最新《建筑力学》-李前程--第七章-轴向拉伸与压缩课件PPT

M x
EI
思考近似的原因 ？
1. 略去了剪力的影响 ;
2. 略去了
dw 2 d x
项。
求解上述微分方程,即可得出挠曲线方程,从而求得挠度和转角。
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
二、挠曲线近似微分方程的积分
d2w dx2
M x
EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度 EI 为一常量。
上式积分一次得转角方程: d dw xE 1IMxdxC
当 x =0 时， wA= 0
A
B
当 x =l 时， wB= 0
x
分别代入转角与挠度方程，得积分常数： F A
l
FB
D0,C 1 ql3 24
7. 给出转角方程和挠度方程： q 4x36lx2l3 24EI
w q x42lx3l3x 24EI
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
[例题11-2] 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度 为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
[例题11-3] 图示简支梁,受集中荷载 F 作用，梁的弯曲刚度为 EI,
试求C 截面的挠度和 A 截面的转角。
解: 1.确定梁的约束力
FA
bl F,FB
aF l
a
2.分段建立梁的弯矩方程：
A
F
b C
Bx
AC 段： M(x1)Flbx1 (0x1a) CB 段：M (x2)F lbx2F (x2 a )(ax2l)
式中：x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w 为该点的挠度。
4.挠度和转角的关系
小变形情况下:
tandwf '(x)
dx
即挠曲线上任意点的斜率
A
为该点处横截面的转角。
研究梁的弯曲变形时, 只要求出挠曲线方程,
w
任意横截面的挠度和转角便都已确定。
挠曲线
C
C'
F
x B wC 挠度
C
转角C
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第一节 概述 思考：如何求结构的位移？ 求弯曲变形的方法不适用！ 求结构的位移采用单位荷载法！
工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、梁的挠曲线近似微分方程
1 纯弯曲时梁挠曲线上一点的曲率表达式：
M EI
推广到横力弯曲时（剪力存在时）：
1
x
Mx
EI
数学中的曲率公式
d2w
1 (x)
1
dx2
3
dw
2
2
d x
整理得:
d2w
dx2
M x
解: 7. 给出转角方程和挠度方程：
q
q 4x36lx2l3 24EI
w q x42lx3l3x 24EI
A
x
FA
l
8. 求最大挠度和截面 B 转角：
在跨中
x=
l/2
时，有最大挠度：
wm axw0.5l
5ql4 384EI
x = l 时，截面 B 转角：
B
ql3 24EI
B
Bx
FB
wmax
及图乘法！
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第一节 概述
5.梁的位移分析的工程意义 1
(1) 齿轮传动
2
1
变形带来的弊端：
• 轮齿不均匀磨损，噪声增大，
产生振动； 2
• 加速轴承磨损，降低使用寿
命；若变形过大，使传动失效。
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第一节 概述 5.梁的位移分析的工程意义
(2)继电器中的簧片
触点
电磁力
簧片
当变形足够大时，可以有效接通电路； 当变形不够大时，不能有效接通电路；
《建筑力学》-李前程--第 七章-轴向拉伸与压缩
第十一章 梁和结构的位移
第一节 概述 第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 第三节 叠加法 第四节 单位荷载法 第五节 图乘法 第六节 线弹性体的互等定理 第七节 结构的刚度校核
2
第一节 概述
3.挠曲线:梁变形后的轴线称为挠曲线 。 挠曲线方程为 w f (x)
d2w dx2
Mx
EI
O
讨论
dw dx
2
与
M(x)
正、负关系：
w
结论：
dw dx
2
与
M(x)
总是相反关系！
O
梁的挠曲线近似微分方程为：
d2w Mx
dx2
EI
w
M
M>0
d 2w 0
dx2
M
M<0
d 2w dx2
0
x
M
x
M
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
梁的挠曲线近似微分方程为：
d2w dx2
A
wA= 0
在悬臂梁中，固定端处的
挠度 wＡ和转角 A 都应等于零。AwA= 0A= 0
B
wB = 0
B
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
2.挠曲线的连续条件 A
在挠曲线的任一点上， 有唯一的挠度和转角。
F
A
B
A
C
wC左= wC右
C左= C右
挠曲线的连续条件
B
×(错)
B
×(错)
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
解: 1.确定梁的约束力
ql FA FB 2
q
2.建立梁的弯矩方程
A
B
M(x)ql x1qx2 22
x
3.建立梁的挠曲线近似微分方程
FA
l
FB
d d 2 x w 2 M E ( I x ) E 1 I 1 2 q lx 1 2q x 2
4.对微分方程一次积分，得转角方程: d dw xE 1I 1 6qx31 4qlx2C
再积分一次，得挠度方程: w E 1 I M xd xd x C xD
——重积分法求得挠度方程 式中: C、D 是积分常数， 由梁挠曲线上的已知变形条件确定。
梁挠曲线的边界条件和连续条件
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
1.挠曲线的边界条件 在简支梁中，左右两铰支座处的 挠度 wA 和 wB 都应等于零。
补充例题1:
边界条件: wA= 0
A= 0
连续条件: wB左= wB右
B左= B右
补充例题2: B 处的连续条件？
wB左= wB右
B
B左≠ B右
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
[例题11-2] 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度 为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。
3
1
dw dx
2
2
EI
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、梁的挠曲线近似微分方程
d2w
dx2
M x
3
1
dw dx
2
2
EI
dw dx
2
与
1
相比十分微小而可以忽略不计,
故上式可近似为:
d2w M x
dx2
EI
去掉绝对值符号则:
d2w Mx
dx2 EI
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第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
5.再对转角方程一次积分，得挠度方程: wE 1 I 2 1 4qx41 1 2qlx3C xD 17
第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
[例题11-2] 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度 为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。
解: 6. 利用边界条件确定积分常数
q