周五大题解法训练10 圆锥曲线2

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压轴题10 圆锥曲线压轴解答题常考套路题型(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题10圆锥曲线压轴解答题常考套路题型解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开．考向一：轨迹方程考向二：向量搭桥进行翻译考向三：弦长、面积范围与最值问题考向四：斜率之和差商积问题考向五：定值问题考向六：定点问题1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．1．（2023·北京海淀·统考一模）已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，122B B =，四边形1122A B A B的周长为．(1)求椭圆E 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 与x 轴交于点P ，与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴的对称点为M '、直线M N '与y 轴交于点Q ．若OPQ △的面积为2，求k 的值．【解析】（1）由122B B =，得22b =，即1b =，由四边形1122A B A B的周长为，得=25a =，所以椭圆的方程为2215x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠，0m ≠），11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(,0)m P k-，11(,)M x y '-，联立方程组2215x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得，222(51)10550k x kmx m +++-=，222(10)4(51)(55)0km k m ∆=-+->，得2251k m >-，1221051km x x k +=-+，21225551m x x k -=+，直线M N '的方程为212212()y y y y x x x x --=-+，令0x =，得211221221212(0)y y x y x y y x y x x x x -+=-+=++，又因为()()1221122112122102()51k x y x y x kx m x kx m kx x m x x k -+=+++=++=+，所以1(0,)Q m ，OPQ △的面积1122m k m ⨯-=，得14k =±，经检验符合题意，所以k 的值为14±.2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下轨迹C .已知细绳长度为3cm ，经测量，当笔尖运动到点P 处时，30,90FAP AFP ∠∠== .设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，以1cm 为单位长度，建立平面直角坐标系.(1)求C 的方程；(2)过点()0,3D -且斜率为k 的直线l 与C 交于,M N 两点，k 的取值范围为()0,2，探究：是否存在λ，使得DM DN λ= ，若存在，求出λ.的取值范围，若不存在，说明理由.【解析】（1）依题意，笔尖到点F 的距离与它到直线a 的距离相等，因此笔尖留下的轨迹为以F 为焦点，a 为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，则(,0)2p F ，由30,90FAP AFP ︒︒∠=∠=，得2PA PF =，又||||3PF PA +=，所以1PF =，所以点P 到直线a 的距离为1，由60FPA ︒∠=得点P 的横坐标122p -，而抛物线的准线方程为2p x =-，则11222p p -+=，解得32p =，所以轨迹C 的方程为23y x =.（2）假设存在λ，使得DM DN λ= ，设()()1122,,,M x y N x y ，直线l 的方程为3y kx =-，由233y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：22(63)90k x k x -++=，而(0,2)k ∈，22(63)363690k k k ∆=+-=+>，121222639,k x x x x k k++==，222121222112263()(14249)k x x x x k x x x x k k k ++++==++，由DM DN λ= 得12x x λ=，即12x x λ=，于是21142k kλλ+=++，令11(,)2t k =∈+∞，22214242(2)2t t t k k ++=++=+-17(,)4∈+∞，因此1174λλ+>，又0λ>，即217104λλ-+>，解得104λ<<或4λ>，所以存在1(0,(4,)4λ∈⋃+∞，使得DM DN λ= 成立.3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【解析】（1）当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得22222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y .若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n y n-++-+-+--=⋅===-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=41=++，20t ≥因为函数()1f x x x=+在)+∞上单调递增，故15≥=，所以，12161515S S -≤0=t 时，等号成立，因此，12S S -的最大值为154.4．（2023·全国·校联考二模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的上焦点为F ，且C 上的点到点F的距离的最大值与最小值的差为过点F 且垂直于y 轴的直线被C 截得的弦长为1.(1)求C 的方程；(2)已知直线l ：(0y kx m m =+≠）与C 交于M ,N 两点，与y 轴交于点P ，若点P 是线段MN靠近N 点的四等分点，求实数m 的取值范围．【解析】（1）设C 的焦距为2c，由题意知2222()()21a c a c b a a b c ⎧+--=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故C 的方程为2214y x +=．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2224240k x mkx m +++-=，所以()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+．因为点P 是线段MN 靠近点N 的四等分点，所以3MP PN = ，所以123x x =-，所以()()()221222212332434x x x x x x x +=⨯-=-⨯-=-．所以()21212340x x x x ++=所以()()2222224412044m k m k k -+=++，整理得222240m k m k +--=，显然21m =不成立，所以22241m k m -=-．因为3240k m -+>，所以2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-．解得21m -<<-，或12m <<，所以实数m 的取值范围为(2,1)(1,2)--⋃．5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知()2,0A -，()2,0B ，动点(),Q x y 关于x 轴的对称点为1Q ，直线AQ 与1BQ 的斜率之积为14-.(1)求点Q 的轨迹C 的方程；(2)设点P 是直线1x =上的动点，直线PA ，PB 分别与曲线C 交于不同于A ，B 的点M ，N ，过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，求AD 最大时点P 的纵坐标.【解析】（1）由题意得()1,Q x y -，且2x ≠±，2AQ k y x =+，12BQ y k x -=-，所以1224y y x x -⋅=-+-，整理得曲线()22:124x C y x -=≠±.（2）设()01,P y ，()11,M x y ，()22,N x y ，若直线MN 平行于x 轴，根据双曲线的对称性，可知点P 在y 轴上，不符合题意，故设直线MN ：()2,0x ty m m =+≠±，代入曲线C 中，得()2224240t y tmy m -++-=，则12224tm y y t -+=-，212244m y y t -=-，则()2121242m ty y y y m -=-+，由P ，A ，M 三点共线得PA MA k k =，即01132y y x =+，同理，由P ，B ，N 三点共线得2022y y x -=-，消去0y ，得()()21122320y x y x ++-=，即()()121243220ty y m y m y +-++=，得()()()()21212243220m y y m y m y m --++-++=，得()()()()1224240m m y m m y ---+-=，即对任意1y ，2y ，都有[]12(4)(2)(2)0m m y m y ---+=成立，故4m =或12(2)(2)0m y m y --+=，若12(2)(2)0m y m y --+=，由212244m y y t -=-，12224tm y y t -+=-可得：1222(2)(2),,44m t m t y y t t -+--==--所以22222(4)444m t m t t --=--即224t t =-，矛盾，故12(2)(2)0m y m y --+≠，所以4m =.所以直线MN ：4x ty =+恒过点()4,0H ，则点D 的轨迹是以HB 为直径的圆，其方程为()2231x y -+=，当D 与H 重合时，AD 最大，此时MN x ⊥轴，AM ：)2y x =+，1,2P ⎛± ⎝⎭.所以当AD 最大时，点P 的纵坐标为2±.6．（2023·湖南·校联考二模）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点(，且离心．F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：3x =上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF ．(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；(2)记△AFM 、△BFM 的面积分别为1S 和2S ，当12S S -取最大值时，求直线AB 的方程．参考结论：点()00,Q x y 为椭圆22221x ya b+=上一点，则过点Q 的椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=．【解析】（1）由题意可得b =，ca =222a b c =+，所以26a =，22b =，椭圆E 的方程为22162x y +=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()03,P y ，由参考结论知过点P 在A 处的椭圆E 的切线方程为11162x x y y +=，同理，过点P 在B 处的椭圆E 的切线方程为22162x x y y +=．因为点P 在直线PA ，PB 上，所以101202122122y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线AB 的方程为0122x y y+=，则直线AB 过定点()2,0M ．（2）设直线AB 的方程为2x ty =+，联立方程组222162x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420t y ty ++-=，故12243ty y t +=-+，12223y y t =-+，1212122882233t S S y y y y t t t-=-=+==≤++，当且仅当3tt=，即t =此时直线AB 的方程为2x =+．7．（2023·上海金山·统考二模）已知椭圆:Γ()2221024x y b b+=<<.(1)已知椭圆ΓΓ的标准方程；(2)已知直线l 过椭圆Γ的右焦点且垂直于x 轴，记l 与Γ的交点分别为A 、B ，A 、B 两点关于y 轴的对称点分别为A '、B '，若四边形ABB A ''是正方形，求正方形ABB A ''的内切圆的方程；(3)设О为坐标原点，P 、Q 两点都在椭圆Γ上，若OPQ △是等腰直角三角形，其中OPQ ∠是直角，点Р在第一象限，且O 、P 、Q 三点按顺时针方向排列，求b 的最大值.【解析】（1）由题意得2a =，c a =c =所以2221b a c =-=，所以椭圆Γ的标准方程为2214x y +=；（2）设右焦点()1,0F c ，左焦点()2,0F c -，因为四边形ABB A ''是正方形，不妨设点A 在第一象限，则(),A c c ，所以12,AF c AF ===，由(12124AF AF c a +===，得1c ，正方形ABB A ''的内切圆的圆心为()0,01-，所以所求圆的方程为226x y +=-；（3）设直线OP 的倾斜角为π,0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，斜率为()0k k >，则直线OQ 的斜率为π1tan 41k k θ-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2110,0x x y >>>，联立22214x y b y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得2212244b x k b =+，同理可得()()()2222222222414141141b k b x k k b k b k +==--++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，由OQ 得222OQ OP =，即()2222222211121k x x x k x k -⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，整理得()()222244002b k b k b +-+=<<，注意到()22240b b->且240b >，则要使上述关于k 的一元二次方程有正数解，只需要()222Δ44160b b =--≥，解得01b <≤，所以b 1.8．（2023·上海黄浦·统考二模）已知双曲线C 的中心在坐标原点，左焦点1F 与右焦点2F 都在x 轴上，离心率为3，过点2F 的动直线l 与双曲线C 交于点A 、B ．设222AF BF ABλ⋅=．(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若点A 、B 都在双曲线C 的右支上，求λ的最大值以及λ取最大值时1AF B ∠的正切值；（关于求λ的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设2||AF AB 为μ，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l 的斜率为k ，建立相应数量关系并利用它求最值）.(3)若点A 在双曲线C 的左支上（点A 不是该双曲线的顶点，且1λ=，求证：1AF B △是等腰三角形．且AB 边的长等于双曲线C 的实轴长的2倍．【解析】（1）设双曲线方程为22221x y a b-=(),0a b >，焦距为2c ，由3c e a ==，所以b a ==y =±.（2）由（1）可得3c a =，b =，所以双曲线C 的方程为222218x y a a-=，设21AF t =，22BF t =，因为点A 、B 都在双曲线C 的右支上，所以12AB t t =+，所以()()2212122221214AF BF t t t t t t ABλ⋅==≤=+，当且仅当12t t =时取等号，即max 14λ=，当14λ=时12t t =，所以121122AF a t a t BF =+=+=，所以l x ⊥轴且1212AF F BF F ∠=∠，又双曲线C 的方程为222218x y a a -=，即22288x y a -=，由222388x a x y a =⎧⎨-=⎩，解得8y a =±，可知28AF a =，又126F F a =，所以2121284tan 63a AF F AF F F a ∠===，121122122tan 24tan tan 21tan 7AF F AF B AF F AF F ∠∠=∠==--∠.（3）设直线l 的方程为3x my a =+，将它代入22288x y a -=，可得()22228148640my may a -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得1224881am y y m +=--，21226481a y y m =-，由1λ=，可得222AF BF AB ⋅=，)21212y -=，又1y 、2y 同号，所以()21212y y y y =-，即()212125y y y y =+，所以2222644858181a am m m ⎛⎫= ⎪⎝--⎭⨯-，解得254m =，此时直线l<l 与双曲线的两支都相交，又221226464819a a y y m ==-，所以()2212222296411649A a m y y B a AF BF =⋅==+=⨯，则4AB a =，它等于双曲线实轴长的2倍，此时211222422AF AF a BF a a BF a BF =-=+-=+=，所以1AF B △是等腰三角形.9．（2023·江西九江·校联考模拟预测）已知P 为椭圆22142x y +=上一点，过点P 引圆222x y +=的两条切线PA ､PB ，切点分别为,A B ，直线AB 与x 轴､y 轴分别交于点M ､N .(1)设点P 坐标为0(x ，0)y ，求直线AB 的方程；(2)求MON △面积的最小值(O 为坐标原点）.【解析】（1）先求在圆上一点的切线方程：设圆U 的方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(),U a b ，半径为r ，设()00,V x y 是圆U 上的一点，则()()22200x a y b r -+-=①，设(),W x y 是圆U 在()00,V x y 处的切线方程上任意一点，则0VU VW ⋅=，即()()()()()()00000000,,0a x b y x x y y a x x x b y y y --⋅--=--+--=②，-①②并整理得()()()()200x a x a y b y b r --+--=，即圆U 在()00,V x y 处的切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=.根据题意，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，PA 是圆222x y +=的切线且切点为A ，则PA 的方程为112x x y y +=，同理PB 的方程为222x x y y +=，又由PA ､PB 交于点P ，则有10102x x y y +=，20202x x y y +=，则直线AB 的方程为002x x y y +=.（2）要使,,O M N 围成三角形，则P 不是椭圆的顶点，所以000,0x y ≠≠，由（1）可得M 的坐标为02(x ，0)，N 的坐标为2(0,)y ，00122OMN S OM ON x y =⋅= ，又由点P 是椭圆22142x y +=上的动点（非顶点），则有2200142x y +=，则有220000142x y y =+≥，即00||x y ≤当且仅当22001422x y ==时等号成立，0012=2OMN S OM ON x y =⋅ 即OMN.10．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，右顶点为B ，坐标原点O 到直线AB，AOB 的面积为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点()2,0P 且不过点()3,1Q 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MQ 与直线4x =交于点E ，证明：//PQ NE ．【解析】（1）依题意，(0,),(,0)A b B a，有||AB =，因为AOB 的面积为2，则122AOB S ab == ，又点O 到直线AB的距离为5，则有1||22AOB S AB == ，于是22410ab a b =⎧⎨+=⎩，而0a b >>，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）直线PQ 的斜率10132PQ k -==-，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，代入椭圆方程得1y =±，不妨设此时(2,1)M ，(2,1)N -，则(4,1)E ，直线NE 的斜率1(1)142NE PQ k k --===-，因此//PQ NE ；当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)(1)y k x k =-≠，设1122(,),(,)M x y N x y ，则直线MQ 的方程为1111(3)3y y x x --=--，令4x =，得1114(4,)3y x E x +--，由2248(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩消去y 得：2222(14161680)k x k x k +-+-=，由于点P 在椭圆C 内，必有0∆>，则21221614k x x k +=+，212216814k x x k -=+，1121243114NE y x y x k x +----=--()()()11212143143y x y x x x +---=---()()()()()()()1121212124234343k x x k x x x x x x -+-------=--[]()()()()22221212212148168(1)(8)(1)3(814140)4343k k k k x x x x k k x x x x -----+--++===----，因此1NE PQ k k ==，即//PQ NE ，所以//PQ NE .11．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，直线12y x =被椭圆截得的弦长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N ，P ，Q 为椭圆C 上的动点，且四边形MNPQ 为菱形，原点О在直线MN 上的垂足为点H ，求H 的轨迹方程．【解析】（1）由题意可得2a b =，则椭圆C ：222214x y b b +=，联立22221412x y b b y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4=，解得285b =，所以2325a =，所以椭圆C 的方程为22132855x y +=，即2252032x y +=；（2）因为四边形MNPQ 为菱形，所以,MP NQ 垂直且平分，设()()1122,,,M x y P x y ，则2222112252032,52032x y x y +=+=，两式相减得()()222212125200x x y y -+-=，即()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，设菱形的中心为()00,x y ，若直线,MP NQ 的斜率都存在，设直线,MP NQ 的斜率分别为12,k k ，由()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，得()()()()1212121240y y x x y y x x -+++=-，所以001280x y k +=，即00140x y k +=，同理00240x y k +=，所以0102y k y k =，由121k k =-得00y =，所以00x =，即菱形的中心为原点，则直线MP 的方程为1y k x =，直线NQ 的方程为2y k x =，联立12252032y k x x y =⎧⎨+=⎩，解得212132520x k =+，所以()()22122221111213211520k OM x y k x k +=+=+=+，同理()22222321520k ON k +=+，因为1122OMN S OH OM ON ==，所以2222222111OM ON OHOMONOMON+==()()22222212121222222212121252052028555321321321k k k k k k k k k k k k +++++=+=⋅+++++()()2222121222221212285525525321132232k k k k k k k k +++++=⋅=⋅=+++++，所以点H 在圆222532x y +=上；若直线,MP NQ 中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，,,,M N P Q 四点分别为椭圆的顶点，不妨设M 为右顶点，N 为上顶点，则22328,55OM ON ==，同理可得22222221112532OM ON OHOMONOMON+==+=，点H 任在圆222532x y +=上，综上所述，H 的轨迹方程为222532x y +=.12．（2023·上海闵行·统考二模）已知O 为坐标原点，曲线1C ：()22210xy a a -=>和曲线2C ：22142x y +=有公共点，直线1l ：11y k x b =+与曲线1C 的左支相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．(1)若曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，求曲线1C 的离心率和渐近线方程；(2)若直线OM 经过曲线2C 上的点)2,1T-，且2a 为正整数，求a 的值；(3)若直线2l ：22y k x b =+与曲线2C 相交于C 、D 两点，且直线OM 经过线段CD 中点N ，求证：22121k k +>．【解析】（1）因为曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，所以曲线1C 和2C 的两公共点为左右顶点，则2a =，曲线1C 的半焦距5c =所以曲线1C 的离心率52c e a ==，渐近线方程为12y x =±；（2）联立222111x y a y k x b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()()22222211111210a k x a k b x a b ---+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()222111121222221112,11a b a k b x x x x a k a k -++==--，所以2112211M a k b x a k =-，21111122221111M a k b b y k b a k a k =+=--，故直线OM 的方程为211y x a k =，依题意直线OM 经过点)2,1T -，代入得212a k =4212a k =，所以2142k a =，因为直线1l 与曲线1C 的左支相交于两点，故()()221221101a b a k -+>-，得2211a k >，则422212a aa >=，所以22a <，又曲线1C 和2C 有公共点，所以204a <≤，所以202a <<，又2a 为正整数，所以21a =，所以1a =；（3）由（2）可得()12102M M y k a x a=<≤，同理，联立直线2l ：22y k x b =+与曲线2C ：22142x y +=，可得212N N y k x =-，因为N M M N y y x x =，所以2212a k k =-，又因为2211a k >，所以42222221121114a k k k k a k +=+>≥，即22121k k +>．13．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线()1y t x =+交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，1PM MF λ= ，1PN NF μ=，记OMN ，2OMF △，2ONF △的面积分别为1S ，2S ，3S .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若123S mS S λ=-，433μ-≤≤-，求m 的取值范围.【解析】（1）由题意得，左焦点1(1,0)1F c -⇒=，122c a a =⇒=，2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，令0x =，y t =，则()0,P t ，则11(,)PM x y t =-uuu r，()1111,MF x y =--- 由1PM MF λ=得()()1111,1,x y t x y λ-=---，解得11t y λ=-，同理21ty μ=-.由()221431x y y t x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2236490y y t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则1226,43t y y t +=+2122943ty y t -=+，()1212128223t y y t t y y y y λμ++=+-=-=-.不妨设120y y >>，1121211122S y y y y =⋅⋅-=-（），21111122S y y =⋅⋅=，32211122S y y =⋅⋅=-，由11t y λ=-，21t y μ=-.得11t y λ=+，21t y μ=+，2111513y y λλμλ++==-++.代入123S mS S λ=-，有()2121121122y y y m y λ-+=，则1212m y y y y λ=-+，解得22221114(1)15911(1)1()553333y y y m y y y λλλλλλ+=--=-+=+=-+++++,43,3μ-≤≤-Q 511[,2]33λμ∴+=--∈设53u λ=+，则1[,2]3u ∈，则()4193h u u u=-++，则()2419h u u -'=-，令()0h u '>，解得223u <<，令()0h u '<，解得1233u <<，故()h u 在12,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 213h u h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且()1417,2339h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()171,9h u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则171,9m ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．（2023·上海静安·统考二模）已知双曲线Γ：22221x y a b-=（其中0,0a b >>）的左、右焦点分别为1F （-c ，0）、2F （c ，0）（其中0c >）.(1)若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为2y x =；直线l 的倾斜角为4π，在y轴上的截距为2-.直线l 与该双曲线Γ交于两点A 、B ，M 为线段AB 的中点，求△12MF F 的面积；(2)以坐标原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P .过P 作圆的切线，若切线的斜率为Γ的离心率.【解析】（1）双曲线Γ：22221x y a b -=渐近线方程为b y x a =±，已知一条渐近线方程为y =，所以a =，双曲线Γ经过点（2，1），所以22411a b -=，解得222,1a b ==.所以双曲线Γ：2212x y -=.直线l 的倾斜角为π4，则斜率为1，又l 在y 轴上的截距为2-，则l 方程为：2y x =-，代入双曲线方程得：28100x x -+=，设两点A 、B 坐标分别为（1x ，1y ）、（2x ，2y ），M （x ，y ），则1284,2x x x y +=⇒==.又12F F =则12MF F △的面积1111222F F y =⋅⋅=⨯=（2）方法一：由题可知圆方程为：222x y c +=，将其与双曲线方程联立：22222222222221x y c b b x b c x y x y a c ab ⎧+=⎪⇒+-=⇒==⎨-=⎪⎩，即2,b P c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，又切线斜率为2OP b k c =⋅=()22442242334803840c a c a a c e e ⇒-=⇒+-=⇒-+=，解得22e =，所以双曲线Γ；方法二：设切线与x 轴交于E点，因切线斜率为3πPEO ∠=，又2πOPE ∠=，则1566ππ,POE POF ∠=∠=.注意到12OF OF c OP ===，则在2 POF 中，由余弦定理，22PF c -===，在1POF △中，由余弦定理，1PF ===.则()12122c a PF PF c e a=-=⇒==15．（2023·辽宁大连·统考一模）已知双曲线C 上的所有点构成集合()(){}22,10,0P x y axby a b =-=>>和集合()(){}22,010,0Q x y axby a b =<-<>>，坐标平面内任意点()00,N x y ，直线00:1l ax x by y -=称为点N 关于双曲线C 的“相关直线”．(1)若N P ∈，判断直线l 与双曲线C 的位置关系，并说明理由；(2)若直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，求证：N Q ∈；(3)若点N Q ∈，点M 在直线l 上，直线MN 交双曲线C 于A ，B ，求证：MA MBAN BN=．【解析】（1）直线l 与双曲线C 相切．理由如下：联立方程组220011ax by ax x by y ⎧-=⎨-=⎩，∴()222220000210aby a x x ax x by -+--=①，∵N P ∈，∴22001ax by -=，即22001ax by -=，代入①得，220020ax ax x ax -+-=，∴222200440a x a x ∆=-=，∴直线l 与双曲线C 相切．（2）由（1）知()222220000210aby a x x ax x by -+--=，∵直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，则2220020222000Δ010aby a x by aby a x ⎧⎪-≠⎪⎪>⎨⎪--⎪>⎪-⎩，∴()()()22222222000000044141a x a by ax by aby by ax ∆=----=+-，∴22001ax by -<，∵()2200222220000110by by aby a x a ax by --+=>--，∴220001ax by <-<，∴()00,N x y Q ∈．（3）设()11,M x y ，(),A x y ，设MA AN λ= ，MB BN μ=，∵()00,N x y l ∉，∴1λ≠-，则101011x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，代入双曲线22:1C ax by -=，利用M 在l 上，即01011ax x by y -=，整理得()222220011110ax by ax by λ--+--=，同理得关于μ的方程()222220011110ax by ax by μ--+--=．即λ、μ是()222220011110ax by t ax by --+--=的两根，∴0λμ+=，∴MA MBAN BN=．16．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知1F 、2F 分别为双曲线22122:1(0,0)y xC a b a b-=>>的上、下焦点，其中1F 坐标为()0,2点M 是双曲线1C 上的一个点.(1)求双曲线1C 的方程；(2)已知过点()4,1P 的直线与22122:1(0,0)y x C a b a b-=>>上支交于不同的A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某条定直线上.【解析】（1）由1F 坐标为()0,2得224a b +=，点M在双曲线1C 上得22231a b -=，解得2213a b ⎧=⎨=⎩，双曲线方程为221.3x y -=（2）设直线与双曲线交于()11,A x y ，()22,B x y ，点(),Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅得(0AP AQ PBQBλλ==>且1)λ≠，AP PB λ=- ，AQ QB λ=，代入坐标得()()1122414,1,x y x y λ--=---，()()1122,,x x y y x x y y λ--=--，整理得：()1241x x λλ-=-①()121x x x λλ+=+，②，得()22221241x x x λλ-=-③，同理121y y λλ-=-④，()121y y y λλ+=+⑤，得()2222121y y y λλ-=-⑥，由于双曲线1C 上的点满足2233y x -=，⑥3⨯-③得()()()222222112233341y x y x y x λλ---=--，即()()2233341y x λλ-=--，所以343y x -=，表示点(),Q x y 在定直线4330x y -+=上.17．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>5点(3,2P -在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设()1,0A -，M 为C 上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2140k k +=，判断：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）由双曲线离心率为2215c b e a a ==+224b a =，所以双曲线方程为222214x y a a-=，又点(3,2P -在双曲线上，即2293214a a -=，解得21a =，24b =，所以双曲线的方程为2214y x -=；（2）由已知得10k ≠，20k ≠，设直线()1:1AM y k x =+，点()11,M x y ，由()122114y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得()22221114240k x k x k ----=，0∆>，则212144A M k x x k +=--，即212144M k x k +-=--，212144M k x k +=-，所以211221148,44k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭由2140k k +=，得124k k =-，所以2222222418,141k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭设直线()2:1AN y k x =+，联立直线与圆221x y +=，得()22222221210k x k x k +++-=，0∆>，则222211A N k x x k -=+，即222211N k x k --=+，222211N k x k -=+，所以222222212,11k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以222222222222222281141141114MNk k k k k k k k k k --+-==--+-+-，即21MN k k ⋅=-，所以MN AN ⊥，又点A 在圆221x y +=上，设圆221x y +=与x 轴的另一个交点为B ，则()10B ,，且AN BN ⊥，即直线BN 与MN 重合，所以直线MN 恒过点()10B ,.18．（2023·浙江宁波·统考二模）已知双曲线2222:1x y E a a-=，点(0,2)D 与双曲线上的点的(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l y kx m =+与圆22:(2)1C x y ++=相切，且交双曲线E 的左、右支于A ，B 两点，交渐近线于点M ，N ．记DAB ，OMN 的面积分别为1S ，2S ，当12847S S -=时，求直线l 的方程．【解析】（1）设(,)P x y 是双曲线上的任意一点，则2222222(2)2442(1)2DP x y y y a y a =+-=-++=-++，所以当1y =时，2DP 的最小值为22a +，所以223a +=，得21a =，所以双曲线E 的方程为221x y -=．（2）由直线:l y kx m =+与圆22:(2)1C x y ++=1=，由直线交双曲线的左、右支于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221x y y kx m⎧-=⎨=+⎩，消y 整理得()()2221210k x mkx m ---+=，则()221Δ410m k=+->，212211m x x k +=-，12221mk x x k +=--，所以12x x -=所以221222110142m m x x k m m ++==<-++，即2420m m ++<，解得22m -<<-，1=，则21m +≥，解得1m ≥-或3m ≤-，所以(231,2m ⎤⎡∈--⋃--⎦⎣，所以12AB x x =-=，又点(0,2)D 到AB 的距离1d =1121(2242m S AB d m m -==---，设()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程组220x y y kx m⎧-=⎨=+⎩，消y 整理得()222120k x mkx m ---=，则22Δ4m =，34221mk x x k +=-，23421m x x k -⋅=-，所以34221m x x k --=-，所以34221mMN x x k -=-=-，又点O 到MN 的距离2d =22221242mS MN d m m ==---，所以当12847S S -=时，有222(2)428442427m m m m m m --=------，整理得()24(25847m m m -=--，即4(2(52)(2)7m m m -=+-，又2m ≠，4(52)7m -=+，即2200258810m m ++=，解得134m =-，22750m =-（舍去），所以34m =-，则34k =±，所以直线方程为3344y x =±-．19．（2023·上海松江·统考二模）已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为12F F 、，离心率为1e ;双曲线2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为34F F 、，离心率为2e ，12e e ⋅=．过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．(1)求1C 、2C 的方程；(2)若113AF F B =，求直线PQ 的方程；(3)求四边形APBQ 面积的最小值.【解析】（1）由题意可知：12e e ==所以12222e e ⋅===，解得：21b =，所以椭圆方程为2212x y +=，双曲线方程为：2212x y -=.（2）由（1）知()11,0F -，因为直线AB 不垂直与y 轴，设直线AB 的方程为：1x my =-，设点()()1122,,,A x y B x y ，则()1111,,AF x y =---()1221,F B x y =+ ，由113AF F B =，则123y y -=，即123y y =-，联立：22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()222210m y my +--=，()()222442810m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123y y =-代入得：()222222132m y m y m -⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩解得1m =±，当1m =时，弦AB 的中点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时直线PQ 的方程为：12y x =-；当1m =-时，弦AB 的中点21,33M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时直线PQ 的方程为：12y x =.所以直线PQ 的方程为12y x =-或12y x =.（3）设AB 的中点()00,M x y ，由（2）可得)2212m AB m +=+，且000222,122m y x my m m -==-=++，点222,22m M m m -⎛⎫ ++⎝⎭，2PQ OM m k k ==-，直线PQ 的方程为：2my x =-，联立22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得：2242x m =-，2222m y m =-，且220m ->，由双曲线的对称性，不妨取点P ⎛⎫⎪⎭、Q ⎛⎫，所以点P 到直线AB的距离为：21d =，点Q 到直线AB的距离为：22d ==21222m d d ++=，所以四边形APBQ的面积为()1212S AB d d =+===2022m <-≤，所以当222m -=，即0m =时，四边形APBQ 的面积取最小值2.20．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过点()4,2的动直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>交于,M N 两点，当l 与x 轴平行时，MN=l 与y 轴平行时，MN =(1)求双曲线E 的标准方程；(2)点P 是直线1y x =+上一定点，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．【解析】（1）由题意可知：双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>过点()2±，(4,±，将其代入方程可得：222284116121a b a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：2244a b ⎧=⎨=⎩，∴双曲线E 的标准方程为：22144x y -=.（2）方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，点()4,2与,M N 三点共线，12122244y y x x --∴=--，()()12124422x x y y λλ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩（其中R λ∈，0λ≠），()()12124121x x y y λλλλ⎧=+-⎪∴⎨=+-⎪⎩，()()222241214x y λλλλ⎡⎤⎡⎤∴+--+-=⎣⎦⎣⎦，又22224x y -=，整理可得：()()2212420x y λλλλ--+-=，当1λ=时，12x x =，12y y =，不合题意；当1λ≠时，由222420x y λλλ-+-=得：22122y x λ=-+，设()00,P x y ，则001y x =+，()()102012102011y x y x k k x x x x -+-+∴⋅=⋅--()()()22220202202220222211243222y y x x x y x y x x x y x x ⎛⎫-+--++ ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭()()()0220020020220031212223422x y x x x y x x x x y x x x ⎛⎫-+-- ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭，若12k k 为定值，则根据约分可得：000121x x x --=-且000114222x x x --=--，解得：03x =；当03x =时，()3,4P ，此时22122226441322x y k k x y --=⋅=--；∴当()3,4P 时，124k k =为定值.方法二：设()()()112200,,,,,M x y N x y P x y ，直线()():420MN y k x k =-+≠，由()22424y k x x y ⎧=-+⎨-=⎩得：()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦，12,x x 为方程()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦的两根，()()()()222124241x k x k x x x x ⎡⎤∴--+-=---⎣⎦，则()()()()222001024241x k x k x x x x --+-=---⎡⎤⎣⎦，由()42y k x =-+得：24y x k-=+，由22244y x k x y -⎧=+⎪⎨⎪-=⎩可得：222440y y k -⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，同理可得：()()()()222220001022441y k k y k k y y y y -+--=---，则()()()()()()()()()()201020102122121211k y y y y y y y y k k x x x x k x x x x -----==-----()()2222002200244424y k k y k x k x -+--=--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2220000222000012816448164168y k y k y y x x k x k x -++-+-+=-+-+-++-，若12k k 为定值，则必有22000022000012816448164168y y y y x x x x -+--+==-+--+-，解得：0034x y =⎧⎨=⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又点P 在直线1y x =+上，∴点P 坐标为()3,4；当直线MN 斜率为0时，,M N坐标为()2±，若()3,4P ，此时124k k ==；当直线MN 斜率不存在时，,M N坐标为(4,±，若()3,4P ，此时124443434k k -+=--；综上所述：当()3,4P 时，124k k =为定值.21．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(3,P -在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设()1,0A -，M 为C 上一点，N 为圆221x y +=上一点（,M N 均不在x 轴上）．直线,AM AN 的斜率分别记为12,k k ，且2140k k +=，判断：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>可得222225,4c a b b a a a+=∴=∴=，又点(3,P -在双曲线C 上，即2293214a a-=，解得221,4a b ==，故双曲线C 的方程为2214y x -=.（2）由题意可知120,0k k ≠≠，且AM 的方程为11y k x k =+，联立112214y k x k y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2222111(4)240k x k x k ----=，2140k -≠，Δ640=>，设11(,)M x y ，由题意可知该方程有一根为1-，故221111221144(1),44k k x x k k --+-=∴=--，则111112184k y k x k k =+=-，AN 的方程为22y k x k =+，联立22221y k x k x y =+⎧⎨+=⎩，可得2222222(1)210k x k x k +++-=，40'∆=>，设2221(,),N x y x x ≠，由题意可知该方程有一根为1-，故222222222211(1),11k k x x k k ---=∴=++，则222222221k y k x k k =+=+，由于2140k k +=，即124k k =-，由于2140k -≠，故224160k -≠，故22122164416k x k +=-，212232416k y k -=-，所以直线MN 的斜率为222221222222212222232141611641416MNk k y y k k k k k x x k k ---+-==-+--+-2222222222222222222(416)(1)(32)401(1)(416)(1)(164)40k k k k k k k k k k k --+-===----++-，故直线MN 的方程为1121()y y x x k -=--，即22222222321641()416416k k y x k k k ++=----，即222(164)(1)0k x k y -+-=，由于224160k -≠，故210x k y +-=，即直线MN 过定点(1,0).22．（2023·上海宝山·统考二模）已知抛物线Γ：24y x =．(1)求抛物线Γ的焦点F 的坐标和准线l 的方程；(2)过焦点F 且斜率为12的直线与抛物线Γ交于两个不同的点A 、B ，求线段AB 的长；(3)已知点()1,2P ，是否存在定点Q ，使得过点Q 的直线与抛物线Γ交于两个不同的点M 、N （均不与点Р重合），且以线段MN 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵抛物线Γ：24y x =，则2p =，且焦点在x 轴正半轴，故抛物线Γ的焦点()1,0F ，准线:1l x =-.（2）由（1）可得：()1,0F ，可得直线()1:12AB y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程()21124y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得21810x x -+=，可得()212184113200,18x x ∆=--⨯⨯=>+=，故1220AB x x p =++=.（3）存在，理由如下：设直线()()3443:,,,,MN x my n M x y N x y =+，联立方程24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my n --=，则()23434160,4,4m n y y m y y n ∆=+>+==-，可得()()33441,2,1,2PM x y PN x y =--=--uuu r uuu r，若以线段MN 为直径的圆恒过点P ，则PM PN ⊥，。

高考数学圆锥曲线大题所有题型解法

高考数学圆锥曲线大题所有题型解法
高考数学圆锥曲线大题的题型多种多样，以下是常见的几种题型和解法：
1.求圆锥曲线的方程：通过给定的条件，根据圆锥曲线的定义和性质，可以求出圆锥曲线的方程。

例如，已知圆锥曲线的焦点、准线或者过定点的直线方程，可以根据定义和性质求出圆锥曲线的方程。

2.求圆锥曲线的性质：通过已知的条件，可以利用圆锥曲线的性质来求解问题。

例如，已知圆锥曲线的焦点和准线，可以求出其焦距、离心率等性质。

3.求直线与圆锥曲线的交点：通过已知的直线方程和圆锥曲线的方程，可以求出它们的交点。

可以将直线方程代入圆锥曲线方程，解方程得到交点的坐标。

4.求切线和法线：通过已知的条件，可以求出圆锥曲线上某点的切线和法线方程。

例如，已知圆锥曲线上一点的坐标，可以求出该点处的切线和法线方程。

5.求曲线的参数方程：对于给定的圆锥曲线方程，可以通过变量替换的方法，将其转化为参数方程。

例如，对于抛物线，可以令y=xt^2，将方程转化为参数方程。

这些只是一些常见的题型和解法，实际上高考数学圆锥曲线大
题的题型和解法还有很多，需要根据具体的题目来进行分析和解决。

掌握圆锥曲线的基本定义、性质和常见的解题方法，能够更好地应对这类题目。

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

(word完整版)高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(2021年整理)

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圆锥曲线测试题及详细答案一、选择题：1、双曲线221102x y -=的焦距为（）D 。

2。

椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是( ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对4．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ )A 。

1或5 B. 1或9 C 。

1 D. 95、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是（ )。

C. 21 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（）A ．163B ．83C ．316D ．387. 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ）（A)2 （B)3 (C ）4 8．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2）平分,则这条弦所在的直线方程是（） A 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（）A 。

圆锥曲线综合训练题(分专题-含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -=（2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．】解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-k y k x . ,由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为∴所求椭圆方程为1315422=+yx 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． — 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =，即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，<即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=， 2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ） e c a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即;则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. ,9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

高考数学圆锥曲线专题练习及答案解析

2
X = —½距离为6,点P,Q是椭圆上的两个动点©
C
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AP丄40,求证：直线P0过泄点R,并求出R点的坐标。
【例二・】已知一动圆经过点M(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程；
(2)过点N(1,O)任意作两条互相垂直的直线∕1,∕2,分别交曲线C于不同的两点A,B和
的焦点，直线4F的斜率为少，O为坐标原点。
3
（1）求E方程；
（2）设过点A的直线/与E相交于PQ两点，当AOP0的面积最大时，求/的方
程。
专题练习
1•在平面直角坐标系XOy中，已知点A（O,—OB点在直线y = -3±, M点满足
MB//QA,莎•亦=屁•鬲M点的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程：
(2)P为C上的动点，/为C在P点处的切线，求O点到/距离的最小值。
10.抛汤钱屮阿基来德三角形鲂纟见般质及疝用
11.(S傩曲钱屮的戒切後龜哩
锥曲线中的求轨迹方程问题
解题技巧
求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的髙频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、
相关点法、泄义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下：
1.直译法求轨迹的步骤：
(1)设求轨迹的点为P(χ,y);
(2)由已知条件建立关于x,y的方程；
D,Q设线段ABQE的中点分别为几。・
①求证：直线P0过左点R,并求出泄点/?的坐标;
②求PGl的最小值。
专题练习
1.设椭圆E:丄y+ =y=l（α> b > 0）的右焦点到直线x-y + 2√z2=0的距离为3,且过点Cr Ir
I

2023年高考圆锥曲线解答题精选一百道答案

故点
h 在以为直径的圆外．
13. （1）设切点坐标为 h h h h h h ，则切线斜率为
线方程为
h
h
h
h
即
h
h
此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为
h，切
h
由h
h
最大值，即
hh
hh
h h，可知，当且仅当 h
有最小值，因此点的坐标为
由题意知
h
时， h h 有
．
h
解得
故方程为（2）由（1）知
．
若直线与曲线只有一个交点，令
h．
当 h 时，解得
h，即
解得
，
，即 h，
，此时方程可化为
满足条件．
当 h 时，
①若
是方程的解，则
h
h 另一根为
故在区间
上有且仅有一个根，满足题意．
h h툨 ，
②若
是方程的解，则
h
另外一根为
，
툨
，故在区间
上有且仅有一个根，满足题意．
③若
和
均不是方程的解，则方程在区间
3. （1）设
，
，
则：
，
，所以
，
又
两式相减得即
က က
h
h
所以
，
因此原命题得证，且定值为．
（2）根据题意，如图．
假设存在符合题意的平行四边形于是
，设 h h ，则
h
h
က
᜕h
此时根据第（1）小题的结论，有 က hh က
hh
整理得
ကh ကh
h
h
က
即

圆锥曲线44道大题特训(含答案)

圆锥曲线44道特训（只要做不死就给死里做）1．已知双曲线12222=-by a x C ：的离心率为3，点)0,3(是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°直线l ，直线l 与双曲线交于不同的B A ,两点,求AB 的长．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=．（1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．3．已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点为(1,0)F ，离心率为22．设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 且斜率为1的直线l 交椭圆于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求22||||PA PB +的最大值.4．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．5．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c 2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．6．已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率e = （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+（0k ≠）与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线过定点1(,0)2P ，求实数k 的取值范围.7．已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线:l y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时,求TAB V 面积的最大值.8．已知椭圆错误!未找到引用源。

易错点10 圆锥曲线(解析版)

易错点10 圆锥曲线易错点1：椭圆及其方程1、焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：2、椭圆的几何性质3、直线与椭圆的位置关系（1）忽视直线斜率为0或不存在的情况（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.4、求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。

易错点2：双曲线及其方程1、焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：2、双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径；3、直线与双曲线的位置关系（3）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；（4）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.易错点3：抛物线及其方程 1、主观认为抛物线的顶点就是原点;2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论; 3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标; 4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论; 5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题必记结论直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图：（1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥122x x ＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p .（3）1|AF |＋1|BF |为定值2p.（4）弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．（5）以AB 为直径的圆与准线相切。

（6）以AF 为直径的圆与y 轴相切．（7）焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（） A ．4 B ．2C ．1D ．12【答案】C【详解】抛物线22y x =的焦点到准线的距离为p ，由抛物线标准方程22y x =可得1p =，故选：C.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一个焦点(c,0)F 到C 的一条渐近线的距离为27c ，则C 的离心率为（） A ．11215B ．335C ．7515D ．1615【答案】C【详解】因为C 的一个焦点(),0F c 到C 的一条渐近线的距离为27c ，不妨取渐近线方程为by x a=-，即0bx ay +=，所以2227bc bc b c c a b ===+，，两边平方得22449c b =.又222b c a =-，所以()222449c c a =-，化简得224945c a =，所以7515c a =. 故选：C.3．已知12,F F 是双曲线222:1(0)2x yC a a -=>的左右焦点，直线l 过1F 与抛物线28x y =的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则12F F =（）A ．B ．C ．4D ．4．已知12,F F 分别为椭圆142x y+=的左右焦点，点P 为椭圆上一点，以2F 为圆心的圆与直线1PF 恰好相切于点P ，则12PF F ∠是（） A ．45︒ B ．30 C ．60︒ D ．75︒5．若椭圆222:1(2)4x y C a a +=>上存在两点()()()112212,,,A x y B x y x x ≠到点,05P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（） A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】A2．已知1F 是双曲线221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（） AB C ．2D ．3A ．1B ．2C ．D ．44．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦5．设双曲线C ：221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若⊥PF 1F 2的面积为4，则a =（） A ．1 B ．2C ．4D ．8【详解】5ca=，11||2PF P ⋅12F P F P ⊥，|PF ∴()2122PF PF ∴-+故选：A.一、单选题1．抛物线W ：24y x =的焦点为F .对于W 上一点P ，若P 到直线5x =的距离是P 到点F 距离的2倍，则点P 的横坐标为（） A ．1 B ．2C ．3D ．42．双曲线221y x a -=的实轴长为4，则其渐近线方程为（）A ．40x y ±=B ．40x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=A ．抛物线B ．直线C ．抛物线或直线D ．以上结论均不正确【答案】C【详解】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，可得该动点到定点和定直线距离相等，当定点不在定直线上时，动点的轨迹是抛物线；当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线；故选C ．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，离心率12e =，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．22143x y +=D ．2211612x y +=【答案】C【详解】由于2c =2,所以c =1,5．已知双曲线221x y a b -=的离心率为3，则双曲线221x y b a -=的离心率为（）．A B ．98C D ．36．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点P 在D 上，过点P 作准线l 的垂线，垂足为A ，若PA AF =，则PF =（）A ．2B ．C ．D ．4πAPxRt ACF 中，60，则作FB AP ⊥的中点，因为7．设双曲线22221(0,0)y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与双曲线右支交,A B 两点，设AB 中点为P ，若1||AB P =，且145F PA ∠=︒，则该双曲线的离心率为（）AB C D 又又∠90 ，所以t ，AB 在1F AB 中，由勾股定理得：21BF =1=5BF t由双曲线定义可知：22AF t a =-2PF AP =-在12F F P 中，由余弦定理可得：代入计算得：8．设椭圆()22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则C 的离心率为（）A B ．12C D二、多选题9．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2,P 为C 上一点，则（）A ．双曲线C 的实轴长为2B ．双曲线C 的一条渐近线方程为y =C ．122PF PF -=D ．双曲线C 的焦距为410．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（） A ．C 的准线方程为116y =- B ．直线1y x =-与C 相切C ．若()0,4M ，则PM 的最小值为D ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为11PN准线，交于点PFM C MP PF =++当且仅当M 、N 三点共线时取等号，故故选：BCD三、解答题11．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>经过点，且渐近线方程为y x =±. (1)求C 的方程；(2)若抛物线22x py =(0)p >与C 的右支交于点A ，B ，证明：直线AB 过定点.20,48p =-，12．已知椭圆22:1(0)x y E a b a b+=>>，过点(1,1)--P 且与x 轴平行的直线与椭圆E 恰有一个公共点，过点P 且与y 轴平行的直线被椭圆E(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设过点P 的动直线与椭圆E 交于,M N 两点，T 为y 轴上的一点，设直线MT 和NT 的斜率分别为1k 和2k ，若1211k k +为定值，求点T 的坐标.。

高中数学圆锥曲线十大题型专题10以椭圆为情景的探索性问题 (学生版+解析版)

10 以椭圆为情景的探索性问题典例分析角度一、以探索多边形形状为情景的问题1、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率.（1）求该椭圆的方程；（2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证：轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；（3）在（2）的条件下，能否为等腰直角三角形？并证明你的结论. 角度二、以探索定点存在性为情景的问题1、如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b=>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2229x y m +=0m >l l (,)3mm 22221(0)x y a b a b+=>>:10l x -=12e =P Q PQ T l x R P Q RP RQ =PQR∆角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题1、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=.（1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.2、已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点.（1）若MN =l 的方程；（2）若12MP MN =，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.角度四、以探索定值存在性为情景的问题1、已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C 。

高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)

高三数学文科圆锥曲线大题训练1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率2c e a ==............4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ..............5分设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+......................7分因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,..........10分即()238104k k k k +-=-≠,亦即218k =,所以4k =±,....................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率e =F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>． --------1分∵长轴长为离心率2e =，∴1,b c a === 所求椭圆方程为2212x y +=． ----------- 4分（2）因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．设()()1122,,,P x y Q x y ，由 2222,1,x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=，解得 1211,3y y =-=．∴ 1212112223POQ S OF y y y y ∆=⋅-=-=． --------------9分（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x =，此时POQ ∠小于90，,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由 ()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=．∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++．11(1)y k x =-，22(1)y k x =-212212k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ⇔⋅=uu u r uuu r .由221212222201212k k OP OQ x x y y k k--⋅=+=+=++uu u r uuu r 得22k =，k ∴=.∴所求直线的方程为1)y x =-． ----------------14分3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A -，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程． 3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，因为2a =，3c a =，所以 c =22243b ac =-=．所以椭圆的方程为223144x y +=． …………4分（2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，则可设直线l 的方程为(2)y k x =+，则原点O 到直线l 的距离为d =．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 2234y kx x y =⎧⎨+=⎩ 消y 得22(31)4k x +=．可得P ，(Q ．因为以PQ 为直径的圆与直线l 相切，所以1||2PQ d =，即||OP d =．所以 222+=，解得 1k =±．所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=． ………14分4．的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．4．解：（1）由已知得e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114b b+=．解得22b =．故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分（2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立. 即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+．所以2288214A k k x k--=+．当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切. 由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k ----+-==+-+．由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠，且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则 112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++21614k k =+ 由于12k >，故216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k<<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t=+在1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t -'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增. 则当12t >时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当A M A N =时，求m 的取值范围.5．解: （1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，………….2分则右焦点F的坐标为)，3=，解得23a =，故所求椭圆的标准方程为2213x y +=. ………………………….5分6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线. （1）求椭圆1C 的方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.6．（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =.……2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分（2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分 ∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-,代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或1)P , 此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法1：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤==. ……12分当且仅当2x =时, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ, 此时,点Q的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分解法2：由于AB ==故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． (10)分设与直线AB 平行的直线为0x m ++=，由220,25,x m x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=，由()223220250m m ∆=--=，解得2m =±． (11)分若m =2y =-，x =；若m =2y =，x =． …12分故当点Q 的坐标为22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………14分 7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．7．【解析】：（1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项． ∴，解得a=2，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=3． ∴椭圆C 的方程为=1．（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k≠0），联立，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0，∴，∴x P =，∴y P =k （x P +2）=，∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣．直线QF 的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q =， ∴Q．∴k PQ ==，k BQ =．∴k PQ =k BQ ，∴B ，P ，Q 三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．8．解析：（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴ 21b =.∵222c a b c a ==+， ∴24a =． ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………4分（2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ……………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*）有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． …………6分从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．①………7分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. ……………10分由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OMk k ⨯=2211414414m k k km k +⨯=-≠--+. …………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ………13分 ∴AM BM +=0不成立. ………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*）有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ………6分从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① ………7分()228414214M km kmx k k =-=-++， ………………8分由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.…………9分 ∴ 12221N x x kmx k+==-+. …………10分若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. …………13分 ∴ AM BM +=0不成立. ………14分9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值． 9．【解析】（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2py x =-，………1分代入22(0)y px p =>得：22304p x px -+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p +=…3分∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得p =2∴抛物线的方程为：24y x =．………5分（2）设l 方程为y x b =+，代入24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，解得1b =，∴:l 1y x =+ ………7分由（1）可知：126x x +=，121x x =设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++126x x +=，121x x =，21212()1616y y x x ==，124y y =-， 2212124()y y x x -=-，∴12121244x x y y y y -+==-221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++ ………10分222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ⋅的最小值为14-．………12分 10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标. 10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得=，（2分）化简得24x y =. （2分）（2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+ （2分）以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x ¹Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =- （2分）代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>12||||PQ x x \=-=(2,)A k b -到直线PQ的距离为d =（2分）3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =- （2分）设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî，\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =- （2分）代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ的距离为d = （2分）33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．11．（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x xx x x x x x kk---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分（3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x kk++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …………7分∵ST =，∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …11分整理得，()224410x x y k+-++=. …12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. …14分12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=2222222b a c e c b a ，解得：1,2===c b a因此：椭圆C 的方程为1222=+y x (II)（1）当B A ,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x =，由题意可得：)2,0()0,2( -∈m将x m =代入椭圆方程1222=+y x ，得22||2m y -= 所以：4622||2=-=∆m m S AOB ，解得：232=m 或212=m ① 又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OE t OP ==+==因为P 为椭圆C 上一点，所以12)(2=mt ② 由①②得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t （2）当B A ,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+h kx y y x 1222得：0124)21(222=-+++h khx x k 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0>∆可得：2221h k >+此时：2212122212212122)(,2122,214k hh x x k y y k h x x k kh x x +=++=++-=+-=+，所以222221221221211224)(1||k h k kx x x x kAB +-++=-++=因为点O 到直线AB 的距离21||kh d +=所以：222221||212112221||21kh k h k k d AB S AOB+⨯+-+⨯+⨯⨯==∆ 46||21212222=+-+=h k h k ③令221k n +=，代入③整理得：016163422=+-h n h n解得：24h n =或234h n =，即：22421h k =+或223421h k =+④又)21,212(),(21)(21222121k htk kht y y x x t t t ++-=++=+==因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21()212(21[22222=+++-kh k kh t ，即121222=+t k h ⑤ 将④代入⑤得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t ，经检验，符合题意综上所述：2=t 或332=t13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

圆锥曲线练习题含答案很基础很好的题

7B.— 46.若抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ 1 72 1 721 721 72(4-^) B.(8-7)C . (4,丁)D .(8,7)2 2—=1上一点P 与椭圆的两个焦点 F 1、F 2的连线互相垂直，则^ PF 1F 2的面积为49 2420 B . 22 C . 28 D . 24C .(1,72)D . (2,2)29.与椭圆一+ y 2=1共焦点且过点Q （2,1）的双曲线方程是（）4圆锥曲线练习题21抛物线y= 10x 的焦点到准线的距离是（ 5 A.— 2 2.若抛物线 B . 5 C . 15D . 10 2 y 2 =8x 上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ A . (7, ±774) B . (14,±714) C . (7,±2714) D . (-7,±2714) 3-以椭圆25 2 2 —+ =1的顶点为顶点，离心率为 16 2的双曲线方程（ 2 x A . 一 16 2 —1 48 B . 2 厶=1 27 2 x 16 2 2 丄=1或三 48 9 227 D .以上都不对2x 4. F 1,F 2是椭圆一 9 =1的两个焦点, A 为椭圆上一点，且/ AF 1F 2 =45° ,则△ AF 1F 2 的面积(5.以坐标轴为对称轴, 以原点为顶点且过圆 x 2 + y 2 -2x + 6y + 9 = 0的圆心的抛物线的方程是2 2A . y = 3x 或 y = -3x 2B . y = 3x 2C . y = -9x 或 y = 3xD . y = -3x 2或2 y =9x7^5 27.椭圆 8 .若点 A 的坐标为（3,2）, 2F 是抛物线y =2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使 MF + M A 取得最小值的 M 的坐标为（22 2 2 2x 2 」 x 2 」 x y A. ——-y =1 B. ——-y =1 C . ——=12 43 3310.若椭圆宀吋2/的离心率为一，则它的长半轴长为11.双曲线的渐近线方程为 x±2y =0，焦距为10，这双曲线的方程为 12.抛物线y 2 =6x 的准线方程为. 13•椭圆5x 2+ ky2=5的一个焦点是（0,2），那么k = _____ 。

圆锥曲线归纳10种解题法试卷

高中数学圆锥曲线解答题解法题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：共线向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题问题七：直线问题问题八：轨迹问题问题九：对称问题问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

例题2、已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ 的斜率。

题型四：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E. I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围.2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率为5（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.类型1——求待定字母的值例1设双曲线C ：)0(1222>=-a y ax 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交于点P ，且5,12PA PB =求a 的值类型2——求动点的轨迹例2如图2 ，动直线1+=kx y 与y 轴交于点A ，与抛物32-=x y 交于不同的两点B 和C, 且满足BP=λPC ， AB=λAC ，其中.R ∈λ。

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周五大题解法训练10 圆锥曲线2
1．(2014年浙江卷改编)如图，设椭圆2
2:14x C y +=，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.
(1)已知直线l 的斜率为k ，用k 表示点P 的坐标； (2)若过原点O 的直线1l 与l 垂直，求点P 到直线1l 的距离的最大值.
2．(2014年江西卷)如图，已知双曲线22
2:1(0)x C y a a -=>的右焦点F ，点B A ,分别在
C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点).
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的
直线1:020=-y y a x
x l 与直线AF 相交于点M ，
与直线23
=x 相交于点N ，证明：点P 在C 上
移动时，NF
MF
恒为定值，并求此定值.
3．(2014年全国大纲卷)已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴
的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5
||||4
QF PQ =. (1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.
周五大题解法训练10 圆锥曲线2参考答案
1．解：(1)设直线l 的方程为()0y kx m k =+<，由22
14
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 得，
()2
2
2148440k x
kmx m +++-=，………………………………………………………2分
由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22
140m k -+=，……………3分
解得点P 的坐标为22
4(,)1414km m
k k
-
++，…………………………………………………5分由点P 在第一象限，知0m >
，且m =，………………………………………6分故点P
的坐标为(；………………………………………………7分
(2)由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，…………………8分
所以点P 到直线1l
的距离22
14d k
=
==+
=
因为2
2144k k +
≥，仅当2214
k k =，
即2
122
k k =⇒=-时取等号， ∴1d =
≤
=，……………………………………………………13分即点P 到直线1l 的距离的最大值为1.……………………………………………………14分 2．解：(1)设(,0)F c ，而渐近线,OA OB 的方程分别为,x x
y y a a
==-，……………2分由x AF ⊥轴，得A(a
c
c ,
)，………………………………………………………………3分又//BF OA ，得BF 的方程为1()y x c a =-，与x y a =-联立解得(,)22c c
B a
-
，
则3
AB k a
=
，…………………………………………………………………………………5分 ∴双曲线C 的方程为：13
22
=-y x ………………………………………………………6分 (2)证明：由(1)
知a =
1:
020=-y y a x x l ，则00
3
3x x y y -=，………………7分而AF 的方程为2x =，两方程联立解得00
23
(2,
)3x M y -，……………………………8分直线l 与3
2
x =的交点为003
332(,
)23x N y -，………………………………………………10分
0|23|x MF
NF
-∴
==
=
02|23||23|3x x -=
⋅=-为定值.…………………………………………………14分 3．解：(1)设()0,4Q x ，代入22y px =，得08
,x p
=……………………………………1分 ∴088
,.22p p PQ QF x p p
==+=+………………………………………………………2分由题设得
85824p p p
+= ，解得2p =-(舍去)或2p =，………………………………3分
∴C 的方程为2
4y x =；……………………………………………………………………4分 (2)由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+ ，……………5分代入2
4y x =得2
440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=
124y y =-．故AB 的中点为
()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．……6分
又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为21
23x y m m
=-++．……………………………………7分将上式代入24y x =，并整理得()224
4230y y m m
+
-+=．………………………………8分设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344
,423y y y y m m
+=-
=-+．…………………9分
故MN 的中点为(223422
412223,,m E m MN y m m m +骣÷ç++-=-=
÷ç÷
ç桫． ………………………………………………………………………………………………11分由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于1
2
AE BE MN ==
，从而22211,44
AB DE MN +=……………………………………………………………12分
即()()()2
2222
2
224
4121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，
化简得2
10m -=，解得1m =或1m =-．…………………………………………13分
所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．…………………………………14分。