教育最新K12九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识27.1.2.2垂径定理同步练习
九年级数学下册 第27章 圆 27.1 圆的认识 27.1.3 第2课时 圆周角定理的推论练习课件 (新版)华东师大版
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花心思
2019/10/17
22Leabharlann 谢谢欣赏！2019/10/17
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在如何在课件中贯彻案例的设计意图上、如何增强课件的实效性上，既是技术上的进步，也是理论上的深化，通过几个相关案例的制作，课件的概念就 会入心入脑了。 折叠多媒体课件 多媒体教学课件是指根据教师的教案，把需要讲述的教学内容通过计算机多媒体(视频、音频、动画)图片、文字来表述并构成的课堂要件。它可以生动、 形象地描述各种教学问题，增加课堂教学气氛，提高学生的学习兴趣，拓宽学生的知识视野，10年来被广泛应用于中小学教学中的手段，是现代教学发 展的必然趋势。
2023九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂径定理教案(新版)华东师大版
教师备课：
深入研究教材，明确圆的认识和垂径定理教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保圆的认识和垂径定理教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习圆的认识和垂径定理的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
3. 给定一个圆，请写出至少三种方法来确定该圆的半径长度。
4. 假设一个圆的直径为14cm，求该圆的半径长度。
5. 在一个圆形草坪上，有一棵大树，树的根部到草坪中心的距离为7m。求大树的树干截面圆的半径长度。
答案：
1. 圆的认识是指理解和描述圆的基本属性和特点，如圆的形状、直径和半径等。垂径定理是指圆的直径垂直于通过圆心的任意直线。
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入圆的认识和垂径定理学习状态。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的圆的基本概念，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对圆的基本概念的掌握情况，为圆的认识和垂径定理新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解圆的认识和垂径定理知识点，结合实例帮助学生理解。
举例：讲解垂径定理时，可以以一个圆为例，引导学生观察并发现圆中垂直直径的性质，进而得出垂径定理。然后，给出一些实际问题，如圆的半径长度计算、圆的直径长度计算等，让学生运用垂径定理解决问题。
（2）圆的对称性质的掌握：学生需要了解圆的对称性质，并能够应用于实际问题中。教师在教学过程中应重点讲解圆的对称性质，并通过实例让学生学会运用这些性质解决问题。
在学生的学习效果方面，我看到大多数学生能够理解和运用圆的认识和垂径定理，但也有少数学生对这些概念的理解还不是很清晰。我会在今后的教学中，更加关注这部分学生，帮助他们克服学习困难，提高他们的学习效果。
九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识3圆周角教学初中九年级下册数学
(1)∠BOC= 70 º，理由(lǐyóu)
是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ;
(2)∠BDC= 35º，理由是
同弧所对的圆周角相等.
(xiāngděng)
第十八页，共四十四页。
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形
ABCD的对角线.
(1)完成下列(xiàliè)填空： ∠1= ∠4. ∠2= ∠8. ∠3= ∠6. ∠5= ∠.7
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别(fēnbié)对于2x，3x，6x，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∵2x+6x=180°， ∴ x=22.5°. ∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°，
∠D=180°-67.5°=112.5°.
第三十三页，共四十四页。
第27章 圆
27.1 圆的认识(rèn shi)
3. 圆周角
导入新课
讲授( jiǎngshòu)新 课
当堂(dānɡ tánɡ)练 习
课堂小结
第一页，共四十四页。
学习(xuéxí)目 标
1.理解圆周角的概念(gàiniàn)，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简 单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
第三十六页，共四十四页。
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果
(rúguǒ)∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
（ C）
B
A 115° B 130°
C 65° D 50°
P 5.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，
九年级数学下册 第27章 圆 27.1 圆的认识 2 圆的对称性第2课时 垂径定理教学课件
导入新课
情境 引 (qíngjìng)
问题入:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点(zhōnɡ diǎn)到弦的距离)为 7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
第三页，共二十七页。
讲授(jiǎngshòu)新课
一 垂径定理及其推论
导入新课
27.2 圆的对称性
2.圆的对称性
第2课时 垂径定理
讲授( jiǎngshòu)新 课
当堂(dānɡ tánɡ)练 习
课堂(kètáng)小结
第一页，共二十七页。
学习(xuéxí)目 标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决
一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关(yǒuguān)圆的问题.（难点）
证明(zhèngmíng)：过O作OE⊥AB，垂足为
E， 则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
O.
A CED B
即 AC＝BD.
注意：解决(jiějué)有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于
弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
第二十二页，共二十七页。
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是
垂径定理(dìnglǐ)
辅助线
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦 （不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对
的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论
（“知二推三”）
两条辅助线： 连半径，作弦心距
九年级数学 第27章 圆 27.1 圆的认识 27.1.2.1 弧、弦、圆心角之间的关系导学
2021/12/10
第十四页，共十八页。
1 第 课时(kèshí) 弧、弦、圆心角之间的关系
知识点二 弧、弦、圆心角之间的关系
在同圆或等圆中，如果(rúguǒ)圆心角相等，那么它们所对的弧
相等(xiāngděng)
相等
________，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果弧相等，那么
相等
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图 27－1－5
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第1课时(kèshí) 弧、弦、圆心角之间的关系
(2) 同 学 乙 ： 我 添 加 AB ＝ A′B′ ， 根 据 ________ 可 判 定 △AOB≌△A′O′B′.这样你还能得到哪些相等关系？
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图 27－1－5
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第1课时(kèshí) 弧、弦、圆心角之间的关系
【归纳总结】弧、弦、圆心角之间关系(guān xì)的应用： (1)充分利用弧、弦、圆心角之间的关系进行转化，如将弦相等转 化为它们所对的圆心角相等； (2)弧、弦、圆心角之间的关系定理适用的前提条件是在同圆或等圆
第 课时 1
(kèshí)
弧、弦、圆心角之间的关系
例 4 [教材例 1 针对训练] 如图 27－1－7，AB，CD，EF 都是 ⊙O 的直径，AC＝EB＝DF，求∠1，∠2，∠3 的度数．
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图 27－1－7
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课时 第1
(kèshí)
弧、弦、圆心角之间的关系
解：∵AC＝EB＝DF， ∴∠AOC＝∠BOE＝∠DOF. ∵∠1＝∠AOC，∠2＝∠BOE，∠3＝∠DOF， ∴∠1＝∠AOC＝∠2＝∠BOE＝∠3＝∠DOF. ∵∠1＋∠AOC＋∠2＋∠BOE＋∠3＋∠DOF＝360°， ∴∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°.
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27.1.2 圆的对称性
第2课时 垂径定理
知|识|目|标
1．通过折叠、作图等方法，探索出圆是轴对称图形．
2．通过圆的对称性探索出垂径定理及其推论，会用垂径定理解决有关的证明和计算问题．
3．会利用垂径定理解决实际生活中的问题．
目标一 理解圆的轴对称性
例1 教材补充例题 下列说法正确的是( )
A ．每一条直径都是圆的对称轴
B ．圆的对称轴是唯一的
C ．圆的对称轴一定经过圆心
D ．圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线
【归纳总结】圆的对称轴的“两点注意”：
(1)圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
(2)对称轴是直线而不是线段，所以说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”．
目标二 能应用垂径定理及其推论进行证明或计算
例2 教材补充例题 如图27－1－9，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是( )
图27－1－9
A ．CM ＝DM B.C
B ︵＝DB ︵
C ．∠AC
D ＝∠ADC D ．OM ＝MB
【归纳总结】垂径定理的“三点注意”：
(1)垂径定理中的直径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”．
(2)当垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立．
(3)平分两条弧是指平分这条弦所对的优弧和劣弧，不要漏掉优弧．
例3 教材补充例题 如图27－1－10，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，垂足为H ，连结BC ，BD .
(1)求证：BC ＝BD ；
(2)已知CD ＝6，OH ＝2，求⊙O 的半径．
图27－1－10
【归纳总结】垂径定理中常作的两种辅助线：
(1)若已知圆心，则过圆心作垂直于弦的直径(或半径或线段)．
(2)若已知弧、弦的中点，则作弧、弦中点的连线或连结圆心和弦的端点等．
目标三 会用垂径定理解决实际生活中的问题
例4 高频考题“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”题目用现在的数学语言表达如下：如图27－1－11所示，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长．请你解决这个问题．
图27－1－11
【归纳总结】垂径定理基本图形中的“四变量、两关系”：
1．四变量：设弦长为a ，圆心到弦的距离为d ，半径为r ，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h ，这四个变量知道其中任意两个即可求出其他两个．
2．两关系：(1)(a 2
)2＋d 2＝r 2
； (2)h ＋d ＝r .
图27－1－12
知识点一 圆的轴对称性
圆是____________，它的任意一条直径所在的直线都是它的________，圆有________条对称轴．
知识点二 垂径定理及其推论
垂直于弦的直径__________，并且____________．
推论： 平分弦(不是直径)的直径____________，并且______________________；平分弧的直
径垂直平分这条弧所对的弦．
已知CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，求BE 的长． 解：如图27－1－13，连结OC ，则OC ＝5.
∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，
∴CE ＝12CD ＝4.
在Rt △OCE 中，
OE ＝OC 2－CE 2＝3，
∴BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8.
图27－1－13 以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充．
教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] C 因为对称轴是直线，不是线段，而圆的直径是线段，故A 不正确；因为圆的对称轴有无数条，故B 不正确；因为圆的对称轴是直径所在的直线，所以一定经过圆心，故D 不正确，C 正确．故选C .
例2 [解析] D ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，
故选项A 成立；由垂径定理可得CB ︵＝DB ︵，故选项B 成立；在△ACM 和△ADM 中，∵AM ＝AM ，∠
AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ，∴△ACM ≌△ADM ，∴∠ACD ＝∠ADC ，故选项C 成立；而OM 与MB 不一定相等，故选项D 不成立．故选D .
例3 解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵，∴BC ＝BD.
(2)如图，连结OC.
∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，CD ＝6，∴CH ＝3，
∴OC ＝OH 2＋CH 2＝22＋32
＝13，
故⊙O 的半径为13.
例4 [解析] 连结OA ，构造Rt △AOE ，利用勾股定理及垂径定理解答． 解：连结OA.
∵CD ⊥AB 于点E ，CD 为⊙O 的直径，
∴AE ＝12AB ＝12
×10＝5(寸)． 在Rt △AEO 中，设AO ＝x 寸，
则OE ＝(x －1)寸．
由勾股定理，得x 2＝52＋(x －1)2，
解得x ＝13.
∴AO ＝13寸，∴CD ＝2AO ＝26寸．
答：直径CD 的长为26寸．
【总结反思】
[小结] 知识点一 轴对称图形 对称轴 无数
知识点二 平分这条弦 平分这条弦所对的两条弧 垂直于这条弦 平分这条弦所对的两条弧
[反思]
不完整．补充如下：
如图，当垂足E 在线段OB 上时，
此时，BE ＝OB －OE ＝5－3＝2.
∴BE 的长为8或2.。