人教版高中数学必修2_1 2.1:曲线与方程 学案(无答案)
高中数学选修2-1精品教案1:2.1.1 曲线与方程教学设计

2.1.1曲线与方程(一)教学目标1、知识与技能:能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义,并结合具体例子对定义进行解释.可以求出简单曲线的方程,画出简单方程的曲线.2、过程与方法:把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流,获得更好的理解和方法的改进.3、情感、态度与价值观:加深对数形结合的理解.(二)教学重点与难点重点:通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系,理解曲线的方程、方程的曲线的概念.难点:对曲线与方程的概念的理解.教具准备:与教材内容相关的资料.教学设想:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣.(三)教学过程一.问题引入在必修2中我们过直线和圆,然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究,那么,与初中相比,高中研究的方法有什么不同呢?借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题?老师引导学生得出:用解析的方法,研究直线的位置关系(如平行、相交、重合),直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系……老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升:第一,对比初、高中对直线和圆的研究,我们发现,研究的问题都是相似的,但是研究的方法不同.初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题,而高中是利用方程,凭借几条简单的数的运算法则解决问题的.第二,在今后的学习中,我们会发现方程的作用很强大,利用方程我们可以研究更多的几何图形(曲线),对几何图形的认识会更加深入、更加细致.本节课,我们将继续研究一般曲线与方程的关系,进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样结合在一起的.二.思考分析在平面直角坐标系中:问题1:直线x=5上的点到y轴的距离都等于5,对吗?提示:对.问题2:到y轴的距离都等于5的点都在直线x=5上,对吗?提示:不对,还可能在直线x=-5上.问题3:到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么?提示:直线x=±5.三.抽象概括曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中,如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现.条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性);而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性).(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程,一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据,缺一不可.从逻辑知识来看:第一个条件表示f(x,y)=0是曲线C的方程的必要条件,第二个条件表示f(x,y)=0是曲线C的方程的充分条件.因此,在判断或证明f(x,y)=0为曲线C的方程时,必须注意两个条件同时成立.四.例题分析及练习[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系;(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系;(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系.[思路点拨]按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析.[精解详析](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2的解;但以方程|x|=2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此,|x|=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5,但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此,与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x +y =0;反之,以方程x +y =0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此,第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x +y =0.[感悟体会](1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件,正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可.这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则.(2)判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形.变形过程中一定要注意与原方程的等价性,否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.另外,变形的方法还有配方法、因式分解法.训练题组11.命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解”是真命题,下列命题中正确的是( )A .方程f (x ,y )=0的曲线是CB .方程f (x ,y )=0的曲线不一定是CC .f (x ,y )=0是曲线C 的方程D .以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上解析:“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解”,但“以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上,故A 、C 、D 都不正确,B 正确.答案:B2.方程4x 2-y 2+6x -3y =0表示的图形是( )A .直线2x -y =0B .直线2x +y +3=0C .直线2x -y =0或直线2x +y +3=0D .直线2x +y =0和直线2x -y +3=0解析:方程可化为(2x -y )(2x +y +3)=0,即2x -y =0或2x +y +3=0.∴表示两条直线2x -y =0或2x +y +3=0.答案:C[例2] 已知方程x 2+(y -1)2=10.(1)判断点P (1,-2),Q (2,3)是否在此方程表示的曲线上;(2)若点M (m 2,-m )在此方程表示的曲线上,求m 的值. [思路点拨] 对于(1),只需判断点P ,Q 的坐标是否满足方程即可;对于(2),就是把点M 的坐标代入方程,从而得到关于m 的方程,进而求出m 的值.[精解详析] (1)∵12+(-2-1)2=10,(2)2+(3-1)2=6≠10,∴点P (1,-2)在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上,点Q (2,3)不在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上.(2)∵点M (m 2,-m )在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上,∴x =m 2,y =-m 适合上述方程,即(m 2)2+(-m -1)2=10.解之得m =2或m =-185,∴m 的值为2或-185. [感悟体会](1)判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是否是方程的解,是否适合方程.若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合,就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或范围问题.训练题组23.已知直线l :x +y -3=0及曲线C :(x -3)2+(y -2)2=2,则点M (2,1)( )A .在直线l 上,但不在曲线C 上B .在直线l 上,也在曲线C 上C .不在直线l 上,也不在曲线C 上D .不在直线l 上,但在曲线C 上解析:将M 点的坐标代入直线l 、曲线C 的方程验证可知点M 在直线l 上,也在曲线C 上. 答案:B4.如果曲线ax 2+by 2=4过A (0,-2),B (12,3),则a =________,b =________. 解析:曲线过A (0,-2),B (12,3)两点, ∴A (0,-2),B (12,3)的坐标就是方程的解.∴⎩⎪⎨⎪⎧4b =4,14a +3b =4,∴b =1,a =4. 答案:4 15.若曲线y 2-xy +2x +k =0过点(a ,-a )(a ∈R),求k 的取值范围.解:∵曲线y 2-xy +2x +k =0过点(a ,-a ),∴a 2+a 2+2a +k =0.∴k =-2a 2-2a =-2(a +12)2+12.∴k ≤12,∴k 的取值范围是(-∞,12]. 五.课堂小结与归纳1.求曲线的方程时,若题设条件中无坐标系,则需要恰当建系,要遵循垂直性和对称性的原则,即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系,借助图形的对称性建系.一方面让尽量多的点落在坐标轴上,另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁.2.求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的,若是求轨迹,则不仅要求出方程,而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即说出图形的形状、位置等.六.当堂训练1.“点M 在曲线y 2=4x 上”是“点M 的坐标满足方程y =-2x ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件解析:∵y =-2x ≤0,而y 2=4x 中y 可正可负,∴点M 在曲线y 2=4x 上,但M 不一定在y =-2x 上.反之点M 在y =-2x 上时,一定在y 2=4x 上.答案:B2.如图,图形的方程与图中曲线对应正确的是( )解析:A 中方程x 2+y 2=1表示的是以(0,0)为圆心,1为半径的圆,故A 错;B 中方程x 2-y 2=0可化为(x -y )(x +y )=0,表示两条直线x -y =0,x +y =0,故B 错;C 中方程lg x +lg y =1可化得y =1x(x >0),此方程只表示第一象限的部分,故C 错;D 中的方程y =|x |去绝对值得y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,表示两条射线,所以D 正确. 答案:D3.已知直线l :x +y -3=0及曲线C :(x -3)2+(y -2)2=2,则点M (2,1)( )A .在直线l 上,但不在曲线C 上B .在直线l 上,也在曲线C 上C .不在直线l 上,也不在曲线C 上D .不在直线l 上,但在曲线C 上解析:选B.将M (2,1)代入直线l 和曲线C 的方程,由于2+1-3=0,(2-3)2+(1-2)2=2,所以点M 既在直线l 上又在曲线C 上,故选B.4.直线x -y =0与曲线xy =1的交点是( )A .(1,1)B .(-1,-1)C .(1,1)、(-1,-1)D .(0,0)解析:选C.由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x ,xy =1,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1y =1或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1. 5.方程x +|y -1|=0表示的曲线是( )解析:选B.方程x +|y -1|=0可化为|y -1|=-x ≥0,∴x ≤0,因此选B.6.若点P (2,-3)在曲线x 2-ky 2=1上,则实数k =________.解析:将P (2,-3)代入曲线方程得4-9k =1,∴k =13.答案:137.给出下列结论:①方程y x -2=1表示斜率为1,在y 轴上的截距为-2的直线; ②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y =2;③方程(x 2-4)2+(y 2-4)2=0表示四个点.其中正确的结论的序号是__________.解析:①不正确.方程等价于y =x -2(x ≠2),∴原方程表示斜率为1,在y 轴上的截距为-2的直线,但除去点(2,0);到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y -0|=2,即y =2或y =-2,故②不正确;对于③,原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-4=0y 2-4=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =±2y =±2,∴方程表示四个点,所以③正确.答案:③8.已知曲线C 的方程为x =4-y 2,说明曲线C 是什么样的曲线,并求该曲线与y 轴围成的图形的面积.解:由x =4-y 2,得x 2+y 2=4.又x ≥0,∴方程x = 4-y 2表示的曲线是以原点为圆心,2为半径的右半圆,从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆,其面积S =12π·4=2π,所以所求图形的面积为2π.。
高中数学选修2-1精品教案7:2.1.1 曲线与方程教学设计

2.1.1曲线与方程一、教学目标:1.了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系,感受数形结合的基本思想;2.根据曲线方程的概念解决一些简单问题.二、教学重点,难点:教学重点:曲线方程的概念 ;教学难点:曲线方程概念的理解.三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一).问题情境1.情境: 在学习圆的方程时,有这样的叙述:“以(,)C a b 为圆心,r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”.2.问题: 怎样理解这个表述?(二).学生活动在学习圆的方程时,有这样的叙述:“以(,)C a b 为圆心,r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”.这句话的含义是,圆C 上的点的坐标(,)x y 都是方程222()()x a y b r -+-=的解,且以方程222()()x a y b r -+-=的解为坐标的点都在圆C 上.(三).新知探究1、圆的方程及其意义2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x -y =0.这就是说,如果点M (x 0,y 0)是这条直线上的任意一点,它到两坐标轴的距离一定相等,即x 0=y 0,那么它的坐标(x 0,y 0)是方程x -y=0的解;反过来,如果(x 0,y 0)是方程x -y =0的解,即x 0=y 0,那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等,它一定在这条平分线上.3、函数y =x 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y =x 2的解为坐标的点组成的.这就是说,如果M (x 0,y 0)是抛物线上的点,那么(x 0,y 0)一定是这个方程的解;反过来,如果(x 0,y 0)是方程y =x 2的解,那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上,这样,我们就说y =x 2是这条抛物线的方程.4、在直角坐标系中,如果其曲线c 上的点与一个方程F (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线c 上的点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解;(2)以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线c 上的点那么,方程F (x ,y )=0叫做曲线c 的方程;曲线c 叫做方程F (x ,y )=0的曲线.5.从集合的角度看,曲线c 上所有点组成的集合记作A ;B 是所有以方程F (x ,y )=0的实数解为坐标的点组成的集合关系(1)指集合A 是集合B 的子集,关系(2)指集合B 是集合A 的子集.这样根据集合的性质,可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”,即:B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆)2()1( 一般地,如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上,那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程,曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线.(四).知识运用例1.判断点(2,,(3,1)是否是圆2216x y +=上.【解析】判断点是否在曲线上,就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解,即点坐标是否满足曲线方程.【答案】解:∵22241216+=+=,即点(2,的坐标是方程2216x y +=的解, 所以该点在圆上.∵22311016+=≠,即点(3,1)的坐标不是圆方程2216x y +=的解,所以该点不在这个圆上.例2.已知一座圆拱桥的跨度是36m ,圆拱高为6m ,以圆拱所对的弦AB 所在的直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系xOy (如图所示),求圆拱的方程.【答案】解:依据题意,圆拱桥所在圆的圆心在y 轴上,可设为1(0,)O b ,设圆拱所在圆的半径为r ,那么圆上任意一点(,)P x y 应满足1O P r =,即22(0)()x y b r -+-=即222(0)()x y b r -+-=∵点(18,0),(0,6)B C 的圆上,∴222222(180)(0)(00)(6)b r b r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得2430b r =-⎧⎨=⎩ 由于圆拱只是它所在的圆位于x 轴上方的一部分(包括x 轴上的点),所以,圆拱的方程是222(24)30(06)x y y ++=≤≤例3.画出方程的曲线:0log log =-x y y x . 【答案】解:由0log log =-x y y x ,得:⎪⎩⎪⎨⎧≠≠±=11lg lg y x x y ,即原方程的曲线等价于)1,0(1≠>=x x xy 或)1,0(≠>=x x x y ,(图略). 说明:(1)围绕曲线的方程和方程的曲线说明;(2)方程的变形要做到同解变形。
高中数学选修2-1 第二章 第一节《2.1曲线与方程》全套教案 - 副本

2.1曲线与方程课时分配:1.第一课曲线和方程1个课时2.第二课四种命题1个课时3.第三课四种命题间的相互关系1个课时1.1.1命题【教材分析】“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系,为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径,这正体现了解析几何这门课的基本思想,对全部解析几何教学有着深远的影响。
学生只有透彻理解了曲线和方程的意义,才算是寻得了解析几何学习的入门之径。
根据以上分析,确立教学重点是:理解曲线的方程和方程的曲线的概念;难点是:对曲线与方程对应关系的理解。
由于本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程,学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑,原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。
【教学目标】一、知识目标:1.了解曲线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系;2.初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念;3.学会根据已学知识为切入点,引起关注,引发数学思考进而分析、判断、归纳结论4.强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
二、能力目标:1.通过直线方程和圆的方程的引入,加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识;2.在形成曲线和方程的概念的教学中,学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程,探索出结论,并能有条理的阐述自己的观点;3.能用所学集合知识理解新的概念,从中体会转化化归的思想方法,提高思维品质,发展应用意识。
三、情感目标:1.以现实生活中飞逝的流星,雨后的彩虹,从古代的石拱桥到现代繁华都市的立交桥的图片激发学生学习曲线与方程的兴趣。
通过两个问题的引入,让学生感受从特殊到一般的认知规律;2.通过问题解决,培养合作交流、独立思考等良好的个性品质,以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教法分析】本节课从问题引入→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用的思考,始终让学生主动参与,亲身实践,独立思考,与合作探究相结合,在生生合作,师生互动中,使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者,不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,而且对所用到的数学方法和涉及的数学思想也得以领会,这样既可以使学生完成知识建构,又可以培养其能力。
(完整版)高中数学人教版选修2-12.1.1曲线与方程教案(系列二)
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2.1.1曲线与方程【学情分析】:学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程,熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式,能解决直线与圆的有关问题,对解析几何的研究方法与思路有一定的了解,这些对本节学习有很大帮助。
【教学目标】:知识与技能1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系,2、领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系,并能作简单的判断与推理;过程与方法1.在形成概念的过程中,培养分析、抽象和概括等思维能力,掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想,以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法;2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质,以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神【教学重点】:理解曲线与方程的有关概念与相互联系【教学难点】:定义中规定两个关系(纯粹性和完备性)【课前准备】:多媒体、实物投影仪【教学过程设计】:教学环节教学活动设计意图一.复习、引入1、问题:(1)求如图所示的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系;观察、思考,求得方程为xy通过学生已熟悉的两种曲线引入,有利于学生在已有知识基础上开展学习;提出新问题,创设情景,引发学习兴趣。
引导学生分析:(1)如果点00(,)M x y 是这条直线上的任意一点,则它到两坐标轴的距离相等,即00x y =,那么它的坐标00(,)x y 是方程x y =的解。
(2)如果00(,)x y 是方程x y =的解,即00x y =,则以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等,它一定在这条直线上。
二.复习、引入(2) 仿照(1)说明:以(,)a b 为圆心,以r 为半径的圆与方程222()()x a y b r -+-=的关系⑴ 设M(x o ,y o )是圆上任一点,则它到圆心的距离等于 半径 ,即2200()()x a y b r -+-=,即:222()()x a y b r -+-=,这就是说,(x o ,y o )是此方程的 解 ;⑵ 如果(x o ,y o )是方程222()()x a y b r -+-=的解,则可以推得2200()()x a y b r -+-=,即点M(x o ,y o )到圆心的距离等于半径 ,点M 在 圆 上。
人教版高中数学选修2-1第二章 2.1曲线与方程同步教案(基础)

学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第()次课共()次课课时:2 课时教学课题人教版选修2-1第二章 2.1曲线与方程同步教案(基础)教学目标知识目标:掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法.能力目标:通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍,培养综合运用各方面知识的能力.情感态度价值观:通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍,掌握常用动点的轨迹,为学习物理等学科打下扎实的基础.教学重点与难点重点:曲线轨迹方程难点:曲线与方程关系与联系教学过程(一)曲线的方程、方程的曲线知识梳理在直角坐标系中,如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.练习:在平面直角坐标系中,已知A(2,0),B(-2,0).问题1:平面上任一点P(x,y)到A的距离是多少?提示:|P A|=x-22+y2.问题2:平面上到A,B两点距离相等的点(x,y)满足的方程是什么?提示:x-22+y2=x+22+y2.问题3:到A,B两点距离相等的点的运动轨迹是什么?提示:轨迹是一条直线.1.求曲线的方程的步骤2.解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件,求出表示曲线的方程.(2)通过曲线的方程,研究曲线的性质.正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现.条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性);而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性).(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程,一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据,缺一不可.从逻辑知识来看:第一个条件表示f(x,y)=0是曲线C的方程的必要条件,第二个条件表示f(x,y)=0是曲线C的方程的充分条件.因此,在判断或证明f(x,y)=0为曲线C的方程时,必须注意两个条件同时成立.例题精讲[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系;(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系;(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系.巩固训练1.命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解”是真命题,下列命题中正确的是( ) A .方程f (x ,y )=0的曲线是C B .方程f (x ,y )=0的曲线不一定是C C .f (x ,y )=0是曲线C 的方程D .以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上 2.方程4x 2-y 2+6x -3y =0表示的图形是( ) A .直线2x -y =0 B .直线2x +y +3=0C .直线2x -y =0或直线2x +y +3=0D .直线2x +y =0和直线2x -y +3=0例题精讲[例2] 已知方程x 2+(y -1)2=10.(1)判断点P (1,-2),Q (2,3)是否在此方程表示的曲线上; (2)若点M (m2,-m )在此方程表示的曲线上,求m 的值.巩固训练3.已知直线l :x +y -3=0及曲线C :(x -3)2+(y -2)2=2,则点M (2,1)( ) A .在直线l 上,但不在曲线C 上 B .在直线l 上,也在曲线C 上 C .不在直线l 上,也不在曲线C 上 D .不在直线l 上,但在曲线C 上4.如果曲线ax 2+by 2=4过A (0,-2),B (12,3),则a =________,b =________.5.若曲线y 2-xy +2x +k =0过点(a ,-a )(a ∈R),求k 的取值范围.例题精讲[例3] 已知圆C :x 2+(y -3)2=9,过原点作圆C 的弦OP ,求OP 中点Q 的轨迹方程.巩固训练6.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.7.已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.【方法技巧】1.求曲线的方程时,若题设条件中无坐标系,则需要恰当建系,要遵循垂直性和对称性的原则,即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系,借助图形的对称性建系.一方面让尽量多的点落在坐标轴上,另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁.2.求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的,若是求轨迹,则不仅要求出方程,而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即说出图形的形状、位置等.课后作业【基础巩固】1.“点M 在曲线y 2=4x 上”是“点M 的坐标满足方程y =-2x ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分又不必要条件2.如图,图形的方程与图中曲线对应正确的是( )3.一动点C 在曲线x 2+y 2=1上移动时,它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ) A .(x +3)2+y 2=4 B .(x -3)2+y 2=1 C .(2x -3)2+4y 2=1D .(x +32)2+y 2=14.方程x 2+y 2-3x -2y +k =0表示的曲线经过原点的充要条件是k =________.5.已知点A (-2,0),B (3,0),动点P (x ,y )满足P A ―→·PB ―→=x 2,则点P 的轨迹方程是________. 6.求方程(x +y -1)x -y -2=0表示的曲线. 【能力提升】7.已知A (-1,0),B (2,4),△ABC 的面积为10,则动点C 的轨迹方程是( )A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=08.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.星火教育一对一辅导教案学生姓名性别女年级高二学科数学授课教师贺老师上课时间年月日第()次课共()次课课时:2 课时教学课题人教版选修2-1第二章 2.1曲线与方程(基础)同步复习教案教学目标知识目标:掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法.能力目标:通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍,培养综合运用各方面知识的能力.情感态度价值观:通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍,掌握常用动点的轨迹,为学习物理等学科打下扎实的基础.教学重点与难点重点:曲线轨迹方程难点:曲线与方程关系与联系教学过程(二)曲线的方程、方程的曲线知识梳理在直角坐标系中,如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.练习:在平面直角坐标系中,已知A(2,0),B(-2,0).问题1:平面上任一点P(x,y)到A的距离是多少?提示:|P A|=x-22+y2.问题2:平面上到A,B两点距离相等的点(x,y)满足的方程是什么?提示:x-22+y2=x+22+y2.问题3:到A,B两点距离相等的点的运动轨迹是什么?提示:轨迹是一条直线.1.求曲线的方程的步骤2.解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件,求出表示曲线的方程.(2)通过曲线的方程,研究曲线的性质.正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现.条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性);而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性).(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程,一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据,缺一不可.从逻辑知识来看:第一个条件表示f(x,y)=0是曲线C的方程的必要条件,第二个条件表示f(x,y)=0是曲线C的方程的充分条件.因此,在判断或证明f(x,y)=0为曲线C的方程时,必须注意两个条件同时成立.例题精讲[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系;(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系;(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系.巩固训练1.命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是真命题,下列命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0的曲线是CB .方程f (x ,y )=0的曲线不一定是C C .f (x ,y )=0是曲线C 的方程D .以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上 2.方程4x 2-y 2+6x -3y =0表示的图形是( ) A .直线2x -y =0 B .直线2x +y +3=0C .直线2x -y =0或直线2x +y +3=0D .直线2x +y =0和直线2x -y +3=0例题精讲[例2] 已知方程x 2+(y -1)2=10.(1)判断点P (1,-2),Q (2,3)是否在此方程表示的曲线上; (2)若点M (m2,-m )在此方程表示的曲线上,求m 的值.巩固训练3.已知直线l :x +y -3=0及曲线C :(x -3)2+(y -2)2=2,则点M (2,1)( ) A .在直线l 上,但不在曲线C 上 B .在直线l 上,也在曲线C 上 C .不在直线l 上,也不在曲线C 上 D .不在直线l 上,但在曲线C 上4.如果曲线ax 2+by 2=4过A (0,-2),B (12,3),则a =________,b =________.5.若曲线y 2-xy +2x +k =0过点(a ,-a )(a ∈R),求k 的取值范围.例题精讲[例3] 已知圆C :x 2+(y -3)2=9,过原点作圆C 的弦OP ,求OP 中点Q 的轨迹方程.巩固训练6.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.7.已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.【方法技巧】1.求曲线的方程时,若题设条件中无坐标系,则需要恰当建系,要遵循垂直性和对称性的原则,即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系,借助图形的对称性建系.一方面让尽量多的点落在坐标轴上,另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁.2.求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的,若是求轨迹,则不仅要求出方程,而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即说出图形的形状、位置等.课后作业【基础巩固】1.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2x”的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件2.如图,图形的方程与图中曲线对应正确的是( )3.一动点C 在曲线x 2+y 2=1上移动时,它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A .(x +3)2+y 2=4B .(x -3)2+y 2=1C .(2x -3)2+4y 2=1D .(x +32)2+y 2=1 4.方程x 2+y 2-3x -2y +k =0表示的曲线经过原点的充要条件是k =________.5.已知点A (-2,0),B (3,0),动点P (x ,y )满足P A ―→·PB ―→=x 2,则点P 的轨迹方程是________.6.求方程(x +y -1)x -y -2=0表示的曲线.【能力提升】7.已知A (-1,0),B (2,4),△ABC 的面积为10,则动点C 的轨迹方程是( )A .4x -3y -16=0或4x -3y +16=0B .4x -3y -16=0或4x -3y +24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=08.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.答案:.[例1][思路点拨]按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析.[精解详析](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2的解;但以方程|x|=2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此,|x|=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5,但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此,与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy =5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x +y =0;反之,以方程x +y =0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此,第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x +y =0.1.解析:“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解”,但“以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上,故A 、C 、D 都不正确,B 正确.答案:B2.解析:方程可化为(2x -y )(2x +y +3)=0,即2x -y =0或2x +y +3=0.∴表示两条直线2x -y =0或2x +y +3=0.答案:C[例2] [精解详析] (1)∵12+(-2-1)2=10,(2)2+(3-1)2=6≠10,∴点P (1,-2)在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上,点Q (2,3)不在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上.(2)∵点M (m 2,-m )在方程x 2+(y -1)2=10表示的曲线上,∴x =m 2,y =-m 适合上述方程, 即(m 2)2+(-m -1)2=10.解之得m =2或m =-185, ∴m 的值为2或-185. 3.解析:将M 点的坐标代入直线l 、曲线C 的方程验证可知点M 在直线l 上,也在曲线C 上. 答案:B4.解析:曲线过A (0,-2),B (12,3)两点, ∴A (0,-2),B (12,3)的坐标就是方程的解. ∴⎩⎪⎨⎪⎧4b =4,14a +3b =4,∴b =1,a =4. 答案:4 15.解:∵曲线y 2-xy +2x +k =0过点(a ,-a ),∴a 2+a 2+2a +k =0.∴k =-2a 2-2a =-2(a +12)2+12. ∴k ≤12, ∴k 的取值范围是(-∞,12]. [例3] [思路点拨] 关键是寻找Q 点满足的几何条件.可以考虑圆的几何性质,如CQ ⊥OP ,还可考虑Q 是OP 的中点.[精解详析] 法一:(直接法)如图,因为Q 是OP 的中点,所以∠OQC =90°.设Q (x ,y ),由题意,得|OQ |2+|QC |2=|OC |2,即x 2+y 2+[x 2+(y -3)2]=9,所以x 2+(y -32)2=94(去掉原点). 法二:(定义法)如图所示,因为Q 是OP 的中点,所以∠OQC =90°,则Q 在以OC为直径的圆上,故Q点的轨迹方程为x 2+(y -32)2=94(去掉原点). 法三:(代入法)设P (x 1,y 1),Q (x ,y ),由题意,得 ⎩⎨⎧ x =x 12,y =y 12,即⎩⎪⎨⎪⎧x 1=2x ,y 1=2y . 又因为x 21+(y 1-3)2=9,所以4x 2+4(y -32)2=9, 即x 2+(y -32)2=94(去掉原点). 6.解:设动点C 的坐标为(x ,y ).∵△ABC 为以A 为顶点的等腰三角形,∴|AB |=|AC |,∴(x -4)2+(y -2)2=(4-3)2+(2-5)2,即(x -4)2+(y -2)2=10(x ≠3,5).所以点C 的轨迹方程为(x -4)2+(y -2)2=10,它表示以(4,2)为圆心,以10为半径且去掉(3,5),(5,-1)的圆.7.解:设△ABC 的重心为G (x ,y ),顶点C 的坐标为(x 1,y 1).由重心坐标公式得⎩⎨⎧ x =-2+0+x 13,y =0-2+y 13,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1=3x +2,y 1=3y +2.代入y 1=3x 21-1,得 3y +2=3(3x +2)2-1.∴y =9x 2+12x +3即为所求轨迹方程.1.解析:∵y =-2x ≤0,而y 2=4x 中y 可正可负,∴点M 在曲线y 2=4x 上,但M 不一定在y =-2x 上.反之点M 在y =-2x 上时,一定在y 2=4x 上.答案:B2.解析:A 中方程x 2+y 2=1表示的是以(0,0)为圆心,1为半径的圆,故A 错;B 中方程x 2-y 2=0可化为(x -y )(x +y )=0,表示两条直线x -y =0,x +y =0,故B 错;C 中方程lg x +lg y =1可化得y =1x(x >0),此方程只表示第一象限的部分,故C 错;D 中的方程y =|x |去绝对值得y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,表示两条射线,所以D 正确. 答案:D3.解析:设动点C 的坐标为(x 0,y 0),P 点坐标为(x ,y ),则由中点坐标公式可得x =x 0+32,y =y 0+02, 即x 0=2x -3,y 0=2y .又动点C (x 0,y 0)在曲线x 2+y 2=1上,∴(2x -3)2+4y 2=1.答案:C4.解析:由两点式,得直线AB 的方程是y -04-0=x +12+1, 即4x -3y +4=0,线段AB 的长度|AB |=(2+1)2+42=5.设C 的坐标为(x ,y ),则12×5×|4x -3y +4|5=10, 即4x -3y -16=0或4x -3y +24=0.答案:B5.解析:若曲线过原点,则(0,0)适合曲线的方程,即有k =0.答案:06.解析: uu u r PA =(-x -2,-y ),uu u rPB =(3-x ,-y ), 则uu u r PA ·uu u rPB =(-x -2)(3-x )+(-y )2=x 2,化简得y 2=x +6.答案:y 2=x +67.解:(x +y -1)x -y -2=0写成 ⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -1=0,x -y -2≥0,或x -y -2=0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -1=0,x -y -2≥0,得⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -1=0,x ≥32,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -1=0,x -y -2≥0,表示射线x +y -1=0(x ≥32),∴原方程表示射线x +y -1=0(x ≥32)或直线x -y -2=0.8.解:法一:如图,设点M 的坐标为(x ,y ).∵M 为线段AB 的中点,∴A 点坐标是(2x,0),B 点坐标是(0,2y ).∵l 1,l 2均过点P (2,4),且l 1⊥l 2,∴P A ⊥PB .当x ≠1时,k P A ·k PB =-1.而k P A =4-02-2x =21-x ,k PB =4-2y 2-0=2-y1,∴21-x ·2-y1=-1.整理,得x +2y -5=0(x ≠1).当x =1时,A ,B 点的坐标分别为(2,0),(0,4),∴线段AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程x +2y -5=0.综上所述,点M 的轨迹方程是x +2y -5=0.法二:设M 的坐标为(x ,y ),则A ,B 两点坐标分别是(2x,0),(0,2y ).连接PM ,如图.∵l 1⊥l 2,∴2|PM |=|AB |.而|PM |=(x -2)2+(y -4)2,|AB |=(2x )2+(2y )2,∴2(x -2)2+(y -4)2=4x 2+4y 2.化简,得x +2y -5=0,即为所求轨迹方程.法三:∵l 1⊥l 2,OA ⊥OB ,∴O ,A ,P ,B 四点共圆,且该圆的圆心为M .∴|MP |=|MO |.∴点M 的轨迹为线段OP 的中垂线. ∵k OP =4-02-0=2,OP 的中点坐标为(1,2), ∴点M 的轨迹方程是y -2=-12(x -1), 即x +2y -5=0.。
211曲线与方程导学案(无答案)-河北省邢台市第二中学人教A版高二数学选修2-1
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2.1.1曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律,学会分析、判断曲线与方程的关系,强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.知识点一曲线与方程的概念思考1设平面内有一动点P,属于下列集合的点组成什么图形?(1){P|P A=PB}(A,B是两个定点);(2){P|PO=3 cm}(O为定点).思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么?为什么?梳理一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,能否说f(x,y)=0是曲线C的方程?试举例说明. 思考2方程x-y=0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线?方程x-y=0呢?梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念,是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x,y)=0的解集之间是一一对应的关系,曲线的性质可以反映在它的方程上,方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程;条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系,通过曲线上的点与实数对(x,y)建立了一一对应关系,使方程成为曲线的代数表示,通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的,下列命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0的曲线是CB.方程f(x,y)=0的曲线不一定是CC.f(x,y)=0是曲线C的方程D.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上跟踪训练1设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,那么下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0命题角度2曲线与方程的概念应用例2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.跟踪训练2写出方程(x+y-1)x-1=0表示的曲线.。
人教版高中数学选修(2-1)-2.1《曲线与方程》教学设计
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2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程(杨军君)一、教学目标(一)学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系;2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念;3.学会根据已有的情景资料找规律,培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力,同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法. (二)学习重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(三)学习难点怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程.二、教学设计(一)预习任务设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第34页至第35页.(2)想一想:什么是曲线的方程与方程的曲线?(3)写一写:以前学习过的直线的方程与圆的方程.2.预习自测1.如果曲线C上的点的坐标满足方程(,)0F x y=,则下面说法正确的是()A.曲线C的方程是(,)0F x y=B.方程(,)0F x y=的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0F x y=的点不在曲线C上D.坐标满足(,)0F x y=的点在曲线C上【知识点】曲线的方程与方程的曲线.【解题过程】利用曲线与方程的关系判断,条件中曲线C上的点的坐标(,)x y都是方程(,)0F x y=的解,满足了曲线和方程的概念条件,而且阐明曲线C上没有坐标不满足方程(,)0F x y=的点,故C正确.【思路点拨】有关曲线方程与方程曲线应正确理解概念的两方面内容.【答案】C(二)课堂设计1. 新知讲解探究一结合实例,认识曲线与方程●活动①归纳提炼概念在本节课之前,我们研究过直线的各种方程,建立了二元一次方程与直线的对应关系:在平面直角坐标系中,任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示,同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线.引例1:作出方程x-y=0表示的直线.借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会:必须同时满足:(1)直线上的点的坐标都是方程的解和(2)以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点,即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系,那么直线(图形)方程(数量)变式:作出函数2xy=的图象.类比方程2xy=与如图所示的抛物线.这条抛物线是否与这个二元方程2xy=也能建立这种对应关系呢?(按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.)。
新课标人教A版高中数学选修2-1导学案2.1曲线与方程
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§2.1曲线与方程【知识要点】1.曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.2.曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ,y )=0,曲线C 2的方程为F 2(x ,y )=0,则C 1,C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1(x ,y )=0,F 2(x ,y )=0的实数解,若此方程组无解,则两曲线无交点. 3.求轨迹方程的常用方法(1)直接法:直接利用条件建立x ,y 之间的关系或F (x ,y )=0;(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数;(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;(4)相关点法:动点P (x ,y )依赖于另一动点Q (x 0,y 0)的变化而变化,并且Q (x 0,y 0)又在某已知曲线上,则可先用x ,y 的代数式表示x 0,y 0,再将x 0,y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程.【试一试】1.已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C 上,那么( )A.曲线C 上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0B.凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在曲线C 上C.不在曲线C 上的点的坐标必不适合F(x,y)=0D.不在曲线C 上的点的坐标有些适合F(x,y)=0,有些不适合F(x,y)=02.若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线3.已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x =⋅,则点P 的轨迹为( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线4.平面上有三个点A (-2,y ),B ⎝⎛⎭⎫0,y 2,C (x ,y ),若AB ⊥BC ,则动点C 的轨迹方程为________.5.分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线,则它们的交点M 的轨迹方程是_______.考点一 点与曲线的关系及应用例1 (1)点P(a+1,a+4)在曲线y=x 2+5x+3上,则a 的值是 .(2)若曲线y 2=xy+2x+k 通过点(a,-a) (a ∈R),则k 的取值范围是 .变式(1)下列四个点中,在曲线xy=1上的是( )A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,-1)D.(0,0) (2)已知曲线的方程为x 2+y 2+Ax+By+C=0,若曲线过原点,那么必有( )A.A=0B.B=0C.C=0D.A+B+C=0考点二 由方程判断其表示的曲线例2(1)方程(+y 10x -=表示的是( )A.两条互相垂直的直线B.两条射线C.一条直线和一条射线D.一个点(2,-1)(2)如图所示,方程2||x y x =表示的曲线是( )变式(1)方程x 2+xy=x 表示的是( )A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线(2)221)0x y +-=所表示的曲线图形是( )例3.方程(0x y +-=表示的曲线是( )A.一个圆和一条直线B.半个圆和一条直线C.一个圆和两条射线D.一个圆和一条线段变式:方程(0x y +-=表示的是( )A.两条直线B.一条直线,一条射线C.一个点D.两条射线考点三 求轨迹方程例4.已知点O (0,0),A (1,2),动点P 满足|OP +AP |=2,求P 点的轨迹方程变式:已知点F (0,1),直线l :y =-1,P 为平面上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为Q ,且QP ·QF =FP ·FQ ,求动点P 的轨迹C 的方程例5. 已知ABC ∆中,A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ,若b c a ,,依次构成等差数列,且b c a >>,2=AB ,求顶点C 的轨迹方程.例6.已知线段AB 的端点B 在圆16)4(:221=-+y x C 上运动,端点A 的坐标为)0,4(,线段AB 中点为M ,求M 点的轨迹2C 方程;例7.已知圆22:(1)5C x y +-=,直线:10l mx y m -+-=(1) 求证:对m R ∈,直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ;(2) 求弦AB 的中点M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线;。
人教版高中数学选修21曲线与方程教学设计
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人教版高中数学选修2—1?曲线与方程?教学设计一、教学内容人教版选修2—1第二章第一节:曲线与方程二、教材分析曲线属于“形〞的范畴,方程那么属于“数〞的范畴,它们通过直角坐标系而联系在一起,曲线的方程是曲线几何的一种代数表示,方程的曲线那么是代数的一种几何表示.在直角坐标系中,点可由它的坐标(x, y)来表示,而曲线是点的轨迹,所以曲线可用二元方程f(x, y)=0 来表示.“曲线和方程〞这节教材,揭示了几何中的“形〞与代数中的“数〞的统一,为“依形判数〞和“据数论形〞的相互转化奠定了扎实的根底,曲线与方程的相互转化,是数学方法论上的一次飞跃. 由于曲线和方程的概念是解析几何中最根本的内容,因而学生用解析法研究几何图形的性质时,只有透彻理解曲线和方程的意义,才能算是寻得了解析几何学习的入门之径.求曲线与方程的问题,也贯穿了这一章的始终,所以应该熟悉到,木节内容是解析几何的重点内容之一.本节中提出的曲线与方程的概念,它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化,又是学习圆锥曲线的理论根底,它贯穿于研究圆锥曲线的全过程,根据曲线与方程的对应关系,通过研究方程来研究曲线的几何性质,是几何的研究实现了代数化.数与形的有机结合,在本章中得到了充分表达.解析几何的核心思想方法是“坐标法〞,在直角坐标系中,根据曲线的特征建立曲线方程是研究的根底.“曲线的方程既是我们研究的直接对象,更是研究曲线几何性质的桥梁.而只有当曲线上点的集合与方程的解集之间具有一一对应关系时,才能通过研究方程得到曲线的性质,无论完备性和纯粹性得到破坏都不能由方程得到曲线的性质.【课程标准工结合己学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步感受数形结合的根本思想.【学习目标】1.通过感受曲线的方程和方程的曲线这一概念的生成过程,初步理解曲线的方程和方程的曲线的概念;2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念和集合相等的关系,渗透数形结合思想和转化化归思想.【教学重点】理解曲线的方程和方程的曲线的概念.【教学难点】对曲线与方程对应关系的理解.【学情分析】新课标强调返璞归真,努力揭示数学概念、结论的开展背景,过程和木质,揭示人们探索真理的道路.本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的根底上,使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程,体会孕育在其中的思想,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点,选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程〞,“圆的方程〞入手,以集合相等,辅助理解“曲线的方程〞与“方程的曲线〞,进一步强化了概念理解的深刻性.无论是判断、证实,还是求解曲线的方程,都要紧扣曲线方程的概念,即始终以是否满足概念中的两条为准那么.教学过程设计图片抽象成曲线, 体现出数〞控制a 形〞的变化从学I 集的规律和问合的相吗?题解决的途⑵圆的标准方程是什么?关知识径,使他们经历知识形探究三成的过程..二2.X |程为|的点组成的直线方程为轴距离等于1(2)到Xy=l.的点的轨迹到两坐标轴的距离之积等于1(3)=1 . I方程为I xy环节三、概念生成曲线的方程、方程的曲线的定义: C如果某曲线一般地,在平而直角坐标系中,(看作点的集合或适合某种条件的点的轨般,从简单的实数迹〕上的点与一个二元方程到复杂,使解建立了如下的关系:鼓励学生结〔1〕曲线上的点的坐标都是方程的解;合问新知的建构〔2〕以这个方程的解为坐标的点都是曲线上归纳出曲题一、问顺畅和自的点;线的方程、题二然,既表达那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线方程的曲尝试归在教师引导叫做方程的曲线.线的定义纳,生成下学生自我概念建构,又使学生感到知识之间并不是孤立的,而是相互联.切相关的整体. 数学概念是要在运用中得以巩固,练习, 可以纠正错误的认识, 促使对概念的正解. 充会数结形■想, 理解通过方程研究曲线质, 通过曲示(1)合关系而不符合关系(2).【辨析二】3?x?y.举出一个方程与一条曲线,使它们间符合3 (x+y-1) 4.方程=0表示的曲线是解方程的转化与化归思想. 巩固所学知识合五、课堂小结学生、曲线的方程和方程的曲线的概念归让学生回1纳整理2、根本思想及方法提顾、总结、问教师数形结合思想,转化与化归思想补联系、整合、充(思维导图呈现) 提升熟悉、理解.六、布置作业.举出一个曲线的方程的例子.1.。
人教版高中数学选修(2-1)-2.1《求曲线的方程》教学设计
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2.1.2求曲线的方程(杨军君)一、教学目标(一)学习目标1.了解解析几何的基本思想;2.了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点;3.初步掌握求曲线的方程的方法.(二)学习重点求曲线的方程.(三)学习难点求曲线方程一般步骤的掌握.二、教学设计(一)预习任务设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第35页至第36页.(2)想一想:如何求曲线的方程?(3)写一写:以前学习过的直线的方程与圆的方程.2.预习自测(1)方程22(2)(2)0x y -++=表示的图形是( )A .圆B .两条直线C .一个点D .两个点【答案】C .(2)已知直线:30l x y +-=和曲线22:(3)(2)2C x y -+-=,则点(2,1)M 满足( )A .在直线l 上,但不在曲线C 上B .既在直线l 上,也在曲线C 上C .既不在直线l 上,也不在曲线C 上D .不在直线l 上,但在曲线C 上【答案】B .(3= )A .两条线段B .两条直线C .两条射线D .一条射线和一条线段【答案】A .(4)已知两定点(20),(10)A B -,,,如果动点P 满足||2||PA PB =,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于()A.πB.4πC.8πD.9π【答案】B.(二)课堂设计1.知识回顾曲线的方程与方程的曲线的概念.2.新知讲解由曲线的方程、方程的曲线可知,借助直角坐标,用坐标表示点,把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线,即用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,那么我们就可通过研究方程的性质,间接地研究曲线的性质.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.在教学中,用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科,它就是解析几何.解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.它主要研究的是:(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程;(2)通过方程,研究平面曲线的性质.例1.设A,B两点的坐标分别为(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.【知识点】曲线的方程.【解题过程】如何求曲线的方程?法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.法二:若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法.解:。
高中数学选修2-1优质学案4:2.1.1 曲线与方程
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2.1.1 曲线与方程【学习目标】1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系,并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念,从而为求已知曲线的方程奠定理论基础.2. 在领会曲线和方程概念的过程中,培养分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力,同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点;初步掌握求曲线的方程的方法. 【导入新课】 复习导入复习有关常见的曲线,及其对应的方程.例如我们一起回顾直线和圆的方程有关知识: 1.经过点P(0,b)和斜率为k 的直线l 的方程为y kx b =+, 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是y x = , 3.圆心为C(a,b) ,半径为r 的圆C 的方程 为()()222x a y b r -+-=,4.直线 x-y=0上 点的横坐标与纵坐标相等 x=y (或x- y=0) 即第一、三象限角平分线 含有关系:(1) 直线上点的坐标都是方程x-y=0的解 (2)以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线x-y=0 上. 新授课阶段1. 曲线的方程和方程的曲线的概念: 我们把满足下面两个条件: (1);(2)以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上的方程叫,则该曲线,叫做. 例1下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l ,为什么?(1)x -y =0(2(3)x 2-y 2=0(4)|x |-y =0[解析]点评:例2 (1)判断点M 1(3,-4),M 2(-,2)是否在方程x 2+y 2=25所表示的曲线上.(2)用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x 2+y 2=25. 分析: [解析]2. 求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x ,y )表示曲线上任意一点M 的坐标; (2)写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P (M )}; (3)用坐标表示条件P (M ),列出方程f (x ,y )=0; (4)将方程f (x ,y )=0化为最简形式;(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点.(查漏除杂). 例3 证明与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程是. 分析: 证明:例4 设A 、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段AB 的垂直平分线的方程.)0(>k k k xy ±=解3. 求曲线方程的常用方法:(1)直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,且这些条件简单明确,易于表述成含有x ,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称为直接法.用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”.(2)定义法:运用[解析]几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线的定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程.(3)代入法:若动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P (x ,y )却随另一动点Q ()的运动而有规律的运动,且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的,则可先将表示为x ,y 的式子,再代入Q 的轨迹方程,然后整理得出P 的轨迹方程.代入法也称相关点法.(4)参数法:若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时,则可借助中间变量(参数),使x ,y 之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程.(5)交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数(求两动直线的交点时常用此法),也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数得到轨迹方程.交轨法可以说是参数法的一种变形.4. 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,轨迹是指曲线,轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质,就是在给定的坐标系中,求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系. 例5 经过原点的直线l 与圆相交于两个不同点A 、B ,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析:解 课堂小结'y ,'x 'y ,'x 226490x y x y +--+=曲线的方程和方程的曲线(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线 作业1.已知直线l :x +y -5=0及曲线C :(x -3)2+(y -2)2=2,则点M (2,3)( ) A .在直线l 上,但不在曲线C 上 B .在直线l 上,也在曲线C 上 C .不在直线l 上,也不在曲线C 上 D .不在直线l 上,但在曲线C 上2.方程x 2+y 2=1(xy <0)的曲线形状是( )3.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A .y 2=x 与y =x B .y =lg x 2与y =2lg x C.y +1x -2=1与lg(y +1)=lg(x -2) D .x 2+y 2=1与|y |=1-x 24.曲线y =|x |-1与x 轴围成的图形的面积是________. 拓展提升1. 指出下列方程表示的曲线分别是什么?(1)x -2=0(2)(2x+3y -5)( (3)(3x -4y -12)[ (4)0)13=--x 0]3)2(log 2=-+y x 0324222=++-+y x y x2. 已知点M 与轴的距离和点M 与点F (0,4)的距离相等,求点M 的轨迹方程.3. 已知一条直线和它上方的一个点F ,点F 到的距离是2.一条曲线也在直线的上方,它上面的每一点到F 的距离减去到直线的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.x l l l l——★ 参 考 答 案 ★——新授课阶段1. 曲线的方程和方程的曲线的概念:(1)曲线C 上的点的坐标都是方程 f (x ,y )=0的解; (2)做曲线的方程,方程的曲线. 例1[解析]方程(1)是表示直线l 的方程,而(2)(3)(4)都不是表示直线l 的方程.(2)中直线上的点的坐标不全是方程的解,如(-1,-1)等,即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论.(3)中虽然“直线l 上的点的坐标都是方程的解”,但以方程x 2-y 2=0的解为坐标的点不全在直线l 上,如点(2,-2)等,即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论.(4)中依照(2)(3)的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论,比如点(-1,1).【点评】理解曲线的方程和方程的曲线的概念,并能对题目作出正确的判定.判定时必须要同时满足(1)直线l 上的点的坐标都是方程的解.(2)以方程的解为坐标的点都在直线上.例2[解析]第(1)问先把点的坐标代入已知的表达式中,满足方程则在曲线上,否则不在曲线上.第(2)问利用圆的定义,结合两点间距离公式化简求解,并进行说明.[答案](1)把点M 1(3,-4),M 2(-,2)分别代入到方程中,可知前者满足方程,后者不满足.(2)设圆心坐标为(0,0),半径为r=5,圆上的任意一点P (x ,y ),结合两点间距离公式,我们得到圆上的点满足的方程. 例3[解析]先结合已知条件求解方程,然后运用定义证明.【证明】(1)设M (x 0,y 0)是轨迹上的任意一点,因为点M 与轴的距离为,与轴的距离为,所以 即是方程的解.x 0y y 0x k y x =⋅00),(00y x k xy ±=(2)设的坐标是方程的解,那么即,而正是点到轴,轴的距离,因此点到两条坐标轴的距离的积是常数,点是曲线上的点.由(1)(2)可知,是与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程. 例4[答案]解法一:∵,∴所求直线的斜率k=-0.5又∵线段AB 的中点坐标是,即(1,3), ∴线段AB 的垂直平分线的方程为.即x +2y -7=0. 解法二:设M (x ,y )是线段AB 的垂直平分线上的任意一点,则|MA|=|MB|∴(Ⅰ)(1)由以上过程可知,垂直平分线上任意一点的坐标都是方程的解; (2)设点的坐标是方程(Ⅰ)的解,即 ∵以上变形过程步步可逆,综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是. 例5[解析]先设出点的坐标,利用中点公式和圆的方程,,我们得到所求点与弦端点的坐标关系式,从而求其轨迹方程;或者直接设直线方程,引入参数K ,然后消去参数求轨迹方程.[答案]解法一:设M ,A ,B且 由①-②得1M ),(11y x k xy ±=k y x ±=11k y x =⋅1111,y x 1M x y 1M k 1M k xy ±=)0(>k k 7(1)23(1)--==--AB k 1317(,)22-+-+13(1)2y x -=--2222x +2x +1+y +2y +1=x -6x +9+y -14y +49∴270x y +-=270x y +-=1M 11(,)x y 11270x y +-=11M A =M B x +2y -7=0OM AB k k =(,)x y 11(,)x y 22(,)x y 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩22111122222264906490x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩①②12121212()()()()x x x x y y y y -++-+12126()4()0x x y y ----=∵即(易知) ∴ ∴化简得∴所求轨迹方程为 (在已知圆内部一段弧所对应的方程) 解法二:设M ,A ,B则设直线l 的方程为由方程组 消去y 得∴ 消去参数得【点评】若动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P (x ,y )却随另一动点Q (x’,y’)的运动而有规律的运动,且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的,则可先将x’,y’表示为x ,y 的式子,再代入Q 的轨迹方程,然后整理得P 的轨迹方程.相关点法也称代入法.简单地说:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得动点坐标(x ,y )之间的坐标.课后作业1.[解析]将x =2,y =3代入直线l :x +y -5=0及曲线C :(x -3)2+(y -2)2=2的方程均成立,故点M (2,3)在直线l 上,也在曲线C 上,故选B.[答案]B2.[解析]方程x 2+y 2=1(xy <0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分.故选C.[答案]C3.[解析]主要考虑x ,y 的取值范围,选项A 中y 2=x 中y ∈R,而y =x 中y ≥0;选OM AB k k =1212y y y x x x -=-12x x ≠22640y yx y x x+⋅--=22320x y x y +--=02322=--+y x y x (,)x y 11(,)x y 22(,)x y 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩y kx =226490=⎧⎨+--+=⎩y kx x y x y 22(1)(64)90k x k x +-++=121222649,11k x x x x k k ++=⋅=++22321321k x k ky k k +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⋅⎪+⎩k 22320x y x y +--=项B 中y =lg x 2中x ≠0,而y =2lg x 中x >0;选项C 中y +1x -2=1中y ∈R,x ≠2,而lg(y +1)=lg(x -2)中y >-1,x >2,故只有D 正确.[答案]D4.[解析]在y =|x |-1中令x =0得y =-1,令y =0得x =±1,所以曲线y =|x |-1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1=1.[答案]1 拓展提升1.[答案]解:(1)表示的曲线为过(2,0)且平行于y 轴的直线;(2)因为故方程表示的曲线为一条射线和一条直线x=4. (3)因为(3x -4y -12)[故方程表示的曲线为一条射线(除去端点)和一条直线x+2y=8.(4)因为则方程表示的图形为一个点(1,-1)2. [答案]解:设点M 的坐标为(x ,y )∵点M 与轴的距离为,∴∴∴就是所求的轨迹方程.3. [答案]解:设直线l 为x 轴,过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴,建立坐标系xOy ,0)13)(532(=---+x y x .4)3(05324)3(0532013030532=≥=-+=≥=-+=--⎩⎨⎧≥-=-+∴x x y x x x y x x x y x 和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或)3x (05y 3x 2≥=-+0]3)2(log 2=-+y x 直线。
高二数学选修21211曲线与方程教学案
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2.1.1 曲线与方程班级姓名小组________第____号评价:_______【学习目标】1.结合实例,了解曲线与方程的对应关系.2.了解求曲线方程的步骤.3.会求简单曲线的方程.【重点难点】重点:了解求曲线方程的步骤.难点:结合多种知识点及等量关系,会求简单曲线的方程.【学情分析】大家对解析几何没有一个整体的结构,所以感觉这一部分内容很难,其实只要找准等量关系这种本质,轨迹方程一类的问题都可以迎刃而解。
【导学流程】一.回顾旧知:1.如何理解点在直线上、点在圆上这样的语句?二.基础知识感知1.曲线的方程和方程的曲线的定义2.求曲线方程的一般步骤三.探究问题探究一:曲线与方程的概念【例1】(1)判定A(3,-4)和B(4,5)两点是否在曲线x2+y2=25上;(2)已知方程x2+y2=5表示的曲线F经过点A(2,m),求m的值.四.基础知识拓展与迁移1.若曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a),a∈R,求k的取值范围.2.设α∈[0,2π),点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α=________.提问展示问题预设:1.方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )2.方程y =-1-x 2的曲线是什么图形?小组讨论问题预设:下面各对方程中,表示相同曲线的一对方程是( )A .y =x 与y =x 2B .(x -1)2+(y +2)2=0与(x -1)(y +2)=0C .y =1x 与xy =1D .y =lg x 2与y =2lg x课堂训练问题预设:1.f (x 0,y 0)=0是点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件 D.既不充分也不必要条件2.点A (1,-2)在曲线x 2-2xy +ay +5=0上,则a =________.3.判断下列命题是否正确.(1)以坐标原点为圆心,半径为r 的圆的方程是y =r 2-x 2;(2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |=2.整理内化1. 课堂小结2.本节课学习过程中的问题和疑难2.1.1 曲线与方程第Ⅰ部分 本节知识总结第Ⅱ部分 基础知识达标一、选择题(每小题5分,共30分)1.下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )2.方程(x 2-4)2+(y 2-4)2=0表示的图形是( )A .两个点B .四个点C .两条直线D .四条直线3.方程x 2+xy =x 表示的曲线是( )A .一个点B .一条直线C .两条直线D .一个点和一条直线4.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )A .y 2=x 与y =xB .y =lg x 2与y =2lg xC.y +1x -2=1与lg(y +1)=lg(x -2) D .x 2+y 2=1与|y |=1-x 2 二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知方程①x -y =0;②x -y =0;③x 2-y 2=0;④x y =1,其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________.6.方程|x -1|+|y -1|=1所表示的图形是________.7.下列命题正确的是________(填序号).①方程xy -2=1表示斜率为1,在y 轴上的截距是2的直线;②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y =5;③曲线2x 2-3y 2-2x +m =0通过原点的充要条件是m =0.三、解答题(共50分)8.方程x 2(x 2-1)=y 2(y 2-1)所表示的曲线C .若点M (m ,2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,n 在曲线C 上,求m ,n 的值.9.求方程(x+y-1)x-1=0所表示的曲线.第Ⅲ部分答疑解惑本节学习中存在的疑难:。
高中数学 2-1 2.1曲线与方程 学案
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2。
1曲线与方程2.1。
1曲线与方程2。
1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法.(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍,培养学生综合运用各方面知识的能力.(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍,使学生掌握常用动点的轨迹,为学习物理等学科打下扎实的基础.二、教材分析1.重点:求动点的轨迹方程的常用技巧与方法.2.难点:作相关点法求动点的轨迹方法.三、活动设计提问、讲解方法、演板、小测验.四、教学过程(一)复习引入大家知道,平面解析几何研究的主要问题是:(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程;(2)通过方程,研究平面曲线的性质.我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究,今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析.(二)几种常见求轨迹方程的方法1.直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫.例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程;(2)过点A(a,o)作圆O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹.2.定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件.直平分线l交半径OQ于点P(见图2-45),当Q点在圆周上运动时,求点P的轨迹方程.3.相关点法若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0、y0可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程.这种方法称为.例3 已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1)、B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP∶PA=1∶2,当B点在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程.4.待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用求.例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点,又直线y=2x被双曲线截得的线段长等于52,求此双曲线的方程。
高中数学 2.1.1曲线与方程导学案(创新班,无答案)新人教B版选修2 1 学案
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§2.1.1 曲线与方程(课前预习案)
1.一般的,一条曲线可以看成 依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为 的点的轨迹.
2.在平面直角坐标系中,如果曲线C 与方程F(x,y)=0之间具有如下关系: (1)曲线C 上的点的坐标都是 的解, (2)以方程F(x,y)=0的解为 都在曲线C 上。
那么曲线C 叫做方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0叫做曲线C 的方程。
(3)把几何条件转化为 (4)化简方程f(x,y)=0为最简形式。
思考:如何理解①建立适当的坐标系?②求曲线时应注意什么? 4.预习课本P 36例题,回答下列问题 问题一:如何建系?这样建系有什么优点? 问题二:求曲线方程共分几步? 问题三:依据方程研究曲线哪些性质? 问题四:圆心在原点,半径为R 的圆的方程. 【课前自测】
1.已知直线l :x+y+3=0,和曲线C:(x-1)2
+(y+3)2
=4,则点p(1,-1), ( )
A.在直线l 上,不在曲线C 上。
B. 在直线l 上,也在曲线C 上。
C. 不在直线l 上,也不在曲线C 上。
D.不在直线l 上,但在曲线C 上。
2.点P(1,a)在曲线x 2
+2xy-5y=0上,则a=
3.方程(x-2)2
+(y-2)2=0表示的曲线是:( )A.圆 B.两条直线 C.一个点 D.两个点 4.下列各对方程中,表示相同曲线的一对方程是: ( ) A.y=x B.(x-1)2
+(y+2 )2
=0 与(x-1)(y+2)=0 C.y=x
1与xy=1 D.y=lgx 2
与y=2lgx
§2.1.1 曲线与方程(课内探究案)
(课堂探究案)。
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高中二年级(上)数学选修2-1
第二章:圆锥曲线与方程——2.1:曲线与方程
一:知识点讲解
(一):曲线与方程的概念
➢ 在直角坐标系中,如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程()0=y x f ,的实数解建立了如下的关系:
✧ 曲线上点的坐标都是这个方程的 。
✧ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 。
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做 。
➢ 从点的坐标与方程的解的角度理解:
✧ 如果点()00y x P ,在曲线C 上,则0x x =,
0y y =适合曲线C 的方程()0=y x F ,,即()000=y x F ,。
✧ 若0x x =,0y y =适合曲线C 的方程()0=y x F ,,则点()00y x P ,在曲线C 上。
同时具备上述两个条件时,“曲线”与“方程”才能相互表示。
➢ 从集合的角度理解:设A 是曲线C 上的所有点构成的点集,B 是所有以方程
()0=y x F ,的实数解为坐标的点组成的点集,则由条件①B A ⊆;②A B ⊆,同时具备这两个条件,则有B A =,于是建立了曲线与方程之间的等价关系。
➢ 从对应的角度理解:曲线方程定义的实质是平面曲线的点集(){}M p M |和方程
()0=y x f ,的解集()(){}0|=y x f y x ,,之间一一对应的关系,如图所示:
例1:若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程()0=y x f ,的解”是正确的,则下列命题为真命题的是
A. 不是曲线C 上的点的坐标,一定不满足方程()0=y x f ,
B. 坐标满足方程()0=y x f ,的点均在曲线C 上
C. 曲线C 是方程()0=y x f ,的曲线
D. 不是方程()0=y x f ,的解,一定不是曲线C 上的点
(二):解析几何及研究的主要问题
➢ 坐标法:借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某条件的点的集合或轨迹,
用曲线上点的坐标(x ,y )所满足的方程()0=y x f ,表示曲线,通过研究 的性质间接地来研究曲线的性质,这就叫做坐标法。
➢ 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何,解析几何研究的主要问题是:
✧ 根据已知条件,求出表示曲线的 ;
✧ 通过曲线的 ,研究曲线的性质。
例2:判断正误,正确的画“√”,错误的画“×”。
1) ( )若方程()0=y x F ,为曲线C 的方程,则满足()0=y x F ,的点都在曲
线C 上。
2) ( )若曲线C 上所有的点都满足方程()0=y x F ,,则()0=y x F ,为曲线
C 的方程。
3) ( )方程x xy x =+2
的曲线是一个点和一条直线。
4) ( )方程21x y -=可化简为122=+y x 。
5) ( )方程x y =
与2y x =表示同一曲线。
(三):求曲线的房产
➢ 求动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系,即动点坐标(x ,y)所适合
的方程()0=y x f ,。
有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围。
➢ 常见求曲线方程的方法:
✧ 已知曲线类型(待定系数法):若根据条件能知道曲线方程的类型,则可先设出
方程形式,再根据条件确定待定的系数。
✧ 未知曲线类型:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧→→⎩⎨⎧→→参数法依赖于某个变量相关点法依赖于某曲线上动点原因直接法不符合定义定义法符合某种曲线定义几何条件动点变化 例3:设圆C :()1122
=+-y x ,过原点O 作圆C 的任意弦,求所作弦的中点P 的轨迹方程。
二:方法探究
方法:直接法求动点的轨迹方程
➢ 直接法求轨迹方程的一般步骤:
1) 建系:建立适当的坐标系;
2) 设点:设轨迹上的任一点()y x P ,;
3) 列式:列出动点P 所满足的关系式;
4) 代换:依关系式的特点,选用适当的公式将其转化为关于x 、y 的方程,并化简;
5) 证明:证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
➢ 求动点的轨迹方程是实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程,即:文字语言中的几何条件→(解析化)数学符号语言中的等式→(坐标化)数学符号语言中含动点坐标(x ,y )的代数方程()0=y x f ,→(等价变形)简化了的含x 、y 的代数方程()0=y x f ,。
例:过点P(2,4)作两条互相垂直的直线1l 、2l ,1l 交x 轴于A 点,2l 交y 轴于B 点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
➢ 习题
1. 一种作图工具如图所示。
O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N
处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且DN =ON =1,MN =3。
当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时,带动N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C 。
以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,求曲线C 的方程。
思路分析:设点→找关系→代入
2. 已知点P(2,2),圆C :082
2=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点,
线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点,求M 的轨迹方程。
思路分析:设M(x ,y)→CM 、MP 的坐标→0=⋅MP CM →M 的轨迹方程
三:题型分析
题型一:曲线与方程的概念
1. 下列命题正确的是( )
A. 方程12
=-y x 便是斜率为1,在y 轴上的截距为2的直线 B. △ABC 三个顶点的坐标分别是A(0,3)、B(﹣2,0)、C(2,0),BC 边上的中线
的方程是0=x
C. 到x 轴的距离为5的点的轨迹方程为5=y
D. 曲线02322
2=+--m x y x 过原点的充要条件是0=m 2. “点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程x y 2-=”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3. 方程()
()013132=---+x y x 表示的曲线是( ) A. 两条直线
B. 两条射线
C. 两条线段
D. 一条直线和一条射线
4. 方程1=+y x 表示的曲线所围成图形的面积为 。
题型二:求曲线的方程
5. 平行四边形ABCD 的顶点A 、C 的坐标分别为(3,﹣1)、(2,﹣3),顶点D 在直线
013=+-y x 上移动,则顶点B 的轨迹方程为( )
A. 0203=--y x
B. 0103=--y x
C. 0123=--y x
D. 093=--y x
6. 已知两定点A(﹣2,0)、B(1,0),如果动点P 满足PB PA 2=,则点P 的轨迹所围成
的图形的面积等于( )
A. π
B. π4
C. π8
D. π9
7. 已知两点P(﹣2,2),Q(0,2)以及一条直线l :x y =,设长为2的线段AB 在直线l
上移动,求直线PA 和QB 的交点,的轨迹方程。
易错点一:忽视曲线的纯粹性致错
8. 已知两点M(﹣1,0)、N(1,0),且点P 使MN MP ⋅、PN PM ⋅、NP NM ⋅成公差小
于零的等差数列,求点P 的轨迹方程。
易错点二:忽视曲线的完备性致错 9. 求到定圆222R y x =+的距离等于R 的动点P 的轨迹方程,并说明轨迹的形状。
四:习题 (一):选择题 1. 方程122++y x (0<xy )表示的曲线形状是( ) A. B. C. D. 2. 如图,正方体1111D C B A ABCD -中,P 为底面ABCD 上的动点,PE ⊥C A 1于E ,且PA =PE ,则点P 的轨迹是( ) A. 线段
B. 圆弧
C. 圆
D. 抛物线的一部分
3. 设A 为圆()1122
=+-y x 上的动点,PA 是圆的切线,且1=PA ,则点P 的轨迹方程是( )
A. ()2122=+-y x
B. ()4122=+-y x
C. x y 22=
D.
x y 22-= 4. 已知定点M(﹣3,0)、N(2,0),如果动点P 满足PN PM 2=,则点P 的轨迹所包围
的图形面积等于( ) A. 9100π B. 9142π C. 310π D. π9
(二):填空题
5. 从圆42
2=+y x 上任意一点P 向x 轴作垂线段PD ,则线段PD 的中点M 的轨迹方程
为 。
(三):解答题
6. 设动点P(x ,y )(0≥y )到定点F(0,1)的距离比它到x 轴的距离大1,记点P 的轨
迹为曲线C 。
1) 求点P 的轨迹方程;
2) 若圆心在曲线C 上的动圆M 过点A(0,2),试证明圆M 与x 轴相交,且截x 轴所
得的弦长为定值。
7. 已知长为2的线段AB 的两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动,线段AB 的中点,的
轨迹为曲线C 。
1) 求曲线C 的方程;
2) 若点P(x ,y )是曲线C 上的动点,求y x 43-的取值范围;
3) 已知定点Q(0,32),探究是佛UCUN 在一点T(0,t )(3
2≠t )和常数λ满足:对曲线C 上任意一点S ,都有SQ ST λ=成立?若存在,求出t 和λ;若不存在,请说明理由。