第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 (2)-精选文档27页
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连续函数的运算及初等函数的连续性
例、讨论函数y = sin 1的连续性
x
lijuan
解：y = sin 1由y = sin u,u = 1 复合而成
x
x
y = sin u当u ∈ (−∞, +∞)连续
u = 1 当x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)内连续 x
∴ y = sin 1 在(−∞, 0) ∪ (0, +∞)内是连续的（去掉不连续点） x
14
lijuan
定理3与4的比较：
定理3、（1）lim x → x0
g(x)
=
u0存在，
（2）y = f (u)在u = u0处连续
定理4、（1）lim x → x0
g(x)
=
g ( x0
)连续，
（2）lim u →u0
f (u) =
f
(u0 )连续
15
四、初等函数的连续性 lijuan
1、基本初等函数在其定义域内是连续的， 因此，初等函数在其定义区间内连续
证明：∵
lim
x→ x0
g(x)=
g(x0 )
= u0,
lim
u →u0
f (u) =
f
(u0 )
⎫ ⎬
⇐
连续
⎭
连续
= ∴ lim x → x0
f [g(x)] u = g (x)
=
lim f (u)
u →u0
f (u0 )
= f [lim g(x)] x → x0
= f [g(x0 )]
⇒∴连续
13
定理5、设函数u = g(x)当x → x0时极限存在且等于u0，
即：lim x→ x0
g(x) = u0，而函数y
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
e e
e
lim f ( x ) g( x )
x
2( x 1) lim[ ] x 3x 1
2 3
.
例7 . 设 x x F ( x ) f 0 , x x G( x ) g , lim lim
0 0
则 lim F ( x )G ( x ) lim F ( x ) . x x x x 证 . 在 U ( x0 ) 内, F ( x ) 0 , y F ( x )G ( x ) 有意义 , 且 y 0 .
1
3 tan 2 x cot x
内容小结
1 . 连续函数的和 , 差 , 积 (乘方) , 商 ( 除式 0 ) 仍连续 .
2 . 单调的连续函数存在单调连续的反函数 . 3 . 当 f 连续时, lim 与 f 可交换 :
lim f g( x ) f lim g( x ) .
说明: 直接函数与反函数的图 像关于直线 y x 对称 ,
单值 , 单调和连续性从图像上 可反映出来 .
例如, y sin x 在 上连续单调递增，
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
又如, 其反函数 在 在 上连续 单调 递增, 上也连续单调递增.
定理3
4 . 连续函数的复合函数是连续的 .
5 . 一切初等函数在其定义域内都是连续的: lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
f ( x ) 是初等函数, f ( x0 ) 有定义
x x0
lim f g( x ) f
证 . 0 , 欲证 f g( x ) f a .
连续函数的运算与初等函数的连续性
y sin x arcsin x 上连续单调递增， π 例如, 例如 y = sin x在 − 2 −1 O 1 πx 其反函数 y = arcsin x 在[−1, 1]上也连续 2
单调递增.
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又如, 又如
在
上连续 在
y 1
y = ex
y = ln x
单调 递增, 其反函数 上也连续单调递增.
O
1
x
y
1
O
f (0 ) = −1,
−
f (0 ) =1
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+
−1
x
x = 0 为其跳跃间断点 .
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三、连续函数的运算法则
1.在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,商 (分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如 在其定义域内连续 2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. (递减) (递减)
x→x0
无定义 ; 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 不存在; 存在 , 但
lim f (x) ≠ f (x0)
这样的点 称为间断点 . 间断点
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间断点分类: 第一类间断点: 间断点分类: 第一类间断点
及 若 若 均存在 , 称
x0为可去间断点 . 可去间断点
称 x0 为跳跃间断点 . 跳跃间断点 第二类间断点: 第二类间断点 及 中至少一个不存在 ,
x→x0
一切初等函数 在定义区间内 连续
lim f ( x) = f lim x = f ( x0 )
x→x0
(
)
例2 求 解：原式
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单调递增.
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又如, 又如
在
上连续 在
y 1
y = ex
y = ln x
单调 递增, 其反函数 上也连续单调递增.
O
1
x
y
1
O
f (0 ) = −1,
−
f (0 ) =1
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+
−1
x
x = 0 为其跳跃间断点 .
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三、连续函数的运算法则
1.在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,商 (分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如 在其定义域内连续 2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. (递减) (递减)
x→x0
无定义 ; 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 不存在; 存在 , 但
lim f (x) ≠ f (x0)
这样的点 称为间断点 . 间断点
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间断点分类: 第一类间断点: 间断点分类: 第一类间断点
及 若 若 均存在 , 称
x0为可去间断点 . 可去间断点
称 x0 为跳跃间断点 . 跳跃间断点 第二类间断点: 第二类间断点 及 中至少一个不存在 ,
x→x0
一切初等函数 在定义区间内 连续
lim f ( x) = f lim x = f ( x0 )
x→x0
(
)
例2 求 解：原式
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第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 及 第十节 闭区间上连续函数的性质 ㈠．本课的基本要求了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理），掌握连续函数的运算。
㈡．本课的重点、难点连续函数的运算为重点，闭区间上连续函数的性质为难点㈢．教学内容一．连续函数的运算1.连续函数的和、差、积、商的连续性函数的连续性是通过极限来定义的，因此由极限运算法则和连续的定义可得到下列连续函数的运算法则：定理1（四则运算）设)()(),()(),()()(),(0x g x f x g x f x g x f x x g x f ⋅±处连续，则均在（在商的情形下要求0)(0≠x g ）都在0x 处连续。
说明：连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数。
∵x x x x cot tan ),(cos sin 、内连续，均在和∴+∞-∞在其定义域内也是连续的。
2.反函数与复合函数的连续性定理 2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(1y f x -=也在对应的区间}),(|{x y I x x f y y I ∈==上单调增加（或单调减少）。
（证略） 例 由于x y sin =在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上单调增加且连续，所以它的反函数x y arcsin =在闭区间]1,1[-上也是单调增加且连续的。
类似可得：x y arccos =在闭区间]1,1[-上单调减少且连续；x y arctan =在区间),(+∞-∞内单调增加且连续；x arc y cot =在区间),(+∞-∞内单调减少且连续。
总之反三角函数在它们的定义域内都是连续的。
定理3（复合函数极限定理） 设函数)(x u ϕ=当0x x →时极限存在且等于a ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那么复合函数)]([x f y ϕ=当0x x →时极限存在，且等于)(a f ，即)()]([lim 0a f x f x x =→ϕ。
高数课件：第一章、第九节 连续函数的运算与性质
左、右连续性.
思考与练习
续? 反之是否成立? 提示: f ( x ) 在 x 0 连续， lim f ( x) f ( x0 )
x x0
且 0 f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x ) 0 0
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
x
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 且 ( x0 ) u0 .
即
于是 故复合函数 意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
u u 0
lim f (u )
f [ ( x0 )]
2.变量代换(u ( x))的理论依据.
例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
e
6x x0 sin x lim
1 ln(1 2 x ) 2 x
e
e
6x lim x0 sin x
1 ln[lim(1 2 x ) 2 x x0
]
6 ln e
e
6
例5. 求
另解: 原式
3 sin x ln(1 2 x )
3 2x x
v( x) , 则有 说明: 若 lim u ( x) 0 , xlim x0
y sin x arcsin x 上连续单调递增， 例如, y sin x 在 2 1 其反函数 y arcsin x 在[1, 1]上也连续单调 O 1 x
2
(证明略)
递增.
又如,
在 上也连续单调递增.
上连续 在
y 1
单调 递增, 其反函数
y ex y ln x
O
1
ln(1 x) ~ x 时, 有 e x 1 ~ x
思考与练习
续? 反之是否成立? 提示: f ( x ) 在 x 0 连续， lim f ( x) f ( x0 )
x x0
且 0 f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x ) 0 0
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
x
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 且 ( x0 ) u0 .
即
于是 故复合函数 意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
u u 0
lim f (u )
f [ ( x0 )]
2.变量代换(u ( x))的理论依据.
例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
e
6x x0 sin x lim
1 ln(1 2 x ) 2 x
e
e
6x lim x0 sin x
1 ln[lim(1 2 x ) 2 x x0
]
6 ln e
e
6
例5. 求
另解: 原式
3 sin x ln(1 2 x )
3 2x x
v( x) , 则有 说明: 若 lim u ( x) 0 , xlim x0
y sin x arcsin x 上连续单调递增， 例如, y sin x 在 2 1 其反函数 y arcsin x 在[1, 1]上也连续单调 O 1 x
2
(证明略)
递增.
又如,
在 上也连续单调递增.
上连续 在
y 1
单调 递增, 其反函数
y ex y ln x
O
1
ln(1 x) ~ x 时, 有 e x 1 ~ x
连续函数运算法则和初等函数连续性
指数函数和对数函数的连续性
指数函数
$f(x) = a^x$，其中 $a > 0, a neq 1$。 对于任意 $x_0$，有 $f(x_0) = a^{x_0}$， 因此，指数函数在定义域内是连续的。
VS
对数函数
$f(x) = log_a x$，其中 $a > 0, a neq 1$。 对于任意 $x_0 > 0$，有 $f(x_0) = log_a x_0$，因此，对数函数在定义域内也是连 续的。
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续 。
连续函数的性质
局部性质
如果函数在某点连续，则在该点 附近具有局部性质，如局部有界 性、局部单调性等。
整体性质
如果函数在区间上连续，则在整 个区间上具有整体性质，如整体 有界性、整体单调性等。
连续函数的图像
01
连续函数的图像是连续的曲线或 折线，没有间断点。
应用
可以用来证明一些不等式和求解方程的近似解。
开区间上连续函数的不动点定理
不动点定理
应用
如果函数在闭区间上连续，且在该区间内存 在一个不动点，即函数值等于该点的函数值， 则在该区间内至少存在一个不动点。
可以用来证明一些数学问题，如解方程的近 似解和求解优化问题等。
感谢您的观看
THANKS
05
初等函数在开区间上的连续性
开区间上连续函数的性质
极限性质
如果函数在某点的极限存在，则该点是函数 的连续点。
局部性质
如果函数在某点的左右极限相等，则该点是 函数的连续点。
增减性
如果函数在某区间内单调增加或单调减少， 则该区间内函数是连续的。
开区间上连续函数的介值定理
高数上 连续函数的运算与性质
解 因为
3
(1 2 x)sin x
(1 2 x)21xsin1 x6 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所以
3
lim(1 2 x)sin x
x0
lim
x0
(1
2
x
)
1 2x
x sin
x6
e6 .
初等函数的连续性
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的;
指数函数 y a x (a 0,a 1)在(,)内单调
单调减少)且连续, 则它的反函数 x ( y)也在对应
的区间 I y { y | y f ( x), x I x }上 单调增加(或单
调减少)且连续. 证略
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x 在区间(,)内单调增加且连续;
反函数的连续性
定理2 若函数 y f ( x) 在区间 I x 上单调增加(或
1
x)x
lnlxim0 (1
1
x)x
ln e 1 .
例 2 求 lim cos( x 1 x) . x
解 lim cos( x 1 x) x
coslxim (
x 1 x)( x 1 x1 x
x)
coslxim
1 x1
x
cos0 1 .
3
例 3 求 lim(1 2 x)sin x . x0
复合函数的连续性
定理4 设函数 u ( x) 在点 x0 处连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点 u u0 处连续,
复合函数的连续性
定理4 设函数 u ( x) 在点 x0 处连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点 u u0 处连续,
高等数学第一章函数与极限第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
1
y) y
1.
同理可得
ax 1
lim
ln a.
x0 x
2020/2/13
7
定理4 设函数u ( x)在点 x x0连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点u u0 连续, 则复合函数 y f [( x)]在点 x x0也连续.
例如,
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
2020/2/13
10
注1 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其 定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义.
y x 2 ( x 1)3 , D : x 0, 及x 1,
在(,)内单调且连续;
3 对数函数 y loga x (a 0, a 1)
在(0,)内单调且连续;
2020/2/13
9
4
y x a
loga x
在(0, )内连续,
y au,
u log x. a
讨论不同值,
(均在其定义域内连续 )
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
2020/2/13
13
思考判断题
设 f ( x) sgn x ， g( x) 1 x 2 ，试研 究复合函数 f [g( x)]与g[ f ( x)]的连续性.
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14
lim f [ ( x)] f (a) [lim ( x)].
x x0
x x0
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5
注： 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u ( x))的理论依据.
19连续函数的运算与初等函数的连续性72226
在0点的邻域内没有定义.
函数在区间[1,)上连续.
注意 2. 初等函数求极限的方法代入法.
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
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补例 求 lim sin e x 1. x1
解 原式 sin(lim ex 1) sin e 1. x1
1, x 0 f (x) 0, x 0
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1
1, x 0
f [g( x)]在(,)上处处连续
g[
f
(
x
)]
1
sgn
x
2
2, 1,
x0 x0
g[ f ( x)]在(,0) (0,)上处处连续
定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数也连续单调
递增 (递减). (证明略)
例如, y sin x在
上连续单调递增，
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
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又如, 其反函数
在 在
上连续 单调 递增, 上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的.
xx0
xx0
lim v( x)ln u( x)
exx0
eblna ab
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例8. 求 解: 原式
3 sin
x
ln(1
2
x)
3 2x
x
说明:
3
1 6x
lim 1 2x sin x lim 1 2x 2x sin x
1.9 连续函数的运算与初等函数连续性
x→ x0
则有 lim f [ϕ ( x)] = f (a) = f [ lim ϕ ( x)].
x→ x0
x→ x0
进一步，假设
lim
x→ x0
ϕ
(
x
)
=
ϕ
(
x0
)
则有 lim
x→ x0
f [ϕ ( x)] =
f [ lim ϕ( x)]
x→ x0
=
f [ϕ ( x0 )]
定理4 设函数 u = ϕ ( x) 在点 x0 处连续 , 且 ϕ ( x0 ) = u0 , 而函数 y = f (u) 在点 u = u0 处连续 ,
则复合函数 y = f [ϕ ( x)] 在点 x = x0 处也连续 .
注意 定理4是定理3的特殊情况.
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内
是连续的.
★ 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1)
在(−∞,+∞)内单调且连续;
★ 对数函数 y = loga x (a > 0, a ≠ 1)
f ( x0 )
( x0 ∈ 定义区间 )
例2 求 lim sin e x − 1. x→1
解 原式 = sin e1 − 1 = sin e − 1.
例3 求 lim 1 + x 2 − 1 .
x→0
x
解
( 1 + x2 − 1)( 1 + x2 + 1) 原式 = lim
x→0
x( 1 + x2 + 1)
第九节 连续函数的运算与性质
• 一、四则运算的连续性 • 二、反函数与复合函数的连续性 • 三、初等函数的连续性 • 四、小结
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x 0sin x
x 0sin x
6
ln(1+2x) ~ 2x (x→0)
17
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【补充】 若lim u(x)0, lim v(x), 则有
x x0
xx0
1 型
lim 1u(x)v(x)e
x x0
limv(x)u(x)
exx0
ln[1+u(x)] ~ u(x) (u(x)→0)
由 f(x)、 g(x)在 x0点的连 可续 知性
0
1 0 ,当 x x 01时 ，f(x)A
2 0 ,当 x x 02时 ， g(x)A
取 m 1 ,i 2 ,n 则x当 x0时 ,上两式同时成立
【证明】 仅 ( x ) m 证 f ( x ) a g ( x , ) 在 x x x 0 连
在 xx0点，有且仅有三种情形：
(1 )f(x 0 )g (x 0 )(;2 )f(x 0 )g (x 0 )(; 3 )f(x 0 ) g (x 0 )
(1 )当 f(x 0 ) g (x 0 )时 ; ( x 0 ) m f ( x 0 ) g ( x 0 a ) , f ( x 0 x ) 20 机动 目录 上页 下页 返回 结束
x 0
x 0
同理
limloga(1x) 1
x0
x
ln a
（即教材例6）
6
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【教材例3】
求lim x3
x3 x2 9
【解】 y
x3 x2 9
可视为由
y
u、
u
x3 x2 9
复合而成， 又lx i3m xx2391 6
而y u在点 u1连续
原式 lim y lim y0ln1(y) y0
1
1
ln(1 y) y
ln(1 y) y
ln lim (1 y ) y
1 ln e
1.
y 0
y 0
同理可得 limax 1lna. （即教材例7） x0 x
9
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yarcx t,a y narccoxt在 (, ) 上 单 调 且
【结论】反三角函数在其定义域内皆连续.
3
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2、复合函数的连续性
【定理3】若 x l ix0m g(x)u 0,函f数 (u )在u 0连 点,续 则x l 有 ix0m f[g(x) ]u l iu 0m f(u )f(u 0)f[x l ix0m g(x)].
4
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恒 g (x ) 有 u 0 u u 0成 . 立
将上两步综合起来:
0 , 0 ,使 0 x x 0 当 时 ,
f ( u ) f ( u 0 ) f [ g ( x ) f ] ( u 0 )成立 .
【证】 f(u )在 u 点 u 0 连 , 续
0 , 0 ,使u 当 u 0 时 , 恒f(有 u )f(u 0)成 . 立
又 x l x i0g m (x ) u 0 ,
对 0 , 于 0 ,使 0 x x 0 当 时 ,
6
则
(§ 3 例 5 已 x l x i 0证 x m x 0 x 0 0 )
lim
x3
x3 x2 9
交换次lx i序 m 3xx239
1 6 66
7
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又如
lim arcx c2 oxsx ()
x
分子有理化
lim arccoxs
又 f( x 0 ) g ( x 0 ) 0(1)式x 对 x0也成
即当 x x 01时f(x ) g (x ) (2)
则 x 当 U (x 0 ,1 )时 ,
21
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( x ) m f ( x ) g ( a x , ) f ( x x ) (3
x l x i0f m [g (x ) ]f(u 0 )f[x l ix0m g(x)].
【注意】 本节定理3是§5定理6（复合函数求极 限的法则）的特例，外层函数由原来 的极限存在加强为连续。
5
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【意义】 1.变量(u 代 (换 x)的 ) 理论 . 依据
x
x2xx 分离无穷小量
1
limarccos
x
1 1 1
x
arccolism 1
x 111
x
交换次序： 用arccosu的 连续性
arccos1 2
3
8
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【例2】 求limex 1. x0 x
【解】令ex1y, 则 xln 1 (y),当 x 0 时 ,y 0.
19
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教材习题1—9 P69 第2题 解答
2 .设f函 (x )与 g (x 数 )在 x 0点 点,连 证续 明函 ( x ) m f ( x ) a g ( x , ) , x ( x ) m f ( x ) i g ( x , n ) 在点 x0也连.续
第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性
一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结 思考题
1
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一、连续函数的四则运算的连续性
由函数“点连续”的定义和极限四则运算法则，立 得: 【定理1】 若f(x) , g(x)在点x0处连续，则f(x)±g(x) ，
讨论 不同, (值 均在其定义域内连续 )
【定理5】 基本初等函数在定义域内是连续的.
基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数 在定义区间内 连续【定理6】
定义区间是指包含在定义域内的区间.
14
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【注意】 1.初等函数仅在其定义区间内连续,
f(x)g(x) , f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在点x0处也连续. ［例如］six,n co x 在 s(, )内 （连 .上节已续 证）
tan x,coxt,sexc,csxc在其定义域 . 内 【结论】三角函数在其定义域内连续.
【推广】有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。
［例如］ y sin 1 是由连续函数链 x
xR*
复合而成 , 因此
在 xR* 上连续 .
y
y sin 1
x
o
x
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【关系】
§5 定理6：内、外层函数极限都存在，则 复合函数极限存在.(叙述不严格)
本节定理3：内层函数极限存在、外层函数 加强为连续，则复合函数极限存在，且极限 符号和函数符号可交换次序.
6
x
1
ln1(2x)2x
sinx
由定理3及极限运算法则得
e 3
lim(12x)sinx
lim6
x
1 ln1(2x)2x
x0 sinx
e6
e x0
【解Ⅱ】
e e e 3
lim(12x)sinx
x0
lim3 ln1 (2x) lim3 2x
【定理4】 设函u数 g(x)在点 xx0连,续 且 g(x0)u0, 而函y数 f(u)在u 点 u0连,续 则复合y函 f[g数 (x)]在点 xx0也连 . 续
简言之： 内、外层函数在对应点都连续，则复 合函数连续
【注意】定理4是定理3的特殊情况.
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此即 x l ix0m (x)(x0) 则 (x)在x0点连续
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( 2 )当 f( x 0 ) g ( x 0 ) 时 ， 类 ( 1 )可 似证
(3 )当 f(x 0 ) g (x 0 )时 , ( x 0 ) f ( x 0 ) g ( x 0 ) A
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【一般地】 形 u ( x ) v ( 如 x )( u ( x ) 0 ,u ( x ) 1 ) 的函数称为幂指函数
若 liu m (x )a0 lim v(x)b 则 lim u(x)v(x)ab （是定式情况下成立）
【注意】 ①.lim表示自变量的同一变化过程中的极限. ②.不能分两步写作：limu(x)v(x)alim v(x) ab
本节定理4：内、外层函数都加强为连续，则复 合函数也连续（极限存在且等于函数值、极限 符号和函数符号可交换次序）.
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三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.（已证）
★ 指数 y a x 函 (a 0 数 ,a 1 )
在(,)内单调且连续
在其定义域内不一定连续;
［例如］ yco x 1 s, D :x 0 , 2 , 4 ,
在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义.
则既不是连续点也不是间断点 见《高数学
［又如］
习指导》P8
y x2(x1)3, D :x 0 ,及 x 1 ,注（3）
在0点的某去心邻域内没有定义.
又 f(x)在 xx 0连续
0 , 2 0 ,当 x x 0 2 时
f( x ) f( x 0 )