《数值分析》课程设计任务书2015

数值分析

课 程 设 计 任 务 书

一、目的任务

(1) 使学生巩固和加强《数值分析》课程的理论知识。通过对实际问题的分析，算法的实现以及结果的分析，加深已学理论知识更为直观的理解。

（2）理解和掌握Matlab 编程语言思想和方法，并熟悉常见算法的实现。同时掌握调试程序的基本方法和上机操作方法。

（3）掌握书写设计开发文档的能力，使学生学会撰写总结报告。

（4）通过查阅文献资料，培养学生独立分析问题和解决问题的能力。

（5）培养良好的程序设计风格。在实际编程中，为了提高编程质量，对空行，空格和注释均有要求，在设计编写代码时，应该严格按照要求，养成良好的习惯。

二、设计内容

【设计题一】（验证矩阵的病态问题）

自己设计一个方案验证希尔伯特矩阵的病态

11121112311111

21n n H n n n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭ 【设计题二】（线性方程组直接法的比较）

对下列方程的用不选主元Guass 消去法，列主元Guass 消去法和LU 分解方法求解 将这些方法进行比较，谈谈对这些方法的看法。（方程的维数n 从120到130）

12321617861158611586115861158614n n n x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

【设计题三】（线性方程组迭代法的比较）

选用Jacobi 方法，G-S 方法和SOR 方法求解下面线性方程组（考虑n=100）

123216110.586122.586122.586122.586122.58621n n n x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

考虑初值的变化和松弛因子的选择对收敛性的影响。并比较将上述方法的计算结果进 行比较，说明此方程什么方法最合适。

【设计题四】（非线性方程求根的算法设计与比较）

1225年，达.芬奇研究了方程32210200x x x ++-=并得到它的一个近似根，* 1.368808107x =。没有人知道他用什么方法得到它。

要求：（1）用自己设计的一种线性收敛的不动点迭代法求上述方程的根，然后用斯蒂芬森加速法计算。

（2）试分别用二分法,牛顿迭代法求解上述方程。并且对牛顿迭代法采用不同初值，分析方法对初值的依赖性。

（3） 根据实验结果分析比较上述方法

【设计题五】（多项式插值的振荡现象）

定义在[-5,5]区间上的函数4()1x f x x

=+ 要求：（1）选取节点105,k x ih h n

=-+=，考虑用一个n 次多项式()n p x 去逼近()f x 。增大n (n=2,4,6,8….), 画出原函数()f x 以及()n p x 的图像，比较并分析实验结果，说明什么问题？

（2）如果选取节点(21)5cos ,1,......12(1)

k k x k n n π⎛⎫-==+ ⎪+⎝⎭

，重复上述过程，结果如何？ （3）若出现龙格现象，如何解决？

【设计题六】（曲线拟合的最小二乘法及其应用）

要求：（1）试分别用插值方法和形如23123y a t a t a t =++的曲线进行拟合，将结果

进行比较，理解各自方法的特点及适用范围。

（2）如果曲线拟合中采用指数形式或双曲形式，绘出拟合曲线图形，并进行比较，说明优劣。

【设计题七】（函数的最佳平方逼近多项式）

对于函数(x),[1,1]f x x =∈-,构造其最佳平方逼近多项式

（1） 若采用基函数{}21,x x ，，得到其一次最佳平方逼近多项式，二次 最佳平方多项式。。。。，随着多项式次数增大，发现什么现象？

（2） 若采用Legendre 正交多项式作为基函数，重复上述过程有何发现？

【设计题八】（数值积分方法的比较）

数学上可以证明1

2041dx x π=+⎰，试通过计算上述积分得到π的近似值。 要求：（1）分别用复合梯形公式，Romberg 算法，Guass-Legendre 公式

计算上述积分，使得精度达到610-

（2）通过此实验，说明各种算法的优缺点。

【设计题九】（数值积分公式的应用）

在概率论中经常需要计算正态密度函数的积分，通过我们学过的数值积分公式建立一个正态密度函数的概率表，使得精度达到六位有效数字。（概率表可参考概率统计教材）

【设计题十】（常微分方程数值方法的比较）

给定单摆方程初值问题..0sin ,(0),'(0)0g l

θθθθθ=-==其中g=9.8,l=25. 其精

确解为0()cos ,t t θθωω==

要求：

(1) 取初始偏离角度0100.1745θ==

(2) 取初始偏离角度0300.5236θ==

分别对上述两种情况按照下列方法求出其数值解，比较各方法的优缺点，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图）。（希望时间画的长一点）

（方案I ）欧拉法，步长h = 0.025, h = 0.1；

（方案II ）改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1；

（方案III ）四阶经典龙格—库塔法，步长h = 0.1。

[设计题十一] （Lotka-Volterra 捕食竞争系统）

考虑一类捕食竞争系统

()()dx x b cy dt dy y a dx ey dt

⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ 其中e d c b a ,,,,均为正常数。上述方程是一个非线性常微分方程组，不可能有解析解。 要求：

1）假设1,3.0,6.0,8.0,2.1=====e d c b a ，而且初始值为x (0)=2, y(0)=1.分别四阶经典龙格—库塔法和四阶Adams 预测-校正方法，取多种步长求解。 把x(t ) 和y(t )画在同一张图上，比较之。

2）改变初始条件，参数不变，同样方法计算，发现什么现象?

3）改变参数，初始条件不变，同样方法计算，发现什么现象？能否用常微分方程定性理论解释？（参考常微分方程教材）

（注意：希望时间计算的长一些，才能发现解的一些性态）

三、时间安排

2014-2015年度第二学期，

上机讲解时间：周四上午，周五下午（第17,18周）

撰写报告时间：暑假

提交答辩时间：下学期第一周内

四、设计工作要求

1.本课程设计可以分为三个主题：数值代数，数值逼近和常微分方程的数值解。学生可以任选一主题作为课程设计的内容（题目自拟，但需贴合报告的内容，比如数值代数中的常见方法）。选数值代数主题的，设计题一和设计题二任选其一，设计题三和设计题四必选；选数值逼近主题的，设计题五，设计题六和设计题七任选其一，设计题八和设计题九任选其一；选常微分方程数值解的，设计题十和设计题十一必选。