2014文科高考复习---指数函数与对数式
高中数学指数函数与对数函数
高中数学指数函数与对数函数在高中数学的学习中，指数函数与对数函数是非常重要的两个部分。
它们不仅在数学理论中有着重要的地位，还在实际生活中的许多领域有着广泛的应用。
首先，让我们来认识一下指数函数。
指数函数的一般形式为 y ＝a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1）。
其中，a 被称为底数，x 是指数。
当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。
比如说，y ＝ 2^x 就是一个底数为 2 的指数函数。
当 x 逐渐增大时，y 的值增长得非常快。
而 y ＝（1/2)＾x ，由于底数 1/2 小于 1，所以当 x 增大时，y 的值会越来越小。
指数函数有很多有趣的性质。
指数函数的图像总是经过点（0, 1)，因为任何非零数的 0 次幂都等于 1。
而且，指数函数的定义域是全体实数，值域是（0, ＋∞）。
接下来，我们再看看对数函数。
对数函数是指数函数的反函数，一般形式为 y ＝logₐx （a ＞ 0 且a ≠ 1）。
如果 y ＝ a^x ，那么 x ＝logₐy 。
以 y ＝ log₂x 为例，它表示 2 的多少次方等于 x 。
对数函数的定义域是（0, ＋∞），值域是全体实数。
对数函数也有自己独特的性质。
比如，logₐ1 ＝ 0 ，因为任何非零数的 0 次方都等于 1 。
还有logₐa ＝ 1 ，因为 a 的 1 次方就是 a 本身。
指数函数和对数函数之间有着密切的关系。
它们的图像关于直线 y＝ x 对称。
通过这种对称关系，我们可以利用一个函数的性质来推导出另一个函数的性质。
在实际应用中，指数函数和对数函数的用处可不少。
比如在金融领域，计算利息的复利问题就会用到指数函数。
假设你在银行存了一笔钱，年利率为 r ，如果按照复利计算，经过 t 年后，你的存款总额就可以用指数函数来表示。
在科学研究中，比如研究细菌的繁殖、放射性物质的衰变等，也常常会用到指数函数。
而对数函数在测量声音的强度、地震的震级等方面发挥着重要作用。
高考文科数学一轮总复习第二章指数式、对数式的运算
第4讲 指数式、对数式的运算一、知识梳理 1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N ＋.na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N ＋，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N ＋时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N ＋，且n >1)． ②na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mnna m (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn＝1a m n ＝1n am (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．对数 概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1) 运算法则log a (M ·N )＝log a M ＋log a Na >0，且a ≠1，M >0，N >0log a MN ＝log a M －log a Nlog a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)推论①log a m b n ＝n m log a b ；②log a b ＝1log b a ；③log a b ·log b c ＝log a c (a ，b 均大于0且不等于1，c >0)1．计算(1)lg 14－lg 25＝ ．(2)2log 510＋log 50.25＝ ． 答案：(1)－2 (2)22．化简(1)a 12a 14a －18＝ ．(2)2x －13⎝⎛⎭⎫12x 13－2x －23＝ ．答案：(1)a 58(2)1－4x －1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4（π－4）4＝π－4.( )(2)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N ＋)．( ) (3)log 2x 2＝2log 2x .( )(4)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区(1)忽视n 的范围导致na n (a ∈R )化简出错； (2)对数的运算性质不熟致误． 1．化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2y解析：选D.因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4)14＝(16)14·(x 8)14·(y 4)14＝2x 2|y |＝－2x 2y .2．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝ ．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：12指数幂的化简与求值(师生共研)计算：(1)⎝⎛⎭⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a -13b13(a >0，b >0)．【解】 (1)原式＝(－1)－23×⎝⎛⎭⎫338－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫278－23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a -13b 13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab －1.[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．1．计算：－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12＝ ． 解析：原式＝－⎝⎛⎭⎫232＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－323－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12＝－49＋49＋105＝10 5. 答案：10 52．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a -13b 23的结果为 ．解析：原式＝4÷⎝⎛⎭⎫－23a 23－⎝⎛⎭⎫－13b －13－23 ＝－6ab －1＝－6a b .答案：－6ab3．已知x 12＋x －12＝3，则x 2＋x －2＋3＝ ．解析：由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47，所以x 2＋x －2＋3＝50.答案：50对数式的化简与求值(师生共研)计算下列各式：(1)2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2； (2)log 225·log 322·log 59； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2.【解】 (1)2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋lg 2(2lg 2＋2lg 5)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(2)法一：log 225·log 322·log 59＝log 252·log 3232·log 532＝6log 25·log 32·log 53＝6.法二：log 225·log 322·log 59＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝lg 52lg 2·lg 232lg 3·lg 32lg 5＝6.(3)lg27＋lg 8－lg 1 000lg1.2＝lg8271 000lg65＝12lg64×271 000lg65＝12lg43×33103lg65＝12lg⎝⎛⎭⎫4×3103lg65＝32lg65lg65＝32.[提醒]对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．1．计算2log63＋log64的结果是()A．log62B．2C．log63 D．3解析：选B.2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.故选B.2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x≥4，f（x＋1），x<4，则f(2＋log23)的值为()A．24 B．16C．12 D．8解析：选A.因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.3．lg2＋lg5＋20＋(513)2×35＝．解析：原式＝lg10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1324．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝．解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝log m2＋log m5＝log m10＝2.所以m2＝10，所以m＝10.答案：10[基础题组练]1．若实数a>0，则下列等式成立的是()A ．(－2)－2＝4 B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．(a －14)4＝1a解析：选D.对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，(a －14)4＝1a.2．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么PQ 的值为( )A.14 B ．4 C ．1D ．4或1解析：选B.由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，得log a (P －2Q )2＝log a (PQ )．由对数运算性质得(P －2Q )2＝PQ ，即P 2－5PQ ＋4Q 2＝0，所以P ＝Q (舍去)或P ＝4Q ，解得PQ＝4.故选B.3．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．1 B ．0或18C.18D ．log 23解析：选D.由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)，2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x＝3，x ＝log 23，故选D.4．(2020·河南驻马店模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫12x ，x >0，则f (f (log 23))＝( )A ．－9B ．－1C ．－13D ．－127解析：选B.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫12x ，x >0以及log 23>1，则f (log 23)＝－⎝⎛⎭⎫12log 23＝－2log 2313＝－13，所以f (f (log 23))＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝3×⎝⎛⎭⎫－13＝－1，故选B. 5.a 3a ·5a 4(a >0)的值是 ． 解析：a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a 45＝a 3－12－45＝a 1710.答案：a 17106．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为 ．解析：由2x ＝3，log 483＝y ，得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：37.（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝ ．解析：原式＝（log 62）2＋log 62·（2－log 62）2log 62＝2log 622log 62＝1. 答案：18．化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1；(3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝3a 72·a -32÷3a -32·a -12＝3a 2÷3a －2 ＝a 23÷a －23＝a 43.(3)法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3（4－3）lg 3＝115；法二：原式＝lg ()3×925×2712×35×3 －12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115.[综合题组练]1．定义a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，a ·b ≥0，a b ，a ·b <0，设函数f (x )＝ln x ·x ，则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2D ．0解析：选D.因为2×ln 2>0，所以f (2)＝2×ln 2＝2ln 2. 因为12×ln 12<0，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝ln1212＝－2ln 2. 则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝2ln 2－2ln 2＝0.2．化简：（a 23·b －1）-12·a -12·b 136a ·b 5＝ ．解析：原式＝a -13·b 12·a -12·b 13a 16·b 56＝a－13－12－16·b 12+13－56＝1a. 答案：1a3．(2020·洛阳市第一次统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝ ．解析：法一(定义法)：因为函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 即ln(e －x ＋1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ax ，所以2ax ＝ln(e －x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e －x ＋1e x ＋1＝ln 1e x ＝－x ，所以2a ＝－1，解得a ＝－12.法二(取特殊值)：由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)， 所以ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，所以2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －1＋1e ＋1＝ln 1e ＝－1，所以a ＝－12.答案：－124．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是 ．解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.答案：7 2。
指数函数与对数函数(讲义)
指数函数与对数函数(讲义)指数函数和对数函数是数学中的基本函数之一。
指数函数的一般形式是$y=a^x$，其中$a$是底数，$x$是指数。
当$01$时，函数图像是上升的。
对数函数的一般形式是$y=\log_a x$，其中$a$是底数，$x$是真数。
当$01$时，函数图像是下降的。
指数函数和对数函数有许多重要的性质，例如它们的定义域和值域，单调性等。
比较大小时，可以利用指数函数和对数函数的单调性。
对于同底指数函数，可以直接比较大小。
对于异底指数函数，可以采用化同底、商比法、取中间值、图解法等方法。
对于同底数对数函数，可以直接利用单调性求解，但如果底数是字母，需要分类讨论。
对于异底数对数函数，可以采用化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，1），或者借助图象高低数形结合来比较大小。
换底公式是比较常用的公式之一，可以用于将一个对数函数转化为以另一个底数为底的对数函数。
常用的变形包括$log_c a=\frac{1}{\log_a c}$，$log_a b^m=m\log_a b$，$a^{\log_a b}=b$等。
练题：1.若$3a=4b=6c$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值为（B）。
2.计算：1）若集合$\{x,xy,\log(xy)\}=\{0,|x|,y\}$，则$\log_8(x^2+y^2)$的值为$\frac{3}{2}$；2）设$g(x)=\begin{cases}e^x &(x\leq 1)\\ \ln x&(x>1)\end{cases}$，则$g(g(2))=\ln(e^2+1)$；3）若$f(x)=\begin{cases}f(x+3) &(x<6)\\ \log_2 x &(x\geq 6)\end{cases}$，则$f(-1)$的值为$\log_2 5$。
3.（1）函数$f(x)=\log_2(x^2+1-x)$是奇函数；2）设函数$f(x)$在定义域上是奇函数，则$f(0)=0$。
高考数学总复习 指数对数、指数函数与对数函数
高考数学总复习 指数对数、指数函数与对数函数1、根式的定义：一般地，若一个数的n 次方等于a (n ＞1，且n ∈N *)，则这个数叫做a 的n 次方根．即x n =a ，则x 叫a 的n 次方根，式子n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数． 注意：（1）负数没有偶次方根；零的任何次方根都是零。
（2）虽然a a n n =)(，但⎩⎨⎧=为偶数）为奇数）（n a n a n n a (|,|,. 2、规定正数的正分数指数幂的意义是：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a n m n m a 且；正数的负分数指数幂)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a a n n m mn m a 且；0的正分数指数幂为0；0的负分数指数幂没有意义。
3、有理数指数幂的运算性质(1)a r ·a s =a r+s (a ＞0，r,s ∈Q )；(2)a r ÷a s =a r-s (a ＞0，r,s ∈Q )；(3)(a r )s =a rs (a ＞0，r,s ∈Q )； (4)（ab ）r =a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )4、对数的定义：一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b =N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作l o g a N =b ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.即a b =N ⇔b=l o g a N （利用它进行指数式与对数式的互化）5、常用对数：l o g 10N =l g N 。
自然对数：l o g e N =l n N .（其中无理数e =2.71828…）。
6、（1）l o g a 1=0；（2）l o g a a =1；（3）对数恒等式：N N a a =log .7、对数的运算性质：若a>0,a ≠1,M>0,N>0,则①N M MN a a a log log log )(+=；②N M N M a a alog log log -=；③M a x a x M log log = 8、换底公式：①a N N b b a log log log =；②a N N a lg lg log =；③a b b a log 1log =； ④b a mn b a n m log log =；⑤n a a n =log ；⑥15lg 2lg =+。
文科高三数学第7讲：指数运算与指数函数、对数运算与对数函数、幂函数(学生版).docx
第7讲犒赦运專鸟指叙為毅对敎运專鸟对敎詢敎（不用添加内容，任课老师根据学生情况e行添加）0（^作业完成情宛（不用添加内容，也不做修改）知识梳理）1.指数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的"次方等于a{n > 1,且心NJ，贝9这个数称为a的丸次方根。
即若兀"=a ,则兀称为d的斤次方根（/? > 1,且n w NJ ,1）当〃为奇数时，Q的〃次方根记作丽；2）当Z2为偶数时，负数Q没有7?次方根，而正数0有两个〃次方根且互为相反数，记作土丽（口>0）。
2）当〃为奇数时，= a；3）当〃为偶数时,（2）眾的有关概念①规定：1) a" =g・d・・・・・q(nw TV )；2)a0 = 1(。
工0)；3)a~p =—(/?€ Q)a pm __4)a n - yl~a^(a > 0,m、n e N"且n > 1)②性质：1) a - a s = a r+s(a > 0, r s 5 G Q)2) (a r y = a rs{a > 0,r SE Q)3）{a by = a r -b' （a > Q,b > 0,/G Q（注）上述性质对r、5GR均适用。
2.指数函数：①定义：函数y = a x（a>0,且a北1）称指数函数，1）函数的定义域为7?：2）函数的值域为（0,+oo）；3）当0VGV 1时函数为减函数，当G>1时函数为增函数。
②函数图像:1）指数函数的图象都经过点（0, 1）,且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以兀轴为渐近线（当0 VQV1时，图象向右无限接近兀轴，当时, 图象向左无限接近x轴）；3）对于相同的。
«>0,且。
工1）,函数y = a x与『=盯”的图象关于）轴对称。
③函数值的变化特征：3.对数的概念：一般地，若ci x 二N（a > 0,且a H1）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作x = log^ N。
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题
高考指数函数和对数函数一.基础知识（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm )1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·sr r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a ax=⇔=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值 真数对数 （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =NMa log M a log －N a log ；○3 n aM log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
指数函数和对数函数知识点总结
45.函数 的定义域是________．
46.已知集合A ，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
47.函数 （ 且 ）的图象过定点________．
48.函数 的值域是________．
49.已知集合A＝{x|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数 （ 且 ）的最大值比最小值大1，求a的值．
A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数
40.已知2x＝5y＝10，则 ＋ ＝________.
41.计算：2log510＋log50.25＝________.
42.已知loga2＝m，loga3＝n(a＞0且a≠1)，则a2m＋n＝________.
43.方程 的解为x＝________.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
A.①③B.②④C.①②D.③④
36.函数 的图象如图所示，则实数 的可能取值是（）
A.10B. C. D.2
37.函数 的定义域是（）
A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(4，＋∞)D.[4，＋∞)
38.函数 的定义域为（）
A.(1,4]B.(1,4)C.[1,4]D.[1,4)
39.函数f(x)＝log2(x＋ )(x∈R)为（）
2.设 ，则（）
A. B. C. D.
3.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
4.若 ，则实数a的取值范围是（）
A.(1，＋∞)B.( ，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞， )
5.方程3x－1＝ 的解为（）
A.x＝2B.x＝－2C.x＝1D.x＝－1
6.已知实数a，b满足等式( )a＝( )b，则下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b。其中不可能成立的有（）
高三高考复习 对数函数和指数函数
2015/7/23
指数函数与对数函数 唐辉成
审题视角
(1)f(x)是定义在 R 上的奇函数， 要求参数值， 可考虑利用奇 函数的性质，构建方程：f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)． (2)可考虑将 t2－2t,2t2－k 直接代入解析式化简，转化成关于 t 的一元二次不等式．也可考虑先判断 f(x)的单调性，由单调 性直接转化为关于 t 的一元二次不等式．
当 0<k<1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有两个不同 交点，所以方程有两解．
2015/7/23
指数函数与对数函数 唐辉成
指数函数的性质及应用
例 3 设 a>0 且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1,1]上的最 大值是 14，求 a 的值．
换元令 t＝ax， 利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数 的单调性，构建方程获解．
a 8a b
4 3
1 3
解
2 (1)原式＝3
1 3
×1＋(2 ) ×2 ＋(2 ×3 )
3
1 4
1 4
1 3
1 2
6
2 －3
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
＝2
＋4×27＝110.
m4－8mn3 2n 1－ · (2)令 a ＝m，b ＝n，则原式＝ 2 m 2÷ m m ＋2mn＋4n m(m3－8n3) m3(m－2n)(m2＋2mn＋4n2) m2 ＝ 2 ＝ ＝m3＝a. 2· 2 2 m ＋2mn＋4n m－2n (m ＋2mn＋4n )(m－2n)
x x
∵2x>0，∴x＝1.
2015/7/23 指数函数与对数函数 唐辉成
1 1 t (2)当 t∈[1,2]时，2 2 －22t＋m2 －2t≥0，
指数函数与对数函数的指数与对数恒等式
指数函数与对数函数的指数与对数恒等式指数函数与对数函数在数学中具有重要的地位，而指数与对数则是两种相反的运算。
在研究指数函数与对数函数时，我们经常会遇到他们之间的恒等关系，即指数与对数的恒等式。
本文将探讨指数与对数的恒等式及其应用。
一、指数与对数的基本概念在介绍指数与对数恒等式之前，我们首先来回顾一下指数函数与对数函数的基本概念。
1. 指数函数指数函数是一类形如y=a^x的函数，其中a称为底数，x是指数。
指数函数具有以下特点：- 当底数a大于1时，指数函数呈现递增趋势；- 当底数a等于1时，指数函数的值始终为1；- 当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
2. 对数函数对数函数是指数函数的逆运算，记为y=logₐx，其中a称为底数，x 是真数。
对数函数具有以下特点：- 当底数a大于1时，对数函数呈现递增趋势；- 当底数a等于1时，对数函数的值始终为0；- 当底数a介于0和1之间时，对数函数呈现递减趋势。
二、指数与对数的恒等式在研究指数与对数函数时，我们发现它们之间存在一些重要的恒等式，这些恒等式对于简化运算、解方程等具有重要作用。
1. 指数恒等式指数恒等式是指指数函数之间的等式关系，常见的指数恒等式有：- a^m * a^n = a^(m+n)：同底数的指数相乘，底数不变，指数相加；- (a^m)^n = a^(m*n)：指数的幂次运算，底数不变，指数相乘。
2. 对数恒等式对数恒等式是指对数函数之间的等式关系，常见的对数恒等式有：- logₐ(m*n) = logₐm + logₐn：对数的乘法运算，真数相乘，对数相加；- logₐ(m/n) = logₐm - logₐn：对数的除法运算，真数相除，对数相减；- logₐ(m^n) = n*logₐm：对数的幂次运算，真数的指数为指数与对数的乘积。
三、指数与对数恒等式的应用指数与对数的恒等式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个应用实例：1. 指数函数的模型：指数函数可以用来描述某些增长或衰减的规律。
高三一轮对数与对数函数
1 即 logaa ≤loga ≤logaa， 3
－1
1 即当 a>1 时，得 a ≤ ≤a，即 a≥3； 3
－1
1 1 当 0<a<1 时，得 a ≥ ≥a，得 0<a≤ . 3 3 1 0， ∪[3，＋∞)． 综上所述，a 的取值范围是 3
－1
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菜 单 隐 藏
2014 ·新课标高考总复习 ·数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练
1 [解析] 由函数 y＝f(x)的图象知，当 x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以 log 2 1 f(x)≤0.又函数 f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以 y＝log 2 f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选 C.
3 答案： e
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2014 ·新课标高考总复习 ·数学（文）
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研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练
考向二 对数函数的图象与性质 [例 2] (2013 年南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝ 1 log f(x)的图象大致是( 2 )
[解析] ∵f(x)＝logax，
1 1 f －|f(2)|＝loga ＋loga2 当 0<a<1 时， 3 3
2 ＝loga >0， 3
1 1 当 a>1 时，f3 －|f(2)|＝－loga －loga2 3
高中基础知识单元复习-指数函数与对数函数
指数函数与对数函数【复习要求】1、理解整数和有理指数幂的概念，掌握整数和有理指数幂的运算。
2、理解对数的概念，会用对数的性质、对数恒等式、运算法则和换底公式进行计算，化简和简单的证明，了解常用对数和自然对数的概念。
3、掌握指数函数，对数函数的概念，图象和性质，了解反函数的概念并知道指数函数和对数函数互为反函数；会解简单的指数方程和对数方程。
4、会利用指数函数与对数函数的性质解简单的指数不等式和对数不等式。
【主要内容】一、有理指数幂的定义与运算。
1、定义：a 0＝1 （a ≠0）；n n aa 1=-（a ≠0） n m n ma a = （n ，m +∈N ，） nmnm aa1=-（n ，m +∈N ，a ≠0）当n +∈N 时，n n a )(＝a 当n 为奇数时，n n a ＝a当n 为偶数时，nna ＝a ＝⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a2、运算律：βαβα+=a a a ()αββαa a =()αααb a ab =二、幂函数：1、函数式：y＝x a2、性质：当a＞0时，在〔0，＋∞）上是增函数；当a＜0时，在（0，＋∞）上是减函数。
三、指数函数：四、对数的定义与运算。
1、定义：设a＞0且a≠1，若a的b次幂为N，即ba＝N则b叫做以a为底N的对数，记作logN＝b，其中a叫做底数，N叫做a真数，式子logN对数。
a2、对数的运算法则和性质a log＝N （a＞0，a≠1，N＞0）（1）对数恒等式：N a（2）零和负数没有对数；（3）log a 1＝0，log a a ＝1 （a ＞0且a ≠1）（4）log a （MN ）＝log a M ＋log a N （a ＞0，a ≠1，M ，N ＞0） （5）log aNM＝log a M －log a N （a ＞0，a ≠1，M ，N ＞0） （6）log a p N ＝plog a N （a ＞0，a ≠1，N ＞0，p ∈Q ） （7）换底公式：log b N ＝bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0） 五、对数函数1、函数式：y ＝log a x （a ＞0，a ≠1），当a ＝10时，log 10x 简记为lgx ，称为常用对数；当a ＝e （e ≈2.7……）时，log e x 简记为lnx ，称为自然对数。
高三数学总复习—对数和指数函数
高中数学总复习对数和指数函数复习内容：高中数学第三章 【复习目标】1． 理解对数的意义，会熟练的将指数式与对数式互化，掌握积、商、幂的对数运算性质换底公式；2． 理解反函数的概念，会求已知函数的反函数，掌握函数与它的反函数在定义域、值域及图像上的关系；3． 理解指数函数和对数函数的要领，掌握指数函数和对数函数的图像和性质，掌握指数函数和对数函数互为反函数的结论；4． 理解指数方程和对数方程的意义，会解简单的指数方程和对数方程. 5． 掌握数学方法：分类讨论，数形结合，换元法，等价转换.【重点难点】对数的意义与运算性质，反函数的概念及性质，指数函数和对数函数的图像和性质.【课前预习】1.函数()(2)x f x =-、2()3x f x -=、1()2()3x f x =⋅、3()f x x =中，指数函数是2.（1）函数1()()2x f x =的值域是 （2）函数212()log (25)f x x x =-+的值域是3.（1）函数()f x 的定义域是 ；值域是（2）函数()f x =的定义域是 ；值域是4.（1）函数()y f x =的图像与函数()2x f x =的图像关于x 轴对称，则()y f x == （2）函数lg(2)(2)y x x =->的图像关于x 轴对称的函数()y f x ==5. 函数2()(1)x f x a =-是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是6. 已知0<a<1，b<-1，则函数()x f x a b =+的图像不经过 （ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 7.函数213()log (232)f x x x =--的单调递增区间是8. 使log 2(-x)<x+1成立的x 的取值范围是 9.不论a 为何值时，函数y=(a-1)2x -2a 的图像过一定点，这个定点的坐标是 (-1,-12)10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)=1()3x ，则f(12)11.已知函数y=4x -32x g +3的值域为[1，7]，则实数x 的取值范围是 (-∞,0]∪[1，2]12．函数()2x f x =，x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，则 （ ）A.12121[()()]()22x x f x f x f ++= B.12121[()()]()22x x f x f x f ++> C.12121[()()]()22x x f x f x f ++< D.以上答案都不对 【基础知识】 1．幂的有关概念(1)正整数指数幂()n na a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈64444744448L (2)零指数幂)0(10≠=a a(3)负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ (4)正分数指数幂)0,,,1m na a m n N n *=>∈>；(5)负分数指数幂)10,,,1m nm naa m n N n a-*==>∈> (6) 0(0)a a >，没有意义.2．有理数指数幂的性质()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rrrab a ba b r Q =>>∈3．根式的内容（1）根式的定义:一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>Nn n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。
另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。
整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。
其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。
例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。
二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。
例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。
例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。
二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。
当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。
规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。
高中数学《指数函数与对数函数》知识点总结
高中数学《指数函数与对数函数》知识点总结1.指数函数y＝ax与对数函数y＝x的比较：2. 记住常见指数函数的图形及相互关系3. 记住常见对数函数的图形及相互关系4. 几个注意点（1）函数y＝ax与对数函数y＝logax（a>0，a≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。
在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。
研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。
2.例1.（1）下图是指数函数（1）y＝a x，（2）y＝b x，（3）y＝c x，（4）y＝d x的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（）3.4. A. a＜b＜1＜c＜d5. B. b＜a＜1＜d＜c6. C. 1＜a＜b＜c＜d7. D. a＜b＜1＜d＜c8.剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小。
9.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c。
故选B。
10.解法二：令x＝1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c。
11.（2）已知2≤（）x－2，求函数y＝2x－2－x的值域。
12.解：∵2≤2－2（x－2），∴x2＋x≤4－2x，13.即x2＋3x－4≤0，得－4≤x≤1。
14.又∵y＝2x－2－x是［－4，1］上的增函数，15.∴2－4－24≤y≤2－2－1。
16.故所求函数y的值域是［－，］。
17.（3）要使函数y＝1＋2x＋4x a在x∈（－∞，1）上y＞0恒成立，求a的取值范围。
高中数学-指数函数幂函数对数函数
一、 指数与指数幂的运算 1．n 次方根注： 根式的概念中要求n ＞1，且n ∈N *.2．根式(1)定义：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *) ①(na )n＝a . ②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.注： (n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而na n 中a ∈R .3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )．(3)(ab)r＝a r b r (a＞0，b＞0，r∈Q)．5．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．二、指数函数及其性质1．指数函数的定义函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.注：指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)a x的系数是1.2．指数函数的图象和性质注：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的．三、对数与对数运算1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．注： log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg_N ，log e N 简记为ln_N .3．对数与指数的关系若a ＞0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：a log a N ＝N ；log a a x ＝x (a ＞0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数． 四、 对数的运算 1．对数的运算性质若a >0，且a ≠1，M >0，N>0，那么： (1)log a (M ·N)＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．注：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．2．换底公式若c >0且c ≠1，则log a b ＝log c b log c a (a >0，且a ≠1，b >0)．五、 对数函数及其性质 1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．注： 形如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．2．对数函数的图象及性质注： 底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．3．反函数指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数．反函数图像关于y=x 对称。
指数函数与对数函数(公式、定理、结论图表)高考数学必背知识手册
第四章指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）一．根式及相关概念(1)a 的n 次方根定义如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)a 的n 次方根的表示n 的奇偶性a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数n aR n 为偶数±n a[0，＋∞)(3)根式式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．二．根式的性质(n >1，且n ∈N *)(1)n 为奇数时，n a n＝a .(2)n 为偶数时，n a n ＝|a |＝a ，a ≥0，－a ，a <0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(na )n中实数a 的取值范围是任意实数吗？提示：不一定，当n 为大于1的奇数时，a ∈R ；当n 为大于1的偶数时，a ≥0.三．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)负分数指数幂规定：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m n ＝n a m中，为什么必须规定a >0?提示：①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝a mn ＝0，无研究价值．②若a <0，a m n ＝n a m 不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.四．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )．(3)(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )．五．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．六．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .七．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y ＝ax与y ＝a －x的图象关于y轴对称思考1：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？提示：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a .当a >1时，图象具有上升趋势；当0<a <1时，图象具有下降趋势．思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示：指数函数值随自变量的变化规律．八．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a 的范围是a >0，且a ≠1.九．常用对数与自然对数十．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)．(3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：a x＝N (a >0且a ≠1)，则总有N >0，所以转化为对数式x ＝log a N 时，不存在N ≤0的情况．十一．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．思考：当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？提示：不一定．十二．对数的换底公式若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a .十三．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y ＝2log 3x ，y ＝log 3(2x )是对数函数吗？提示：不是，其不符合对数函数的形式．十四．对数函数的图象及性质a 的范围0<a <1a >1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？提示：底数a 与1的关系决定了对数函数的升降．当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”．十五．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．十六、三种函数模型的性质y＝a x(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y ＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x，当x>x时，有a x>kx>logax十七．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．十八．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．十九．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.二十．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．二十一．二分法求函数零点近似值的步骤(1)确定零点x的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f (c )，并进一步确定零点所在的区间：①若f (c )＝0(此时x 0＝c )，则c 就是函数的零点；②若f (a )f (c )＜0(此时x 0∈(a ，c ))，则令b ＝c ；③若f (c )f (b )＜0(此时x 0∈(c ，b ))，则令a ＝c .(4)判断是否达到精确度ε：若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复步骤(2)～(4)．二十二．常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)(2)二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)(3)指数函数模型y ＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)(4)对数函数模型y ＝m log a x ＋n (m ，a ，n 为常数，m ≠0，a >0且a ≠1)(5)幂函数模型y ＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)(6)分段函数模型y ＝ax ＋b (x <m )，cx ＋d (x ≥m )思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：<解题方法与技巧>1.带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.典例1：(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．[思路点拨](1)由x <0，先计算|x |及x 2，再化简．(2)结合－3<x <3，开方、化简，再求值．(1)－1[∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ，∴x ＋|x |＋x 2x＝x －x －1＝－1.](2)[解]x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2.当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.2.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．典例2：将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x (5x 2)2；(3)4b －23－23(b >0)．[解](1)原式＝a ·a 12＝a 32＝a 3212＝a 34.(2)原式＝13x ·(x 25)2＝13x ·x 45＝13x 95＝1x 9513＝1x 35＝x －35.(3)原式＝b －2314－23＝b －23×14×－23＝b 19.3.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.典例3：化简求值：4.解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.典例4：已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.[思路点拨]a 12＋a －12＝4――――→两边平方得a ＋a －1的值――――→两边平方得a 2＋a －2的值[解](1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.5．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)a x的系数必须为1.典例5：(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x；④y ＝2·3x.A．1B．2C．3D．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D(2)19[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a－2，所以f (－2)＝3－2＝19.]6.指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.典例6：(1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．(1)D(2)(3,4)[(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D.(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]7.比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.典例7：比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y ＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，y＝a x在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，y＝a x在R上是减函数，故a1.1<a0.3.8.利用指数函数的单调性解不等式（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．（2）解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.典例8：(1)解不等式123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．[解](1)∵2＝12，∴原不等式可以转化为12x －112.∵y ＝12在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0，故原不等式的解集是{x |x ≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是减函数，∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在R 上是增函数，∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.9.函数y ＝a f (x )(a >0，a ≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u，u ＝f (x )复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性.典例9：判断f (x 132－2x的单调性，并求其值域．[思路点拨]令u ＝x 2－2x ―→函数u (x )的单调性―→函数y ＝13u的单调性――→函数f (x )的单调性[解]令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝132－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝13，u ∈[－1，＋∞)，∴0<13u ≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．10.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.典例10：将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝1128；(2)log 1232＝－5；(3)lg 1000＝3；(4)ln x ＝2.[解](1)由2－7＝1128，可得log 21128＝－7.(2)由log 1232＝－5，可得12＝32.(3)由lg 1000＝3，可得103＝1000.(4)由ln x ＝2，可得e 2＝x .11.求对数式log a N (a >0，且a ≠1，N >0)的值的步骤(1)设log a N ＝m ；(2)将log a N ＝m 写成指数式a m ＝N ；(3)将N 写成以a 为底的指数幂N ＝a b，则m ＝b ，即log a N ＝b .典例11：求下列各式中的x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x;(4)－ln e 2＝x .[解](1)x ＝(64)－23＝(43)－23＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23)16＝212＝ 2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2，所以x ＝－2.12.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.典例12：已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b＝2，求c 的值．[思路点拨]3a＝5b＝c ――――→指对互化求1a ，1b――――→1a ＋1b＝2求c 的值[解]∵3a＝5b＝c ，∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，∴1a ＝log c 3，1b ＝logc 5，∴1a ＋1b＝log c 15.由log c 15＝2得c 2＝15，即c ＝15.13.求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.典例13：求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)．[解](1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．x ＋1>0，2－x >0，x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域x|12<x <2，且x ≠114.函数图象的变换规律(1)一般地，函数y ＝f (x ±a )＋b (a ，b 为实数)的图象是由函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左或向右平移|a |个单位长度，再沿y 轴向上或向下平移|b |个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y ＝f (|x －a |)的图象是关于直线x ＝a 对称的轴对称图形；函数y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象在f (x )≥0的部分相同，在f (x )<0的部分关于x 轴对称.典例14：(1)当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图象为()A B C D(2)已知f (x )＝log a |x |，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象．[思路点拨](1)结合a >1时y ＝a －x ＝1a x及y ＝log a x 的图象求解．(2)由f (－5)＝1求得a ，然后借助函数的奇偶性作图．(1)C[∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.](2)[解]∵f (x )＝log a |x |，∴f (－5)＝log a 5＝1，即a ＝5，∴f (x )＝log5|x |，∴f (x )是偶函数，其图象如图所示．15.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.典例15:比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.[解](1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54.16.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.典例16：已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域；(2)试确定不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围．[思路点拨](1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x 的取值集合．(2)分a ＞1和0＜a ＜1求解不等式得答案．[解]x －1>0，6－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x ＜3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )，①当a ＞11<x <3，x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜11<x <3，x －1≥6－2x ，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞1时，不等式的解集为1，73；当0＜a ＜1时，不等式的解集为73，317.常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x(a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.典例17：(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y ＝2019x B．y ＝2019C．y ＝log 2019xD．y ＝2019x(2)下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x 12与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度不变D．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快(1)A(2)C[(1)指数函数y ＝a x，在a >1时呈爆炸式增长，并且随a 值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f (x )＝log 12x ，g (x 12与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象递减速度不变．]18.由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.典例18：函数f (x )＝2x和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f 3232f (2019)与g (2019)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，∴f 32＜g32当x＞2时，f(x)＞g(x)，∴f(2019)＞g(2019)．19.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.典例19：(1)求函数f(x x2＋2x－3，x≤0，－2＋ln x，x>0的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．[解](1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.所以函数f(x x2＋2x－3，x≤0－2＋ln x，x>0的零点为－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－1 3 .所以函数g(x)的零点为0和－1 3 .20.判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.典例20：(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的大致区间是()A．(3,4)B．(2，e)C．(1,2)D．(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程e x－x－3＝0的一个根所在区间是()x－10123e x0.371 2.727.3920.08 x＋323456 A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)(1)C(2)C[(1)因为f(1)＝ln2－21<0，f(2)＝ln3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.(2)构造函数f(x)＝e x－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，f(0)＝1－3＝－2<0，f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，f(2)＝7.39－5＝2.39>0，f(3)＝20.08－6＝14.08>0，f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]21.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.典例21：已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3D[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]22.函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.典例22:某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x 1234f (x )4.005.587.008.44(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？[思路点拨]描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模[解](1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，a ＝1.5，b ＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．。
指数与对数运算-高考复习
loga =__________
logaM-logaN
a>0,且 a≠1,M>0,N>0
nlogaM
logaMn=__________(n∈R)
换底公式
lo g
logab=lo g (a>0,且
a≠1;c>0,且 c≠1;b>0)
常用结论
1.lg 2+lg 5=1.
1
n
2.换底公式的变形:logab= ,logab·logbc·logcd=logad,lo b = logab.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示并用幂的运算法
则解答.
考点二
对数的运算(多考向探究预测)
考向1 对数式的化简与计算
例 2(1)(2024·河南平顶山模拟)若 2lg(x-2y)=lg x+lg
A.4
B.1
1
或4
C.1 或 4
y
y,则 的值为(
1
D.4
D )
解析 (1)∵2lg(x-2y)=lg(x-2y)2=lg x+lg y=lg(xy),∴(x-2y)2=xy,
0.1
10
=
1
10
10
≈
1
1.259
≈0.8.
研考点
精准突破
考点一
指数幂的运算
1
例
2
16 -2
0.25 4
3
1(1)( ) +(-8) +8 ×
49
1
16 -2
解析 (1)(49)
2+
2
4
0.25
第四章指数函数与对数函数知识点
第四章指数函数与对数函数知识点一、指数式与对数式 1．幂的有关概念(1)零指数幂)0(10≠=a a (2)负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈(3)正分数指数幂)0,,,1mn a a m n Nn *=>∈>；(5)负分数指数幂)10,,,1mnmnaa m n N n a -*==>∈>(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质()()10,,rsr sa a aa r s Q +=>∈()()()20,,srrsaaa r s Q =>∈()()()30,0,rr rab a ba b r Q =>>∈3．根式根式的性质:当n 是奇数，则a ann=；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa ann二、对数(1)对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log≠>=a a N b a(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log=a a(3)对数的运算性质 （1）=+l o g l o g l o g M NMNaa a（2）（3）log log nMMaan =三、指数函数与对数函数x 与对数函数y=log底真同，对数正；底真异，对数负。
2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象：。
指数函数与对数函数知识点总结
lg( 0.01)
1
=__________
2
（ 4） 2 log 3 2 log 3 32 log 3 8 3log 5 5 =__________ 9
（ 5） lg 5 lg 20 lg 2 lg 50 lg 25 =__________
（ 6） lg 14
7 2 lg
1 lg 49
lg 72 8 lg 1=__________
25 3、（ 1）求 log 89 log 332 的值 __________；
（ 2） log2 3 log3 4 log 4 5 log5 6 log 67 log 7 8=__________
4、设 3 x
4y
36 ，求 2
1
的值 __________。
xy
5、若 lg 2 m, log 3 10 1 ，则 log 56 等于。 n
5、用二分法求函数 f ( x) 3x x 4 的一个零点，其参考数据如下：
f (1.6000)=0.200
f(1.5875)=0.133
f(1.5750)=0.067
f (1.5625)=0.003
f (1.5562)=-0.029
f(1.5500)=-0.060
据此数据，可得方程 3 x x 4 0 的一个近似解（精确到 0.01 ）为
正数的分数指数幂的意义，规定：
m
a n n a m (a 0, m, n N * ,n 1)
m
an
1
m
an
1 (a 0, m, n N * , n 1) n am
3．实数指数幂的运算性质
（1） a r · a r a r s (a 0, r , s R) ；