3.1.2两条直线的平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定ppt课件
l1 l2
2 90 1 tan2 tan 90 1
y
l2
l1
O
α1
α2
x
tan 2
1
tan 1
k2
1 k1
k1 k2 1
15
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为 α1、α2（ α1、α2≠90°）.
y
l2
l1
α1
α2
O
x
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率 （两直线的斜率都不等于0），且分别为
注意点：斜率都存在
y l2
α1
O
l1
α2
x
2、斜率不都存在时两直线平行与垂直
平行：直线l1和l2斜率都不存在
y
y l2
2 1
垂直：直线l1和l2一条斜率为零, O
x
另一条斜率不存在
l2
l1
O
l1 x
21
二、思想方法 （1）数形结合、分类讨论、由特殊到一般及类
比联想的思想； （2）运用代数方法研究几何性质及其相互位置
y
Q P
解：
直线BA的斜率kBA
30 2 (4)
1 2
直线PQ的斜率kPQ
21
1 (3)
1 2
A
kBA kPQ 直线BA // PQ.
x
B
O
10
例题讲解 平行关系
例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0）， B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明。
解 : k AB
1 2
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
画图
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0, 0), B(2, －1), C(4, 2), D(2, 3)，试判
断四边形ABCD的形状，并给出证明.
画图
变式练习1：已知A(2, 3), B(-4, 0), Ｃ(0, 2), 判断直线AB、BC的位置关系？
画图
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讲授新课
（ 一 ）两条直线互相平行(不重合) 设两条直线l1，l2的斜率分别为k1 ， k2 问题1 ：同学们在直角坐标系画两条平行线， 观察l1，l2的倾斜角关系：α1 = α2． 斜率关系： k1 = k2． l1∥l2 k1 = k2
讲授新课
问题2 ：如果两条直线的斜率相等，那么两条 直线l1∥l2吗？
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 2、倾斜角的范围是 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 O 2、倾斜角的范围是 0O≤ ＜180 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1.理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点) 2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点) 3.利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．(易错点)
预习检测
1.两条直线平行与斜率之间的关系：设两条不重合的直线 l1、l2，倾斜角 分别为α1、α2，斜率存在时斜率分别为 k1、k2.则对应关系如下：
图示关系
对应关系 l1⊥l2⇔__k_1_k_2＝__－__1_
l1⊥l2⇔一_个__斜__率__为_0_,_另_一__个__斜__率_不__存__在
练习：已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，若l1⊥l2，则k2 ＝________．
3
探究展示
『问题』已知 A(－3，4)，B(3，2)，P(1，0)，若过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点． (1)求直线 l 的倾斜角α的取值范围； (2)求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
图示关系
对应关系
l1∥l2⇔ _k_1_＝_k_2_
_l_1_∥_l_2 _⇔两直线斜率都不存在
• 【思考】 一般地，l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提是什么？ • 【提示】 ①两条直线的斜率都存在．②这两条直线不重合．
2
2.两条直线垂直与斜率的关系：设两条不重合的直线 l1、l2，倾斜角分别 为α1、α2，斜率存在时斜率分别为 k1、k2.则对应关系如下： 前提条件 α1 与α2 都不为 0°和 90° α1 与α2 一个为 0°，一个为 90°
C．3 个
D．4 个
2.直线 l1，l2 的斜率是方程 x2－3x－1＝0 的两根，则 l1 与 l2 的位置关系是( D )
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
倾斜角 斜率
经过P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y 2 ) 的直线斜率公式
k
y2 x2
y1 x1
(x1
x2 )
平面上两条直线位置关系
y
o x
有平行,相交两种
如果两条直线互相平行，它们的倾斜 角满足什么关系？
它们的斜率呢？
y
L1 L2
o
x
前提:两条直线不重合
←→ L1// L2
【解】 (1)k1＝21－ －－ －21＝2, k2＝12－ －－ －12＝12, k1k2＝1, ∴l1 与 l2 不垂直. (2)k1＝－10, k2＝230－－210＝110, k1k2＝－1, ∴l1⊥l2. (3)l1 的倾斜角为 90°, 则 l1⊥x 轴, k2＝104－0－－4010＝0, 则 l2∥x 轴, ∴l1⊥l2.
即－12·m2－－11＝－1, 得 m＝3; 若∠C 为直角, 则 AC⊥BC, 所以 kAC·kBC＝－1, 即m－＋31·m2－－11＝－1, 得 m＝±2. 综上可知, m＝－7 或 m＝3 或 m＝±2.
2. 已知点A(0,3), B(－1,0), C(3,0), 求点D的坐 标, 使四边形ABCD为直角梯形(A, B, C, D按 逆时针方向排列). 解:设所求点D的坐标为(x, y), 如图所示, 由于kAB＝3, kBC＝0, ∴kAB·kBC＝0≠－1, 即AB与BC不垂直, 故 AB, BC都不可作为直角梯形的直角边.
直线倾斜角相等
←它们的斜率相等吗？
前提: 两条直线不重合,斜率都存在
结论：L1// L2 k1=k2，
3. 1.2 两条直线平行与垂直的判定
1. 两条直线平行的判定
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
综上所述，A 点坐标为(1，－1)或152，－151.
小结：(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法， 先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定. (2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定 斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各 种情形.
tan 1
k2
1 k1
,
反之也成立
α1 α2 或写成 k1k2= -1.
O
x 小结：存在斜率的两直线垂直的判定:
l1⊥l2 k1k2= -1
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3）Q（6，-6），
判断直线AB与PQ的位置关系。
分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.
解：直线AB的斜率
△ABC为直角三角形，求m的值. 解 若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
即m2－＋51·11＋ －15＝－1，解得 m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即11＋ －15·m2－－11＝－1，解得 m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
k AB
3 6（06）
2, 3
直线PQ的斜率
6 3 3
kPQ
60
, 2
kBAkPQ 1,直线AB PQ.
例4 已知A（5，-1），B（1，1）， C（2，3）三点，
试判断△ABC的形状.
y
C
分析：结合图形可猜想AB⊥BC. △ABC为直角三角形.
解：
AB边所在直线的斜率kAB
1 2
,
BC边所在直线的斜率kBC 2,
A
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件 新人教版必修2
解 : 设P的坐标为（x, 0）
MPN为直角，即MP NP
y
M
kMP k NP 1
O
x
N
02 02 1 即 x2 7 x 6 0 x 2 x 5
得 x=1 或 x=6 故，P的坐标为(1， 0) 或 (6,0)
还可用什么方法求？ 另法：向量法
小 结论1：对于两条不重合的直线 l1和l 2 : 结 (1)l1 // l2 1 2 ;
作用：根据斜率可证明三点共线、判断三角形或四边 形的形状。
【反馈检测】
1、判断下列各对直线是平行还是垂直： 1、判断下列各对直线是平行还是垂直： 1、判断下列各对直线是平行还是垂直： 1（ ）过两点 A（A 2（ ，2 3， ） 、 B、 （— 1，1 0， ）的直线 l1 ，l ， 1 ）过两点 3 ） B （— 0 ）的直线 1）过两点 A（2，3） 、B（—1，0）的直线 l1 ， 1 平行 与过点 P（P 1（ ，1 0， ）且斜率为 1 的直线 l2 ； 与过点 0 ）且斜率为 1 的直线 与过点 P（1，0）且斜率为 1 的直线 l2 ； l2 ； （2（ ）过两点 C（C 3（ ，3 1， ） 、 D、 （— 2，2 0， ）的直线 l3 ， 2 ）过两点 1 ） D （— 0 ）的直线 ， （2）过两点 C（3，1） 、D（—2，0）的直线 l3 ， l3垂直 与过点 M（M 1（ ，— 4）且斜率为— 5 的直线 l4 。 与过点 1 ，— 4 ）且斜率为— 5 的直线 与过点 M（1，—4）且斜率为—5 的直线 l 。 l4 。
x 3y 3 0 即 2 x y 1 0
D(0,1)
4、文科： 必修2——P90 B组 第3题 理科：必修2——P90 B组 第4题
课件3：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
【探究】根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率 是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合 的情况．
(2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3，
因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也 不存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2. (4)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝23－－34＝1，所以 l1 与 l2
12 -（- 4）＝－4，所以 2-6
kAB＝kCD，kACkBD＝－1，即
AB∥CD，
AC⊥BD．
当堂检测
1．下列说法正确的有( ) ①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则 k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另 一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜 率都不存在，则两直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
当堂检测
【解析】设第四个顶点 D 的坐标为(x，y)， ∵AD⊥CD，AD∥BC， ∴kAD·kCD＝-1，且 kAD＝kBC．
∴xxyy－－－－1100＝·xy－－23－－23＝01 －1
解得xy＝＝32 ，
∴第四个顶点 D 的坐标为(2,3)．
2．垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么 它们的斜率之积等于_____-1_____；如果它们的斜率之 积等于-1，那么它们__互__相__垂__直__．
【破疑点】当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存 在且乘积为定值-1，也可能一条直线的斜率不存在， 而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较 小倾斜角与直角的和． (1)平行：倾斜角相同，所过的点不同； (2)重合：倾斜角相同，所过的点相同； (3)相交：倾斜角不同； (4)垂直：倾斜角相差90°.
3.1.2两直线平行与垂直的判定(优秀经典公开课教案及练习答案详解)
3.1.2两直线平行与垂直的判定学科：数学年级：高一班级【学习目标】1.知道两条直线平行或垂直的判断条件．2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直．3.利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．【学习重难点】重点：两条直线平行和垂直的条件难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．【预习指导】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．( )(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．( )(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．( )2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直3．下列各组点中，在同一直线上的是( )A．(－2，3)，(－7，5)，(3，－5)B．(3，0)，(6，－4)，(－1，－3)C．(0，5)，(2，1)，(－1，7)D．(0，1)，(3，4)，(－1，－1)4．经过点A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(－5，0)的直线平行，则m＝________.【合作探究】(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．．．．．P．和一个倾斜角α．．．.们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.例1、已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)例3、已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4 、已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)【巩固练习】教材P89练习1、2题【当堂检测】1．下列说法中正确的是( )A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行2．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．13．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32 C.23 D.324．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形5． l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M(1，3)，N(－2，－23)，则两直线l 1与l 2的位置关系是________．6．已知直线l 1经过点A(0，－1)和点B(－4a，1)，直线l 2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．【拓展延伸】已知A(－m －3，2)，B(－2m －4，4)，C(－m ，m)，D(3，3m ＋2)，若直线AB⊥CD，求m 的值．【课堂小结】(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.【课外作业】习题3.1第3、6题【教学反思】。
课件4：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
2．(1)如果直线l1与l2的斜率k1、k2满足k1·k2＝－1， 则l1 ⊥ l2. (2)如果l1⊥l2，则直线l1与l2的斜率满足
k1k2＝－1或一个为0，另一个不存在 ．
(3)直线l1经过A(x,1)、B(－2,0)，l2的斜率为2，l1⊥l2， 则x＝ －4 .
题型一 判断两条直线的平行关系
[例1] 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)， N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)， N(5,5)．
[例3] 已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径的端点作圆与x轴 有交点C，求交点C的坐标．
[解] 以线段 AB 为直径的圆与 x 轴交点为 C， 则 AC⊥CB. 据题设条件可知 AC，BC 的斜率均存在． 设 C(x,0)，则 kAC＝x－＋31，kBC＝x－－24. ∴x－＋31·x－－24＝－1.去分母解得 x＝1 或 2. ∴C(1,0)或 C(2,0)．
则 k2＝－1－a－(a12－1－a20)＝－a－1 1. l1∥l2 时，k1＝k2，－a2＝－a－1 1，解得 a＝2，a＝－1. 当 a＝2 时，l1 的方程为 2x＋2y＋6＝0，即 x＋y＋3＝0， l2 的方程为 x＋y＋3＝0，则 l1 与 l2 重合． ∴应将 a＝2 舍去． ∴a＝－1 时，l1∥l2.
一、选择题
1．下列说法正确的是
()
A．若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2 B．若直线l1∥l2，则kl1＝kl2 C．若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2 D．若两条直线的斜率存在但不相等，则两直线不平行
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
)
[解析] 当 a＝0 时，l2 斜率不存在， 1 当 a≠0 时，l2 斜率为－a，故选 D．
3．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过 2 点(－2,1)，斜率为－ 的直线垂直，则实数a的值是 3 ( )． 2 3 2 3 3 D. 2 A．－ 3 B．－ C. 2 解析 由于直线l与经过点(－2,1)且斜率为－ 2 的直线 3 垂直，可知a－2≠－a－2. ∵kl＝
4 (1) ∴k2＝ ＝1. 3 (2)
∴k1＝k2，∴l1与l2平行或重合． 答案 平行或重合
8．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的 倾斜角为( )． A．135° B．45° C．30° D．60° 解析 由题意知，PQ⊥l，∵kPQ＝ ∴kl＝1，即tan α＝1，∴α＝45°. 答案 B
90°
.
的直线没有
3.经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜 率公式为
y 2 y1 x 2 x1
不存在
.当x1=x2时，直线P1P2的斜率
.
4.由k的定义可知:k=0时,直线
;k>0时,直线的倾斜角为 也
增大 增大
平行
锐角
重合 x轴或与x轴______
,k值增大,直线的倾斜角 ,k值增
• 4．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，则第四个顶点D的坐标 为________.
4．直线l1的倾斜角为45°，直线l2过A(－2，－1)， B(3,4)，则l1与l2的位置关系为________． 解析 ∵直线l1的倾斜角为45°， ∴k1＝1. 又∵直线l2过A(－2，－1)，B(3,4)，
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
结论 : 不重合的直线1l, l2,斜率分为k1,kO2 α1 l1//l2 k1 k2
α2 x
注意：结论的大前提是两条直线为L1，L2，
⑴判若断两下直列线且命L斜1题∥率的L2分,正则误别它:为们k的1，斜k率2 必相等. ( × )
⑵若不重合的直线L1与L2的斜率都不存在,则L1∥L2. ( √ )
⑶ 若两直线的斜率相等,则两直线平行 ( ×)
思
设两条直线 L1、L2的斜率分别为 k1、k2
考（1）当L1//L2时，k1、k2满足什么关系？
结论 : 不重合的直线1l, l2,斜率分为k1,k2
l1//l2 k1 k2
（2）当L1⊥L2时，k1，k2满足什么关系？
结论 : 若两直线都有斜率则,
直 线 CD 的 斜 率 kC D
x
y, 3
直线CB的斜率kCB 2,
直 线 A D 的 斜 率 kA D
y x
1. 1
由CD AB,
且CB//AD
得:
y 3 1
x-3
解
y x
1 1
2
得x
0,
y 1
所 以 ,点 D 的 坐 标 是 ( 0, 1) .
小结
两条直线平行与垂直的条:
y
L1
l1 l2 k1 k2 1
注意：此结论成立的前提条
件是两条直线都有斜 率。
α1
O
α2 x
L2
(1) L1∥L2 k1= k2； (2) L1⊥L2 k1k2=－1
例题与练习：
1、根据下列条件判断直线AB与PQ的位置关系： ⑴ A(2, 3), B(-4, 0), P(-3, 1), Q(-1, 2) AB//PQ ⑵ A(-6, 0), B(3, 6), P(8, 3), Q(6, 6) AB⊥PQ
高中数学3.1.2两条直线平行和垂直的判定优秀课件
通过上节课的学习我们知道：一个点和一个方向〔倾 斜角、斜率、方向向量〕能确定平面直角坐标系内一条直 线的位置. 那么两条直线的位置关系又由哪些条件确定呢？ 带着这些问题我们来学习本节课的内容. 阅读教材第86页~88页
答复以下问题： 〔1〕直线 l1//l2 时，斜率k1与k2满足什么关系 ？ 〔2〕直线 l1⊥l2 时，斜率k1与k2满足什么关系 ？
垂直，求 a 的值.
解：
l1
的斜率
k1= 3a 0 1 (2)
பைடு நூலகம்
a
（1）当
a≠0
时， l2
的斜率 k2
=
2a (1) a0
1 2a a
∵ l1 ⊥ l2
∴k1·k2=－1，即 a× 1 2a =－1 ，得 a=1 a
（2）当 a=0 时，P（0，－1），Q（0，0），这时直线 l2 为 y 轴，
l1//l2 k1k2
说明：
〔1〕假设直线l1和l2的斜率都不存在， y
其倾斜角为900，那么l1 // l2 .
〔2〕假设斜率分别为k1 , k2直线l1和l2 0
可能重合，那么
l2
x l1
k1
k2
或l1 /l/1与l2
l
重
2
合
2.垂 直
预备知识：直线的方向向量
y P1
直线过两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)
1. 平 行
设两直线l1和l2的斜率分别为k1 , k2 . 如果l1 //l2，则但l1,l2 的倾斜角相等1 2
ta1 n ta2 n , 即 k1 k2.
反之，如果k1 k2 ，即 tan 1tan 2,
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小结： 斜率存在时, l1//l2k1=k2 斜率都存在时, l1l2k1•k2=-1
1. 判断长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0,1), B(1,0), C(3,2),求第四个顶点D的坐标 (2, 3) 2. 以A(1,1), B(3,1), C(4,2)为顶点的三角形中, 边 AC上的高所在直线的斜率为____. -3
2
2＝ 1＋900
1＝ 2＋900
或一个斜率为0，一个斜率 不存在
例3.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0）， B（2，－1），C（4，2），D（2，3），试判断 四边形ABCD的形状，并给出证明.
例4.已知点A(m，1),B(-3，4),C(1，m),D（-1，m+1), 分别在下列条件下求实数m的值: （1）直线AB与CD平行； （2）直线AB与CD垂直.
3. 绕倾斜角为300的直线l上一点P(2,1)按逆时针 方向旋转300得到直线l1,且l1与线段AB的垂直平 分线互相平行,其中A(1, m-1), B(m,2). 求m的值.
4. 光线由点A(-5, 3 )入射到x轴上,交x轴于点B(2,0),然后经x轴反射到y轴上的点C,再经y轴反射. 求经过二次反射后光线所在直线的斜率.
例2. 已知A(2, 3)，B(-4, 0)，P(-3, 1)，Q(-1,2)， 试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的 结论。 Y
kAB=kPQ≠kAQ
Q P X B A
探究2：两条直线垂直的数量关系 l2 l1 y 斜率都存在时, l1l2k1•k2=-1 α1 α O l1l2 |1－2|＝900 k1•k2=-1
教学目标:
1. 知识与技能: 掌握用斜率判断直线的平 行与垂直.
2. 过程与方法: 数形结合思,分类讨论思想 .
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 y
x
复习
１：直线的倾斜角的概念
[0 ,180 )
0 0
２：直线的斜率 k tan ( 900 ) k R
３：斜率公式
y o
l
p
x
y2 y1 k (：两条直线平行的数量关系 斜率存在时, l1//l2k1=k2 y O l1// l2 直线倾斜角相等, 1=2 k1=k2 或k1，k2都不存在 l1 α
1
l2
α
2
x
检测： 下列说法正确的有( C )
①若两直线斜率相等, 则两直线平行;
②若 l1 //l2 ,则k1=k2 ;
③若两直线中有一条的斜率不存在,另一 条直线的斜率存在,则两直线相交; ④若两直线斜率都不存在,则两直线平行.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
应用：
例1.已知□ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别 为(0,-1),(2,1),(-1,3)，求顶点D的坐标。