§3.3.3, 3.3.4点到直线的距离和两条平行直线的距离
3.3.3点到直线的距离3.3.4两平行线间的距离简化向量处理
12 ( 3 )2
122 (5)2
x 1 或 x 171 37
所以P点坐标为：
d Ax0 By0 C A2 B2
练习2
(1)已知点A(-2,3)到直线y=ax+1的距离为 2，求a的值. (2)已知点A(-2,3)到直线y=-x+a的距离为 2，求a的值.
解 : (1) y ax 1,ax y 1 0,
2a 3 1 2a 2
d
2,
a2 1
a2 1
2a 2 2a2 2, 4a2 8a 4 2a2 2,
解 : 由点到直线的距离公式：
(2)dd
3|
A(x01) By002C A322 0B22
2|
5 3
可得：思(1考)d： |还2有(1其) 他2 解10法| 吗2？ 5 41
点到直线的距离：
练习1 求点 P0 2到，下3列直线的距离：
(1) 3x+4y+3=0; (2) 3y=2 ； (3)-x+3y=7.
3.3.3《点到直线的距离》 3.3.4《平行线间的距离》
导入
铁路
仓库
导入
l
仓库
点到直线的距离 l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. P(x0,y0)
o
x
引入新课
已知点 P0 x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点 P0到直线 l 的距离？ 点 P0 到直线 l 的距离，是指从点 P0到直线 l 的
|n|
y
l : Ax By C 0
| A(x1 x0 ) B( y1 y0 ) | A2 B2
3.3.3-.3.3.4点到直线、两平行线间的距离
l : Ax By C 0
R
y0 O
P0 (x0,y0)
x x11,, y y10
x
d RS P0R P0S
1 | P0 S || P0 R | 2
x0
1 d | SR | 2
y
x 0, y 2 S
Q
d P0(x0,y0) O x0
y0
l : Ax By C 0 R x , y 1 0
例6：已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求的△ABC的 面积。
解 : 如图, 设AB边上的高为 h, 则 S ABC 1 | AB | h 2
2 2
y
A
h
| AB | (3 1) (1 3) 2 2
AB边上的高h就是点C到AB的距离 C O AB边所在直线的方程为 y - 3 x 1 即x y 4 0 1- 3 3 1
A B RS P0 R P0S A B
2 2 2
2
Ax 0 By 0 C
由d RS P0R P0S 得
d P0 R P0S RS Ax 0 By 0 C A2 B2
y0 O y
l : Ax By C 0
S Q
d
Ax0 By0 C A B
2 2
d P0(x0,y0)
x0
R
x
注： 在使用该公式前，须将直线方程化为 一般式． A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0 或B=0时一般不用此公式计算距离．
当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
y y P (x0,y0) o
Q (x0,y1)
3.3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离理解教材新知入门答辩在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l ，仓库看作点P .问题1：在直角坐标系中，若P (a ，0)，则P 到y 轴的距离是多少？问题2：在直角坐标系中，若P (x 0，y 0)，则P 到x 轴、y 轴的距离分别是多少？问题3：在直角坐标系中，若P (x 0，y 0)，则P 到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离是不是过点P 到直线l 的垂线段的长度？问题4：若过P (x 0，y 0)的直线l ′与l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，那么点P 到l 的距离与l ′与l 的距离相等吗？新知自解归纳升华领悟点到直线的距离公式需注意的问题1．直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1. 2．点到几种特殊直线的距离(1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|；(2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |；(4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |.对平行线间的距离公式的理解1．利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等．2．当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决(1)两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|；(2)两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.把握热点考向考点一 点到直线的距离[例1] 求过点M (－2，1)，且与A (－1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线的方程．[思路点拨] 可直接应用待定系数法求直线方程，也可以根据平面几何的知识，先判断所求直线与直线AB 的位置的关系再求解．[精解详析] 法一：设直线的方程为y －1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋1＝0. 由|－k －2＋2k ＋1|k 2＋1＝|3k ＋2k ＋1|k 2＋1， 解得k ＝0，或k ＝－12. 故直线的方程为y ＝1，或x ＋2y ＝0.当直线的斜率不存在时，不存在符合题意的直线l .法二：当l ∥AB 或l 过AB 中点时，满足点A ，B 到l 的距离相等．若l ∥AB ，由于k AB ＝－12， 则直线l 的方程为x ＋2y ＝0.若l 过AB 的中点N (1，1)，则直线l 的方程为y ＝1.故直线l 的方程为y ＝1，或x ＋2y ＝0.[一点通] 解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．题组集训1．已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2C.2－1D.2＋12．已知直线l 过点(0，－1)，且点(1，－3)到l 的距离为322，求直线l 的方程，并求出坐标原点到直线l 的距离．考点二 两平行线间的距离[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程．[思路点拨] 用待定系数法时，设出直线方程后，直接用公式求解或转化为点到直线的距离问题求解．[精解详析] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0.在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋（－12）2＝|C －6|13， 由题意，得|C －6|13＝2， 所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0.法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋（－12）2， 解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0.[一点通] 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． 题组集训3．两平行直线l 1：2x －4y ＋1＝0，l 2：x －2y －2＝0间的距离为________．4．若直线l 与直线：3x ＋4y －1＝0间的距离为2，求直线l 的方程．考点三 点到直线距离的应用[例3] 已知在△ABC 中，A (3，2)，B (－1，5)，C 点在直线3x －y ＋3＝0上若△ABC 的面积为10，求C 点坐标．[思路点拨] 本题易求|AB |＝5，C 点到AB 的距离即为△ABC 中AB 边上的高，设C (x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋3，从而可建立x 0的方程求解．[精解详析] 设点C (x 0，y 0)，∵点C 在直线3x －y ＋3＝0上，∴y 0＝3x 0＋3 (1分)∵A (3，2)，B (－1，5)，∴|AB |＝（5－2）2＋（－1－3）2＝5 (2分)设C 到AB 的距离为d ，则12d ·|AB |＝10，∴d ＝4 (3分) 又直线AB 的方程为：y －25－3＝x －3－1－3， 即3x ＋4y －17＝0， (5分)∴d ＝|3x 0＋4（3x 0＋3）－17|32＋42＝|15x 0－5|5＝|3x 0－1|＝4 (8分) ∴3x 0－1＝±4解得x 0＝－1或53(10分)当x 0＝－1时，y 0＝0；当x 0＝53时，y 0＝8 ∴C 点坐标为(－1，0)或(53，8)． (12分) [一点通]1．求曲线上某点(x 0，y 0)的坐标时，要充分利用已知条件寻求x 0，y 0满足的关系式，即建立关于x 0，y 0的方程组进行求解．如本题可利用x 0，y 0在已知直线上，且点(x 0，y 0)到另一已知直线距离为4，建立x 0，y 0的方程求解．2．当点(x 0，y 0)在某条直线上时，常用x 0表示y 0，这样可减少未知量，方便计算． 题组集训5．若点P (a ，b )为直线x ＋y ＋1＝0上任一点，则（a －1）2＋（b －1）2的最小值为________．6．已知定点A (0，1)，点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________．方法规律小结1．两平行线间的距离的求法(1)可将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)直接利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2去求． 2．解决距离最值问题时，要充分利用数形结合的思想．学生应用创新演练请完成课时跟踪训练(二十)。
第3章 3.3.3-3.3.4点到直线的距离 、两条平行直线间的距离
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离【课时目标】 1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．一、选择题1．点(2,3)到直线y ＝1的距离为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2 2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( )A ．2677B ．265C ．245D ．2753．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A ．10 B ．2 2 C ． 6 D ．24．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95B ．185C ．3D ．65．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝06．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 二、填空题7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．三、解答题10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．11．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2,3)． (1)求BC 边的高所在直线方程； (2)求△ABC 的面积S ．能力提升12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．13．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边的方程．1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点： (1)若方程不是一般式，需先化为一般式．(2)当点P 在直线上时，公式仍成立，点P 到直线的距离为0．2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中x ，y 的系数要化为分别相等的数．3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数”想“形”，以“形”助“数”．3．3．3 点到直线的距离 3．3．4两条平行直线间的距离答案知识梳理 公垂线段|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 |C 2－C 1|A 2＋B 2作业设计1．D [画图可得；也可用点到直线的距离公式．] 2．B3．B [|OP |最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0的距离，∴d ＝|－4|2＝22．]4．C [|PQ |的最小值即为两平行线间的距离，d ＝|3＋12|5＝3．]5．C [①所求直线平行于AB ，∵k AB ＝－2，∴其方程为y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0． ②所求直线过线段AB 的中点M (4,1)，∴所求直线方程为y ＝1．]6．C [当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时 d ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5． ∴0<d ≤5．] 7．2x ＋y －5＝0 解析如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，∴k l ＝－2，∴方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0． 8．4916π 9．71326解析 直线3x ＋2y －3＝0变为6x ＋4y －6＝0，∴m ＝4．由两条平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|62＋42＝71326．10．解 (1)由点斜式方程得，y －5＝－34(x ＋2)，∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0， 则由平行线间的距离公式得， |c ＋14|5＝3，c ＝1或－29． ∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 11．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0．(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝4 2则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8．12．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3． 但b >1，∴b ＝3．从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0．13．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1： x ＋3y ＋c ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。
3..3..3点到直线的距离和两条平行直线间的距离
3.3.3点到直线的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.WSGg45LRBS【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】导入新课思路1.点P(0,5>到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0>,直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.WSGg45LRBS思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0>和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0>.WSGg45LRBS图1新知探究提出问题①已知点P(x0,y0>和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?WSGg45LRBS②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离>活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ>x0=0,y0=0时，d=；(ⅱ>x0≠0,y0=0时，d=；(ⅲ>x0=0,y0≠0时，d=.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0>，d=?学生应能得到猜想：d=.启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理>WSGg45LRBS证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0>.∴P′N=. (*>WSGg45LRBS∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上,∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.代入(*>得|P′N|=即d=,.②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.证明：设P0(x0,y0>是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.WSGg45LRBS又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=.讨论结果：①已知点P(x0,y0>和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=.②当A=0或B=0时，上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.应用示例例1 求点P0(-1，2>到下列直线的距离：(1>2x+y-10=0;(2>3x=2.解:(1>根据点到直线的距离公式得d=.(2>因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1>|=.点评：例1(1>直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2>体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.WSGg45LRBS变式训练点A(a，6>到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.解:=4|3a-6|=20a=20或a=.例2 已知点A(1，3>，B(3，1>，C(-1，0>，求△ABC的面积.解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h.|AB|=，AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.点C到x+y-4=0的距离为h=，因此，S△ABC=×=5.点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.WSGg45LRBS变式训练求过点A(-1,2>,且与原点的距离等于的直线方程.解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0.WSGg45LRBS 例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0>,则点P(3,0>到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,WSGg45LRBS d=.点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.变式训练求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.答案：.解:点O(0，0>关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-,>，则直线MO′的方程为y-3=x.直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(>即为所求，相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=.课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.WSGg45LRBS3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.当堂检测导学案当堂检测【板书设计】一、点到直线距离公式二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】课本习题3.3 A组9、10；B组2、4及导学案课后练习与提高3.3.3 点到直线的距离课前预习学案一、预习目标让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离二、学习过程预习教材P117~ P119，找出疑惑之处问题1．已知平面上两点，则的中点坐标为，间的长度为 .WSGg45LRBS 问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢?WSGg45LRBS5分钟训练1.点<0，5）到直线y=2x的距离是( >A. B. C.D.WSGg45LRBS2.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.WSGg45LRBS3.已知点(a,2>(a＞0>到直线l：x-y+3=0的距离为1,则a的值等于( >A. B. C.D.答案：C三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立二、学习过程知识点1：已知点和直线，则点到直线的距离为：.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢并画出图形来.WSGg45LRBS例分别求出点到直线的距离.问题2：求两平行线：，：的距离.知识点2：已知两条平行线直线，，则与的距离为注意：应用此公式应注意如下两点：<1）把直线方程化为一般式方程；<2）使的系数相等.典型例题例1 求点P0(-1，2>到下列直线的距离：(1>2x+y-10=0;(2>3x=2.变式训练点A(a，6>到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.例2 已知点A(1，3>，B(3，1>，C(-1，0>，求△ABC的面积变式训练求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离当堂检测课本本节练习.拓展提升问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0>、M(0，3>，试在l 上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值.WSGg45LRBS.学习小结1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式课后巩固练习与提高30分钟训练1.点<3,2）到直线l:x-y+3=0的距离为( >A. B. C.D.WSGg45LRBS2.点P(m-n,-m>到直线=1的距离为( >A. B. C.D.3.点P在直线x+y-4=0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( >A. B. C.D.2WSGg45LRBS4.到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合为( >A.直线2x+y-2=0B.直线2x+y=0WSGg45LRBSC.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0WSGg45LRBS5.若动点A、B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( >WSGg45LRBSA. B. C.D.WSGg45LRBS6.两平行直线l1、l2分别过点P1(1,0>、P2(1,5>,且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l1：_________________,l2：_______________.WSGg45LRBS7.已知直线l过点A(-2,3>,且点B(1,-1>到该直线l的距离为3，求直线l的方程.8.已知直线l过点(1,1>且点A(1,3>、B(5,-1>到直线l的距离相等，求直线l的方程.9.已知三条直线l1：2x-y+a=0(a＞0>,直线l2：4x-2y-1=0和直线l3：x+y-1=0,且l1与l2的距离是.WSGg45LRBS(1>求a的值.(2>能否找到一点P,使得P点同时满足下列3个条件:①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是？若能,求P点的坐标;若不能,请说明理由.WSGg45LRBS参考答案1.解读:由点到直线的距离公式可得d=.答案：C2.解读:nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得.答案：A3.解读:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得.WSGg45LRBS答案：B4.解读:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得｜m-1｜=1，解得m=2或m=0.WSGg45LRBS故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0.答案：D8.解：直线l平行于直线AB时，其斜率为k=kAB==-1，即直线方程为y=-(x-1>+1x+y-2=0；直线l过线段AB的中点M(2,1>时也满足条件，即直线l的方程为y=1.WSGg45LRBS综上，直线l的方程为x+y-2=0或y=1.9.解：(1>根据题意得：l1与l2的距离d=a=3或a=-4(舍>.(2>设P点坐标为(x0,y0>,则x0＞0,y0＞0.若P点满足条件②,则2×｜8x0-4y0+12｜=｜4x0-2y0-1｜, 8x0-4y0+12=4x0-2y0-1或8x0-4y0+12=-(4x0-2y0-1>4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0; ①WSGg45LRBS若P点满足条件③,则｜2x0-y0+3｜=｜x0+y0-1｜, 2x0-y0+3=x0+y0-1或2x0-y0+3=-(x0+y0-1>,x0-2y0+4=0或3x0+2=0;②WSGg45LRBS由①②得解得故满足条件的点P为(-3,>或(>或(>或(>.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
第三章 3.3.3～3.3.4 点到直线的距离、两条平行直线间的距离
3．3.3 点到直线的距离 3．3.4 两条平行直线间的距离学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法；2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题；3.初步掌握用解析法研究几何问题．知识点一 点到直线的距离思考1 如图，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离d 同线段PS ，PR ，RS 间存在什么关系？答案 d ＝|PR ||PS ||RS |.思考2 根据思考1的思路，点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 怎样用A ，B ，C 及x 0，y 0表示？答案 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.思考3 点到直线的距离公式对于A ＝0或B ＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用，①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0， 即y ＝－C B ，d ＝|y 0＋C B |＝|By 0＋C ||B |，适合公式．②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－C A ，d ＝|x 0＋C A |＝|Ax 0＋C ||A |，适合公式．1．定义：点到直线的垂线段的长度．2．图示：3．公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.知识点二 两条平行直线间的距离思考 直线l 1：x ＋y －1＝0上有A (1,0)、B (0,1)、C (－1,2)三点，直线l 2：x ＋y ＋1＝0与直线l 1平行，那么点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案 点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为2、2、 2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． 1．定义：夹在两平行线间的公垂线段的长．2．图示：3．求法：转化为点到直线的距离．4．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.类型一 点到直线的距离例1 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋13；②3y ＝4；③x ＝3.(2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程． 解 (1)①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，点P (2，－3)到该直线的距离|4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝185； ②3y ＝4可化为3y －4＝0，由点到直线的距离公式得|－3×3－4|02＋32＝133；③x ＝3可化为x －3＝0，由点到直线的距离公式得|2－3|1＝1.(2)方法一 当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时， 直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点距离相等，故x ＝－1满足题意，当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时， 设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与B (－4,5)到直线l 的距离相等，得 |2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－13，此时l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.综上所述直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0. 方法二 由题意得l ∥AB 或l 过AB 的中点， 当l ∥AB 时，设直线AB 的斜率为k AB ， 直线l 的斜率为k l ， 则k AB ＝k l ＝5－3－4－2＝－13，此时直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点(－1,4)时，直线l 的方程为x ＝－1. 综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练1 (1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________________．(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________．答案 (1)[13，313] (2)2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0解析 (1)由题意知|4×4－3a |42＋(－3)2≤3，得13≤a ≤313， 故a 的取值范围为[13，313]．(2)过点P (3,4)且斜率不存在时的直线x ＝3与A 、B 两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知得：|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23，∴所求直线l 的方程为 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 类型二 两平行线间的距离例2 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为____________． (2)已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________________． 答案 (1)104(2)2x －y ＋1＝0 解析 (1)由题意得63＝m1，∴m ＝2，将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，由两平行线间距离公式得： |－1＋6|62＋22＝540＝104.(2)设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 由题意知：|3－c |22＋12＝|c ＋1|22＋12，得c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.反思与感悟 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．跟踪训练2 (1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l 1，l 2分别过P 1(1,0)，P 2(0,5)，若l 1与l 2距离为5，求两直线方程． 解 (1)方法一 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. (2)依题意，两直线的斜率存在， 设l 1：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0， l 2：y ＝kx ＋5，即kx －y ＋5＝0. 因为l 1与l 2距离为5， 所以|－k －5|k 2＋1＝5，解得k ＝0或512.所以l 1和l 2的方程分别为y ＝0和y ＝5或5x －12y －5＝0和5x －12y ＋60＝0. 类型三 利用距离公式求最值例3 (1)已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1的最小值为________． 答案710解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1＝(x －0)2＋(y －1)2，∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离， 即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即|MN |min ＝d ＝|8－1|62＋82＝710. (2)两条互相平行的直线分别过点A (6,2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .①求d 的取值范围；②求当d 取最大值时，两条直线的方程． 解 ①设经过A 点和B 点的直线分别为l 1、l 2，显然当⎩⎨⎧l 1⊥AB ，l 2⊥AB时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为|AB |＝(－3－6)2＋(－1－2)2＝310，∴d 的取值范围为(0,310]； ②由①知d max ＝310，此时k ＝－3，两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0.反思与感悟 解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．跟踪训练3 (1)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，求|OP |最小时P 点的坐标； (2)求过点P (1,2)且与原点距离最大的直线方程．解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离， 此时OP 垂直于已知直线， 则k OP ＝1，∴OP 所在直线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴P 点坐标为(2,2)． (2)由题意知与OP 垂直的直线到原点O 的距离最大， ∵k OP ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 类型四 对称问题例4 求点P (－5,13)关于直线l ：2x －3y －3＝0的对称点P ′的坐标． 解 设P ′的坐标为(x 0，y 0)，则线段PP ′中点Q 的坐标为(x 0－52，y 0＋132)．∵Q 在直线l 上，∴2·x 0－52－3·y 0＋132－3＝0，即2x 0－3y 0－55＝0.①又∵PP ′⊥l ，∴k l ·k PP ′＝－1， 即23·y 0－13x 0＋5＝－1，即3x 0＋2y 0－11＝0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－11，∴P ′的坐标为(11，－11)．反思与感悟 (1)点关于直线对称的点的求法点N (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎨⎧y －y 0x －x 0·(－A B )＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．(2)直线关于直线的对称的求法求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1、P 2关于直线l 的对称点，再用两点式求出l 2的方程．跟踪训练4 一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )， 由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·(－43)＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3(x ≤78).1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．±2答案 D解析 由题意知|a －1＋1|12＋12＝1，即|a |＝2，∴a ＝±2.2．两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：9x ＋12y －10＝0间的距离等于( ) A.75 B.715 C.415 D.23 答案 C解析 l 1的方程可化为9x ＋12y －6＝0， 由平行线间的距离公式得d ＝|－6＋10|92＋122＝415. 3．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离为( ) A ．5 2 B ．2 5 C ．510 D ．10 5答案 C解析 ∵点A 关于x 轴的对称点A ′(－3，－5)， ∴|A ′B |＝(－3－2)2＋(－5－10)2＝510，由光的反射理论可知， 此即为光线从A 到B 的距离．4．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________. 答案 10解析 由两直线平行知，a ＝8，d ＝|15－5|5＝2，∴a ＋d ＝10.5．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________________． 答案 (5，－3)解析 由题意知过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线， 设垂足为M ，则|MP |为最小， 直线MP 的方程为y －1＝－43(x －2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，y －1＝－43(x －2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3∴所求点的坐标为(5，－3)．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰． 3．已知两平行直线，其距离可利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离． 4．对称问题最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平分两条件列方程组可求解对称点坐标．一、选择题1．点(2,5)到直线y ＝2x 的距离为( ) A.15 B.25 C.35 D. 5答案 A解析 直线y ＝2x 可化为2x －y ＝0， 由点到直线的距离公式得|2×2－5|22＋(－1)2＝15.2．两平行线3x －4y －7＝0和6x －8y ＋3＝0之间的距离为( )A.45 B ．2C.1710 D.175答案 C解析 3x －4y －7＝0可化为6x －8y －14＝0， 由两平行线间的距离公式可得：|3＋14|62＋82＝1710.3．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为() A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0答案 C解析 由题意知直线l 与AB 垂直，且过A 点，∴k l ·k AB ＝－1，又∵k AB ＝4－23＋3＝13，∴k l ＝－3，∴l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.4．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( )A ．0<d ≤3B ．0<d ≤5C ．0<d <4D ．3≤d ≤5答案 B解析 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0<d ≤5.5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2 答案 A解析 由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2. 6．若过点P (1,2)引直线，使A (2,3)，B (4，－5)两点到它的距离相等，则这条直线的方程是( )A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．2x ＋3y －7＝0或x ＋4y －6＝0D ．3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0答案 D解析 因为k AB ＝－4，所以过P (1,2)与AB 平行的直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0，此直线符合题意．过点P (1,2)和线段AB 中点C (3，－1)的直线方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，此直线符合题意．故所求直线方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.7．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(－2,5)C ．(2，－5)D ．(4，－3)答案 B解析 设Q (x 0，y 0)，由题意可得⎩⎨⎧－3＋x 02＋4＋y 02－2＝0，y 0－4x 0＋3×(－1)＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5， ∴Q (－2,5)．二、填空题8．若点(2，－k )到直线5x ＋12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．答案 －3或173解析 d ＝|5×2＋12×(－k )＋6|52＋122＝|16－12k |13，由题意知|16－12k |13＝4，即|4－3k |13＝1， ∴k ＝－3或k ＝173. 9．经过点(1,3)且与原点距离是1的直线方程是________________________． 答案 x －1＝0或4x －3y ＋5＝0解析 当斜率不存在时，此时过点(1,3)的直线方程为x ＝1，符合题意，当斜率存在时，设直线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，原点到直线距离为|－k ＋3|k 2＋1＝1， 解得k ＝43， ∴所求直线方程为x －1＝0或4x －3y ＋5＝0.10．若实数x ，y 满足关系式x ＋y ＋1＝0，则式子S ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值为________． 答案 322 解析 方法一 ∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2，∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到一定点N (1,1)的距离．即为点N 与直线l ：x ＋y ＋1＝0上任意一点M (x ，y )的距离．∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即|MN |min ＝d ＝|1＋1＋1|2＝322. 方法二 ∵x ＋y ＋1＝0，∴y ＝－x －1，∴S ＝x 2＋(－x －1)2－2x －2(－x －1)＋2 ＝2x 2＋2x ＋5 ＝ 2(x ＋12)2＋92， ∴x ＝－12时，S min ＝92＝322. 三、解答题11．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)， 由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.12．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到l 的距离等于2.解 AB 的中点坐标为(3，－2)，k AB ＝－3＋14－2＝－1， 所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0，设点P (a ，b )，则P 在直线x －y －5＝0上，故a －b －5＝0， 又|4a ＋3b －2|42＋32＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧ a ＝277，b ＝－87，故所求的点为P (1，－4)或P (277，－87)． 13．光线通过点A (2,3)，在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B (1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．解 设点A (2,3)关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A ′(－4，－3)．由于反射光线所在直线经过点A ′(－4，－3)和B (1,1)， 所以反射光线所在直线的方程为y －1＝(x －1)·1＋31＋4， 即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P (－23，－13)． 所以入射光线所在直线的方程为y －3＝(x －2)·3＋132＋23， 即5x －4y ＋2＝0.综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为 5x －4y ＋2＝0,4x －5y ＋1＝0.。
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离
人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离选择题(2016·青岛高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是()A. 4B.C.D.【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离。
用两条平行直线间的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要，这时才可以有两条平行直线间的距离为。
选择题点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A. a>7B. a7或a7或-3>3，解得a>7或a=5，故0【答案】直线l2的方程是x+y-3=0.【解析】试题分析：由l1∥l2设出l2的方程y=-x+b(b>1)，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,然后由梯形的面积求解试题解析：设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.选择题点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点P 的坐标为()A. (8，0)B. (-12，0)C. (8，0)或(-12，0)D. (0，0)【答案】C【解析】设P(x0，0)，因为d==6，所以|3x0+6|=30，故x0=8或x0=-12.故选C选择题已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为()A. 1B. -1C.D. ±【答案】D【解析】.由题意，得=1，即|a|=，所以a=±.解答题在△ABC中，A(3，2)，B(-1，5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标.【答案】点C的坐标为(-1，0)或.【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，所以只需求AB两点间距离，然后设C点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出C 点坐标试题解析：由题知|AB|==5，因为S△ABC=|AB|·h=10，所以h=4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y-2=-(x-3)，即3x+4y-17=0.所以解得或所以点C的坐标为(-1，0)或.选择题过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为()A. 4x+y-6=0B. x+4y-6=0C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0【答案】D【解析】显然直线斜率存在，设直线方程为：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，A，B到直线距离相等，则=，解得k=-4或k=-，代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.点晴：本题考查的是过一点到另外两点距离相等的直线方程。
3.3.3点到直线的而距离-3.3.4两条平行直线间的距离
2
.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
两点间的距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,则点 P到直线l的距离：
.
点到直线距离公式
已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,则点 P到直线l的距离：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
例1.求点P(-1,2)到下列直线的距离. (1)2x+y-10=0； (2)3x=2
教材108页练习1,2
例2.已知点A(1,3),B(3,1)C(-1,0), 求三角形ABC的面积.
y 3 2
1 -1 O C (-1,0) A (1,3)
h
1 2 3 x
证明:两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+ C2=0的距离是 d
C1 C2 A B
2 2
.
结论:两条平行线间的距离公式
例3.求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0 的距离.
结论:直线到直线的距离转化为点到直线的距离
已知点A(a,-5)与B(0,10)间的距离 是17,求a的值.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1 y2 y1
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
3.3.3点到直线的距离、3.3.4两条平行直线间的距离
复习引入
两点间的距离公式是什么？
复习引入
两点间的距离公式是什么？ 点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
讲授新课 讨 论：
什么是平面上点到直线的距离？ 怎样才能求出这一段的距离？
求△ABC的面积.
练习1. 已知A(2, 1)，直线BC的方程是
x＋y＝1，求△ABC的BC边上的高.
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？ 平行直线间的距离 转 化 为
点到直线的距离
例3. 已知直线l1：2x－7y－8＝0，
l2：6x－21y－1＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
平行且到l的距离为2的直线的方程.
课堂小结
1. 点到直线的距离；
2. 两条平行直线间的距离.
课后作业
1. 作业本。
讲授新课 讨 论：
什么是平面上点到直线的距离？ 怎样才能求出这一段的距离？ 点P0(x0, y0)到直线Ax＋Bx＋C＝0
的距离为 d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
例1. 求点P0(0, 5)到直线y＝2x的距离.
例2. 已知点A(1, 3)，B(3, 1：ax＋2y＋2＝0
l2：3x－y＋d＝0的距离为 10 ， 求a与d的值.
练习3.求过点M(－2, 1)，且与
A(－1, 2)，B(3, 0)距离相等的
直线方程.
练习4. 求两条直线
l1：3x＋4y＋1＝0
l2：5x＋12y－1＝0
高中数学 第三章 3.3.33.3.4两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
用3.3.3-3.3.4点到直线的距离_两条平行直线间的距离
| 2k 3 2 k | k 1
2
|52k | k 1
2
,பைடு நூலகம்
注意：分k存在和不存在两种情况讨论。
整理得：12k=48， 解得：k=4， ∴直线l方程为y-2=4（x-1）， 化简得：4x-y-2=0； 综上，直线l的方程为4x-y-2=0，或x=1
学法指导 透析点到直线的距离公式： 学法指导 透析点到直线的距离公式： (1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最 (1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最 短距离； 短距离； (2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情 (2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情 况，特别地点在直线上时，该距离为0； 况，特别地点在直线上时，该距离为0； (3) 求点到直线的距离的步骤： (3) 求点到直线的距离的步骤：
[破疑点 破疑点 ]点到几种特殊直线的距离： 点到几种特殊直线的距离： [ 破疑点 ] 点到几种特殊直线的距离： [ ] [破疑点 ] 点到几种特殊直线的距离： 破疑点 点到几种特殊直线的距离： [[ 破疑点 ]] 点到几种特殊直线的距离： (1) 点 P ( x ， y ) 到 x 轴的距离 d ＝ | y | ； (1) 点 P ( x ， y ) 到 x 轴的距离 d ＝ | y | ； 0 0 0 0 0 0 (1) 点 P ( x ， y ) 到 x 轴的距离 d ＝ | y | ； 0 0 0 0 0 0 (1) 点 P ( x ， y ) 到 x 轴的距离 d ＝ | y | ； 0 0y 0|y (1) 点 P ， y 到 轴的距离 d ＝ |y |； (1) 点 P (( xx ， )) 到 xx 轴的距离 d ＝ |； 00 00 00 (2) 点 P ( x ， y ) 到 y 轴的距离 d ＝ | x | ； (2) 点 P ( x ， y ) 到 y 轴的距离 d ＝ | x | ； 0 0 0 0 0 0 (2) 点 P ( x ， y ) 到 y 轴的距离 d ＝ | x | ； 0 0 0 0 0 0 (2) 点 P ( x ， y ) 到 y 轴的距离 d ＝ | x | ； 0 0y 0|x (2) 点 P ， y 到 轴的距离 d ＝ |x |； (2) 点 P (( xx ， )) 到 yy 轴的距离 d ＝ |； 00 00 00 (3) 点 P ( x ， y ) 到直线 y ＝ a 的距离 d ＝ | y － a | ； (3) 点 P ( x ， y ) 到直线 y ＝ a 的距离 d ＝ | y － a | ； 0 0 0 0 0 0 (3) 点 P ( x ， y ) 到直线 y ＝ a 的距离 d ＝ | y － a | ； 0 0 0 0 0 0 (3) 点 P ( x ， y ) 到直线 y ＝ a 的距离 d ＝ | y － a | ； 0 0y 0|y (3) 点 P ， y 到直线 ＝ a 的距离 d ＝ |y － a |； (3) 点 P (( xx ， )) 到直线 yy ＝ a 的距离 d ＝ － a |； 00 00 00 (4) 点 P ( x ， y ) 到直线 x ＝ b 的距离 d ＝ | x － b |. (4) 点 P ( x ， y ) 到直线 x ＝ b 的距离 d ＝ | x － b |. 0 0 0 0 0 0 (4) 点 P ( x ， y ) 到直线 x ＝ b 的距离 d ＝ | x － b |. 0 0 0 0 0 0 (4) 点 P ( x ， y ) 到直线 x ＝ b 的距离 d ＝ | x － b |. 0 0y 0|x (4) 点 P ， y 到直线 ＝ b 的距离 d ＝ |x － b (4) 点 P (( xx ， )) 到直线 xx ＝ b 的距离 d ＝ － b |.|. 00 00 00
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点到直线的距离
1:实例中的第(1)中点与直线什 么关系,你能求出点到直线的距离吗?
第(1)小题中点在直线外,过 A 作 x,y 轴平
行线交 l1 于 B、C 两点,点 A 到直线 l1 的距离 |AD|=
AB AC 2 5 BC 5
平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线
l:Ax+By+C=0 的距离为 d=
10 ].…………………………(8 分)
法二 如图所示,
显然有 0<d≤|AB|,……………………(3 分)
而|AB|=
(6 3) (2 1)
2
2
=3
10 ,
故所求的 d 的变化范围为 (0,3
10 ].………………(8 分)
(2)由图可知,当 d 取最大值时,两直线垂直于 AB. 而 kAB
2 2
=3,
解之得 C=45 或 C=-33, 故所求直线方程为 5x-12y+45=0 或 5x-12y-33=0.
法二 设所求直线方程为 5x-12y+c=0,
1 在直线 5x-12y+6=0 上取一点 P 0, , 2
则 P 到直线 5x-12y+c=0 的距离为
1 12 c 2 5 (12)
2:直线 l1:x-2y-1=0 与直线 l2:2x-4y+3=0 之间的距离等于 .
解析:l2 方程可化为 x-2y+ 3 =0,显然 l1∥l2, 2
1
因此两直线 l1,l2 间的距离为
3 2
=
2 2 1 2
5. 2
答案:
5 2
求点到直线的距离
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离3
| PQ | ( x x0 )2 ( y y0 )2 A( Ax0 By0 C ) 2 B( Ax0 By0 C ) 2 [] [] 2 2 2 2 A B A B | Ax0 By0 C | . A2 B 2
提示： 点P0(x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0的 距离为: | Ax0 By0 C | d . A2 B 2
2.点到直线的距离公式及其应用.（重点）
3.会求两条平行线之间的距离.
1.点到直线的距离公式
y y0 |x0| P0 (x0,y0) |y0|
O
x0
x
点到直线的距离公式 y
|y1-y0|
y y1
y1
y0
|x1-x0|
P0 (x0,y0)
x x1
x1 x
O
x0
已知点 P0 x0 , y0 ,直线 l : Ax By C 0 ，如何 求点 P0 到直线 l 的距离？
2 6 2 解：因为l1，l2的斜率分别为 k1 , k2 . 7 21 7
所以l1，l2平行. 先求l1与x轴的交点A的坐标，易得A（4,0），
6× 4- 21× 0 -1
2 62 + （-21）
点A到直线l2的距离为 所以l1，l2间的距离为
d=
=
23 23 = 53, 3 53 159
10 2 5. 5
（2）根据点到直线的距离公式，得
d | 3 1 2 | 32 02 5 . 3
【变式练习】
5 3 1.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 4 3 2.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______.
3.3.3-3.3.4点到直线距离_两条平行直线间的距离
d
|
By0 C |B|
|
|
y0
C B
|
特别地，当B=0，A0时， 直线Ax+C=0
d
|
Ax0 | A|
C
|
|
x0
C A
|
点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式； 5.用此公式时直线要先化成一般式。
P 1
M O
PM
y Q
y0
y1
已知P(x0,y0),设M(x1,y1)
l 将M(x0,y1)代入l的方程得
x
y1
Ax0 B
C
又cos1 cos
B A2 B2
y0
Ax0 C B
Ax0 By0 C B
PQ PM cos Ax0 By0 C
k2 1
k2 1
∴|1－3k|＝|3k－5|， ∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0. 答案 x－y－1＝0，或x＝1
10．若两平行线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距 离不大于 5 ，则k的取值范围是________． 解析 化为一般式得，2x＋y＋k＋2＝0， ∴由平行线距离公式得：
A2 B2
1.点到直线距离公式：
思考：这是由AB≠0条件下推导得到的 公式，A=0或B=0时公式是否仍然成立？
y
【数学(人教A版必修2)】3-3-3-3-3-4点到直线的距离两条平行直线的距离课件2
点到直线的距离
两条
平行直线间的距离
点到直线距离公式
y
y0
|x0|
P0 (x0,y0)
|y0|
O x0 x
点到直线距离公式
y
|y1-y0|
y y1
y1 y0 O
|x1-x0|
x x1
x1 x
P0 (x0,y0) x0
点到直线距离公式
y
Ax0 C S x0, B
O
d
|A x y0 C| 0 B
2 2 A B
x
注意： 化为一般式．
例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
y
P(-1,2)
2 1 1 2 10 d 25 2 2 2 1
②如图，直线3x=2平行于y轴，
O
2 5 d ( 1 ) 3 3 x 用公式验证，结果怎样?？ l:3x=2
小结
1.点到直线距离公式
d |A x y 0 B 0 C|
2 2 A B
注意： 化为一般式． 2.特殊情况 x x1
y y1
y y1
|y1-y0| |x1-x0|
y0 O
P0 (x0,y0) x0 x1 x
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
O Q
l1
l2 x
任意两条平行直线都 可以写成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
PQ
C 2 C1
2 A B 2
:A x B y C 0 Q l
§3.3.3点到直线的距离§3.3.4两条平行直线间的距离学案.doc
§ 3.3.3- § 3.3.4点到直线的距离与两条平行直线间的距离一、教学目标：1、了解点到直线距离公式的推导，能记住点到直线距离的公式，并会应用公式解题。
2、理解什么是两条平行直线间的距离，会将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解。
%1.重点与难点：重点：点到直线距离的公式及其应用。
将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解两条平行直线间的距离。
难点：点到直线的距离公式的推导。
两平行直线间的距离的求法。
课前预习案使用说明及学法指导：1、先通读教材，勾画出本节内容的基本概念，找出问题并进行标注，然后再精读教材或查阅资料，解决问题。
2、认真分析研究例题。
3、要求独立完成预习案，疑难问题可由学科长组织讨论。
（一）、我的知识：1、两点间的距离公式：____________________________________2、某电信局计划年底解决木地区最后一个小区P的电话通信问题•离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P （—1, 5）,离它最近线路其方程为2x+y+10=0.3、在平而直角坐标系中，如果已知某点几的坐标为（观,儿），怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P.到直线I: ZU+ By + C = 0的距离呢？方法一：方法二：如图：设A H O,B H O,则直线/与兀、y轴都相交•过点乙分别作两坐标轴的平行线，交直线/于R、S,则直线林的方程为_______________ , R的坐标为 ________ ;直线垃s的方程为_______ , S的坐标为__________________ •于是有\W= ___________________ : \P0S\= _____________ : \RS\=________________________ .设P Q Q\=d,由三角形面积公式可得：__________________________ ，于是得到点£到直线/: Ax+0y+C =()的距离公式为：4、两条平行直线间的距离的定义?(%1)预习自测：1、课本108页练习。
数学：3.3.3--3.3.4点到直线、两平行线间的距离
3 .3 .4 两条平行直线间的距离
鹿邑三高 史琳
第一页，编辑于星期日：十二点 三十六分。
复习回顾
方程组解的情况与方程组所表示的两条
直线的位置关系有何对应关系？
直线l1,
唯一解 l2解方程组无穷多解
l1, l1,
l2相交 l2重合
无解
l1, l2平行
第二页，编辑于星期日：十二点 三十六分。
l1, l1,
l2相交 l2重合
无解
l1, l2平行
第二十一页，编辑于星期日：十二点 三十六分。
复习回顾
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离 : | OP | x2 y2
第十八页，编辑于星期日：十二点 三十六分。
练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
2
2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2 的直线方程 .
第十九页，编辑于星期日：十二点 三十六分。
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0
的距离公式是 d = Ax0 + By0 + C
y
P l1
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d
C1 - C2
A2 B2
第十七页，编辑于星期日：十二点 三十六分。
练习3
14 53
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例4 已知直线l过点 A(0, 10) ，且原点 O到直线l的距离为 5，求直线l的方程.
课堂检测
(1)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0； (2)3x+4y=10，3x+4y=0.
课时小结
点到直线的距离的公式 的推导以及应用 。
d
Ax0 By0 C A2 B 2
两条平行直线间的距离公式 d
y B
Q
P o
A
l x
思考5:根据上述分析，点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为：
d
| Ax0 By0 C | A B
2 2
这是点到直线的距离公式.当直线l平行于坐标轴 时，公式是否成立？
问题探究（二）：两平行直线的距离
思考1:两条平行直线的相对位置关系常通过距离 来反映，两平行直线间的距离的含义是什么？
。
C1 C 2 A2 B 2
d
o
| C1 C2 | A2 B 2
P
x
例题讲解
例1 求点P(-1, 2)到直线 l : 3x 2 的距离.
例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求△ABC的面积.
y
A h B
x
C
o
例3 已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0 和 与 l2 : 6x 21y 1 0,l1与l2是否平行？若平 行,求l1与l2的距离.
A
B
思考2:你有什么办法求两条平行直线之间的距离？
思考3:直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0平行的条件是什么？ 思考4:根据上述思路，你能推导出两平行直线l1： Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）之间的距 离d的计算公式吗？
y l1 l2
问题探究（一）：点到直线的距离
思考1:点到直线的距离的含义是什么？在直角坐 标系中，若已知点P的坐标和直线l的方程，那么点 P到直线l的距离是否确定？
思考2:若点P在直线l上，则点P到直线l的距离为多 少？若直线l平行于坐标轴，则点P到直线l的距离 如何计算？
思考3:一般地，设点P(x0，y0)到直线l： Ax+By+C=0的距离为d，试设想d的值与哪些元素有 关？ 思考4:你能设计一个方案求点P(x0，y0)到直线l： Ax+By+C=0的距离吗？
3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
自主学习
1.直角坐标平面上两点间的距离公式是什么？ 它有哪些变形？ 2.构成平面图形的基本元素为点和直线，就 距离而言有哪几种基本类型？ 3.已知平面上三点A(-2，1)，B(2， -2)， C(8，6)，若求△ABC的面积需要解决什么问题？ 4.我们已经掌握了点与点之间的距离公式，如 何求点到直线的距离、两条平行直线间的距离便 成为新的课题.