2020高考数学(理)二轮专题复习讲义《六 第1讲 函数的图象与性质(小题)》

第1讲 函数的图象与性质(小题)热点一 函数的概念与表示 1.高考常考定义域易失分点：(1)若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f [g (x )]中，m ≤g (x )≤n ，从中解得x 的范围即为f [g (x )]的定义域；(2)若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 确定的g (x )的范围即为f (x )的定义域. 2.高考常考分段函数易失分点：(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化. 例1 (1)(2019·宣城联考)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( )A.(－1,3]B.(－1,0)∪(0,3]C.[－1,3]D.[－1,0)∪(0,3]答案 B解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得x ∈(－1,0)∪(0,3].(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)≥2的x 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，∴当x ≤0时，x －1≤－1，f (x )＋f (x －1)＝2x ＋1＋2(x －1)＋1＝4x ≥2，无解；当⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －1≤0，即0<x ≤1时， f (x )＋f (x －1)＝4x ＋2(x －1)＋1＝4x ＋2x －1≥2，得12≤x ≤1；当x －1>0，即x >1时，f (x )＋f (x －1)＝4x ＋4x －1≥2，得x >1. 综上，x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.跟踪演练1 (1)(2019·黄冈调研)已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2,0)，则f (2x －1)的定义域为( )A.(－1,0)B.⎝⎛⎭⎫－12，12C.(0,1)D.⎝⎛⎭⎫－12，0 答案 C解析 ∵函数f (x ＋1)的定义域为(－2,0)， 即－2<x <0，∴－1<x ＋1<1，则f (x )的定义域为(－1,1)， 由－1<2x －1<1，得0<x <1. ∴f (2x －1)的定义域为(0,1).(2)(2019·内江、眉山等六市联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)等于( )A.112B.132C.152 D.10 答案 B解析 依题意f (－3)＋f (log 23)＝log 24＋22log 312－＝2＋29log 22＝2＋92＝132.热点二 函数的性质及应用 高考常考函数四个性质的应用：(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f (x )＝f (|x |)； (2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题. 例2 (1)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 019的值为( )A.1B.2C.22 019D.32 019 答案 A解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，令g (x )＝sin πx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，(M ＋N －1)2 019＝1.(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (2 018)＋f (－2 019)＝________. 答案 1－e解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称， 又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数，因为x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (2 018)＋f (－2 019)＝f (0)－f (2 019) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.跟踪演练2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0≤x <1，2－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m 的最大值为( ) A.－1 B.－12C.－13D.13答案 C解析 函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，函数为减函数，所以当x <0时，函数为增函数.若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，所以2(1＋m )x ≤(1＋m )(1－m ).当m ＋1>0，即m >－1时，x ≤1－m 2，所以m ＋1≤1－m 2，解得m ≤－13，所以－1<m ≤－13；当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式成立；当m ＋1<0，即m <－1时，x ≥1－m 2，所以m ≥1－m 2，m ≥13，与m <－1矛盾，此时无解.故－1≤m ≤－13，m 的最大值为－13.(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A.－50 B.0 C.2 D.50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1).∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数. 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.热点三 函数的图象及应用 高考常考函数图象问题的注意点：(1)图象平移与整体放缩不改变图象的对称性，求解较复杂函数图象的对称点或对称轴时可先平移；(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，通常用来解决求最值、方程的根、交点的个数等问题.注意求解两个函数图象在什么区间满足交点个数多少的问题，可以先画出已知函数的图象，再观测结果.例3 (1)(2019·全国Ⅲ)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6,6]的图象大致为( )答案 B解析 因为f (x )＝2x 32x ＋2－x ，所以f (－x )＝－2x 32－x ＋2x ＝－f (x )，且x ∈[－6,6]，所以函数y ＝2x 32x ＋2－x 为奇函数，排除C ；当x >0时，f (x )＝2x 32x ＋2－x >0恒成立，排除D ；因为f (4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A ，故选B. (2)(2019·淄博诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若存在x 0∈R 使得f (x 0)≤ax 0－1，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，＋∞)B.[－3,0]C.(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.(－∞，－3]∪(0，＋∞)答案 D解析 根据题意，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，其图象如图，直线y ＝ax －1恒过定点(0，－1)， 若存在x 0∈R 使得f (x 0)≤ax 0－1，则函数f (x )的图象在直线y ＝ax －1下方有图象或与直线有交点， 当a ＝0时，f (x )与y ＝ax －1图象无交点，不符合题意；当a >0时，直线y ＝ax －1经过第一、三、四象限，与函数f (x )的图象必有交点，符合题意； 当a <0时，直线y ＝ax －1经过第二、三、四象限，若直线y ＝ax －1与f (x )有交点，必然相交于第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－x ，y ＝ax －1，即ax －1＝x 2－x ，变形可得x 2－(a ＋1)x ＋1＝0， 令Δ＝0，解得a ＝－3或1(舍)， 则有a ≤－3，综上可得，a 的取值范围为(－∞，－3]∪(0，＋∞).跟踪演练3 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x ＋1的图象大致为( )答案 B解析 由于函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除A.又f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln －x －1－x ＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C. f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎫ln 13＝－sin(ln 3)<0， 排除D.(2)(2019·沧州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln |x |，x ∈(－∞，0)，－6x 2＋20x －13，x ∈[0，2]，6x ，x ∈(2，＋∞)，g (x )＝ax －2(a ∈R )满足：①当x <0时，方程f (x )＝g (x )无解；②当x >0时，至少存在一个整数x 0使f (x 0)≥g (x 0).则实数a 的取值范围为________. 答案 e －3<a ≤3解析 绘制函数f (x )的图象如图所示，函数g (x )恒过点(0，－2)， ①当x <0时，方程f (x )＝g (x )无解，考查临界情况， 当x <0时，f (x )＝－ln(－x )，f ′(x )＝－1－x ·(－1)＝－1x ，设f (x )与g (x )切点坐标为(x 0，－ln(－x 0))，切线斜率为k ＝－1x 0，故切线方程为y ＋ln(－x 0)＝－1x 0(x －x 0)，切线过点(0，－2)，则－2＋ln(－x 0)＝－1x 0·(－x 0)＝1，解得x 0＝－e 3，故切线的斜率k ＝－⎝⎛⎭⎫1－e 3＝e －3，据此可得a >e －3.②当x >0时，x ＝1时，－6x 2＋20x －13＝1，点(0，－2)，(1,1)两点连线的斜率k ＝－2－10－1＝3，x ＝2时，－6x 2＋20x －13＝3，6x ＝3，点(0，－2)，(2,3)两点连线的斜率k ＝3＋22－0＝52，据此可得a ≤3，综上可得，实数a 的取值范围为e －3<a ≤3.真题体验1.(2019·全国Ⅰ，理，5)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]上的图象大致为( )答案 D解析 ∵f (－x )＝sin (－x )－x cos (－x )＋(－x )2＝－sin x ＋xcos x ＋x 2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ；∵f (π)＝sin π＋πcos π＋π2＝π－1＋π2>0，∴排除C ；∵f (1)＝sin 1＋1cos 1＋1，且sin 1>cos 1，∴f (1)>1，∴排除B ，故选D.2.(2019·全国Ⅲ，理，11)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A.f ⎝⎛⎭⎫log 314>322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭B.f ⎝⎛⎭⎫log 314>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>322f -⎛⎫⎪⎝⎭C.322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>f ⎝⎛⎭⎫log 314 D.232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>f ⎝⎛⎭⎫log 314 答案 C解析 根据函数f (x )为偶函数可知，f ⎝⎛⎭⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0<322-<232-<20<log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>f ⎝⎛⎭⎫log 314. 3.(2019·全国Ⅱ，理，14)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝________. 答案 －3解析 当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax.因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln 2＝⎝⎛⎭⎫12a＝8，所以a ＝－3.押题预测1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(8－x )，x ≤5，f (x －5)，x >5，则f (2 019)等于( )A.2B.log 26C.log 27D.3 答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(8－x )，x ≤5，f (x －5)，x >5，∴f (2 019)＝f (4)＝log 24＝2.2.已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，∴f (x )的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞).令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1，当－1<x <0时，g ′(x )>0；当x >0时，g ′(x )<0.∴g (x )在区间(－1,0)上为增函数，在区间(0，＋∞)上为减函数， 又f (x )＝1g (x )，∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合. 方法二 取特殊值，用排除法求解， f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎝⎛⎭⎫－12＝1ln 12＋12＝1ln e 2<0， 排除C ，D ，故选B.3.设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A.|x ＋4| B.|2－x | C.2＋|x ＋1| D.3－|x ＋1|答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时， x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝3＋(x ＋1)； 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]， f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－(x ＋1)，故选D.A 组 专题通关1.设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为( ) A.(1,2] B.(2,4] C.[1,2) D.[2,4) 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x －1>0，解得1<x ≤2，所以f (x )的定义域为(1,2]， 故1<x2≤2，即2<x ≤4.2.(2019·汉中联考)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上递减的函数是( ) A.y ＝tan x B.y ＝x －3 C.y ＝cos x D.y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |答案 B解析 选项A ：y ＝tan x 在(0,1)上是增函数，故排除； 选项B ：y ＝x －3的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足f (－x )＝－f (x )，为奇函数，同时y＝x－3是幂函数，在(0,1)上是减函数，所以符合题意，选项B 正确；选项C ：根据奇偶性定义，可得到y ＝cos x 是定义域上的偶函数，故排除； 选项D ：根据奇偶性定义，可得到y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |是定义域上的偶函数，故排除.3.如图①，在矩形MNPO 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →O →M 方向运动至点M 处停止.设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，若y 关于x 的函数图象如图②所示，则当x ＝9时，点R 应运动到点( )A.N 处B.P 处C.O 处D.M 处 答案 C解析 在矩形MNPO 中，动点R 沿N →P 方向运动时，△MNR 的底边MN 保持不变，而高NR 随着x 的增加而增加，因此这一阶段△MNR 的面积y 也随x 的增加而增加，其图象为图②中0～4这一段；动点R 沿P →O 方向运动时，△MNR 的底边MN 保持不变，高PN 也保持不变，因此这一阶段△MNR 的面积y 不随x 的改变而改变，其图象为图②中4～9这一段；动点R 沿O →M 方向运动时，△MNR 的底边MN 保持不变，而高MR 随着x 的增加而减小，因此这一阶段△MNR 的面积y 随x 的增加而减小，其图象为图②中9～13这一段.根据以上分析，当x ＝9时，点R 应运动到点O 处.4.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A.[2,3]B.[2，＋∞)C.[1,3]D.[1，＋∞) 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.5.(2019·内江、眉山等六市联考)若f (x )是R 上的奇函数，且x 1，x 2∈R ，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2， 则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立，若f (x )＝0，且满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时满足f (x 1)＝f (x 2)＝0， 此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立，故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件.6.(2019·甘肃、青海、宁夏联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2＋a ，x ≤1，12log (x ＋1)，x >1有最大值，则a 的取值范围为( ) A.(－5，＋∞) B.[－5，＋∞) C.(－∞，－5) D.(－∞，－5]答案 B解析 由题意知f (x )＝2x ＋2＋a ，x ≤1时单调递增， 故f (x )≤f (1)＝4＋a ，f (x )＝12log (x ＋1)，x >1时单调递减，故f (x )<f (1)＝－1，因为函数存在最大值，所以4＋a ≥－1，解得a ≥－5.7.(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋x x 2＋1＋1，则f (x )的最大值与最小值的和为( )A.0B.1C.2D.4 答案 C解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋x x 2＋1＋1＝sin 2x ＋xx 2＋1＋1， 易知y ＝sin 2x ，y ＝xx 2＋1都是奇函数， 则可设g (x )＝f (x )－1＝sin 2x ＋xx 2＋1，可得g (x )为奇函数，即g (x )关于点(0,0)对称， 所以可知f (x )＝g (x )＋1关于点(0,1)对称， 所以f (x )的最大值和最小值也关于点(0,1)对称， 因此它们的和为2.8.(2019·福建适应性练习)下列四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A.④①②③B.①④②③C.③④②①D.①④③②答案 B解析 ①y ＝x sin x 为偶函数，所以对应第一个图；②y ＝x cos x 为奇函数，且x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2时函数值为负，所以对应第三个图； ③y ＝x |cos x |为奇函数，且x >0时函数值恒非负，所以对应第四个图； ④y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，所以对应第二个图.9.已知函数f (x )＝1－2x 1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立的是( ) A.b －a <2 B.a ＋2b >2 C.b －a >2 D.a ＋2b <2答案 C解析 由题意得f (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x2x ＋1＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数. 又f (x )＝－2x －11＋2x ＝－(2x ＋1)－21＋2x ＝－1＋21＋2x ，故函数f (x )在R 上单调递减. ∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0， ∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)， ∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选C.10.函数y ＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x 的部分图象大致为( )答案 A解析 设f (x )＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x ，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋ln|x |≠0，|x |>0，得x ≠±1e 且x ≠0，则函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，－1e ∪⎝⎛⎭⎫－1e ，0∪⎝⎛⎭⎫0，1e ∪⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.∵f (－x )＝1－ln|－x |1＋ln|－x |·sin(－x )＝－1－ln|x |1＋ln|x |·sin x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，排除D. 又1>1e ，且f (1)＝sin 1>0，故可排除B.0<1e 2<1e ，且f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1－ln ⎪⎪⎪⎪1e 21＋ln ⎪⎪⎪⎪1e 2·sin 1e 2＝1－(－2)1－2·sin 1e 2＝－3·sin 1e 2<0，故可排除C.故选A.11.(2019·广东省六校联考)已知f (x )＝log a (a －x ＋1)＋bx (a >0，a ≠1)是偶函数，则一定有( ) A.b ＝12且f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a B.b ＝－12且f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1a C.b ＝12且f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a >f ⎝⎛⎭⎫1b D.b ＝－12且f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a <f ⎝⎛⎭⎫1b 答案 A解析 ∵f (x )＝log a (a －x ＋1)＋bx (a >0，a ≠1)是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即log a (a －x ＋1)＋bx ＝log a (a x ＋1)－bx ， ∴log a (a x ＋1)－bx ＝log a (a x ＋1)＋(b －1)x ， ∴－b ＝b －1，b ＝12，∴a ＋1a >2＝1b，∴f (x )＝log a (a －x ＋1)＋12x ，f ′(x )＝－a －x ·ln a (a －x ＋1)ln a ＋12＝a x －12(a x ＋1)， 若0<a <1，则a <1a，当x >0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a ，f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a <f ⎝⎛⎭⎫1b ，若a >1，则a >1a，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a ，f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a >f ⎝⎛⎭⎫1b . 综上，一定有b ＝12且f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a . 12.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－1<x <3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x )的周期为2， 又f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称.函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|的图象关于直线x ＝1对称，作出f (x )在[－1,3]上的图象及g (x )的图象可得四个交点的横坐标之和为2×2＝4. 13.函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________. 答案 (4，＋∞)解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8(x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞))，则y ＝ln t 为增函数， 要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间. ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞).14.(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.15.(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是____. 答案 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论. 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1， 解得x >－14，∴－14<x ≤0. 当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立. 当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立. 综上可知，x >－14. 16.已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫14，1解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立， 即当x ∈⎝⎛⎦⎤0，22时， 函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方，由图(图略)知0<a <1且2log a22≥12， 解得14≤a <1. B 组 能力提高17.(2019·焦作模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，a 2x －7a ＋14，x >1，若∃x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A.[2,3]∪(－∞，－5]B.(－∞，2)∪(3,5)C.[2,3]D.[5，＋∞) 答案 B解析 当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤1，14，x >1， 此时存在x 1，x 2∈[－1,1]满足条件.若a ≠0，则当x >1时，f (x )为增函数，且f (x )>a 2－7a ＋14，当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋ax ＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24， 对称轴为x ＝a 2， 若a 2<1，即a <2时，满足条件， 若a 2≥1，即a ≥2时，函数在(－∞，1]上单调递增， 要使条件成立，则f (x )在(－∞，1]上的最大值f (1)＝－1＋a >a 2－7a ＋14，即a 2－8a ＋15<0，即3<a <5，∵a ≥2，∴3<a <5，综上3<a <5或a <2.18.(2018·天津)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤18，2解析 如图所示，若对任意x ∈[－3，＋∞)，要使函数y ＝f (x )的图象恒在y ＝|x |图象的下方，所以当x >0时，直线y ＝x 与y ＝－x 2＋2x －2a 相切或相离，所以x ＝－x 2＋2x －2a 有两个相等实根或无实根，即对于方程x 2－x ＋2a ＝0，Δ＝(－1)2－4×2a ≤0，解得a ≥18， 当x ≤0时，有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≤3，f (0)≤0，解得a ≤2. 综上，18≤a ≤2.。