2018年高中数学复习课三不等式学案苏教版选修520180607132

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高中数学第三章《不等式》教案(苏教版必修5)

5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
二、过程与方法
三、情感、态度与价值观
【教学重点与难点】：
重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性
目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
难点：利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
b 2 4 ac ，则不等式的解
的各种情况如下表： ( 让学生独立完成课本第 86 页的表格 )
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c y ax2 bx c y ax2 bx c
y ax2 bx c
（ a 0 ）的图象
一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0 的根
ax 2 bx c 0 (a 0)的解集
第 14 课时：本章复习与小结
【三维目标】：
一、知识与技能
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”
，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
如果 p 是定值 , 那么当 x y 时， s 的值最小； ○2 如果 s 是定值 , 那么当 x y 时， p 的值最大 .
注意： ①前提：“一正、二定、三相等” ，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ② “和定积最大，积定和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
.
思维拓展：已知 1 a b 5 ， 1 a b 3 ，求 3a 2b 的取值范围。

高三数学专题复习-不等式苏教版

高三数学专题复习-不等式苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题复习-不等式【高考要求】掌握基本不等式与一元二次不等式。

了解线性规划二. 学法指导：1、对于解含有参数的不等式，常常需要分类讨论，分类的原则是不重复、不遗漏，最后结果要按参数的不同X 围分别表达。

（注意：此时不能取并集，这与对变量x 的分段讨论不同。

）2、不等式的应用不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式，求不等式中参数的取值X 围；另一类是建立函数关系式，利用平均值不等式求解实际问题中的最大（小）值。

运用平均值不等式求最值：（a ＞0，b ＞0）当为常数时，用求的最小值，当且仅当时“”ab a b ab a b a b +≥+==2成立。

当为常数时，用求的最大值，当且仅当a b ab a b a b ab a b +≤+⎛⎝ ⎫⎭⎪≤+=22222时“＝”成立。

注意满足条件“一正，二定，三等”。

3、不等式的证明有以下常用方法 1）比较法：（1）作差法：欲证0B A B A >-⇔>即“作差→变形（因式分解或通分）→判定符号→结论”（2）作商法：欲证()0B 1BA0B A >>⇔>> 即“作商→变形→与1比大小→结论” 2）分析法：从待证的不等式出发，寻求不等式成立的充分条件的方法叫分析法，即“执果索因”。

即“要证原不等式成立只要证…只要证已知题设正确结论”⇐⇐⇐()3）综合法：由已知条件和所学过的定义、定理、公理不断推导出所证命题成立的必要条件（由因导果），直至推导出命题的结论的方法叫综合法。

即：已知条件…结论⇒⇒⇒⇒A B在证明过程中，常用的不等式：（），，则，10022a b R a a b ∈≥-≥()（），，则2222a b R a b ab ∈+≥当且仅当时，“”成立。

a b ==（），，则32a b R a b ab ∈+≥+当且仅当时，“”成立。

a b ==（），，则422222a b R ab a b a b ∈≤+≤++()当且仅当时，“”成立。

不等式复习教案

不等式复习教案教案标题：不等式复习教案教案目标：1. 复习学生在不等式方面的基本概念和解题方法。

2. 提供练习机会，巩固学生对不等式的理解和应用能力。

3. 培养学生解决实际问题时运用不等式的能力。

教学资源：1. 教材：包含不等式相关知识点的教科书。

2. 题库：包含不等式练习题的题库或工作簿。

3. 白板、彩色粉笔/白板笔、投影仪等。

教学步骤：引入：1. 利用一个简单的例子引入不等式的概念，例如：“假设你有一张50元的红包，你想买一些糖果和饼干，但是你不能花光所有的钱。

你能够购买的物品有哪些限制呢？”概念复习：2. 提醒学生不等式的符号及其含义，例如：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 复习不等式的基本性质，例如：相等的两个数之间可以互相替换，不等式两边同时加减一个数时，不等号的方向会发生改变等。

解不等式：4. 提供一些简单的不等式例子，引导学生一起解决，例如：2x + 3 > 7。

5. 解释解不等式的步骤，包括移项、合并同类项、除以正数不改变不等号方向、除以负数改变不等号方向等。

练习：6. 分发练习题，让学生独立或合作解答，确保涵盖不等式的各种类型和难度级别。

7. 在学生完成练习后，进行讲解和讨论，解释正确答案的求解过程。

应用：8. 提供一些实际问题，例如：“一个游乐园门票的价格是每人30元，你有100元，你最多能带几个朋友一起去游乐园？”引导学生运用不等式解决实际问题。

总结：9. 总结不等式的基本概念和解题方法，强调学生在解决实际问题时的应用能力。

10. 鼓励学生继续练习和巩固不等式的知识和技能。

拓展活动：11. 鼓励学生寻找更多的不等式问题，并尝试解决它们。

12. 提供更多挑战性的不等式练习题，以满足学生的不同需求和能力水平。

评估：13. 设计一些评估题目，测试学生对不等式的理解和应用能力。

14. 根据学生的表现，给予针对性的反馈和指导。

教学延伸：15. 将不等式与其他数学概念（如代数方程、函数等）进行联系和比较，帮助学生更好地理解和应用不等式。

高中数学第3章不等式复习教学案(无答案)苏教版必修5

不等式专题复习【学习目标】会运用基本不等式解决一些问题．【课前预习】1、（1）函数2231x x y --=的定义域为_________________；（2）比较大小：122-_________________310-；（3）已知}01|{>+=x x M ，}011|{>-=x x N ，则=⋂N M _________________；（4）不等式031>--x x 的解集是_________________；（5）方程05)2(2=++++m x m x 有两个正根，则m 的取值范围是_____________；（6）已知00>>>x b a ，，那么x a xb ++的取值范围是________________________；（7）已知b a ，都是正数，4=ab ，则b a +的最小值是_________________；【课堂研讨】例1.已知c b a >>，求证：c a c b b a -≥-+-411．例2.解关于x 的不等式：)(12R a a x ax ∈ +<-．例3 证明不等式：（1）若00>>b a ，，且b a ≠，则3322b a b a ab +<+；（2）若b a ，是实数，且b a ≠，则4433b a b a ab +<+；（3）把（1）和（2）中的不等式推广到一般情形，并证明你的结论．【学后反思】【课堂检测】1．已知00>>b a ，，则222b a +与2b a +的大小关系是222b a +_______2b a +． 2．已知0>ab ，那么a b b a +________2；已知0<ab ，那么ab b a +________2-； 3．函数θθθcos 2cos )(+=f ，)22(ππθ -∈，，则)(θf 的最小值为____________． 4．函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示．（1）方程0)(=x f 的解集是______________________；（2）不等式0)(<x f 的解集是____________________；（3）不等式0)(>x f 的解集是_____________________． 5．甲、乙两同学分别解“)1[∞+ ∈，x ，求函数122+=x y 的最小值”的过程如下：甲：x x x y 221221222=⋅≥+=，又1≥x ，所以2222≥x ．从而2222≥≥x y ，即y 的最小值是22．乙：因为122+=x y 在)1[∞+ ，上单调递增，所以y 的最小值是31122=+⨯．试判断谁错？错在何处？【课后巩固】1．若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，试比较R Q P ，，的大小．2．已知数列}{n a 的通项公式902+=n n a n ，+∈N n ，则数列中最大项是第_______项．3．若直角三角形两条直角边的和等于10，则当该直角三角形面积最大时，斜边的长是________________________．4．求函数)0(432> --=x x x y 的最大值．5．已知关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 有两个根，且一个根比1小，另一个根比1大，求实数a 的取值范围．6．设不等式x x ax ax 424222+<-+对任意实数x 均成立，求实数a 的取值范围．。

不等式的解法复习教案苏教版教案

不等式的解法复习教案【教学课题】不等式的解法复习（两课时）【教材的地位和作用】本节内容属于高中数学的工具性知识，是一个核心内容。

考纲要求“掌握简单不等式的解法”，在近年高考中，解不等式往往以求取值范围的设问方式呈现，通过相关知识，转化为解不等式或不等式级的问题，并且往往含有参数，有一定的综合性和难度，常与求定义域、求函数的单调区间等结合。

【教学目标】1、知识目标①使学生了解不等式的各种类型②使学生理解掌握不等式、方程和函数的关系③使学生掌握各类不等式的解法2、能力目标：培养学生等价转化思想、分类讨论思想、函数方程思想、数形结合思想等数学思想方法。

3、德育目标：①培养学生积极主动参与教学活动的习惯；②培养学生勤奋好学，努力拼搏，不惧困难的精神。

【教学重点】通过对各类不等式解法的归纳，使学生逐步形成解不等式一般思路。

【教学难点】１．让学生充分理解不等式和、方程、函数三者的关系，并能应用这个关系解题２．解不等式过程是否为等价变形３．解含参不等式找出正确的分类标准，做到不重不漏。

【教学方法】讲解法，讲练结合【学生学法】数形结合法，练习法，等价转化法。

【教学课型】复习课【所用教材】《全品－高考复习方案》【教学过程】利用Powerpoint依次显示下列结论、例题、练习：一、不等式、方程、函数的关系：１、不等式解集的端点值就是不等式对应方程的根或无定义点例1.己知关于x的不等式0)32()(<-++baxba的解为)31,(--∞，求关于x的不等式)2()3(>-+-abxba的解集.解：此处由教师在黑板上写出。

练习：若不等式|ax+2|<6的解集为（-1，2），则a=________.２、不等式))(()(<>或xgxf的解就是函数)(xf图像高于（或低于）)(xg图像时对应的自变量ｘ的范围。

例２．见教材P114－３３、方程)()(xgxf=的解就是函数)(xf图像与)(xg图像相交时交点的横坐标。

2018年高中数学第三章不等式3.4基本不等式学案苏教版选修520180607121

3.4 基本不等式[新知初探]1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，把ab 称为正数a ，b 的几何平均数．(2)基本不等式定义：如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时取“＝”． (3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．[点睛] 基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b 2，即只能有ab ＜a ＋b 2.3．设x ，y 为正实数(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .[小试身手]1．若x >0，则x ＋4x的最小值为________．解析：∵x >0，∴x ＋4x≥4. 答案：42．若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值是________．解析：∵x ，y ∈(0，＋∞)，则1＝x ＋4y ≥4xy ，即xy ≤116，当且仅当x ＝12，y ＝18时等号成立．答案：1163．实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y 的最小值是________．解析：利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y . ∵x ＋2y ＝2，∴3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y ，即x ＝1，y ＝12时取等号．答案：64．给出下面结论：①若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2； ②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4. 其中正确结论的序号是________．解析：①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]，所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0，即a >1，b >1时才成立；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ＝4成立．答案：①③[典例] (1)已知m ＝a ＋a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．[解析] (1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2a －1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n . (2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ； Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R . 所以P <Q <R .[答案] (1)m >n (2)P <Q <R[活学活用]已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．解：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，所以 a 2＋b 2≥22(a ＋b )，同理 b 2＋c 2≥22(b ＋c ), c 2＋a 2≥22(c ＋a )，所以 a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]，即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.。

2018年高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式学案苏教版选修520180607116

3.2 一元二次不等式第一课时一元二次不等式的解法预习课本 P75～80，思考并完成以下问题 (1)什么样的不等式是一元二次不等式？(2)如何求解一元二次不等式？(3)怎样理解三个二次之间的关系？[新知初探]1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式叫做一元二次不等式，即形如 ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)或 ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中 a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的 x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ>0 Δ＝0 Δ<0Δ＝b 2－4ac二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象有两相等实根一元二次方程 ax 2＋bx ＋c有两相异实根 x 1，b＝0(a >0)的根x (x ＜x) 2 1 2 x 1＝x 2＝－2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0) 的解集 Error!或 x >x 2} Error!R ax 2＋bx ＋c <0(a >0) 的解集{x |x 1 < x < x 2}∅∅[小试身手]1．不等式 9x 2＋6x ＋1≤0 的解集是________．11 解析：变形为(3x＋1)2≤0，∴x＝－.31答案：{ 3 }－2．不等式2x＋35－x2>0的解集是________．解析：原不等式等价于x2－2x－35<0，即(x＋5)(x－7)<0，即－5<x<7.答案：{x|－5<x<7}3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．解析：由x2－2x－5>2x得x2－4x－5>0，因为方程x2－4x－5＝0的两根为－1,5.故不等式x2－4x－5>0的解为x<－1或x>5.答案：{x|x<－1或x>5}4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是________．解析：根据定义，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2<x<1.答案：(－2,1)一元二次不等式的解法[典例]解下列不等式：(1)x2－x－6>0；(2)25x2－10x＋1>0；(3)－2x2＋x＋1<0.[解](1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图象知x2－x－6>0的解集为{x|x>3或x<－2}．1(2)方程25x2－10x＋1＝0有两相等实根，x1＝x2＝.结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图5象知25x2－10x＋1>0的解集为Error!.1(3)法一：方程－2x2＋x＋1＝0的解为x1＝－，x2＝1，函数y＝－212x2＋x＋1的图象是开口向下的抛物线，与x轴的交点为( 和－，0)22(1,0)，如图，观察图象知不等式的解集为Error!.法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，1方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－，x2＝1；画出函数y＝2x2－x－1的2图象如图所示．观察图象，可得原不等式的解集为Error!.一元二次不等式的2种方法(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口决如下“大于取两边，小于取中间”．[活学活用]1．不等式x2＋x－12<0的解集是________．解析：由x2＋x－12＝0，解得x1＝3，x2＝－4.∴不等式x2＋x－12<0的解集是{x|－4<x<3}．答案：{x|－4<x<3}2．解下列不等式：(1)2＋3x－2x2>0;(2)x(4－x)≤x(x＋3)－3.解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，∴(2x＋1)(x－2)<0.故原不等式的解集是Error!.(2)原不等式可化为2x2－x－3≥0，∴(2x－3)(x＋1)≥0，故原不等式的解集是Error!.简单分式不等式的解法32x－1[典例]解不等式：>1.x＋32x－1[解]法一：原不等式化为－1>0，x＋3x－4即>0，所以x－4与x＋3同号．x＋3故有Error!或Error!解得x>4或x<－3，所以原不等式的解集为{x|x<－3或x>4}．x－4法二：原不等式化为>0，x＋3等价于(x－4)(x＋3)>0，∴原不等式解集为{x|x<－3或x>4}．f x f x简单的分式不等式在求解时多化为>0，<0的形式，在变形的过程中，要注g x g xf x意等价性，同时要注意不等式是否含有等号，如≥0⇔Error!或Error!但不等价于g xf(x)g(x)≥0.[活学活用]x－1不等式≥2的解集为____________．xx－1 x－1解析：≥2化为－2≥0，x x－x－1 x＋1即≥0，即≤0.x x它等价于Error!⇒－1≤x<0.∴原不等式解集为{x|－1≤x<0}．答案：{x|－1≤x<0}三个“二次”关系的应用[典例]已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为Error!，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．[解]因为x2＋px＋q＜0的解集为Error!，1 1所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，2 3由根与系数的关系得Error!解得Error!41 1所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x ＜6 63.即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x 的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．[活学活用]ax－1 11．已知x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪，＋∞)，则a＝____________.x＋1 (－2ax－1解析：<0等价于(ax－1)(x＋1)<0.x＋1即ax2＋(a－1)x－1<0.1∴－1，－是方程ax2＋(a－1)x－1＝0的根．2∴Error!解得a＝－2.答案：－22．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求不等式cx2－bx＋a>0的解集．解：由题意知Error!即Error!1 1代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．即6x2＋5x＋1<0，解得－<x<－，2 3所以所求不等式的解集为Error!.层级一学业水平达标1．不等式x2>x的解集是________．解析：由x2>x，得x(x－1)>0，所以解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)2．不等式(x＋2) x2－9≤0的解集为________．解析：Error!或x2－9＝0，即Error!或x＝±3，即x≤－3或x＝3.答案：(－∞，－3]∪{3}3．不等式组Error!的解集为____________．5解析：∵x2－1<0的解集为{x|－1<x<1}，x2－3x<0的解集为{x|0<x<3}，∴Error!的解集为{x|0<x<1}．答案：{x|0<x<1}4．关于x的不等式(ax－2)(x＋1－a)<0的解集为A，若2∈A，则a的取值范围为________．解析：因为2∈A，所以(2a－2)(2＋1－a)<0，得a∈(－∞，1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)3x－15．不等式≤0的解集为____________．x－23x－1解析：不等式≤0等价于Error!x－21 解得≤x<2.3答案：Error!6．函数y＝x＋3＋log2(x2－4x＋3)的定义域为________．解析：要使函数有意义，只需Error!即Error!解得－3≤x<1或x>3.答案：[－3,1)∪(3，＋∞)7．若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0在1<x<4内有解，则实数a的取值范围是____________．解析：令f(x)＝2x2－8x－4－a＝2(x－2)2－12－a数形结合知只需f(4)>0即可．即2×42－8×4－4－a>0，解得a<－4.答案：(－∞，－4)ax8．不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，那么a的值为________．x－1ax ax a－1x＋1解析：<1化为－1<0，即<0.x－1 x－1 x－1等价于[(a－1)x＋1](x－1)<0.∴(a－1)x2－(a－2)x－1<0.∴1,2是方程(a－1)x2－(a－2)x－1＝0的两个根．1∴Error!解得a＝.21答案：219．求函数y＝lg(x2－2x－3)＋的定义域．－x2＋3x＋10解：依题意可得Error!6解得Error!∴不等式组的解是－2<x <－1或 3<x <5， ∴函数的定义域为(－2，－1)∪(3,5)．2 01610．若函数 f (x )＝的定义域是 R ，求实数 a 的取值范围． ax 2＋2ax ＋2 解：因为 f (x )的定义域为 R ，所以不等式 ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当 a ＝0时，不等式为 2>0，显然恒成立； (2)当 a ≠0 时，有Error!即Error! 所以 0<a <2.综上可知，实数 a 的取值范围是[0,2)．层级二应试能力达标x1．不等式 <0的解为________． 2x －11 解析：x (2x －1)<0⇒x ∈( 2 ).0，1答案：( 2 )0，2．集合 A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，则 A ∩B ＝________.解析：A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6>0}＝{x |x <2或 x >3}，所以 A ∩B ＝{x |1≤x <2或 3<x ≤4}．答案：{x |1≤x <2或 3<x ≤4}3．不等式 ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－2,1)，则不等式 ax 2＋(a ＋b )x ＋c －a <0的解集为 ________．b 解析：由题意，∵不等式 ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－2,1)，∴a <0，－2＋1＝－，(－2)×1＝ac， a∴b ＝a ，c ＝－2a ，∴不等式 ax 2＋(a ＋b )x ＋c －a <0为 ax 2＋2ax －3a <0，即 x 2＋2x －3>0， (x ＋3)(x －1)>0， ∴x <－3或 x >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)1ax －2b4．关于 x 的不等式 ax －b >0的解集是( ，＋∞)，则关于 x 的不等式>0的解集是2－x ＋5________．1ax －2b( ，＋∞)⇒a>0，且a－2b＝0，则不等式>0等价于解析：不等式ax－b>0的解集是2 －x＋57x－1>0⇔(x－1)(x－5)<0⇔1<x<5.－x＋5答案：(1,5)5．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为Error!，则2x2＋bx＋a<0的解集为________．1 1解析：由题意知－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，由根与系数的关系得，2 3Error!解得Error!∴2x2＋bx＋a<0可化为2x2－2x－12<0.即x2－x－6<0.∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3.∴2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－2<x<3}．答案：{x|－2<x<3}6．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.答案：27．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，(1)∵A∩B＝[0,3]，∴Error!∴Error!∴m＝2.(2)∁R B＝{x|x<m－2或x>m＋2}．∵A⊆∁R B，∴m－2>3或m＋2<－1，∴m>5或m<－3.故m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．8．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．b解：(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－>1，2ac∴a<0且>1，∴ac>0，∴对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，a∴函数y＝f(x)必有两个不同的零点．b－a2＋4ac－2a－c2＋4ac c c(a)2＋8(a)＋(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝a2 ＝a24，8由不等式 ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程 ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为 1和ct (t >1)，由根与系数的关系知＝t ，∴|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．a∴|m －n |> 13，∴|m －n |的取值范围为( 13，＋∞)．第二课时一元二次不等式的解法及其应用(习题课)解含参数的一元二次不等式[典例] 已知 a ＞0，解关于 x 的不等式(x －2)(ax －2)>0. [解] 当 a >0时，原不等式可化为2(x －2)( a )>0.x －2(1)当 0<a <1时，两根的大小顺序为 2< ，原不等式的解集为Error!；a 2(2)当 a ＝1时，2＝，原不等式解集为{x |x ≠2}；a2(3)当 a >1时，两根的大小顺序为 2> ，原不等式的解集为Error!.a 综上所述，当 0<a <1时，原不等式解集为Error!；当 a ＝1时，原不等式解集为{x |x ≠2}；当 a >1时，原不等式解集为Error!.不等式时，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式再对参数进行讨论；若不易分解因式则可对判别式分类讨论；若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数为零的情形，然后考虑二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应的方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．另外，注意参数的取值范围，并在此范围内进行分类讨论．[活学活用]解关于 x 的不等式 ax 2－2≥2x －ax (a ≥0)．解：原不等式可变形为 ax 2＋(a －2)x －2≥0， (1)当 a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}； (2)当 a ＞0时，原不等式可变形为(ax －2)(x ＋1)≥0，92方程(ax－2)(x＋1)＝0的解为x1＝，x2＝－1.a所以不等式的解集为Error!.综上，a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；a>0时，原不等式的解集为Error!.一元二次不等式的实际应用[典例]某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？[解](1)依题意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1 000(1＋0.6x)＝1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)，所以本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式为y＝1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)．(2)依题意，得1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1 000，1化简，得3x2－x＜0，解得0＜x＜.31(0，.所以为使本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的范围是3 )解不等式应用题的4个步骤(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；(3)求解不等式；(4)还原实际问题．[活学活用]某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制订这批台灯的销售价格？解：设这批台灯的销售价定为x元，则[30－(x－15)×2]·x>400，即x2－30x＋200<0，因方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200<0的解为10<x<20，又10因为x≥15，所以15≤x<20.故应将这批台灯的销售价格制订在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.不等式的恒成立问题[典例]对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为________．[解析]由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)≤0，得m＝0.[答案]{0}[一题多变]1．[变条件]对任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求m的取值范围．解：①当m＝0时，f(x)的值不恒大于零，舍去；②当m≠0时，Error!此不等式组无解，故m∈∅.综上知，不存在这样的实数m，使函数f(x)的值恒大于零．2．[变条件]对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求m的取值范围．解：由题意知(x－2)m＋x2－4x＋4>0，(x－2)m>－x2＋4x－4，因为x∈[－1,1]，所以x－－x2＋4x－42<0，所以m< ＝－(x－2)，所以m<1.即m的取值范围为(－∞，1)．x－23．[变条件、变设问]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，所以Error!解得x<1或x>3.故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．解决不等式恒成立问题的2种思路(1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围；(2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围．层级一学业水平达标111．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是____________．解析：x2－4ax－5a2>0化为(x－5a)(x＋a)>0，∵a<0，∴5a<－a.∴x>－a或x<5a.答案：{x|x<5a或x>－a}ax2．已知a<0，则关于x的不等式>1 的解集是________．x－2ax a－1x＋2解析：不等式>1可化为>0，x－2 x－22(x－(x－2)>0.不等式等价于(a－1))1－a∵a<0，2∴不等式等价于(x－(x－2)<0.)1－a2∵<2.1－a∴原不等式的解集为Error!.答案：Error!3．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围为________．解析：当a＝0时，有1<0，故A＝∅成立；当a≠0时，要使A＝∅，须满足Error!∴0<a≤4，综上a∈[0,4]．答案：[0,4]4．关于x的不等式组Error!有解，则实数a的取值范围是________．解析：由已知得Error!若不等式组有解，∴2a＋4>a2＋1，即a2－2a－3<0.∴－1<a<3.答案：(－1,3)5．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：x2－ax＋2a>0恒成立⇔Δ<0，即a2－4×2a<0，解得0<a<8.答案：(0,8)6．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.答案：[－4,3]7．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.答案：[－1,4]122x2＋2mx＋m8．如果不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是________．4x2＋6x＋33 3解析：由4x2＋6x＋3＝(2x＋2＋>0对一切x∈R恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx2)4＋m<4x2＋6x＋3⇔2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0对一切实数x恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)<0，解得1<m<3.答案：(1,3)9．已知对任意x∈(0，＋∞)不等式x2－ax＋2>0恒成立，求实数a的取值范围．a a2解：令f(x)＝x2－ax＋2＝(x－2＋2－，2 )4(1)当a≤0时f(x)在(0，＋∞)为单调递增的．f(0)＝2>0，故a≤0时，x2－ax＋2>0恒成立．a(2)当a>0时f(x)＝x2－ax＋2的对称轴为x＝.2∴当x∈(0，＋∞)时，a2f(x)min＝2－.4若x2－ax＋2>0在x∈(0，＋∞)恒成立，a2只要2－>0即可，∴0<a<2 2.4综上，若x2－ax＋2>0在(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为(－∞，2 2)．10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.解：(1)∵不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，∴x＝1与x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得Error!解得Error!(2)原不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.综上所述，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅.层级二应试能力达标1．不等式x2－2x＋3≤a2－3a－2在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是________．13解析：∵x2－2x－(a2－3a－5)≤0的解集为∅，∴Δ＝4＋4(a2－3a－5)<0，∴a2－3a－4<0，∴－1<a<4，即实数a的取值范围为(－1,4)．答案：(－1,4)2．对任意a∈[－2,3]，不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0恒成立，则x的取值范围为____________．解析：设f(a)＝x2＋(a－6)x＋9－3a＝(x－3)a＋x2－6x＋9，由已知条件得Error!即Error!∴Error!∴x<0或x>5.即x的取值范围为(－∞，0)∪(5，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(5，＋∞)3．关于x的不等式ax2＋2x＋a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝0时，易知条件不成立；当a≠0时，要使不等式ax2＋2x＋a>0的解集为R，必须满足Error!解得a>1.答案：(1，＋∞)a24．关于x的不等式x2＋ax＋－c<0的解集为(m，m＋6)，则实数c＝________.4a2 a a a a a解析：由x2＋ax＋－c<0，得x＋2 )2<c，即－c－<x< －，∴－2)＝6.4 ( c2 ( c－2) (－c－2解得c＝9.答案：95．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，则a的取值范围为________．解析：(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x成立，即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x成立．∴x2－x－a2＋a＋1>0恒成立，1 3∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，∴－<a< .2 21 3答案：(－2)，2 m2x－16．若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是________．mx＋1解析：因为m≠0，所以分两种情况讨论：141 1(1)m >0，不等式的解集是(m 2)，显然不适合题意；－， m(2)m <0，(ⅰ)当 m ＝－1时，不等式化为－(x －1)2<0，对于 x ≠1 均成立；11m 2x －1(ⅱ)当－1<m <0时，不等式的解集是(m )∪( ，＋∞)，要使不等式<0(m ≠0)－∞，－m 2mx ＋11 1对一切 x ≥4 恒成立，必须 <4，结合－1<m <0，解得－1<m <－； m 2 211 1(ⅲ)当 m <－1时，不等式的解集是(∪ －，所以－ ≤4 恒成立．－∞，m 2) (，＋∞)mm1综上，实数 m 的取值范围是(2). －∞，－1答案：(－∞，－2)7．某公司按现有能力，每月收入为 70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，因竞争加剧收入将逐月减少，分析测算得从 2015年开始第一个月收入将减少 3万元，以后逐月多减少 2万元，如果进行改革，即投入技术改造 300万元，且 2015年后每月再投入 1万元进行员工培训，且测算得自 2015年后第一个月起累计收入 T n 与时间 n (以月为单位)的关系为 T n ＝an ＋b ，且 2015年第一个月时收入将为 90万元，第二个月时累计收入为 170万元，问 2015年后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．解：2015年改革后经过 n 个月的纯收入为(T n －300－n )万元，公司若不进行改革，由题设知 2015年后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得 2015年第一个月收入将减少 3万元，以后逐月多减少 2万元．所以不改革，第一个月：70－3－2×(1－1)，第二个月：70－3－2(2－1)，第三个月：70－3－2(3－1)， …第 n 个月：70－3－2(n －1)，n n －1所以不改革时的纯收入为：70n －[3n ＋·2]万元，2由题设知Error!所以Error!由题意建立不等式：80n ＋10－300－n >70n －3n －(n －1)n ，整理，得 n 2＋11n －290>0，得 n >12.4，因为n∈N，故取n＝13.答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．158．已知不等式mx2－2x－m＋1<0，(1)若对任意实数x不等式恒成立，求m的取值范围．(2)若对一切m∈[－2,2]不等式恒成立，求x的取值范围．解：(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，不等式变为1－2x<0，对任意实数x不恒成立，故m＝0不满足；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2－2x －m＋1＝0无解，即Error!则m无解．综上可知不存在这样的m，使不等式恒成立．(2)设g(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，当x2－1＝0时，即x＝±1，检验得x＝1时符合题意，当x2≠1时，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当－2≤m≤2时在x轴下方，∴Error!即Error!－1－7 －1＋7解①，得x< 或x> ，2 21－3 1＋3解②，得<x< .2 2－1＋7 1＋3由①②，得<x< ，且x≠1，2 2－1＋7 1＋3综上得x的取值范围为( 2 ).，216。

高三数学不等式的概念性质教学案苏教版

6.1 不等式的性质巩固·夯实基础1．不等式的概念用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．2．两个实数大小的比较设a 、b ∈R ，则a>b 0>-⇔b a ，0<-⇔<b a b a ，这是比较两个实数大小和运用比较法的根据．3．不等式的性质性质1 a b b a <⇔> （对称性）性质2 a>b ，c a c b >⇒> （传递性）性质3 a>b ，c b c a +⇒+性质4 a>b ，bc ac c >⇒>0，a>b ，bc ac c <⇒<0以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5 a>b ，d b c a d c +>+⇒> （加法法则）性质6 a>b>0，bd ac d c >⇒>>0 （乘法法则）性质7 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （乘方法则）性质8 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （开方法则）二、基础训练1.若a<b<0,则下列不等式不能成立的是…( ) A.a 1>b 1 B.2a >2b C.|a|>|b| D.(21)a >(21)b 2.(经典回放)设a 、b 、c 、d ∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是( ) A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd D.d a >c b 3.若x>1>y,下列不等式中不成立的是( )A.x-1>1-yB.x-1>y-1C.x-y>1-yD.1-x>y-x4.(2006北京东城检测)已知a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( ) A.a>b a >2b a B.2b a >b a >a C.b a >2b a >a D.b a >a>2ba 5.a>b>0,m>0,n>0,则ab ,b a ,m a m b ++,n b n a ++由大到小的顺序是_________________________.诱思·实例点拨【例1】已知31≤x ≤32,则(1)1-x 的取值范围是［31,32］; (2)x(1-x)的取值范围是［91,94］.【例2】已知a ∈R,试比较a -11与1+a 的大小. 剖析:要判断a-11与1+a 的大小,只需研究它们差的符号.链接·拓展a 、b ∈R,a 2b 2+a 2+5>2ab+4a,则a 、b 应满足的条件是________________________.【例3】已知x 、y ∈R +且2x+y=1,求x 1+y1的最小值.链接·聚焦判断下列解法是否正确?为什么?∵1=2x+y ≥2xy 2(x 、y ∈R +), ∴xy ≤221.∴xy1≥22. 又∵x 1+y 1≥2xy1≥42,故x 1+y 1的最小值为42. 【训练反馈】1．（2001年上海春招卷）若a 、b 是实数，则a>b>0是a 2>b 2的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件2．若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（）A ． a-d>b-cB ． a+d>b+cC ． a-c>b-cD ． a-c<a-d3．已知a 、b 、c ∈R ，则下面推理中正确的是（）A ． a>b ⇒am 2>bm 2B ． b a cb c a >⇒> C ． a 3>b 3，ab>0b a 11<⇒ D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 4．（1999年上海卷）若a<b<0，则下列结论中正确的是（）A ．不等式b a 11>和||1||1b a >均不能成立 B ．不等式a b a 11>-和||1||1b a >均不能成立C ．不等式a b a 11>-和22)1()1(ab b a +>+均不能成立 D ．不等式||1||1b a >和22)1()1(a b b a +>+均不能成立 5．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（）A ． b ba a )1()1(1->- B ． (1+a)a >(1+b)b C ． a b a a )1()1(->- D ． b a b a )1()1(->-6．（2001年北京春招卷）若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（）A ． 18B ． 6C ． 32D ． 4327．a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（）A ．恒正B ．恒负C ．与a 、b 大小有关D ．与k 是奇数或偶数有关8．不等式2>+xy y x 成立的充要条件是（） A ． x>y B ． x ≠y C ． x ≠y 或xy>0 D ． x ≠y 且xy>09．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则（）A ． )0,(-∞∈bB ． )1,0(∈bC ． )2,1(∈bD ． ),2(+∞∈b10．已知1≤a+b ≤4，-1≤a-b ≤2，则4a-2b 的取值范围为________．11．已知三个不等式：①ab>0，②bd a c >，③bc>ad ．以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们．即_______．（把所有正确的命题都填上）12．已知f(x)=ax 2-c ，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．。

2018年高中数学复习课(三)不等式学案苏教版选修5

复习课(三) 不等式数学的始终，更是高考的重点内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以小题形式出现，难度不大，但有时在解答题中与其它知识联系在一起，难度较大．[考点精要]解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽．(1)确定ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a 的取值情况下，应先分a ＝0和a ≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a 的符号和方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a ，b ，c 之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．[典例] 已知不等式ax 2＋5x －2>0的解集是M . (1)若2∈M ，求a 的取值范围；(2)若M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．[解] (1)∵2∈M ，∴a ·22＋5·2－2>0，∴a >－2，即a 的取值范围为(－2，＋∞)．(2)∵M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，∴12，2是方程ax 2＋5x －2＝0的两个根， ∴由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧12＋2＝－5a，12·2＝－2a，解得a ＝－2，∴不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0即为－2x 2－5x ＋3>0， ∴2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，∴不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.2 [类题通法]求解不等式的方法：(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清晰地求解．[题组训练]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x ＜1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是____________．解析：f (x 0)>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1，2x 0＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 20－2x 0－2＞1⇒x 0≥1或x 0<－1.答案：(－∞，－1)∪[1，＋∞)2．已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．解：(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0，∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4，∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}．(2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．∴对一切x >2均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立，而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2x －4x －1－2＝2，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立， ∴实数m 的取值范围是(－∞，2].线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．“线性规划”是必考内容，主要以填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档．[考点精要]平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．[典例] 已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．[解] (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.又原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，得a 的取值范围是－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)． [类题通法]解决线性规划问题应关注三方面：(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．[题组训练]1．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≤－kx ＋4k在平面直角坐标系中所表示的区域面积为S ，则当k >1时，kSk －1的最小值为________．解析：由图可知S ＝S △OAB ＝12×OA ×OB ＝12×4×4k ＝8k ，所以kSk －1＝k ×8k k －1＝8k 2k －1.令t ＝k －1>0，则k ＝t ＋1，代入上式得t ＋2t＝8⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋16，4 因为t ＋1t≥2，所以8⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋16≥8×2＋16＝32.当且仅当t ＝1时，即k ＝2时取等号．故当k ＝2时，kSk －1取得最小值32. 答案：322．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a ＝________.解析：作出可行域(如图)，为△ABC 内部(含边界)．由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12可得a ＝－1或a ＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，成立；a ＝12时，不成立．答案：2或－1基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，考试中经常出现，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．[考点精要]1．基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立； (2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(4)a ＋1a≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．2．利用基本不等式求最值已知x ，y ∈(0，＋∞)，(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝S 24；(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P (x ＋y ≥2xy ＝2P )． [典例] 已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．[解析] ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)．又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xy x ＋y ，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋x ＋2y x ＋y ＝2，∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max＝2.∴λ的最小值为2. [答案] 2 [类题通法]利用基本不等式解题应关注三方面：(1)利用基本不等式求最值的注意点，①在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．②若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．(2)求条件最值问题的两种方法：一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决．(3)结构调整与应用基本不等式：基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式，常见的转化方法有：①x ＋bx －a＝x －a ＋bx －a＋a (x >a )．②若a x ＋b y＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．[题组训练]1．定义运算“*”：x *y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x >0，y >0时，x *y ＋(2y )*x 的最小值为________．解析：由题意，得x *y ＋(2y )*x ＝x 2－y 2xy＋y2－x22yx＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号．答案： 26 2．函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．解析：令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．答案：151．不等式2x 2－x <4的解集为________．解析：不等式2x 2－x <4⇔x 2－x <2⇔－1<x <2，故原不等式的解集为(－1,2)．答案：(－1,2)2．已知全集U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则∁U A ＝________.解析：∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．答案：(－∞，－1)∪[3，＋∞)3．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为________．解析：满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y ＝kx －3过定点(0，－3)，所以当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3，所以k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点．答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)4．若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2,2]恒成立，则x 的取值范围是________．解析：因为a ∈[－2,2]，可把原式看作关于a 的函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧g－＝x 2＋2x ＋1≥0，g ＝x 2－2x ＋1≥0，解得x ∈R.答案：R5．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为________．解析：设f (x )＝x 2＋ax －2，若x 2＋ax －2>0在[1,5]上无解，则只需⎩⎪⎨⎪⎧f，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －2≤0，25＋5a －2≤0，解得a ≤－235，所以x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解时，a >－235.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞6．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝xy ，则x ＋2y 的最小值是________．解析：由x ＋y ＋1＝xy ，得y ＝x ＋1x －1，又y >0，x >0， ∴x >1.∴x ＋2y ＝x ＋2×x ＋1x －1＝x ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1＝x ＋2＋4x －1＝3＋(x －1)＋4x －1≥3＋4＝7，当且仅当x ＝3时取“＝”．答案：77．关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是________．解析：方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0.所以a 的最大值与最小值的和是0.答案：08．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，8 目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．答案：189．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.当且仅当b ＝2a ＝254时等号成立．答案：2 210．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．解析：(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.答案：3 211．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0.∴－4＜m ≤0，即m 的取值范围为(－4,0]． (2)要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )是增函数，∴g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0， ∴0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，得m ＜6，∴m ＜0. 综上所述：m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 12．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2， x >5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律．(1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G (x )＝x ＋2. 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7，∴1<x ≤5. 当x >5时，解不等式8.2－x >0，得x <8.2， ∴5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6，而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．13．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？10 解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图：由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A ⎝⎛⎭⎪⎫145，3，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料用145×10＝28(g)，乙种原料用3×10＝30(g)，费用最省．答：应用甲、乙原料分别为28 g,30 g 时，费用最省．14．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.11 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0， ∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25. (2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.∴16≤z ≤64.故z 的取值范围为[16,64]．。

2018版高中数学第三章不等式3_1不等关系学案苏教版必修5

- 让每一个人同等地提高自我3.1 不等关系学习目标1. 能用不等式 ( 组 ) 表示实质问题的不等关系.2. 领会用数学模型刻画不等关系等实质问题的方法．知识点一不等关系思虑 1限速 40 km/h 的路标，指示司机在前面路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超出 40 km/h ，用不等式如何表示？思虑 2试用不等式表示以下关系：(1) a 大于 ba ________b(2) a 小于 b a ________b(3) a 不超出 b a ________b(4) a 不小于 ba ________b梳理(1) 不等式的定义用数学符号“＞”“＜”“≥”“≤”连结两个数或代数式以表示它们之间的________________ ，含有这些不等号的式子叫做不等式．(2) 对于 a ≥ b 和 a ≤ b 的含义①不等式 ≥ 应读作： “ a 大于或等于 ”，其含义是 a ＞ b 或 a ＝，等价于“ a 不小于 ”，a bbbb即若 a ＞ b 或 a ＝ b 中有一个正确，则 a ≥ b 正确．②不等式 a ≤ b 应读作： “ a 小于或等于 b ”，其含义是 a ＜ b 或 a ＝ b ，等价于“ a 不大于 b ”，即若 a ＜ b 或 a ＝ b 中有一个正确，则 a ≤ b 正确．知识点二作差法思虑x 2＋1与2 两式都随x 的变化而变化，其大小关系其实不不言而喻．你能想个方法，比x较 x 2＋1 与 2x 的大小，并且拥有说服力吗？梳理依据以下性质，(1) a －b ＞ 0? a ________b ； (2) a －b ＝ 0? a ________b ；(3) a －b <0? a ________b .把比较两实数， b 的大小问题转变为实数－的正负问题叫作差法．a a b由于作差法集中了本来不等号两头的信息，更便于抵消、变形，因此是比较大小的基本方法．种类一用不等式 ( 组 ) 表示不等关系命题角度 1用不等式表示单个拘束条件例 1某种杂志原以每本 2.5 元的价钱销售，能够售出 8 万本．据市场检查，若单价每提高0.1 元，销售量便可能相应减少2 000 本．若把抬价后杂志的订价设为 x 元，如何用不等式表示销售的总收入仍不低于20 万元呢？反省与感悟数学中的能力之一就是抽象归纳能力，即能用数学语言表示出实质问题中的数量关系．用不等式 ( 组 ) 表示实质问题中的不等关系时：(1) 要先读懂题，设出未知量； (2) 抓重点词，找到不等关系； (3) 用不等式表示不等关系．思想要严实、规范．追踪训练 1将以下问题转变为数学模型 ( 不求解 ) ．(1) 出生大一天，平生都是哥．(2) 函数 f ( x ) 在 R 上的函数随 x 的增大而减小．命题角度 2 用不等式组表示多个拘束条件例 2某钢铁厂要把长度为 4 000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种．依据生产的要求，600 mm 的钢管数目不可以超出 500 mm 钢管的 3 倍．如何写出知足上述全部不等关系的不等式呢？反省与感悟(1) 当问题存在多个限制要素( 如上例 500 mm，600 mm 的钢管个数 ) 时，能够引入多个变量 ( 如上例用两个变量x， y)；(2) 当问题存在多个拘束条件( 如上例总长度不超出 4 000 mm， 600 mm 的钢管个数不可以超出500 mm钢管个数的 3 倍等 ) 能够用多个不等式表示不等关系；(3)当多个拘束条件要求同时知足时，能够用大括号“ { ”联立这些不等式，相当于求这些不等式的解集的交集．追踪训练 2 (1) 试用不等式表示第一象限内距原点距离不超出 1 的点．(2)三角形任两边之和大于第三边．种类二作差法比较大小例 3已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与 a2b＋ ab2的大小．反省与感悟比较两个实数的大小，只需观察它们的差就能够了．作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的重点一步，变形的方向是化成几个完整平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．追踪训练3已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．1．某校正高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩 z 超出45分，试用不等式表示上述关系为________．2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系用不等式表示为________．3．比较 ( a＋ 3)( a－ 5) 与 ( a＋ 2)( a－ 4) 的大小．4．某市政府准备投资 1 800 万元创办一所中学．经检查，班级数目以20 至 30 个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28 万元与 58 万元，该学校的规模( 初、高中班级数目) 所知足的条件是什么？1．比较两个实数的大小，只需观察它们的差就能够了．a－ b>0? a>b； a－ b＝0? a＝ b； a－ b<0? a<b.2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采纳配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确立是大于0，等于 0，仍是小于0( 不确立的要分状况议论) ；最后得结论．归纳为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是重点．3．用不等式刻画不等关系，要注意“大于”、“不小于”之类条件的正确翻译．当存在多个条件时，要注意这些条件是“且”仍是“或”．答案精析问题导学知识点一思虑 1v ≤40.思虑 2(1) ＞(2)<(3) ≤(4) ≥梳理(1) 不等关系知识点二思虑作差： x 2＋ 1－ 2x ＝( x － 1) 2≥0，因此 x 2＋1≥2x .梳理(1)>(2) ＝ (3)<题型研究例 1解设杂志社的订价为 x 元，x －则销售的总收入为8－× x 万元，x －那么不等关系“销售的总收入仍不低于 20 万元”能够表示为不等式8－×x ≥20.追踪训练 1解 (1) 设 x ( 天 ) 为弟弟的年纪，则哥哥年纪为x ＋ 1，有 x ＋1> .x(2) 设随意 x 1， x 2∈ R ，且 x 1<x 2，则 f ( x 1)> f ( x 2) ．例 2解设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的钢管 y 根．依据题意，应有以下的不等关系：(1) 截得两种钢管的总长度不超出4 000 mm ；(2) 截得 600 mm 钢管的数目不可以超出 500 mm 钢管数目的 3 倍；(3) 截得两种钢管的数目都不可以为负．要同时知足上述的三个不等关系，能够用下边的不等式组来表示：500x ＋ 600y ≤4 000 ，3x ≥ y ，x ≥0， y ≥0.- 让每一个人同等地提高自我x >0，追踪训练2 (1) 解设知足条件的点P ( x ， y ) ，则x ， y 知足：y >0，x 2＋ y 2≤1.a ＋b >c ，(2) 解设△ ABC 三边分别为 a ，b ， c ，则 a ＋ c >b ，b ＋c >a .例 3 解 ∵ a 3＋b 3－ ( a 2b ＋ ab 2)3232＝ ( a －a b ) ＋ ( b － ab ) ＝ a 2( a － b ) ＋ b 2( b －a )＝ ( a －b )( a 2－ b 2) ＝( a － b ) 2 ( a ＋ b ) ．当 a ＝b 时， a －b ＝ 0， a 3＋ b 3＝ a 2b ＋ ab 2；当 a ≠b 时， ( a － b ) 2>0， a ＋ b >0， a 3＋ b 3>a 2b ＋ ab 2.综上所述， a 3＋b 3 ≥a 2b ＋ ab 2.追踪训练 3解 ∵(x 3－1) － (2 x 2－ 2x ) ＝ x 3－ 2x 2＋ 2x － 1＝ ( x 3－x 2) － ( x 2－ 2x ＋ 1) ＝ x 2( x － 1) － ( x － 1) 2 ＝ ( x －1)( x 2－ x ＋ 1)＝ ( x －1)[( x －1) 2＋ 3] ，24∵(x －12) 2＋ 34＞ 0， x － 1＜ 0，∴(x －1)[( x －1) 2＋ 3] ＜ 0，2 4∴ x 3－1＜ 2x 2－ 2x .当堂训练x ≥95，1. y >380，2. a > －－ab >b >z >453．解∵(a ＋ 3)( a － 5) － ( a ＋ 2)( a － 4)＝ ( a 2－2a － 15) － ( a 2－ 2a － 8) ＝－ 7<0，∴(a ＋3)( a － 5)<( a ＋ 2)( a － 4) ．20≤ x ＋ y ≤30， 4．解设该校有初中班 x 个，高中班 y 个，则有28x ＋ 58y ≤1 800.7。

高中数学第三章不等式第3课时学案(2) 苏教版必修5

第3课时【学习导航】1.初步学会不等式证明的三种常用方法：比较法，综合法，分析法。

2.了解不等式证明的另三种方法：反证法，换元法，放缩法.【课堂互动】自学评价1.比较法：．２．综合法：．３．分析法：．【精典范例】例１．（１）已知,,a b R +Î且a b ¹，求证：3322a b a b ab +>+（２）已知,a b R +Î，求证：223333()()(8a b a b a b a b +++? （３）已知1,1a b <<，求证：11a bab +<+（４）已知,,a b c R +Î，求证：()()()6ab a b bc b c ac a c abc+++++?【解】思维点拔：１．比较法证题步骤：作差―――变形――――判断．２．综合法证题模式：Ａ（已知）12n B B B 揶揶?L Ｂ（结论）３．分析法证题模式：Ｂ（结论）12n A A A 苘苘?L Ａ（已知）追踪训练一１．已知,,,a b m R +Î且a b <，求证：a m a b m b +>+．２．已知,,,a b c R Î且1a b c ++=，求证：13ab bc ca ++? 例２.（１）已知,,(0,1),a b c Î求证：(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于41．（２）已知22221,1a b x y +=+=，求证：1ax by +? 学习札记（３）求证：111a b a ba b a b +?++++追踪训练二１．用反证法证明：若,,a b R +Î且4ab =，求证：228a b +?．２．已知221x y +=，求证：223114x y ??３．求证：2221111223n ++++<L学习札记。

2018版高中数学苏教版选修1-2学案：3章末复习课

【学习目标】1•掌握复数的代数表示形式及其有关概念2掌握复数的模的概念及其计算公式, 会用复数模的几何意义解题 3理解复数加减法的几何意义，并能进行复数的加减乘除运算.问题导学知识点一复数的有关概念1.定义：形如 a + bi （a , b € R ）的数叫做复数，其中a 叫做 ,b 叫做 _______ . （i为虚数单位）2. 分类：满足条件（a , b 为实数）复数的分类a + bi 为实数？a + bi 为虚数？a + bi 为纯虚数？3. ____________________________________________ 复数相等： a + bi = c + di? (a , b , c , d € R ).4. ____________________________________________ 共轭复数：a + bi 与 c + di 共轭? (a ,b ,c ,d € R ). 5. _______________________________________________________ 模：向量 OZ 的模叫做复数 z = a + bi 的模，记作 _____________________________________________ 或 ________ ，即|z|= |a + 第3章数系的扩充与复数的引入章末复习课bi| = _______________ (a, b€ R).知识点二复数的几何意义复数z = a + bi 与复平面内的点 ______________ 及平面向量 O = (a , b)(a , b € R )是系.知识点三复数的运算1 运算法则：设 z i = a + bi , Z 2= c + di , a , b , c , d € R2•几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.如图给出的平行四边形 OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即_________________ , Z l Z 2= ___________________ .题型探究更点难点类型一分类讨论思想的应用例1实数k 为何值时，复数(1 + i)k 2—(3 + 5i)k — 2(2 + 3i)满足下列条件？ (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.对应关 OZ =反思与感悟往往以复数分类为载体考查分类讨论思想，•实数b= 0 ,复数z= a + bi(a, b€ R) 纯虚数a= 0, b丰 0 ,虚数0 非纯虚数0, b丰0 .其中纯虚数中“ b工0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意.跟踪训练1 (1)设i是虚数单位，复数仝2为纯虚数，则实数a为_________________2—i⑵若复数(a2—a—2)+ (|a —1—1)i(a € R)不是纯虚数，则______ .类型二复数的四则运算例2 (1)计算：—+ (密204；1 + 2<3i 1 + |丿⑵已知复数z满足(z+ z )—3z・zi = 1 —3i，求复数乙反思与感悟为实数运算. 跟踪训练2—2 ：'3 + i⑵ 1 + 2 . 3i (1)进行复数乘除运算，注意w3= 1 ,i的性质的活用. ⑵设出复数的代数形式，转化W2+ w+ 1= 0 , W2= 3 .类型三数形结合思想的应用例3若i为虚数单位，如图所示复平面内点Z表示复数Z,则表示复数上的点是------------------- 达标检测当堂检测帆国反馈反思与感悟根据图形观察Z点的坐标，则复数z易得，根据复数的四则运算求出则1 + i它对应的点由该复数的实部和虚部惟一确定.跟踪训练3已知复数z i = i(1 - i)3(1)求|z i|；⑵若|z|= 1, 求|z- Z1|的最大值.1. i 为虚数单位，设复数 z i , Z 在复平面内对应的点关于原点对称，若 Z i = 2— 3i ，贝V Z 2 =11112.设i 为虚数单位，则7 + 72 + j3+ j4= _____________3. 若复数z = (a — 2) + 3i(a € R )是纯虚数，则4. ________________________________________________________ 已知 z = m + 3 + (2m + 1)i( — 2< m < 1)，则 ZI 的最大值是 _____________________________________ .( --------- ■■规律与方法■■ ------------ 11. 准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.2. 复数四则运算要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a + bi(a ,b € R )的结构形式. 3. 复数几何意义在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.a + i =1 + ai =达标检测当堂检测帆国反馈问题导学知识点一 1实部虚部 2. b = 0 0 a = 0 且 b 工0 3. a = c 且 b = d 4. a = c , b =— d 5. |a + bi| |z| .a 2+ b 2 知识点二 Z(a , b) 知识点三题型探究例 1 解 (1 + i)k 2— (3 + 5i)k — 2(2 + 3i) = (k 2— 3k — 4) + (k 2— 5k — 6)i.(1) 当k 2— 5k — 6 = 0，即k = 6或k =— 1时，该复数为实数.(2) 当k 2— 5k —6丰0，即k 丰6且k z — 1时，该复数为虚数. k 2 — 5k — 6z 0,k 2 — 3k — 4= 0,答案精析 1. (a ±)+ (b±l)i (ac — bd) + (bc + ad)i ac + bd右+bc — ad 。

高二数学不等式教案3 苏教版教案

第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。

过程：一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈, 2．强调取“=”的条件b a = 二、定理：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab ba =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

三、推广：定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 四、关于“平均数”的概念1．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数nn a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数2．点题：算术平均数与几何平均数 3．基本不等式：na a a n +++ 21≥nn a a a 21n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

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