人教A版高中数学必修五课件：等比数列.pptx

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方法1：利用通项公式
设等比数列第1项为a1，公比为q，则
a q 8

a
1 1
q
3

18

q2

18 8

9 4
, q


3 2
（1）若q 3，则a a q 8 3 12
2
3
2
2Leabharlann （2）若q 3，则a a q 8（ 3） 12
2
3
2
2
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方法2：利用定义
1,2,4,8, ,2 63. （1）
2000,2000 1.1,2000 1.12 ,,2000 1.19.（2） 10,10 0.85,10 0.852 ,10 0.853 ,. （3）
(1)的通项公式是 (2)的通项公式是 (3)的通项公式是
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题1、观察下列数列，判定它是否为等比数列， 若是，写出通项公式；若不是，说理由。
4
12345678
12345678
情景展示
左图为国际象棋的棋盘，棋 盘有8*8=64格
国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要
奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在 棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子， 第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推， 即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，
等差数列
等比数列
等比数列用“比”代替了等差数列中的 “差”
常数
an-an-1=d（n≥2） an q(q 0)
an 1 减—除 加—乘
累加法
累乘法
加—乘
an a1 (n 1)d
an a1 qn1(a1 q 0)
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乘—乘方
练习题： （1）2G=a+b是a,G,b成等差数列的 ________条件;
中项
列,2A=a＋b
an=a1·qn-1
a,G,b成等比数 31 列,G2=ab
a1 0, q 1, 或a1 0, 0 q 1, 递增数列
a1 0, 0 q 1,或a1 0, q 1, 递减数列
q=1,a≠０，常数数列
q<0,a≠０，摆动数列
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练习:
1)在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54，求a8=_1_1_0__.
运用性质:an=am+(n-m)d或m,n,p成等差，则am,an,ap也 等差
2)在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则 a2+a8的值为_1_8_0______.
运用性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq
3)在等差数列{an}中，a15=10,a45=90,则 a60=__1_30_______.
an bn为等比数列
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小结：
1、等比数列的定义 递推式 q=an/an-1，（n≥2） 2、等比数列的通项公式
an=a1qn-1，(n∈N*) 推导方法： （1）归纳法（2）累乘法
3、等比数列通项公式的推广公式 an=amqn-m,(n,m∈N*)
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定义
数学表 达式
通项公 式证明 通项公 式
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注意：
1.公比是等比数列从第2项起，每一 项与前一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的 公比是同一个常数。
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思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？
(3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
说明：(1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；

b12

q nm2 1
bp bq b1 q1 p1 b1 q1q1
3
回顾与复习
1、等差数列定义：
如果一个数列从第二项开始，每一项与
前一项的差等于同一个常数，这个数列
叫做等差数列。
定义式：d=an-an-1(n≥2) 2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d(n∈N*) 3、推导方法：（1）归纳法（2）迭加法
4、等差数列通项公式的推广公式：
an=am+(n-m)d(n,m∈N*)
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名称 等差数列
等比数列
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同
定义 一个常数，那么这
个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
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bm b n q mn
证明:
bm b1 q m1 , bn b1 q n1
bn q mn b1 q n1 q mn
b1 q m1
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若n+m=p+q,则bnbm=bpbq
证明: bn bm b1 q1n1 b1 q1m1
4)在等差数列{an}中，a1+a2=3,a3+a4=1３,则
a5+a6=_２__３__.
P503，4,P50例3,P525
性质：从等差数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)
性质：若{an}是公差为d的等差数列{cn}是公差为d′的等差数列，
则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。
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性质：等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n
{an}是公差为d的等差数列
{bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d
猜想１：
a a 性质２：若 n-k, n,an+k是{an}中的 三项，则2an=an-k+an+k
猜想2：
性质３：若n+m=p+q
猜想3：
则am+an=ap+aq
符号 表示
首项a1,公差d
an+1 an
=q(常数)
首项a1,公比q(q≠0)
d与{an} q与{an}
d＞0{an}递增 d＜0{an}递减 d＝0{an}为常数列
q＞0{an}中各项同号 q＜0{an}中的项正负相间 q＝1{an}为非零常数列
通项 公式
an=a1+（n-1）d
等比 a,A,b成等差数
解：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，
逐代的种子数组成等比数列，记为 an ，其中
a1 120, q 120, 因此，
a5 a1q 51 120 12051 1205 2.5 1010
答：到第5代大约可以得到种子 2.5 1010 粒。
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已知
an , bn
设等比数列为an ，
由定义 a3 a4 , a2 a3
则a32 a2a4 144, a3 12
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在等比数列｛an｝中，若已 知某一项为am,公比为q,能够求 出该数列的任意项an吗？
等比数列通项公式的推广公式：
an＝amqn-m （am≠0,an≠0,m,n∈N*）
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例2、培育水稻新品种，如果第一代得 到120粒种子并且从第一代起，由以 后各代的每粒种子都可以得到下一代 的120粒种子，到第五代大约可以得 到这个新品种的种子多少粒(保留两 个有效数字）？
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，… 2 4 8 16
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出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，每 巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛 有九色,问共有几堤，几木，几巢，几鸟， 几雏，几毛，几色？（《孙子算经》） 堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：
9，92，93，94，95，96，97
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某种汽车购买时的价格是36万元， 每年的折旧率是10%，求这辆车各年 开始时的价格（单位：万元）。Z.xxk
直到第64个格子放满为止。”国王慷慨地答应了他。你认为国 王有能力满足上述要求吗？
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
1 ，2 ，22 ，23 ， ，263
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庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木 棒，每日取其一半， 永远也取不完”。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：
猜想1：
bm
bnqmn
性质2:若an-k,an,an+k 是{an}中的三项， 则2an=an+k+an-k
性质3:若n+m=p+q
则am+an=ap+aq
若猜b想n-k2,b：n,bn+k 是{bn}中的三项
则
bn2 bnk bnk
猜想3：若n+m=p+q
则bn bm=bp bq
是项数相同的等比数列，
求证： an bn 是等比数列
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证明：设数列an 的首项是a1，公比为p； bn的首项为b1，公比q，那么数列an bn
的第n项与第n 1项分别为：
a1 pn1 b1 qn1与a1 pn b1 qn 即为a1b1 ( pq)n1与a1b1 ( pq)n
（2）是Ga2,G,abb成, 等比数列的
________条件.
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等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起，每
定义
每一项与它前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列
一项与它的前一项的比等于同 一个常数，那么这个数列就叫