黑龙江省大庆第一中学2019届高三第四次模拟(最后一卷)数学(理)试题 PDF版
黑龙江省大庆市2019年高三一模数学(理)试卷 Word版含解析
黑龙江省大庆市2018-2019学年高考数学一模试卷（理科）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合M={4，5，﹣3m}，N={﹣9，3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为( )A．3或﹣1 B．3 C．3或﹣3 D．﹣12．若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=( )A．2 B．C．D．﹣23．设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=( ) A．B．C．D．4．函数y=的图象可能是( )A．B．C．D．5．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生相邻排列的概率是( )A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是( )A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6} 7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A．B．C．D．8．已知两个平面垂直，下列①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．09．已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是( )A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B．[6k﹣3，6k]，k∈ZC．[6k，6k+3]，k∈Z D．[6kπ﹣3，6kπ]，k∈Z10．p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若p是假，则实数a的取值范围是( )A．（0，4）B．[0，4]C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为( )A．5 B．C．D．12．已知函数f（x）=下列是关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的4个判断：①当k＞0时，有3个零点；②当k＜0时，有2个零点；③当k＞0时，有4个零点；④当k＜0时，有1个零点．则正确的判断是( )A．①④B．②③C．①②D．③④二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．求曲线所围成图形的面积__________．14．已知向量夹角为45°，且；则=__________．15．若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是__________．16．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为__________．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}，首项a1=，前n项和为S n，且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M 为PB的中点，PA=AD=2．（Ⅰ）求证：PD∥平面AMC；（Ⅱ）若AB=1，求二面角B﹣AC﹣M的余弦值．20．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；（3）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．21．已知f（x）=﹣ax2+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在上[0，+∞）的最大值是0，求a的取值范围．22．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．黑龙江省大庆市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合M={4，5，﹣3m}，N={﹣9，3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为( )A．3或﹣1 B．3 C．3或﹣3 D．﹣1考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用M∩N≠∅，列出关系式，直接求出m的值即可．解答：解：由M∩N≠∅，可知﹣3m=﹣9，或﹣3m=3，解得m=3或﹣1，故选A．点评：本题考查集合的基本运算，集合的交集的应用，考查计算能力．2．若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=( )A．2 B．C．D．﹣2考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：本题主要考查复数的乘法运算以及纯虚数的概念等基础知识，属容易档次．解答：解：（1+bi）（2+i）=（2﹣b）+（1+2b）i，则，∴b=2选A．点评：2015届高考中有关复数的考点主要是复数的有关概念及复数的运算，本题一石二鸟，涉及到所需考查的两方面，加大了对考试内容的覆盖力度．3．设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=( ) A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．解答：解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，所以q3=，则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=．故选B．点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题4．函数y=的图象可能是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．解答：解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B点评：本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．5．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生相邻排列的概率是( )A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是把6个人进行全排列，共有A66种结果，满足条件的事件是同校学生相邻排列，可以把三个学校的学生看做一个元素进行排列，共有A33A33A22，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是把6个人进行全排列，共有A66=720种结果，满足条件的事件是同校学生相邻排列，可以把三个学校的学生看做一个元素进行排列，共有A33A33A22=72种结果，∴同校学生相邻排列的概率是故选C．点评：本题考查分步计数原理和等可能事件的概率，考查带有限制条件的元素的排列问题，对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理，本题是一个中档题目．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是( )A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6}考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a的可能取值的集合．解答：解：输入a值，此时i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出；再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2，应该退出；故，解得：1＜a≤5，故输入的正整数a的可能取值的集合是{2，3，4，5}，故选：C点评：本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a的不等式组，是解答的关键．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可又分析出该几何由一个底面半径为1，高为的半圆锥，和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成，分别代入圆锥的体积公式和棱锥的体积公式，可得该几何体的体积．解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1，高为的半圆锥和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成故这个几何体的体积V=+=故选A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及底面半径，底面棱长，高等几何量是解答的关键．8．已知两个平面垂直，下列①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0考点：平面与平面垂直的性质．专题：阅读型．分析：为了对各个选项进行甄别，不必每个选项分别构造一个图形，只须考查正方体中互相垂直的两个平面：A1ABB1，ABCD即可．解答：解：考察正方体中互相垂直的两个平面：A1ABB1，ABCD．对于①：一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线；如图中A1B与AB不垂直；对于②：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；这一定是正确的，如图中，已知直线A1B，在平面ABCD中，所有与BC平行直线都与它垂直；对于③：一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面；如图中：A1B；对于④：过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线不一定垂直于另一个平面，如图中A1D，它垂直于AB，但不垂直于平面ABCD．故选C．点评：本题主要考查了平面与平面垂直的性质，线面垂直的选择题可以在一个正方体模型中甄别，而不必每个选项分别构造一个图形，广东卷07文6、08文7理5、09文6理5等莫不如此．9．已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是( )A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B．[6k﹣3，6k]，k∈ZC．[6k，6k+3]，k∈Z D．[6kπ﹣3，6kπ]，k∈Z考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；压轴题．分析：先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得w的值，再由当x=3时函数取得最大值确定φ的值，最后根据正弦函数的性质可得到答案．解答：解：∵函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8∴T=6=∴w=，且当x=3时函数取得最大值∴×3+φ=∴φ=﹣∴f（x）=Asin（x﹣）∴﹣x﹣≤∴6k≤x≤6k+3故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象和基本性质，三角函数的图象和性质的熟练掌握是解题的关键．10．p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若p是假，则实数a的取值范围是( )A．（0，4）B．[0，4]C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）考点：的真假判断与应用．专题：探究型．分析：先求出p为真时对应的取值范围，然后利用p是假，求出非p的范围．解答：解：当a=0时，不等式等价为1≥0，所以成立．当a≠0时，要使不等式ax2+ax+1≥0恒成立，则有，即，解得0＜a≤4．综上0≤a≤4，即p为真时，p：0≤a≤4．因为p是假，所以￢p：a＜0或a＞4．即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．故选C．点评：本题考查了全称的真假判断以及应用，比较基础．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为( )A．5 B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1）、B（x2，y2），算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x可得y2﹣y﹣4=0，利用根与系数的关系算出y1y2=﹣4．根据|AF|=5利用抛物线的抛物线的定义算出x1=4，可得y1=±4，进而算出|y1﹣y2|=5，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△AOB的面积．解答：解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x﹣1），由消去x，得y2﹣y﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由根与系数的关系可得y1y2=﹣4．根据抛物线的定义，得|AF|=x1+=x1+1=5，解得x1=4，代入抛物线方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，∵当y1=4时，由y1y2=﹣4得y2=﹣1；当y1=﹣4时，由y1y2=﹣4得y2=1，∴|y1﹣y2|=5，即AB两点纵坐标差的绝对值等于5．因此△AOB的面积为：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|•|y1|+|OF|•|y2|=|OF|•|y1﹣y2|=×1×5=．故选：B点评：本题给出抛物线经过焦点F的弦AB，在已知AF长的情况下求△AOB的面积．着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．12．已知函数f（x）=下列是关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的4个判断：①当k＞0时，有3个零点；②当k＜0时，有2个零点；③当k＞0时，有4个零点；④当k＜0时，有1个零点．则正确的判断是( )A．①④B．②③C．①②D．③④考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由y=0得f[f（x）]=﹣1，利用换元法将函数分解为f（x）=t和f（t）=﹣1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f[f（x）]+1=0得f[f（x）]+1=0，即f[f（x）]=﹣1，设f（x）=t，则方程f[f（x）]=﹣1等价为f（t）=﹣1，①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）=﹣1，∴此时方程f（t）=﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）=t2，＜0，知此时x有两解，由f（x）=t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，即函数y=f[f（x）]+1有4个零点．②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）=﹣1，∴此时方程f（t）=﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，由f（x）=t1∈（0，1）知此时x只有1个解，即函数y=f[f（x）]+1有1个零点．综上：只有③④正确，故选：D．点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，利用数形结合是解决本题的关键．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．求曲线所围成图形的面积．考点：定积分．分析：先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．解答：解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．点评：利用定积分求图形的面积是通法，一定要熟练掌握其方法步骤．14．已知向量夹角为45°，且；则=．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：把已知式子平方，结合数量积的定义可得关于的一元二次方程，解方程可得．解答：解：∵，∴==10，代入数据可得4×1+4×1××+=10，化简可得+﹣6=0，解得=，或﹣3（负数舍去）故答案为：点评：本题考查向量模长的求解，涉及数量积和向量的夹角，属中档题．15．若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2]．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，可得圆心（0，2）到渐近线的距离≥半径r，解出即可．解答：解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键．16．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为8．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系式，然后利用基本不等式求+的最小值．解答：解：由约束条件作可行域如图．由图可知，使目标函数数z=ax+2by（a＞0，b＞0）取得最大值的点为B（1，1），∴a+2b=1，则+（当且仅当a=2b时取等号），由，解得：．∴+的最小值为．故答案为：8．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据正弦定理和已知条件求得sinB的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得C．（Ⅱ）用余弦定理列出关于b的表达式，整理求得b．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理=，∴sinB=sinA=×=，∴B=或，∵b＜a，∴，∴．（Ⅱ）依题意，，即．∴b2﹣2b﹣8=0，又b＞0，∴b=4．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．灵活运用正弦和余弦定理解三角形问题．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}，首项a1=，前n项和为S n，且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和的意义即可得出；（Ⅱ）由（I）知，na n=，利用错位相减法求数列的前n项和即可得出．解答：解：：（Ⅰ）设正项等比数列{a n}（n∈N*）的公比为q（q＞0），又a1=，∴a n=•q n﹣1，∵S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列，∴2（S5+a5）=（S3+a3）+（S4+a4），即2（a1+a2+a3+a4+2a5）=（a1+a2+2a3）+（a1+a2+a3+2a4），化简得4a5=a3，∴4a1q4=a1q2，化为4q2=1，解得q=±∵q＞0，∴q=，∴a n=（II）由（I）知，na n=，则T n=，①T n=，②…①﹣②得：T n=﹣=﹣=1﹣，所以T n=2﹣．…点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M 为PB的中点，PA=AD=2．（Ⅰ）求证：PD∥平面AMC；（Ⅱ）若AB=1，求二面角B﹣AC﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间角．分析：（Ⅰ）连接BD，交AC于O，连接OM，利用三角形中位线性质，证明OM∥PD，即可证明PD∥平面AMC；（Ⅱ）取AB中点N，作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，证明∠MEN为二面角B﹣AC﹣M的平面角，即可求得二面角B﹣AC﹣M的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于O，连接OM∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点∵M是BP的中点，∴OM∥PD∵OM⊂平面AMC，PD⊄平面AMC∴PD∥平面AMC；（Ⅱ）解：取AB中点N，作NE⊥AC，垂足为E，连接ME∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，BC⊥PA∵PA⊥AB，AB∩BC=B∴PA⊥平面ABCD∵M为PB的中点，N为AB的中点，∴MN∥PA∴MN⊥平面ABCD∵NE⊥AC，∴ME⊥AC，∴∠MEN为二面角B﹣AC﹣M的平面角∵BC=2，AB=1，∴AC=∵△ABC∽△AEN，∴NE=∵MN=1，∴ME==∴二面角B﹣AC﹣M的余弦值为==．点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；（3）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：应用题；综合题．分析：（1）由题意及所给的频率分布直方图的性质可知第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，测试总人数为（人），第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）；（2）由于X表示两人中成绩不合格得人数，由题意则X=0，1，2，利用随机变量的定义及二项分布原理可知其分布列，并有符合二项分布的期望公式可求得期望；（3）由题意利用几何概型的概率公式，设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，利用面积比即可求出．解答：解：（1）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，∴此次测试总人数为（人）．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．（2）X=0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为，∴X～.，，．所求分布列为X 0 1 2P，（3）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为矩形ABCD，而甲比乙投掷远在区域直角三角形BEF中，并且S矩形ABCD=2×1=2，，所以甲比乙投掷远的概率为：．点评：本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、二项分布及几何概型，关键是理解清楚题意及计算时要心细．21．已知f（x）=﹣ax2+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在上[0，+∞）的最大值是0，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，再分别讨论①当0＜a＜1时，②当a=1时③当a＞1时的情况，从而求出函数的递减区间；（Ⅱ）讨论①当0＜a＜1时，②当a≥1时的函数的单调性，从而求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）（a＞0）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=﹣，令f′（x）=0 得x1=0，x2=﹣1，①当0＜a＜1时，x1＜x2，f（x）与f′（x）的变化情况如表x （﹣1，0）0 （0，﹣1）﹣1 （﹣1，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）减f（0）增f（﹣1）减所以f（x）的单调递减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞）；②当a=1时，x1=x2=0，f′（x）=﹣≤0，故f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）；③当a＞1时，﹣1＜x2＜0，f（x）与f′（x）的变化情况如下表x （﹣1，﹣1）﹣1 （﹣1，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）减f（﹣1）增f（0）减所以f（x）的单调递增减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）．综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞）；当a＞1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）；当a=1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知①当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），但f（﹣1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意；②当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）≤f（0），可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意．∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是{a|a≥1}．点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．22．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．考点：椭圆的应用；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题意知，能够导出．再由可以导出椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，再由根与系数的关系证明直线AE与x轴相交于定点Q （1，0）．（Ⅲ）分MN的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（x M，y M），N（x N，y N）在椭圆C上．由得（4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0．再由根据判别式和根与系数的关系求解的取值范围；当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1，易得M、N的坐标，进而可得的取值范围，综合可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意知，所以．即．又因为，所以a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1）．直线AE的方程为．令y=0，得．将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入，整理，得．②由①得，代入②整理，得x=1．所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．（Ⅲ）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（x M，y M），N（x N，y N）在椭圆C上．由得（4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0．易知△＞0．所以，，．则=．因为m2≥0，所以．所以．当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．解得，N（1，）或M（1，）、N（1，﹣）．此时．所以的取值范围是．点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．。
大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(理科)含答案解析
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
4．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的方程是（ ）
A． ﹣ =1B． ﹣ =1C． ﹣ =1D． ﹣ =1
【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y= x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程．
【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），
②若“p∧q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题；故错误．
③“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b= ，
若a=b=c=0，满足b= ，但三个数a，b，c成等比数列不成立，
∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件，正确．
故不正确的是②．
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题
∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，
∵双曲线的一条渐近线方程为y= x，∴b=2 ，
∴双曲线的方程是 ﹣ =1．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．
5．下列说法中不正确的个数是（ ）
①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；
【解答】解：选项A，
y=x2是偶函数，
2019届黑龙江省高三下四模理科数学试卷【含答案及解析】
2019届黑龙江省高三下四模理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数（是虚数单位）的虚部是（）A． B．2 C．D．2. 已知集合，，则（）A．_____________________________________ B．______________________________________ C．______________________________________ D．3. 已知幂函数图像的一部分如下图，且过点，则图中阴影部分的面积等于（）A． B． C．D．4. 设向量，且，则锐角为（）A．_____________________________________ B．_____________________________________ C． D．5. 直线与圆（）交于两点，且弦的中点为，则直线的方程是（）A．_________________________________ B．___________________________________ C．_________________________________ D．6. 如图，程序框图输出的结果是（）A．12______________________________________B．132______________________________________C．1320_____________________________________ D．118807. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．___________________________________ B．______________________________ C．____________________________D．8. 下列命题中正确命题的个数是（）（1）设随机变量服从正态分布，若，则；（2）在区间上随机取一个数，则事件“ ”发生的概率为；（3）两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数越接近1；（4），则的最小正周期是 .A．0个 B．1个_____________________________________ C．2个 D．3个9. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A． B． C．D．10. 在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（）A．_____________________________________ B．______________________________________ C． D．11. 如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为（）A． B． C．______________________________________ D．12. 已知函数则关于函数的零点个数的判断正确的是（）A．当时，有3个零点；当时，有2个零点；B．当时，有4个零点；当时，有1个零点；C．无论为何值，均有2个零点；D．无论为何值，均有4个零点.二、填空题13. 命题“存在，使得”的否定是_________.14. 假设要考察某公司生产的 500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋牛奶进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001， (799)行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号_________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5025 8392 1206 766301 6378 5916 9556 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 793321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 5415. 已知变量满足约束条件，则的最大值为_________.16. 在中，内角所对的边长分别为且满足，若，边上中线，则的面积为_________.三、解答题17. 已知数列满足：（） .（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和 .18. 甲、乙两个学校高三年级分别有1100人、1000人，为了解两个学校高三年级全体学生在该地区三模考试的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布表，规定考试成绩在内为优秀. 甲校：乙校：（1）计算的值；（2）由以上统计数据填写下面列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异？（3）若将频率视为概率，从乙校高三学年任取三名学生的三模数学成绩，其中优秀的人数为，求的分布列和期望.参考数据：参考公式：19. 已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点.（1）求证：直线平面；（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.20. 已知抛物线，过焦点作动直线交于两点，过分别作圆的两条切线，切点分别为，若垂直于轴时， .（1）求抛物线方程；（2）若点也在曲线上，为坐标原点，且，，求实数的取值范围.21. 设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为 .（1）求的值；（2）证明：当时，；（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.22. 如图，是的直径，是上的两点，，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点 .求证： .23. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）直线与曲线交于两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.24. 设函数 .（1）当时，解不等式；（2）当时，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第23题【答案】。
黑龙江省大庆一中2019届高三第四次模拟(最后一卷)数学(理)试题(PDF版含答案)
∵AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点． ∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， P（0，0，2），E（1，1，1） ∴ t=（0，1，1）， ⺁=（2，0，0） ∵ t• ⺁=0， ∴BE⊥DC； （Ⅱ）∵ ⺁=（1，2，0），⺁t=（-2，-2，2）， ⺁=（2，2，0）， 由 F 点在棱 PC 上，设⺁，=λ⺁t=（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 故 ，= ⺁+⺁，=（1-2λ，2-2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 由 BF⊥AC，得 ，• ⺁=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，
圆ሼ2 इ2 ሼ 12 ൌ ȁ 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则
的
周长的取值范围是
A. 6,10
B. 8,12
C.6,8 D. 8,12
二、填空题：本题共 小题，每小题 5 分，共 2ȁ 分。
1 . 已知向量इ ൌ
，ൌ
2 ，且इ ，则 ൌ____________．
1 . 执行如右图程序框图，输出的 T 的值为_______________ ．
⺁ 箨，⺁＞ 箨箨
箨箨．
（2）由（1）可知：当 y=260 时，x=400，则 P（x≤400）=0.80， 结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2， ∴a=0.0015，b=0.0020． （3）由题意可知 X 可取 50，150，250，350，450，550． 当 x=50 时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1， 当 x=150 时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2， 当 x=250 时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3， 当 x=350 时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，
黑龙江省大庆市2019届高三第四次模拟考试数学(理)试题
黑龙江省大庆市2019届高三第四次模拟考试理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则（）A． B． C． D．3．下列命题中正确命题的个数是（）①命题“函数的最小值不为”是假命题；②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题，则，均为假命题;④若命题：，，则：，；A． B． C． D．4．设，，若是与的等比中项，则的最小值为：（）A．8 B．4 C．1 D．5．若是的一个内角，且，则的值为（）A． B． C． D．6.已知双曲线的一条渐近线与直线的夹角为，若以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．7．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A．720 B．520 C．600 D．2648．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．9．我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.下图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（）A． B．40 C． D．10．已知实数，满足约束条件，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，连接，若直线，，与坐标轴都不垂直，且它们的斜率满足，，点，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）A ．至少存在两个点使得B ．对于任意点都有C ．对于任意点都有D ．存在点使得二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．非零向量满足：a b a =-，()0=-⋅b a a,则与夹角的大小为_______14．曲线与其在点处的切线及直线所围成的封闭图形的面积为__________．15.设为数列的前n 项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列是首项为，公差为（）的等差数列，且数列是“和等比数列”，则与的关系式为_________________．16．若是函数的极值点，则的极小值为 _________ ．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为，、b 、c 且满足.（1）求角的大小； （2）若边长，求△ABC 面积的最大值.18．如图，四边形为梯形，点在线段上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得．（1）证明：;（2）求直线与面所成角的正弦值．19．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对2014～2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额（亿元）与该地区粮食产量（万亿吨）之间存在着线性相关关系.统计数据如下表：补贴额亿元粮食产量亿吨（1）请根据如表所给的数据，求出关于的线性回归直线方程；（2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元，请根据（Ⅰ）中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.（参考公式：，）20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.（1）求椭圆的方程和点的坐标；（2）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.21．已知函数. （1）当时，求证：；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若，证明.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修44-：参数方程与极坐标选讲 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数,0 ≤ α < π).以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ = 4sin θ. (1)求直线l 与曲线C 的平面直角坐标方程; (2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B,若,求α的值.23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数．（1）解不等式；（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．理数试题 参考答案一．C C B B D A D C D C D C13．135°或者 14.e-2.5 15. ． 16．17．（1）由及正弦定理得，，即，整理得，∵，∴，∴，又，∴．（2）在△ABC中，由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，∴．∴．∴△ABC面积的最大值为．18．（Ⅰ）连，所以所以BD=因为∴又∴从而所以∴（Ⅱ）由，（需要证明过程）如图建系，则设平面的法向量为，由，可取，．19．（1）由已知数据，可得，.代入公式，经计算，得，∴.∴所求关于的线性回归直线方程为.20．（I）设，，可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，由题意知，得，由，得，所以椭圆的方程为，点P的坐标为.（II）由过点P的直线l2与椭圆相交于两点，知直线l2的斜率存在，设l2的方程为，由题意可知，联立椭圆方程，得，设，则，得，所以；由直线l1与l2垂直，可设l1的方程为，即圆心到l1的距离，又圆的半径，所以，，由即，得，，设，则，，当且仅当即时，取“＝”，所以△ABC的面积的取值范围是．21．（1）当时，，，当时，；当时，故在上单调递减，在上单调递增，，.（2），令，则.①当时，在上，，单调递增，，即，在上为增函数，，当时满足条件.②当时，令，解得，在上，，单调递减，当时，有，即在上为减函数，，不合题意.综上，实数的取值范围为.（3）由（2）得，当，时，，即=，欲证不等式，只需证明，只需证明，只需证 ，设，则.当时，恒成立，且， 恒成立.原不等式得证. 22．:(Ⅰ)直线普通方程为曲线的极坐标方程为,则6分(Ⅱ),将代入曲线或23．（1）不等式等价于或或解得或或，所以不等式的解集为．（2）由知，当时，；，当且仅当时取等号，所以，解得．故实数的取值范围是．。
黑龙江省大庆市第一中学2019届高三理综第四次模拟(最后一卷)试题
黑龙江省大庆市第一中学届高三理综第四次模拟（最后一卷）试题第Ⅰ卷（选择题）可能用到的相对原子质量：——————一、单项选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）.下列有关生物体内的物质的叙述正确的是（）. 构成烟草花叶病毒遗传物质和细胞能量“通货”的化学元素种类相同. 细胞干重中含量最多的化学元素和化合物分别是氧和蛋白质. 人体内环境中存在二氧化碳、血浆蛋白、尿素、糖原等物质. 细胞膜由脂质和蛋白质组成，脂质中磷脂最丰富.将同一部位的紫色洋葱外表皮细胞分别浸在甲、乙、丙种溶液中，测得原生质层的外界面与细胞壁间距离变化如图所示，下列相关分析错误的是（）．实验开始时，甲、乙溶液的浓度均大于洋葱表皮细胞细胞液浓度．与时相比，时乙溶液中洋葱表皮细胞的细胞液浓度未发生变化．实验过程中，丙溶液中有水分子进出洋葱表皮细胞．实验结束时，甲溶液的浓度有所下降.为了研究温度对某种酶活性的影响,设置三个实验组组(℃)、组(℃)和组(°)测定各组在不同反应时间内的产物浓度(其他条件相同),结果如图。
下列叙述正确的是（）．三个温度条件下,该酶活性最高的是组,说明组温度是酶的最适温度．在时刻将组温度提高°,那么组酶催化反应的速度可能会加快．在时刻降低组温度,将使组酶的活性提高,曲线上升．在时刻组曲线不再上升,是由于受到酶数量的限制.下列生物学事实叙述正确的是（）.质壁分离复原实验中需用显微镜观察临时装片次.蓝藻进行光合作用时都在叶绿体的类囊体薄膜上合成.生长素能与双缩脲试剂发生作用产生紫色反应.卡诺氏液固定细胞形态后需用体积分数为的酒精冲洗.下列关于细胞的生命历程的说法，正确的是（）.种子萌发过程中存在细胞的增殖、分化，体现了细胞的全能性．原癌基因的主要功能是阻止细胞不正常的增殖．细胞内磷脂、、蛋白质等物质受自由基攻击，可能导致细胞衰老．同一生物体不同时刻产生的精子或卵细胞的染色体数一般不同.运用生态学原理可以解决实际生产中的问题，下列说法正确的是（）. 引进物种一定能增加当地的生物多样性，并提高生态系统的抵抗力稳定性. “桑基鱼塘”生态系统中将蚕粪喂鱼，实现了生态系统能量的反复循环利用. 利用昆虫信息素诱杀雄虫降低出生率属于化学防治. 建立大熊猫自然保护区的目的是提高大熊猫种群的环境容纳量．化学与材料、生活和环境密切相关。
专题 坐标系与参数方程(解析版)
专题 坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．652．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15 （，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+． （1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数标方程为e ee et tt txy--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t为参数），在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求直线l与曲线C的公共点P的极坐标．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值．答 案1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x +=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =． （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=，曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=，由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=．设,A B 两点的参数为1t ，2t ，所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号．所以1212MA MB t t t t +=+=+=【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=，2213x y +=；（2．【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α，sin α），α∈[0，2π）．点M 的极坐标（，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离2d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的距离的最大值为2． 【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．【答案】（1）l 普通方程为10x y --=，C 直角坐标方程为22143x y +=；（2）867． 【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得普通方程为10x y --=．223sin 12ρθ+=（）等价于2223sin 12ρρθ+=，将222sin x y y ρρθ=+=，代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为222312x y y ++=（）， 即22143x y +=． （2）点21P （，）在直线10x y --=上，所以直线l的参数方程可以写为2 1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（为参数）， 将上式代入22143x y +=，得2780t ++=． 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则1212877t t t t +=-=， 所以22||PA PB PB PAPA PB PA PB ++=22PA PB PA PB PA PB+-=（）21212122t t t t t t +-=（）2121212||2t t t t t t +-⋅==⋅2828677877--⨯=（． 【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15-（，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．【答案】（1）11252x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），8sin ρθ=；（2）直线l 与圆C 相离．【解析】（1）直线l的参数方程1π11cos 23 π5sin 53x t x t y t y ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-⎪⎪⎩⎩（t 为参数）， M 点的直角坐标为（0，4），圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为22416x y +-=（），将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得圆C 的极坐标方程为222cos (sin 4)16ρθρθ+-=，即8sin ρθ=； （2）直线l50y ---=，圆心M 到l的距离为942d ==>， ∴直线l 与圆C 相离．【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值；（2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【答案】（1）2） 【解析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x t y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12FA FB t t +=-===（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（π02θ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当π4θ=时，面积S取得最大值 【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生2cos ρρθ，，sin ρθ以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210142x y x ++=+=，；（2）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】（1）当π6a =时，直线l的参数方程为π1cos ,162π11sin 162x t x y t y t ⎧⎧=-+=-+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩，． 消去参数t得10x ++=． 由曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，得()22sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2224x y +=，即22142x y +=； （2）由直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内， 将1cos , 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中，整理得 ()()221sin 22sin c s 10to t ααα++--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，， 则12211sin t t α⋅=-+， 所以12211sin PA PB t t α⋅==+，因为0πα<<，所以(]2sin 01α∈，，所以1221111sin 2PA PB t t α⎡⎫⋅==∈⎪⎢+⎣⎭，，所以PA PB ⋅的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12t t ，，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）1202t t t +=；（2）1202t t PM t +==；（3）21AB t t ＝－；（4）12··PA PB t t ＝． 12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+． （2）2a =．【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）将直线l的参数方程2,22x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠．由根与系数的关系，得121244t t t t a +==+，．因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l上．所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式222tan cos ,sin x y x y xy ρρθρθθ=⎧+==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+，216y x =；（2． 【解析】（1）直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos 0ρθρθ-=， 曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为135x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入221212435167054y x t t t t t =-=+==-，，，121211t t PA PB t t -+==． 【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ． 【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2）π4OP α==， 【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为2224x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=． （2）依题意，∵π02α∈（，），∴4cos OP α=， 1ππsin cos 22OQ αα=+-+（）（）1sin cos αα=+，12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα===+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π4OP α==，【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e e e et tt tx y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． 【答案】（1）2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥． 将cos sin x y ρθρθ==，代入224x y -=，得()222cos sin 4ρθθ-=． 所以曲线C 的极坐标方程为2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．（2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2π4sin 2cos23θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-． 因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=．于是方程的解为tan θ=，即π6θ=．代入πsin 3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10． 【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =，所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线． （2）设点()11,M x y ，点()22,N x y直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x t y t =⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=， 所以12124,16x x x x +==- 所以MN ===10==．【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值． 【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32，31则曲线2C 的直角坐标方程为22243x y +=（），整理得22149x y +=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线的参数方程化为标准形式为1223332x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t --'+=' 整理得27183604t t ''++=（）． 12127214477PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===． 【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．。
大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(理科)含答案解析
【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0， ]内的x0的值．
【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+ cos（wx）=2sin（wx+ ）的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，
∴ =π，
∴w=2
∴f（x）=2sin（2x+ ）．
∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，
【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
当x＞1或x＜﹣ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当﹣ ＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（1）为极小值，f（﹣ ）为极大值．
∵f（x）在（﹣∞，﹣ ）上单调递增，
∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
构造函数g（x）=x3+2x﹣ ，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．
【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．
因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
2019届黑龙江省大庆一中2016级高三下学期四模考试(最后一卷)数学(理)参考答案
∵AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点． ∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， P（0，0，2），E（1，1，1） ∴ t=（0，1，1）， ⺁=（2，0，0） ∵ t• ⺁=0， ∴BE⊥DC； （Ⅱ）∵ ⺁=（1，2，0），⺁t=（-2，-2，2）， ⺁=（2，2，0）， 由 F 点在棱 PC 上，设⺁，=λ⺁t=（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 故 ，= ⺁+⺁，=（1-2λ，2-2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 由 BF⊥AC，得 ，• ⺁=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，
记 h（x）=f（x）+tg（x）=lnx-
㷰
⺁㷰+（1-2t）x+3t，
则 h（x）在[1，2]上单调递减．得 ′ ⺁ ⺁ ⺁
㷰t 箨 对任意 a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．
2019届黑龙江省大庆一中2016级高三下学期四模考试（最后一卷） 第四次模拟理科数学答案
1-12 ABDAB DDAAB DB
13. - 6
11
14.
6
15. 3
16. 箨Ꮎ㷰ֆ
㷰
17.（1）由三角形的面积公式可得 S△ABC=㷰acsinB= th ，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得 3sinCsinBsinA=2sinA，
箨体 ⺁，箨 ⺁ 㷰箨箨 所以 y 与 x 之间的函数解析式为：y= 箨体h⺁ 箨，㷰箨箨＜⺁
⺁ 箨，⺁＞ 箨箨
箨箨．
（2）由（1）可知：当 y=260 时，x=400，则 P（x≤400）=0.80， 结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2， ∴a=0.0015，b=0.0020． （3）由题意可知 X 可取 50，150，250，350，450，550． 当 x=50 时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1， 当 x=150 时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2， 当 x=250 时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3， 当 x=350 时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，
2019届黑龙江省大庆一中高三第四次模拟(最后一卷)物理试卷及答案
2019届大庆一中高三第四次模拟（最后一卷）物理试卷第Ⅰ卷（选择题）可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 O—16 N—14 B—11 Mg—24一、单项选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）二、选择题（本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）14．引力波是根据爱因斯坦的广义相对论作出的奇特预言之一，三位美国科学家因在引力波的研究中有决定性贡献而荣获诺贝尔奖。
对于引力波概念的提出，可以通过这样的方法来理解：麦克斯韦认为，电荷周围有电场，当电荷加速运动时，会产生电磁波；爱因斯坦认为，物体周围存在引力场，当物体加速运动时，会辐射出引力波。
爱因斯坦的观点的提出，采取了哪种研究方法（）A．控制变量法B．对比法C．类比法D．观察法15．某校研究小组将静置在地面上，质量为M(含燃料)的火箭模型点火升空，在极短时间内以相对地面的速度v0竖直向下喷出质量为m的炽热气体．忽略喷气过程重力和空气阻力的影响，则喷气结束时火箭模型获得的速度大小是( )A.mMvB.MmvC.MM－mvD.mM－mv16．某电场的电场线分布如图所示，a、b是电场中的两点，则()A. a点的电势低于b点的电势B. 电荷在a点的电势能大于在b点的电势能C. a点的电场强度大于b点的电场强度D. 正电荷在a点由静止释放，仅在电场力作用下可以沿电场线运动到b点17．甲、乙两种金属发生光电效应时，光电子的最大初动能与入射光频率间的函数关系分别如图中的Ⅰ、Ⅱ所示．下列判断正确的是( )A．Ⅰ与Ⅱ不一定平行图2图3 图1 B ．甲金属的极限频率大C ．图象纵轴截距由入射光强度判定D ．Ⅰ、Ⅱ的斜率是定值，与入射光和金属材料均无关系18．汽车在水平路面上从静止开始做匀加速直线运动，t 1秒末关闭发动机做匀减速直线运动，到t 2秒末静止，动摩擦因数不变．其v ﹣t 图象如图所示，图中β＜θ，若汽车牵引力做功为W ，t 1秒内做功的平均功率为P ，汽车加速和减速过程中克服地面摩擦力做功分别为W 1和W 2，平均功率大小分别为P 1和P 2，忽略空气阻力的影响，下面结论正确的是（ ）A ． W=W 1+W 2B ． W 1<W 2C ． P=P 1D ． P 1≠P 219．质量为m 的人造卫星在地面上未发射时的重力为G 0，它在离地面的距离等于地球半径R 的圆形轨道上运行时的(忽略地球自转) （ ） A ．周期 0m 24G RB ．速度为 m R0G 2C ．动能为R 0G 41D ．向心加速度为mG 020．如图所示，在远距离输电电路中，发电厂的输出电压和输电电线的电阻均不变，变压器、电表均为理想化的。
2019届黑龙江省大庆第一中学高三第四次模拟数学(理)试题
绝密★启用前2019届黑龙江省大庆第一中学高三第四次模拟数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．23．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥4．等比数列{a n }中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14± D ．145．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b6．函数()2()ln 28f x x x =--的单调递增区间是（ ） A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞7．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数…………线…………………线………和为（）．A．122B．112C．102D．928．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．23B．43C．2D．839．设不等式组20xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y，则P点的坐标满足不等式222x y+≤的概率为A．π8B．π4C．12π+D10．若函数2()xf x x e a=-恰有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．24(,)e+∞B．24(0,)eC．2(0,4)e D．(0,)+∞11．已知向量(22cosm x=r，()1,sin2n x=r，设函数()f x m n=⋅r r，则下列关于函数()y f x=的性质的描述正确的是()A．关于直线12xπ=对称B．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C．周期为2πD．()y f x=在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数12．如图所示点F是抛物线28y x=的焦点，点A、B分别在抛物线28y x=及圆224120x y x+--=的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB∆的周长的取值范围是（）…………○…………装…………○………线…………○……学校:___________姓名：___________班级：…………○…………装…………○………线…………○……A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量(,4),(3,2)a m b ==-r ，且a b r r ∥，则m =___________.14．执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .15．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A,B 两点，为C 的实轴长的2倍，则双曲线C 的离心率为 .16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), P 为正方体表面上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是______.……○…………装………………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装……○…………装………………线…………○……三、解答题17．△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.18．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（I ）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式； （Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，b 的值；（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望.…订…………○_____考号：___________…订…………○19．已知圆O 经过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点以及两个顶点，且点1,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．()1求椭圆C 的方程；()2若直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于M 、N 两点，且43MN=，求直线l 的倾斜角．20．如图， 在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ， AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE DC ⊥：（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点， 满足BF AC ⊥， 求二面角F AB P --的余弦值.21．已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；（Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标. 23．已知函数()|2||3|()f x x a x a R =+--∈. （1）若1a =-，求不等式()10f x +>的解集；（2）已知0a >，若()32f x a +>对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2．B 【解析】 【分析】对复数z 进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题. 3．D 【解析】 【分析】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，即q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集. 【详解】由题意知：:|1|2p x +>可化简为{|31}x x x <->或，:q x a >， 所以q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集，所以1a ≥. 【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对p ⌝是q ⌝的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解. 4．A 【解析】 【分析】利用等比数列{a n }的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出． 【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴a 4与a 8的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 5．B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.6．D 【解析】 【分析】由对数函数性质先求得定义域，再根据复合函数单调性的性质即可得解. 【详解】函数()2()ln 28f x x x =--，定义域满足2280x x -->， 解不等式可得4x >或2x <-，因为ln y x =单调递增，由复合函数单调性的性质“同增异减”可知，228y x x =--也要为单调递增，由二次函数性质可知228y x x =--的单调递增区间为(1,)+∞， 所以满足函数()2()ln 28f x x x =--的单调递增区间为421x x x ><-⎧⎨>⎩或解得4x >，即函数()2()ln 28f x x x =--的单调递增区间为(4,)+∞， 故选：D. 【点睛】本题考查了复合函数单调区间的求法，注意对数函数定义域的要求，属于中档题. 7．D 【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和． 8．A 【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形， 且两直角边分别为1和2，所以底面面积为11212S =⨯⨯=高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选A ． 9．A 【解析】 【分析】画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到222x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案. 【详解】画出2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，所以AOB V 的面积为4，满足不等式222x y +≤的点，在区域Ω为半径的14圆面，其面积为2π， 由几何概型的公式可得其概率为2==48P ππ，故选A 项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题. 10．B 【解析】 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围. 【详解】函数2x y x e =的导数为2'2(2)xxxy xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee -=-==， 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e. 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大. 11．D 【解析】 【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π==+=++，当12x π=时,sin(2)sin 163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项. 12．B 【解析】【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围. 【详解】抛物线28y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，根据抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈，则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+， 所以()68,12B x +∈， 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题. 13．6- 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案. 【详解】因为a b r r ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-.故答案为：6- 【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.14．116【解析】初始条件1,1,3n T n ==<成立方 ；运行第一次：101311,2,322T xdx n n =+=+==<⎰成立； 运行第二次：12033111,3,32236T x dx n n =+=+==<⎰不成立；输出T 的值：11.6结束 所以答案应填：11.6考点：1、程序框图；2、定积分. 15．√3 【解析】 【分析】不妨设双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1，焦点F (−c,0)，令x 2a 2−y 2b 2=1,x =c ⇒y =±b 2a ，由|AB |的长为实轴的二倍能够推导出C 的离心率. 【详解】不妨设双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1， 焦点F (−c,0)，对称轴y =0，由题设知x 2a −y 2b =1,x =c ⇒y =±b 2a ， 因为|AB |的长为实轴的二倍， ∴2b 2a=4a,b 2=2a 2，c 2−a 2=2a 2,c 2=3a 2， ∴e =ca =√3，故答案为√3. 【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值. 16．[0,2] 【解析】 【分析】由弦MN 的长度最大可知MN 为球的直径.由向量的线性运用PO uuu r 表示出PM PN ⋅u u u u r u u u r，即可由PO u u u r 范围求得PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围.【详解】连接PO ，如下图所示：设球心为O ,则当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径， 由向量线性运算可知()()OM PM PN PO PO ON ⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r2PO PO O OM O N PO M ON =+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r()2PO PO ON OM ON OM =+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则球的半径为1，0,1OM O ON O M N +=⋅=-u u u r u u u u r r u u u u r u u u r，所以()2OM PO PO ON ON OM +⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r21PO =-u u u r ，而PO ⎡∈⎣u u u r所以[]210,2PO -∈u u u r ，即[]0,2PM PN ⋅∈u u u u r u u u r故答案为：[]0,2. 【点睛】本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.17．(1)2sin sin 3B C =(2) 3【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC △的周长为3+试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=.故ABC V 的周长为3点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18．（1）0.5,0200{0.860,200400140,140x x y x x x x ≤≤=-<≤->；（2）0.0015a =，0.0020b =；（3）见解析.【解析】试题分析: （1）根据题意分段表示出函数解析式;（2）将260y =代入（1）中函数解析式可得400x =，即()4000.80P x ≤=，根据频率分布直方图可分别得到关于,a b 的方程,即可得,a b ;（3）x 取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用y 值,对应得出每组电费的概率,即可得到Y 的概率分布列,然后求出Y 的期望. 试题解析:（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-；当当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为0.5,0200{0.860,200400140,140x x y x x x x ≤≤=-<≤->.（2）由（1）可知，当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知0.121000.30.8{1000.050.2b a +⨯+=+=，∴0.0015a =，0.0020b =（3）由题意可知X 可取50，150，250，350，450，550，当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==， 当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故Y 的概率分布列为所以随机变量X 的数学期望250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 19．（1）2212x y +=；（2）4π或34π【解析】 【分析】(1)先由题意得出b c = ,可得出b 与a 的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆C 的方程，可求出a 与b 的值，从而得出椭圆C 的方程；(2)对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当直线l 的斜率不存在时，可求出MN ，然后进行检验；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+,设点()()1122,,,M x y N x y ，先由直线l 与圆O 相切得出m 与k 之间的关系，再将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件43MN =得出k 的值，从而求出直线l 的倾斜角. 【详解】（1）由题可知圆O 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得222a b =，又点1,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以222211b a a b+=，解得222,1a b ==，即椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）圆O 的方程为221x y +=，当直线l不存在斜率时，解得MN =当直线l 存在斜率时，设其方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O1=，即221m k =+.将直线l 与椭圆C 的方程联立，得：()222124220k xkmx m +++-=，判别式222881680m k k ∆=-++=>，即0k ≠，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222422=,=,1212km m x x x x k k --+++12x x -== 所以1243MN x ==-==， 解得1k =±， 所以直线l 的倾斜角为4π或34π.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 20．（1）证明见解析（2（3【解析】 【分析】（1）根据题意以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出,D BE C u u u r u u u r，由空间向量数量积运算即可证明BE DC ⊥.（2）先求得平面PBD 的法向量，即可求得直线BE 与平面法向量夹角的余弦值，即为直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）由F 点在棱PC 上，设CF CP λ=u u u r u u u r ，再由BF BC CF =+u u u r u u u r u u u r，结合BF AC ⊥，由空间向量垂直的坐标关系求得λ的值.即可表示出BF u u u r.求得平面FBA 和平面ABP 的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角F AB P --的余弦值. 【详解】（1）证明：∵PA ⊥底面 ABCD ，AD AB ⊥， 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵2AD DC AP ===，1AB =，点 E 为棱 PC 的中点．∴()100B ，，，()220C ，，，()020D ，，，(0,0,2),(1,1,1)P E ， (0,1,1),(2,0,0)BE DC ∴==u u u r u u u r，0BE DC ⋅=u u u r u u u rQ ，BE DC ∴⊥.（2）(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=-u u u r u u u r, 设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =u r. 则00BD m PB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，代入可得2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =解得2,1x z ==，即()2,1,1m =u r，设直线BE 与平面PBD 所成角为α，由直线与平面夹角可知sin cos ,3n BE n BE n BEα⋅=<>===⋅r u u u rr u u u r r u u u r所以直线BE 与平面PBD所成角的正弦值为3. （3）(1,2,0),(2,2,2),(2,2,0)BC CP AC ==--=u u u r u u u r u u u rQ ，由F 点在棱PC 上，设(2,2,2),(01)CF CP λλλλλ==--≤≤u u u r u u u r， 故(12,22,2)(01)BF BC CF λλλλ=+=--≤≤u u u r u u u r u u u r，由BF AC ⊥，得2(12)2(22)0BF AC λλ⋅=-+-=u u u r u u u r， 解得34λ=， 即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，设平面FBA 的法向量为(,,)n a b c =r，由00n AB n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得01130222a a b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1c =，则(0,3,1)n =-r取平面ABP 的法向量(0,1,0)i =r，则二面角F AB P --的平面角α满足||cos ||||i n i n α⋅=⋅r r r r由图可知，二面角F AB P --为锐二面角， 故二面角F AB P --【点睛】本题考查了空间向量的综合应用，由空间向量证明线线垂直，求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小，计算量较大，属于中档题.21．(1) 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;(2)114. 【解析】试题分析： （Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．试题解析：（I ）由题意得()()()()2113ln 1222F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()21111ax a x F x ax a x x-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1x a >. 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （II ）由题意知0t ≥. ()2111ax x f x ax x x-+=='+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增．不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立. 记()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+， 由题意得()h x 在[]1,2上单调递减. 所以()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()112H a xa t x=-++-，[]2,1a ∈--， 则()()max 122120H a H x t x =-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立. 故max 1212t x x ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭， 而12y x x=+在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为92. 由9212t -≥，解得114t ≥. 故实数t 的最小值为114． 22．（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min PQ =，此时31(,)22P . 【解析】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C的距离π()sin()2|3d αα==+- ⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. 试题解析： （1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-. 当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. 考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．23．（1）{|1x x <-或}1x >；（2）(2,)+∞.【解析】【分析】（1）1a =-时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.（2）0a >时，分类讨论去绝对值，得到()f x 解析式，由函数的单调性可得()f x 的最小值，通过恒成立问题，得到关于a 的不等式，得到a 的取值范围.【详解】（1）因为1a =-，所以()12,2134,322,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， 所以不等式()10f x +>等价于12210x x ⎧<⎪⎨⎪--+>⎩或1323410x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或3210x x >⎧⎨++>⎩， 解得1x <-或1x >.所以不等式()10f x +>的解集为{|1x x <-或}1x >.（2）因为0a >，所以()3,233,323,3a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩， 根据函数的单调性可知函数()f x 的最小值为322a a f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 因为()32f x a +>恒成立，所以3322a a --+>，解得2a >. 所以实数a 的取值范围是()2,+∞.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.。
2019年最新(统考)黑龙江省高三(最后冲刺)数学(理)试卷及答案解析
∴至少1人参加社区服务次数在区间 内的概率为 .
20.解：（1）设椭圆 的半焦距为 ，椭圆 的半焦距为 ，由已知 ， ， ，
∵椭圆 与椭圆 的离心率相等，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴椭圆 的方程为 ，椭圆 的方程是 ；
（2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为 .
∵ ， 或 ，
， ，
∴ 在 ， 上单调递增，
在 单调递减.
3.若 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
4.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列 ，若 ，且 ， ， 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）
A.13，12B.13，13C.12，13D.13，14
5.如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
（1）求椭圆 ， 的方程；
（2）过 的直线交椭圆 于点 ， ，求 面积的最大值.
21.已知函数 （ 为常数）.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若对任意的 ，都存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
22.在直角坐标系 中，直线 的方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，点 的极坐标 ，判断点 与直线 的位置关系；
16.若数列 是正项数列，且 ，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 中，内角 ， ， 的对边为 ， ， ，已知 ， ， ，
黑龙江省大庆市第一中学2019届高三数学第四次模拟最后一卷试题文201906260171
大庆一中高三年级下学期第四次模拟考试文科数学一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，，则 A B. C.D.2. 复数的虚部为 A. B. C. 1D. 2 3. 已知条件p ：，条件q ：，且是的充分不必要条件，则a 的取值范围是 A. B. C. D.4. 等比数列中，，，则与的等比中项是 A. B. 4 C. D.5. 若，，则 A.B. C. D.6. 函数的单调递增区间是A. B. C.D. 7.设椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左焦点为F ，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，则||AF ＋||BF 的值是( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 38.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为 A. B. C. 6 D.9.设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则P 点的坐标满足不等式的概率为 A. B. C. D. 10.已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A. 关于直线对称B. 关于点对称 C. 周期为 D. 在上是增函数11.已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，当x >0时，有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)＋4f (－2)<0的解集为( )A ．(－∞，－2 016)B ．(－2 016，－2 012)C ．(－∞，－2 018)D ．(－2 016,0)12.已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，72B.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，256C.⎝ ⎛⎦⎥⎤256，112D.⎝ ⎛⎦⎥⎤112，376 二．填空题，（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，且，则______．14.若运行如图所示的程序框图，输出的n 的值为127，则输入的正整数n 的所有可能取值的个数为________．15.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为______．16.给出下列四个命题：①如果平面α外一条直线a 与平面α内一条直线b 平行，那么a ∥α；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．其中真命题的序号为______．三．解答题：共70分17.已知等差数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，k ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n 2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .18.海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了100个网箱，测量各网箱水产品的产量(单位：kg)，其产量都属于区间[25,50]，按如下形式分成5组，第一组：[25,30)，第二组：[30,35)，第三组：[35,40)，第四组：[40,45)，第五组：[45,50]，得到频率分布直方图如图：定义箱产量在[25,30)(单位：kg)的网箱为“低产网箱”，箱产量在区间[45,50]的网箱为“高产网箱”．(1)若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数；(2)按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数；(3)若在(2)抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别为m ，n ，求|m －n |>10的概率．19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB ⊥PA ，PB ＝PA ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝8，BC ＝6，CD ＝10，M 是PA 的中点．(1)求证：BM ∥平面PCD ；(2)求三棱锥B －CDM 的体积．20.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且|QF |＝2|PQ |.(1)求p 的值；(2)已知点T (t ，－2)为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为－83，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标．21.已知f (x )＝ln x －ax ＋1(a ∈R )．(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当a ＝2，且x ≥1时，f (x )≤ex －1－2恒成立． 选考题22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y tx 22(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝8sin θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求|MN |.23.设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0.(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．大庆一中高三年级下学期第四次模拟考试文科数学（答案）一．选择题：CBDAB DCCAD AB二．填空题， 13.-6 14.3 15.16.(1)(2)(4)17.解 (1) 由(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，令n ＝1,2,3，得到a 1＝23＋k ，a 2＝310＋k ，a 3＝421＋k ，∵{a n }是等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3，即320＋2k ＝23＋k ＋421＋k ，解得k ＝－1.由于(n ＋1)a n ＝2n 2＋n －1＝(2n －1)(n ＋1)，又∵n ＋1≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝anan ＋14n2＝(2n －1(2n ＋14n2＝4n2－14n2＝1＋4n2－11＝1＋(2n －1(2n ＋11＝212n ＋11＋1，得S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2131＋1＋2151＋1＋2171＋1＋…＋212n ＋11＋1＝212n ＋11＋n＝212n ＋11＋n ＝2n ＋1n ＋n ＝2n ＋12n2＋2n (n ∈N *)．18.解 (1)样本中的100个网箱的产量的平均数＝(27.5×0.024＋32.5×0.040＋37.5×0.064＋42.5×0.056＋47.5×0.016)×5＝37.5.(2)各组网箱数分别为：12,20,32,28,8，要在此100 箱中抽取25箱，则分层抽样各组应抽数3,5,8,7,2.(3)由(2)知，从低产网箱3箱和高产网箱2箱共5箱中要抽取2箱，设低产网箱中3箱编号为1,2,3，高产网箱中2箱编号为4,5，则一共有10种抽法，基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)， 满足条件|m －n |>10的情况为从高、低产网箱中各取1箱，基本事件为(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6种，所以满足事件A ：|m －n |>10的概率为P (A )＝106＝53.19.(1)证明 取PD 中点N ，连接MN ，NC ，∵MN 为△PAD 的中位线，∴MN ∥AD ，且MN ＝21AD .又∵BC ∥AD ，且BC ＝21AD ，∴MN ∥BC ，且MN ＝BC ，则BMNC 为平行四边形，∴BM ∥NC ，又∵NC ⊂平面PCD ，MB ⊄平面PCD ，∴BM ∥平面PCD .(2)解 过M 作AB 的垂线，垂足为M ′，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，MM ′⊂平面PAB ，∴MM ′⊥平面ABCD .∴MM ′为三棱锥M －BCD 的高，∵AB ＝8，PA ＝PB ，∠BPA ＝90°，∴△PAB 边AB 上的高为4，∴MM ′＝2，过C 作CH ⊥AD 交AD 于点H ，则CH ＝AB ＝8，S △BCD ＝21×BC ×CH ＝21×6×8＝24，∴V B －CDM ＝V M －BCD ＝31S △BCD ×MM ′＝31×24×2＝16.20.解 (1)设Q (x 0,4)，由抛物线定义知|QF |＝x 0＋2p ，又|QF |＝2|PQ |，即2x 0＝x 0＋2p ，解得x 0＝2p ，将点Q ，4p 代入抛物线方程，解得p ＝4.(2)由(1)知，C 的方程为y 2＝8x ，所以点T 坐标为，－21， 设直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，点M 1，N 2，由y2＝8x ，x ＝my ＋n ，得y 2－8my －8n ＝0，Δ＝64m 2＋32n >0.所以y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8n ，所以k MT ＋k NT ＝21＋21＝y1－28＋y2－28＝y1y2－2(y1＋y2＋48(y1＋y2－32＝－8n －16m ＋464m －32＝－38，解得n ＝m －1，所以直线MN 的方程为x ＋1＝m (y ＋1)，恒过定点(－1，－1)．21.(1)解 ∵ f (x )＝ln x －ax ＋1，a ∈R ，∴f ′(x )＝x 1－a ＝x －ax ＋1，当a ≤0时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间，当a >0时，增区间为a 1，减区间为，＋∞1.(2)证明 当x ∈[1，＋∞)时，由(1)可知当a ＝2时，f (x )在[1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝－1，再令G (x )＝e x －1－2，在x ∈[1，＋∞)上，G ′(x )＝e x －1>0，G (x )单调递增，所以G (x )≥G (1)＝－1，所以G (x )≥f (x )恒成立，当x ＝1时取等号，所以原不等式恒成立．22.解 (1)因为ρcos 2θ＝8sin θ，所以ρ2cos 2θ＝8ρsin θ，即x 2＝8y ，所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线．(2)直线l 过抛物线的焦点(0,2)，则直线参数方程可化为5(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2－2t －20＝0，所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－20.所以|MN |＝|t 1－t 2|＝＝＝10.23.解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1即为|2x －3|＋5x ≥5x ＋1，∴≥1，解得x ≥2或x ≤1.∴不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥2}．(2)由f (x )≤0，得＋5x ≤0，解得7x －a ≤0，或3x ＋a ≤0，，又a >0，∴不等式的解集为3a ，由题意得－3a ＝－1，解得a ＝3.。
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大庆一中高三年级下学期第四次模拟考试文科数学一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，，则AB.C.D.2. 复数的虚部为A. B.C. 1D. 2 3. 已知条件p ：，条件q ：，且是的充分不必要条件，则a 的取值范围是A. B. C. D.4. 等比数列中，，，则与的等比中项是A.B. 4C.D. 5. 若，，则A.B. C. D. 6. 函数的单调递增区间是A. B. C. D.7.设椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左焦点为F ，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，则||AF＋||BF的值是( )A．2 B．2 3 C．4 D．4 38.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为A. B. C. 6 D.9.设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则P点的坐标满足不等式的概率为A. B. C. D.10.已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 周期为D. 在上是增函数11.已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，当x>0时，有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0的解集为( )A．(－∞，－2 016) B．(－2 016，－2 012) C．(－∞，－2 018) D．(－2 016,0)12.已知函数f(x)＝sin ωx－3cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤136，72B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤72，256C.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤256，112D.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤112，376 二．填空题，（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，且，则______．14.若运行如图所示的程序框图，输出的n 的值为127，则输入的正整数n 的所有可能取值的个数为________．15.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为______．16.给出下列四个命题：①如果平面α外一条直线a 与平面α内一条直线b 平行，那么a ∥α；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面． 其中真命题的序号为______．三．解答题：共70分17.已知等差数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，k ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n 2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .18.海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了100个网箱，测量各网箱水产品的产量(单位：kg)，其产量都属于区间[25,50]，按如下形式分成5组，第一组：[25,30)，第二组：[30,35)，第三组：[35,40)，第四组：[40,45)，第五组：[45,50]，得到频率分布直方图如图：定义箱产量在[25,30)(单位：kg)的网箱为“低产网箱”，箱产量在区间[45,50]的网箱为“高产网箱”．(1)若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数；(2)按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数；(3)若在(2)抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别为m ，n ，求|m －n |>10的概率．19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB ⊥PA ，PB ＝PA ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝8，BC ＝6，CD ＝10，M 是PA 的中点．(1)求证：BM ∥平面PCD ；(2)求三棱锥B －CDM 的体积．20.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且|QF |＝2|PQ |.(1)求p 的值；(2)已知点T (t ，－2)为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为－83，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标．21.已知f (x )＝ln x －ax ＋1(a ∈R )．(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当a ＝2，且x ≥1时，f (x )≤e x －1－2恒成立．选考题22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty t x 22(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝8sin θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求|MN |.23.设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0.(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．大庆一中高三年级下学期第四次模拟考试文科数学（答案）一．选择题：CBDAB DCCAD AB二．填空题，13.-6 14.3 15.16.(1)(2)(4)17.解 (1) 由(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，令n ＝1,2,3，得到a 1＝23＋k ，a 2＝310＋k ，a 3＝421＋k ，∵{a n }是等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3，即320＋2k ＝23＋k ＋421＋k， 解得k ＝－1.由于(n ＋1)a n ＝2n 2＋n －1＝(2n －1)(n ＋1)，又∵n ＋1≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝anan ＋14n2＝(2n －1(2n ＋14n2＝4n2－14n2＝1＋4n2－11＝1＋(2n －1(2n ＋11＝212n ＋11＋1，得S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2131＋1＋2151＋1＋2171＋1＋…＋212n ＋11＋1＝212n ＋11＋n＝212n ＋11＋n ＝2n ＋1n ＋n ＝2n ＋12n2＋2n (n ∈N *)．18.解 (1)样本中的100个网箱的产量的平均数＝(27.5×0.024＋32.5×0.040＋37.5×0.064＋42.5×0.056＋47.5×0.016)×5＝37.5.(2)各组网箱数分别为：12,20,32,28,8，要在此100 箱中抽取25箱，则分层抽样各组应抽数3,5,8,7,2.(3)由(2)知，从低产网箱3箱和高产网箱2箱共5箱中要抽取2箱，设低产网箱中3箱编号为1,2,3，高产网箱中2箱编号为4,5，则一共有10种抽法，基本事件为： (1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，满足条件|m －n |>10的情况为从高、低产网箱中各取1箱，基本事件为(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6种，所以满足事件A ：|m －n |>10的概率为P (A )＝106＝53.19.(1)证明 取PD 中点N ，连接MN ，NC ，∵MN 为△PAD 的中位线，∴MN ∥AD ，且MN ＝21AD .又∵BC ∥AD ，且BC ＝21AD ，∴MN ∥BC ，且MN ＝BC ，则BMNC 为平行四边形，∴BM ∥NC ，又∵NC ⊂平面PCD ，MB ⊄平面PCD ，∴BM ∥平面PCD . (2)解 过M 作AB 的垂线，垂足为M ′，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，MM ′⊂平面PAB ，∴MM ′⊥平面ABCD .∴MM ′为三棱锥M －BCD 的高，∵AB ＝8，PA ＝PB ，∠BPA ＝90°，∴△PAB 边AB 上的高为4，∴MM ′＝2，过C 作CH ⊥AD 交AD 于点H ，则CH ＝AB ＝8，S △BCD ＝21×BC ×CH ＝21×6×8＝24，∴V B －CDM ＝V M －BCD ＝31S △BCD ×MM ′＝31×24×2＝16.20.解 (1)设Q (x 0,4)，由抛物线定义知|QF |＝x 0＋2p ，又|QF |＝2|PQ |，即2x 0＝x 0＋2p ，解得x 0＝2p ，将点Q ，4p 代入抛物线方程，解得p ＝4.(2)由(1)知，C 的方程为y 2＝8x ，所以点T 坐标为，－21， 设直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，点M 1，N 2，由y2＝8x ，x ＝my ＋n ，得y 2－8my －8n ＝0，Δ＝64m 2＋32n >0.所以y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8n ，所以k MT ＋k NT ＝21＋21＝y1－28＋y2－28＝y1y2－2(y1＋y2＋48(y1＋y2－32＝－8n －16m ＋464m －32＝－38，解得n ＝m －1，所以直线MN 的方程为x ＋1＝m (y ＋1)，恒过定点(－1，－1)．21.(1)解 ∵ f (x )＝ln x －ax ＋1，a ∈R ，∴f ′(x )＝x 1－a ＝x －ax ＋1， 当a ≤0时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间，当a >0时，增区间为a 1，减区间为，＋∞1.(2)证明 当x ∈[1，＋∞)时，由(1)可知当a ＝2时，f (x )在[1，＋∞)上单调递减， f (x )≤f (1)＝－1，再令G (x )＝e x －1－2，在x ∈[1，＋∞)上，G ′(x )＝e x －1>0，G (x )单调递增，所以G (x )≥G (1)＝－1，所以G (x )≥f (x )恒成立，当x ＝1时取等号，所以原不等式恒成立．22.解 (1)因为ρcos 2θ＝8sin θ，所以ρ2cos 2θ＝8ρsin θ，即x 2＝8y ，所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线．(2)直线l 过抛物线的焦点(0,2)，则直线参数方程可化为5(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2－2t －20＝0， 所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－20.所以|MN |＝|t 1－t 2|＝＝＝10.23.解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1即为|2x －3|＋5x ≥5x ＋1， ∴≥1，解得x ≥2或x ≤1.∴不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥2}．(2)由f (x )≤0，得＋5x ≤0，解得7x －a ≤0，或3x ＋a ≤0，，又a >0， ∴不等式的解集为3a ，由题意得－3a ＝－1，解得a ＝3.。
2019届黑龙江省大庆一中高三第四次模拟(最后一卷)英语试卷及答案
2019届大庆一中高三第四次模拟（最后一卷）英语试卷考试时间：2019年5月本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，共5页。
考试时间120分钟。
第I卷第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £ 19. 15.B. £ 9. 18.C. £ 9. 15.答案是 C。
1. What will James do tomorrow?A. Watch a TV program.B. Give a talk.C. Write a report.2. What can we say about the woman?A. She's generous.B. She's curious.C. She's helpful.3. When does the train leave?A. At 6:30.B. At 8:30.C. At 10:30.4. How does the woman go to work?A. By car.B. On foot.C. By bike.5. What is the probable relationship between the speakers?A. Classmates.B. Teacher and student.C. Doctor and patient.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
黑龙江省大庆实验中学2019届高三数学最后一次联考押题卷理(含解析)
黑龙江省大庆实验中学2019届高三数学最后一次联考押题卷 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合{}{}2|321,|320A x x B x x x =-<=-≥，则A B =I （ ）A. (]1,2B. 91,4⎛⎤⎥⎝⎦C. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. ()1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再根据集合交集的定义求解. 【详解】因为{}31,02A x x B x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，所以312A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭．故选C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，A∩B 可理解为：集合A 和集合B 中的所有相同的元素的集合. 一般步骤为：先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规则求解.2.复数z 满足22iz i-+=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，求出z 的坐标得答案． 【详解】∵()()2222222i i i z i i i-+--+===+-， ∴22z i =-，∴z 的共轭复数所对应的点的坐标为()2,2-，在第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.设,a b ∈R ，则“lg lg a b >”是“11a b<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性以及不等式性质证明充分性成立，举反例说明必要性不成立. 【详解】由lg lg a b ＞，则a ＞b ＞0，则11a b<成立，即充分性成立， 若11a b =-=，，则11a b <成立，但lg lg a b ＞不成立，即必要性不成立， 则“lg lg a b ＞”是“11a b<”的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题考查充要关系的判定、对数函数单调性以及不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A. 2 B.32C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90， 解得d=3．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（ ）B.43或2 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先根据双曲线方程求得渐近线的斜率，进而根据夹角是60°，求得ba的值，根据c 求得c ，从而离心率可得．【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，渐近线斜率是ba±，而夹角是60°， 因为两直线关于x 轴对称，所以和x 轴夹角是30°或60°，即0tan 303b a ==或0tan 60b a ==若b a =，即2213a b =， 222243c a b a =+=，22243c e a ==，3e =若223,3bb a a==， 222224,4c a b a e =+==，即2e =． 所以23e =，或2e =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了双曲线的性质，主要是离心率的求法，注意两直线的夹角问题时要注意考虑两个方面．6.函数()11xx f x e x -=++的部分图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】当x →-∞时，120,1111xx e x x -→=-→++，所以去掉A,B; 因为21(0)0,(1),(2)3f f e f e ===+，所以(2)(1)(1)(0)f f f f ->-，因此去掉C ，选D.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．7.已知平面向量,a b r r 满足2,1a b ==r r ，且()()432a b a b -+=r r r r g ，则向量,a b r r的夹角θ为（ ） A.6π B.3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】展开()()43a b a b -⋅+v v r r ，利用向量的数量积公式，解得1cos 2θ=-，进而求解θ的值.【详解】因为()()224343112?,?2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===v v v v v r r r r v已知，解得1a b ⋅=-vr ，由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-v v r v ，得1cos 2θ=-，所以23πθ=．故选D【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及向量的夹角，考查了运算求解能力；在解题时要注意两向量夹角的范围是[]0,π.8.某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率（ ） A.35B.45C.720D.1320【答案】D 【解析】 【分析】列举出中任取3个球的事件数为20，其中恰有3种颜色或1种颜色的事件数为7，则恰有两种颜色的事件数为13，利用古典概型概率公式求解即可.【详解】设2个红球编号为：1、2；3个白球编号为：,,A B C ；1个蓝球为Y , 任取3个球，可能有：12,12,12,12,1,1,1,1,1,1A B C Y AB AC AY BC BY CY ，2,2,2,2,2,2AB AC AY BC BY CY ， ,,,ABC ABY ACY BCY ，共20种，3种颜色的有：1,1,1,2,2,2AY BY CY AY BY CY ，共6种 只有1种颜色的有：ABC ，共1种， 所以，所求概率为207132020P -==.故选D. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 9.若()2221231112,ln ,1S dx S xdx S x dx x===-⎰⎰⎰，则123,,S S S 的大小关系为（ ）A. 132S S S <<B. 312S S S <<C. 321S S S <<D.231S S S <<【答案】D 【解析】 【分析】作出三个被积函数在区间()1,2上的图象，得到这三个被积函数的大小关系，再结合定积分的几何意义得出答案． 【详解】如下图所示，当12x <<时，2ln 1x x x<-<，由定积分的几何意义可得：()2221112ln 1xdx x dx dx x<-<⎰⎰⎰， 即231S S S <<， 故选：D ．【点睛】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于比较三个被积函数的大小关系，属于基础题．10.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为02cos72a =，2024a a-（ ）A. 2B. 1C.12D.14【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，利用同角三角函数基本关系式，诱导公式化简，即可求值得解．【详解】∵02cos72a =，∴2204cos 72a =，可得：22020444cos 724sin 72a -=-=， 2042sin72a -=，2000042cos722sin722sin1442sin36a a -===g ， 2000002cos54sin 3612sin 362sin 3624a a ===-． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（）567D. 22【答案】C【解析】【分析】由三视图还原几何体，采用补形法补成长方体，可知最长的棱与最短的棱，再求异面直线所成角的正切值.【详解】如图，5，2CD =,将四面体补成长方体，则3可知最长的棱为长方体的体对角线22AC =1BD =，BD 平行与CE ， 异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，因为BE CD 2,?7AE ===则 因为1,? BD CE ==且根据面面垂直和线面垂直的性质，可知CE AE ⊥ ,所以tan ACE ∠=7AECE=故选C.【点睛】本题综合考查了由三视图还原几何体，考查了求异面直线夹角，考查了面面垂直和线面垂直的性质，涉及了长方体的结构特征；把不规则的几何体补成规则几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算求解.12.已知函数()()ln 0,1xxf x a e x a a a =+->≠，对任意[]12,0,1x x ∈，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A. 21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ),ee ⎡+∞⎣C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.2,e e e ⎡⎤⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】先求导函数()f x '，经过分析a取值范围，可知() )f x 在[]0,1x ∈是单调递增的，则不等式恒成立就转化为函数在区间内()()max min 2f x f x a -≤-，进而解不等式，可得a 的取值范围.【详解】因为()ln xxf x a e x a =+-，所以()()ln ln 1ln xxxxf x a a e a a a e =+-'=-+．当1a >时，对任意的[]0,1x ∈，10,ln 0x a a -≥>，恒有()0f x '>；当01a <<时，10,ln 0xa a -≤<，恒有()0f x '>，所以()f x 在[]0,1x ∈是单调递增的． 那么对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立， 只要()()max min 2f x f x a -≤-，且2a ≥ ，()()max 1ln f x f a e a ==+-，()()min 0112f x f ==+=，所以2ln 2a a e a -≥+--，即ln ,ea e a e ≥≥．故选B.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式的恒成立问题，涉及了求函数的导函数，导数与函数的单调性的关系，函数的最值等知识; 根据绝对值的意义，和函数的单调性，将含绝对值的不等式恒成立转化为函数最大值和最小值之间的差，是解决本题的基本思路.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是______．【答案】32 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出含2x -的项，进而可得其系数.【详解】44214422rr r rr r r T C x C x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令422r -=-，得3r =，所以含2x -的项的系数为334232C ⋅= .故填:32.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，根据通项公式可求出对应项的系数.14.已知实数,x y 满足123321142y x y x y x ⎧≥-+⎪⎪≤--⎨⎪⎪≤+⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为______．【答案】-4 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数z 的最大值．【详解】作出不等式组123321142y x y x y x ⎧≥-+⎪⎪≤--⎨⎪⎪≤+⎩对应的平面区域，如阴影部分所示；平移直线3z x y =-，由图像可知当直线3z x y =-经过点B 时，直线3z x y =-的截距最小，此时z 最大．211233y x y x =--⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得()1,1B -，即()3114z =⨯--=-，所以z 的最大值为-4． 故答案为：-4．【点睛】本题考查了简单的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．15.已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()00g =，当0x ≥时，()()222x f x g x x x b -=+++（b 为常数），则()()11f g -+-=______．【答案】4- 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，先求的b 值，再代入x=1，求得()()114f g -=，进而求解()()11f g -+-的值.【详解】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知()00f =，已知()00g = ， 所以()()00020f g b -=+=，得1b =-，所以()()114f g -=，于是()()()()()()1111114f g f g f g ⎡⎤-+-=-+=--=-⎣⎦．【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间.16.在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积3V =，则CD =______．【答案】【解析】 【分析】设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，连接MN,可知球心O 在MN 上，连接CN,DN,OA,OD,设2CD x =，根据勾股定理，得方程，进而问题得解.【详解】设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，连接MN,由题目中已知条件可知，MN 分别为CD ，AB 的垂直平分线，故四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，连接CN,DN,OA,OD ，设四面体A BCD -的外接球半径为r ，由348233V r π==，得2r = 设2CD x =，在Rt OAN V 中，22211ON OA AN =-=-=， 在Rt ADN V 中，223DN AD AN -= 在Rt DMN V 中，2223MN DN DM x =-=-所以231OM MN ON x =-=-， 在Rt ODM V 中，222OM OD DM =-，由)222312x x -=-，解得2x =所以22CD =故填：22【点睛】本题考查了几何体的外接球的有关问题，关键是确定球心在几何体中的位置，根据已知条件，结合几何体的半径和表面积或体积公式求解.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足222sin 3cos ,2c B b C a c b =-=。
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长度最大时，
的取值范围是______．
三、解答题：共 70 分。写出相应的证明过程和演算步骤。第 17-21 题为必考题，第 22、23 题 为选考题。 17. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 इ2 ．
ݏ
（1）求 sinBsinC； （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．
C. ȁ 2
11. 已知向量 ൌ 2cos2ሼ 的性质的描述正确的是
， ൌ 1 sin2ሼ ，设函数 ሼ ൌ
D. ȁ
，则下列关于函数 इ ൌ ሼ
A.
关于直线
ሼ
ൌ
对称
12
B.
关于点
5 ȁ 对称
12
C. 周期为 2
D. इ ൌ ሼ 在 ȁ 上是增函数
12. 如图右所示点 F 是抛物线इ2 ൌ ሼ 的焦点，点 A、B 分别在抛物线इ2 ൌ ሼ 及
15. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，
B 两点， 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为______．
16. 正方体 इ
1 1इ1 1的棱长为 2，MN 是它的内切球的一条弦 我们把
球面上任意两点之间的线段称为球的弦 ，P 为正方体表面上的动点，当弦 MN 的
D. 2
. 已知条件 p： ሼ 1 2，条件 q：ሼ इ，且 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范
围是
A. इ 1
B. इ
C. इ 1
D. इ 1
. 等比数列 इ 中，इ1 ൌ 1， ൌ 2，则इ 与इ 的等比中项是
A.
B. 4
C. 1
D. 1
5. 若 इ
ȁ，ȁ
1，则
A. logइ log
选考题：共 1ȁ 分。任选一题作答，多做，按第一题计分。
22.
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
ሼൌ इൌ
ݏ
⸴（ ݏα为参数），以坐标原点为极点，
以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=2 2．
（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标．
圆ሼ2 इ2 ሼ 12 ൌ ȁ 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则
的
周长的取值范围是
A. 6,10
B. 8,12
C.6,8 D. 8,12
二、填空题：本题共 小题，每小题 5 分，共 2ȁ 分。
1 . 已知向量इ ൌ
，ൌ
2 ，且इ ，则 ൌ____________．
1 . 执行如右图程序框图，输出的 T 的值为_______________ ．
2 . 已知函数 f（x）=|2x+a|-|x-3|（a∈R）． （1）若 a=-1，求不等式 f（x）+1＞0 的解集； （2）已知 a＞0，若 f（x）+3a＞2 对于任意 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．
21. 已知函数 f（x）=lnx -12ax2+x（a∈R），函数 g（x）= -2x+3．
（Ⅰ）判断函数 F（x）=f（x）+12ag（x）的单调性；
（Ⅱ）若-2≤a≤ -1 时，对任意 x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立， 求实数 t 的最小值．
A. 2
B.
C. 2
D.
ሼ2 ȁ . 设不等式组 ሼ इ ȁ，表示的平面区域为 ，在区域 内任取一
ሼइ ȁ
点 ሼ इ ，则 P 点的坐标满足不等式ሼ2 इ2 2 的概率为
A.
B.
C.Βιβλιοθήκη 1 2D.1 2
1ȁ. 若函数 f（x）=x2ex -a 恰有三个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. 2
B. ȁ 2
B. log इ log
C. इ
6. 函数 ሼ ൌ ln ሼ2 2ሼ 的单调递增区间是
D. इ
A.
2
B.
1
C. 1
D.
7. 已知 1 ሼ 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A. 212
B. 211
C. 21ȁ
D. 2
. 某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
2ȁ. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥ DC，AD＝DC＝AP＝2， AB＝1，点 E 为棱 PC 的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC； （Ⅱ）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF⊥AC，求二面角 F-AB-P 的余弦值．
（3）在满足（2）的条件下，若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的 概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记 Y 为该居民用户 1 月份的用电费用，求 Y 的分布列和数学期望．
19. 已知圆 O 经过椭圆 C：इሼ22 इ22=1（a＞b＞0）的两个焦点以及两个顶点，且点（b，1इ）在椭 圆 C 上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若直线 l 与圆 O 相切，与椭圆 C 交于 M、N 两点，且|MN|= ，求直线 l 的倾斜角．
大庆一中高三年级下学期第四次模拟考试
数学试卷（理科）
一、选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ൌ ሼ ሼ 1 ， ൌ ሼ ሼ 1 ，则
A.
ൌ ሼ ሼ ȁ B.
ൌ इ C.
ൌ ሼ ሼ 1 D.
ൌ
2.
复数 ൌ
1 2 的虚部为
1
A. 1
B.
C. 1