传热学3非稳态导热
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11-2 传热学第三章-导热四学时-3非稳态导热
度，最终达到热平衡。
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。
传热学-3 非稳态导热
e Vc eBiV FoV
0
方程中指数的单位：
物体中的 温度呈指 数分布
hA
W m2K
m
2
w1
Vc
kg m3
[
m3
]
J kgK
J
s
3-2 集 总 参 数 法
即与
1 的量纲相同，当
Vc
时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温
3-1 概 述
t1
H
G
F
t0
A
温度场的特征（三个阶段）：
E B CD
1) 不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入
到物体内，温度分布受初始温度分布的影响很大。
2）正常情况阶段（正规状况阶段）：初始温度分布
影响消失，物体内各处温度随时间的变化率具有一
定的规律。温度分布主要取决于边界条件及物性。
3）建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
第三章 非稳态导热
１ 重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。
2 掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3 了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
3-1 概 述
非稳态导热 ：导热体的温度场随时间而变化。
通常，当毕渥数 Bi<0.1 时，采用集总参数法求解温 度影响误差不大。
3-2 集 总 参 数 法
集总参数法的特点： 1）是一种理想化模型； 2）物体内热阻忽略不计； 3）物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有 相同的温度； 4）通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同 时发生变化 5）把一个有分布热容的物体看成一个集中热容的 物体。
0
方程中指数的单位：
物体中的 温度呈指 数分布
hA
W m2K
m
2
w1
Vc
kg m3
[
m3
]
J kgK
J
s
3-2 集 总 参 数 法
即与
1 的量纲相同，当
Vc
时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温
3-1 概 述
t1
H
G
F
t0
A
温度场的特征（三个阶段）：
E B CD
1) 不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入
到物体内，温度分布受初始温度分布的影响很大。
2）正常情况阶段（正规状况阶段）：初始温度分布
影响消失，物体内各处温度随时间的变化率具有一
定的规律。温度分布主要取决于边界条件及物性。
3）建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
第三章 非稳态导热
１ 重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。
2 掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3 了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
3-1 概 述
非稳态导热 ：导热体的温度场随时间而变化。
通常，当毕渥数 Bi<0.1 时，采用集总参数法求解温 度影响误差不大。
3-2 集 总 参 数 法
集总参数法的特点： 1）是一种理想化模型； 2）物体内热阻忽略不计； 3）物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有 相同的温度； 4）通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同 时发生变化 5）把一个有分布热容的物体看成一个集中热容的 物体。
传热学第三章-非稳态导热-1
的温度。
t0
t0
t 2
1/h<</
t0
t
t
2
2
/<<1/h
1/h~/
把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，
称之为毕奥数，即
Bi / h
1/ h
那 么 ， 上 述 三 种 情 况 则 分 别 对 应 着 Bi<<1 、 Bi1 和
Bi>>1。
毕奥数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表 征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换 热热阻的对比关系。
这也是正常的第三类边界条件
(b) (c) t t∞
曲线（c）表示平板外环境的换热
热阻 1/ h 远小于平板内的导热 热阻 / , 即 1/ h /
(a)
x
0
x
从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体
边界几乎无温差，此时可用认为 tw t 。那么，
边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上
（3）表面换热Biblioteka 数很小。3-2-2 温度分布
一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
根据能量守恒要求，单位时间物体热力学能的变化量应
该等于物体表面与流体之间的对流换热量
Vc dt d
hA(t
t)
A
引入过余温度： t t
3-1-1 温度分布
一平壁初始温度为t0 ，令其左侧表面的温度突然升 高到t1，右侧与温度为 t0 的空气接触。
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经 过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分 布保持恒定，当为常数时，最终温度分布为直线。
t0
t0
t 2
1/h<</
t0
t
t
2
2
/<<1/h
1/h~/
把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，
称之为毕奥数，即
Bi / h
1/ h
那 么 ， 上 述 三 种 情 况 则 分 别 对 应 着 Bi<<1 、 Bi1 和
Bi>>1。
毕奥数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表 征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换 热热阻的对比关系。
这也是正常的第三类边界条件
(b) (c) t t∞
曲线（c）表示平板外环境的换热
热阻 1/ h 远小于平板内的导热 热阻 / , 即 1/ h /
(a)
x
0
x
从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体
边界几乎无温差，此时可用认为 tw t 。那么，
边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上
（3）表面换热Biblioteka 数很小。3-2-2 温度分布
一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
根据能量守恒要求，单位时间物体热力学能的变化量应
该等于物体表面与流体之间的对流换热量
Vc dt d
hA(t
t)
A
引入过余温度： t t
3-1-1 温度分布
一平壁初始温度为t0 ，令其左侧表面的温度突然升 高到t1，右侧与温度为 t0 的空气接触。
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经 过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分 布保持恒定，当为常数时，最终温度分布为直线。
传热学3-非稳态导热
第三阶段 建立新的稳态阶段， 理论上需要无限长
t
H
1
时间
物体各处的温度达
t
0
G
F A B E C D
到新的稳态
两类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的 三个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 不规则情况阶段段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变；
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值
着重讨论瞬态非稳态导热。
非稳态导热过程中在热量传递方向上不
同位臵处的导热量是不同的；
不同位臵间导热量的差别用于（或来自）
该两个位臵间内能随时间的变化，这是 区别与稳态导热的一个特点。
对非稳态导热一般不能用热阻的方法来
作问题的定量分析。
3 温度分布
h Bi 1h
（3） / 与 1/ h 的数值比较接近
平板中不同时刻的温度分布
介于上述两种极端情况之间。 两个热阻的相对大小对于物体
中非稳态导热的温度场的变化 具有重要影响。 引入表征这两个热阻比值的无 量纲数毕渥数。 Bi h
1h
近似分析法
a
L2
exp Bi Fo 0
0
exp Bi Fo 0
Bi Fo
应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化 关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的 对数与时间的关系是一条负斜率直线
3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅立叶数
1、导热量计算
hA Vc 0
Q Φ ( )d (t0 t ) hAe
03传热学第三章非稳态热传导
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
2021/1/14
0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2） 时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
2021/1/14
31
相当于第一 类边界条件
2021/1/14
32
2021/1/14
任意时刻平板 内温度均匀
33
书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
2021/1/14
30
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
传热学第三章
θ (x,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θm (τ ) ;
θ (x,τ ) = f (Bi,
x )
θ0
θm (τ ) θ0
θm (τ )
δ
传热学 Heat Transfer
3-4 二维及三维非稳态导热的求解
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ ∂x 2
τ = 0,θ = θ0
x = 0,τ > 0,θ = 0
x → ∞,τ > 0,θ = θ0
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
三、解的结果
Θ
=
θ θ0
=
t − tw t0 − tw
=
erf
(
式中:
η=
2
x aτ
x 4aτ
)
=
erf
(η
)
erf (η) 称为误差函数 ,查图 3-12和附录17计算。
华北电力大学
刘彦丰
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁 垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个 无限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六 面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
对于无限长方柱体
Fo
=
aτ l2
称为傅立叶数
FoV
=
aτ (V / A)2
传热学第三章 非稳态导热
Bi hl ≤0.1
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
传热学第3章非稳态导热
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
传热学非稳态导热
第三章非稳态导热Transient Conduction第五讲13.1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热的概念非稳态导热：物体内的各点温度随时间而变化的导热过程。
稳态导热：物体内各点温度随时间而温度不变的导热过程。
对于非稳态导热，物体内各点的热流密度随时间改变不？第五讲2二、应用背景•加热炉、连铸、连轧，加热时间和工件质量•改变材料的力学特性热处理（淬火、正火、回火）；•机加工，零件的热应力、热变形；•微电子器件，瞬态、交变工作状态下的寿命、热应力；•热力设备的启动与停机；•表面处理、光盘的读写；•航天器的升空与降落过程；•子弹出膛时的升温过程；•。
第五讲3第五讲4工程上典型温度变化率的数量级第五讲6第五讲7第五讲8第五讲9无限大平板的初始温度为t 0。
τ= 0时刻，其左边温度突然上升为t 1并保持不变，右侧与温度为t 0的空气接触。
平板内温度变化过程？三、非稳态导热过程的特点第五讲10该阶段的温度变化规律是讨论的主要内容11二、非稳态导热问题作集总参数处理的条件•物体的尺寸比较小；•材料的热导率比较大；•表面传热系数比较小。
上述三条均为相对概念，并不能严格说明何时可以采用集总参数法。
那么应该用什么参数来作为判断准则呢？第五讲13第五讲16•Bi →∞导热热阻起决定作用，对流热阻极小，t w →t ∞, 第一类边界条件的瞬态问题•Bi →0 导热热阻极小，内部温度趋于一致•Bi 有限大小，内外热阻都起作用不同Bi数平板内温度变化（初温t 0、环境温度t ∞）第五讲24ρcV /hA 具有时间的量纲，称为时间常数τc.0/0.368θθ=用集总参数法分析时物体过余温度的变化曲线当τ=τc 时，第五讲26M ：与物体的几何形状有关的常数平板：M=1圆柱：M=1/2球：M=1/3四、集中参数法的适用范围当Bi V <0.1M时，物体内各点间的过余温度的偏差将小于5%。
五、多集总系统由两个或两个以上子系统构成的系统（如两个接触良好的固体或盛在容器中的液体)，集总参数法可以应用于其子系统。
传热学第3章非稳态热传导
•
边长为b的立方体：l
b 6
例题
1.有一直径为5cm的钢球，初始温度为450℃，被突然置 于温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围流体间的 总换热系数为24W/(m2.K)，
试确定钢球冷却到300℃所需的时间。 （已知钢球的ρ=7753kg/m3, cp=0.48kJ/(kg.K), λ=33W/(m.K)）
Φ1
➢ Ф1：从左侧面导入物体的热流量；
➢ Ф2；从右侧面导出的热流量。
0 τ0
Φ2 τ
平板非稳态导热过程中两侧
表面上导热量随时间的变化
3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的数学描述
c p
t
(
2t x 2
2t y 2
2t z 2
)
•
(a)
I.C t(x, y, z,0) f (x, y, z)
分析问题
有一任意形状物体，体积V，表面积A，物性参数
ρ，λ，c为常数。初始温度t0，初始时刻突然置于
温度t∞（恒温）的流体中，
表面传热系数h为常数。 V A
ρ，λ，c
求解
t∞ h
t0
➢ 物体冷却过程中温度随时间的变化规律； ➢ 物体放出的热量。
1. 物体在冷却过程中温度随时间的变化规律
根据能量守恒：
t
用过余温度表示的导热微分方程： τ=0
I.C
B.C
a
2
x 2
(0 x , 0)
0 0 (0 x )
x0
x
0
x
h
x
τ1 τ2 τ3
t∞ -δ 0
用分离变量法求解，直接给出分析解：
ห้องสมุดไป่ตู้t0
《传热学》第3章_非稳态热传导分析
9
第3章 非稳态热传导
3.2 零维问题的分析法——集中参数法
定义: 固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻 固体内部的温度都趋于一致，以致可以认为整个固体在同一 瞬间均处于同一温度下。(类比质心) 特点: 温度仅是时间τ的一元函数 Bi ，而与空间坐标无关 0 t f (。 ) 应用: 物体导热系数极大；几何尺寸极小；表面传热系数极低。 方法: 忽略物体内部导热热阻的简化方法——集中参数法
p
笛卡尔、圆柱和圆球坐标系下的导热微分方程可以统一表示为 t cP div grad t
初始条件 t x, y, z,0 f x, y, z
t x, y, z,0 t0
(第三类边界条件,n为换热表面外法 t 边界条件 ( n ) w h(t w t f ) t 线，h,tf已知，tw, 未知) n w
由此解得
570 s 0.158 h
17
第3章 非稳态热传导
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
内容：介绍平板、圆柱与球的一维非稳态导热温度场的分析解。
重点：分析解的应用，了解求解过程，掌握公式中各部分表示的含义
3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解 1. 平板
厚度为2δ的无限大平板， 初始温度为t0,外部温度为t∞, 平板关于中心截面对称,因此 只研究x≥0的半块平板
导热微分方程变为
导热微分方程
零维问题完整数学描述
初始条件
d
hA d Vc
11
第3章 非稳态热传导
导热微分方程求解：
d
从0到τ积分 hA d Vc
0
d
第3章 非稳态热传导
3.2 零维问题的分析法——集中参数法
定义: 固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻 固体内部的温度都趋于一致，以致可以认为整个固体在同一 瞬间均处于同一温度下。(类比质心) 特点: 温度仅是时间τ的一元函数 Bi ，而与空间坐标无关 0 t f (。 ) 应用: 物体导热系数极大；几何尺寸极小；表面传热系数极低。 方法: 忽略物体内部导热热阻的简化方法——集中参数法
p
笛卡尔、圆柱和圆球坐标系下的导热微分方程可以统一表示为 t cP div grad t
初始条件 t x, y, z,0 f x, y, z
t x, y, z,0 t0
(第三类边界条件,n为换热表面外法 t 边界条件 ( n ) w h(t w t f ) t 线，h,tf已知，tw, 未知) n w
由此解得
570 s 0.158 h
17
第3章 非稳态热传导
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
内容：介绍平板、圆柱与球的一维非稳态导热温度场的分析解。
重点：分析解的应用，了解求解过程，掌握公式中各部分表示的含义
3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解 1. 平板
厚度为2δ的无限大平板， 初始温度为t0,外部温度为t∞, 平板关于中心截面对称,因此 只研究x≥0的半块平板
导热微分方程变为
导热微分方程
零维问题完整数学描述
初始条件
d
hA d Vc
11
第3章 非稳态热传导
导热微分方程求解：
d
从0到τ积分 hA d Vc
0
d
第三章非稳态导热_传热学
tm m tf 9 8= 17c C
m 2 0.9064 exp 1.1347 2 0.22 0.9 0 1.1347 0.9064 0.4224
平壁表面处 x 的过余温度为：
w 2sin 1 cos 1 exp 12 Fo 0 1 sin 1 cos 1
(2)在垂直于热量传递的方向上，每个截面上热流量不相等； (3)温度随时间变化，热流也随时间变化。
3.讨论非稳态导热问题的目的：
(1)在加热和冷却时，物体内部某一点温度达到预定温度 时所需要的时间，以及该时间内物体吸收和放出的热量；
(2)对物体加热或冷却之后，物体内部温度分布以及物体 温度随时间的变化率
1 0
1 d a d
c1 exp a
c1 exp a
2
1 d2 X 2 2 X dx
X c2 cos x c3 sin x
x, X x
第三章 非稳态导热
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 非稳态导热的基本概念 无限大平壁的瞬态导热 半无限大物体的瞬态导热 其他形状物体的瞬态导热 周期性非稳态导热(自学)
• • • •
1.加热冷却过程 2.动力机械中的开关车
应用背景
3.地球的气候变化
4.医疗中激光技术(控制温度范围)
x, 2sin 1 x cos 1 exp 12 Fo 0 1 sin 1 cos 1
查表3－1，当Bi＝2.5时， 1 1.1347
180 sin 1 sin 1.1347 0.9064
x A sin 0 B cos 0 exp a 2 0
《传热学》第三章 非稳态导热
令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解： 假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果： 因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节 半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地 一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节 其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法 分无 布限 计长 算圆 步柱 骤温 度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度 无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析： 随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较 大时，收敛性更加明显。 因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：
《传热学》第3章-非稳态导热
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面 传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学 上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的 两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连 乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的 解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度 发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公 共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos
β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关， 与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300
传热学-第三章 非稳态导热
[J ]
当物体被加热时(t<t∞)，将上两式中的θ0=t0－t∞ 改为θ0=t∞－t0，其余计算式相同（为什么？）
4. BiV·FoV的物理意义
Bi
=
hl
λ
=
l
λ＝
物体内部导热热阻
1 物体表面对流换热热阻
h
无量纲 热阻
BiV数越小，计算结果越接近实际情况。比如热电
偶测温，其BiV数只有0.001。
=
h ⋅ 4(l + d
cp dl
/ 2)
=
140× 4× (0.3 + 0.05 / 2)
0.48×103 × 7753× 0.05× 0.3
=
0.326
×10−2
s -1
θ θ0
=
t − t∞ t0 − t∞
= exp⎜⎜⎝⎛ −
hA
ρcV
⋅τ ⎟⎟⎠⎞
⇓
( ) 800 −1200 = exp − 0.326×10−2 ×τ
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
∂t
∂τ
=
λ ⎜⎛ ∂2t ρc ⎜⎝ ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
∂2t ∂z 2
⎟⎟⎠⎞ +
Φ&
ρc
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ
的一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
例 一 直 径 为 5cm ， 长 为 30cm 的 钢 圆 柱 体 ， 初 始 温 度 为 30℃ ， 将 其 放 入 炉 温 为 1200℃ 的 加 热 炉 中 加 热 ， 升 温 到 800℃时方可取出。已知钢圆柱体与烟气间的表面传热系数 为 140w/(m2K) ， 钢 球 的 比 热 c=0.48kJ/(kgK) ， 密 度 ρ=7753kg/m3，导热系数λ=33w/(mK)。问需要多少时间才 能达到加热要求？ 解：首先检验是否可以采用集总参数法。为此计算Biv数：
传热学基本概念三维非稳态导热微分方程导热微分
传热学基本概念三维非稳态导热微分方程导热微分方程的基本形式是:\[\rho c \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \nabla \cdot (k \nabla T) + q\]其中，\(\rho\) 是介质的密度，\(c\) 是比热容，\(T\) 是温度，\(t\) 是时间，\(k\) 是导热系数，\(q\) 是单位体积内的热源。
这个方程描述了物质内部温度分布随时间的变化，以及热量在空间中的传递和变化。
对于三维非稳态导热问题，方程中的温度 \(T\)、密度\(\rho\)、比热容 \(c\)、导热系数 \(k\) 都可能是空间坐标 \(x\)、\(y\)、 \(z\) 和时间 \(t\) 的函数。
方程的实质是一个偏微分方程，描述了三维空间中温度分布随时间的变化规律。
在实际问题中，要解决三维非稳态导热问题的方程，需要满足一定的边界条件和初始条件。
边界条件指定了物体表面的温度、热流量或对流换热系数，初始条件指定了系统在初始时刻的温度分布和热能分布。
通过这些条件，可以得到方程的解析解或数值解，从而揭示物体内部温度变化的规律。
除了基本的三维非稳态导热微分方程外，传热学还涉及了许多重要的概念和原理，如热传导、热对流、热辐射等。
这些概念和原理不仅在工程领域有着重要的应用，而且在生活中也随处可见。
总结起来，对于三维非稳态导热微分方程及其相关的传热学概念，我们需要深入理解其基本原理和数学模型，掌握其解决方法和工程应用。
通过学习和研究，我们可以更好地理解和应用传热学知识，为解决工程和生活中的热传递问题提供理论和技术支持。
传热学是研究物体内部温度分布随时间的变化规律以及热量在空间中的传递和变化的学科，其理论和方法在工程热学、地球科学、生物医学工程和环境科学等领域有着广泛的应用。
三维非稳态导热微分方程是传热学中的基本方程之一，描述了物质内部温度分布随时间的变化规律。
在实际问题中，要解决三维非稳态导热问题需要满足一定的边界条件和初始条件，通过这些条件可以得到方程的解析解或数值解。
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h Bi 1h
（1） 1/ h /
表面对流换热热阻几乎 可以忽略，因而过程一开 始平板的表面温度就被冷 却到t∞ 随着时间的推移，整体 地下降，逐渐趋近于一致
1/ h
t
Bi
1 h
（2） / 1/ h
平板内部导热热阻 / 几乎可以忽略，因而任一 时刻平板中各点的温度接 近均匀， 随着时间的推移，整体 地下降，逐渐趋近于t∞
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t z z
qv t 2 a t＋ c
(3) 求解方法：
分析解法、近似分析法、数值解法 分析解法：分离变量法、积分变换、拉
t ( x, y, z,0) f ( x, y, z)
简单特例 f(x,y,z)=t0
边界条件：着重讨论第三类边界条件
t ( ) w h(tw t f ) n
学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变 化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
正常情况阶段： Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。
非稳态导热问题的求解实质
在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方
程式，是本章主要任务。 三个不同坐标系下导热微分方程式，用矢量形 式统一表示为：
t 2 c t＋qv
温度的拉普拉斯算子
qv t 2 a t＋ c
初始条件的一般形式
第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
t ( ) w h(tw t f ) n
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中 的温度变化特征与边界条件参数的关系。 已知：平板厚2、初温t0、表面传热系数h、平板导 热系数，将其突然置于温度为t∞的流体中冷却。
平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
１、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体传导热量计算
方法。
3.1 非稳态导热的基本概念
1定义 物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热。
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f()
冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；
自然环境温度；
供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。
2
非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随 时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程）， 在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介 质温度，最终达到热平衡。
3.2
零维问题的分析法－集总参数法
定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均 匀一致的分析方法。
Bi
h 1h
此时，Bi 0 ，温度分布只与时间有关，
即
t f ( ) ，与空间位置无关。
因此，也称为零维问题。
工程上把Bi﹤0.1作为该情况的判据
集总参数法的简化分析
h 如果物体的导热系数很大， Bi 1h 或几何尺寸很小，
h Bi 1h
（3） / 与 1/ h 的数值比较接近
平板中不同时刻的温度分布
介于上述两种极端情况之间。 两个热阻的相对大小对于物体
中非稳态导热的温度场的变化 具有重要影响。 引入表征这两个热阻比值的无 量纲数毕渥数。 Bi h
1h
近似分析法
必须用无穷级数描述。
第二阶段
正常情况阶段(右侧参与换热 ) 当右侧面参与换热以后，物
体中温度分布不受初始温度的
影响，主要取决于边界条件及 物性，此时非稳态导热过程进 入到正规状况阶段。 环境的热影响已经扩展到整
t
0
t
H
1
G
F A B E C D
个物体内部，即物体（或系统
）不再受到初始温度分布影响 的阶段。可以用初等函数描述
4 几个同的阶段
t
H
1
G
F E C D
t
0
A
B
依据温度变化的特点，可将加热或冷却过程分为 三个阶段。
第一阶段
不规则情况阶段(右侧
面不参与换热 )：温度
分布显现出部分为非稳 t
态导热规律控制区和部 分为初始温度区的混合
H
1
G
F A B E C D
分布，即：在此阶段物 t 体温度分布受初始温度
0
分布的影响较大。
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值
着重讨论瞬态非稳态导热。
非稳态导热过程中在热量传递方向上不
同位置处的导热量是不同的；
不同位置间导热量的差别用于（或来自）
该两个位置间内能随时间的变化，这是 区别与稳态导热的一个特点。
对非稳态导热一般不能用热阻的方法来
作问题的定量分析。
3 温度分布
或表面换热系数极低， 其导热问题都可能属于这一类型的非稳态导
热问题。
3.2.1
集总参数法温度场的分析解
A
φc
第三阶段 建立新的稳态阶段， 理论上需要无限长
t
H
1
时间
物体各处的温度达
t
0
G
F A B E C D
到新的稳态
两类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的 三个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 不规则情况阶段段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变；
普拉斯变换
近似分析法：
集总参数法、积分法
数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有
限元法、分子动力学模拟
无量纲特征数（准则数） -毕渥数
hl lh / 物体内部导热热阻 Bi 1）定义： Bi 1/ h 物体表面换热热阻 1h
V
2）Bi 物理意义： 物体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的对流换热热阻之比。 Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场 的分布规律。 3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过 程特征的无量纲数。 4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。