概率论与数理统计复习试题及答案

概率论和数理统计真题讲解

（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（）

（B|A）＝0（A|B）＞0

（A|B）＝P（A）（AB）＝P（A）P（B）

『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。

解析：A：，因为A与B互不相容，

，P（AB）＝0，正确；

显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。

故选择A。

提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立；

② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。

2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（）

A.Φ（）

B.Φ（）

C.Φ（1）

D.Φ（3）

『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。

解析：，

故选择C。

提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。

3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（）

『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页

解析：，

故选择A。

提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。

4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（）

A.－3

B.－1

C.－

『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。

解析：1＝，所以c＝－1，

故选择B。

提示：概率密度的性质：

（x）≥0；

4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页

5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（）（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x

C. f（x）＝（x）＝

『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。

解析：①非负性：A不正确；② 验证：B：发散；

C：，正确；D：显然不正确。

故选择C。

提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是

某个随机变量的概率密度。

6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（）

『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。

解析：显然，选择D。

7.已知随机变量X的概率密度为f（x）＝则E（X）＝（）

D.

『正确答案』分析：本题考察一维连续型随机变量期望的求法。

解析：解法一：根据记忆，均匀分布的期望为；

解法二：根据连续型随机变量期望的定义，

故选择B。

提示：哪种方法熟练就用哪种方法。

8.设随机变量X与Y 相互独立，且X～B（16，），Y服从参数为9的泊松分布，则D（X－2Y＋3）＝（）

A.－14

B.－11

『正确答案』分析：本题考察方差的性质。

解析：因为X～B（16，），则D（X）＝n p（1-p）＝16××＝4；Y～P（9）,

D（Y）＝λ＝9，

又根据方差的性质，当X与Y相互独立时，有

D（X－2Y＋3）＝D（X＋（－2）Y＋3）＝D（X）＋D（－2Y）＝4＋36＝40

故选择C。

提示：① 对于课本上介绍的六种常用的分布，它们的分布律（概率密度）、期望、方差都要记住，在解题中，可直接使用结论；

② 方差的性质：(1)D(C)=0 (2) D（aX＋b）＝a2D（x）；

(3) 若X与Y相互独立时，D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）。

（4）D（X+Y）=D（X）+ D（Y）+2cov（X,Y）

这里协方差cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）

9.设随机变量Z n～B（n，p），n＝1，2，…，其中0

＝（）

『正确答案』分析：本题考察棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理。

解析：由棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理

故选择B。

提示：① 正确理解中心极限定理的意义：在随机试验中，不管随机变量服从何种分布，当试验次数趋于无穷大时，它的极限分布都是正态分布，经标准化后成为标准正态分布。可见正态分布在概率统计中是如何重要的！

② 如何记忆中心极限定理定理结论：定理：独立同分布随机变量序列{X i}，E（X i）＝nμ，D（X i）＝nσ2，，分布函数为F n（x），则

；

拉普拉斯中心极限定理同样记忆。

10.设x1，x2，x3，x4为来自总体X的样本，D（X）＝σ2，则样本均值

的方差D（）＝（）

『正确答案』分析：本题考察样本均值的方差。

解析：课本P122，定理，总体X （μ，σ2），则，E

（S2）＝σ2。

故选择D。

（二）填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设随机事件A与B相互独立，且P（A）＝P（B）＝，

则P（A）＝.

『正确答案』分析：本题考察事件的独立性及“和事件”的概率的求法。

解析：因事件A与B相互独立，事件A与也相互独立，则，所以

故填写。

提示：① 四对事件：（A、B），（A、），

（、B），（、

）其一独立则其三独立；