2017届天津市南开中学高三第五次月考数学(理)试题(解析版)

2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}2230A x x x =--，集合{}2|4B x Z x x =∈≤，则R A B ⋂=ð（ ）A. {}|03x x ≤≤B. {}0,1,2,3C. {}10,1,2,3-，D. {}1,2 【答案】B【解析】因为{}()()()2230={|(310},13,A x x x x x x =---+>=-∞-⋃+∞，{}(){}2|4{Z |40}0,1,2,3,4B x Z x x x x x =∈≤=∈-≤=，所以()1,3R A =-ð，{}0,1,2,3R A B ⋂=ð；故选B.点睛：在利用描述法表示集合时，要注意代表元素的限制条件，以免导致错误，如本题中{}(){}2Z|4{Z |40}0,1,2,3,4B x x x x x x =∈≤=∈-≤=表示符合不等式24x x ≤的整数解， {}()[]2R|4{|40}0,4B x x x x R x x =∈≤=∈-≤=表示符合不等式24x x ≤的实数解.2．设变量,x y 满足约束条件20{2360,3290x y x y x y -+≥+-≥+-≤则目标函数2z x y =-的最大值是（ ）A. -2B. 2C. -6D. 6 【答案】D【解析】将2z x y =-化为2y x z =-，作出可行域和目标函数基准直线2y x =，当直线2y x z =-向左上方平移时，直线2y x z =-在y 轴上的截距z -增大，即z 减小，由图象，得当直线2y x z =-过点()3,0A 时， z 取得最大值236⨯=；故选D.3．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】试题分析：输入1=a ，则0=k ，1=b ； 进入循环体，21-=a ，否，1=k ，2-=a ，否，2=k ，1=a ，此时1==b a ，输出k ，则2=k ，选B. 【考点】算法与程序框图4．在6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中， 3x 项的系数为（ ）A. 540B. -540C. 20D. -20【答案】B 【解析】6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()()()6216123166313kk kkkk k k T C xx C x----+=⋅-=-⋅，令1233k -=，得3k =，则3x 项的系数为()333613540C -⋅=-；故选B.5．已知,m n 是两条互相垂直．．．．的直线， α是平面，则//n α是m α⊥的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】D【解析】若,//m n n α⊥，则,m α可能垂直、平行、在面内或相交，即n // α不是m⊥ α的充分条件，若,m n m α⊥⊥，则,n α可能平行、线在面内，即n // α不是m ⊥ α的必要条件，即n // α是m ⊥ α的既不充分也不必要条件；故选D.6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，， ,A B 为双曲线的左右顶点，若点M 在双曲线上，且满足ABM ∆为一个顶角为120︒的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. =y x ±B. =yC. =2y x ±D. =y x ± 【答案】A【解析】由题意，设()()(),0,,0,,A a B a M x y -，则0tan 30{tan 60AM BM y k x ay k x a==+==-，则2221y x a=-，即双曲线的方程为222x y a -=，其渐近线方程为y x =±；故选A.7．设实数,,a b c 分别满足2322,log 1a a b b +==， 5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >> 【答案】C【解析】令()322f x x x =+-，则()322f x x x =+-在R 上单调递增，且()()012110f f ⋅=-⨯=-<，即()0,1a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题.8．若函数()|1|2x f x x -=+与()()31g x k x =-的图象恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. ()0,+∞ C. ()1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】显然，当1x =时，()3112x k x x -=-+成立，若函数()|1|2x f x x -=+与()()31g x k x =-的图象恰有两个公共点，则()3112x k x x -=-+有且只有一个不为1的根，当1x >时， ()3112x k x x -=-+可化为()3112x k x x -=-+，即()()2112x x k=-+，令()()()212h x x x =-+，则()()()3110h x x x =+->'在()1,+∞成立，即10k->，解得0k >；当1x <时，()3112x k x x -=-+可化为()3112x k x x --=-+，即()()2112x x k-=-+，令()()()212h x x x =-+，令()()()3110h x x x =+->'，则1x <-或1x >，则()()()212h x x x =-+在(),1-∞-单调递增，在()1,1-上单调递减，则()114h k-<-=， 解得14k <-，即实数k 的取值范围是()1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；故选C. 点睛：处理两函数图象的交点个数问题，往往将函数的零点、方程的解联系在一起进行处理，如本题中将问题转化为()3112x k x x -=-+的根的个数问题.二、填空题9．设i 为序数单位，则()211ii i+--=-__________． 【答案】1522i -+ 【解析】()()()()(2i)1i 2i 13151i 1i i 1i=i 1i (1i)1i 2222+++--=--=+-+-+--+. 10．已知抛物线的参数方程为22{2x pt y pt==（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若EF MF =，点M 横坐标为6，则p =__________．【答案】4【解析】参数方程为22{2x pt y pt==（t 为参数）的抛物线的标准方程为22y px =（如图所示），设(M ，因为EF MF =62p=+，截得4p =.点睛：在处理涉及抛物线的焦点弦或焦半径的大小时，往往利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.【答案】1π【解析】由三视图，可知该几何体是由两个共底面的正四棱锥组合而成的正八面体，其底面边长为1，四棱锥的高为2，则该几何体的体积为121323V =⨯⨯=，而该几何体的外接球的球心为底面的中心，半径为2，体积为324π3V =⨯=⎝⎭则这个几何体的体积与其外接球体积之比为121:πV V =.12．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a =__________． 【答案】3【解析】设等差数列的公差为()0d d ≠，则112141,2,46S a S a d S a d==+=+，因为124,,S S S 成等比数列，所以()()2111246a d a a d +=+，即()120d d a -=，解得12d a =，则211111123a a d a a a a a ++===. 13．函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线与函数()2g x x =围成的图形的面积等于__________． 【答案】43【解析】因为()321f x x x x =-++，所以()2321f x x x '=-+， ()12f '=，则函数()321f x x x x =-++在点(1，2)处的切线为()221y x -=-，即2y x =，作出草图（如图所示），则所求阴影部分的面积为()2223200142d |33S x x x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.14．已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=，则co s C =__________．【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=，所以456OA OB OC +=-，则222162540c o s 36R R R A O B R ++∠=，即8c o s A O B ∠=-，即()282cos 11C -=-，解得cos C =.三、解答题15．已知函数()()2f x xcosx cos x m m R =-+∈的图象过点,0.12M π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,.a b c 若cos cos 2cos ,c B b C a B +=求()f A 的取值范围.【答案】（Ⅰ）12m =; （Ⅱ）1,1]2-（. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，代点求m 值；（Ⅱ）利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，进而求出π3B =，再利用角A 的范围和三角函数的性质进行求解.试题解析：（Ⅰ）由()()111cos2sin 2262f x x x m x m π⎛⎫=-++=-+- ⎪⎝⎭ 因为点,012M π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以11sin 20,12622m m ππ⎛⎫⋅-+-== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）因为cos cos 2cos ,c B b C a B += 所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B +=所以()sin 2sin cos ,B C A B +=即sin 2sin cos A A B = 又因为()0,,A π∈所以sin 0A ≠ ,所以1cos 2B = 又因为()0,,B π∈所以2,33B A C ππ=+=所以270,23666A A ππππ<<-<-<；令2623A A πππ-==，得()0,,3f A π⎛⎤∴↑ ⎥⎝⎦， ()2,,33f A ππ⎛⎫↓ ⎪⎝⎭， ()1210,1,2332f f f ππ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1sin 2,162A f A π⎛⎫⎛⎤-∈-∴ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的取值范围是1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦. 16．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级. 【答案】（Ⅰ）13; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）一年中平均有120天的空气质量达到一级. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用频率来估计概率即可；（Ⅱ）利用超几何分布的概率公式进行求解，再列表得到分布列；（Ⅲ）利用二项分布的特点和期望公式进行判定. 试题解析：（Ⅰ）设B =这天空气质量为1级， ()51153P B == （Ⅱ）1553N M n ===，，， ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：()()35103150,1,2,3.k kC C P k k C ξ-===（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为,η则1360,3B η⎛⎫- ⎪⎝⎭， 13601203E η∴=⨯=（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级.17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 11,1,2AC BC AC BC AA D ⊥===是棱1AA 上的点， 1.DC BD ⊥（Ⅰ）求证： D 为1AA 中点；（Ⅱ）求直线1BC 与平面BDC 所成角正弦值大小；（Ⅲ）在ABC ∆边界及内部是否存在点M 使得1B M ⊥面,BDC 存在，说明M 位置，不存在，说明理由【答案】（Ⅰ）见解析; （2；（3）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用共线向量进行判定；（Ⅱ）求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用夹角公式进行求解；（Ⅲ）先根据题意设出点的坐标，再利用该直线的方向向量和平面的法向量平行进行求解.试题解析：（1）根据题意以1,,AC BC CC 所在直线为,,x y z 轴()()()()11,0,,0,0,2,0,1,0,0,1,2D h C B B ∴ ()()11,0,2,1,1,DC h BD h ∴=--=-()1201h h h ∴-+-=⇒= D ∴为1AA 中点. （2）()10,1,2BC =-设面BDC 法向量()1111,,n x y z =1111100{{00n CB x z y n CD ⋅=+=∴⇒=⋅=，设()1111,0,1x n =⇒=-11cos ,BC n ∴==（3）设(),,0,01,01,1M x y x y x y ≤≤≤≤+≤()()111,1,21,0,1B M x y B M BDC B M λ∴=--⊥∴=-2{10{112x x y x y λλ==⇒-=⇒⇒>=-=-M ∴不存在18．设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点(),P a b 满足212PF F F =．(Ⅰ) 求椭圆的离心率e ；(Ⅱ) 设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，若直线2PF 与圆()(22116x y ++=相交于M ，N 两点，且58MN AB =，求椭圆的方程．【答案】(Ⅰ) 12e =(Ⅱ) 2211612x y +=【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用|PF 2|=|F 1F 2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）先把直线PF 2与椭圆方程联立求出A ，B 两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程试题解析：(Ⅰ)设()1,0F c -，()2,0F c ． 因为212PF F F =2c =，222240a ac a c -+-=，由c e a =，有24220e e +-=，即2210e e +-=，1e =-（舍去）或12e =． 所以椭圆的离心率为12e =．(Ⅱ) 解．因为12e =，所以2a c =，b =．所以椭圆方程为2223412x y c +=．直线2PF 的斜率bk a c==-，则直线2PF 的方程为)y x c =-． ,A B 两点的坐标满足方程组)2223412,.x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理得2580x cx -=．则10x =，285x c =． 于是110,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 228,5.x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,B ．所以165AB c ==．于是528MN AB c ==．圆心()1,3-到直线2PF的距离d ==，因为22242MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()2232164c c ++=，即2712520c c +-=， 解得2607c =-<（舍去），或2c =．于是24a c==，b ==． 所以椭圆的方程为2211612x y +=． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质19．记{}1,2,100U = ，对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集,T 若T =∅，定义0T S =，若{}12,,,,k T t t t = 定义12k T t t t S a a a =++ 例如： {}1,3.66T =时，1366.r S a a a =++现设{}()•n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时,30T S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,,,T k ⊆ 求证： 1T k S a +<； （Ⅲ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,T k = ，记数列1T S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为H ，求证： 32H <【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈; （2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先由数列为等比数列和当{}2,4T =时, 30T S =求出1a ，再进一步求出数列的通项公式；（Ⅱ）利用等比数列的通项公式和前n 项和公式以及放缩法进行证明；（Ⅲ）利用裂项抵消法和放缩法进行证明. 试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈， 于是当{}2,4T =时， 2411132730.T S a a a a a =+=+=又30,T S =故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{}1*1,2,,,30,n n T k a n N -⊆=>∈ ，所以()11211333132k kk T k S a a a -≤+++=+++=-< . 因此， 1T k S a +＜. （3）1312kT k S a a -=++=()()()1123112313131k k k k T S ++-⇒==--- ()()1112311331313131k k k k k +++⋅⎛⎫<=- ⎪----⎝⎭1111111332882631312k k H +⎛⎫∴-+-++-< ⎪--⎝⎭ ＜法二： ()()111112123312310313331331k k k kk k k k k -----⋅-+-⋅+-==<---11311212313k T k k k T S a a S --=++=⇒=<- 111331213k H ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭∴<<-点睛：对于新定义型数列问题，首先要理解所给新定义和所学知识的联系，能准确利用所学知识解释新定义，是解决此类问题的关键. 20．已知函数32(),()ln f x x x b g x a x =-++=. （1）若()f x 在1[,1)2x ∈-上的最大值为38，求实数b 的值；（2）若对任意[1,]x e ∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（1）的条件下，设(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由。