2A ≥,0A π<<,03A π∴<<. 13．（2011年高考重庆卷文科8)若△ABC 的内角，,,ABC 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．1116【答案】D二、填空题：13.（2011年高考江西卷文科14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且sin θ=y=_______. 16.(2011年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ1272【解析】由图象知：函数()sin()f x A wx φ=+的周期为74()123πππ-=，而周期2T wπ=，所以2w =，由五点作图法知：23πφπ⨯+=，解得3πφ=，又所以函数())3f x x π=+，所以(0)f =3π=17.(2011年高考安徽卷文科15)设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交 以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）. 【答案】①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=+=+…1()sin cos 06332f a b b πππ=+=+…，由题意()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则122a b +对一切则x ∈R 恒成立，即222231442a b a b ab +++…，2230a b +剠0恒成立，而223a b +…，所以223a b +==，此时0a =>.所以()sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.①1111()2sin 01266f b πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故①正确； ②774713()2sin 2sin 2sin 10563030f b b b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21713()2sin 2sin 2sin 5563030f b b b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，19. （2011年高考福建卷文科14)若△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________. 【答案】2【解析】由于△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60122AC =⨯⋅,所以AC=2,△ABC 为正三角形,所以AB=2.20．（2011年高考湖北卷文科6)已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 答案：Acos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得22()3k x k k z ππππ+≤≤+∈，所以选A.三、解答题：22. （2011年高考山东卷文科17)（本小题满分12分） 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ） 求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cos C 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA =2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.23.(2011年高考安徽卷文科16) (本小题满分13分)在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。
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2011年三角函数高考题
一、选择题
1.（重庆理6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足2
2
a b 4c +-=（），且C=60°，
则ab 的值为
A ．4
3 B ．843- C ． 1 D ．2
3
2.（浙江理6）若
02π
α＜＜
，
02
π
β-
＜＜，
1cos(
)4
3π
α+=
，
3cos(
)4
2
3π
β
-
=
，则
c o s ()2
β
α+
=
A ．3
3 B ．33-
C ．53
9
D ．
69-
3.（天津理6）如图，在△ABC 中，D 是边A C 上的点，且
,23,2AB C D AB BD BC BD
==
=，则sin C 的值为
A ．3
3 B ．3
6
C ．6
3 D ．6
6
4.（四川理6）在∆ABC 中．2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是
A ．（0，6π
]
B ．[ 6π，π）
C ．（0，3π]
D ．[ 3π，π）
10.（辽宁理4）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos2A=a 2，
则=
a
b
（A ）23
（B ）22
（C ）3 （D ）2
15.（上海理6）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0
75,60
C AB C BA ∠=∠=，
则A ．C 两点之间的距离是 千米。
18.（全国新课标理16）A B C ∆中，60,3,
B A
C =︒=，则AB+2BC 的最大值为_________．
19.（重庆理14）已知1sin cos 2α=
+α
，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则c o s 2
s i
n 4πα
⎛
⎫α- ⎪
⎝
⎭的值为__________
20.（福建理14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，
则AD 的长度等于______。
21.（北京理9）在A B C ∆中。
若b=5，
4B π
∠=
，tanA=2，则sinA=____________；
a=_______________。
23.（安徽理14）已知A B C ∆ 的一个内角为120o
，并且三边长构成公差为4的
等差数列，则A B C ∆的面积为_______________.
26.（北京理15）已知函数()4cos sin()1
6
f x x x π
=+
-。
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值。
27.（江苏15）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,
（1）若,cos 2)6
sin(A A =+
π
求A 的值；（2）若
c
b A 3,3
1cos ==
，求C sin 的值.
31.（湖北理16）设A B C ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知1
1. 2.cos .4a b C ===
（Ⅰ）求A B C ∆的周长（Ⅱ）求()
cos A C -的值
32.（湖南理17）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求3sinA-cos （B+4π
）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。
33.（全国大纲理17）
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C=90°，a+c=2b ，求 C ．
34.（山东理17）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
cos A -2cos C
2c-a =cos B
b
．
（I ）求sin sin C
A 的值；（II ）若cosB=1
4，b=2，A B C ∆的面积S 。
38.（浙江理18）在A B C ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．已知
()sin sin sin ,
A C p
B p R +=∈且2
14ac b
=
．
（Ⅰ）当
5,1
4
p b ==时，求,a c 的值；
（Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；。