第三讲：绝对值
第三讲 绝对值(解析版)
第三讲绝对值【课程解读】————小学初中课程解读————初中课程【知识衔接】————小学知识回顾————一、整数：整数包括正整数、负整数和0.二、分数：1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
学-科网把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2.分数的分类按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数三、百分数1、百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
2、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
3、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
四、小数1.小数是分数的一种特殊形式，但不能说小数就是分数.2.小数的分类小数包括有限小数和无限小数，无限小数有包括无限循环小数和无限不循环小数.注：分数又可分为正分数和负分数，小数也可分为正小数和负小数.————初中知识链接————（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
注：这里可以是正数，也可以是负数和0.（2）绝对值的性质：1.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。
当是正数时，a =a ；当是负数时，a =-a ；当是0时，a =0.3.互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）有理数的比较大小。
1.在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2. 正数大于0，也大于负数，0大于负数。
3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
七年级上册数学培优讲义(绝对值)第三讲
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算.运算符号是“”.求一个数的绝对值.就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性.取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值.如：5-符号是负号.绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数.绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0.那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=.则0a =.0b =.0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数.也不小于这个数的相反数.即a a ≥.且a a ≥-；（2）若a b =.则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上.表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上.表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．绝对值【经典例题1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A、±2B、2C、-2D、4【题目难度】★【解题思路】此题要全面考虑.原点两侧各有一个点到原点的距离为2.即表示2和-2的点．【题目答案】根据题意.知到数轴原点的距离是2的点表示的数.即绝对值是2的数.应是±2．故选A．【考点难点】利用数轴可以直观地求出两点的距离或解决一些与距离有关的问题.体现了数形结合的数学思想．【经典例题2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等.那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数.也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A、②④⑤⑥B、③⑤C、③④⑤D、③⑤⑥【题目难度】★★【解题思路】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断．【题目答案】①0是有理数.|0|=0.故本小题错误；②互为相反数的两个数的绝对值相等.故本小题错误；③互为相反数的两个数的绝对值相等.故本小题正确；④有绝对值最小的有理数.故本小题错误；⑤由于数轴上的点和实数是一一对应的.所以所有的有理数都可以用数轴上的点来表示.故本小题正确；⑥只有符号不同的两个数互为相反数.故本小题错误．所以③⑤正确．故选B．【考点难点】本题考查的是有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点.熟知以上知识是解答此题的关键．【经典例题3】如果a的绝对值是2.那么a是（）A、2B、-2C、±2D、【题目难度】★【解题思路】根据题意可知：绝对值等于2的数应该是±2．【题目答案】2的绝对值是2.-2的绝对值也是2.所以a的值应该是±2．故选C．【考点难点】本题考查了绝对值的概念.学生要熟练掌握．【经典例题4】若a＜0.则4a+7|a|等于（）A、11aB、-11aC、-3aD、3a【题目难度】★★【解题思路】：本题考查有理数的绝对值问题.如果用字母a表示有理数.则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时.a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时.a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时.a的绝对值是零【题目答案】：解：∵a＜0.∴|a|=-a.4a+7|a|=4a+7|-a|=4a-7a=-3a．选C．【经典例题5】一个数与这个数的绝对值相等.那么这个数是（）A、1.0B、正数C、非正数D、非负数【解题思路】：根据绝对值的性质进行解答即可．【题目答案】解：因为一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0.所以一个数与这个数的绝对值相等.那么这个数是非负数．故选D ．【经典例题6】已知|x|=5.|y|=2.且xy ＞0.则x-y 的值等于（ ）A 、7或-7B 、7或3C 、3或-3D 、-7或-3【题目难度】★★【解题思路】先根据绝对值的定义求出x 、y 的值.再由xy ＞0可知x 、y 同号.根据此条件求出x 、y 的对应值即可． 【题目答案】解：∵|x|=5.|y|=2.∴x=±5.y=±2.∵xy ＞0.∴当x=5时.y=2.此时x-y=5-2=3；当x=-5时.y=-2.此时x-y=-5+2=-3．故选C ．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及有理数的加减法.熟知绝对值的性质是解答此题的关键．【经典例题7】若1-=x x.则x 是（ ）A 、正数B 、负数C 、非负数D 、非正数【解题思路】本题作为选择题可用排除法进行解答.由于是分式.所以x≠0.故可排除C、D；再根据x的取值范围进行讨论即可．【题目答案】：解：∵是分式.∴x≠0.∴可排除C、D.∵当x＞0时.原式可化为=1.故A选项错误．故选B．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【经典例题8】已知：a＞0.b＜0.|a|＜|b|＜1.那么以下判断正确的是（）A、1-b＞-b＞1+a＞aD、1-b＞1+a＞-b＞aC、1+a＞1-b＞a＞-bB、1+a＞a＞1-b＞-b【题目难度】★★★【解题思路】根据绝对值的定义.可知a＞0.b＜0时.|a|=a.|b|=-b.代入|a|＜|b|＜1.得a＜-b ＜1.由不等式的性质得-b＞a.则1-b＞1+a.又1+a＞1.1＞-b＞a.进而得出结果．【题目答案】∵a＞0.∴|a|=a；∵b＜0.∴|b|=-b；又∵|a|＜|b|＜1.∴a＜-b＜1；∴1-b＞1+a；而1+a＞1.∴1-b＞1+a＞-b＞a．故选D．【考点难点】本题主要考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．【经典例题9】已知a、b互为相反数.且|a-b|=6.则|b-1|的值为（）A、2B、2或3C、4D、2或4【题目难度】★★【解题思路】根据互为相反数的两数和为0.又因为|a-b|=6.可求得b的值.代入即可求得结果判定正确选项．【题目答案】∵a、b互为相反数.∴a+b=0.∵|a-b|=6.∴b=±3.∴|b-1|=2或4．故选D．【考点难点】此题把相反数和绝对值的运算结合求解．先根据相反数求出b的值.再确定绝对值符号中代数式的正负.去绝对值符号．【经典例题10】a＜0.ab＜0.计算|b-a+1|-|a-b-5|.结果为（）A、6B、-4C、-2a+2b+6D、2a-2b-6【题目难度】★★【解题思路】：根据已知条件先去掉绝对值即可求解．【题目答案】解：∵a＜0.ab＜0.∴b-a+1＞0.a-b-5＜0.∴|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4．故选A．【经典例题11】若|x+y|=y-x.则有（）A、y＞0.x＜0B、y＜0.x＞0C、y＜0.x＜0D、x=0.y≥0或y=0.x≤0【题目难度】★★★★【解题思路】根据绝对值的定义.当x+y≥0时.|x+y|=x+y.当x+y≤0时.|x+y|=-x-y．从中得出正确答案．：【题目答案】解：∵|x+y|=y-x.又当x+y≥0时.|x+y|=x+y.可得x=0.y≥0或者y=0.x≤0又当x+y≤0时.|x+y|=-x-y.可得y=0.x≤0或x=0.y≥0∴x=0.y≥0或y=0.x≤0选D．【考点难点】此题主要考查了绝对值的性质.能够根据已知条件正确地判断出x.y的值是解答此题的关键．【经典例题12】已知：x＜0＜z.xy＞0.且|y|＞|z|＞|x|.那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A、是正数B、是负数C、是零D、不能确定符号【题目难度】★★★★【解题思路】：先根据已知条件确定x、y、z的符号及其绝对值的大小.再画出数轴确定出各点在数轴上的位置.根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值.使原式得到化简．【题目答案】：解：由题意可知.x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）=0【经典例题13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身.这个数不是负数；（3）若|m|＞m.则m＜0；（4）若|a|＞|b|.则a＞b.其中正确的有（）A、（1）（2）（3）B、（1）（2）（4）C、（1）（3）（4）D、（2）（3）（4）【题目难度】★★★【解题思路】：分别根据绝对值的性质、相反数的定义进行解答．【题目答案】解：（1）正确.符合绝对值的性质；（2）正确.符合绝对值的性质；（3）正确.符合绝对值的性质；（4）错误.例如a=-5.b=2时.不成立．故选A．（1）相反数的定义：只有符号不同的两个数.叫互为相反数；（2）绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．【经典例题14】已知a.b.c为三个有理数.它们在数轴上的对应位置如图所示.则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _________【题目难度】★★★【解题思路】：根据图示.可知有理数a.b.c的取值范围b＞1＞a＞0＞c＞-1.然后根据它们的取值范围去绝对值并求|c-b|-|b-a|-|a-c|的值．【题目答案】：解：根据图示知：b＞1＞a＞0＞c＞-1.∴|c-b|-|b-a|-|a-c|=-c+b-b+a-a+c=0故答案是0．【考点难点】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较．【经典例题15】若x＜-2.则|1-|1+x||=______若|a|=-a.则|a-1|-|a-2|= ________【题目难度】★★★【解题思路】根据已知x＜-2.则可知1+x＜0.x+2＜0；再根据绝对值的定义|1-|1+x||逐步去掉绝对值可转化为-2-x根据已知|a|=-a与绝对值的定义.那么a≤0.则|a-1|-|a-2|可去掉绝对值后【题目答案】∵x＜-2.∴1+x＜0.x+2＜0.则|1-|1+x||=|1-[-（1+x）]|=|2+x|=-2-x；∵|a|=-a.∴a≤0.∴a-1＜0.a-2＜0..则|a-1|-|a-2|=1-a-（2-a）.=1-a-2+a.=-1．故答案为：-2-x.-1．【考点难点】此题主要考查了绝对值的性质.能够根据已知条件正确地判断出1+x＜0、x+2＜0、a≤0进而得出a-1＜0、a-2＜0.这些是解答此题的关键.【经典例题16】()2120a b++-=.分别求a b，的值【题目难度】★★★【解题思路】根据平方和绝对值的非负性解决.【题目答案】()02,012≥-≥+ba可得02,01=-=+ba；所以2,1=-=ba所以|x+1|+|x-5|+4的最小值是10．故答案为：10．【考点难点】本题主要考查了绝对值的定义．如何去掉绝对值是解决本题的关键.因而采用了对x的取值讨论.去掉绝对值.进而确定式子的最小值．【经典例题18】计算=【题目难度】★★★★【解题思路】根据绝对值的定义.去掉绝对值符合.化简求值．【题目答案】= ===故答案为【考点难点】解决本题的关键是去掉绝对值符号后.部分数值恰好是互为相反数.其和等于0．【经典例题19】若|a|+a=0.|ab|=ab.|c|-c=0.化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________ 【题目难度】★★★★【解题思路】根据绝对值的性质进行化简：正数的绝对值是它本身.负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．【题目答案】∵|a|+a=0.|ab|=ab.|c|-c=0.∴a≤0.b≤0.c≥0.∴a+b≤0.c-b≥0.a-c≤0.∴原式=-b+a+b-c+b-a+c=b．故答案为b．【考点难点】此题考查了绝对值的性质.同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号．【经典例题20】已知：abc≠0.且M= .当a.b.c取不同值时.M有 ____种不同可能．当a、b、c都是正数时.M= ______；当a、b、c中有一个负数时.则M= ________；当a、b、c中有2个负数时.则M= ________；当a、b、c都是负数时.M=__________ ．【题目难度】★★★★【解题思路】：根据abc≠0.可以知道.a、b、c一定不可能是0.可以分三个中都是正数.只有一个负数.有2个负数.3个都是负数.4种情况进行讨论即可．【题目答案】当a、b、c中都是正数时.M=1+1+1=3；当a、b、c中有一个负数时.不妨设a是负数.则M=-1+1+1=1；当a、b、c中有2个负数时.不妨设a.b是负数.则M=-1-1+1=-1；当a、b、c都是负数时.M=-1-1-1=-3；故M有4种不同结果．课堂检测练习1. 若a的绝对值是.则a的值是（）A、2B、-2C、D、【题目难度】★【解题思路】：根据绝对值的意义可知：表示数a的点与原点的距离为.这样的点有两个.分别在原点的左右两侧．求出即可．【题目答案】解：∵|a|= .∴a= ．故选D．【考点难点】此题注意考查绝对值的意义.应多让学生借助数轴.直观的观察、总结、归纳结论．2. 若|x|=-x.则x一定是（）A、负数 B、负数或零 C、零 D、正数【题目难度】★【解题思路】：根据绝对值的性质进行解答即可．【题目答案】：解：A、错误.例如x=0时不成立；B、正确.符合绝对值的性质；C、错误.x＜0时原式仍成立；D、错误.例如|5|≠-5．故选B．【考点难点】本题考查的是绝对的性质.根据已知条件判断出x的取值范围是解答此题的关键．练习2. 如果|x-1|=1-x.那么（）A、x＜1B、x＞1C、x≤1D、x≥1【题目难度】★【解题思路】：根据|x-1|=1-x可确定x-1的符号.再根据不等式的性质解答即可．【题目答案】：解：∵|x-1|=1-x.∴x-1≤0.∴x≤1．故选C．【考点难点】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．在确定x与1的大小关系时要利用不等式的相关性质．练习3. 若|a-3|=2.则a+3的值为（）A、5 B、8 C、5或1 D、8或4 【题目难度】★★【解题思路】：先根据绝对值的性质去掉绝对值符号.求出a的值.再把a的值代入a+3进行计算即可．【题目答案】：解：当a-3≥0.即a≥3时.原不等式可化为a-3=2.a=5.故a+3=5+3=8；当a-3＜0.即a＜3时.原不等式可化为-a+3=2.a=1.故a+3=1+3=4．故a+3=8或4．故选D．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.解答此题题目是要注意分类讨论.不要漏解．练习4.若x＜2.则|x-2|+|2+x|=________________【题目难度】★★【解题思路】：已知x＜2.可得x-2＜0.先分类讨论.然后根据绝对值的性质进行求解．【题目答案】：解：∵x＜2.∴x-2＜0.①若-2≤x＜2.∴|x-2|+|2+x|=-（x-2）+2+x=4；②x＜-2.∴x+2＜0.∴|x-2|+|2+x|=2-x-2-x=-2x．故答案为：4或-2x．【考点难点】此题主要考查绝对值的性质.当x＞0时.|x|=x；当x≤0时.|x|=-x.解题的关键是如何根据已知条件.去掉绝对值.还考查了分类讨论的思想.是一道好题．练习5. 绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________【题目难度】★★【解题思路】根据绝对值的概念.即数轴上表示数的点到原点的距离叫这个数的绝对值.结合数轴.知绝对值小于6的所有整数分别是±1.±2.±3.±4.±5.0.进一步求得其和与积．【题目答案】绝对值小于6的所有整数分别是±1.±2.±3.±4.±5.0．则它们的和是0.积是0．故答案为0.0．【考点难点】此题考查了绝对值的意义以及有理数的加法和乘法运算．互为相反数的两个数的和是0；几个数相乘.若其中一个因数为0.则积为0．练习6.如图所示.a、b是有理数.则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为 __________【题目难度】★★★【解题思路】先根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围.再根据绝对值的性质进行解答即可．【题目答案】∵由数轴上a、b两点的位置可知.-1＜a＜0.b＞1.∴a+b＞0.b-a＞0.∴原式=-a+b+a+b+b-a=3b-a．故答案为：3b-a．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点.能根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．练习7. 已知|x|=2.|y|=3.且xy＜0.则x+y的值为 _________【题目难度】★★★【解题思路】若|x|=2.|y|=3.则x=±2.y=±3；又有xy＜0.则xy异号；故x+y=±1．∴x=±2.y=±3.∵xy＜0.∴xy符号相反.①x=2.y=-3时.x+y=-1；②x=-3.y=3时.x+y=1．故答案为：±1．【考点难点】本题考查绝对值的化简.正数的绝对值是其本身.负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．课后练习练习1.-19的绝对值是________【题目难度】★【解题思路】直接根据绝对值的性质进行解答即可．∴|-19|=19．故答案为：19．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.用到的知识点为：负数的绝对值是它的相反数．练习2. 如果|-a|=-a.则a的取值范围是（A、a＞OB、a≥OC、a≤OD、a＜O【题目难度】★【解题思路】：根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．若|-a|=-a.则可求得a的取值范围．注意0的相反数是0．【题目答案】：解：因为一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0或相反数.所以如果|a|=-a.那么a的取值范围是a≤0．故选C．【考点难点】此题考查的知识点是绝对值.关键明确绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．练习3. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．【题目难度】★★【解题思路】先根据题意列出不等式组.求出x的取值范围.在x的取值范围内找出符合条件的x的整数值即可．【题目答案】由题意得.解得1＜x≤5或-5≤x＜-1.所以x的值可以是2、3、4、5或-2、-3、-4、-5共8个．故答案为：8．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及一元一次不等式组的特殊解.根据题意列出不等式组是解答此题的关键．练习4.绝对值最小的有理数是 _________．绝对值等于本身的数是________．【题目难度】★【解题思路】根据绝对值的定义及性质来解答．【题目答案】绝对值等于本身的数是非负数．绝对值最小的有理数是0．故答案为：0、非负数．【考点难点】本题考查了绝对值的定义．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．练习5. 当x __________时.|2-x|=x-2．【题目难度】★★【解题思路】因为x-2和2-x互为相反数.即一个数的绝对值等于它的相反数.所以2-x≤0.即可得到答案．【题目答案】∵x-2=-（2-x）..|2-x|=x-2.∴2-x≤0.解得：x≥2．故答案为：x≥2．【考点难点】本题考查对绝对值和相反数的理解和掌握.知一个数的绝对值等于它的相反数.这个数是负数是解此题的关键．练习6.如图.有理数x.y 在数轴上的位置如图.化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________【题目难度】★★★【解题思路】依据x.y 在数轴上的位置比较大小.在此基础上化简给出的式子．【题目答案】根据数轴图可知：x ＞0.y ＜-1.∴|y-x|=x-y.|y+1|=-1-y.|x|=x ；∴|y-x|-3|y+1|-|x|=x-y+3（1+y ）-x=2y+3．【考点难点】考查绝对值的运算.先确定绝对值符号中代数式的正负再去绝对值符号．借助数轴化简含有绝对值的式子.比较有关数的大小有直观、简捷.举重若轻的优势．练习7. 若3230x y -++=.则y x的值是多少？ 【题目难度】★★★【解题思路】根据绝对值的非负性来解决.【题目答案】由03,02≥+≥-y x 可得：03,02=+=-y x 所以3,2-==y x 所以y x =23-。
第3讲：数轴与绝对值
第三讲：数轴与绝对值模块一 绝对值及其性质：观察图形，探究知识：在图中，我们能得到下面的信息：1. 大象在数轴上表示的数为___________，这个数到原点的距离为____________。
2. 两只小狗在数轴上表示的数分别是－3与3，我们知道－3与3是相反数，它们只有符号 不同，它们什么相同呢？答：它们到原点的距离____________，都等于___________。
学习归纳：在数轴上，一个数所对应点与原点的________，叫做这个数的绝对值。
导学练习：1. －3的绝对值是表示－3的点到原点的距离，－3的绝对值是_______，记作33=-； 3的绝对值是表示_______________________，3的绝对值是______，记作：________。
2. =-12____________，=325____________，=-5.0____________。
学习归纳：1. 一个正数的绝对值是它_______，一个负数的绝对值是它的_______，0的绝对值是____。
即：当a 是正数时，____=a ；当a 是负数时，____=a ；当a 是零时，____=a 。
2. 如果a 表示有理数，那么a 表示_________________________________；从而可知：a 是一个_______数或________，即a 是一个非负数。
3. 若a 、b 为有理数，且0=+b a ，则=a _______，=b _______。
4. 互为相反数的两个数的绝对值____________。
即：若6=a ，则=a 。
模块二 利用绝对值比较两个负数的大小做一做：（1）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：5.1- 3- 1- 5-（2）求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大小：（3）你发现了什么？两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
典型例题讲解(理解新知识)：题型一：利用绝对值求有理数例1（1）若2=x ，则=x ；(2) 已知2=a ，3=b ，且b a >，求a 、b 的值。
人教版七年级上册数学第3讲 绝对值
第3讲 绝对值姓名 学校 日期【知识要点】一、绝对值的概念1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。
5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。
二、绝对值的求法绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 （1）(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）(0)(0)a a a a a ≥⎧⎨-<⎩ （3）(0)(0)a a a a a >⎧⎨-≤⎩ 【典型例题】例1 求下列各数的绝对值。
（1）34= ； （2）13-= ； （3）144-= ； （4）132= ； 例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是 。
（2）一个数的绝对值是0，则这个数是 。
（3）有没有一个数的绝对值是-4？ 。
思考：a 与0的大小关系例3 （1）若2m -=，求m 的值；（2）若a b =，则a b 与的关系是什么？例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。
例5 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，那么a 与b 的和是多少?例6 数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：（1）比较a 和b 的大小；（2）比较a 和b 的大小； （3）判断b a a b b a b a ⨯--+,,,的符号；（4）试化简a b b a -+--经典练习一、填空题1．31-的绝对值是 ，31的绝对值是 ， 的绝对值是31．2.一个正数的绝对值为8，这个数是 ，一个负数的绝对值为8，这个数是 ．3. 的绝对值是它本身， 的绝对值是它的相反数．4.若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．5.若a a =，则a 0，若a a -=，则a 0．6. 的绝对值比它的本身大．7.一个数的绝对值不大于3，则满足条件的最大的负数是 ．二、选择题1．下列等式中，成立的是（ ）A 、33±=+B 、()33--=-C 、33±=±D 、3131=--2．下列计算中，错误的是（ ）A 、1257=-+-B 、04.03.034.0=---C 、535154=-- D 、311312213=---a b3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）A 、相等B 、都是0C 、互为相反数D 、相等或互为相反数4．下列各式中，不正确的是（ ）A 、01.001.0->-B 、001.001.0->-C 、⎪⎭⎫⎝⎛--<--3131D 、2.32.3->--5．下列判断正确的是（ ）A 、若b a =，则b a =B 、若b a =，则b a =C 、若b a <，则b a <D 、若b a >，则b a >三、解答题1．试写出：（1）绝对值小于5的所有负整数 ；（2）绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ．2．已知一组数；4，－3，21-，+5.1，214-，0，－2.2．在这组数中：（1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 ；（2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ．3．如图，直线上有三个不同的点A 、B 、C ，且AB ≠BC ，那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点（ ）（A ）是B 点 （B ）是AC 的中点 （C ）是AC 外一点 （D ）有无穷多个4．对任意有理数a ，式子1a -，1a +，1a -+，1a +中，取值不为0的是 。
小升初数学衔接第3讲：绝对值
第3讲 绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
注：这里可以是正数，也可以是负数和0.因为点B 、D 表示的数互为相反数，且它们的绝对值相等，合作探究1：在数轴上表示出下列各数，并求出它们的绝对值。
-2，1.5，0，7，-3.5，5．解：依题意得：数轴可表示为：如图所示数轴上的A 、B 、O 、C 、D 、E 分别表示-2，1.5，0，7，-3.5，5．|-2|=2，|1.5|=1.5，|0|=0，|7|=7，|-3.5|=3.5，|5|=5．根据此题的结果我们可归纳总结正数的绝对值、负数的绝对值、0的绝对值各有的特点，因此可得出（2）合作探究2：绝对值的性质：1.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。
(1)当是正数时，a = a ； (2) 当是负数时，a = -a ；(3)当是0时，a = 0 . 3.对于任意的有理数a ，0a ，即任意的有理数a 的绝对值是一个非负数，绝对值最小的有理数是0. 合作探究3：例题：写出下列各数的绝对值：6，-8，-3.9，52，2-11，100,0 解：55226=6-8=8-3.9=3.9=-=100=1000=0221111，，，，，，. （3）合作探究4：有理数的比较大小。
下列各数表示北京某一天4个时间的气温，122，-0.5，1，-2．则它们的大小关系是-2＜-0.5＜1＜122． 把上述各数的点在数轴上表示出来，然后观察它们在数轴上的位置关系如图所示：a a a a a a a a122=2.5， 结论：1.在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2. 正数大于0，也大于负数，0大于负数。
3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例题精讲：比较下列各组数的大小．（1）54-与43- （2）31，21-，|31|--， 0． 解：（1）|-54|=54=2016，|-43|=43=2015， 因为2016>2015,所以-54 ＜-43； （2）因为-|-31|=-31>-21,所以 31 ＞0＞-|-31|＞-21． （4）拓展延伸已知：|a-1|+|b+2|=0，求a 、b 的值.解：因为|a-1|+|b+2|=0，且|a-1|≥0，|b+2|≥0，所以根据非负数的性质可得：|a-1|=0，|b+2|=0，所以a-1=0，b+2=0，所以a=1，b=-2.（5）巩固练习1.求 +8、-12、-3、+3、－1.6的绝对值．解：|+8|=8 ；|-12|=12 ； |-3|= 3； |+3|= 3 ；∣-1.6∣=1.6.三、课堂小结：这节课我们学习了哪些知识？1、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b＜0且a=|b|，则a与b的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a|＞a，那么a是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.11.12.13.（1）14.（1）（3）15.16.若A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（）A.若|x|=|y|，则x=－yB.若x=－y，则|x|=|y|C.若|a|＜|b|，则a＜bD.若a＜b，则|a|＜|b|19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最1A．a的相反数大于b的相反数B．a的相反数小于b的相反数C．a，b的相反数的大小比较要根据a，b的正负情况确定D．无法比较a，b的相反数的大小=．(第13题)7．已知a，b，c在数轴上的位置如图，且a b(1)比较a+b与c的大小及a+b与c的大小；(2)判断b+c与a+c的符号．8．下表记录了我国几个城市某天的平均气温．。
第三讲：绝对值
第三讲：绝对值知识点：1、有理数的绝对值概念及表示方法2、有理数绝对值的求法和有关的简单计算3、绝对值的几何意义，数形结合等思想方法一、复习提问1.下列各数中：+7，-2，13，-8.3，0，+0.01，-25，112，哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数?2.什么叫做数轴?画一条数轴，并在数轴上标出下列各数：-3，4，0，3，-1.5，-4，32，2。
3.问题2中有哪些数互为相反数?从数轴上看，互为相反数的一对有理数有什么特点?4.怎样表示一个数的相反数?二、绝对值的概念及表示法例1.两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米，为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米。
这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了。
例2 两位徒工分别用卷尺测量一段1米长的钢管，由于测量工具使用不当或读数不准确，甲测得的结果是1.01米，乙侧得的结果是0.98米。
甲测量的差额即多出的数记作+0.01米，乙测量的差额即减少的数记作-0.02米。
一般地，一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离。
为了方便，我们用一种符号来表示一个数的绝对值。
约定在一个数的两旁各画一条竖线来表示这个数的绝对值。
例3利用数轴求5，3.2，7，-2，-7.1，-0.5的绝对值。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
这也是绝对值的代数定义。
数学语言表示：把绝对值的代数定义用数学符号语言如何表达?1.用a表示一个数，如何表示a是正数，a是负数，a是0?由有理数大小比较可以知道：a是正数：a＞0;a是负数:a＜0;a是0:a=02 .怎样表示a的本身,a的相反数?结论：例4 求8，-8，14，14，0，6，-π，π-5的绝对值。
练习一：1. 下列哪些数是正数?-2，13，3-，0，-2+，-（-2），-2-2. 在括号里填写适当的数：3.5-=( )； 12+=( )； -5-=( )； -3+=( )；()=1， ()=0；-()=-2。
第三讲：绝对值 比大小
有理数第三讲：绝对值 比较大小一、绝对值的概念1、绝对值的代数求法:a 、一个正数的绝对值是它 ；b 、0的绝对值是 ；c 、一个负数的绝对值是 .2、用符号语言表示为:⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a 0 )0()0()0(<=>a a a 可简化合并为：⎩⎨⎧-=a a a )0()0(<≥a a 或 ⎩⎨⎧-=a a a )0()0(≤>a a 3、几何意义: (定义)在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|.(体会两种定义的一致性.如：|-4|=4的两种解释)二、绝对值的非负性不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0(通常称为非负数).即：对于任意有理数a ，总有 |a|≥0.（当且仅当a=0时|a|=0） 如：若0)1(32=-+-b a ，试求：b a 32-的值.当然,绝对值还有一些其它性质,如:;a a -=22a a =;b a b a ⋅=⋅； b a a a +≥+等。
三、有理数大小的比较1、有理数大小的（代数）比较方法：(1) 负数小于0，0小于正数，负数小于正数；(2) 两个正数，应用小学已有的方法比较；(3) 两个负数，绝对值大的反而小.2、作差比较法：比较两个数量的大小可以通过它们的差来判断：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0四、典型例题：例1：下列判断中，正确的是( )．（A ）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；(B) 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；(C) 任何数的绝对值都是正数；(D) 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数 例2：比大小： 653-_____;763- -|-3.2|______-(+3.2)；|1|--______|1.0|+-；0.0001______－1000；83.1 -______－1.384； －π______－3.14．例3：如果｜x ｜＝2，那么x ＝_____ ；如果｜－x ｜＝2，那么x ＝______．如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ； 如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．例4：若a a =，则a 0；若a a =-，则a 0； 若1a a =-，则a 0；若a a ≥，则a 0；若11a a -=-，则a 的取值范围是 ．例5：（1）已知：y x ,满足0|21||2|21=-+-y y x ，则y x 37-的值为 ．（2）式子212+-x 取最小值时，x 等于 ．（3）已知2=x ，5=y ，且y x >，则： x ＝______，y ＝______． 例6: 化简||||||c c b b a a ++。
第3讲 绝对值的几何意义(教师版)
“当式子
取最小值时，相应的 的取值范围是
，最小值是
”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：
，
和 ，经研究发现，当
时，值最小为 ．
请你根据他们的解题解决下面的问题．
当式子
取最小值时，相应的 的取值范围是
，最小值
是
．
已知
，求相应的 的取值范围及 的最大值．写出解答过程．
表示数 所在的点到数 、 、 三点的距离之和， 则当数 所在的点落在数 所在的点上时，
取最小值，最小值为 ． ，
零点为 、 、 ，
则当
时，
取最小值，
最小值为
．
考点
数 有理数 数轴 数轴比较大小 数轴上的距离问题 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义求最小值 绝对值化简 结合数轴化简绝对值
作业7
小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
当 为奇数时， 应设在第 台的位置．
．
当 为偶数时， 应设在第 台和
台之间任何地方；
当 为奇数时， 应设在第 台的位置．
当
时，原式的值最小，最小值是 ．
考点
数 有理数 绝对值化简 零点分段法 绝对值的综合应用
教师备选
同学们都知道，
表示 与 之差的绝对值，实际上也可理解为 与 两数在数轴上所对的两
点之间的距离．试探索：
答案
1． 2．
时，有最大值 ．
解析
当式子
，最小值是 ．
当
，时
当
，时
取最小值时，相应的 的取值范围是
． ．
当
，时
．
第三讲绝对值
第三讲 绝对值【基础知识精讲】1．绝对值的概念：(１)定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
对于任意一个数a , a 的绝对值用｜a ｜表示，读作a 的绝对值。
（2）绝对值的非负性：｜a ｜是数轴上表示a 的点到原点的距离，即｜a ｜代表的是一个长度，所以｜a ｜表示的一定是一个非负数；即：｜a ｜≥0（3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 。
（4）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。
离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
2．绝对值的法：绝对值是一种运算，这个运算符号是“｜｜” ，求一个数的绝对值，就是想办法去掉绝对值符号。
对于任意有理数a 有：｜a ｜和a 的关系如下：｜a ｜＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a 或｜a ｜＝(0)(0)a a a a ≥⎧⎪⎨⎪-<⎩ 或 ｜a ｜＝(0)(0)a a a a >⎧⎪⎨⎪-≤⎩3．比较两个有理数的大小。
（1）．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大，负数小于0，正数大于0，正数大于一切负数。
（2）．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．4．若几个非负数的和等于０，则每个非负数都等于０【例题巧解点拨】例1． 求下列各数的绝对值：（1）－38； （2）0.15； （3）)0(<a a ； （4）)0(3>b b ； （5）)2(2<-a a ； （6）b a -．例2．填空：1． ___________的倒数是它本身， _____________的绝对值是它本身．绝对值是它相反数的数是__________，互为相反数的两个数的绝对值_________.2．比较下列各对数的大小：（1）－1_______1； （2）54-________65-；（3）0______－101。
小升初数学_衔接讲与练_第三讲_绝对值
第三讲 绝对值【学习目标】1、能准确理解绝对值的几何意义和代数意义,并能准确熟练地求一个有理数的绝对值。
2、能掌握有理数大小的比较方法，初步培养学生观察、分析、归纳和概括的思维能力。
【知识要点】1、绝对值的定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2、数a 的绝对值的意义①几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
强调：表示0的点与原点的距离是0，所以|0|＝0。
表示“距离”的数是非负数，所以绝对值是一个非负数。
②代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
指出：绝对值的代数定义可以作为求一个数的绝对值的方法。
3、有理数的大小比较在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大．由此，我们也可得到有理数大小比较的法则：1.正数都大于0；2.负数都小于0；3.正数大于一切负数；4.两个负数，绝对值大的其值反而小．【经典例题】例1、求8,－8,41,－41，0的绝对值。
例2、利用数轴求下列各数的绝对值：-3、211、0、4、-0.5。
例3、画一条数轴，并在数轴上找出与原点距离为2、3、0的点。
例4、比较下列每组数的大小：（1）2和-2 ； （2）0和│-32│； （3）-1和-5； （4）7.265--和； （5）||a 和0.例5、讨论一下│a │+a 的值的情况。
★例6、数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：（1）比较a 和b 的大小.（2）比较|a|和|b|的大小.（3）判断a+b,a-b,b-a,a ×b 的符号.（4）试化简-|a-b|+|b-a|.【经典练习】一、填空题1、0.618的符号是 ，绝对值是2、绝对值是9的数是 ；绝对值是9的正数是3、数轴上到原点的距离为5的数所表示的数是4、绝对值是1的数是5、用“ ＞ ”、“＜”号填空： -8 -6； 0 -18； +0.01 0；6、有理数中,绝对值最小的数是 。
初一数学_第三讲_绝对值_教师版
第三讲 绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0； 若|a|= -a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或 a= -b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2；[例1]（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 练习1, 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？2,有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）A.a ＞bB.a=bC.a<bD.无法确定3,若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________4,设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？5,若3|x-2|+|y+3|=0，则xy 的值是多少？[例2]有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|练习1,数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||2、有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|c b 0a例3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：当n 为奇数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 等于最中间的数值时，该式子的值最小。
初一数学绝对值精讲
第三讲 绝对值【思想方法.知识要点回顾与拓展】1.绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 2.绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．3.去绝对值符号的方法：零点分段法（1）化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a 的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论． （2）分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．【例题之 能力提升】例1. a ，b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=-（4）若||a b =则a b = （5）若||||a b <，则a b < （6）若a b >，则||||a b >变式练习：x 是什么样的有理数时，下列等式成立？（1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-例2. 若m 是方程|2000|2000||x x -=+的解，则|2001|m -等于（ ）A. m −2001B. −m −2001C. m +2001D. –m +200例3. 已知关于x 的方程||(1)a x a x =+-的解是1，则有理数a 的取值范围是______________.例 4. 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则321ax bx cx +++的值是多少？例5.如果在数轴上表示a ，b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）A.2aB.2a -C.0D.2b变式练习：已知有理数a ，b 的和a+b 及差a −b 在数轴上如图所示：化简：227a b a b +---。
7年级-第3讲-绝对值-解析版(作业分层)
VIP 课堂辅导讲义学员姓名： 科目： 数学 年级： 7年级 学科老师： 授课日期： 授课时段： 授课时长： 3 家长签字： 课 题 绝对值教学目标1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.重点、难点绝对值的几何意义和非负性考点及考试要求绝对值教学内容【要点梳理】知识点1 绝对值的定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |.【题型 绝对值的定义】【例1】求下列各数的绝对值．112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】112，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【变式1-1】（2020秋•郯城县期中）下列说法错误的个数是（ ）①一个数的绝对值的相反数一定是负数；①只有负数的绝对值是它的相反数；①正数和零的绝对值都等于它本身；①互为相反数的两个数的绝对值相等．A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】①一个数的绝对值的相反数一定是负数．反例：当这个数是0时，结果还是0不是负数，所以错误；①只有负数的绝对值是它的相反数．反例：当这个数是0时，结果还是0也是0的相反数，所以错误；①正数和零的绝对值都等于它本身．由绝对值性质可知，正确；①互为相反数的两个数的绝对值相等．正确．所以错误的有2个．【解答】解：根据绝对值的性质和相反数的概念，得①，①错误；①，①正确．故选：B．【点评】主要考查了绝对值，相反数的性质和定义．本题中要特别注意一些特殊的数字，如0，有时该数是最后的反例．【变式1-2】（2020秋•吴江区期中）若|x|＝﹣（﹣8），则x＝．【分析】根据绝对值的性质解答可得．【解答】解：①|x|＝﹣（﹣8），①x＝±8．故答案为：±8．【点评】本题主要考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．【变式1-3】（2020秋•长安区校级月考）已知|a|＝2，|b|＝3，且b＜a，试求a、b的值．【分析】根据题意可以求得a、b的值．【解答】解：①|a|＝2，|b|＝3，①a＝±2，b＝±3，又①b＜a，①a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝﹣3．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的意义．【变式1-4】求绝对值不大于3的所有整数．【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．【变式1-5】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．【答案】6或-6知识点2 有理数的大小比较1. 数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2. 法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数 －数为0正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【例2】比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12-；（4）1--______0.1-- 【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；(3)先化简1133⎛⎫--= ⎪⎝⎭，1122-=，1123>，即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭． (4)先化简11--=-，0.10.1--=-，这是两个负数比较大小：因为11-=，0.10.1-=，而10.1>， 所以10.1-<-，即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．【变式1】比大小：653-______763- ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000； 1.38-______－1.384； －π______－3.14．【答案】＞；=；＞；＞；＜【变式2】下列各数中，比－1小的数是（ ）A ．0B ．1C ．－2D ．2【答案】C【变式3】数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则a ，-a ，-1的大小关系是( )．A ．-a ＜a ＜-1B ．-1＜-a ＜aC ．a ＜-1＜-aD ．a ＜-a ＜-1【答案】C知识点3 绝对值的性质一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【题型 绝对值的化简求值】【例3】（2021•成都校级期中）化简|π﹣4|+|3﹣π|＝ ．【分析】因为π≈3.414，所以π﹣4＜0，3﹣π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π﹣4|+|3﹣π|．【解答】解：①π≈3.414，①π﹣4＜0，3﹣π＜0，①|π﹣4|+|3﹣π|＝4﹣π+π﹣3＝1．故答案为1．【点评】本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，比较简单．【变式3-1】（2020秋•澧县校级期中）若﹣1＜x ＜4，化简|x +1|+|4﹣x |．【分析】利用绝对值的非负性解答即可．【解答】解：①﹣1＜x＜4，①|x+1|+|4﹣x|＝1+x+4﹣x＝5．【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，利用绝对值的非负性去掉绝对值符号是解此题的关键．【变式3-2】（2020秋•邗江区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7；根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：（1）|7﹣21|＝；（2）|−12+0.8|＝；（3）|717−718|＝；（4）用合理的方法计算：|15−12014|+|12014−12|﹣|−12|+11007．【分析】根据绝对值的性质：正数绝对值等于它本身，负数绝对值等于它的相反数，进行计算即可．【解答】解：（1）由题意得：|7﹣21|＝21﹣7，故答案为：21﹣7；（2）|−12+0.8|=0.8−12，故答案为：0.8−12；（3）|717−718|=717−718，故答案为：717−718；（4）原式=15−12014+12−12014−12+11007=15．【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质．知识点4 绝对值的非负性根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若|a|+|a|=a，则|a|=0且|a|=0．【题型绝对值的非负性】【例4】已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0所以|2-m|＝0，|n-3|＝0即2-m＝0，n-3＝0所以m＝2，n＝3故m-2n＝2-2×3＝-4．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．【变式4-1】（2020秋•江岸区校级月考）若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求3x﹣y的值．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，|2x﹣4|+|y﹣3|＝0，所以，2x﹣4＝0，y﹣3＝0，解得x＝2，y＝3，则3x﹣y＝3×2﹣3＝3．【点评】本题考查了非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．【变式4-2】（2020秋•灞桥区校级月考）已知|a-3|+|b﹣5|＝0，x，y互为相反数，求3（x+y）﹣a+2b的值．【分析】根据非负数的性质得出a，b的值，再代入计算即可．【解答】解：①|a-3|≥0，|b﹣5|≥0且|a-3|+|b﹣5|＝0，①|a-3|＝0，|b﹣5|＝0即：a-3＝0，b﹣5＝0，①a＝3，b＝5又①x、y互为相反数，①x+y＝0，①原式＝3×0﹣3+2×5＝7．【点评】本题考查了非负数的性质，掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．【变式4-3】（2020秋•青羊区校级月考）当a＝时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是．【分析】先根据非负数的性质求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：①|1﹣a|≥0，①当1﹣a＝0时，|1﹣a|+2会有最小值，①当a＝1时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是2．故答案为：1，2．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知任何数的绝对值都是非负数是解答此题的关键．【题型绝对值在实际问题中的应用】【例5】（2020秋•海淀区校级期末）厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是．【分析】根据绝对值最小的最接近标准，可得答案．【解答】解：|+1.5|＝1.5，|﹣0.6|＝0.6，|+0.7|＝0.7，|﹣0.23|=23，0.6＜23＜0.7＜1.5，故最接近标准质量的足球是乙．故答案为：乙．【点评】本题考查了正数和负数，利用绝对值的意义是解题关键．【变式5-1】（2020秋•河源校级月考）一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图：（1）站在点上的机器人表示的数的绝对值最大，站在点和点、和上的机器人表示的数到原点距离相等；（2）怎样将点A3移动，使它先到达A2点，再到达A5点，请用文字语言说明．（3）若原点是零件供应点，那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？【分析】（1）比较各个机器人站的位置所表示的数的绝对值的大小即可；（2）根据数轴的概念和性质进行移动即可；（3）求出各个机器人站的位置所表示的数的绝对值的和即可．【解答】解：（1）①|﹣4|最大，①站在点A1上的机器人表示的数的绝对值最大，①|﹣3|＝|3|，|﹣1|＝|1|，①站在点A2和A5、A3和A4上的机器人表示的数到原点距离相等；故答案为：A1；A2和A5；A3和A4；（2）点A3向左移动2个单位到达A2点，再向右移动6个单位到达A5点；（3）|﹣4|+|﹣3|+|﹣1|+|1|+|3|＝12．答：5个机器人分别到达供应点取货的总路程是12．【点评】本题考查的是绝对值的概念和性质、数轴的概念，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．【题型绝对值的几何意义】【例6】（2020秋•随州校级月考）同学们都知道，|3﹣（﹣1）|表示3与﹣1之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，这样的整数是．【分析】（1）3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4；（2）利用数轴解决：把|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离和到﹣1所对应的点的距离之和为4，然后根据数轴可写出满足条件的整数x．【解答】解：（1）|3﹣（﹣1）|＝4；（2）式子|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4可理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离和到﹣1所对应的点的距离之和为4，所以满足条件的整数x可为﹣1，0，1，2，3．故答案为4；﹣1，0，1，2，3．【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．也考查了数轴．【变式6-1】（2020秋•抚顺县期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；（2）|x+1|＝3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x＝2或x＝﹣4．故答案为：2或﹣4；（3）①|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，①a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；故答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．故答案为：6．【点评】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用．【变式6-2】（2020秋•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案为：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2当x＜﹣5时，①﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范围内不成立）当﹣5＜x＜2时，①（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，①x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1当x＞2时，①（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范围内不成立）①综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．【巩固练习】一、选择题1．（2020.常州）-3的绝对值是（）．A．3B．-3C．13D．13-2．下列判断中，正确的是( )．A. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；B. 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；C.任何数的绝对值都是正数；D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数. 3．下列各式错误的是( )．A．115533+=B．|8.1|8.1-=C．2233-=-D．1122--=-4．2010年12月某日我国部分城市的平均气温情况如下表(记温度零上为正，单位①)城市温州上海北京哈尔滨广州平均气温60-9-1515则其中当天平均气温最低的城市是( )．A．广州B．哈尔滨C．北京D．上海5．下列各式中正确的是( )．A．13<-B．1134->-C．-3.7＜-5.2 D．0＞-26．若两个有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．A．a＞b B．|a|＞|b| C．-a＜-b D．-a＜|b|7．若|a| + a＝0，则a是( )．A. 正数B. 负数C.正数或0D.负数或0二、填空题8． |﹣6.18|= ．9. 若m ，n 互为相反数，则| m |________| n |；| m |=| n |，则m ，n 的关系是________．10．已知| x |＝2，| y |＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________．11．满足3.5≤| x | ＜6的x 的整数值是___________．12. 式子|2x -1|+2取最小值时，x 等于 .13．数a 在数轴上的位置如图所示．则|a -2|＝__________．14. 若a a =，则a 0；若a a =-，则a 0；若1a a=-，则a 0；若a a ≥，则a ； 若11a a -=-，则a 的取值范围是 ．15. 在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ．三、解答题16．比较3a -2与2a +1的大小．17．（2020秋•天水期末）如图，数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、b 、c ．则：a ﹣b 0，a +c 0，b ﹣c 0．（用＜或＞或=号填空）你能把|a ﹣b |﹣|a +c |+|b ﹣c |化简吗？能的话，求出最后结果．17.【解析】解：由数轴得，a ﹣b ＜0，a +c ＜0，b ﹣c ＜0，①|a ﹣b |﹣|a +c |+|b ﹣c |=﹣（a ﹣b ）﹣[﹣（a +c ）]+[﹣（b ﹣c ）]=﹣a +b +a +c ﹣b +c=2c ．18．某工厂生产某种圆形零件，从中抽出5件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数，检查结果记录如下：零件 1 2 3 4 5误差-0.2-0.3+0.2-0.1+0.3根据你所学的知识说明什么样的零件的质量好，什么样的零件的质量差，这5件中质量最好的是哪一件?【答案与解析】一、选择题1.【答案】A2.【答案】B【解析】A错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B正确；C错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0.3．【答案】C【解析】因为一个数的绝对值是非负数，不可能是负数.所以C是错误的．4. 【答案】B【解析】因为-15＜-9＜0＜6＜15，所以当天平均气温最低的城市是哈尔滨．5. 【答案】D【解析】0大于负数．6．【答案】B【解析】离原点越远的数的绝对值越大．7.【答案】D【解析】若a为正数，则不满足|a| + a＝0；若a为负数，则满足|a| + a＝0；若a为0，也满足|a| + a＝0. 所以a≤0，即a为负数或0.二、填空题8.【答案】6.189.【答案】=;m=±n【解析】若m，n互为相反数，则它们到原点的距离相等，即绝对值相等；但反过来，m，n绝对值相等，则它们相等或互为相反数.10. 【答案】±2，-5【解析】| x |＝2，则x=±2；| y |＝5，y=±5.但由于x＞y，所以x=±2，y=-511. 【答案】±4, ±5【解析】画出数轴，从数轴上可以看出：在原点右侧，有4,5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6；在原点左侧有-4，-5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6.12.【答案】1 2【解析】绝对值最小的数是0，所以当2x-1=0，即x=12时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值.13. 【答案】a-2【解析】由图可知：a≥2，所以|a-2|=a-2.14. 【答案】≥；≤；＜；任意有理数；a≤115. 【答案】-3,1三、解答题16.【解析】解：(3a-2)-(2a+1)=3a-2-2a-1=a-3当a>3时，3a-2>2a+1；当a=3时，3a-2=2a+1；当a<3时，3a-2<2a+1.17．【解析】解：根据：负数小于正数，两个负数相比较，绝对值大的反而小．所以从小到大的顺序为：-7.3%，-5.3%，-3.4%，-0.9%，2.8%，7.0%．18．【解析】解：零件的直径与规定直径的偏差可以用绝对值表示，绝对值小表示偏差小，绝对值大表示偏差大．哪个零件的直径偏差越小，哪个零件的质量越好，哪个零件的直径偏差越大，哪个零件的质量越差，所以这5件中质量最好的是第4件．【提升练习】一、选择题1． －6的绝对值是（ ）．A ．-6B ．6C ．D ． 2． 如图(一)，数O 是原点，A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、c .根据图中各点的位置，下列各数的绝对值的比较何者正确？A ．|b |＜|c |B ．|b |＞|c |C ．|a |＜|b |D ．|a |＞|c |3．满足|x |＝-x 的数有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个4.（2020•黄石模拟）若|x ﹣5|=5﹣x ，下列不等式成立的是（ ）A . x ﹣5＞0B . x ﹣5＜0C . x ﹣5≥0D . x ﹣5≤05．a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b |＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( )．A ．b ＜-a ＜a ＜-bB ．-a ＜b ＜a ＜-bC ．-b ＜a ＜-a ＜bD ．-a ＜a ＜-b ＜b6．下列推理：①若a ＝b ，则|a |＝|b |；①若|a |＝|b |，则a ＝b ；①若a ≠b ，则|a |≠|b |；①若|a |≠|b |，则a ≠b ．其中正确的个数为( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数的相反数，c 是绝对值最小的有理数，则a 、b 、c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＝b ＝c D ．a ＞b ＞c二、填空题8．写出一个比－1小的数是______．9. （2020•杭州模拟）已知|x |=|﹣3|，则x 的值为 ．10. 绝对值不大于11的整数有 个.11. 已知a 、b 都是有理数，且|a |=a ，|b |=－b 、，则ab 是 .12. 式子|2x -1|+2取最小值时，x 等于 .13．数a 在数轴上的位置如图所示，则|a -2|＝__________．14.若1a a=-，则a 0；若a a ≥，则a . 三、解答题6161-15．将2526-，259260-，25992600-按从小到大的顺序排列起来． 16．正式的足球比赛对所用足球的质量都有严格的规定，标准质量为400克．下面是5个足球的质量检测结果（超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数）：-25，+10，-20，+30，+15．(1)写出每个足球的质量；(2)请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明．17. 定义：数轴上表示数a 和数b 的两点A 和B 之间的距离是|a ﹣b |．完成下列问题：（1）数轴上表示x 和﹣4的两点A 和B 之间的距离是 ；如果|AB |=2，那么x 为 ；（2）利用数轴以及已知中的定义，可得式子|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的最小值是 ．（3）拓展：当x = 时，式子|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|+…+|x ﹣2011|的值最小，最小值是 ．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】A【解析】由图（一）可知，距离原点最远的是点C ，其次是点A ，最近的是点B ，所以他们对应的数的绝对值的大小为：c a b >>或b a c <<，所以A 正确.3．【答案】D【解析】x 为负数或零时都能满足|x |＝-x ，故有无数个．4．【答案】D5．【答案】A【解析】画数轴，数形结合．6．【答案】C【解析】①正确；①错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；①错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；①正确．故选C ．7．【答案】B【解析】a ＝1，b ＝-(-1)＝1，c ＝0，故a ＝b ＞c ．二、填空题8. 【答案】－2(答案不唯一)9.【答案】±310.【答案】23【解析】要注意考虑负数.绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个.11.【答案】负数或零（或非正数均对）【解析】非负性是绝对值的重要性质.由题意可知≥0，≤0 .12.【答案】1 2【解析】因为|2x-1|≥0，所以当2x-1=0，即x=12时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值2.13.【答案】-a+2【解析】由图可知：a≤2，所以|a-2|=-（a-2）=-a+2.14.【答案】＜；任意数三、解答题15.【解析】解：因为2525250026262600-==，25925925902602602600-==，2599259926002600-=，因为250025902599260026002600<<，即259925925260026026->->-，所以259925925 260026026 -<-<-．16. 【解析】解：（1）每个足球的质量分别为375克，410克，380克，430克，415克；（2）质量为410克（即质量超过+10克）的足球的质量好一些.理由：将检测结果求绝对值，再比较绝对值大小，绝对值最小的质量最好．17.【解析】解：（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣4）|；如果|AB|=2，那么|x﹣（﹣4）|=2，x+4=±2，解得x=﹣2或﹣6；（2）x=2有最小值，最小值=|2﹣1|+|2﹣2|+|2﹣3|=1+0+1=2；（3）1～2011共有2011个数，最中间一个为1006，此时|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值，最小值|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|=|1006﹣1|+|1006﹣2|+|1006﹣3|+…+|1006﹣2011|=1005+1004+1003+…+2+1+0+1+2+3+…+1005=1011030．故答案为|x﹣（﹣4）|；﹣2或﹣6；2；1006；1011030．。
第三讲 绝对值
第三讲 绝对值知识要点1．在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作a 。
2．任何一个数的绝对值都是非负数，也就是说，任何一个数的绝对值都不小于0，即0a ≥3．任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-。
4．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0(,)0(0)0(,时当时当时当a a a ，a a a5．两个负数，绝对值大的反而小；两个数，若绝对值相等，则这两个数可能相等，也可能互为相反数。
6．常用公式：222a a a ==；b a ab ∙=；()0a a b b b=≠ 7．在数轴上，x 的意义是数x 对应的点与原点的距离；x a -的意义是数x 对应的点与数a 对应的点之间的距离。
一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
即()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a 绝对值的意义：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离。
所以，任何数或式的绝对值都是非负数，即0≥a 。
典型例题例1 若12<≤-a ，求22-++a a 的值。
例2 如果0)32(22=-++y x ，则y x 2+= 。
例3 m 是有理数，求842-+-+-m m m 的最小值。
例4 （1）a ； （2）1-x（3）12-x （4）21-+-x x（5）321-+-+-x x x例5 已知209,73==b a ，且a b <，试求a 、b 的值。
例6 三个互不相等的有理数，可表示为1，a +b ，a 的形式，又可表示为0，b a ，b 的形式，试求19981999ab +的值。
练习题1．已知40≤≤a ，那么a a -+-32的最大值等于（ ）。
A ．1B ．5C ．8D ．32．若a ＋b <0，则化简b a b a ----+31的结果是 。
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第三讲：绝对值
知识点：1、有理数的绝对值概念及表示方法
2、有理数绝对值的求法和有关的简单计算
3、绝对值的几何意义，数形结合等思想方法
一、复习提问
1.下列各数中：
+7，-2，1
3
，-8.3，0，+0.01，-
2
5
，1
1
2
，哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数?
2.什么叫做数轴?画一条数轴，并在数轴上标出下列各数：
-3，4，0，3，-1.5，-4，3
2
，2。
3.问题2中有哪些数互为相反数?从数轴上看，互为相反数的一对有理数有什么特点?
4.怎样表示一个数的相反数?
二、绝对值的概念及表示法
例1.两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米，为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米。
这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了。
例2 两位徒工分别用卷尺测量一段1米长的钢管，由于测量工具使用不当或读数不准确，甲测得的结果是1.01米，乙侧得的结果是0.98米。
甲测量的差额即多出的数记作+0.01米，乙测量的差额即减少的数记作-0.02米。
一般地，一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离。
为了方便，我们用一种符号来表示一个数的绝对值。
约定在一个数的两旁各画一条竖线来表示这个数的绝对值。
例3利用数轴求5，3.2，7，-2，-7.1，-0.5的绝对值。
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
这也是绝对值的代数定义。
数学语言表示：
把绝对值的代数定义用数学符号语言如何表达?
1.用a表示一个数，如何表示a是正数，a是负数，a是0?
由有理数大小比较可以知道：
a是正数：a＞0;a是负数:a＜0;a是0:a=0
2 .怎样表示a的本身,a的相反数?
结论：
例4 求8，-8，1
4
，
1
4
，0，6，-π，π-5的绝对值。
练习一：
1. 下列哪些数是正数?
-2，13，3-，0，-2+，-（-2），-2- 2. 在括号里填写适当的数： 3.5-=( )； 12+
=( )； -5-=( )； -3+=( )； ()=1， ()=0；-()=-2。
3. 计算下列各题：
|-3|+|+5|；|-3|+|-5|；|+2|-|-2|；|-3|-|-2|；|-12|×|-13|；|-12|÷|-2|；12÷|-12
|。
4. 填空：
(1)+3的符号是_____，绝对值是______；
(2)-3的符号是_____，绝对值是______； (3)- 3
2的符号是____，绝对值是______；
(4)10.5的符号是_____，绝对值是______
5. 填空：
(1)符号是+号，绝对值是7的数是________；
(2)符号是-号，绝对值是7的数是________；
(3)符号是-号，绝对值是0.35的数是________；
(4)符号是+号，绝对值是11
2的数是________；
6.(1)绝对值是1
2的数有几个?各是什么?
(2)绝对值是0的数有几个?各是什么?
(3)有没有绝对值是-2的数?
7. 计算：
(1)|-15|-|-6|； (2)|-0.24|+|-5.06|； (3)|-3|×|-2|；
(4)|+4|×|-5|； (3)|-12|÷|+2|； (6)|20|÷|-1
2|。
8. 填空：
(1)当a ＞0时，|2a|=________；
(2)当a ＞1时，|a-1|=________；
(3)当a ＜1时，|a-1|=________
练习2：
1. 计算：|+1.5|；|-1
2|；|0|。
2. 计算：|1
2-13|;|-12-1
3|。
3. 比较-(-5)和-|-5|，+(-5)和+|-5|的大小。
4. 哪个数的绝对值等于0?等于1
2?等于-1?
5. 绝对值小于3的数有哪些?绝对值小于3的整数有哪几个?
6.a ，b 所表示的数如图所示，求|a|，|b|，|a+b|，|b-a|
7.若|a|+|b-1|=0，求a ，b b
a 0
三、探索利用绝对值比较负数大小的法则
例5 比较-412
与-|—3|的大小。
例6 已知a ＞b ＞0，比较a ，-a ，b ，-b 的大小。
例7 比较-32与-4
3的大小。
练习3
1. 比较下列每对数的大小：
32与52；|2|与35；-61与112；73-与5
2- 2. 比较下列每对数的大小： -107与-103；-21与-31；-21与-5
3。
3. 判断下列各式是否正确： (1)|-0.1|＜|-0.01|； (2)|-
31
|＜
41； (3) 32＜43-； (4)81＞-71 4. 比较下列每对数的大小： (1)-
85与-83；(2)-11
3与-0.273；(3)-73与-94； (4)-65与-1110；(5)- 32与-53；(6)-97与-119 5、 写出绝对值大于3而小于8的所有整数。
6、 你能说出符合下列条件的字母表示什么数吗?
(1)|a|=a ； (2)|a|=-a ； (3)x x
=-1； (4)a ＞-a ；
(5)|a|≥a ； (6)-y ＞0； (7)-a ＜0； (8)a+b=0
绝对值学习要点
绝对值在中学数学中有广泛应用，由于概念抽象，它是初一同学学习中的难点．本文从四个方面说明如何掌握绝对值．
1．几何意义
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．记住：绝对值是距离，因而最小是0，不会出现负数．
例1 (1)已知｜m ｜＝｜n ｜，能否断定m ＝n ？
(2)已知｜m ｜＞｜n ｜，能否断定m ＞n ？
(3)已知m 是任何有理数，能否断定｜m ｜≥0？
练习
1．比较｜－2｜与｜－1｜、－2与－1的大小，说明为什么绝对值大的负数反而小？
2．等式｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜一定成立吗？为什么？
2．计算
正确去掉绝对值符号是解决这类问题的关键．记住：去绝对值符号前必须先考虑绝对值符号里的数是正数、零、还是负数？如果是负数，去掉绝对值符号后要在原数前加上一个“－”号！
例2 化简｜1＋｜1＋x｜｜(x＜－1)．
．
练习：1．计算｜1｜－｜－2｜＋｜3｜－｜－4｜＋｜5｜－｜－6｜＋…＋｜99｜－｜－100｜．
3．已知某数的绝对值求此数
这类问题与上面第二类问题相反，关键是：对绝对值符号里的数可能是什么数，要仔细分析、全面考虑．例3 已知｜m｜＝1，｜n｜＝2．求m＋n．
练习
1．当a为何值时，下列各式成立？
(1)｜1949a｜＝1996．(2)｜1997a｜＝0．
(3)｜－2000a｜＝－2000．
(4)｜1996a｜＋｜1997a｜＞0．
2．已知｜x｜≥10，求x．
4．绝对值概念的运用
由｜a｜≥0，可得(1)｜a｜是非负数；(2)｜a｜取最小值0．这两个结论在解某些综合题时十分有用．
例4 x为何值时，－4｜1－x｜－5有最大值，最大值是多少？
练习
1．若｜x｜≤0，说出表示x的点在数轴上的位置．
2．已知｜a－3｜＋｜3b－1｜＝0，求a、b．。