《数值分析》课程设计任务书2015

数值分析
课 程 设 计 任 务 书
一、目的任务
(1) 使学生巩固和加强《数值分析》课程的理论知识。

通过对实际问题的分析，算法的实现以及结果的分析，加深已学理论知识更为直观的理解。

（2）理解和掌握Matlab 编程语言思想和方法，并熟悉常见算法的实现。

同时掌握调试程序的基本方法和上机操作方法。

（3）掌握书写设计开发文档的能力，使学生学会撰写总结报告。

（4）通过查阅文献资料，培养学生独立分析问题和解决问题的能力。

（5）培养良好的程序设计风格。

在实际编程中，为了提高编程质量，对空行，空格和注释均有要求，在设计编写代码时，应该严格按照要求，养成良好的习惯。

二、设计内容
【设计题一】（验证矩阵的病态问题）
自己设计一个方案验证希尔伯特矩阵的病态
11121112311111
21n n H n n n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭ 【设计题二】（线性方程组直接法的比较）
对下列方程的用不选主元Guass 消去法，列主元Guass 消去法和LU 分解方法求解 将这些方法进行比较，谈谈对这些方法的看法。

（方程的维数n 从120到130）
12321617861158611586115861158614n n n x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【设计题三】（线性方程组迭代法的比较）
选用Jacobi 方法，G-S 方法和SOR 方法求解下面线性方程组（考虑n=100）
123216110.586122.586122.586122.586122.58621n n n x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
考虑初值的变化和松弛因子的选择对收敛性的影响。

并比较将上述方法的计算结果进 行比较，说明此方程什么方法最合适。

【设计题四】（非线性方程求根的算法设计与比较）
1225年，达.芬奇研究了方程32210200x x x ++-=并得到它的一个近似根，* 1.368808107x =。

没有人知道他用什么方法得到它。

要求：（1）用自己设计的一种线性收敛的不动点迭代法求上述方程的根，然后用斯蒂芬森加速法计算。

（2）试分别用二分法,牛顿迭代法求解上述方程。

并且对牛顿迭代法采用不同初值，分析方法对初值的依赖性。

（3） 根据实验结果分析比较上述方法
【设计题五】（多项式插值的振荡现象）
定义在[-5,5]区间上的函数4()1x f x x
=+ 要求：（1）选取节点105,k x ih h n
=-+=，考虑用一个n 次多项式()n p x 去逼近()f x 。

增大n (n=2,4,6,8….), 画出原函数()f x 以及()n p x 的图像，比较并分析实验结果，说明什么问题？
（2）如果选取节点(21)5cos ,1,......12(1)
k k x k n n π⎛⎫-==+ ⎪+⎝⎭
，重复上述过程，结果如何？ （3）若出现龙格现象，如何解决？
【设计题六】（曲线拟合的最小二乘法及其应用）
要求：（1）试分别用插值方法和形如23123y a t a t a t =++的曲线进行拟合，将结果
进行比较，理解各自方法的特点及适用范围。

（2）如果曲线拟合中采用指数形式或双曲形式，绘出拟合曲线图形，并进行比较，说明优劣。

【设计题七】（函数的最佳平方逼近多项式）
对于函数(x),[1,1]f x x =∈-,构造其最佳平方逼近多项式
（1） 若采用基函数{}21,x x ，，得到其一次最佳平方逼近多项式，二次 最佳平方多项式。

，随着多项式次数增大，发现什么现象？
（2） 若采用Legendre 正交多项式作为基函数，重复上述过程有何发现？
【设计题八】（数值积分方法的比较）
数学上可以证明1
2041dx x π=+⎰，试通过计算上述积分得到π的近似值。

要求：（1）分别用复合梯形公式，Romberg 算法，Guass-Legendre 公式
计算上述积分，使得精度达到610-
（2）通过此实验，说明各种算法的优缺点。

【设计题九】（数值积分公式的应用）
在概率论中经常需要计算正态密度函数的积分，通过我们学过的数值积分公式建立一个正态密度函数的概率表，使得精度达到六位有效数字。

（概率表可参考概率统计教材）
【设计题十】（常微分方程数值方法的比较）
给定单摆方程初值问题..0sin ,(0),'(0)0g l
θθθθθ=-==其中g=9.8,l=25. 其精
确解为0()cos ,t t θθωω==
要求：
(1) 取初始偏离角度0100.1745θ==
(2) 取初始偏离角度0300.5236θ==
分别对上述两种情况按照下列方法求出其数值解，比较各方法的优缺点，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图）。

（希望时间画的长一点）
（方案I ）欧拉法，步长h = 0.025, h = 0.1；
（方案II ）改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1；
（方案III ）四阶经典龙格—库塔法，步长h = 0.1。

[设计题十一] （Lotka-Volterra 捕食竞争系统）
考虑一类捕食竞争系统
()()dx x b cy dt dy y a dx ey dt
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ 其中e d c b a ,,,,均为正常数。

上述方程是一个非线性常微分方程组，不可能有解析解。

要求：
1）假设1,3.0,6.0,8.0,2.1=====e d c b a ，而且初始值为x (0)=2, y(0)=1.分别四阶经典龙格—库塔法和四阶Adams 预测-校正方法，取多种步长求解。

把x(t ) 和y(t )画在同一张图上，比较之。

2）改变初始条件，参数不变，同样方法计算，发现什么现象?
3）改变参数，初始条件不变，同样方法计算，发现什么现象？能否用常微分方程定性理论解释？（参考常微分方程教材）
（注意：希望时间计算的长一些，才能发现解的一些性态）
三、时间安排
2014-2015年度第二学期，
上机讲解时间：周四上午，周五下午（第17,18周）
撰写报告时间：暑假
提交答辩时间：下学期第一周内
四、设计工作要求
1.本课程设计可以分为三个主题：数值代数，数值逼近和常微分方程的数值解。

学生可以任选一主题作为课程设计的内容（题目自拟，但需贴合报告的内容，比如数值代数中的常见方法）。

选数值代数主题的，设计题一和设计题二任选其一，设计题三和设计题四必选；选数值逼近主题的，设计题五，设计题六和设计题七任选其一，设计题八和设计题九任选其一；选常微分方程数值解的，设计题十和设计题十一必选。

2.所有的程序需用Matlab完成。

3.须提交纸质课程设计报告，基本内容包括（可进一步发挥）：
（1）选题的背景。

说明主题的背景及意义，同时要说明简述本设计的主要目的。

注意设计题非选题的背景，设计题只是作为案例来说明你的主题的。

（2）设计思路。

说明设计原理（理念）并进行方案选择，阐明为什么要选择这个设计方案以及所采用方案的特点。

（3）过程论述。

重点说明是如何实现的，包括：对设计工作的详细表述，各种算法的步骤或流程图，以及程序清单。

要求层次分明、表达确切。

（4）结果分析
对研究过程中所获得的主要的结果（输出结果必须是相应的截屏图，图中须有任务栏和命令历史窗口中的日期、时间）、现象进行定性或定量分析，得出结论和推论。

（5）课程设计总结
总结可以包括:课程设计过程的收获、遇到的问题，遇到问题解决问题过程的思考、程序调试能力的思考，课程设计实现过程中的收获和体会，以及对本课程的认识等。

4.请将全班同学的电子版设计报告和相关的M文件刻录在一张光盘上上交。

五、成绩评定
1. 成绩综合纸质报告和答辩成绩而定。

2. 纸质报告严禁抄袭。

若发现雷同，不区分抄和被抄，一并做不及格处理。

判断抄袭的参考标准：出现下列情形之一
（1）无截屏图；
（2）截屏图与他人相同；
（3）需编写的M文件（含注释）与他人完全相同；
（4）无“课程设计中的心得体会”或过于简短；
（5）“课程设计中的心得体会”不含“遇到的问题与困难及解决办法”；
（6）“课程设计中的心得体会”与他人相同。

3. 答辩时对于提的问题概不清楚，做不及格处理。

六．教材和主要参考资料
1、《计算方法》，郑咸义，华南理工大学出版社
2.《Matlab与科学计算（第2版）》，王沫然，电子工业出版社
3. 常微分方程(第3版)，王高雄，高等教育出版社。