高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第一章_导数及其应用_3 含解析
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第一章 导数及其应用1.3 习题课 Word版含解析
习题课导数的应用
明目标、知重点.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．
．函数()＝－－的单调减区间是．
答案(－，)
解析由′()＝－－<得，－<<，
所以函数()在区间(－，)内单调递减．
．设函数()＝(－)，则()在区间[]上的最小值为．
答案－
解析()＝－，由′()＝－＝，
解得＝，＝－(舍去)．
又＝，()＝，()＝.
所以当＝时，()有最小值＝－.
．设函数()在定义域内可导，＝()的图象如图所示，则导函数＝′()的图象可能为．(填序号)
答案④
解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．
．已知函数()＝－＋＋，若存在满足≤≤的实数，使得曲线＝()在点(，())处的切线与直线＋－＝垂直，则实数的取值范围是．
答案[]
解析由两条直线垂直的充要条件，得＝′()，由于≤≤，
′()＝－＋＋＝－(－)＋，
所以′()∈[]，
又切线的斜率为，所以的取值范围是[]．
．若()在(，)内存在导数，则“′()<”是“()在(，)内单调递减”的条件．
答案充分不必要
解析对于导数存在的函数()，若′()<，则()在区间(，)内单调递减，反过来，函数()在(，)内单调递减，不一定恒有′()<，如()＝－在上是单调递减的，但′()≤.
题型一与导数几何意义有关的问题
例
对正整数，设曲线＝(－)在＝处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列{}的前项和的公式是＝.
答案＋－
解析由＝′＝＝－－(＋)，得切线方程为＋＝－－(＋)(－)，
令＝，求出切线与轴交点的纵坐标为＝(＋)，所以＝，。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2单元检测导数及其应用
数学苏教版2-2第1章 导数及其应用单元检测一、填空题1．函数y ＝sin 3x 的导数是________．2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点__________个．3．已知f (x )＝(x ＋a )2，且132f ⎛⎫'=-⎪⎝⎭，则a 的值为__________． 4．若函数y ＝log a (x 2－2x －3)的增区间是(－∞，－1)，则a 的取值范围是________． 5．aa-⎰|x |d x ＝________.6．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是__________． 7．函数y ＝6x 2－12x 的极值点为________．8．函数()πsin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在点π6⎛ ⎝⎭处的切线方程为________． 9．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________.11．(2012上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．12．若函数24()1xf x x =+在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．二、解答题13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2. (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值．14．求C 的值，使1⎰(x 2＋Cx ＋C )2d x 最小．15．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0.(1)求a ，b 的值；(2)若函数()e ()xg x f x =，讨论g (x)的单调性．参考答案1. 答案：3cos 3x2. 答案：13. 答案：－2 解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a .依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2.4. 答案：0＜a ＜1 解析：定义域为{x |x ＞3或x ＜－1}，函数y ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)上为减函数，∴0＜a ＜1.5. 答案：a 2 解析：aa-⎰|x |d x ＝a-⎰(－x )d x ＋a⎰x d x ＝202201122a ax x a --+=.6. 答案：0≤a ≤21 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点.7. 答案：x ＝18.答案：3π224x y =+- 解析：∵()π3cos 36f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， ∴ππ33cos 632f'⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴32k =.由点斜式，得3π26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即3π224x y =+-. 9. 答案：2 解析：设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线斜率为k 1，则k 1＝f ′(0)＝a . 又直线x ＋2y ＋1＝0的斜率212k =-， 依题意得a ·12⎛⎫-⎪⎝⎭＝－1，∴a ＝2. 10. 答案：1 1 解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则f ′(x )＝2x ＋a ，∴曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在(0，b )处的切线斜率为a . ∴切线方程为y －b ＝ax ， 即ax －y ＋b ＝0.与切线方程x －y ＋1＝0对比，得a ＝1，b ＝1.11. 答案：54 解析：由题意()110,0,211010,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩则()22110,0,211010, 1.2x x xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝1323120121010101105101555333834384x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=⨯+---⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 12. 答案：(－1,0] 解析：由已知得()22244(1)x f x x -'=+在(m ,2m ＋1)上有f ′(x )≥0，即1－x 2≥0，－1≤x ≤1，∴1,211,2 1.m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩∴－1＜m ≤0. 13. 答案：解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x＝224ax bx x ++，x ∈(0，＋∞)，又y ＝f (x )的极值点为1和2，∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴240,8240.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩(2)由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ，∴f ′(x )＝2x －6＋4x＝2264x x x -+＝2(1)(2)x x x--，x ∈(0,3].当∵f (3)＝4ln 3－9＞－5＝f (1)，且f (3)＝4ln 3－9＞4ln 2－8＝f (2)， ∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9. 14. 答案：解：令y ＝1⎰(x 2＋Cx ＋C )2d x＝1⎰(x 4＋2Cx 3＋C 2x 2＋2Cx 2＋2C 2x ＋C 2)d x＝542332221011125233x Cx C x Cx C x C x ⎛⎫+++++⎪⎝⎭＝2177563C C ++ ＝2711334240C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以当14C =时，y 最小，即当14C =时，10⎰(x 2＋Cx ＋C )2d x 最小.15. 答案：解：(1)∵f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b .又f (x )在x ＝0处取得极值，故f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0相互垂直可知，该切线斜率为2，即f ′(1)＝2a ＝2，从而a ＝1.(2)由(1)知，g (x )＝()2e xg x x k=+(k ＞0)，222e (2)()()x x x k g'x x k -+=+(k ＞0)， 令g ′(x )＝0，得x 2－2x ＋k ＝0.①当Δ＝4－4k ≤0，即当k ≥1时，g ′(x )≥0在R 上恒成立，故函数g (x )在R 上为增函数.②当Δ＝4－4k ＞0，即当0＜k ＜1时，方程x 2－2x ＋k ＝0有两个不相等实根x 1＝1－x 2＝1当x ∈(－∞，1时，g ′(x )＞0，故g (x )在(－∞，1上为增函数；当x ∈(11时，g ′(x )＜0，故g (x )在(11上为减函数；当x ∈(1∞)时，g ′(x )＞0，故g (x )在(1∞)上为增函数.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 微积分基本定理学业分层测评 苏教版选修2-2-苏教版高二
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用1.5.3 微积分基本定理学业分层测评 苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝________.【解析】 ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.【答案】 －132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.【导学号：01580026】【解析】 ∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1， ∴⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x ) |π＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 【答案】 π3．将曲边y ＝e x，x ＝0，x ＝2，y ＝0所围成的图形面积写成定积分的形式________． 【答案】 ⎠⎛02e x d x4．定积分⎠⎛233t d x (t 为大于0的常数)的几何意义是________．【答案】 由直线y ＝3t ，x ＝2，x ＝3，y ＝0所围成的矩形的面积．5．由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图153)是________．(写成定积分形式)图153【答案】 ⎠⎛04()x 2－4d x6．设a ＝⎠⎛01x d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x <⎠⎛01x 2d x <⎠⎛01x d x ，即a >b >c .【答案】 a >b >c7．计算定积分⎠⎛－11 4－4x 2d x ＝________.【解析】 由于⎠⎛－114－4x 2d x＝2⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的面积π， 所以⎠⎛－114－4x 2d x ＝π.【答案】 π8．(2016·河北衡水三模)如图154由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．图154【解析】 把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积．＝22－233＋2－13－12＝423＋76. 【答案】423＋76 二、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛121xx ＋1d x ；【解】 (1)∵⎠⎛121x x ＋1d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x＝ln x －ln (x ＋1)]| 21＝ln 43.10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x )．【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，①f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，②⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx | 10 ＝13a ＋12b ＋c ＝196，③ 由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2. 所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.能力提升]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |21＝56.【答案】 562．(2016·长沙高二检测)f (x )＝sin x ＋cos x ，【解析】＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin π2＋sin π2＝1＋1＝2. 【答案】 23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.【解析】 因为f (1)＝lg 1＝0， 且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a0＝a 3－03＝a 3，所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1. 【答案】 14．计算：⎠⎛－22 (2|x |＋1)d x ＝__________.【解析】 ⎠⎛－22 (2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－20 (－2x ＋1)d x ＋⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|2＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12. 【答案】 125．已知f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．【解】 因为f (x )＝⎠⎛－ax (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝⎠⎛01f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1. 所以当a ＝－1时，F (a )的最小值为1.。
高中数学 第一章《导数及其应用》单元检测 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题
江苏省苏州市第五中学高中数学第一章《导数及其应用》单元检测苏教版选修2-2一、知识点梳理二、学法指导1．本章内容共分为四节，第一节是导数的概念．教材通过实例给出了平均变化率，进而给出了函数平均变化率的概念．接着教材给出了曲线上一点处的切线、瞬时速度和瞬时加速度的概念，进而给出了导数的概念．第二节是导数的运算，教材介绍了常见函数的导数，导数的四则运算以及简单复合函数的导数．第三节是导数在函数研究中的应用，主要是利用导数研究函数的单调性、求函数的极大值、极小值以及求函数在闭区间上的最大值和最小值．第四节是导数在实际生活中的应用，主要是利用导数的方法求实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等最优化的问题．2．本章的重点：一是利用导数的定义求简单函数的导数，能利用导数公式表、运算法则求导数．二是利用导数判断函数的单调性，求函数的极大值、极小值、最大值、最小值．三是利用导数的方法解决实际应用问题．本章的难点是对导数概念的理解，导数方法的应用，特别是求一些实际问题的最值．3．建议：(1)借助于实例，从平均速度、瞬时速度到函数的瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念．通过例题，体会利用导数的定义求导数的方法．(2)借助于图形去认识和理解导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的作用．(3)利用基本初等函数的求导法则和四则运算求导数，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此，观察表达式的特点，对表达式进行适当的变形时优化解题过程的关键．对于复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．(4)利用导数的方法解决实际问题时，数学建模是关键．特别是对有关物理问题，能够将其物理意义与求导数联系起来．三、单元自测(一) 填空题(每小题5分，共70分)1．半径为R 的圆受热均匀膨胀，若半径增加了r ，则圆面积的平均膨胀率是__________． 2．已知函数()2x f x -=，则(2)f '=__________________． 3．已知函数y ＝log 2(3x ＋1)，则它的导数为_______________． 4．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ， 则(3)(3)f f '+= ． 5．若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，()()2f a h f a h--→____．6．已知函数32()32,[0,]f x x x x m =-+∈在x =0处取得最大值，在x =2处取得最小值，则m 的取值范围是 ．7．要做一个母线长为20厘米的圆锥形的漏斗，当高为 厘米时，该漏斗的体积最大? 8．设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 9．若函数f(x)=31(1)34xa x --在其定义域内没有极值，则a 的取值范围为_________． 10．若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是__________． 11．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =___________． 12．设函数()()()cos30f x x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+ 是奇函数，则ϕ=__________．13．函数f (x )=x 3－3x ，1,2x a ⎡⎤∈+⎣⎦的最小值为a －2，则实数a 的值为__________．14．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，()ln f x x ax =-． 若函数()f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． (二) 解答题(15、16每小题13分，17~20每小题16分，共90分)15．如果曲线31y x x =++的某一条切线与直线133y x =+平行，求切点坐标和切线方程． 16．已知a 是实数，函数()()f x x x a =-，求函数()f x 的单调区间．17．如图，在矩形地块ABCD 中有两条道路AF ，EC ，其中AF 是以A 为顶点的抛物线段，EC 是线段．AB=2km ，BC=6km ，AE=BF=4km ．在两条道路之间计划修建一个公园，公园的形状为直角梯形QPRE(线段EQ 和RP 为两个底边，如图所示)．求该公园的最大面积． 18．设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且 (1)求函数()f x 的单调区间；(2)已知12axx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围．19．已知2()(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x g x e -=，()()()x f x g x Φ=．(1)当a =1时，求()x Φ的单调区间；(2)是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为3?若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 20．已知函数2*()2cos πln (f x x a k x k =-⋅∈N ，a ∈R ，且0a >）． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若2010k =，关于x 的方程()2f x ax =有唯一解，求a 的值． 高二数学《导数及其应用》单元测试试卷答案 一、填空题：(每小题5分，共70分)1．2R r ππ+ 2．ln 24- 3．3(31)ln 2x + 4．4 5．1- 6．[]2,3 7．2038．(]0,3 9．(],1-∞ 10．(,1]-∞- 11．2- 12．6π 13．0 14．1(0,)e二、解答题：15．当切点为(2,11)时，切线方程为1315y x =-；………………………………6分 当切点为(2,9)--时，切线方程为1317y x =+．………………………………13分16．解：函数的定义域为[0)+∞，， ………………………………………………1分 ()22f x x x x'==（0x >）．………………………………………………3分 若0a ≤，则()0f x >，()f x 有单调递增区间[0)+∞，．…………………………7分 若0a >，令()0f x '=，得3a x =，当03a x <<时，()0f x '<，当3ax >时，()0f x '>．()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．…13分17．解：建立如图所示的直角坐标系…………………2分 则有抛物线段的方程为x 2=y （0<x<2）………7分 E （0，4），C （2，6），EC 的方程为y=x+4．设P(x,x 2)（x∈(0,2)），则PQ=x ，QE=4－x 2，PR=4+x －x 2．面积 ……………9分，即得（舍负） (11)分+ 0 － S单调增 极大值单调减S 在时取极大值，即为最大值，最大值为……………………………15分答：该公园的最大面积为……………………………………………16分18．解 (1) '22ln 1(),ln x f x x x+=- ………………………………………………2分 若 '()0,f x = 则 1x e=………………………………………………3分 x 1(0,)e1e1(,1)e(1,)+∞'()f x+0 --()f x单调增极大值1()f e单调减 单调减 ()f x 有单调递增区间0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间,1e ⎛⎫⎪⎝⎭和()1+∞，．………………9分(2) 在 12ax x > 两边取对数， 得 1ln 2ln a x x >，由于01,x <<所以1ln 2ln a x x>（1）由(1)的结果可知，当(0,1)x ∈时， 1()()f x f e e≤=-， 为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立，当且仅当ln 2ae >-，即ln 2a e >-……………16分 19．解：（1）当221,()(1),'()()x x a x x x e x e x x --=Φ=++Φ=-+时． ……2分'()0,01;'()0,10.x x x x x Φ><<Φ<><当时当时或 ∴()x Φ的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为(,0)-∞，(1,)+∞． ……7分（2）22'()(2)()[(2)]x x x x x a e e x ax a e x a x ---Φ=+-++=-+-， …………9分令'()0,02x x x a Φ===-得或． ………………10分a=2时，()x Φ无极值；由表可知，()(2)(4)x a a e Φ=Φ-=-极大． ………………13分 设22()(4),'()(3)0a a a a e a a eμμ--=-=->，∴()(,2)a μ-∞在上是增函数， ∴ ()(2)23a μμ≤=<，即2(4)3a a e --≠，∴不存在实数a ，使()x Φ极大值为3． …………………………16分 20．（1）由已知得x ＞0且2()2(1)k a f x xx'=--⋅．当k 是奇数时，()0f x '>，则f (x )在(0,+∞)上是增函数; …………………3分 当k 是偶数时，则2()2a f x x x'=-． …………………5分所以当x ∈(时，()0f x '<，当x ∈(),a +∞时，()0f x '>．故当k 是偶数时，f (x )在(上是减函数，在(),a +∞上是增函数．……………7分 （2）若2010k =，则2*()2ln ()f x x a x k =-∈N ．记g (x) = f (x ) – 2ax = x 2– 2 a x ln x – 2ax , 222()22()a g x x a x ax a x x'=--=--,若方程f (x )=2ax 有唯一解，即g (x )=0有唯一解； ……………………………9分 令()0g x '=,得20x ax a --=．因为0,0a x >>，所以10 x =<（舍去），2 x ． ………………………11分 当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 是单调递减函数； 当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞上是单调递增函数．当x =x 2时, 2()0g x '=，min 2()()g x g x =． ………………………………12分 因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =．则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，， 即22222222ln 200x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，…………………………………13分两式相减得22ln 0 a x ax a +-=，因为a >0，所以222ln 10 (*)x x +-=． …………14分设函数()2ln 1h x x x =+-，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x ) = 0至多有一解．因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得12a =． (16)分。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 第一章 导数及其应用 章末检测
第一章《导数及其应用》章末检测一、填空题1．物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为________．2．函数y ＝x 2cos x 的导数y ′＝________. 3．函数y ＝3x －x 3的单调增区间是________．4．若f (x 0)存在且f ′(x 0)＝0，下列结论中正确的是________．(填序号) ①f (x 0)一定是极值点；②如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ③如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x ) <0，那么f (x 0)是极小值； ④如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值． 5．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为________．6．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.7．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．8．若函数y ＝a (x 3－x )的增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭⎫33，＋∞，则a 的取值范围是________． 9．函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如右图所示的一条直线，则y ＝f (x )图象的顶点在第________象限．10．已知函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为________．11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22＝________.13．已知f (x )＝(2x －x 2)e x ，给出以下四个结论：①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值；④f (x )有最大值，没有最小值． 其中判断正确的结论序号是________． 二、解答题14．已知函数y ＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线方程． 15．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．16．设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．17．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． 18．已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12.(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．19．设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(3)如果对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．答案1．1252．2x cos x －x 2sin x 3．(－1,1) 4．②5．3x －y －1＝0 6．2 7．2 8．a >0 9．一10．a <13且a ≠011．[3π4，π)12.83 13．①②④14．解 曲线方程为y ＝x 3－3x ，点A (0,16)不在曲线上． 设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0. 因为f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)． 点A (0,16)在切线上，则有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)．化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2.所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0. 15．解 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)， 所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．16．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”． 由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值范围是[1,9]．17．解 (1)设长为x m ，则宽为200xm.据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤16，200x ≤16，解得252≤x ≤16，y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2·200x ×400＋400x×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x＋16 000⎝⎛⎭⎫252≤x ≤16. (2)由(1)知y ′＝800－259 200x 2，令y ′＝0，解得x ＝18，当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数．∴在x ∈⎣⎡⎦⎤252，16上，函数y 单调递减，∴当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45 000元． 18．解 (1)∵f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)．∴f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知，得6a ＝12，∴a ＝2，∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x (x ∈R )．(2)方程f (x )＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，h (x )是增函数．∵h (3)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， ∴方程h (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f (x )＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根．19．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝2x＋x ln x ，f ′(x )＝－2x 2＋ln x ＋1，f (1)＝2，f ′(1)＝－1，故y －2＝－(x －1)．所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为x ＋y －3＝0.(2)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于：[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M ，g (x )＝x 3－x 2－3，g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎛⎭⎫x －2， 由上表可知：g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1， [g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227，所以满足条件的最大整数M ＝4.(3)对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立．等价于：在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )的最小值不小于g (x )的最大值，由(2)知，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1. ∴f (x )min ≥1.又∵f (1)＝a ，∴a ≥1.下面证当a ≥1时，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )≥1成立．当a ≥1且x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1x＋x ln x ， 记h (x )＝1x ＋x ln x ，h ′(x )＝－1x 2＋ln x ＋1，h ′(1)＝0，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，h ′(x )＝－1x2＋ln x ＋1<0； 当x ∈(1,2]时，h ′(x )＝－1x2＋ln x ＋1>0，所以函数h (x )＝1x＋x ln x 在区间⎣⎡⎭⎫12，1上递减，在区间(1,2]上递增，h (x )min ＝h (1)＝1，即h (x )≥1，所以当a ≥1且x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )≥1成立，即对任意s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2都有f (s )≥g (t )．。
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第一章 导数及其应用1.3.1 Word版含解析
单调性
明目标、知重点
．结合实例，探索并掌握函数的单调性与导数的关系.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
导数与函数单调性的关系
()在区间(，)内，由导数的正、负判断函数的单调性
导数函数的单调性
′()>单调递增
′()<单调递减
′()＝常数函数
()在区间(，)内，由函数的单调性判断导数的符号
函数的单调性导数
单调递增′() ≥
单调递减′()≤
常数函数′()＝
[情境导学]
以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设<的前提下，比较()与()的大小．但在函数＝()比较复杂的情况下，比较()与()的大小并不容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．
探究点一函数的单调性与导函数正负的关系
思考观察高台跳水运动员的高度随时间变化的函数()＝－＋＋的图象，及运动员的速度随时间变化的函数()＝′()＝－＋的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．
答()从起跳到最高点，随的增加而增加，即()是增函数，′()>；
()从最高点到入水，随的增加而减小，即()是减函数，′()<.
思考观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
答()在区间(－∞，＋∞)内，′＝>，是增函数；。
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第一章 导数及其应用 Word版含解析
变化率与导数．变化率函数的平均变化率为＝＝，它是用来刻画函数值在区间[，]上变化快慢的量．式中Δ，Δ的值可正、可负，当函数()为常数函数时，Δ的值为，但Δ不能为.当Δ趋于时，平均变化率就趋于函数在点的瞬时变化率．．导数的概念及其几何意义函数＝()在点的导数即为函数＝()在点的瞬时变化率，即当Δ趋于时，函数值关于的平均变化率＝的极限值；Δ趋于，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．函数＝()在点处的导数的几何意义是曲线＝()在点(，())处的切线的斜率，即′()＝＝α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．例如图所示，函数()的图象是折线段，其中，，的坐标分别为()，()，()，则[()]＝；′()＝.(用数字作答)解析由()，()可得线段的方程为()＝－＋(≤≤)．同理线段的方程为()＝－(<≤)．所以()＝所以()＝，[()]＝()＝，′()＝－.答案－例函数()的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是．①<′()<′()<()－()②<′()<()－()<′()③<′()<()－()<′()④<()－()<′()<′()解析根据导数的几何意义，考查函数在点(，())及(，())处的切线的斜率．由图可见，过点的切线的斜率大于过点的切线的斜率，则有<′()<′()．另一方面，这两点的平均变化率为＝()－()，其几何意义为割线的斜率．由图，可知<′()<()－()<′()．答案③点评本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查．通过上述事例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连结初等数学与导数的一个。
苏教版数学高二- 选修2-2第一章《导数及其应用》综合检测
综合检测(一) 第1章 导数及其应用 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．已知物体的运动方程为S(t)＝t 2＋3t (t 是时间，S 是位移)，则物体在t ＝2时的瞬时速度为________．【解析】 S′(t)＝2t －3t 2，∴S′(2)＝4－34＝134. 【答案】 1342．若函数f(x)＝13x 3－f′(1)·x 2－x ，则f′(1)的值为________． 【解析】 f′(x)＝x 2－2f′(1)·x －1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1， 解得f′(1)＝0. 【答案】 03．函数f(x)＝cos xx 的导数为________． 【解析】 f′(x)＝(cos xx )′＝（cos x ）′x －x′cos x x 2＝－xsin x －cos x x 2＝－xsin x ＋cos x x 2.【答案】 －xsin x ＋cos xx 24．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的坐标为________． 【解析】 ∵y′＝x 2－3x ， ∴⎩⎨⎧x 2－3x ＝12，x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6＝0，x>0，得x ＝3，故切点坐标为(3，94－3ln 3)． 【答案】 (3，94－3ln 3)5．y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________． 【解析】 y′＝6x 2－6x ＝6x(x －1)， 令y′＝0， 则x ＝0或x ＝1.∴y 在(－∞，0)上递增，在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增， ∴y 极大＝y|x ＝0＝a ，∴a ＝6. 【答案】 66．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________． 【解析】 y′＝－4x 2＋b ，由题意知y′＝0，即－4x 2＋b ＝0有两个不等实根，∴b>0.【答案】 (0，＋∞)7．设f(x)＝xln x ，若f′(x 0)＝2，则x 0＝________． 【解析】 f′(x)＝ln x ＋x·1x ＝ln x ＋1＝2， ∴ln x 0＝1. ∴x 0＝e. 【答案】 e8．已知函数f(x)＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f(x)在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．【解析】 f′(x)＝3mx 2＋2nx ，且f(x)在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行．∴⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝2，3m －2n ＝－3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. 因此f′(x)＝3x 2＋6x. 令f′(x)≤0，得－2≤x ≤0. ∴f(x)的单调减区间为[－2，0]．依题意t ≥－2且t ＋1≤0，∴－2≤t ≤－1. 【答案】 [－2，－1]9．函数f(x)＝12e x (sin x ＋cos x)在区间[0，π2]上的最小值是________． 【解析】 f′(x)＝12e x (sin x ＋cos x)＋12e x (cos x －sin x)＝e x cos x ， ∵0≤x ≤π2，∴f ′(x)＝e x cos x ≥0， 则f(x)在[0，π2]上是增函数． ∴f(x)的最小值f(0)＝12. 【答案】 12图110．如图1，函数F(x)＝f(x)＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)＋f ′(5)＝________．【解析】 ∵切点P(5，y 0)在切线y ＝－x ＋8上 ∴y 0＝3，则F(5)＝y 0＝3， ∴f(5)＝F(5)－15×52＝－2. 又F′(x)＝f′(x)＋25x ，由导数的几何意义F′(5)＝f′(5)＋2＝－1. ∴f′(5)＝－1－2＝－3， 从而f(5)＋f′(5)＝－2－3＝－5. 【答案】 －511．若a ＞2，则函数f(x)＝13x 3－ax 2＋1在区间(0，2)恰好有________个零点． 【解析】 f′(x)＝x 2－2ax ＝x(x －2a)，令f′(x)＝0得x 1＝0，x 2＝2a ＞4，∴x ∈(0，2)时，f ′(x)＜0，f(x)为减函数．∵f(0)＝1＞0，f(2)＝113－4a ＜0，∴f(0)f(2)＜0， ∴f(x)在(0，2)内有且只有一个零点． 【答案】 112．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________dm 时最省料． 【解析】 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为 S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2， 令S′＝0，则x ＝8，∴高h ＝25682＝4(dm)时最省料． 【答案】 413．(2012·重庆高考改编)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，如图2，则函数y ＝xf′(x)的图象可能是________．(填序号)图2【解析】 ∵f(x)在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2的左侧，f ′(x)＜0；在x ＝－2的右侧，f ′(x)＞0， 则y ＝xf′(x)在x ＝－2的左侧y ＞0，在x ＝－2的右侧y ＜0. ∴图象③符合要求． 【答案】 ③14．若函数f(x)＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，从而k －1≥0，k ≥1. 又f′(x)＝4x －1x ， 令f′(x)＝0，得x ＝12.易知f(x)在(0，12)上递减，在(12，＋∞)上递增． 由于f(x)在(k －1，k ＋1)内不单调． ∴k －1＜12＜k ＋1，且k ≥1，故1≤k ＜32. 【答案】 [1，32)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)一种质量为1 kg 的物质，在化学分解中，所剩的质量m(单位：kg)与化学分解的时间t(单位：min)的关系可以表示为m(t)＝e －2t .(1)求当t 从1变到2时，质量m 关于t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求m′(2)，并解释它的实际意义．【解】 (1)平均变化率为e －4－e －22－1≈－0.117 0.它表示在t ＝1 min 到t ＝2 min这段时间内，该物质剩余质量变化的速度是－0.117 0 kg/min ，即该物质剩余质量平均每分钟减少0.117 0 kg.(2)m′(t)＝(1e t ·et )′＝－（e t ·e t＋e t ·e t）e 4t ＝－2e 2t ，则m′(2)＝－2e －4≈－0.036 6，它表示在t ＝2 min 这一时刻，该物质剩余质量变化的瞬时速度约为－0.036 6 kg/min.16．(本小题满分14分)已知f(x)＝x 3－32x 2－3x ＋1，设g(x)＝f′(x)e －x ，求函数g(x)的极值．【解】 g(x)＝(3x 2－3x －3)e －x ，g ′(x)＝(－3x 2＋9x)e －x ，令g′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.列表如下：x (－∞，0)0 (0，3) 3 (3，＋∞)g′(x)－＋－g(x)－315e －3g(3)＝15e －3.17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax 2－43ax ＋b ，f(1)＝2，f ′(1)＝1. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1，2)处的切线方程． 【解】 (1)f′(x)＝2ax －43a ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝2a －43a ＝1，f （1）＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52，∴f(x)＝32x 2－2x ＋52.(2)∵f′(1)＝1，∴f(x)在(1，2)处切线的斜率为1， 故所求切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.18．(本小题满分16分)设函数f(x)＝a 2ln x －x 2＋ax(a>0)． (1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f(x)≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 【解】 (1)∵ f(x)＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x>0， ∴f ′(x)＝a 2x －2x ＋a ＝－（x －a ）（2x ＋a ）x，由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间(a ，＋∞)． (2)由题意得，f(1)＝a －1≥e －1， 即a ≥e ，由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，要使e －1≤f(x)≤e 2对x ∈[1，e]恒成立， 只要⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －1≥e －1，f （e ）＝a 2－e 2＋ae ≤e 2，解得a ＝e.19．(本小题满分16分)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式：y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2＜x ＜6，m 为常数，已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套题)．试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解】 (1)因为x ＝4时，y ＝21， 代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，∴每日获得利润f(x)＝1 000(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝1 000[10＋4(x －6)2(x －2)] ＝4 000(x 3－14x 2＋60x －72)， 其中2＜x ＜6.从而f′(x)＝4 000(3x 2－28x ＋60) ＝4 000(3x －10)(x －6)．令f′(x)＝0，得x＝103，且在(2，103)上，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；在(103，6)上，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以x＝103是函数f(x)在(2，6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x＝103≈3.3时，函数f(x)取得最大值．故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝a2x2－ln x，(1)若a＝1，证明f(x)没有零点；(2)若f(x)≥12恒成立，求a的取值范围．【解】(1)a＝1时f(x)＝12x2－ln x(x＞0)，f′(x)＝x－1x.由f′(x)＝0，得x＝1，可得f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．故f(x)的最小值f min(x)＝f(1)＝12＞0，所以f(x)没有零点．(2)f′(x)＝ax－1x＝ax2－1x，①若a＞0，令f′(x)＝0，则x＝1a ，故f(x)在(0，1a)上单调递减，在(1a，＋∞)上单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f(1a)＝12＋12ln a，要使f(x)≥12恒成立，只需12＋12ln a≥12，得a≥1；②若a≤0，f′(x)＜0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，观察函数f(x)，可得f(1)＝a2≤0，故不可能有f(x)≥12恒成立．综上所述，a≥1.即a的取值范围是[1，＋∞)．。
高中数学苏教版选修2-2第一章《导数及其应用》word导学案(含解析)
第1章导数及其应用第1课时平均变化率教学过程一、问题情境现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下:时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃“气温陡增”这一句生活用语,用数学方法如何刻画?二、数学建构问题1“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面)[1]问题2如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度?[2]解通过讨论,给出函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率:.概念理解1.具体计算函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可用==,应注意分子、分母的匹配.2.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,从定义看,f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.巩固概念问题3回到问题情境中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.解从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5;4月18日到4月20日的日平均变化率为7.4.从形的角度:比较斜率的大小.[3]三、数学运用【例1】设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,求:(1)自变量的增量Δx;(2)函数的增量Δy;(3)函数的平均变化率.[处理建议]根据定义来求解.[规范板书]解(1)Δx=1.1-1=0.1.(2) Δy=1.12-1-(12-1)=0.21.(3)==2.1.[题后反思]求平均变化率时关键在于理解定义,知道Δx与Δy分别指的是什么.【例2】(教材第7页例4)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率.(见学生用书P2)[处理建议]可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容,让学生体会的含义.[规范板书]解函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=2,函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为=2,函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=-2,函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为=-2.[题后反思]一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率就等于k.变式若质点运动规律为S=5t+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于5.【例3】如图所示,路灯距地面8m,一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走,求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)(例3)[处理建议]首先理解题意,其次分析影子长度在图中变化的关系.[规范板书]解84m/min=1.4m/s.设人的影长为y,时间为x,根据相似三角形列式== ,得y=x,人影长度变化速率为v===.[题后反思]几何类应用题需观察图形,数形结合地考虑问题.*【例4】已知函数f(x)=2x2+1,分别计算函数f(x)在区间[1,4],[1,2],[1,1.5]上的平均变化率.[处理建议]引导学生利用平均变化率的概念解题.[规范板书]解在[1,4]上的平均变化率为=10,在[1,2]上的平均变化率为=6,在[1,1.5]上的平均变化率为=5.变式已知函数f(x)=,计算函数f(x)在区间[1,2]上的平均变化率.[规范板书]解在[1,2]上的平均变化率为=-.*【例5】求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率.[处理建议]本题与前面几个例题的区别在于:由字母代替具体区间,但是处理问题仍然只需抓住本质,利用平均变化率的概念解题.[规范板书]解当自变量从x0到x0+Δx时,函数的平均变化率为=3+3x0Δx+Δx2.变式求函数f(x)=在区间内的平均变化率.[规范板书]解===.四、课堂练习1.黄金周期间,若本市某大型商场的日营业额从1500万元增加到4300万元,则该商场黄金周期间日营业额的平均变化率是400.提示利用平均变化率的概念.2.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是5.提示一次函数在区间上的平均变化率即为斜率.3.若函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则m的值为2.提示由=3,得m=2.4.已知正方形原来的边长为4m,现在边长以 2 m/s的速度增加,若设正方形的面积为S(单位:m2),时间为t(单位:s),则由时间t(s)到t+1(s)时正方形的面积增加了(20+8t)m2.提示S=(4+2t)2,则ΔS=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t(m2).五、课堂小结1.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为.2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略的刻画.第2课时曲线上一点处的切线教学过程一、问题情境平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的朴素方法.[3]展示下图:(图1)(图2)二、数学建构问题1观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象?解曲线在点P附近看上去几乎成了直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.问题2“几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置么?又为什么说是“几乎”呢?(图3)解点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势.问题3怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢?以右图为例.解随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.[4]概念生成动画演示,观察点Q的运动,直线PQ的运动,直线PQ斜率的变化,从而生成概念.(图4)(图5) Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线;当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l 就称为曲线在点P处的切线.[5]问题4对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么?我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢?由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即成切线斜率.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x))处切线的斜率.[6]三、数学运用【例1】用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线.(见学生用书P3)(例1(1))(例1(2))(1)初中平面几何中圆的切线的定义是什么?(2)图(1)中和图(2)中切线与曲线公共点的个数分别是多少?公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论?你能否用函数曲线的切线举出反例?[处理建议]让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.[规范板书]解(1)与圆只有1个公共点的直线称为圆的切线.(2)图(1)中1个;图(2)中2个;不适用.[题后反思]强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况.[7]变式曲线y=x3在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点?[规范板书]解2个.【例2】(教材第9页例1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率.(见学生用书P4)[处理建议]为求得在点(2,4)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.[规范板书]解设P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),则割线PQ的斜率为k PQ==4+Δx,当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.[题后反思]本题教学手法可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取Δx<0进行比较.如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密.变式已知f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率.[规范板书]解设P(-1,-1),Q-1+Δx,,则割线PQ的斜率为k PQ==,当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数-1,从而曲线y=f(x)在点P(-1,-1)处的切线斜率为-1.【例3】已知曲线y=在点(1,4)处的切线与直线l平行,且与l的距离等于,求直线l 的方程.(见学生用书P4)[处理建议]应用平行直线的斜率关系和距离公式.[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-4,所以曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4,故切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.设直线l的方程为4x+y+c=0,由题有=,解得c1=9,c2=-25,所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.[题后反思]进一步让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:(1)求差商;(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0).变式若直线y=3x+1是曲线y=ax2的切线,求a的值.[处理建议]本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程.[规范板书]解设切点为(x,ax2),==2ax+aΔx.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为2ax.由可求得a=-.*【例4】试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.[处理建议]本题应设出切点(x 0,),求出相应的切线方程,再利用此方程过点P(3,5),用待定系数法求出x0.[规范板书]解设所求切线的切点坐标为(x 0,),==2x0+Δx,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2x0,所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0,则所求切线方程可表示为y-=2x0(x-x0),因为切线过点P(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或5,即所求的切线有两条,方程分别是y=2x-1和y=10x-25.[题后反思]本题会误以为点P(3,5)是切点,导致过点P(3,5)处的切线斜率为6的错误.变式求曲线y=x3的过点(-1,-1)的切线方程.[规范板书]解设所求切线的切点坐标为(x 0,),==3+3x0Δx+Δx2,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于3,所以曲线在切点处的切线的斜率为3,则所求切线方程可表示为y-=3(x-x0),因为切线过点(-1,-1),所以-1-=-3(x0+1),解得x0=-1或,即所求的切线有两条,方程分别是y=3x+2和y=x-.[题后反思]易误以为点(-1,-1)一定是切点,没有讨论点(-1,-1)是切点和不是切点两种情况.四、课堂练习1.在下列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出过点P的切线的有②②.(填序号)(第1题)2.求曲线y=在点(1,)处的切线的斜率.解设P(1,),Q(1+Δx,),则割线PQ的斜率为k PQ==.当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数,从而曲线y=f(x)在点(1,)处的切线斜率为.3.已知抛物线y=ax2+bx-7过点(1,1),过点(1,1)的抛物线的切线方程为y=4x-3,求a,b的值.解利用求切线斜率的方法可求出在(1,1)的斜率为2a+b,所以可得a=-4,b=12.五、课堂小结[8]1.知识层面:主要学习了曲线上一点处的切线.2.思想方法层面:利用“局部以直代曲”和“无限逼近”的思想,用割线来逼近切线.3.总结我们经历过的“以直代曲”“无限逼近”的生活实例和数学实例.[9]第3课时瞬时速度与瞬时加速度教学过程一、问题情境在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度,那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢?先看实例.跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度.[1]二、数学建构问题1求出运动员在2s到2.1s(即t℃[2,2.1])的平均速度.解==-13.59(m/s).问题2:利用计算器,请分组算出更短的时间内的平均速度.解t℃[2,2.01],==-13.149;t℃[2,2.001],==-13.1049;t℃[2,2.0001],==-13.10049;t℃[1.9,2], =-12.61;t℃[1.99,2],=-13.051;t℃[1.999,2],=-13.0951.问题3观察所得的数据,你能发现当Δt无限逼近于0时,平均速度无限逼近于什么?[2]解-13.1.概念生成一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题4类比瞬时速度的概念,你能否概括出瞬时加速度的概念?解一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.[3]三、数学运用【例1】(教材第12页例2)已知一辆轿车在公路上作加速直线运动,假设t s时的速度为v(t)=t2+3,求当t=t0 s时轿车的瞬时加速度a.(见学生用书P5)[处理建议]利用瞬时加速度的定义,先求平均加速度.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均加速度为====2t0+Δt,当Δt→0时,→2t 0,即a=2t0.所以,当t=t0 s时轿车的瞬时加速度为2t0.变式物体运动的速度v与时间t的关系是v(t)=t2+4t,求t=2时物体的瞬时加速度.解在2到2+Δt的时间内,轿车的平均加速度为===8+Δt,当Δt→0时,→8,即a=8.所以,当t=2时轿车的瞬时加速度为8.【例2】一作直线运动的物体,其位移S与时间t的关系式是S=3t-t2.(见学生用书P6)(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;(3)求t=0到t=2的平均速度.[处理建议]初速度是t=0时的瞬时速度,本题需先求出平均速度,然后利用瞬时速度的定义进行求解.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均速度为===(3-2t0)-Δt,当Δt→0时,→3-2t0.所以,当t=t0时轿车的瞬时速度为3-2t0.(1)v(0)=3.(2)v(2)=-1.(3)==-2.[题后反思]本题应注意瞬时速度与平均速度的区别.变式一质点沿直线运动,运动方程为S=10+8t-4t2,其中t单位为s,S单位是m.(1)计算[t,t+Δt]内的平均速度;(2)求当t=0,1,2,3时刻的速度.[规范板书]解(1)在t到t+Δt的时间内,轿车的平均速度为===8-8t-4Δt.(2)由(1)知,当Δt→0时,→8-8t,所以t s时轿车的瞬时速度为8-8t(m/s).t=0s时的速度为8 m/s,t=1 s时的速度为0 m/s,t=2 s 时的速度为-8 m/s,t=3 s时的速度为-16 m/s.【例3】某容器里装有1 L纯酒精,现以每秒L的速度往容器里注水,求酒精浓度在某时刻t的变化率.(见学生用书P6)[处理建议]本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点,为导数的形式化定义作铺垫.[规范板书]解酒精浓度随时间变化的表达式为c(t)==,在t到t+Δt的时间内,酒精的平均浓度为===,当Δt→0时,→.所以,当t s时酒精的瞬时变化率为.[题后反思]通过本题的讲解,进一步让学生体会瞬时变化率的本质,更好地理解概念.变式设电量Q与时间t的函数关系为Q=2t2+3t+1,其中Q的单位为C,t的单位为s,求t=3s时的电流强度.[处理建议]赋予不同的实际背景,某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,电量的平均变化率为===2Δt+4t+3.当Δt→0时,→4t+3.所以3s时的电流强度为15A.*【例4】若一物体的运动方程是S=5t+t2(位移单位:m;时间单位:s),则下述结论中正确的是②②②.(填序号)②物体在时间段[0,1]内的平均速度是m/s;②物体在t=1s时的瞬时速度是8 m/s;②物体在时间段[0,1]内经过的位移是8m;②物体在时间段[0,1]内经过的位移是m.[处理建议]本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念.变式若作直线运动的物体的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系为v(t)=t2,则在前3 s内的平均加速度是3 m/s2,在t=3 s的瞬时加速度是6 m/s2.提示前3s内的平均加速度是=3(m/s2).在t到t+Δt的时间内,物体的平均加速度为===2t+Δt,当Δt→0时,→2t.所以3s时的瞬时加速度为6 m/s2.[题后反思]易误以为前3 s内的平均加速度是=(m/s2).四、课堂练习1.若一质点沿直线运动的方程为y=-2x2+1(x表示时间,y表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为-6.提示==-6.2.已知一物体的运动方程是S=t3+2t(t(s)表示时间,S(m)表示位移),那么瞬时速度为14 m/s的时刻是2s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===3tΔt+3t2+2.当Δt→0时,→3t2+2,所以,时刻t s的瞬时速度为3t2+2.由题意得3t2+2=14,t=2 s.3.若某物体的运动方程为S=t4-3(t(s)表示时间,S(m)表示位移),则t=5 s时该物体的瞬时速度为125 m/s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===t3+(Δt)3+t(Δt)2+t2Δt,当Δt→0时,→t3.所以,时刻t s的瞬时速度为t3,由题意,当t=5s时,瞬时速度为125 m/s.五、课堂小结1.平均速度的定义.2.瞬时速度的定义.3.求瞬时速度和瞬时加速度的方法和过程.[4]第4课时瞬时变化率——导数(1)教学过程一、数学运用【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见学生用书P8)[处理建议]让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1)求差f(x0+Δx)-f(x0);(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.[题后反思]本题应注意分子有理化,再用逼近思想处理.变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.[规范板书]解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.【例2】物体自由落体的运动方程为S=S(t)=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求t=3 s时的瞬时速度.(见学生用书P8)[处理建议]瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.[规范板书]解取一小段时间[3,3+Δt],位移改变量ΔS==g(3+Δt)2-=g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.[题后反思]若求t=3s时的瞬时加速度呢?变式设一物体在t s内所经过的路程为S m,并且S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开始及第5s末的速度.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻t s的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.【例3】如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见学生用书P8)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.[规范板书]解设切点坐标为(x,x3+x-10),==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1,由题得,3x2+1=4℃x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.变式已知曲线y=x2上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角.[处理建议]利用导数的概念及两直线的位置关系来求解.[规范板书]解设P(x0,y0)是满足条件的点.==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4℃x0=2,y0=4,即P(2,4).(2)因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1℃x0=-,即P.(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,即2x0=-1℃x0=-,即P-,.*【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.[处理建议]利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解.[规范板书]解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.变式已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.[处理建议]利用导数的几何意义——函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率——来求解.[规范板书]解由题意有解得.二、课堂练习1.借助直尺,用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线:(第1题)解(第1题)2.质点沿x轴运动,设距离为x(m),时间为t(s),x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).提示当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).3.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为1.提示将点(2,8)代入切线方程可得a=1.三、课堂小结1.曲线上一点处的切线的求法.2.运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.3.导数的定义及几何意义.第5课时瞬时变化率——导数(2)教学过程一、问题情境跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?二、数学建构问题1高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示?解如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题2将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?解如果当Δx无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.概念生成设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0℃(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).[1]巩固概念问题3导数f'(x0)的几何意义是什么?解导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.问题4通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤?解②求Δy;②求;②当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.问题5f'(x)是不是一个函数?解若函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也称为f(x)的导数.问题6运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么?运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数是什么?解瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.问题7如何理解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)?解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是函数f'(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.三、数学运用【例1】(教材第13页例3)已知f(x)=x2+2.(见学生用书P9)(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a处的导数.[处理建议]本题要求学生表述格式规范化.[规范板书]解(1)因为===2+Δx,当Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为===2a+Δx,当Δx→0时,2a+Δx→2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.[题后反思]巩固强化导数的内涵,使学生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(a,b)上的导函数的概念.变式求函数y=在x=2处的导数.[规范板书]解因为===-,当Δx→0时,-→-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.【例2】在曲线y=x3上一点P处作切线,使该切线与直线y=--5垂直,求此切线的方程.(见学生用书P10)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.[规范板书]解设点P(x,x3),===3x2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+3xΔx+(Δx)2→3x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.由题可知,3x2=3℃x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.[题后反思]本题应利用导数的几何意义解题.【例3】已知f(x)=x3-2x+1,求f'(x)及f'(2).(见学生用书P10)[处理建议]学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,对于本题,给予学生时间思考.[规范板书]解因为==3x2-2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2-2+3xΔx+(Δx)2→3x2-2,所以f'(x)=3x2-2,f'(2)=10.[题后反思]f(x)在x=2处的导数f'(2)就是函数f'(x)在x=2处的函数值.变式已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c'(6).[规范板书]解====3+8q+4Δq,当Δq→0时,3+8q+4Δq→3+8q,即c'(q)=3+8q,c'(6)=51.[题后反思]c(x)在x=a处的导数c'(a)称为生产规模为a时的边际成本值.*【例4】已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f'(-x0)=-k(k≠0),求f'(x0).[处理建议]本题利用导数的概念进行推导.[规范板书]解=.当Δx→0时,上式无限逼近于-f'(x0),所以f'(x0)=k.变式已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f'(1).[规范板书]解=2x+1,当x→0时,2x+1→1,所以f'(1)=1.四、课堂练习1.设f(x)=ax2+3,若f'(1)=2,则a=1.提示f'(x)=2ax,由f'(1)=2得a=1.2.函数f(x)=2x2+3x的导数为f'(x)=4x+3.提示因为==4x+3+2Δx.当Δx→0时,4x+3+2Δx→4x+3,即f'(x)=4x+3.3.若函数y=f(x)在点x℃(-1,1)内的导函数为f'(x),则下列说法正确的是②.(填序号)②在x=x0处的导数为f'(x0);②在x=1处的导数为f'(1);②在x=-1处的导数为f'(-1);②在x=0处的导数为f'(0).五、课堂小结1.导数的几何意义.2.导数的物理意义.3.由定义求导数的步骤.第6课时常见函数的导数教学过程一、问题情境前面我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么,如何求函数的导数呢?二、数学建构问题1回顾前面所学内容,能否归纳出求导数的一般步骤?解给定函数y=f(x),计算=,令Δx→0时,→A(x),则f'(x)=A(x).活动1根据求导数的一般步骤,求下列函数的导数.②y=kx+b(k,b为常数).解因为===k,当Δx→0时,→k,所以f'(x)=k.引申:特别地,当k=0时,有f'(x)=0;当k=1,b=0时,有f'(x)=1.②f(x)=x2.解因为===2x+Δx,当Δx→0时,→2x,所以f'(x)=2x.②f(x)=x3.解因为===3x2+3x(Δx)+(Δx)2,当Δx→0时,→3x2,所以f'(x)=3x2.②f(x)=.解因为===,当Δx→0时,→-,所以f'(x)=-.②f(x)=.解因为===,当Δx→0时,→,所以f'(x)=.问题2你能根据上述②~②发现什么结论?几个常用函数的导数:②(kx+b)'=k(k,b为常数);②(C)'=0(C为常数);②(x)'=1;②(x2)'=2x;②(x3)'=3x2;②=-;②()'=.对于基本初等函数,有下面的求导公式(教师直接给出公式):②(xα)'=αxα-1(α为常数);②(a x)'=a x ln a(a>0,且a≠1);②(lo x)'=log a e=(a>0且a≠1);(e x)'=e x;(ln x)'=;(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x.[1]三、数学运用【例1】求曲线y=cos x在点处切线的方程.(见学生用书P12)[处理建议]利用基本初等函数的求导公式求出在该点处的切线斜率,再利用点斜式求出切线方程.[规范板书]解y'=-sin x,所以在点处切线的斜率k=-sin==-,即切线方程为x+2y-π-1=0.[题后反思]对于一些常见函数的求导问题,可以直接利用公式解题.变式求曲线y=在点处的切线的方程.[规范板书]y'=-,故点处的切线斜率为-,切线方程为x+4y-4=0.【例2】若直线y=4x+b是函数y=x2图象的一条切线,求b及其切点坐标.(见学生用书P12)[处理建议]设出切点坐标,利用导数的几何意义解题.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,),由f'(x0)=2x0=4得出x0=2,所以切点坐标为(2,4),故b=-4.[题后反思]本题应抓住切点的双重特性:点既在曲线上,也在切线上.变式若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,求a的值.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,a),由f'(x0)=3a=3得出a=1,又因为点(x0,a)满足切线方程,所以a=3x0+1,x0=-,则a=4.【例3】在函数y=2x的图象上求一点,使过此点的切线平行于直线x ln 4-y+3=0.(见学生用书P12)[处理建议]利用常见函数的求导公式及导数的几何意义求出切线的斜率,再利用两平行直线之间斜率相等建构等式.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,),由f'(x0)=ln 2=ln 4得出x0=1,即该点坐标为。
高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第一章_导数及其应用_1
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数f(x)＝1x在2,6]上的平均变化率为________．【解析】f(6)－f(2)6－2＝16－126－2＝－112.【答案】－1 122．函数f(x)＝log2x在区间2,4]上的平均变化率是________．【解析】函数的平均变化率是f(4)－f(2)4－2＝2－12＝12.【答案】1 23．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t2(单位：m)，则在1 s到3 s这段时间内，该质点的平均速度为________m/s.【解析】s(3)－s(1)3－1＝5×32－5×122＝20(m/s)．【答案】204．在雨季潮汛期间，某水位观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.【解析】105.1－102.724＝0.1(m/h)．【答案】0.15．已知函数f(x)＝ax＋b在区间1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________.【解析】对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等．与一次函数对应直线的斜率相等．故a＝3.【答案】 36．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋13t3，则该物体在时间间隔⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32内的平均加速度为________．【解析】 平均加速度32＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫323－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1332－1＝3112. 【答案】 31127．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．【解析】 C (1 000)－C (900)＝(1 000)2－(900)21 200则C (1 000)－C (900)1 000－900＝(1 000＋900)×1001 200×100＝1912. 【答案】 19128．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图1-1-2所示．在时间段t 0，t 1]，t 1，t 2]，t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________．图1-1-2【解析】 ∵v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k MA ， v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ， v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ， 由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1.【答案】 v 3>v 2>v 1二、解答题9．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？【解】 依题意，生产并售出x 台所获得的利润是L (x )＝r (x )－c (x )＝3x 2－3x (元)，∴x 取值从10台至20台的平均利润为L (20)－L (10)20－10＝3×202－3×20－(3×102－3×10)10 ＝87(元)，故所求平均利润为87元．10．2015年冬至2016年春，某国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1-1-3所示，据图回答：图1-1-3(1)2015年11月至2015年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2015年11月到2016年2月，与从2016年1月到2016年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？【解】 (1)在2015年11月至2015年12月间，Δs 变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图形知，在2016年1月至2016年2月间，平均变化率Δs Δt 较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2015年11月至2016年2月间，平均变化率为s B －s A 3，在2016年1月至2016年2月间，平均变化率为s B －s C 1＝s B －s C ， 显 然k BC >k AB ，即s B －s C >s B －s A 3，∴在2016年1月至2016年2月间，小麦受旱面积增幅较大．能力提升]1．如图1-1-4是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间0,2]上的平均变化率为________.【导学号：01580002】图1-1-4【解析】 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 【答案】 342．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，直线AB 的斜率为________．【解析】 ∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，∴f (2＋Δx )－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 ＝13－12＝－16.k AB ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－16. 【答案】 －163．函数y ＝x 3＋2在区间1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________.【解析】 (a 3＋2)－(13＋2)a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21. 解之得a ＝4或a ＝－5.又∵a >1，∴a ＝4.【答案】 44．(2016·泰安检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图1-1-5【解】 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∵h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多.。
最新高中数学(苏教版选修2-2)配套习题：第一章 导数及其应用1.3.3 Word版含解析
1.3.3最大值与最小值明目标、知重点 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．1．函数在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在闭区间[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．在闭区间求函数最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值，(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．3．函数在开区间(a，b)内的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．4．极值与最值的意义(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．[情境导学]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．探究点一求函数的最值思考1如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．思考2观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．小结一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．思考3函数的极值和最值有什么区别和联系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较取得极值附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．小结求一个函数在闭区间上的最值步骤：1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．3．比较大小，确定结论．例1求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]．解(1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝ 2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增－∞，－2)(2－2，2)因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f(2)＝－82，f(－2)＝82；所以当x＝2时，f(x)取得最小值－82；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝12＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x ＝23π或x ＝43π. 计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (23π)＝π3＋32， f (43π)＝23π－32. ∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．跟踪训练1 求下列函数的最值：(1)f (x )＝13x 3－4x ＋4，x ∈[0,3]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．解 (1)∵f (x )＝13x 3－4x ＋4， ∴f ′(x )＝x 2－4.令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.∵f (2)＝－43，f (0)＝4，f (3)＝1，－2D ∈/[0,3]， ∴函数f (x )在[0,3]上的最大值为4，最小值为－43. (2)∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.探究点二 含参数的函数的最值问题例 2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．(2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax .因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0.(2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3. 当2a 3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a 3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0.当0<2a 3<2，即0<a <3时， f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a 3，2上单调递增， 从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， 0<a ≤2，0， 2<a <3， 综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， a ≤2，0， a >2. 反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． 跟踪训练2 在例2中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ， ①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0； ②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ；③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，23a 上单调递增； 在⎣⎡⎦⎤23a ，0上单调递减， 则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫23a ＝－427a 3. 综上所述：f (x )max ＝⎩⎨⎧ －1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.探究点三 函数最值的应用思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．如f (x )>0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可．如f (x )<0恒成立，只要f (x )的最大值小于0即可．以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．例 3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．(2)若对任意的x ∈(0,3)，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c>f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪训练3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：t (0,1)1(1,2)g ′(t ) ＋ 0 －g (t ) 单调递增 1－m 单调递减∴对t ∈(0,2)，当t ＝max ＝1－m ，∵h (t )<－2t －m 对t ∈(0,2)恒成立，也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立，∴只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1.∴实数m 的取值范围是(1，＋∞)1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是________．答案 π解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′>0，则函数y 在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π.2．若函数f (x )、g (x )在区间[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则在区间[a ，b ]上f (x )与g(x)的大小关系为________．答案f(x)≥g(x)解析∵f′(x)>g′(x)，∴f(x)－g(x)单调递增．∵x≥a，∴f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)，即f(x)－g(x)≥0，即f(x)≥g(x)．3．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案－71解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.4．函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 答案 [0，e π2] 解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )．∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ′(x )>0. ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f (π2)＝e π2. [呈重点、现规律]1．求函数的最值时，应注意以下几点：(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间[a ，b ]上的连续函数一定有最值．开区间(a ，b )内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、基础过关1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是________，________. 答案10 2解析∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)，f(3)＝10，f(5)＝2.2．函数y＝x e－x，x∈[0,4]的最大值是________．答案1 e解析 y ′＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )，令y ′＝0，∴x ＝1，∴f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e， ∴f (1)＝1e为最大值． 3．函数y ＝ln x x的最大值是________． 答案 1e解析 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x 2＝0. 解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e，在定义域内只有一个极大值， 所以y max ＝1e. 4．函数y ＝4x x 2＋1的值域为________． 答案 [－2,2]解析 令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝0， 得x ＝±1. x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)y ′ － 0 ＋ 0 －y 极小值 极大值∵x 结合表可知，x ＝－1时，y 取极小值也是最小值－2；x ＝1时，y 取极大值也是最大值2.5．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．答案 [－4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2. 由题设得m 2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]． 6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是______．答案 π6＋ 3 解析 令y ′＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝y 6π| x ＝π6＋ 3. 7．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表： x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2f ′(x ) ＋ 0 － 0f (x ) －40＋a 极大值a －8＋a∴当min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3.当x ＝0时，f (x )最大值为3.二、能力提升8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t的值为________．答案 22解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出MN ＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝2(t ＋22)(t －22)t . 当0<t <22时，y ′<0，可知y 在此区间内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在此区间内单调递增． 故当t ＝22时，MN 有最小值． 9．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．10．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________．答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1.∵f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ，f (1)＝－12＋a ， ∴f (x )max ＝a ＝2.∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12. 11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ －1＋3＝23a ，－1×3＝b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，得x ＝3，x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )和f (x )随x 的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 单调递增 极大值c ＋5 单调递减 极小值c －27 单调递增 ∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.∴参数c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又∵f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)的最小值为－7.三、探究与拓展13.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解(1)因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，所以b＝d＝2；因为f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4；g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)＝k e x(2x＋2)－x2－4x－2，则F′(x)＝(k e x－1)(2x＋4)，由题设可得F(0)≥0，故k≥1，令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，①若1≤k<e2，则－2<x1≤0，从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0，即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；②若k＝e2，F′(x)＝(e x＋2－1)(2x＋4)≥0在[－2，＋∞)上恒成立，故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，因为F(x)min＝F(－2)＝0，所以F(x)≥F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；③若k>e2，则F(x)min＝F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0，此时kg(x)<f(x)，从而当x∈[－2，＋∞)时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述，k的取值范围为[1，e2]．。
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第一章 导数及其应用1.3.2 Word版含解析
极大值与极小值明目标、知重点.了解函数极值的概念，能从几何方面理解函数的极值与导数的关系.掌握函数极值的判定及函数在某一点取得极值的条件.掌握用导数的方法求函数的极值．．极值的概念()极大值如图，函数＝()在点＝处的函数值()比它在点＝附近其他点的函数值都大，′()＝；而且在点＝处附近的左侧′()>，右侧′()<，则把()叫做函数＝()的极大值．()极小值如图，函数＝()在点＝处的函数值()比它在＝附近其他点的函数值都小，′()＝；而且在点＝处附近的左侧′()＜，右侧′()＞，则把()叫做函数＝()的极小值．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．．极大值与导数的关系左侧右侧′()′()>′()＝′()<()增(↗)极大值()减(↘).极小值与导数之间的关系左侧右侧′()′()<′()＝′()>()减(↗)极小值()增(↗)[情境导学]在必修中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一函数的极值与导数的关系思考如图，表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数()＝－＋＋的图象，观察发现，＝时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数()在此点的导数是什么？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？答函数()在点＝处′()＝.在＝的附近，当<时，函数()单调递增，′()>；当>时，函数()单调递减，′()<.思考如图观察，函数＝()在、、、、、等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？＝()在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，＝()的导数的符号有什么规律？答以、两点为例，函数＝()在点＝处的函数值()比它在点＝附近其他点的函数值都小，′()＝；在＝的附近的左侧′()<，右侧′()＞.类似地，函数＝()在点＝处的函数值()比它在＝附近其他点的函数值都大，′()＝；在＝附近的左侧′()>，右侧′()<.思考函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？。
高二数学苏教版选修2-2阶段质量检测(一)导数及其应用
2x 3 3x 2sin x f(x) Inf(x)3x 4x 3[0,1]4x11n 1/ y x (n* N ) (1,1)xxa 2a 99122f(x) 2xIn x(k 1 k 1)k1320 cm14f(x) (0)f (x) f(x)f(x)f(x 1)(x 1) f (x 21)(69015 (14)f(x) ax 24 3ax bf(1) 2 f (1)1(1) f(x)⑵ f(x)(1,2)a n lg X n(x)[ 120 160 ]151617181920( 14570)1 f(x) ax 2cf (1) 2a2y x 3 4x (1 3)yk)dx f(x)10、x(x<0)a 1 xf f 2x1f(x)dx3 r/ x 3 2f(x) x ax x 18 ( ) a16. (本小题满分14分)求下列定积分.(1) 12(1 - t3)dt;(2) - _.(cos x+ e x)dx;1 x3—3x2+ 5⑶2 孑dx.1 317. (本小题满分14分)已知x= 1是函数f(x) = §ax3—2x2+ (a+ 1)x+ 5的一个极值点.(1)求函数f(x)的解析式；⑵若曲线y= f(x)与直线y= 2x+ m有三个交点，求实数m的取值范围.18. (本小题满分16 分)已知函数f(x) = xln x, g(x)=—x2+ ax —2(e~2.71, a€ R).(1)判断曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线与曲线y= g(x)的公共点个数；(2)当x€ e e FJ■，若函数y= f(x) —g(x)有两个零点，求a的取值范围.19. (本题满分16分)某公司将进货单价为a元(a为常数，3< a< 6)一件的商品按x元(7W x< 10)一件销售，一个月的销售量为(12 —x)万件.(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L(x)(万元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式；⑵当每件商品的售价为多少元时，L(x)取得最大值？并求L(x)的最大值.x 一120. (本小题满分14分)(山东高考)设函数f(x)= aln x+ 石，其中a为常数.(1)若a= 0，求曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；⑵讨论函数f(x)的单调性.答案1.解析：■/ f(x) = ax2+ c,• f' (x) = 2ax,「. f' (1) = 2a, 又^ f' (1) = 2, • a = 1.答案：12.解析：•/ y' = 3x2—4,3• ••当x= 1 时，y' =—1，即tan a=—1.又••• a€ (0, n ) ••• a=_n43答案：3.解析：由题意得f' (x) = —3x2+ 2ax—1w 0在(—a,+s)上恒成立，因此△=4a2—12w 0? —3w a w .3,所以实数a的取值范围是[—3, 3].答案：[—3, 3]4.解析：y' = 6x2—6x= 6x(x—1)，令y' = 0,贝V x= 0 或x= 1.当x= 0 时，y= a，当x =1时，y= a — 1.由题意知a= 6.—2.xcos x — sin x答案： 2 x答案：—121 2x — 17.解析：■/ f (x) = 2x — - = x —令 f ' (x)<0，因为 x € (0,+a ),••• 2x 2— 1<0，即卩 Ovxv-^,.，.函数 f(x) = x 2— ln x 的单 调递减区间是0冷.答案：0,孑2 11& 解析：f ' (x) = 3— 12x 2，令 f ' (x) = 0,则 x = — 1(舍去)或 x = 2, f(0) = 0, f(1) = — 1,• f(x)在［0,1］上的最大值为1. 答案：19.解析：由4x = x 3,解得x = 0或x = 2或x =— 2(舍去)，根据定积分的几何意义可知， 直线y = 4x 与曲线y = x 3在第一象限内围成的圭寸闭图形的面积为 J 0(4x — x 3 px = gx 2—4x 4丿=4.答案：4 因为._冲曲=.-1 (— x)dx +. 0 (x 2+ 3)dx.因为―fx 2 ' =— x ,护+ 3x=x 2 + 3,所以匚f(x)dx =—我二+ gx 3+辺0 =眷11.解析：由于y '卜勺=n + 1,「.曲线在点(1,1)处的切线为y — 1 = (n + 1)(x — 1)，令yn , n=0，得 x = xn = n + 1’ …an = lg n + 1’答案：—2答案：6 sin x xcos x — sin x= 2 . x6.解析：，0(x — k)dx =—kx0 = 2 — k = I ，解得 k =— 1.10.解析: 答案:236••原式=lg2+喝+ …+磴=T x3 "x 99、、=5.解析：y 'x ・sin x '丁 ’x12 f (x) 4x J x>00<x<1 f (x)<0 f(x)11<11x>2 f (x)>0 f(x) 1<k 113 x cm k 1<k 1.(10 x)cm 2 2V x (10 x) (0xX3) 2(20 3x) x 0(20)x T20x 一3V max4 000 3(cm)14 f(x 1)(x15164 000 327 cmg(x) x •(x)2(x 1)f(x21)g (x) f(x) xf (x) 0. g(x) (01)f(x 1) (x21)f(x2 1)& ：00[x 1 X2 12.x 2. {x|x 2}4(1)f (x) 2 ax 3a4f t1)2a 3af1) af(x) (1,2)(1)43al b I3f(x) ?x2 2x52.1 t3y 2 x 1 x(1 t3)dt1 0.4)(2 4) (sin x e x) cos x'0f(cos x e x)dx (sin x e x)■JI⑶/：x3-3Pdx j：x2)x F(x)2x23x -x F (x) x 3_5~2x4x3 3x2 52 x2dx F(4) F(2)17 (1) 2f (x) ax 3xf (1) 0 f(x)f(x) $3 |x2 2x 5.y f(x) y 2x mfx3 |x2 2x 5 2x m 0数根,令 g(x) = 3X 3- |x 2+ 2x + 5- 2x — m = *x 3-|x 2+ 5- m ,则 g(x)有三个零点.由 g ，(x) = x 2 —3x = 0 得 x = 0 或 x = 3令 g ' (x)>0 得 x<0 或 x>3 ;令 g ' (x)<0 得 0<x<3.•••函数g(x)在(—g , 0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3 ,+^)上为增函数. •••函数在x = 0处取得极大值，在 x = 3处取得极小值.要使g(x)有三个零点，只需肿>°，解得1<m<5.g 3 <0,2•实数m 的取值范围为1, 5 .18. 解：(l)f ' (x)= In x + 1，所以斜率 k = f ' (1) = 1.y = — x 2 + ax — 2 2又f(1) = 0,曲线在点(1,0)处的切线方程为 y = x — 1.由f? x 2+ (1 - a)x +l y =x — 11 = 0.由△= (1 — a)2— 4= a 2— 2a — 3可知：当△>0时，即a v — 1或a >3时，有两个公共点； 当△= 0时，即a =— 1或a = 3时，有一个公共点；当 Av 0时，即一1 v a v 3时，没有公共 占 八、、♦2 2 2(2)y = f(x)— g(x)= x — ax + 2+ xln x , 由 y = 0 得 a = x + - + In x .令 h(x)= x +- + In x ,则x x h ' (x)=也一2 .当x € 1，e ,由h ' (x)= 0得x = 1.所以h(x)在£, 1〔上单调递减，在 [1 , e]上单调递增，故 h min (x) = h(1) = 3.由 h£ = £+ 2e — 1, h(e)= e + f +1,比较可知 h^ >2h(e).所以，当3 v a < e + ~+1时，函数y = f(x) — g(x)有两个零点.2a -u 12 2a 斗 12 9或 x = 12.由 a € ［3,6］得 3一 € ［6,8］.当 一3— € ［6,7］，即 3< a < 9时，L(x)在［7,10］上是减3 3 2 函数，L(x)的最大值为 L(7) = 25(7 — a);当2^于2€ (7,8］，即2<a < 6时，L(x)在7, 笃12上是增函数，在［笃呂10］上是减 函数. 2a + 124 12— a jL(x)的最大值为L —3 — =27综上可知，若 K a < 2，则当x = 7时，L(x)取得最大值，最大值是 25(7 — a);2a 亠 12 若2<a < 6,则当x = laU 1l时，L(x)取得最大值，最大值是 2 3219. 解：(1)L(x)= (x — a)(12 — x) (7< x < 10).(2)L ' (x) = (12 — x)2+ (x — a)(2x — 24)= (12 — x)(12 + 2a — 3x).令 L (x)= 0 得 x =2a + 12334 12 — a 327x 一 120.解：⑴由题意知 a = 0 时，f(x) = - , x € (0 ,+s ). .X. I I2 1此时 f ' (x)= 亍.可得 f ' (1)=-，又 f(1)= 0,(x + 1) 2所以曲线y = f(x)在(1, f(1))处的切线方程为 x — 2y — 1 = 0.2 ax 2+ 2a + 2 x + a + 2)x + a ,2 2 1-2(x -12A= (2a + 2)2— 4a 2 = 4(2a + 1),①当 a = — 3时，A= 0, f ' (x)= xx +〔2 仝 0,函数1a v — 2时，△<0，g (x )v 0, f ' (x)v 0,函数 f(x)在(0, + m)上单调递减. ③当—1v a v 0,A>0•设X 1,X 2(X 1< X0是函数g(x)的两个零点，则x 1 = —,a + 1 一 \l 2a + 1 x/a ? + 2a + 1 —、/2a + 1由 X 1=* 1—乎土1 c ' >0，所以 x € (0, X 1)时，g(x)v 0, f ' (X)v 0，函数 f(x)单调递减，x € (x £, X 2)时，g(x)>0, f ' (x)>0，函数 f(x)单调递增，x € (x 2,+ o )时，g(x) v 0, f ' (x)v 0,函数f(x)单调递减，综上可得：当a > 0时，函数f(x)在(0,1 1上单调递增；当 a < —-时，函数f(x)在(0,+ o )上单调递减；当— -v a v 0时,一 a + 1 +、2a + 1 0 a ,二a +1 一、2a + 1 ,+o上单调递减—a + 1 + 2a + 1 、a二a —£-、2a + 1上单调递增.a(2)函数 f(x)的定义域为(0 ,+o ). f ' (x)= -+ 齐亍=一xx + 12一.当a >0时，f ' (x)> 0,函数f(x)在(0, + o )上单调递增.当a v 0时，令g(x)= ax 2 + (2a由于f(x)在(0, + 00)上单调递减.②当 f(x)在。
学高二数学苏教版选修22第1章导数及其应用本章练测Word版含解析
第1章 导数及其应用（苏教版选修2-2）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数()2π2)(x x f =的导数是 .2.函数xx x f -⋅=e)(的一个单调递增区间是 .3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =4．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为 .5.曲线y =－2－4x +2在点（1，－3）处的切线方程是 .6.函数y =x +2cos x 在[0,上取得最大值时，x 的值为 .7．函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则= .8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大. 9．函数f (x )的定义域为开区间（a ,b ），导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极值点的个数是 .10．已知sin (ππ)1cos xy x x=∈-+，，，当2y '=时，x = .11．对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的n 12.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，不等式恒成立. 若，，，则a 、b 、c 的大小关系 是 .13. 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，，且 g (－3)＝0，则不等式的解集是 . 14.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为 . 二、解答题（共90分）15．（14分）求下列函数的导数： (1)y =5－4；(2)y =3+x cos x ；(3)y =tan x ；(4)y =x ；第1章导数及其应用（苏教版选修2-2）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．8． 9． 10． 11． 12． 13．14．二、解答题15.16．17.18.19.20.第1章 导数及其应用（苏教版选修2-2）答案一、填空题1.x x f 2π8)(=' 解析：()∴==,π4π2)(222x x x f =⨯='x x f 2π42)(x 2π8;或()()=⋅='⋅⋅='π2π4π2π22)(x x x x f x 2π8. 2．（ 解析：∴=⋅=-.e e)(x xx x x f []2e e e 1)(x x x x x f ⋅-⋅='，()[]1,0e e 12<∴>⋅-x x x x. 或().1 ,0e .0e )1(1e e 1)(<∴>>⋅-=-⋅⋅+⋅='----x x x x f x x x x Θ ∴ 函数xx x f -⋅=e )(的单调递增区间是（.3.41解析：设切点),(00y x P .因为错误!未指定书签。
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第一章 导数及其应用1.2.3 Word版含解析
简单复合函数的导数明目标、知重点.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如(＋)的导数)．．复合函数的概念一般地，对于两个函数＝()和＝()，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为＝()和＝()的复合函数，记作＝(())．．复合函数的求导法则复合函数＝(())的导数和函数＝()，＝()的导数之间的关系为′＝′·′.即对的导数是对的导数与对的导数的乘积．探究点一复合函数的定义思考观察函数＝及＝(＋)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答＝是由＝及＝相乘得到的；而＝(＋)是由＝＋与＝(>－)经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数，所以＝(＋)称为复合函数．思考对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出＝()；再根据内层的主体函数结构找出函数＝()，函数＝()和＝()复合而成函数＝(())．思考在复合函数中，内层函数的值域与外层函数的定义域有何关系？答⊆.小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例指出下列函数是怎样复合而成的：()＝(＋)；()＝(－＋)；()＝.解()＝(＋)是由函数＝，＝＋复合而成的；()＝(－＋)是由函数＝，＝－＋复合而成的；()＝是由函数＝，＝复合而成的．反思与感悟分析函数的复合过程主要是设出中间变量，分别找出和的函数关系，和的函数关系．跟踪训练指出下列函数由哪些函数复合而成：()＝；()＝；()＝ (＋)．解()＝，＝；()＝，＝；()＝，＝＋.探究点二复合函数的导数思考如何求复合函数的导数？答对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：()弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；()利用求导法则分层求导；()最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第()步回代的过程．例求下列函数的导数：()＝(－)；()＝；()＝(－＋)；()＝＋.解()原函数可看作＝，＝－的复合函数，则′＝′·′＝()′·(－)′＝·＝(－)；()＝＝(－)－可看作＝－，＝－的复合函数，则′＝′·′＝(－)－·(－)＝(－)－＝；。
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第一章 导数及其应用1.5.3 Word版含解析
微积分基本定理
明目标、知重点.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.会利用微积分基本定理求函数的积分．
．微积分基本定理
对于被积函数()，如果′()＝()，那么
ʃ()＝()－()，
即ʃ′()＝()－()．
．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在轴上方的面积为上，轴下方的面积为下，则
()当曲边梯形的面积在轴上方时，如图()，则ʃ()＝上．
()当曲边梯形的面积在轴下方时，如图()，则ʃ()＝－下．
()当曲边梯形的面积在轴上方、轴下方均存在时，如图()，则ʃ()＝上－下，若上＝下，则ʃ()＝.
[情境导学]
从前面的学习中可以发现，虽然被积函数()＝非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？
探究点一微积分基本定理
思考如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是＝()，并且()有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻的速度()＝′()．设这个物体在时间段[，]内的位移为，你能分别用( )，()表示吗？
答由物体的运动规律是＝()知：＝()－()，
通过求定积分的几何意义，可得＝ʃ()＝ʃ′()，
所以ʃ()＝ʃ′()＝()－()．其中()＝′()．
小结()一般地，如果()是区间[，]上的连续函数，并且′()＝()，那么ʃ()＝()－()．
这个结论叫做微积分基本定理．
()运用微积分基本定理求定积分ʃ()很方便，其关键是准确写出满足′()＝()的()．
思考对一个连续函数()来说，是否存在唯一的()，使′()＝()？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？。
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高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第一章_导数
及其应用_3 含解析
学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．已知f (x )＝x 2，则f ′(－2)＝________.
【解析】 f ′(x )＝2x ，∴f ′(－2)＝2×(－2)＝－4.
【答案】 －4
2．若函数f (x )＝3x ，则f ′(8)＝________.
【解析】 f ′(x )＝(x 13)′＝13x －23，则f ′(8)＝13×(23)－23＝13×2－2＝112.
【答案】 112
3．已知f (x )＝x z (z 为常数)，若f ′(－1)＝－4，则z 的值是________．
【解析】 f ′(x )＝zx z －1，由f ′(－1)＝－4，得z ·(－1)z －1＝－4，所以z ＝4.
【答案】 4
4．点P 在曲线y ＝4x 2上，曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．
【解析】 y ′＝(4x －2)′＝－8x －3，
设点P (x 0，y 0)，依题意得
－8x －30＝tan 135°
＝－1，∴x 0＝2. 又P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x 2上，∴y 0＝1.
【答案】 (2,1)
5．曲线y ＝12x 2的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为________．
【解析】 ∵y ′＝x ，设切点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0，12x 20，
∴x0＝1，则y0＝1
2，切点为⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1，
1
2，切线的斜率为1，
∴切线方程为：y－1
2＝x－1，即x－y－
1
2＝0.
【答案】x－y－1
2＝0
6．已知f(x)＝1
x，g(x)＝mx，且g′(2)＝
1
f′(2)
，则m＝________.
【解析】∵f′(x)＝－1
x2，∴f′(2)＝－
1
4，
又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，
由g′(2)＝
1
f′(2)
，∴m＝－4.
【答案】－4
7．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
【解析】由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，
∴函数y＝x2(x>0)在点(a k，a2k)处的切线方程为：
y－a2k＝2a k(x－a k)，
令y＝0，得x＝a k
2，即a k＋1＝
a k
2，
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 【答案】21
8．(2016·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝1
2x＋2，
则f(1)＋f′(1)＝__________.
【解析】依题意知，f(1)＝1
2×1＋2＝
5
2，
f′(1)＝1
2，∴f(1)＋f′(1)＝
5
2＋
1
2＝3.
【答案】 3
二、解答题
9．求下列函数的导数
(1)y ＝5x 2；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2； (3)y ＝2sin x 2cos x 2；(4)y ＝log 12x 2－log 12
x . 【解】 (1)y ′＝(5x 2)′＝(x 25)′＝25x
＝25
x .
(2)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .
(3)∵y ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，
∴y ′＝(sin x )′＝cos x .
(4)∵y ＝log 12x 2－log 12x ＝log 12x ， ∴y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.
10．求证：双曲线xy ＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
【证明】 由xy ＝1，得y ＝1x ，从而y ′＝－1x 2.
在双曲线xy ＝1上任取一点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0，1x 0， 则在点P 处的切线斜率k ＝－1x 20
. 切线方程为y －1x 0＝－1x 20
(x －x 0)， 即y ＝－1x 20x ＋2x 0
. 设该切线与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，
则A (2x 0,0)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，2x 0， 故S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2x 0＝2. 所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
能力提升]
1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________.
【导学号：01580008】
【解析】 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x ，由f ′(x )－g ′(x )＝1，得2x －1x ＝1，解之得x 1＝－12，
x 2＝1.∵x >0，∴x ＝1.
【答案】 1
2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )＝________.
【解析】 由题意f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，则可知周期为4.从而f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x .
【答案】 sin x
3．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．
【解析】 ∵y ′＝(n ＋1)x n ，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，则x n ＝n
n ＋1.故a n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg (n ＋1)．所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.
【答案】 －2
4．已知曲线C ：y ＝x 2－2x ＋3，直线l ：x －y －4＝0，在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最短，并求出最短距离．
【解】 设与直线l ：x －y －4＝0平行，且与曲线C ：y ＝x 2－2x ＋3相切的直线为x －y ＋k ＝0
设P (x 0，y 0)，y ′＝2x －2
∴2x 0－2＝1，解得x 0＝32
y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32＋3＝94，∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，94
∴k ＝94－32＝34 ∴d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34＋42
＝1928 综上所述，点P 为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，94，最短距离为d ＝1928.。