全等图形在生活中的应用
全等三角形应用举例
根据"SSS"可证明△ADC≌△ADB
所以∠ADB=∠ADC=90°
即：BC⊥DA
因DE处于垂直位置，故BC处于水平位置。
【例2】如图二，小明同学不慎将一三角形玻璃打碎成两块，他是否只带其中的一块就可以配一块与原来一样的三角形玻璃呢？为什么？
、重要的不是知识的数量，而是知识的质量，有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东西。 —— 托尔斯泰
全等三角形应用举例
江苏省赣榆县沙河中学（222141） 张庆华
E-mail：guzqh@
全等三角形在我们的生活中应用非常广泛，本文将通过几个实例与同学们一起来探讨其在生活中应用的奥妙。
【解析】若想配一块和原来三角形全等的三角形玻璃，根据三角形全等的条件，图图中的图②符合"ASA"全等，所以应带②去配玻璃。
【例3】如图三，要测量池塘边上两点P、Q之间的距离，小五在PQ的垂线PM上取两点A、B，使AB=PA，再在B处作出PB的垂线BC，使C、A、Q在同一条直线上，这时测得BC的长就是PQ的长，小王的测量方法对吗？这什么？
【解析】根据步聚可知∠PAQ=∠BAC，AP=AB，∠QPA=∠CBA=90°
根据"ASA"可证明△ABE≌△APQ
所以PQ的长即为BC的ห้องสมุดไป่ตู้。
【练习1】如图四，把两根钢条AA'BB'R的中点O连在一起做成一个测量工件内槽的工具（这种工具叫卡钳），只要量出A'B'的长度，就可以知道工件内径AB的长度，你知道其中的理由吗？
【练习2】工人师傅常用角尺平分一个任意角，方法是：如图五，在∠COD的两边OC、OD上分别取OA=OB，移动角尺使两边相同的刻度分别与A、B重合，这时角尺的顶点M与O的连线，即OM即为∠COD的角平分线，你知道其中的理由吗？
全等图形在生活中的应用
块 完 全 一 样 的 玻 璃 ，那 么 最 省 事 的 办 法是 设 计 图 形 ．
（ ）．
【讲 解 】此 问 题 答 案 不 唯 一 ，设 计 方 案
Ａ．带① 去
Ｂ．带② 去
多 种 多 样 ，给解 答 者 留有 充 分 的思 考 余 地
ｃ．带③ 去
Ｄ．带① 和② 去
和 创 新 空 间 ，下 面 根 据 全 等 三 角 形 性 质 给
【讲 解 】这 里 所 说 的最 省 事 的办 法 当 然 出 几 种 设 计 图 形 供 参 考 （如 图 ３—２、图 ３—
是 指 在 破 碎 的 三 块 玻 璃 中 ，能 只 带 其 中 一 ３、图 ３—４所 示 ）．
块 或 两块 去 配 就 行 ．通 过 对 三 块 玻 璃 ① ②
③ 的 观 察 ，根 据 三 角 形 全 等 的判 定 定 理
下 转 动 横 板 的 过 程 中 ，两 人 上 升 的最 大高 握 三 角 形 全 等 的 判 定 定 理 的 基 础 上 ，还 要
度 Ａ ，ＢＢ 椭 量 关 系？为什 么？
学 会 将 某 些 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问题 的 思
【讲 解 】经 分 析 ，发 现 本 题 存 在 明显 的 想 方 法 ，这 是解 决 实 际 问题 的关 键 所 在 ．
又 ＯＡ＝ Ｂ ＤＢ ．
速 合 理 地 解 决 很 多 生 活 中 与 全 等 三 角 形
‘ △ Ａ ＯＡ △ Ｂ ０Ｂ．
．
．
有 关 的 实 际 问题 ． 侈０ １ 士 图
’ Ａ ＝ＢＢ个 正 方 形 的 窗 户 ，
１，某 同 学把 一 块
全 等 图形 在 生 ；舌中 的应 用
空间几何中的全等
空间几何中的全等在空间几何中，全等是一个基本的概念。
全等指的是两个或多个几何图形在形状和大小上完全相同。
在这篇文章中，我们将深入探讨空间几何中全等的性质、判定方法以及它们在实际生活中的应用。
一、全等的性质在空间几何中，全等的性质与平面几何中的全等相似。
具体来说，两个几何体全等的条件是它们对应的边长相等，对应的角度相等。
不仅如此，在空间几何中，还需考虑到它们的位置关系。
全等的性质可以总结为以下几个方面：1. 边长相等：两个全等几何体的对应边长是相等的。
例如，如果两个三角形的三边分别相等，那么它们是全等的。
2. 角度相等：两个全等几何体的对应角度是相等的。
例如，如果两个三角形的三个内角分别相等，那么它们是全等的。
3. 对应线段相等：两个全等几何体的对应线段相等。
例如，如果两个四边形的对角线分别相等，那么它们是全等的。
4. 位置关系：两个全等几何体的相对位置和旋转角度相同。
换句话说，只有通过平移、旋转和翻转操作，我们才能使一个几何体与另一个几何体重合。
二、全等的判定方法在空间几何中，我们有多种方法来判定是否存在全等关系。
1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等的。
这是最基本的全等判定方法之一。
2. SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等的。
这个方法相对更容易应用，因为我们可以凭借角度和一边来判断全等关系。
3. ASA判定法：如果两个三角形的一边和两个夹角分别相等，则它们是全等的。
与SAS判定法类似，在给定一边和两个夹角的情况下，我们可以判断三角形是否全等。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则它们是全等的。
这个方法有效地利用了直角三角形特有的性质。
通过上述的判定方法，我们可以在空间几何中准确地判断出两个几何体是否全等。
三、全等在实际生活中的应用全等在实际生活中有着广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，全等的概念被用来确保建筑物的对称性和平衡性。
全等三角形六种常见的实际应用
专训1六种常见的实际应用名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；(3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．利用三角形全等测量能到两端的距离1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗(第1题)利用三角形全等求两端的距离2．【中考·宜昌】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，|如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．(第2题)利用三角形全等测量物体的内径3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.(第3题)利用三角形全等解决工程中的问题4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理`(第4题)利用三角形全等解决面积问题5．育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC，∠BAC＝90°)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，求两种花草的种植面积各是多少．(第5题)利用角平分线的判定和性质设计方案6．如图，湖边的三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有多少处【导学号：】(第6题)答案1．解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.在△ABC和△ADC中，、⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠ACB＝∠ACD，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC (SAS )． 所以AB ＝AD. 2．解：∵AB∥DC， ∴∠ABO＝∠CDO. 又∵DO⊥CD， ∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即BO⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴BO＝DO.又∵∠AOB＝∠COD， ∴△BOA≌△DOC.{∴CD＝AB ＝20米．(第3题)3．解：可设计如图所示的工具，其中O 为AC ，BD 的中点． 在△AOB 和△COD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO ，∠AOB＝∠COD，BO ＝DO ，所以△AOB≌△COD (SAS )．所以AB ＝CD ，即CD 的长就是A ，B 间的距离． 因为AB ＝a －2x ， 所以x ＝a －AB 2＝a －CD 2.4．解：在△AOB 和△COD 中，!⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠OAB＝∠OCD＝90°，AB ＝CD ，所以△AOB≌△COD (SAS )． 所以∠AOB＝∠COD.又因为∠AOB＋∠BOC＝180°， 所以∠BOC＋∠COD＝180°，即∠BOD＝180°.所以D ，O ，B 三点在同一条直线上． 所以钻头沿着DO 的方向打孔，一定从点B 处打出． 5．解：由已知，AB ＝20 m ，AC ＝10 m .在Rt △ABC 的边AB 上取点E ，使AE ＝AC ＝12AB.连接DE.∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD.~又∵AD 是△ACD 和△AED 的公共边， ∴△ACD≌△AED (SAS )． ∴S △ACD ＝S △AED .又易得S △AED ＝S △BED ＝12S △ABD .∴S △ACD ＝13S △ABC ＝16×20×10＝1003 m 2.S △ABD ＝2003m 2.答：一串红的种植面积是2003 m 2，鸡冠花的种植面积是1003 m 2.6．解：如图所示．①作出△ABC 的两个内角的平分线，其交点为O 1； ②分别作出△ABC 外角平分线，其交点分别为O 2，O 3. 故满足条件的修建点有三处，即点O 1，O 2，O 3.(第6题)点拨：解题的关键是分情况讨论：分所选位置在三条公路所围三角形的内部和外部两种情况．本章角平分线的性质和判定定理尚未学到，但结合全等三角形的判定及性质，很容易理解角平分线的性质及判定定理．前后呼应相得益彰．。
生活中全等图形的例子
生活中全等图形的例子
标题，生活中的全等图形。
在我们的日常生活中，全等图形无处不在。
全等图形是指在形状和大小上完全
相同的图形，它们可以通过旋转、翻转或平移而重合在一起。
这种几何概念不仅存在于数学课本中，也可以在我们周围的生活中找到许多例子。
首先，我们可以看到许多建筑物和结构中的全等图形。
例如，许多房屋的窗户
可能是全等的，它们的形状和大小完全相同。
另外，一些建筑物的立面可能包含许多全等的图形，如正方形或长方形，它们在建筑物的外观中形成了美丽的几何图案。
此外，我们还可以在日常用品中找到全等图形的例子。
比如，许多餐具和厨具
的形状可能是全等的，如餐盘、杯子、刀叉等。
这些全等图形使得我们的生活更加有序和美观。
除了建筑物和日常用品，全等图形还可以在自然界中找到。
例如，许多植物的
叶子可能具有全等的形状和大小，它们在植物上形成了美丽的图案。
另外，一些动物的斑纹或花纹也可能是全等的，它们在动物的身体上形成了独特的外观。
总的来说，全等图形在我们的生活中无处不在，它们不仅存在于数学的世界中，也存在于我们周围的各种事物中。
通过观察和理解全等图形，我们可以更加欣赏和理解我们周围的世界，同时也更加深入地了解数学知识。
因此，让我们在日常生活中多留心观察，发现更多关于全等图形的美妙之处。
全等三角形在生活中的应用
全等三角形在生活中的应用在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．一、仪器我也会做例1 如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线．解：已知AB=AD ，BC=DC ，又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠BAC=∠DAC ．所以AE 是角平分线．评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．二、巧测内口直径例2 小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行． 解：连结AB ，CD ，因为AO=DO ，BO=CO ， 图 1 图2又因为∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO（SAS）．所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长．评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题．三、距离相等的解释例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理．解：小丽说的有道理，理由如下：图3 已知AC=BC，因为∠ADC=∠BEC=90°，又因为∠C是公共角，所以△ACD≌△BCE，所以AD=BE．即学校到路段BC的距离与菜市场到路段AC的距离相等．你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！应把握的两种模型利用三角形全等测距离，主要有以下两种模型：一、视线模型当需要测量距离的两个点中有一个点无法接近时，常采用这种方法. 视线法简便易行，但有一定的误差，一般在仅适应于目测的情况下使用. 如：例1如图1所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距离.你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了全等三角形的知识. 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形.如图2所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD的长度可以测得，又因为战士与地面是垂直的，也就是∠BCA＝∠EFD＝90°，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC＝EF，∠ABC＝∠FED.依据“SAS”可知△ABC≌△DEF，所以AC＝FD.所以只要测得FD的距离，就可得到AC的距离.这就是“视线法”的基本模型与解题原理.二、构图模型当需要测量距离的两点均可到达，但两点之间不能通过直接测得距离时，可通过构造两个全等的三角形，进行间接的测量.构图法间接测量的结果比较准确.如：例2如图3所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量这两点之间的距离，但绳子不够长，老师为他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B 两点的点C，连接AC并延长到点D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE并测出它的长度，DE的长度就是A，B之间的距离.你能说明其中的道理吗？解：池塘两端的A点和B点不好直接测量，取一个可以直接到达A，B两点的点C，连接AC并延长的D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，这样在△ABC 与△DEC中，有CA＝CD，CB＝CE，且∠ACB＝∠ECD，则依据“SAS”可得△ABC≌△DEC，从而DE＝AB，因为DE是可直接测得的，这样即可得到AB的距离.这就是“构图法”的基本模型与解题原理.。
图形的相似与全等
图形的相似与全等相似与全等是几何学中重要的概念，用于描述图形之间的关系。
在本文中，我们将详细讨论图形的相似与全等，并且探究它们在几何学中的应用。
一、相似图形相似图形是指形状相同但尺寸不同的图形。
比如，两个三角形的内角相等，边的对应比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
相似图形之间存在以下性质：1. 边长比例：相似图形的对应边之间的长度比例相等。
即若两个图形相似，则其对应边的比例关系为 a/b = c/d。
2. 角度相等：相似图形的对应角度相等。
这是相似性的重要特征。
3. 面积比例：相似图形的面积比等于对应边长比的平方。
即若两个相似图形的对应边长比为 a/b，那么它们的面积比为 (a/b)^2。
相似图形的应用非常广泛，例如在地图制作、模型缩放等领域。
我们可以通过相似性来计算未知图形的尺寸，并且在设计中保持比例关系。
二、全等图形全等图形是指图形形状和尺寸完全相同的图形。
如果两个图形全等，意味着它们的每个角度和边长都完全相等。
全等图形之间存在以下性质：1. 边长相等：全等图形的对应边长相等。
2. 角度相等：全等图形的对应角度相等。
3. 周长和面积相等：全等图形的周长和面积完全相等。
全等图形常常用于证明几何定理和计算几何问题。
在三角形学中，全等三角形可以通过所给的条件进行判定，从而推导出其他相关结果。
三、图形的相似与全等在实际中的应用图形的相似与全等在实际中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：建筑设计师使用相似和全等图形来确保建筑物各个部分之间的比例恰当，并保持整体的协调性。
2. 地图制作：地图制作时，为了在有限的空间内显示大片的地理信息，会使用相似图形进行缩放，以保持地图的准确性。
3. 工程测量：在工程测量中，相似性被广泛应用于测量模型或实际场景中的各个部分，从而推导出其他未知尺寸。
4. 三角测量：通过测量相似或全等三角形的边长，我们可以计算出无法直接测量的高度或距离。
总结：图形的相似与全等是几何学中重要的概念，它们帮助我们理解和描述图形之间的关系。
利用全等三角形解决实际问题
巧用全等解决实际问题同学们在学完全等三角形后，就可以利用全等三角形的知识来解决日常生活中遇到的实际问题了，从而体会数学与实际生活的紧密联系，学会用数学知识解决问题，能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．下面分类介绍其应用．一、说理题例1 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图1，∠AOB 是一个任意角，在OA 、OB 边上分别取OD=OE ，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与D 、E 重合，这时过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线，你能说明其中的道理吗？ 分析：解决这类问题时，关键是要仔细阅读题目， 根据题意，抓住相等的量，先证明三角形全等，在证明三角形全等时，一定要利用好条件， 不能任意造条件和结论． 解：根据题意得OE=OD ，PE=PD ，在△POB 和△POD 中，OD OE OP PO PE PD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△POE ≌△POD （SSS ），∴∠AOP=∠BOP ，∴射线OP 就是∠AOB 的平分线．二、操作题例2．如图2，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C 点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A 点，然后他姿态不变原地转了1800，正好看见他所在岸上的一块石头B 点，他度量了BC=30米，你能猜出河有多宽吗？解：河宽30米，理由如下：∵小明姿态不变原地转了1800，∴∠ACD=∠BCD=900，∵帽檐的位置没动，∴帽檐与小明自身的角度不变， 即∠ADC=∠BDC ，在△ACD 和△BCD 中，ACD BCD CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACD ≌△BCD ，∴AC=BC=30m ．评析：这个题目关键是设计三角形全等，这一过程正好得到两个△ACD 和△BCD ，且有∠ACD=∠BCD=900，∠ADC=∠BDC （因为小明的视线角度没变），易证△ACD ≌△BCD ， ∴AC=BC=30m ．三、判断题例3．某校二（4）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A 、B 的距离，设计了如下方案：（1）如图3（1）先在平地取一个可以直接到达A 、B 的点C ，可连结AC 、BC ，并延长AC 到D 、BC 到E ，使DC=AC ，EC=BC ，最后测出DE 的距离即为AB 之长．（2）如图3（2）先过B 点作AB 的垂线BF ，再在BF 上取C 、D 两点，使BC=CD ，接着过点D 作BD 的垂线DE ，交AC 的延长线于E ，B ACD D图2 图1 OA B P D E测出DE 的长即为A 、B 的距离，阅读后回答下列问题：（1）方案（1）是否可行？ ，理由是（2）方案（2）是否切实可行？ ，理由是 （3）方案（2）中作BF ⊥AB ，ED ⊥BF 的目的是 ；若仅满足∠ABD=∠BDE ≠900， 方案（2）是否成立？ ．解：（1）可行，边角边；（2）可行，角边角；（3）使∠ABC=∠EDC ，仍成立评析：本题让我们了解测量两点之间的距离的设计方案不只一种，只要符合三角形全等的条件，方案的操作性很强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．练一练：1．如图7，公园里有一条“Z ”字型道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在AB 、BC 、CD 三段路旁各有一只石凳 E 、M 、F 恰为BC 的中点，且E 、F 、M 在同一条直线上，在BE 道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B 、E 之间的距离，你能想出解决的办法吗？试说明其中的道理．图3（1） 图3（2） A B C D ·M ·E·F 图7。
生活中全等图形的例子
生活中全等图形的例子
现代生活中，全等图形无处不在，存在于我们手中的各种电子产品、家里的家具以及外面的建筑等等，它们扮演着极其重要的角色，他们在空间变换中为我们提供了许多方便。
全等图形的最常见的例子就是三角形。
三角形的一个基本性质就是它的三边长度相等，在实际应用中有广泛的用途，比如家具的拼接，两个三角形的相接点处刚好可以形成一个应用的连接，并且更加牢固。
另外，三角形也常见于建筑设计中，它们可以用来组成一些会牢固耐用的框架，比如以三角形为主要结构的建筑屋顶，尽管用三角形建一个完整的房屋可能比较困难，但是在建筑物的架子构造上三角形仍然是一种常用的结构。
除了三角形，正方形也是一种全等图形，它的每条边都具有相同的长度和宽度，在我们的日常生活中，正方形也经常被用来建构一些实用性很强的物件，比如桌子和椅子，他们能提供足够的空间使我们能够使用，而且正方形由于每条边相等，可以更容易的拼接。
此外，圆形也是一种全等图形，它最常用于建筑设计，比如用圆形建造的大厅等等，它可以提供舒适的使用空间，而且由于圆形的特殊性，可以更容易的进行结构的设计，工程师也可以更加精准的进行计算。
而在电子产品中也广泛存在着各种圆形外形的零件，比如智能手机里的按键，他们圆润柔和的曲线能够更舒适的被人摸抚，使得产品体验更高级。
总之，全等图形在我们的日常生活中有着非常广泛的应用，它们
既可以为建筑结构带来更多的新的可能，又可以使用在电子产品的设计中，这些图形的共同特点就是他们的每条边都具有相同的长度，它们能为我们的生活提供无限的可能性。
全等三角形在生活中的应用
‘ ：AB} }CD．
．‘．[ B=￡C．
C
，
D
图l
又。? BE=CF，BM=CM，
{
面汹}2歹
．·．△BME錾△CMF ?。厶EMB=厶FMC． 7．厶EMF=厶EMB七厶BMF=厶FMC+厶BMF=厶BMC=1 800，
故三条石凳E、F、M恰好在同一条直线上． 二、说理型 例2小丽同学的三角形红领巾如图2所示，不小心撕下了一 个角，小丽想找一块同色 的布料缝补，想出了以下
离的方法，并说明其中的道理． 分析：本题是一道开放性试题，答案不唯
一．如图5，解题的关键是构造出△ABC錾
△ 肋 C， 利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 得 肋 =AB， 从
澎
而得出被测距离．解决方案设计型问题通常要 先画出草图．
解： 如图5，在 AB的 垂线卯 上取两 点c 、D，使 cD=曰C，作BF的垂
的 中 点 上 ． 试 判 断 三 条 石 凳 E、 肘 、 胎 好 在 同 一 条 直 线 上 吗 ?请 说 明
理由．
分析：要判断三条石凳E、膨、别是 A
E
B
否 在 同 一 条 直 线 上 ， 只 要 判 断 ￡ E胛
=180。是否成立．
解：三条石凳E、，、M恰好在同一
条直线上．理由如下：
连 结 觚 、 MF
线DE，使A、c、E在同一条直线上，根据“A鼢”可以证明△ABc兰
△ 肋 C， 从 而 得 肋 =A曰 ． 因 此 ， 测 得 册 的 长 就 是 A、 B
两点之间的距离．
评点：在测量某些不 能直接到达的两点之间
的距离时，常常通过作出 新的图形，将它从一个位置转化到另一个能够测出的与之相等的
全等三角形在实际生活中的应用
教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。
全等三角形在实际生活中的应用三角形全等在解决实际问题中有广泛的应用，如测量无法直接测量的距离时，可根据三角形全等进行转化.有许多图形分割问题，也蕴含着全等思想.一、测量中的全等三角形例1．图1为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A 、B 两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用,,,c b a …表示；角度用,,,γβα…表示)；(3)根据你测量的数据,计算A 、B 两棵树间的距离.分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图2，步骤为：（1）在地上找可以直接到达的一点O ，（2）在OA 的延长线上取一点C ，使OC=OA ；在BO 的延长线上取一点D ，使OD=OB ；（3）测得DC=a ，则AB=a ． 点评：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望．例2．如图3所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况B ACD O 图2 Ａ •• • Ｂ下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距离。
实际生活中的全等三角形
因为 粤阅彝月悦袁耘云彝月悦袁所以 粤阅椅耘云袁
所以蚁猿越蚁缘袁所以蚁猿越蚁源袁
又因为 云阅彝粤 阅袁云酝彝粤 悦袁所以 阅云越云酝援 三尧与其他知识的综合运用
例 猿 如图 缘 所示袁 在吟粤 月悦 中袁蚁月越怨园毅袁粤月越
苑袁月悦越圆源袁粤 悦越圆缘援吟粤月悦 内是否有一点 孕 到各边的
距离相等钥 如果有袁请作出这一点袁并说明理由袁同时
析尧解决问题援 一尧用于产品检验 例 员 如图 员袁 工人师傅要检查人字梁的蚁月 和
蚁悦 是否相等袁但他没有量角器袁只有一把刻度尺袁他 是这样操作的院 淤分别在 月粤 和 悦粤 上取 月耘袁悦郧袁使 月耘越悦郧曰于在 月悦 上取 月阅越悦云曰盂量出 阅耘 的长 a 米袁 云郧 的长 b 米援若 a=b袁则说明蚁月越蚁悦援他的这种做法 合理吗钥 为什么钥
三尧用于测量距离 例 猿 如图 猿袁小红和小亮两家分别位于 粤尧月 两 处隔河相望袁要测得两家之间的距离袁请你设计出测 量方案援 分析院本题的测量方案实际上是利用三角形全等 的知识构造两个全等三角形袁使一个三角形在河岸的 同一边袁通过测量这个三角形中与 粤 月 相等的线段的 长袁就可求出两家的距离援
实际生活中的全等三角形
山东 于化平
本期导读
《全等三角形》一章复习.
学习了三角形全等的有关知识后袁同学们会发现 它可以解决许多生活中的实际问题袁并且有利于考查
同学们识别图形尧动手操作的能力袁更注重考查大家
抽象尧转化的思维能力以及运用几何知识解决实际问 题的能力援因此袁同学们在学习过程中应该注意观察
自己身边的实际问题袁 善于用数学的头脑去发现尧分
不用补充揖铱月援员圆mn悦援圆mn阅援员猿mn悦图远月圆耘员粤阅图缘悦月阅怨援如图远袁蚁员越蚁圆袁蚁悦越蚁阅袁粤悦尧月阅相交于点耘袁则下列结论中正确的个数有淤蚁阅粤耘越蚁悦月耘曰于吟粤阅耘艺吟月悦耘曰盂悦耘越阅耘曰榆吟耘粤月为等腰三角形援粤援员个员园援如图苑袁在吟粤月悦与吟阅耘云中袁给出下列六个结论院淤粤月越阅耘曰于月悦越耘云曰盂粤悦越阅云曰榆蚁粤越蚁阅曰虞蚁月越蚁耘曰愚蚁悦越蚁云援以其中三个条件作为已知袁不能得到吟粤月悦与吟阅耘云全等的是粤援淤于虞悦援淤榆愚粤揖铱月援圆个悦援猿个阅援源个揖铱月援淤于盂阅援于盂榆图苑悦月云耘阅c图愿ba云耘阅二尧耐心填一填渊每小题猿分袁共圆源分冤员员援如图愿袁吟粤月悦艺吟阅耘云袁粤与阅袁月与耘分别是对应顶点袁蚁月越猿圆毅袁蚁粤越远愿毅袁粤月越员猿cm袁则蚁云越赃赃赃赃赃赃袁阅耘越赃赃赃赃赃cm援员圆援如图怨袁在吟粤月悦中袁粤阅越阅耘袁粤月越月耘袁蚁粤越愿园毅袁则蚁悦耘阅越援图怨悦耘阅月粤图员园悦阅月云耘粤员猿援如图员园袁阅耘彝粤月袁阅云彝粤悦袁粤耘越粤云袁请找出一对全等的三角形院赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援员源援如图员员袁吟粤月悦是三边均不相等的三角形袁阅耘越月悦袁以阅尧耘为两个顶点画位置不同的三角形袁使所作的三角形与吟粤月悦全等袁这样的三角形最多可以画出赃赃赃赃赃个援粤悦月图员员耘阅图员圆悦阅月粤悦忆阅忆月忆粤忆员缘援如图员圆所示袁粤阅袁粤忆阅忆分别是锐角吟粤月悦和锐角吟粤忆月忆悦忆中月悦袁月忆悦忆边上的高袁且粤月越粤忆月忆袁粤阅越粤忆阅忆袁若使吟粤月悦艺吟粤忆月忆悦忆袁请你补充条件赃赃赃赃赃赃赃赃赃渊填写一个你认为适当的条件即可冤援员远援如图员猿袁已知粤悦彝月阅袁月悦越悦耘袁粤悦越阅悦袁试分析蚁月垣蚁阅越赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援粤图员猿员苑援如图员源袁已知吟粤月悦中袁蚁粤越怨园毅袁粤月越粤悦袁悦阅平分蚁粤悦月袁阅耘彝月悦于耘袁若月悦越员缘cm袁则吟阅耘月的周长为赃赃赃赃赃赃赃赃cm援员愿援在数学活动课上袁小明提出这样一个问题院如图员缘袁蚁月越蚁悦越怨园毅袁耘是月悦的中点袁阅耘平分蚁粤阅悦袁蚁悦阅耘越猿缘毅袁则蚁耘粤月是多少度钥大家一起热烈地讨论交流袁小英第一个得出正确答案袁是赃赃赃赃赃赃援三尧用心做一做渊共缘远分冤员怨援渊愿分冤如图员远袁已知粤月越粤阅袁月悦越阅悦袁粤悦尧月阅相交于点耘袁由这些条件写出源个你认为正确的结论渊不再添加辅助线袁不再标注其它字母冤援阅悦
苏科版八上数学专题 三角形全等的简单应用
三角形全等的简单应用【学习目标】1．感受三角形全等在生活中的应用；2．能够用三角形全等解决一些实际问题及运动型问题．【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA例题2如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．DB二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面ED CB A32HF 1A '地面EDC BA拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ）（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论）【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．43．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A．300m B．400m C．500m D．700m二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌OA'B'的理由是．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．6．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8厘米，如果动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在以1厘米/秒的速度线段BC 上由C 点向B 点运动，当点P 到达B 点时整个运动过程停止．设运动时间为t 秒，当AQ ⊥DP 时，t 的值为 秒．QP DCBA三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？P D B8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B 点，选对岸正对的一棵树A ； ②沿河岸直走20m 有一树C ，继续前行20m 到达D 处；③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处停止行走；④测得DE 的长为5米． 求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？OFED C BA10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． （1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由． （2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．DCBA【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA【解答】解：（1）根据题意画出图形，如图所示．ED C（2）由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，60cm＝0.6m，AC＝20×0.6＝12m，DC＝20×0.6＝12m，DE＝100×0.6＝60m，∵点E、C、B在一条直线上，∴∠DCE＝∠ACB．在△ABC 和△DEC 中，＝＝＝BAC EDC AC DCDCE ACB ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△DEC ， ∴AB ＝DE ． ∵DE ＝60m ， ∴AB ＝60m ，答：A 、B 两根电线杆之间的距离大约为60m ．例题2如图，两根长12m 的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．B【解答】解：用卷尺测量出BD 、CD ，看它们是否相等，若BD ＝CD ，则AD ⊥BC ．理由如下：∵在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）， ∴∠ADB ＝∠ADC ，又∵∠ADB +∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°， 即AD ⊥BC ．二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA【解答】解：当△ACP ≌△BPQ ， ∴AP ＝BQ ， ∵运动时间相同，∴P ，Q 的运动速度也相同， ∴x ＝2（s ）．当△ACP ≌△BQP 时， AC ＝BQ ＝4，P A ＝PB ， ∴t ＝1.5， ∴x ＝41.5＝83（s ） ∴综上所述，x 的值为2或83s ．三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CB A【解答】（1）解：∵BD 是AC 边上的中线， ∴AD ＝CD ，在△ABD 和△CED 中，＝ADB CD AD CD BD ED E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABD ≌△CED （SAS ）， ∴CE ＝AB ＝10，在△CBE 中，由三角形的三边关系得：CE －BC ＜BE ＜CE －BC ， ∴10－8＜BE ＜10+8，即2＜BE ＜18， ∴1＜BD ＜9；故答案为：SAS ；1＜BD ＜9；（2）证明：延长ND 至点F ，使FD ＝ND ，连接AF 、MF ， 同（1）得：△AFD ≌△CND （SAS ）， ∴AF ＝CN ，FD ＝ND ， ∵DM ⊥DN ，∴MDN MDF ∠=∠＝90° 在△MDN 和△MDF 中，MD MD MDN MDF DN DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDN ≌△MDF ∴MF ＝MN ，在△AFM 中，由三角形的三边关系得：AM +AF ＞MF ， ∴AM +CN ＞MNF图2N M DCBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA解：过点C 作CM ⊥OB ，CN ⊥OA ，∵CM ⊥OB ，CN ⊥OA ， ∴CNO CMO ∠=∠ ∵OC 平分∠AOB ， ∴AOC BOC ∠=∠ 在△NOC 和△MOC 中，CNO CMO NOC MOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△NOC ≌△MOC ∴CN =CM ，在Rt △ECN 和Rt △FCM 中CN CMCE CF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ECN ≌Rt △FCM ， ∴∠NCE =∠MCF ，∴∠AOB +∠ECF =∠AOB +∠NCM =180°， ∵∠AOB =60°， ∴∠ECF =120°；N M OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【解答】解：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC ， 在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD ＝EC ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ， ∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm ．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面ED CB A32HF 1A '地面EDC BA解：（1）作A 'F ⊥BD ，垂足为F ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠A 'FB ＝90°； 在Rt △A 'FB 中，∠1+∠3＝90°； 又∵A 'B ⊥AB ，∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3；在△ACB 和△BF A '中，23ACB A FB AB A B '∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪'=⎩∴△ACB ≌△BF A '（AAS ）； ∴A 'F ＝BC∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ， ∴CD ＝AE ＝1.8；∴BC ＝BD －CD ＝3－1.8＝1.2， ∴A 'F ＝1.2，即A '到BD 的距离是1.2m ． （2）由（1）知：△ACB ≌△BF A ' ∴BF ＝AC ＝2m ， 作A 'H ⊥DE ，垂足为H ． ∵A 'F ∥DE ， ∴A 'H ＝FD ，∴A 'H ＝BD －BF ＝3－2＝1，即A '到地面的距离是1m ．拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ） （2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论） 【解答】解：（1）EF ＝BE +DF ； 证明：如图1，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（2）EF ＝BE +DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ， ∵∠AOB ＝20°+90°+（90°－60°）＝140°， ∠EOF ＝70°， ∴∠EOF ＝12 ∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°－20°）+（60°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝1×（60+80）＝140（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是140海里．图2GDFECBAO图3N FECB A【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中ON OM CO CO NC MC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第2块．故选：B．3．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A ．300mB ．400mC ．500mD ．700m【解答】解：如图所示，设老街与平安路的交点为C ．∵BC ∥AD ，∴∠DAE ＝∠ACB ，又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠ABC ＝∠DEA ＝90°，在△ABC 和△DEA 中ACB DAE CBA AED AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEA （AAS ），∴EA ＝BC ＝300m ，AC ＝AD ＝500m ，∴CE ＝AC －AE ＝200m ，从B 到E 有两种走法：①BA +AE ＝700m ；②BC +CE ＝500m ，∴最近的路程是500m ．故选：C ．二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA ′、BB ′的中点O 连在一起，使AA ′、BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A 'B '的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌OA 'B '的理由是 SAS ．【解答】解：∵OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．【解答】解：在△OCF与△ODG中，OCF ODGCOF DOGOF OG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCF≌△ODG（AAS），∴CF＝DG＝40，∴小明离地面的高度是50+40＝90，故答案为：90．6．如图，在正方形ABCD中，AB＝8厘米，如果动点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由A点向B点运动，同时动点Q在以1厘米/秒的速度线段BC上由C点向B点运动，当点P到达B点时整个运动过程停止．设运动时间为t秒，当AQ⊥DP时，t的值为秒．Q PDCB A【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝AB ，∠B ＝∠BAD ＝90°∵AQ ⊥DP∴∠QAD +∠ADP ＝90°，且∠DAQ +∠BAQ ＝90°∴∠BAQ ＝∠ADP ，在△ABQ 和△DAP 中＝＝BAQ ADP AB AD B BAD ⎧∠∠=∠∠⎪⎨⎪⎩∴△ABQ ≌△DAP （ASA ）∴AP ＝CQ∴2t ＝8－t∴t ＝83故答案为：83三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？PD B【解答】解：∵∠CPD＝38°，∠APB＝52°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝52°，在△CPD和△P AB中∵CDP ABPDC PBDCP APB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CPD≌△P AB（ASA），∴DP＝AB，∵DB＝33，PB＝8，∴AB＝33－8＝25（m），答：楼高AB是25米．8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．【解答】（1）解：河的宽度是5m ；（2）证明：由作法知，BC ＝DC ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴AB ＝ED ，即他们的做法是正确的．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？O F E D CBA解：∵O 是CF 的中点，∴CO ＝FO （中点的定义）在△COB 和△FOE 中＝COB EO CO FO EO BO F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩，∴△COB ≌△FOE （SAS ）∴BC ＝EF （对应边相等）∠BCO ＝∠F （对应角相等）∴AB ∥DF （内错角相等，两直线平行）∴∠ACE 和∠DEC 互补（两直线平行，同旁内角互补），10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．D CBA解：（1）相等．理由：连接AC ，在△ACD 和△ACB 中，∵AC AC AD AB CD BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ACB （SSS ），∴∠B ＝∠D ；D CBA（2）设AD ＝x ，BC ＝y ， 由题意点C 在点D 右侧，可得25(2)530x y x y +=+⎧⎨+++=⎩， 解得1310x y =⎧⎨=⎩；∴AD ＝13cm ，BC ＝10cm ．。
中考数学复习：专题4-9 全等三角形在生活中的应用
专题09 全等三角形在生活中的应用【专题综述】学习了三角形全等的有关知识后，同学们会发现它可以解决许多生活中的实际问题，并且有利于考查同学们识别图形、动手操作的能力，更注重考查大家抽象、转化的思维能力以及运用几何知识解决实际问题的能力。
因此，同学们在学习过程中应该注意观察身边的实际问题，善于用数学的头脑去发现、分析、解决问题。
【方法解读】一、用于产品检验例1 如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的长a米，FG的长b米．如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【举一反三】如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)【来源】北师大版七年级数学下4.5 利用三角形全等测距离同步练习二、用于图形复原例2 如图是举世闻名的三星堆考古中挖掘出的一个三角形残缺玉片，工作人员想制作该玉片模型，则测量图中哪些数据，就可制成符合规格的三角形玉片模型？并说明其中的道理.【举一反三】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块【来源】2014-2015学年江苏省南苑中学八年级上学期第一次单元考试数学试卷（带解析）三、用于测量距离例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．图3【举一反三】小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【来源】北师大版七年级数学下册习题:4.5《利用三角形全等测距离》（详细答案）【强化训练】1.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（）A. SSSB. ASAC. AASD. SAS【来源】北师大版数学七年级下册第四章4.5利用全等三角形全等测距离课时练习2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离。
全等三角形在生活中的应用
因为 ＬＢ ＝ＬＤ，Ｂ Ｄ， ＡＣ ＝ＬＥ Ｄ， Ｃ ＝Ｃ Ｌ Ｂ Ｃ
所 以 △ Ｃ ＡＥ Ｄ Ｃ ． 所 以 Ａ ＝Ｄ ． Ｂ Ｅ ．
（） １按题 中要求画 图；
（ ） 明 加 ＝ ２说 Ｂ的理 由， 试着 把说 明 并 的过程写 出来．
例 ６ 如 图 ６ 点 Ｃ是路段 Ａ ， Ｂ的 中点 ． 两 人从点 ｃ同时 出发 ． 以相 同的速度分别 沿两条 直线 行走 ， 同时 到达点 、 Ｅ两处 ， Ａ上 并 点 Ｄ Ａ Ｅ Ｌ ， Ｄ、 Ｅ到路 段 Ａ Ｂ， Ｂ＿ ＡＢ 点 点 Ｂ的距 离 相
例 ３ 如图 ３ ．要测 量池塘边上两点 Ｐ Ｑ 、
分析 ： 要说 明 Ｂ Ｃ处 于水平位 置 ． Ｂ － 即 Ｃｊ
Ｄ 根 据垂 直 的定 义 并结 合 图形 ， Ａ， 只要证 明
Ａ Ｂ： Ａ Ｃ＝ ９ 。 可 ． 即 要 证 明 之间 的距离 ， Ｄ Ｄ ０ 即 也 小王在 的垂 线上取两点 Ａ、 ， Ｂ
等吗？为什 么？
图４
解 析 ：１如 图 ４ （） ． （） ２ 因为在 Ａ Ｂ Ａ Ｃ和ＡＤ Ｃ中， Ｅ
ｆＡ＝ Ｃ Ｃ Ｄ， 图６
’
｛Ａ ＝ Ｄ 。 【 Ｃ ＬＣ Ｂ Ｅ Ｃ Ｂ
＝Ｃ Ｅ．
分析 ：因为两人 以相 同的速度 从点 ｃ同
时 出发 ， 同 时 到达 点 Ｄ、 Ｅ， 以 Ｃ 且 点 所 Ｄ＝
Ｄ Ｅ垂 直 ） 只要调 整 架身使 点 Ａ 恰在 重锤 线 ，
Ｄ Ｅ上就行 ． 这是什么原 因？
Ｃ
图 ２
解析 ： 若想 配一块 和原来三角形全等 的三 角形 玻璃 ， 据三 角形全 等的条件 ， 根 图中的 图
图１
全等三角形在实际生活中的应用
全等三角形在实际生活中的应用三角形全等在解决实际问题中有广泛的应用，如测量无法直接测量的距离时，可根据三角形全等进行转化.有许多图形分割问题，也蕴含着全等思想.一、测量中的全等三角形例1．图1为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A 、B 两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用,,,c b a …表示；角度用,,,γβα…表示)；(3)根据你测量的数据,计算A 、B 两棵树间的距离.分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图2，步骤为：（1）在地上找可以直接到达的一点O ，（2）在OA 的延长线上取一点C ，使OC=OA ；在BO 的延长线上取一点D ，使OD=OB ；（3）测得DC=a ，则AB=a ． 点评：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望．例2．如图3所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距 B A C D O 图2 Ａ • • • Ｂ图1 图3离。
你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了三角形全等的知识 . 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形。
如图4所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD 的长度可以测得，又战士与地面是垂直的，也就是∠BAC ＝∠EFD ＝900，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC ＝EF ，∠ABC ＝∠FED . 依据“SAS”可知△ABC ≌△DEF ，所以AC ＝FD . 所以只要测得FD的距离，就可得到AC 的距离 .二、修路中的全等三角形例3．如图5，有一块不规则土地ABCD ，分别被甲、乙二人承包，一条公路GEFH 穿过这块土地，EF 左边是甲，右边是乙，AB ∥CD.为方便通行，决定将这条公路尽量修直，但要求甲、乙二人的土地面积不变.请你设计一种方案，解决这个问题，并说明方案正确的理由.分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、乙二人的土地面积不变.这里，我们应注意充分利用AB ∥CD 这一条件来构造全等三角形.解：取EF 的中点O ，连接GO 并延长交FH 于点M ，GM 就是修直后的公路.理由是：设GM 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，由AB ∥CD ，可得∠PEO ＝∠QFO ，又因为EO ＝FO ，∠EOP ＝∠FOQ ，故△EOP ≌△FOQ ，所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变.三、其他问题中的全等三角形例4．如图6，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，请你设计一个最省事的配玻璃方案，并说明理由.解：最省事的配玻璃方案是带着碎玻璃块③去玻璃店.理由是：玻璃块③含有一条完整的边BC 和夹BC 的两个图 5图4图6完整的角，根据ASA，只需将∠B和∠C的不完整的边延长相交即可，得到的三角形与原三角形全等.例5．如图7，点C是路段AB的中点，两人从C同时出发以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是从点C同时出发，且同时到达D，E两点，所以CD=CE.要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC是否全等.解：D，E与路段AB的距离相等.理由：因为点C是AB的中点，所以CA=CB，又CD=CE，DA⊥AB，EB⊥AB，所以Rt△ADC≌Rt△BEC（Hl）.所以DA=EB.即D，E与路段AB的距离相等.例6．如图8是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？分析：因为电线杆和地面垂直，它和两根拉线分别构成两个直角三角形，所以通过全等三角形的知识解决.解:BD和DC相等.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°,又AB=AC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).所以BD=DC.例7．如图9，海岛上有A，B两个观测点，点B在点A 的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B 图7图8图9的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D 的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？分析：本题是一道和三角形全等有关的实际问题，要看海岛C、D到海岸AB的距离是否相等，则要看△ABC与△BAD是否全等.解：海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.理由：由已知得∠CAB=∠DBA=90°，又∠CAD=∠CBD，所以∠DAB=∠CBA，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∠CBA=∠DAB，所以△ABC≌△BAD（ASA），所以CA=DB，即海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.。
生活中全等图形的例子
生活中全等图形的例子
平凡生活中，全等图形与我们息息相关，它们以各种形式存在于我们的身边。
在生活中，全等图形是一类常见的图形。
它指的是两个图形形状相同，且大小也一样的图形。
常见的全等图形包括：
一、正方形
正方形是一种全等图形，四边长度都相等，可以用来做方盒，也可以用作空间中的装饰品，如花瓶，桌子，椅子等等。
正方形是一种简单而时尚的图形，也是建筑中经常使用的元素。
二、长方形
长方形是一种长宽比例相等的全等图形，手机屏幕、屏幕显示器、便签、窗户等都是常见的长方形。
长方形具有宽广的视觉效果，是建筑和艺术设计中比较常用的图形。
三、圆形
圆形是一种全等图形，半径相等，它象征着统一，友谊和平等。
圆形可以用来表现太阳，月亮，也可以用来设计装饰品，如观音佛等。
圆形是一种自然的形状，也是许多艺术形式的主要组成部分。
四、三角形
三角形是一种全等图形，三边相等，它象征着力量，活力和循环。
三角形本身可以用来表示三个重要的特征或概念，它同时具有神秘而又强大的精神力量。
三角形也能用来设计装饰品，如吊坠，耳饰等等。
五、心形
心形是一种全等图形，它通常代表着爱，温暖和友谊。
心形可以用来装饰床上的披肩，枕套，也可以用来设计吊坠，耳环，项链，戒指等等。
心形一直是浪漫的象征，它象征着永恒，爱情和友谊。
总之，全等图形在生活中广泛存在，它们既在自然界演变中发挥重要作用，又被广泛应用于艺术和设计中，以表达不同的含义。
生活中的全等图形
生活中的全等图形
生活中，我们常常会遇到各种各样的图形，有的是圆形的，有的是方形的，还有的是三角形的。
而其中一种特殊的图形就是全等图形。
全等图形是指在形状和大小上完全相同的图形，它们之间的每一条边和每一个角都是相等的。
在生活中，我们也可以找到很多全等图形的例子。
首先，我们可以看到很多建筑物的设计中都使用了全等图形。
比如，一些大型的商业中心或者办公楼的外墙常常会使用全等的正方形或长方形砖块进行铺设，这样不仅美观大方，而且在施工时也更加方便快捷。
另外，一些古老的建筑物，比如古罗马的斗兽场，也使用了很多全等的圆形拱门，这些拱门不仅构成了建筑物的美观外观，而且在结构上也更加稳固耐用。
其次，我们在日常生活中也可以发现很多全等图形的例子。
比如，我们常常使用的餐桌就是一个长方形的全等图形，无论是正方形的餐桌还是长方形的餐桌，只要它的四条边和四个角都是相等的，那它就是一个全等图形。
另外，我们在购物时常常会遇到各种各样的包装盒，这些包装盒往往都是由全等的正方形或长方形纸板制成的，这样不仅方便包装和搬运，而且也能够节约材料和成本。
总的来说，生活中充满了各种各样的全等图形，它们不仅美观实用，而且在工程施工和日常生活中都发挥着重要的作用。
因此，我们应该更加关注全等图形，学会在生活中发现并欣赏它们的美妙之处。
2019苏科版八上数学专题 三角形全等的简单应用
三角形全等的简单应用【学习目标】1．感受三角形全等在生活中的应用；2．能够用三角形全等解决一些实际问题及运动型问题．【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA例题2如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．DB二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面ED CB A32HF 1A '地面EDC BA拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ）（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论）【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．43．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A．300m B．400m C．500m D．700m二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌OA'B'的理由是．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．6．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8厘米，如果动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在以1厘米/秒的速度线段BC 上由C 点向B 点运动，当点P 到达B 点时整个运动过程停止．设运动时间为t 秒，当AQ ⊥DP 时，t 的值为 秒．QP DCBA三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？P D B8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B 点，选对岸正对的一棵树A ； ②沿河岸直走20m 有一树C ，继续前行20m 到达D 处；③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处停止行走；④测得DE 的长为5米． 求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？OFED C BA10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． （1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由． （2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．DCBA【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA【解答】解：（1）根据题意画出图形，如图所示．ED C（2）由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，60cm＝0.6m，AC＝20×0.6＝12m，DC＝20×0.6＝12m，DE＝100×0.6＝60m，∵点E、C、B在一条直线上，∴∠DCE＝∠ACB．在△ABC 和△DEC 中，＝＝＝BAC EDC AC DCDCE ACB ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△DEC ， ∴AB ＝DE ． ∵DE ＝60m ， ∴AB ＝60m ，答：A 、B 两根电线杆之间的距离大约为60m ．例题2如图，两根长12m 的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．B【解答】解：用卷尺测量出BD 、CD ，看它们是否相等，若BD ＝CD ，则AD ⊥BC ．理由如下：∵在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）， ∴∠ADB ＝∠ADC ，又∵∠ADB +∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°， 即AD ⊥BC ．二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA【解答】解：当△ACP ≌△BPQ ， ∴AP ＝BQ ， ∵运动时间相同，∴P ，Q 的运动速度也相同， ∴x ＝2（s ）．当△ACP ≌△BQP 时， AC ＝BQ ＝4，P A ＝PB ， ∴t ＝1.5， ∴x ＝41.5＝83（s ） ∴综上所述，x 的值为2或83s ．三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CB A【解答】（1）解：∵BD 是AC 边上的中线， ∴AD ＝CD ，在△ABD 和△CED 中，＝ADB CD AD CD BD ED E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABD ≌△CED （SAS ）， ∴CE ＝AB ＝10，在△CBE 中，由三角形的三边关系得：CE －BC ＜BE ＜CE －BC ， ∴10－8＜BE ＜10+8，即2＜BE ＜18， ∴1＜BD ＜9；故答案为：SAS ；1＜BD ＜9；（2）证明：延长ND 至点F ，使FD ＝ND ，连接AF 、MF ， 同（1）得：△AFD ≌△CND （SAS ）， ∴AF ＝CN ，FD ＝ND ， ∵DM ⊥DN ，∴MDN MDF ∠=∠＝90° 在△MDN 和△MDF 中，MD MD MDN MDF DN DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDN ≌△MDF ∴MF ＝MN ，在△AFM 中，由三角形的三边关系得：AM +AF ＞MF ， ∴AM +CN ＞MNF图2N M DCBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA解：过点C 作CM ⊥OB ，CN ⊥OA ，∵CM ⊥OB ，CN ⊥OA ， ∴CNO CMO ∠=∠ ∵OC 平分∠AOB ， ∴AOC BOC ∠=∠ 在△NOC 和△MOC 中，CNO CMO NOC MOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△NOC ≌△MOC ∴CN =CM ，在Rt △ECN 和Rt △FCM 中CN CMCE CF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ECN ≌Rt △FCM ， ∴∠NCE =∠MCF ，∴∠AOB +∠ECF =∠AOB +∠NCM =180°， ∵∠AOB =60°， ∴∠ECF =120°；N M OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【解答】解：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC ， 在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD ＝EC ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ， ∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm ．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面EDCB A32HF 1A '地面EDC BA解：（1）作A 'F ⊥BD ，垂足为F ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠A 'FB ＝90°； 在Rt △A 'FB 中，∠1+∠3＝90°； 又∵A 'B ⊥AB ，∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3；在△ACB 和△BF A '中，23ACB A FB AB A B '∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪'=⎩∴△ACB ≌△BF A '（AAS ）； ∴A 'F ＝BC∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ， ∴CD ＝AE ＝1.8；∴BC ＝BD －CD ＝3－1.8＝1.2， ∴A 'F ＝1.2，即A '到BD 的距离是1.2m ． （2）由（1）知：△ACB ≌△BF A ' ∴BF ＝AC ＝2m ， 作A 'H ⊥DE ，垂足为H ． ∵A 'F ∥DE ， ∴A 'H ＝FD ，∴A 'H ＝BD －BF ＝3－2＝1，即A '到地面的距离是1m ．拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ） （2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论） 【解答】解：（1）EF ＝BE +DF ； 证明：如图1，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（2）EF ＝BE +DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ， ∵∠AOB ＝20°+90°+（90°－60°）＝140°， ∠EOF ＝70°， ∴∠EOF ＝12 ∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°－20°）+（60°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝1×（60+80）＝140（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是140海里．图2GDFECBAO图3N FECB A【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中ON OM CO CO NC MC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第2块．故选：B．3．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A ．300mB ．400mC ．500mD ．700m【解答】解：如图所示，设老街与平安路的交点为C ．∵BC ∥AD ，∴∠DAE ＝∠ACB ，又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠ABC ＝∠DEA ＝90°，在△ABC 和△DEA 中ACB DAE CBA AED AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEA （AAS ），∴EA ＝BC ＝300m ，AC ＝AD ＝500m ，∴CE ＝AC －AE ＝200m ，从B 到E 有两种走法：①BA +AE ＝700m ；②BC +CE ＝500m ，∴最近的路程是500m ．故选：C ．二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA ′、BB ′的中点O 连在一起，使AA ′、BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A 'B '的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌OA 'B '的理由是 SAS ．【解答】解：∵OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．【解答】解：在△OCF与△ODG中，OCF ODGCOF DOGOF OG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCF≌△ODG（AAS），∴CF＝DG＝40，∴小明离地面的高度是50+40＝90，故答案为：90．6．如图，在正方形ABCD中，AB＝8厘米，如果动点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由A点向B点运动，同时动点Q在以1厘米/秒的速度线段BC上由C点向B点运动，当点P到达B点时整个运动过程停止．设运动时间为t秒，当AQ⊥DP时，t的值为秒．Q PDCB A【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝AB ，∠B ＝∠BAD ＝90°∵AQ ⊥DP∴∠QAD +∠ADP ＝90°，且∠DAQ +∠BAQ ＝90°∴∠BAQ ＝∠ADP ，在△ABQ 和△DAP 中＝＝BAQ ADP AB AD B BAD ⎧∠∠=∠∠⎪⎨⎪⎩∴△ABQ ≌△DAP （ASA ）∴AP ＝CQ∴2t ＝8－t∴t ＝83故答案为：83三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？PD B【解答】解：∵∠CPD＝38°，∠APB＝52°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝52°，在△CPD和△P AB中∵CDP ABPDC PBDCP APB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CPD≌△P AB（ASA），∴DP＝AB，∵DB＝33，PB＝8，∴AB＝33－8＝25（m），答：楼高AB是25米．8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．【解答】（1）解：河的宽度是5m ；（2）证明：由作法知，BC ＝DC ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴AB ＝ED ，即他们的做法是正确的．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？O F E D CBA解：∵O 是CF 的中点，∴CO ＝FO （中点的定义）在△COB 和△FOE 中＝COB EO CO FO EO BO F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩，∴△COB ≌△FOE （SAS ）∴BC ＝EF （对应边相等）∠BCO ＝∠F （对应角相等）∴AB ∥DF （内错角相等，两直线平行）∴∠ACE 和∠DEC 互补（两直线平行，同旁内角互补），10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．D CBA解：（1）相等．理由：连接AC ，在△ACD 和△ACB 中，∵AC AC AD AB CD BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ACB （SSS ），∴∠B ＝∠D ；D CBA（2）设AD ＝x ，BC ＝y ， 由题意点C 在点D 右侧，可得25(2)530x y x y +=+⎧⎨+++=⎩， 解得1310x y =⎧⎨=⎩；∴AD ＝13cm ，BC ＝10cm ．。
圆环旋转全等常见模型
圆环旋转全等常见模型
圆环旋转全等模型是几何学中一种常见的模型，通过旋转一个
图形形成的图形与原图形全等。
这种模型有很多应用，因此在研究
几何学时非常重要。
原理
圆环旋转全等模型的原理是通过将一个图形绕一个轴线旋转一
定角度，从而得到与原图形全等的新图形。
轴线通常是与原图形对
称的直线、平面或曲线。
这种模型的关键在于旋转角度的选择。
如果旋转角度选择得当，旋转后的图形就与原图形完全重合。
应用
圆环旋转全等模型在多个领域中有广泛的应用。
以下是一些常
见的应用示例：
1. 造型设计：在艺术和设计领域，我们经常使用圆环旋转全等模型来创建独特的造型和图案。
2. 工程建模：在工程建模中，通过应用圆环旋转全等模型，可以轻松创建复杂的结构和零件。
3. 动画制作：在动画制作中，通过使用圆环旋转全等模型，可以实现动画角色的变形和动作。
4. 数学教学：圆环旋转全等模型在数学教学中扮演重要角色，帮助学生理解几何形状和全等性质。
实例
以下是一些常见的圆环旋转全等模型实例：
1. 圆柱体：通过将一个矩形绕其一条边作为轴线旋转360度，得到一个圆柱体。
2. 圆锥体：通过将一个直角三角形绕其直角边作为轴线旋转360度，得到一个圆锥体。
3. 圆环：通过将一个圆沿着其直径作为轴线旋转360度，得到一个圆环。
4. 球体：通过将一个半径不变的圆绕其直径作为轴线旋转360度，得到一个球体。
结论
圆环旋转全等常见模型是一种重要的几何学模型，具有广泛的应用。
通过理解其原理和实例，我们可以更好地应用它们于各个领域。
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全等图形在生活中的应用
作者：葛媛
来源：《初中生世界·八年级》2015年第10期
现实生活中，存在着许许多多丰富多彩的全等图形，特别是学会了全等三角形判定方法以后，我们就可以利用它们来迅速合理地解决很多生活中与全等三角形有关的实际问题.
例1 如图1，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）.
A. 带①去
B. 带②去
C. 带③去
D. 带①和②去
【讲解】这里所说的最省事的办法当然是指在破碎的三块玻璃中，能只带其中一块或两块去配就行.通过对三块玻璃①②③的观察，根据三角形全等的判定定理“ASA”，可知③中含有原三角形玻璃的两个角和夹边，这样就可确定三角形的形状.因此，只需带③去配就行，即应选C.
例2 你一定玩过跷跷板吧！如图2是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直.当一方着地时，另一方上升到最高点.问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′有何数量关系？为什么？
【讲解】经分析，发现本题存在明显的三角形全等，于是：AA′=BB′，理由如下：
∵O是AB′，A′B的中点.
∴OA=OB′，OA′=OB.
又∠A′OA=∠B′OB，
∴△A′OA≌△B′OB.
∴AA′=BB′.
例3 如图3-1，是一个正方形的窗户，在装修房屋时，为了把它设计成美观大方的图案，设计师要求在正方形中设计若干个全等的三角形，使其面积和等于正方形的面积，请你按要求在正方形中画出你的设计图形.
【讲解】此问题答案不唯一，设计方案多种多样，给解答者留有充分的思考余地和创新空间，下面根据全等三角形性质给出几种设计图形供参考（如图3-2、图3-3、图3-4所示）.
由上面可知，三角形全等是人们解决数学问题的一种最常用、最基本的方法，学习这部分内容时，在透彻理解概念，熟练掌握三角形全等的判定定理的基础上，还要学会将某些实际问题转化为数学问题的思想方法，这是解决实际问题的关键所在.
（作者单位：江苏省南通市第一初级中学）。