2018年秋九年级数学上册3.4.1相似三角形的判定第3课时利用两边及其夹角证相似练习湘教版

第3课时 利用两边及其夹角证相似一、选择题1．如图K －23－1，要使△ACD ∽△ABC ，则它们必须具备的条件是( )图K －23－1A.AC CD ＝AB BC B.CD AD ＝BC AC C.CD AD ＝BD CD D.AC AD ＝AB AC2．2017·枣庄如图K －23－2，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )图K －23－2 图K －23－33．如图K －23－4，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( )图K －23－4A ．①②相似B ．①③相似C ．①④相似D ．②③相似4．如图K －23－5，在等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，AE EB ＝13，则和△AED 相似的三角形有( )图K －23－5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠E 且∠D ＝∠F B ．∠A ＝∠B 且∠D ＝∠F C ．∠A ＝∠E 且AB AC ＝EF EDD ．∠A ＝∠E 且AB BC ＝DF ED二、填空题6．2017·潍坊如图K －23－6，在△ABC 中，AB ≠AC .D ，E 分别为边AB ，AC 上的点．AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，F 为BC 边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)图K －23－67.如图K －23－7，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ，∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∠ABD ＝∠ACE ＝30°，连接DE .若DE ＝5，则BC 的长为________．图K －23－78．2017·随州在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．三、解答题9．如图K－23－8，已知AC和BD交于点E，CE·AE＝BE·DE.求证：△ABE∽△DCE.图K－23－810．已知：如图K－23－9，D，E是△ABC的边AB，AC上的点，AB＝9，AD＝4，AC＝7.2，AE＝5.求证：∠B＝∠AED.图K－23－911．已知：如图K－23－10，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA，AB＝DC＝ab，CE＝a，AC＝b.求证：(1)△DEC∽△ADC；(2)AE·AB＝BC·DE.图K－23－1012．如图K－23－11，四边形ABCD是菱形，点E在AB的延长线上，连接AC，DE，DE 与BC，AC分别交于点F，G，且CD·AE＝AC·AG.求证：(1)△ABC∽△AGE；(2)AB2＝GD·DE.图K－23－1113．如图K－23－12所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，4AC＝3BC，点P从点B 出发，沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度向点A移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动．若P，Q分别从B，C同时出发，经过多长时间，△CPQ与△CBA相似？图K－23－1214．如图K－23－13，点C，D都在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△PAC∽△BPD?(2)当△PAC∽△BPD时，求∠APB的度数．图K－23－1315方程思想如图K－23－14，已知AB⊥BD，CD⊥BD.(1)若AB＝9，CD＝4，BD＝10，则在BD上是否存在点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．(2)若AB＝9，CD＝4，BD＝12，则在BD上存在多少个点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长．图K－23－141．[答案] D2．[解析] C A项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意；B项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意；C项，不能证明两个三角形相似，故本选项符合题意；D项，两个三角形对应边成比例且夹角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意．3．[解析] C∵OA∶OC＝OB∶OD，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，C正确，故选C.4．[解析] C ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC.又∵D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∠ABD ＝30°，AD ∶AC ＝1∶2.∵AE EB ＝13，∴AE ∶AB ＝1∶4，∴AE ∶AD ＝1∶2＝AD∶AB.又∵∠A＝∠A，∴△AED ∽△ADB ，∴∠AED ＝∠ADB＝90°.∵∠A ＝∠C＝60°，CD ∶BC ＝AE∶AD＝1∶2，∴△AED ∽△CDB.∵∠AED ＝∠DEB＝90°，∠ADE ＝∠DBE＝30°，∴△AED ∽△DEB ，故选C .5．解析] C A 项，∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故本选项错误；B 项，∠A 和∠B，∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故本选项错误；C 项，由∠A＝∠E，AB AC＝EF ED可以根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ABC 与△DEF 相似，故本选项正确；D 项，由∠A＝∠E 且AB BC ＝DF ED不能判定△ABC 与△DEF 相似，因为相等的两个角不是夹角，故本选项错误．6．[答案] 答案不唯一，如DF∥AC 或∠BFD＝∠A 等[解析] ∵∠A＝∠A，AD AC ＝AE AB ＝13，∴△ADE ∽△ACB ，∴①当DF∥AC 时，△BDF ∽△BAC ，∴△BDF ∽△EAD.②当∠BFD＝∠A 时，∵∠B ＝∠AED，∴△FBD ∽△AED.7．答案] 10[解析] 由题意可得AD∶AB＝AE∶AC＝1∶2，∠BAC ＝∠DAE ＝60°＋∠DAC，∴△ABC ∽△ADE ，∴BC ∶DE ＝A B∶AD＝2∶1，∴BC ＝10.8．[答案] 125或53[解析] 如图①，当AE AD ＝AB AC 时，∵∠A ＝∠A，∴△AED ∽△ABC ，此时AE ＝AB·AD AC ＝6×25＝125；如图②，当AD AE ＝AB AC 时，∵∠A ＝∠A，∴△ADE ∽△ABC ，此时AE ＝AC·AD AB ＝5×26＝53.故答案为125或53.9．证明：因为CE·AE＝BE·DE，所以AE DE ＝BECE.又∠AEB＝∠DEC，所以△ABE∽△DCE.10．证明：∵AB＝9，AD ＝4，AC ＝7.2，AE ＝5， ∴AB AE ＝95＝1.8，AC AD ＝7.24＝1.8， ∴AB AE ＝AC AD. 又∵∠A＝∠A，∴△ABC ∽△AED ， ∴∠B ＝∠AED.11．证明：(1)∵DC＝ab ，CE ＝a ，AC ＝b ，∴DC 2＝CE·AC，即CE DC ＝DCAC.又∵∠ECD＝∠DCA，∴△DEC ∽△ADC.(2)∵△DEC∽△ADC，∴∠DAE ＝∠CDE.又∵∠BAD＝∠CDA，∴∠BAC ＝∠EDA.∵△DEC ∽△ADC ，∴DE AD ＝DC AC .∵DC＝AB ，∴DE AD ＝AB AC ，即DE AB ＝AD AC ，∴△ADE ∽△CAB ，∴AE CB ＝DE AB ，即AE·AB＝BC·DE.12．证明：(1)∵CD·AE＝AC·AG，∴CD AG ＝ACAE .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，∴AB AG ＝AC AE. 又∵∠BAC＝∠GAE， ∴△ABC ∽△AGE.(2)∵△ABC∽△AGE，∴∠ACB ＝∠E.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，BC ∥AD ，∴∠ACB ＝∠CAD＝∠E.又∵∠ADG＝∠ADE，∴△ADG ∽△EDA ，∴AD DE ＝GD AD ，∴AD 2＝GD·DE，∴AB2＝GD·DE.13．解：∵BC＝8 cm ，4AC ＝3BC ， ∴AC ＝6 cm .设经过t s ，△CPQ 与△CBA 相似， 此时BP ＝2t cm ，CQ ＝t cm ， 则CP ＝(8－2t)cm (0<t<4)．(1)当PQ∥AB 时，△CPQ ∽△CBA ， 则CP CB ＝CQ CA ，即8－2t 8＝t 6，解得t ＝2.4. (2)当CP CA ＝CQCB 时，△CPQ ∽△CAB ，则8－2t 6＝t 8，解得t ＝3211. 故经过2.4 s 或3211 s ，△CPQ 与△CBA 相似．14．解：(1)∵△PCD 是等边三角形， ∴PC ＝CD ＝PD ，∠PCD ＝∠PDC＝60°， ∴∠PCA ＝∠BDP＝120°，∴只要满足AC PD ＝PCDB，△PAC ∽△BPD 即成立，∴当AC ，CD ，DB 满足AC CD ＝CD DB (或CD 2＝AC ·DB)时，△PAC ∽△BPD.(2)∵△PAC∽△BPD， ∴∠BPD ＝∠A.又∵∠PDC＝∠BPD＋∠B＝60°， ∴∠A ＋∠B＝60°，∴∠APB ＝180°－∠A－∠B＝120°. 15解：(1)存在． 设BP ＝x ，则PD ＝10－x.∵∠B ＝∠D，∴当AB∶PD＝PB∶CD 时， △ABP ∽△PDC ， 即9∶(10－x)＝x∶4，整理得x 2－10x ＋36＝0，此方程没有实数根； 当AB∶CD＝PB∶PD 时，△ABP ∽△CDP ，即9∶4＝x∶(10－x)，解得x ＝9013，即BP 的长为9013.(2)存在两个点P.设BP ＝x ，则PD ＝12－x. ∵∠B ＝∠D，∴当AB∶PD＝PB∶CD 时，△ABP ∽△PDC ，即9∶(12－x)＝x∶4， 整理得x 2－12x ＋36＝0，解得x 1＝x 2＝6； 当AB∶CD＝PB∶PD 时，△ABP ∽△CDP ， 即9∶4＝x∶(12－x)，解得x ＝10813，故BP 的长为6或10813.。