石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(文科)

石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（文科）
13. y = 14.
3
15． (−∞，1)(0−⋃，1) 16.①②④
17.（Ⅰ）0r r <．......................4分
（Ⅱ）由题中数据可得：4242
11
11110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以
.............8分
又因为，所以，
，所以，................10分
将代入，得81.5y =，
所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分
18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++
2()324f x x x '=++
(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分
(2)21f =
∴切线方程为20(2)21x y −=−即切线为：20190x y −−=..................4分
（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03
a
x =−
>..................5分 ○
1当24480a ∆=−≤时，即0a −≤<，()0f x '>
()()4242
1
1
4235035042110748470i
i
i i
i i x x y y x y x y ==−−=−⋅=−⨯⨯=∑∑()
42
2
1
16940i i x x =−=∑()()
()
1
2
1
1698470
ˆ00
.54n
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==−−==
=−∑∑740.511019a y bx =−=−⨯=0.519y x =+125x =
()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分
○
2当24480a ∆=−>时，即a <−，又 (0)40f '=>
令2
()3240f x x ax '=++=，则126a x −=，226
a x −=
当0x <<或x >()0f x '>；
当2266
a x −−<<
时，()0f x '<；
()f x 在2(0,
6a −，2(,)6
a −+∞上单调递增；
()f x 在22(
,66
a −−上单调递减. .................12分
19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，
∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥, 又FO
BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分
（2）∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD
…………………7分
2,60AB AD DAB ==∠=
2BD BF ∴==
由60DBF ∠=︒
∴F 到面ABCD 的距离为FO =………………9分
,EF BD BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD EF ∴面ABCD
E ∴到面ABCD 的距离等于
F 到面ABCD
………………10分
1222sin 23
ADC
S
π=⨯⨯⨯= 1
13
A EDC E ADC ADC
V V S
FO −−∴==⨯⨯=
…………………12分
20．（1
）由离心率为
2
，可得2
c e a ==， 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b −==，解得2a =
，c =，
则椭圆的方程为2
214
x y +=； …………4分
（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，
由22
44
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++−=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，
所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =−+−=，即2214m k =+，…………6分 由方程组22
5y kx m x y =+⎧⎨+=⎩
可得222
(1)250k x kmx m +++−=， 则△2222(2)4(14)(5)0km k m =−+−>，
设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则122
21km
x x k +=−
+，212251m x x k −=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，
所以2222
12121212122121212()()()55
y y kx m kx m k x x km x x m m k k k x x x x x x m +++++−====
−，…………9分 将2
2
14m k =+代入上式，可得212211
444
k k k k −+===−−，…………10分
当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足121
4
k k =−，…………11分
综上可得直线l 与圆的交点1P ，2
P 满足斜率之积12k k 为定值1
4
−．…………12分
21．（Ⅰ）当13a =
时，()ln 113x f x x =+−，()'2
33x f x x −=， 所以()f x 在[],3e 单减，在2
3,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分
()123f e e =−，()22113
f e e =−，()()2f e f e <所以ln 32
()(3)3min f x f −==
，2max 211
()()3
f x f e e ==
−．…………5分 （Ⅱ）依题意，． 则，令，，，
所以在上是单调增函数． 要使得在上存在极值，
则须满足即 所以，，即．…………8分
所以111
1ln 1ln 1a e a a a a a a a a
−−+−−>++−−=+− 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+−，()'21
a g a a
−=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，
所以．…………12分
22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φ
ϕφ=⎧⎨=−+⎩
为参数）．
可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=−．
()11ln 1ln 1x
x g x e a x e a x x x ⎛⎫
=+
−+−=−+ ⎪⎝⎭
0a x e −<<()x x
a xe a g x e x x
−'=−=()x t x xe a =−()0,a x e −∈()(1)0x
t x e x '=+>()t x ()
0,a
e −()g x ()
0,a
e −()()
00,0,a t t e −⎧<⎪⎨>⎪⎩
0,
0,a
a e a e e a −−>⎧⎪⎨⋅−>⎪⎩0a
a
e
e a −−>>ln e e a a −−>ln a e a a −>+0a >1
ln 10a a
+
−≥110a e a a −−+−−>11a e a a −−+>+
所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=−． …………4分
（Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3
π
ρα−，
则12sin ρα=，24sin()3
π
ρα=−−， …………6分
于是AOB ∆的面积
12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)2323236S ππππρρααααα=
=−−=−−=+
…………9分
当6πα=时，S ．
所以AOB ∆．…………10分。