2017_2018学年高中数学第04章圆与方程专题4.2.1直线与圆的位置关系试题 新人教A版 必修2 含答案

4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系及判断 1．直线与圆的位置关系（1）直线与圆____________，有两个公共点； （2）直线与圆____________，只有一个公共点； （3）直线与圆____________，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何判定法：设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离： ①d >r ⇔圆与直线_____________； ②d ＝r ⇔圆与直线____________； ③d <r ⇔圆与直线_____________． （2）代数判定法：由2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩消元，得到一元二次方程的判别式∆，则 ①0∆>⇔直线与圆____________； ②0∆=⇔直线与圆___________； ③<0∆⇔直线与圆____________． 二、弦长问题设直线l 的方程为y kx b =+，圆C 的方程为22200()()x x y y r -+-=，弦长的求法有几何法和代数法：（1）几何法:如图（1）,直线l 与圆C 交于,A B 两点,设弦心距为d ,圆的半径为r ,弦长为||AB ,则有222||()2AB d r +=,即 ||AB =（2）代数法:如图（2）,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是1122,,()(),A x y B x y ,则1212||||AB x x y y ==-=- (直线l 的斜率k 存在).几何法比代数法运算量小,也比较直观、简单,故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题.K 知识参考答案：一、1．（1）相交 （2）相切 （3）相离2．（1）①相离 ②相切 ③相交 （2）①相交 ②相切 ③相离1．直线与圆的位置关系及判定 判定直线与圆位置关系的常用方法：（1）几何法:根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断. （2）代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断.（3）直线系法:若动直线过定点P ,则点P 在圆内时,直线与圆相交;当P 在圆上时,直线与圆相切或相交;当P 在圆外时,直线与圆位置关系不确定.【例1】判断直线x －2y ＋1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的位置关系.【例2】已知直线方程10mx y m ---=，圆的方程224210x y x y -+-=+.当m 为何值时，圆与直线： （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点？【解析】方法一：将直线方程10mx y m ---=代入圆的方程化简、整理得，222212()()22440m x m m x m m -++++++=.∵434()m m ∆=+， ∴当0∆>，即0m >或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当0∆=，即0m =或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当<0∆，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二：已知圆的方程可化为22()(21)4x y --+=， 即圆心为()2,1C ，半径2r =.圆心()2,1C 到直线10mx y m ---=的距离d =.（1）当2d <，即0m >或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；（2）当2d =，即0m =或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； （3）当2d >，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 2．弦长问题涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：（1）几何法：利用半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解. （2）代数法：将直线方程与圆的方程组成方程组，设出交点坐标， 若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解；若交点坐标不易求，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可求弦长. 【例3】已知圆的方程为228x y +=,圆内有一点2()1,P -,AB 为过点P 且倾斜角为α的弦. （1）当135α=︒时,求AB 的长;（2）当弦AB 被点P 平分时,写出直线AB 的方程.方法二：（代数法）当135α=︒时,直线AB 的方程为(21)y x -=-+,即1y x =-+,代入228x y +=,得22270x x --=. 所以121271,2x x x x +==-,所以12|||x x AB =-==（2）如图，当弦AB 被点P 平分时, OP AB ⊥,因为2OP k =-，所以12AB k =, 所以直线AB 的方程为1(1)22y x =+-，即250x y -+=.【例4】已知圆过点,且圆心在直线上.（1）求圆的方程; （2）若直线与圆交于两点,当最小时,求直线的方程及的最小值.【解析】（1）设圆的方程为，所以()22230(1)4a b a b r+-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得122a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩. 所以圆的方程为.（2）直线的方程可化为点斜式,所以过定点. 又点在圆内,当直线与垂直时,直线被圆截得的弦最小.因为,所以的斜率,所以的方程为,即,因为,所以.3．求圆的切线方程 求切线方程的常用方法：（1）求过圆上一点00(,)x y 的圆的切线方程的方法先求切点与圆心的连线所在直线的斜率k ，再由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可得切线方程.若0k =或k 不存在，则可直接得切线方程为0x x =或0y y =. （2）求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程的方法①几何方法.设切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y kx y --+=，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k ，切线方程即可求出.②代数方法.设切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.注意过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.【例5】求圆x 2+y 2=10的切线方程,使得它经过点M (2,).【解析】因为点M 的坐标适合圆的方程,所以点M 在圆x 2+y 2=10上,由题可知圆心为C (0,0),则直线CM 的斜率k CM 因为圆的切线垂直于经过切点的半径,所以所求切线的斜率k =故经过点M 的切线方程为y -=x -2),整理得2x +y -10=0.【例6】过点3(4,)A -作圆22():3)11(C x y +-=-的切线，求此切线的方程.（2）若切线斜率不存在，圆心()3,1C 到直线4x =的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线的方程为4x =.综上，所求切线的方程为158360x y +-=或4x =. 4．利用直线与圆的位置关系求最值或范围问题（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想.（2）若,()P x y 是定圆222()()C x a y b r -+-=：上的一动点，则mx ny +和yx这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法.①几何法.mx ny +的最值：设mx ny t +=，圆心(,)C a b 到直线mx ny t +=的距离为d =,由d r =即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值.y x 的最值：yx即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值. ②代数法.mx ny +的最值：设mx ny t +=,与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值.y x 的最值：设yt x=，则y tx =，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值. 【例7】已知实数x 、y 满足x 2+y 2+4x +3=0,求: (1)21y x --的最大值与最小值; (2)(x-3)2+(y-4)2的最值.【解析】(1)如图 (a),点M (x ,y )在圆C :(x +2)2+y 2=1上,Q (1,2),设k =21y x --,即kx-y-k +2=0. 过点Q 作圆C 的两条切线QA 、QB ,则直线QM 夹在两切线QA 、QB 之间,所以k QA ≤k QM ≤k QB . 又由C (-2,0)到直线kx-y-k +2=0的距离为1,解得k所以21y x --,(a) (b)(2)如图 (b),圆x 2+y 2+4x +3=0可化为(x +2)2+y 2=1,∴其圆心坐标和半径长分别为C (-2,0),r =1. 令A (3,4),则(x-3)2+(y-4)2表示圆上的点与点A 距离的平方.设直线AC 与圆交于P 、Q 两点,则(x-3)2+(y-4)2的最大值为|AQ |2,最小值为|AP |2. |AQ |=|AC |+r =+1=+1,|AP |=|AC |-r =-1.∴(x-3)2+(y-4)2的最大值为(+1)2=42+2,最小值为(-1)2=42-2.【例8】已知点(,)P x y 在圆2266140C x y x y +--+=：上. （1）求yx的最大值和最小值； （2）求2223x y x +++的最大值与最小值； （3）求x y +的最大值与最小值.（2）2222(21)32x y x x y +++=+++,它表示圆上的点P 到(1,0)E -的距离的平方再加2，所以，当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为||2CE +，点P 与点E 距离的最小值为||2CE -.又||5CE ==,所以2223x y x +++的最大值为2251()52++=,最小值为2211()52-+=.（3）设x y b +=，则b 表示动直线y x b =-+在y 轴上的截距，显然当动直线y x b =-+与圆22()(33)4x y -+-=相切时，b 取得最大值或最小值.圆心(33)C ，到切线x y b +=的距离等于圆的半径长2,则2=, 即|6|b -=,解得6b =±,所以x y +的最大值为6+,最小值为6-5．忽视隐含条件致错【例9】已知圆22220x y x y k +++=+和定点1(1,)P -，若过点P 的圆的切线有两条，则k 的取值范围是 A ．()2,-+∞ B ．(2),-∞C ．()2,2-D ．()(,2,)2-∞-+∞【错解】由题意知点1(1,)P -必须在圆的外部，则221121()()210k ⨯+⨯++-+>-，解得2k >-.故选A.【错因分析】产生错解的原因是忽视了一个隐含条件：必须保证方程22220x y x y k +++=+表示一个圆．【正解】因为方程22220x y x y k +++=+表示一个圆，所以4440k +->，解得2k <.又由错解知，要使P 在圆外，则2k >-，故22k -<<.故选C.1．直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是 A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定2．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )的位置是 A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内D ．以上都有可能3．若直线ax+by+c =0(abc ≠0)被圆x 2+y 2=5截得的弦长等于4,则以|a|,|b|,|c|为边长的三角形 A ．是直角三角形 B ．是锐角三角形 C ．是钝角三角形D ．不存在4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为 A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝05．已知点M 在直线x+y+a =0上,过点M 引圆x 2+y 2=2的切线,若切线长的最小值为则实数a 的值为6．设圆（x －3）2＋（y ＋5）2＝r 2（r >0）上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是A ．3<r <5B ．4<r <6C ．r >4D ．r >57．圆在点处的切线方程为A ．B ．C ．D ．8．已知直线l ：x －y +4=0与圆C ：(x －1)2+(y －1)2=2，则圆C 上各点到l 的距离的最大值与最小值的和为______.9．已知圆C 过点(1)0，，且圆心在x 轴的正半轴上，直线:1l y x =-被圆C 所截得的弦长为圆心且与直线l 垂直的直线方程为________________． 10．已知直线，圆，请判断直线与圆的位置关系，若相交，则求直线被圆所截的线段长.。