2019版高考数学大一轮复习 第八章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系学案 文 新人教A版

第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知 识 梳 理1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.[常用结论与微点提醒]1.空间中两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补.2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.唯一性的几个结论：(1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.( )解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a 不平行于平面α，且a ⊄α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析 连接B 1D 1，D 1C ，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求的角.又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.答案 C3.(2018·贵阳调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A ∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A.垂直B.相交C.异面D.平行解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行. 答案 D4.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项不正确.图(1) 图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.答案 A5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF 相交的侧面有4个. 答案 4考点一 平面的基本性质及应用【例1】 (1)(2016·山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件. 答案 A(2)如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綉12AD ，BE 綉12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.①证明：四边形BCHG 是平行四边形； ②C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？①证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綉12AD .又BC 綉12AD ，∴GH 綉BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形.②解 ∵BE 綉12AF ，G 为FA 的中点，∴BE 綉FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綉CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面. 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面.规律方法 1.证明线共面或点共面的常用方法(1)直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面.(2)纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.2.证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.【训练1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.考点二判断空间两直线的位置关系【例2】 (1)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A.②B.②③C.①③D.②④(2)(2018·唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).解析(1)对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β或n与β相交，③错误；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m 与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错误.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此GH与MN异面.所以在图②④中，GH与MN异面.答案(1)A (2)②④规律方法 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】 (1)(2018·哈尔滨一模)下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2ED ，CF ＝2FA ，则EF 与BD 1的位置关系是( )A.相交但不垂直B.相交且垂直C.异面D.平行解析 (1)A 选项，两条直线可能平行，可能异面，也可能相交；B 选项，一直线可以与两垂直平面所成的角都是45°；易知C 正确；D 中的两平面也可能相交.(2)连接D 1E 并延长，与AD 交于点M ，因为A 1E ＝2ED ，可得M 为AD 的中点，连接BF 并延长，交AD 于点N ，因为CF ＝2FA ，可得N 为AD 的中点，所以M ，N 重合，且ME ED 1＝12，MF BF ＝12，所以ME ED 1＝MFBF，所以EF ∥BD 1. 答案 (1)C (2)D 考点三 异面直线所成的角【例3】 (2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32B.155C.105D.33解析 将直三棱柱ABC －A1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.答案 C规律方法 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. 2.求异面直线所成角的三个步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角. (2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.【训练3】 (2018·佛山模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________.解析 取A 1C 1的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，易知BD ∥B 1E . 在Rt △AB1E 中，∠AB 1E 为异面直线AB 1与BD 所成的角. 设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，所以cos ∠AB 1E ＝B 1E AB 1＝12，因此∠AB 1E ＝π3，故异面直线AB 1与BD 所成的角为π3.答案π3基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( )A.①B.①④C.②③D.③④解析显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.命题③中，两个平面重合或相交，③错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.答案 B2.(2018·九江二模)在如图所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E的位置关系是( )A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.异面解析如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，∴四边形BFOE是平行四边形，∴BF∥OE，∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.答案 A3.(2018·烟台质检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.答案 C4.(2018·临汾调研)已知平面α及直线a ，b ，则下列说法正确的是( ) A.若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行 B.若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直 C.若直线a ，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行 D.若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直解析 对于A ，若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交、异面，故A 错误.对于B ，若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直.如图，直角三角形ACB 的直角顶点C 在平面α内，边AC ，BC 可以与平面α都成30°角，故B 错误.C 显然错误；对于D ，假设直线a ，b 与平面α都垂直，则直线a ，b 平行，与已知矛盾，则假设不成立，D 正确. 答案 D5.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2， 则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5， 在△A 1BC 1中，由余弦定理得 cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.答案 D二、填空题6.(2018·邯郸调研)在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________.解析 如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ， ∴在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN，∴G 1G 2∥MN ， 易知MN 是△ABC 的中位线，∴MN ∥BC ，因此可得G 1G 2∥BC .答案 G 1G 2∥BC7.(2018·重庆模拟)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________.解析 如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.答案 π38.(2018·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是________.解析 还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合.易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面.又△GMH 为等边三角形，∴GH 与MN 成60°角，易证DE ⊥AF ，MN ∥AF ，∴MN ⊥DE .因此正确的序号是②③④.答案 ②③④三、解答题9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点.求证：D 1，H ，O 三点共线.证明 如图，连接BD ，B1D 1，则BD ∩AC ＝O ，∵BB 1綉DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形.又H ∈B 1D ，B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1.故D 1，H ，O 三点共线.10.(2017·昆明月考)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值.解 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32 B.22 C.33 D.13解析 如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，因为α∥平面CB 1D 1，所以m 1∥m ，又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面B 1D 1C ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m 1，故B 1D 1∥m .因为平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，同理可证CD 1∥n .故m ，n 所成角即直线B 1D 1与CD 1所成角，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形，故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32. 答案 A12.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号).①AC ⊥BE ；②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值；④直线B 1E ⊥直线BC 1.解析 因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误. 答案 ①②③13.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值.解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形，∴tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63.∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。