人教B版高中数学选修(2-2)-3.1《复数的几何意义》教学案1

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高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.3 复数的几何意义》3

（教学设计）§复数的几何意义授课类型：新授课授课时间：2021年05月12日复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。

然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

1知识与技能目标理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模2过程与方法目标通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力3情感与态度价值观目标通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣重点：复数的几何意义以及复数的模；难点：复数的几何意义及模的综合应用教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式共轭复数的定义及性质学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式，共轭复数的定义教学环节教师活动学生活动设计意图创设情境1复数的代数形式为z a bi=+，a为实部，b为虚部。

2复数),(Rbabiaz∈+=是实数、虚数、纯虚数所满足的条件分别是？针对上述问题，学生进行讨论。

并回答所问2个问题学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题时会发现问题，从而引起认知冲突。

新知探究一：复数的几何意义思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示，是否也存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？问：你能找出复数与有序实数对、坐标点的对应关系吗？思考2：平面向量OZ的坐标为),(ba,由此你能得出复数的另一个几何意义吗？教师提出问题学生思考，进行小组讨论。

学生回答，并总结通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。

高中数学人教B版选修2-2《复数概念》优秀教案设计

概念深化 1. 当b ＝0时，复数就成为实数;当b ≠0时，a+bi 叫做虚数.当b ≠0且a ＝0时，bi 叫做纯虚数。

2.复数所构成的集合叫做复数集，常用C 表示，复数集即C ＝｛z|z ＝a+bi ，a ∈R ，b ∈R ｝。

3复数的分类：复数实数（b=0）纯虚数虚数（b ≠0）(a=0,b ≠0)非纯虚数(a ≠0，b ≠0)注意分清复数分类中的界限：设z ＝a+bi(a ，b ∈R)，(1)z ∈R b ＝0(2)z 是虚数b ≠0;(3)z 为纯虚数a ＝0且b ≠0;(4)z ＝0a ＝0且b ＝01.强调复数的实部与虚部都是实数2.两个复数相等:当且仅当它们实部和虚部分别相等.3.强调两个实数之间可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小1:启发学生对实部与虚部分别等于0时进行分析，看复数的变化.2.由实数的分类启发学生对复数尝试分类，教师总结补充3.探讨复数的构成，明了两要素:实部，虚部4.教师提问:实部、虚部一定为实数吗?什么时候两复数相等?学生思考后回答，教师补充5.由于实数可以表示在数轴上，所以两实数可以比较大小.教师提问:两复数间能比较大小吗?为什么?学生小组讨论后，由组长发言，教师提炼总结.学生初步接触复数,会造成认识上的空白,而这些内容正是为填补这些空白而预设的.这样安排,有利于学生循序渐进地从多方位认识复数、理解复数；符合学生的认知规律。

练习巩固 1.求下列复数的实部与虚部，并判断它们中哪些是实数、虚数、纯虚数?3+4i, -0.5i, 3， 02.求方程013=-x 的根，归纳代数基本定理1.学生练习2.教师启发:使用因式分解法转化为一次方程和二次方程分而解之.进一步联想和引申:是否四次方程在复数集内有四个根呢?五次方程呢?......1.巩固所学基本概念.2.了解代数基本定理.应用举例例1实数x 取何值时，复 1.学生完成解答，教对重点的概念强化。

人教B版高中数学选修2-2 第三章3.1.3复数的几何意义-教案

3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.3 复数的几何意义【提出问题】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．这说明了我们研究问题时要学会从代数和几何两个方面考虑问题。

我们知道，z=a+bi （a ，b ∈R ）这种代数形式表示复数。

那么，从几何的角度怎样表示复数呢？【解决问题】根据复数相等的定义，复数z=a+bi 被一个有序实数对（a ，b ）所唯一确定，而每一个有序实数对（a ，b ），在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z （a ，b ）（或一个向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ）。

这就是说每一个复数对应着平面直角坐标系中唯一的一个点（或一个向量）；反过来平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对。

【获得新知】这样我们通过有序实数对，可以建立复数z=a+bi 和点Z （a ，b ）（或向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ ）之间的一一对应关系。

点Z （a ，b ）或向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 是复数z 的几何表示（图一）。

复数z=a+bi 一一对应↔ 有序实数对（a ，b ）一一对应↔ 点Z （a ，b ）图一建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。

在复平面内x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

x 轴的单位是1，y 轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点（0，0）对应复数0。

设复数z=a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度叫做复数a+bi 的模（或绝对值），记作|a+bi|，如果b=0，则|a+bi|=|a|，这表明复数绝对值是实数绝对值概念的推广。

由向量长度的计算公式，|a+bi|=√a 2+b 2.如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数。

复数z 的共轭复数z̅表示。

当z=a+bi 时，则z̅=a-bi 。

当复数z=a+bi 的虚部b=0时有z=z̅。

也就是说，任意实数的共轭复数仍是它本身。

人教B版选修22高中数学3.1.3复数的几何意义word教案

复数的几何意义【教学目标】明白得复数与从原点动身的向量的对应关系，把握复数的向量表示，复数模的概念及求法，复数模的几何意义；体会数形结合的思想在数学中的重要意义；体会事物间的普遍联系.【教学重点】复数的几何意义【教学难点】复数的模一、课前预习：（阅读教材86--87页，完成知识点填空）1.试探：实数与数轴上的点是一一对应的，实数能够用数轴上的点来表示，那么复数可否也能用点来表示呢？2.复平面、实轴、虚轴．．．．．．．．．：复数),(R b a bi a z ∈+=与有序实数对),(b a 是对应关系这是因为关于任何一个复数),(R b a bi a z ∈+=，由复数相等的概念可知，能够由一个有序实数对),(b a 惟一确信，如i z 23+=能够由有序实数对（）确信，又如i z +=2能够由有序实数对( )来确信；又因为有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，成立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间能够成立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数),(R b a bi a z ∈+=可用点),(b a Z 表示，那个成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做，也叫高斯平面，x 轴叫做，y 轴叫做 .实轴上的点都表示，关于虚轴上的点要除外，因为原点对应的有序实数对为，它确信的复数是，表示是实数.故除原点外，虚轴上的点都表示 .在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是，i z 35--=对应的点( )在第象限.3.复数的模．．．．：设复数),(R b a bi a z ∈+=对应的点为Z ，那么复数z 对应的向量为，向量的叫做复数),(R b a bi a z ∈+=的模（或），记作 .则=+||bi a .当0=b 时=||z ，为实数意义上的绝对值，4.共轭复数．．．．： . ),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数记作复平面中，两个互为共轭复数对应的点关于对称.二、课上学习：（参照教材87页例题，探讨完成）例1.已知复数z 1=3+4i,z 2=-1+5i,求它们的模和共轭复数.例2.设C Z ∈，知足以下条件的点Z 的集合是什么图形？（1）|z|=1 ； (2)2||≥z ；（3） 2<|z |<3三、课后练习：页练习A,89页练习B2.以下命题中的假命题是（）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

人教版数学高二-(人教版)高二数学选修2-2学案 3-1 复数的几何意义

§3.1.2 复数的几何意义学习目标学习过程一、学情调查，情景导入（预习教材P 52~ P 53，找出疑惑之处）复习1：复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？复习2：若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）二、问题展示，合作探究探究任务一：复平面问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部b 同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或有序实数一一对应新知：1.复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ；复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ .注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数3复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈试试：复平面内的原点(0,0)表示，实轴上的点(2,0)表示，虚轴上的点(0,1)-表示，点(2,3)-表示复数反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？三、达标训练，巩固提升1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i （2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．62. 对于实数,a b ，下列结论正确的是（）A ．a bi +是实数B ．a bi +是虚数C ．a bi +是复数D ．0a bi +≠3. 复平面上有点A ，B 其对应的复数分别为3i -+和13i --，O 为原点，那么是AOB ∆是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形4. 若1z =+，则||z =5. 如果P 是复平面内表示复数(,)a bi a b R +∈的点，分别指出下列条件下点P 的位置：（1）0,0a b >> （2）0,0a b <>（3）0,0a b =≤ （4）0b >四、知识梳理，归纳总结1. 复平面的定义；2. 复数的几何意义； 3．复数的模.五、预习指导，新课链接1．实数取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x =上？。

人教B版高中数学选修2-2第三章1.2《复数的几何意义》ppt课件

在讲述复数的几何意义的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1巩固掌握复数的相关概念，通过例2巩固掌握运用复数的几何意义求参数。通过例3 掌握求复数模的方法。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解复数的几何意义的应用。例题与变式练习的安排循序渐进，即突出了本节课的重点又为本节的难点攻克做好了准备.
3.1.2 复数的几何意义
内容：1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系． 2．掌握实轴、虚轴、模等概念． 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
应用: 1、复数的相关概念 2、运用复数的几何意义求参数 3、求复数的模
本课主要学习复数的几何意义。类比实数的几何意义引入新课，接着讲述复数的几何意义的应用、复数模的的几何意义等，加深对复数的几何意义的理解。针对利用复数的几何意义所能解决的问题给出3个例题和变式，强调正确应用复数的几何意义的重要性。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
应的点在虚轴上”的（C）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3.若复平面内一个正方形的三个顶点对
应的复数分别为z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，
z3＝－1－2i，求这个正方形第四个顶点对

人教版高中数学选修2-2 学案：3.1.2复数的几何意义

3.1.2复数的几何意义【学习目标】1.理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的.2.能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.【新知自学】知识回顾：1.复数的定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫复数，a 叫复数的_______，b 叫复数的_______．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示．2.复数a ＋b i （a ，b ∈R ）在满足什么条件下，分别是实数，虚数，纯虚数？3.如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a ＋b i ＝c ＋d i⇔___________________. 新知梳理：1.实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数与平面内的点或有序实数对________.2.复数的几何意义是:（1）复平面：以x 轴为___轴，y 轴为____轴,建立直角坐标系，得到的平面叫复平面；（2）实数都落在____轴上，纯虚数落在____轴上，除原点外，虚轴上的点都表示_______；（3）每一个复数，有复平面内_______的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，所以，复数集C 与复平面内的点所成的集合是一一对应的，即Z a bi =+↔一一对应复数复平面内的点Z(a,b)（4）复平面内每一个点又唯一对应到复平面内的一个向量，即：↔一一对应复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ结合归纳知：复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即：Z a bi =+↔一一对应复数平面向量OZ ，特别地：实数０与_______对应；（5）复数),(R b a bi a z ∈+=的模：向量oz 的模r 叫做复数),(R b a bi a z ∈+=的模，记作z 或a bi +，且|z|=r=____________________________.说明：常把复数z a bi =+说成点Z 或是向量oz ，规定：相等的向量表示同一个复数对点练习：1.在复平面内，描出表示下列各复数的点：（1）i 52+ ；（2）i 23+- ；（3）i 42- ；（4）i --3；（5）5 ；（6）i 3- .2．已知复数i +2，i 42+-，i 2-，4，i 423-，在复平面内画出这些复数对应的向量.y x :a bi+3.求下列复数的模：（1）3-4i ；（2）-4；（3）-5i ；（4）i 23-21.4.能说3+4i>2+i 吗？|3+4i|>|2+i|呢？【合作探究】典例精析：例1.（1）若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值.变式练习：例1中，若z 表示的点在复平面的左半平面，试求实数m 的取值范围.例2．在复平面内，O 是原点，向量对应的复数是i 2,如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB 对应的复数.变式练习：如果例2中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.例3.已知复数z的虚部为3，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求复数z．变式练习：z=3+ai ，且|z|<4，求实数a 的取值范围.【课堂小结】【当堂达标】1.已知20<<a ，复数i a z +=（i 是虚数单位），则z 的取值范围是（）A.()5,1 B.()3,1 C.()5,1 D.()3,12设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不是纯虚数C ．z 对应的点在实轴上方D ．z 一定是实数3.如果P 是复平面内表示复数),(R b a bi a z ∈+=的点，分别指出在下列条件下点P 的位置：（1）0,0>>b a ；（2）0,0><b a ；（3）0,0≤=b a ；（4）0<b4．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．【课时作业】1.如果复数a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )A ．a >0，b <0B ．a >0，b >0C ．a <0，b <0D ．a <0，b >02．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i3.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．下列命题中假命题是( )A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|5．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是 ( )A ．－45<x <2 B ．x <2 C ．x >－45 D ．x ＝－45或x ＝2 6.在平面内指出与复数123412,2z i z z z i =+==-+对应的点1234,,,Z Z Z Z ，试判断这4个点是否在同一个圆上？7.设C z ∈，且满足下列条件，在复平面内复数z 对应的点Z 的集合是什么图形?(1)1<z <2； (2)1=-i z。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修1-2 3.1.2 复数的引入》

《复数的概念》教学设计教学目标1知识与能力：（1）使学生了解数系扩充的历史，体会学习复数的必要性（2）掌握复数有关概念、复数分类，初步掌握虚数单位的概念和性质（3）理解复数相等的充要条件2过程与方法：（1）播放微课视频，了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用。

（2）在不断练习中让学生理解和掌握复数的概念以及复数相等的充要条件3情感态度价值观：（1）体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神和实践精神，感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用。

（2）．体会类别、分类讨论、等价转化等数学思想方法学情分析在之前的学习中学生对数的概念已经扩充到了实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，并且高二的学生具有一定的综合联系能力，这为本节课的顺利开展打下了基础，但是由于受教材知识的局限，学生不能真正理解为什么要学习复数的含义，以及学习复数有什么作用，因此在教学中必须要通过教师的引导体现知识的生成过程和延展性。

重点难点学习重点：复数的有关概念、复数分类，复数相等的充要条件学习难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，以及虚数单位的概念和性质教学过程：一、引入新知播放微课《数的发展史》1数系扩充的脉络是：自然数系→整数系→有理数系→实数系。

2矛盾冲突到了一定的阶段，就有必要引入新的数集了。

为了解决方程12-=x 没有实根的矛盾，我们应该引入什么数呢？二、自主学习让学生自己阅读教材相应内容，结合以下问题：三、概念形成人们引入一个新数i ，记1-=i ，称为虚数，则12-=i ，因而方程12-=x 的根为i x ±=。

的性质：112-=i 2实数可以与“i ”进行四则运算。

在运算时，原有的加法与乘法的运算律仍然成立3虚数和实数合称为复数2复数概念：形如),(R b a bi a z ∈+=，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。

3全体复数所构成的集合叫做复数集，常用C 表示，即{}R b R a bi a z z C ∈∈+==,, 带领学生回顾各数集之间的关系，强调复数集是目前最大数集4 复数的分类5两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

高中数学人教B版选修2-2《复数的概念》教学设计

选修2-2 §3.1.2《复数的概念》的教学设计教学目标：本节课要求学生了解学习复数的必要性，掌握复数的有关概念、复数的分类、初步掌握虚数单位的概念和性质。

通过类比引入、分类讨论、化归和转化等数学思想方法的使用，化抽象为具体，使学生在复数的知识学习过程中感悟数学思想，进而提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的数学抽象、类比等逻辑推理、数学运算等学科素养。

数学抽象是是数学的基本思想、理性思维的基础、数学的本质特征，它贯穿于数学发展的全过程。

本节通过数学抽象两方面之一的“数量与数量”的抽象追溯复数的概念产生的历史，找到复数概念的生长土壤，通过抽象概括把握事物的数学本质，使学生对复数概念印象深刻，感受人类理性思维对数学发展所起的作用，进而提高学习数学的兴趣，逐步形成一般性思考问题良好的学习习惯，发展自主学习的能力，并能在数学其他方面乃至其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题；树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；不断提高实践能力；提高创新意识；在核心素养视域下认识数学抽象的数学学科价值，并建立正确的价值观，以及体现数学体系构建中的功能特性，培养学生数学抽象素养的价值定位点和数学立足点而喜爱数学。

教学重点：虚数单位；复数集的构成；复数相等的应用。

教学难点：复数的概念；虚数和纯虚数的区别。

教学过程：新课引入：创设情景，提出问题1.你现在学的最大的数系是什么集合？2.讲讲你知道的数系是怎么发展的（由什么系发展到什么系）？这时一边复习一边放映数系发展从自然数产生到刘微得来的复数到分数到毕达哥拉斯推出的无理数，再到笛卡尔、欧拉、高斯算出来的虚数，进而发展的复数。

3.（1）实数系中的一元二次方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++的实根的个数？（2）在实数系中你能求方程的12-=x 根吗？设计意图：1、通过带领学生回顾数系的的发展，回到卡当、笛卡尔、高斯时代，感受虚数的发展史，使学生感受学习虚数的必要性，并增强他们的学习动力，通过抽象在原有的数学知识的基础上构造新的数学结构，用旧的问题类比引出新问题，激发学生的学习兴趣。

人教版高中数学选修2-2 3.1.2复数的几何意义教案

3.1.2复数的几何意义教学建议1.教材分析本节通过类比的方法给出了复数与复平面上的点的对应关系,与平面向量的对应关系,为我们利用数形结合创造了条件,也为学习复数加减法的几何意义打下了基础.重点:复数的两种几何意义及复数模的简单计算.难点:复数与平面向量的关系.2.主要问题及教学建议(1)类比在本节的应用.建议教师放手让学生大胆利用类比来掌握本节内容.复数与复平面上的点的对应实数与直角坐标平面内的点的对应,复平面内复数z=a+b i(a,b∈R)与向量对应直角坐标平面内向量与点(a,b)对应,复数z的模|z|=向量的模实数的绝对值.(2)关于复数的模.建议教师对复数的模稍加引申,为数形结合处理复数问题作准备,也可复习平面向量的有关知识.备选习题1.复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),设z在复平面上对应的点为Z.(1)求证:复数z不能是纯虚数;(2)若点Z在第三象限内,求x的取值范围;(3)若点Z在直线x-2y+1=0上,求x的值.解:(1)证明:(反证法)假设z为纯虚数,则有log2(x2-3x-3)=0,x2-3x-3=1.解得x=-1或x=4.当x=-1时,log2(x-3)无意义;当x=4时,log2(x-3)=0.所以假设不成立,复数z不能是纯虚数.(2)由题意得解得<x<4.即当<x<4时,点Z在第三象限内.(3)由题意得log2(x2-3x-3)-2log2(x-3)+1=0,解得x=或x=-(舍去).即当x=时,点Z在直线x-2y+1=0上.2.复数z的模为1,求|z-1-i|的最大值和最小值.解:由题设|z|=1表示以原点为圆心,1为半径的圆,则|z-1-i|=|z-(1+i)|表示圆上的点到A(1,1)的距离,如图.由于点A到原点的距离是,因此圆上的点到点A(1,1)的最大距离是+1,最小距离是-1.因此|z-1-i|的最大值为+1,最小值为-1.3.已知z1=x2+ i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.解:∵|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,∴>|x2+a|对x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.当1-2a=0时,解得a=,∴a=时,0·x2+>0恒成立,当时,解得-1<a<.∴a∈.综上可得,实数a的取值范围是.。

高二数学(选修-人教B版)-复数的概念及几何意义-1教案

教案
轴上的点除原点外对应的都是纯虚数
2
=+
|a b
（2）3i +；（3）3i -；（4）2i ；（5）2i -；（6）4.
解：22|3i |(3)12-+=
-+=；
22|3i |3110+=+=；
22|3i |3(1)10-=+-=；
22|2i |022=+=；
22|2i |0(2)2-=+-=；
22|3i |(3)12-+=-+=；
例6 设复数z 满足||2z =，那么复数z 在复平面内对应的点Z 的集合是什么图形？
解：以原点为圆心，2为半径的圆.
总结
1. 希望同学们理解数系的扩充过程，从自然数到整数，到有理数，到实数，再到今天学习的复数.
2. 掌握复数的定义，虚数单位i 满足2
i 1=-，特别重要的是复数的实部和虚部的概念，根据复数的实部与虚
部的不同情况，将复数划分为实数与虚数，特殊的虚数是纯虚数。

此外，需要掌握复数相等关系的定义。

3. 掌握复数的几何意义，在复数i a b +与点(,)Z a b 与向量(,)OZ a b =之间存在一一对应关系，理解复平面、实轴、虚轴的概念，掌握复数的模与共轭复数的概念.
作业
1. 说出下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是
纯虚数？并写出下列各数的实部和虚部：（1）32i -+；（2）i ；（3）2
i ；
落实本节课学习内容。

高一数学(人教B版)-复数的几何意义-1教案

教案主要教学活动环节 1-1 复习回顾，知识准备.上节课我们已经学习了复数的概念，这节课我们探寻复数的几何意义，我们先对复数的概念的相关知识知识，进行简单的复习回顾.⎧数系扩充：实数↓方↓程↓x 2 =-↓1的解↓，→复数 ⎪引入虚数单位i⎪复数定义：z = a + b i ，其中a 是实部,b 是虚部. 复数⎪⎨复数相等：—实部和虚部对应相等⎪⎪复数分类：⎧⎪实数(b = 0) ⎪⎨ ⎩⎪⎩虚数(b ≠ 0)↓↓→纯虚数(a = 0且b ≠ 0) 环节 1-2 知识类比，问题提出.我们知道，实数与坐标轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型.我们现在学习了一类新的数——复数. 请同学们思考：【问题 1】类比实数，我们能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中的点的一一对应关系？环节 2-1 复数的几何意义——坐标表示. 类比实数几何意义，引入探寻复数几何意义的课题.根据复数相等的定义，复数z =a +b i (a, b ∈R) 由它的实部a 和虚部b 唯一确定. 因而，复数z=a+b i(a,b∈R)←↓一一↓对应↓→有序实数对(a,b)←↓一一↓对应↓→平面直角坐标系中点Z(a,b).y1+2iAB新课O 3 xi 用对应的观点，结合有序实数对和点的对应关系，讲解复数的坐标表示.C比如，复数1+ 2i 对应点为A(1, 2) ，复数3 对应的点为B(3, 0) ，而点C(0, -1) 对应的复数为-i .建立直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.在复平面内，x 轴上的点对应的都是实数，因此x 轴称为实轴；y 轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，称y 轴为虚轴.这样，复数z=a+b i(a,b∈R)←↓一一↓对应↓→平面直角坐标系中点Z (a, b) .环节 2-2 复数的几何意义——向量表示.从向量的角度看，复数z =a +b i (a, b ∈R)←↓一一↓对应↓→点Z(a,b)←↓一一↓对应↓→向量O Z= (a,b)用对应的观点，结合点和平面向量的对应关系，讲解复数的向量表示.新课环节 2-3 从数学史角度介绍复数几何意义的形成过程.在复数的发展过程中，为了寻找复数的几何模型，找到复数的几何意义，历史上很多著名数学家做了很多重要的贡献.下面我们追寻数学家们的工作，从数学史的角度回顾一下复数的几何意义的探寻过程.1685 年，英国数学家，沃利斯（J. Wallis）意识到，在直线上不能找到虚数的几何表示.1797 年，挪威测量学家，维塞尔（Ｃ. Ｗｅｓｓｅｌ）首先提出，把复数用坐标平面上的点来表示，形成了复平面概念，但在当时没有受到人们的重视.1806 年，德国数学家，阿甘得（R. Argand）公布了复数的图象表示法，即复数能用一个平面上的点来表示. 所以复平面又称“阿甘得平面”.1796 年，伟大的德国数学家高斯（C.F. Gauss）已经知道了复数的几何表示.1831 年，高斯在著作中不仅把复数看作是平面上的点，而且还看作是一种向量，建立起了复数的代数运算，系统建立了复数的理论.后来复平面也被称为“高斯平面”.环节 2-4 复数的模的定义及其几何意义.下面我们利用平面向量来描述复数.一般地，向量OZ = (a,b) 的长度称为复数z =a +b i 的模，用|z| 表示，因此|z| =OZ =a2 +b2 ，特别地，当b = 0 时，|z|= a2 =| a |，这说明复数的模式实数绝对值概念的推广.复数z =a +b i 的模的几何意义是点Z (a, b) 到原点O 的距离.环节 2-5 举例说明复数的几何意义.下面我们举两个例子说明复数的几何意义.比如：复数z1= 3 + i 对应的点是Z1(3,1) ，对应的向量是OZ = (3,1)；z =OZ = 32 +12 = 10 ，复数z 对应的点1 1 1 1Z1(3,1) 到原点的距离也是10 .介绍数学史，增加学生学习的兴趣，渗透数学文化.以形助数利用复数的向量表示描述和研究复数.举例说明概念，加深对概念的直观理解.新课复数z2= 3 - i 对应的向量是OZ2 = (3, -1) ，z2=OZ2= 3 +( -1) = 10. 复数z2对应的点Z2(3, -1) 到2 2原点的距离也是10 .y1 3+iZ1O 3 x-1 3Z2i环节2-6 共轭复数定义及性质我们还发现复数z1= 3 + i 和复数z2= 3 - i ，对应的点和向量，都关于实轴对称，而且它们的模也相等.下面请同学们思考:【问题2】复数a +b i 与a -b i 的实部和虚部有什么关系？它们在复平面内对应的点和向量有什么位置关系？复数a +b i 与复数a -b i 的实部相等，而虚部互为相反数；所以，在复平面内，它们对应的点的横坐标相等，而纵坐标互为相反数，根据坐标作出图形，可以看出复数a +b i与复数a -b i ，对应的点和向量，都关于实轴对称.yb a+b iO a x-b a b i一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数. 复数z 的共轭复数用z 表示.当z =a +b i (a, b ∈R) 时，有z =a -b i .我们可以从数和形的角度去理解互为共轭的两个复数.⎧⎧⎪实部相等，虚部互为相反数.⎪数⎨⎪⎪⎩z =a +b i (a, b∈R), z =a -b i.共轭复数⎨⎧⎪对应的点和向量关于实轴对称.⎪形⎨⎪⎪模相等，即z =z .⎩⎩从数和形的两个角度研究具有共轭关系的两个复数，体现数形结合的思想方法.例题例 1 设复数 z 1 = 3 + 4i 在复平面内对应的点为 Z 1 ，对应的向量为OZ 1 ；复数 z 2 在复平面内对应的点为 Z 2 ，对应的向量为OZ 2 . 已知 Z 1 与 Z 2 关于虚轴对称，并判断 OZ 1 与 OZ 2 的大小关系. 分析：本题主要涉及复数几何意义——坐标表示和向量表示. 首先要可以根据已知对称关系，作出图形；再根据复数的坐标表示和向量表示，求出对应的点和对应的向量，利用复数的模的公式求解.解：由题意可知 Z 1 (3, 4) ，又因为 Z 1 与 Z 2 关于虚轴对称，所以 Z 2 (3, 4) ，从而有 z 2 = 3 - 4i 因此 Z 2 (-3, 4) ，从而 z 2 = -3 + 4i ，因此| z 2 |= (-3) + 4 = 5 . 2 2又因为 OZ = z = 32+ 42= 5 ， OZ = z = 5 .1122所以， OZ 1 = OZ 2 .例 2 设复数 z 在复平面内的点为 Z ，说明当 z 分别满足下列条件时，点 Z 组成的集合是什么图形，并作图表示. （1） z =2 ；（2）1< z ≤ 3 .分析：因为 z = OZ ，所以 z 是OZ 的模，即 z 的几何意义是点到原点O 的距离.解：（1）由 z =2 可知， OZ = 2 ，即点 Z 到原点O 的距离始终等于2 ，因此点 Z 组成的集合是圆心在原点、半径为2 的圆. 如图所示.例题讲解，巩固知识；体会以形助数，以数解形，数形结合的思想方法.例题⎧⎪ z ≤ 3,（2）不等式1< z ≤ 3 等价于不等式组⎨⎪⎩ z > 1.又因为满足 z ≤ 3的点 Z 的集合，是圆心在原点、半径为3 的圆及其内部，而满足 z > 1的点 Z 的集合，是圆心在原点、半径为1的圆的外部，所以满足条件的点 Z 组成的集合是一个圆环（包括外边界但不包括内边界）.如图所示总结【问题 3】本节课我们学了哪些数学知识和用到了哪些思想方法？一、数学知识1. 复数的几何意义复数z = a + b i (a ,b ∈ R ) ←↓一一↓对应↓→点Z (a ,b ) ←↓一一↓对应↓→向量OZ = (a ,b ) . ⎧⎪定义：|z | = OZ = a 2 + b 2 .2. 复数的模⎨ ⎪⎩几何意义：对应点Z (a , b )到原点O 的距离. ⎧ ⎧⎪实部相等，虚部互为相反数. ⎪数⎨ ⎪ ⎪⎩z = a + b i (a , b ∈ R ), z = a - b i.3.共轭复数 ⎨ ⎧⎪对应的点和向量关于实轴对称. ⎪形⎨⎪ ⎪模相等，即 z = z . ⎩ ⎩ 二、思想方法对应的观点，数形结合的思想方法.课堂小结，知识提升.作业作业 11. 分别写出下列复数在复平面内对应的点的坐标.（1）2 + 5i ；（2）-3 + 2i ；（3）3 - 2i ；（4）-2i+4 ；（5） 3 ；（6） -3i ；（7） 4i ；（8） -2 . 2. 已知 z = -1- i ，求 z 与|z |. 3. 设复数 z 在复平面内的点为 Z ，说明当 z 分别满足下列条件时，点 Z 组成的集合是什么图形，并作图表示. （1） z =1 ；（2） z <1 ；（3） z ≥ 1 ；（4）1< z < 2 . 【课后作业参考答案】 1.（1） (2, 5) ；（2） (-3, 2) ；（3） (3, -2) ；（4） (4, -2) ；（5） (3, 0) ；（6） (0, -3) ；（7） (0,4) ；（8） (-2, 0) .2. z = -1+ i ，| z |= (-1)2 + (-1)2 = 2 .3.（1）以原点为圆心、半径为1的圆；（2）以原点为圆心、半径为1的圆的内部（不包括边界）；（3）以原点为圆心、半径为1的圆的外部（包括边界）；（4）以原点为圆心、半径为1的圆和半径为2 的圆所夹的圆环（不包括内外边界）.（1）（2）yO1x（3）（4）课后作业，知识巩固.。

高中数学 3.1.3 复数的几何意义学案新人教B版选修2-2

3.1.3 复数的几何意义学习内容1理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量2掌握复数的模及共轭复数的概念，且会求复数的模及共轭复数知识总结：● 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做___________，也叫高斯平面，x 轴叫做____________，y 轴叫做_______________复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点________________表示● 实轴上的点都表示______________ 虚轴上的点要除___________外，都表示纯虚数.因为______________.● 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ● 复数a +bi 的模__________________________● 共轭复数_________________________________ 典例分析：例1：在复平面内作出表示下列复数的点和向量：4+i,3-4i,-5,-1-2i,-3i例2：若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数a 的取值例3：求z 1=-3-4i 的模和它的共轭复数例4：设z ∈C,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z|=3 (2)2≤|z|≤4巩固练习：1：求下列复数的模和它们的共轭复数（1）-21-22i （2）-1+3i （3）-8i （4）32:设z=a+bi(a,b ∈R)和复平面内的点Z(a,b)对应,a,b 必须满足什么条件，才能使点Z 位于：（1）实轴上？（2）虚轴上？（3）上半平面（不包括实轴）？（4）右半平面（不包括虚轴）？3:若复数22=--+--表示的点在复平面的左半平面，试求实(34)(56)Z m m m m i数m的取值。

高二数学选修2-2(B版)_《复数的几何意义》教学案1

复数的几何意义
(,
=
OA x
y，则
)
,
2
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
OZ OZ sin )(sin cos )i θθθ+-
复平面内所对应的点在（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解：选B .
例2．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.
解 |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅
.
2sin 4
12cos sin 2)
sin (cos )cos sin 1(22
22
2
θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ⋅的最大值为,2
3
最小值为2.
例3．满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（）
A. 一条直线
B. 两条直线
C. 圆
D. 椭圆解：选C. 课堂巩固：
1．在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3
π
，所得向量对应的复数是：（ B ）
（A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3 2．已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D ) (A)1 (B)2 (C)
(D)3
3．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 归纳反思
教师备课学习笔记。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.3 复数的几何意义》54

例2：已知：，，，
（1）求它们的模；
（2）求它们的共轭复数及共轭复数的模。
（3）在复平面内，作出表示这些复数（以及它们的共轭复数）的点和向量（每个小正方形的边长为1）．
0
『小结』通过计算或观察图形，你能归纳出哪些一般性的结论？
四、合作探究
设，满足下列条件的点的集合是什么图形？
（1）的实部等于2；
2、探索与指导：人类对客观世界的认识离不开探索，但所有知识都通过探索去获得是没有必要的。也是不可能的。本课的设计中希望学生在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序。、更有效。
3、兴趣与毅力：兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证。在课的设计中一方面要安排一些有趣、直观、易于理解的内容，另一方面也需要有一定难度的思维训练，因为数学学习不可能是一件十分轻松的事情。
教
学
过
程
教学进程
设计意图
一、定向导学
问题1：复数的一般式是什么？
生答：
问题2：能否用或表示？
问题3：如果让这3个式子都表示同一个复数，你能得到什么样的结论？即
生答：即实部与虚部分别相等。
问题4：表示一个确定的复数，实部与虚部的位置能否互换？
师总结：一个复数都被一对有序实数（a,b）所唯一确定。引出本节课题。
分小组回答问题，最后一组总结结论。
总结：复数的几何意义
复数abi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量（复数的向量形式）以O为始点的向量。
三者的关系如下：
三、自主学习二
读书回答黑板问题：
复数的模（或绝对值）
复数=abia、b∈R对应的向量为,则的长度叫做复数Z的模,记作或
= =
共轭复数：

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.2 复数的概念》

3.1.2 复数的概念【教学目标】1．了解虚数的发展过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件；2．经历虚数的发展过程以及数系的扩充过程，体会数学概念发现、创造的过程；【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件．【教学难点】引入复数的必要性的认识．【教学过程】：创设情境，聚焦问题：教师首先展示出PPT 中的二元二次问题：已知二元二次方程组⎩⎨⎧==+,2,222xy y x 求y x +的值。

师：同学们，让我们一起来解决一下PPT 上二元二次方程组的问题。

不到半分钟，很多学生已经快速地用配方法得出了最后的结果，请了学生A 上黑板展示。

不一会儿，发现学生B 在沉思，皱眉，也请上黑板展示。

结果如表1所示。

表1师：A 同学巧妙的运用了配方法，得出了最后的结果，速度非常快。

B 同学没算出最后的结果，我们请B 同学先来分析一下你的思路。

生B ：我试图用消元法分别求出y x ,的值，但遇到了四次方程（＊）式，做不下去了。

（害羞！）师：的确，四次方程的求解问题我们没有学过，同学们有没有什么方法来求解这个方程呢？生：换元法！师：好，那我们一起来试试！（师生共同完成，转化为二次方程0422=+-t t 问题，但可惜，此时判别式01244)2(2<-=⨯--=∆，无实根。

）师：大家看看，B 同学的思路非常简单，非常棒，但为什么“此路不通”呢？（“对哦”个别学生情不自禁的吐了出来这两个字！）（停顿片刻！）同学们，我们借助几何画板，通过他们的图像来看看。

师：222=+y x 表示一个圆，2=xy 即xy 2=表示双曲线。

大家看看，它们有无交点？（如图1）生：没有交点。

师：我们知道6=+y x 表示的是一条直线。

交点不存在，但其横纵两坐标之和却为6（如图2）。

同学们，奇怪吗？难道方程的背后还有一个幕后黑手，亦或有幽灵存在（语速急促）。

有点恐怖吧（停顿片刻）！此时，学生们鸦雀无声，教室内一片寂静！图1 图2师：其实我们伟大的德国数学家莱布尼茨，当年也遇到了同样的问题。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.2 复数的概念》6

《复数的概念》教学设计
绥中县利伟实验中学巫伶芝
教材分析：本节课在教材中通过方程求根，体会数系扩充的必要性。

数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，让学生了解教学中内部矛盾如何推动数系的扩充，从而自然的引入虚数单位i。

另外，本节课主要介绍了复数的有关概念，有复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等。

地位和作用：在中学里，学习复数的基础知识不仅可以使高中毕业生对于数的概念初步地有一个较为完整认识，而且也给他们运用数学知识解决问题增添了工具,同时也为他们进一步学习高等数学、力学和电学打下了一定的基础。

学情分析：本班学生的学习能力不强，基础知识掌握较差，在学习复数概念的时候，虚部可能会出现问题，因此在教学过程中需要多强调复数的实部和虚部都是实数，另外在解方程和方程组时可能会出现问题。

教学目标：
1．知识与技能：
了解数系扩充的过程及引入复数的需要
掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件
2．过程与方法：
通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律
通过类比引入、分类讨论、化归与转化等数学思想方法的使用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观：
体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用
教学重点与教学难点：
教学重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件
教学难点：复数的概念；虚数与纯虚数的区别
教学资源与手段：本节课采用探究式教学法，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学．并充分利用多媒体辅助教学
教学过程设计：。

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2i
教师备课 1.理解复数与从原点出发的向量的对应关系 2.了解复数的几何意义画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用学习重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．学习难点：复数的几何意义。自主学习一、知识回顾
1.若 A(x, y) ， O(0, 0) ，则 OA x, y
在复平面内的原点(0，0)表示实数 0，实轴上的点(2，0)表示实数 2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0， 5)表示纯虚数 5i
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
是因为对于任何一个复数
z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数 o
ax
对(a，b)惟一确定，如 z=3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又
如 z=－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数
教师备课学习笔记
对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对 (3，2)它与平面直角坐标系中的点 A，横坐标为 3，纵坐标为 2，建立了一一对应的关系.由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.
复数 z a bi 一一对应复平面内的点 Z (a,b)
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
１．复平面内的点 Z (a,b) 一一对应平面向量 OZ
例 2．已知复数 z1=cosθ －i，z2=sinθ +i，求| z1·z2|的最大值和最小值.
解 | z1 z2 || 1 sin cos (cos sin )i |
(1 sin cos )2 (cos sin )2
2 sin 2 cos2 2 1 sin 2 2 . 4
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
即 AB = OB OA =( x2, y2) (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1)
二、新课研究：
复平面、实轴、虚轴：
复数 z=a+bi(a、b∈R)与有序 y 实数对(a，b)是一一对应关系.这 b
Z(a，b)
C．4
D．5
教师备课学习笔记
课后探究
1．若 a, b 为非零实数，则下列四个命题都成立：
① a1 0 a
② a b2 a2 2ab b2 ③ 若 a b ，则
a b ④若 a2 ab ，则 a b 则对于任意非零复数 a, b ，上述命
题仍然成立的序号是 _____ 。 2．在复数范围内解方程| z |2 (z z)i 3 i （ i 为虚数单位）。
点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0， 0)，它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
（A）2 3 （B） 2 3i （C） 3 3i （D）3+ 3i 2．已知复数 z 的模为 2,则│z-i│的最大值为：( D )
(A)1 (B)2
(C)
(D)3
3．若 z C 且| z 2 2i | 1,则 | z 2 2i | 的最小值是( B )
A．2 归纳反思
B．3
故|
z1

z2
|
的最大值为
3 2
,
最小值为
2.
例 3．满足条件 |z i||3 4i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹
是（）
A. 一条直线 B. 两条直线
C. 圆
D. 椭圆
解：选 C.
课堂巩固： 1．在复平面内，把复数 3 3i 对应的向量按顺时钟方向旋转，
3 所得向量对应的复数是：（ B ）
2. 若 a (x1, y1) ， b (x2 , y2 ) ，则 a b (x1 x2 , y1 y2 ) ，
a b (x1 x2 , y1 y2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
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3. 若 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 AB x2 x1, y2 y1
2. 复数 z a bi 一一对应平面向量 OZ 三、例题讲解
例
1．若

3 4
π，5 4
π

，则复数
(cos
sin ) (sin
cos )i 在
教师备课学习笔记
复平面内所对应的点在（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解：选 B .