沪科版七年级数学下册教用课件：滚动小专题八 因式分解的综合应用(共37张PPT)
合集下载
沪科版七年级下册数学精品教学课件 第8章整式乘法与因式分解 第2课时 零次幂、负整数次幂及科学记数法
例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值. 解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1；
②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1； ③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1. 故 x 的值为 -1 或 2.
算一算： 10－2 = ____0_._0_1____；
10－4 = ___0_.0_0_0_1____；
10－8 = _0_._0_0_0_0_0_0_0_1_.
议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 通过上面的探索，你发现了什么？
一般地，10 的 -n 次幂，在 1 前面有__n___个 0.
想一想：10－21 的小数点后的位数是几位？ 1 前面有几个零？
知识要点 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法：
利用 10 的负整数次幂，把一个绝对值小于 1 的数表 示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注 意：包括小数点前面那个零）.
a0 an a0n 1 an.
即 an 1（a 0，n 是正整数）. an
特别地，a1 1 (a 0). a
例4
若
a
=
2 3
-2
，b
=
(-1)-1，c
=
3 2
0
，则
a，b，
c 的大小关系是（ B ）
A．a＞b＝c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解 析32：0a==1，故23
a-n＝
沪科版七年级下册数学精品教学课件-第8章-整式乘法与因式分解-公式法(2024版)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有 分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式 或未知数的值的问题中，通常需先因式分解， 然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式： 整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？ （1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构 特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数 与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.
沪科版七年级数学下册第八章《 8.4 因式分解》优质课件
错误
当多项式的某一项和 公因式相同时，提公因
式后剩余的项是1.
例4: 把 -24x3–12x2+28x 分解因式. 解： -24x3 –12x2 +28x
= -(24x3 +12x2 -28x) = -(4x▪6x2+4x▪3x- 4x.7) = -4x (6x2 +3x-7)
当多项式第一项系数是负数， 通常先提出“-”号，使括号 内第一项系数变为正数，注
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知 a+b=3, ab=2, 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值.
4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.
• 在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/92022/5/9May 9, 2022 人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
7x
8 a 3 b2 –12ab 3 + ab ab
m b2 + n b
b
7x 3y2 –42x2y 3
7x2y2
4a2 b – 2a b2 + 6abc 2ab
公因式：
多项式中各项都含有的相同 因式，叫做这个多项式各项的 公因式.
怎样确定多项式的公因式？ 公因式与多项式的各项有什么 关系？
怎样正确多项式各项的公因式？
系数：1、公因式的系数是多项式各项系
数的最大公约数；
字母：2、字母取多项式各项中都含有的
相同的字母；
指数：3、相同字母的指数取各项中最小
【最新】沪科版七年级数学下册第八章《 8.4 因式分解》精品课件.ppt
字母：相同字母 指数：最低次幂
xy2
所以，3x2-6x 的公因式是 3x
提公因式法 分解因式
如果一个多项式的各项含有公 因式，那么就可以把这个公因式提 出来，从而将多项式化成两个因式 乘积的形式，这种分解因式的方法 叫做提公因式法.
例2: 把 9x2– 6xy+3xz 分解 因式.
解：9x2 – 6 x y + 3x z
概念及注意
1 多项式的分解因式的概念：
把一个多项式化为几个整式乘积的形式， 叫做把这个多项式分解因式. 2 分解因式与整式乘法是互逆过程. 3 分解因式要注意以下几点: ① 分解的对象必须是多项式. ② 分解的结果一定是几个整式的乘积的 形式.
想一想 （1） n2 + n是奇数还是偶数？
（2） 257 - 512能被120整除吗 ？
。2021年1月12日星期二2021/1/122021/1/122021/1/12
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/122021/1/12January 12, 2021
意括号内各项都要变号.
提公因式法分解因式
正确的找出多项式各项的公因式.
注意：
1 多项式是几项，提公因式后也剩几项. 2 当多项式的某一项和公因式相同时提公 因式后剩余的项是1. 3 当多项式第一项系数是负数，通常先提 出“-”号，使括号内第一项系数变为正数， 注意括号内各项都要变号.
练习 把下列各式分解因式：
= 3x·3x - 3x·2y + 3x·z
= 3x (3x-2y+z)
沪科版数学七年级下册因式分解课件
➢完全平方公式
（1）公式： a 2ab b a b
2
2
2
a 2ab b a b
2
2
2
（2）特点:
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)
的平方,另一项为这两个数(或整
式)的乘积的2倍.
从符号看： 平方项符号相同
（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
定系数：多项式各项系数的最大公约数. （当系
数是整数时）
定字母：多项式各项中都含有的相同的字母.
定指数： 相同字母的指数取各项中字母的最低
次幂.
口答：找出下列各多项式中的公因式：
（1）ax+ay+a
（2）6a3b2－3a2b2－12a2b3
（3）4x2+10xy
（4）(a+b)2y+(a+b)y2
(1)
3ax2＋6axy＋3ay2
解：原式 3a( x 2 2xy y 2 )
3a (x y )2
(2)
-x2-4y2＋4xy
2
2
原式
(
x
-4
xy
4
y
)
解：
[ x 2 -2 x 2 y (2 y )2 ]
( x 2 y ) 2
例4
把下列各式分解因式：
提示：公因式可以是单项式，也可
以是多项式。
因式分解：
解:
ma mb mc
ma mb mc m(a b c)
公因式
提公因式法
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成
两个因式的积m(a+b+c).这种因式分解的方法叫做提
（1）公式： a 2ab b a b
2
2
2
a 2ab b a b
2
2
2
（2）特点:
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)
的平方,另一项为这两个数(或整
式)的乘积的2倍.
从符号看： 平方项符号相同
（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
定系数：多项式各项系数的最大公约数. （当系
数是整数时）
定字母：多项式各项中都含有的相同的字母.
定指数： 相同字母的指数取各项中字母的最低
次幂.
口答：找出下列各多项式中的公因式：
（1）ax+ay+a
（2）6a3b2－3a2b2－12a2b3
（3）4x2+10xy
（4）(a+b)2y+(a+b)y2
(1)
3ax2＋6axy＋3ay2
解：原式 3a( x 2 2xy y 2 )
3a (x y )2
(2)
-x2-4y2＋4xy
2
2
原式
(
x
-4
xy
4
y
)
解：
[ x 2 -2 x 2 y (2 y )2 ]
( x 2 y ) 2
例4
把下列各式分解因式：
提示：公因式可以是单项式，也可
以是多项式。
因式分解：
解:
ma mb mc
ma mb mc m(a b c)
公因式
提公因式法
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成
两个因式的积m(a+b+c).这种因式分解的方法叫做提
沪科版数学七年级下册8.4《因式分解-公式法(完全平方公式)》课件(共16张PPT)
知识巩固
把下列各式分解因式:
1 4a2 12ab 9b2 2 x2＋4xy 4 y2 3 3ax2 6axy 3ay2
（4）x42x52y21x03y
拓展2： 就不信难不倒你！
根据多项式乘法，我们还可以得出一个公式：
（ xa)x(b)x2(ab)xab
8.4、因 式 分 解（2） —①完全平方公式法分解因式
课前提问
1、什么叫因式分解？我们已学过什么因式分 解的方法？
2、因式分解与整式乘法有什么关系？
课前练习
3、把下列各式分解因式：
(1)a2b-2ab2 +ab (2)3x3–3x2–9x (3)4a4b-8a2b2+16ab4 (4)-20x2y2-15xy2+25y3
（3a)223a5b（5b)2 (3a 5b)2
a² - 2 a b + b² = ( a - b)2
（3）4x21x2y 9y2
（4）
xy y2 1 x2 4
拓展1： 不信难不倒你！
用你学过的方法分解因式：
x3-6x2y+9xy2
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 公式分解因式。 结论： 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
这个等式，从左边到右边是整式乘法运算，从 右边到左边是因式分解。你能利用这个公式把 下列各式分解因式吗？
.
1 x2 3x2 2 m2 4m3
通过这节课的学习，你学到了些 什么？
作业：习题8.4 第4题 第5题 （3）（4）
谢谢大 家
再见
例1：把下列各式分解因式
（ 1） x214x49
(2)9a23a0 b2b52
沪科版七年级下册数学 8.4 因式分解 因式分解综合运用 课件 (共15张PPT)
第三步：检查各个因式能否继续分解，要分解到 不能分解为止。
2020/6/18
6
活动三：
从 x2,y2,2xy,8x,16中挑选四个单项式，用 正负号连接成一个多项式使其在有理数范围 内可以因式分解。
要求：要求：先独立思考用最快的速度写出符合 要求的多项式，再小组讨论形成最终的结果。
2020/6/18
7
挑战一 因式分解：
2020/6/18
8
挑战二：
1.若 x 2 a x 1 5 (x 1 )x ( 1)5 ，
则 a=_____。
2.当 ab1,ab3 时， 28
求 a3b2a2b2a3b 的值。
2020/6/18
9
拓展探究：
1.已知 a,b,c是三角形 的三边，
且 4 a 2 b 8 a 2 c 4 a b 8 a 3 c 0 ，试判断三角形形状。
2020/6/18
13
课堂小结：
谈谈你的认识和体会？
2020/6/18
14
作业：
学案中巩固练习部分
谢谢同学们的配合， 感谢各位老师的耐心聆 听！
2020/6/18
15
因式分解复习
2
1
思考：
判断下列变形哪些属于因式分解，并说明理由.
A (x 1)(x 1) x2 1,
B x3 2x 1 x(x2 2) 1
C 2x2 2y2 2(x2 y2),
D
x
2
x(1
2 )
x
小结： 把一个多项式写成几个整式的乘积的 形式，叫做把这个多项式分解因式．
2020/6/18
四项式或 四项以上
平方差公式 a 2 b 2 (a b )a ( b ) 完全平方公式 a 2 2 a b 2 (a b )2 十字相乘法 分组分解法 (2+2或3+1)
第8章 整式乘法与因式分解-因式分解的拓展课件(共27张ppt) 2022--2七年级下册数学沪科版
待定系数法
待定系数法：就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数 可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒 等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
例 待定系数法分解因式：x3－1 设 x3－1 =((xx－+a1)) (x2+bx+1c) x3－1 = x3+(b－1)x2 +(1－b)x －1
a1c2y＋a2c1y＝by
口诀: 首尾分解，交叉相乘，求和凑中
例 把x2＋7x＋10分解因式．
常数项
二次项系数为1
分解
x2＋7x＋10
一次项系数7
10＝1×10 10＝(－1)×(－10) 10＝2×5 7＝2＋5 10＝(－2)×(－5)
x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
解析 二次三项式：x2＋7x＋10
分解二次项系数
分解常数
1
p
1
q
1×q＋1×p ＝p＋q
二次项系数不为1型
ax2＋bx＋c ＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
分解二次项系数
分解常数
a1
c1
a2
c2
a1c2＋a2c1＝b
两个字母型
ax2＋bxy＋cy2 ＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)
分解二次项系数
分解常数
a1
c1y
a2
c2y
＝x(x2－3x－4)＋4(x＋1)
＝x(x－4)(x＋1)＋4(x＋1)
＝(x＋1)(x2－4x＋4)＝(x＋1)(x－2)2
例 分解因式：x3－3x2＋4． x3－3x2＋4
拆二次项
沪科版数学七年级下册因式分解课件
注意：某项提出莫漏1.诊断源自小华解的有误吗？把 - x2+xy-xz分解因式
解：原式= - x(x+y-z)
错误
提出负号时括号里的项 没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
注意：首项有负常提负.
闯关练习
(1) 13.8×0.125+86.2×1/8
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解 的有（ ③ ⑥ ）
① a m b m c m (a b ) c
② 24x2y3x•8xy ③ x21(x1)x(1)
④ (2x1)24x24x1 ⑤ x2xx2(11)
x
⑥2x 4 y 6 z 2 (x 2 y 3 z )
这个多项式有什么特点？
m am bmc
(4) -x3y3-x2y2-xy
课堂小结：
学生谈收获，教师补充总结 1、因式分解的意义及其概念。 2、公因式及提公因式法。
布置作业：
课本第78页，习题8.4第1题。
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1) m(a+b+c)= ma+mb+mc
(2) (x+1)(x-1)= x2 -1 (3) (a+b)2 = a2 +2ab+b2
探究
视察“回忆”与 “探究”，你能 发现它们之间的 联系与区分吗？
把下列多项式写 成乘积的情势
(1) ma+mb+mc=( m )(a+b+c ) (2) x2 -1 =(x+1)( x-1 ) (3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2
沪科版七年级下册因式分解课件
（x y)2 2 (x y) 1 （1）2 22
（x y 1)2 2
解：（3） 6xy x2 9 y2 （x2 6xy 9 y2 ) ［x2 2 x 3y (3y)2］ （x 3y）2
本节课开始的速算题你现在会做吗？
（1） 20082 4016 2007 20072
(2)a2+2ab+b2-c2 =(a2+2ab+b2)- c2 =(a+b)2- c2 =(a+b+c)(a+b-c)
(1)20(x+y)+x+y； (2)5m(a+b)－a－b (3)a2＋ab－ac－bc； (4)3a－ax－3b+bx (5)5ax+6by+5ay+6bx； (6)4x2-y2-yz+2xz
（x2 9)2 （x2 32 )2 (x 3)(x 3)2
(x 3)2 (x 3）2
（2）(x2＋y2)2-4x2y2
（x2 y2 2xy)(x2 y2 2xy)
(x y)2(x y)2
我们的收获……
结合本堂课内容，请用下列句式造句。
我学会了…… 我明白了…… 我认为…… 我会用……
解：原式 20082 2 2008 2007 20072
（2008 2007）2 1
（2） 20082 20072
解：原式 （2008 2007）(2008 2007)
40151 4015
填空
y2 8y 16 （ y 4）2
x2
x
1 4
（
x
1 2
）2
把下列各式分解因式 (1) x4 18x2 81 （x2 )2 2 x2 9 92
（x y 1)2 2
解：（3） 6xy x2 9 y2 （x2 6xy 9 y2 ) ［x2 2 x 3y (3y)2］ （x 3y）2
本节课开始的速算题你现在会做吗？
（1） 20082 4016 2007 20072
(2)a2+2ab+b2-c2 =(a2+2ab+b2)- c2 =(a+b)2- c2 =(a+b+c)(a+b-c)
(1)20(x+y)+x+y； (2)5m(a+b)－a－b (3)a2＋ab－ac－bc； (4)3a－ax－3b+bx (5)5ax+6by+5ay+6bx； (6)4x2-y2-yz+2xz
（x2 9)2 （x2 32 )2 (x 3)(x 3)2
(x 3)2 (x 3）2
（2）(x2＋y2)2-4x2y2
（x2 y2 2xy)(x2 y2 2xy)
(x y)2(x y)2
我们的收获……
结合本堂课内容，请用下列句式造句。
我学会了…… 我明白了…… 我认为…… 我会用……
解：原式 20082 2 2008 2007 20072
（2008 2007）2 1
（2） 20082 20072
解：原式 （2008 2007）(2008 2007)
40151 4015
填空
y2 8y 16 （ y 4）2
x2
x
1 4
（
x
1 2
）2
把下列各式分解因式 (1) x4 18x2 81 （x2 )2 2 x2 9 92