第2课时 参数方程
人教版高中数学选修4-4课件：2.1曲线的参数方程 第二课时.2
林老师网络编辑整理
29
【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的
范围不符合要求.
(2)①把y=sinθ代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
x2 sin2 1， 4
林老师网络编辑整理
30
即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的
t
2，(t为参数)化为普通方程为________.
【解析】消去y参 2数t 方程 x 中t2，的参数t,
得到普通方程为y2=4x. y 2t
答案:y2=4x
林老师网络编辑整理
7
【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性.
(θ为参数)
x 2cos,
y 1 2பைடு நூலகம்in
林老师网络编辑整理
5
【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为
2
,所以它的参数方程为 x
2cos,
(θ为参
数).
y 1 2sin,
林老师网络编辑整理
6
2.参数方程
x
(为参数) .
(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),
其中 tan 且34φ, 的终边过点(4,3).
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
高中数学参数方程
突破点一
突破点二
课时达标检测
参数方程
结束
4．[考点二]设直线
l
的参数方程为xy＝＝43＋＋ttscions
α， α
(t 为参数，α
为倾斜角)，圆 C 的参数方程为xy＝＝－1＋1＋2co2ssiθn，θ (θ 为参数)．
(1)若直线 l 经过圆 C 的圆心，求直线 l 的斜率；
(2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点，求直线 l 的斜率的取
1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思 路如下：
第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；
第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．
2．当直线经过点 P(x0，y0)，且直线的倾斜角为 α，求直线 与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
1解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌 握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.
2应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标 系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的 选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.
突破点一
突破点二
课时达标检测
参数方程
结束
3求曲线方程，常设曲线上任意一点 Pρ，θ，利用 解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦 定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一 起，解决取值范围或最值问题.
(t 为参数)，交点 A，B 对应的参数分别为 t1，
t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求
出 t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1·t2.
参数方程和普通方程的互化
(t为参数)
上一页
返回首页
下一页
利用参数思想解题
已知 x、y 满足 x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y 的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2 的最大值和最小值.
【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最 小值问题来解决．
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】 由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为
下一页
(2)(x－3)2＋(y＋3)2 ＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)．
其中tan φ＝－34， 且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.
上一页
返回首页
下一页
探究2 将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？
【提示】 (1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变 量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法．
(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．教科书例3(2)就用此法．例
如对于参数方程xy＝ ＝aatt－＋11tt csions
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________． 【解析】 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝1＋4tt2，y＝14＋t2t2，
∴参数方程为xy＝＝114＋ ＋4tt2tt22，
(t为参数)．
【答案】
x＝1＋4tt2 y＝14＋t2t2
课时作业13：第2课时 参数方程
第2课时 参数方程1.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数). (1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，12(平面直角坐标系xOy 中的点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.解 (1)由曲线C 的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝x 2，sin θ＝y ，所以cos 2θ＋sin 2θ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l 的倾斜角为θ1，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ1，y ＝12＋t sin θ1(t 为参数)， 代入曲线C 的直角坐标方程，得(cos 2θ1＋4sin 2θ1)t 2＋(2cos θ1＋4sin θ1)t －2＝0，所以t 1＋t 2＝－2cos θ1＋4sin θ1cos 2θ1＋4sin 2θ1，由题意知t 1＝－t 2， 所以2cos θ1＋4sin θ1＝0，得k ＝－12， 所以直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x 23＋y 24＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的参数方程；(2)在曲线C 1上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.解 (1)由条件得ρ(2cos θ－sin θ)＝2ρcos θ－ρsin θ＝6，将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式得2x －y －6＝0，∴直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.由⎩⎨⎧x 3＝cos θ，y 2＝sin θ， 得⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ， ∴曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数). (2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ－65， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝－1，即θ＝5π6时， d max ＝|4＋6|5＝25， 此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，1. 3.(2019·四川省名校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，过点P (2,1)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数).(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积.解 (1)由⎩⎨⎧ x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x －y －1＝0.由ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2－4＝0.(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入x 2＋4y 2－4＝0，得5t 2＋122t ＋8＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1225，t 1t 2＝85. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－12252－4×85＝825， |P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝85. 所以|AB |的值为825，定点P 到A ，B 两点的距离之积为85.4.在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点A (－2,1).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ＝ρ＋2sin θ3. (1)写出曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求|AM |＋|AN |的取值范围.解 (1)由1ρ＝ρ＋2sin θ3，得ρ2＋2ρsin θ＝3. 将⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入上式中， 得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＋2y －3＝0.(2)将l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 的方程x 2＋y 2＋2y －3＝0， 整理得t 2－4(cos α－sin α)t ＋4＝0.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以Δ＝42(cos α－sin α)2－42>0，化简得cos αsin α<0.又0≤α<π，所以π2<α<π，且cos α<0，sin α>0. 设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4(cos α－sin α)<0，t 1t 2＝4>0，所以t 1<0，t 2<0， 所以|AM |＋|AN |＝－(t 1＋t 2)＝4(sin α－cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4. 由π2<α<π，得π4<α－π4<3π4，所以22<sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤1， 从而4<42sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤42，即|AM |＋|AN |的取值范围是(4,42].5.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π4(ρ∈R )与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|PQ ||MN |的值. 解 (1)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，消去参数α，得x 24＋y 23＝1. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12，即曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3＋sin 2θ)＝12.又由已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2，得⎩⎨⎧ x ＝23(x ′－23)，y ＝13(y ′－2)，代入x 24＋y 23＝1，得(x ′－23)29＋(y ′－2)29＝1， ∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝9.(2)将θ＝π4代入ρ2(3＋sin 2θ)＝12，得ρ2＝247，∴ρ＝±2427，∴|MN |＝4427. 又直线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入(x －23)2＋(y －2)2＝9，整理得t 2－22(3＋1)t ＋7＝0，分别记P ，Q 两点对应的参数为t 1，t 2，则⎩⎨⎧ t 1＋t 2＝22(3＋1)，t 1·t 2＝7， ∴|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝243＋1，∴|PQ ||MN |＝243＋14427＝1683＋4212.。
第2课时 参 数 方 程
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
∵90°<α<180°，∴当 2α＝270°，即 α＝135°时，|PA|·|PB| 有最小值．
∴直线方程为x＝3－
22t， (t
为参数)，化为普通方程即
x＋y
y＝2＋
2 2t
－5＝0.
【答案】 x＋y－5＝0
第33页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)(2018·福建八校模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，直线
π 当 θ＝ 2 时，|AB|取得最小值，最小值为 2.
第19页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
授人以渔
第20页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
题型一 参数方程化为普通方程
把下列参数方程化为普通方程．
x＝ (1)y＝2
t， 1－t(t
为参数)；
x＝sinθ， (2)y＝cos2θ (θ
为参数，θ∈[0，2π])．
A．直线 x＋2y－2＝0 B．以(2，0)为端点的射线 C．圆(x－1)2＋y2＝1 D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段
第11页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 D 解析 将曲线的参数方程化为普通方程得 x＋2y－2＝ 0(0≤x≤2，0≤y≤1)．
第12页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
4．已知直线xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt，(t 为参数)上两点 A，B 对应的参数
值是 t1，t2，则|AB|等于( ) A．|t1＋t2|
B．|t1－t2|
C. a2＋b2|t1－t2|
D.
|t1－t2| a2＋b2
第13页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
高中数学 第二章 参数方程 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程教学案 新人教A版选修4-4-
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值X 围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈R ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在y 轴上．3．假设抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．——————————————————参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，那么B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 此题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答此题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2， 变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．——————————————————在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2， ∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 此题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答此题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1，∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin 〔θ－φ〕|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.——————————————————对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(某某高考)两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2那么5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，那么x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．某某高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](某某高考)抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .假设|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，那么p ＝________．[命题立意] 此题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2一、选择题1．以下参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数X 围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．以下双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3〔sin 2θ＋cos 2θ〕cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－t，y ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，即y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．二、填空题5．(某某高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，那么焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，那么点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，那么x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48. ∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，那么中点为M (a2(sec α＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a 〔sec α－sec β〕b 〔tan α－tan β〕[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2.∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 那么k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴kAP＝4〔t 1＋t 2〕4〔t 21＋t 22〕－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4〔t 21＋t 22〕，y ＝4〔t 1＋t 2〕， 那么y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。
2019-2020年高考总复习数学课件：第十章 第3讲 第2课时 参数方程
(t 为参数)；过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的
参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α，
此时|t|表示参数 t 对应的点 M(x，
y)到定点 M0(x0，y0)的距离.
1.(2015 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为
(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为
d＝
5 5 |4cos
θ＋3sin
θ－6|.
则|PA|＝sind30°＝2 5 5|5sin(θ＋α)－6|，其中 α 为锐角，且
tan α＝43.
当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为225 5；
当
方法二，直线 l 的普通方程为 y＝x＋2. 由xy2＝＋x9＋y22＝，9 消去 y，得 10x2＋36x＋27＝0. 于是Δ ＝362－4×10×27＝216>0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－158<0，x1x2＝2170>0.所以 x1<0，x2<0. 故|PA|＋|PB|＝ 1＋12|x1－0|＋ 1＋12|x2－0|＝ 2|x1＋x2|＝ 18 2 5.
ρ(cos
θ＋sin
θ)＝－2，曲线
C2
的参数方程为
x＝t2， y＝2 2t
(t 为
参数)，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为__(_2_，__－__4_)__.
解析：曲线 C1 的直角坐标方程为 x＋y＝－2，曲线 C2 的普
通方程为 y2＝8x，由yx2＋＝y8＝x －2， 得
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程
y＝1＋2tt2，
1 所以 y＝(1－x2)2，y2＝1－x2，
所以 x2＋y2＝1.
答案：D
4．已知圆的普通方程 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它 的参数方程为__________________．
解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，
得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
θ， θ
θ∈0，π2都表示同一圆．(
)
(4)圆的参数方程为xy＝＝2－si2n＋θ2cos
θ， (θ
为参数)，则
圆心坐标为(－2，0)．( )
x＝5sin 解析：(1)参数方程
θ， 消参后得到
x2＋y2＝
y＝5cos θ
25 ， 可 以 表 示 圆 ， 不 过 此 时 参 数 θ 的 几 何 意 义 与
审题指导：(1)先将圆的参数方程化为普通方程，然 后和直线方程联立方程组，解得交点的直角坐标，再化为 直角坐标．
(2)利用点到直线的距离公式求出距离，然后利用三 角函数知识求最值或结合圆的性质求最值．
[规范解答] (1)直线 l：y＝x＋4，圆 C：x2＋(y－2)2
＝4，(1 分)
y＝x＋4，
4
x＝4cos 的圆，而
y＝4sin
θθ，θ∈0，π2表示以原点为圆心，半径
为 4 的圆的一部分，故不正确．
(4)由圆的参数方程知圆心为(－2，0)，故正确． 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆(x－1)2＋y2＝4 上的点可以表示为( ) A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ) 解析：由圆的方程知圆心为(1，0)，半径为 2，故由
第十二章 第1节 第2课时 参数方程
17
知识衍化体验
考点聚集突破
(2)由x＝2＋sin2 θ，0≤sin2 θ≤1⇒2≤2＋sin2 θ≤3⇒2≤x≤3，
xy＝ ＝2－＋1s＋inc2oθs，2θ⇒xy－ ＝2－＝1s＋in12－θ，2sin2 θ
14
知识衍化体验
考点聚集突破
(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.
设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).
则
P
到
l
距离
d＝|3cos
θ＋4sin 17
θ－4－a|＝|5sin(θ＋φ)－4－a|，其中 17
tan
φ＝34.
又点 C 到直线 l 距离的最大值为 17，
所以|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17. 若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8. 若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16. 综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.
(1)参数方程xy＝ ＝fg((tt))，中的 x，y 都是参数 t 的函数.(
)
(2)过
M0(x0，y0)，倾斜角为
α
的直线
l
的参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α (t
为参数).参数
t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段M→0M 的数量.( )
知识衍化体验
考点聚集突破
考点二 参数方程的应用
【例 2－1】
已知椭圆
C：x42＋y32＝1，直线
高中数学第二讲参数方程一第二课时参数方程和普通方程的互化课件新人教A版
1
2
3
4
5
答案
2 x ＝ 2 ＋ sin θ， 2.将参数方程 (θ为参数)化成普通方程为 2 y＝sin θ
A.y＝x－2
B.y＝x＋2
C.y＝x－2(2≤x≤3) √
∴y＝x－2.
D.y＝x＋2(0≤y≤1)
解析 由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ， 又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3].
解答
(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x＋2y的最 大值和最小值.
解
x＝2＋ 2cos θ， 由(1)知曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数)， y＝2＋ 2sin θ
所以 x＋2y＝(2＋ 2cos θ)＋2(2＋ 2sin θ)
1 ＝6＋ 2(cos θ＋2sin θ)＝6＋ 10sin(θ＋φ)，tan φ＝2.
两式平方相加得(x－2)2＋y2＝9， 即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.
解答
类型二 普通方程化为参数方程
例2 程.
已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，根据下列条件，求圆C的参数方
(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数；
解答
(2)设x＝2m，m为参数. 解 把x＝2m代入圆C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，
普通方程，求出另一个变数与参数的关系 ，那么 就是曲 x ＝ f t ， y＝g(t) 线的参数方程. y＝gt，
(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法 ①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数； ②三角函数法：利用三角恒等式消去参数； ③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去. 特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量 x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t) 和g(t)的值域得x ， y的取值范围.
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程
2
专题一
|PA|=
式 asin θ+bcos θ= ������2 + ������ 2 sin(θ+φ)求解 .
������ .转化为求关于 sin30°
θ 的三角函数的最值问题,利���� = 2cos������, (θ 为参数 ). ������ = 3sin������ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)设曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ), 解： (1)曲线 C 的参数方程为 则点 P 到 l 的距离为 d= |4cos θ+3sin θ-6|,
专题一
专题二
例1求下列条件下普通方程4x2+y2=16对应的参数方程: (1)设y=4sin θ,θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 分析：对于(1),可以直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x 即可;对于(2),可寻找斜率k与此方程任意一点的坐标之间的关系来 求解. 解：(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性, 可取x=2cos θ, ������ = 2cos������, 2 2 因此4x +y =16的参数方程是 ������ = 4sin������ (θ 为参数).
高中数学第二节 参数方程ppt课件
2．参数方程与普通方程的互化 通过消去_参__数__从参数方程得到普通方程，如果知道 变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)， 那么xy＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
解：(1)由xy＝＝s3icnoαs α，消去参数 α，得x92＋y2＝1， 即 C 的普通方程为x92＋y2＝1， 由 ρsinθ－π4＝ 2，得 ρsin θ－ρcos θ＝2，① 将xy＝＝ρρscionsθθ，，代入①得 y＝x＋2， 所以直线 l 的倾斜角为π4.
选修4-4 坐标系与参数方程
第二节 参数方程
最新考纲
考情索引
2018·全国卷Ⅱ，
1.了解参数方程及 其参数的意义. 2.能选择适当的参 数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.
T22 2018·全国
卷Ⅲ，T22 2017·全国卷Ⅰ， T22 2017·全国卷
Ⅲ，T22 2016·全国卷Ⅱ，
T23
核心素养
[变式训练]
(2019·郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的参数方程为xy＝＝s3icnoαs
α， (α
为参数)，在以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
ρsinθ－π4＝ 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；
(2)设点 P(0，2)，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|.
(2)(人A选修4－4·P37例2改编)在平面直角坐标系
xOy中，若直线l：
x＝t， y＝t－a
(t为参数)过椭圆C：
x＝3cos y＝2sin
高三数学一轮复习课时作业11：第2讲 参数方程
第2课时 参数方程1．(2018·保定模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y ，所以⊙C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，点P 的直角坐标为(3,0)．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 直线l 的参数方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，不妨取A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167.3．已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．解 ∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， ∴原点到直线l 的距离r ＝22＝1. ∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数．解 曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.5．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围． 解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ. 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t 代入到z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是『－2,2』．6．(2016·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入到C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.7．(2018·洛阳模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42·sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t (t为参数)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|P A |·|PB |的值． 解 (1)因为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ， 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0，即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8； 直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0. (2)把直线l 的参数方程代入到圆C ： x 2＋y 2－4x －4y ＝0中， 得t 2－(4＋53)t ＋33＝0，t 1,2＝4＋53±403－412，则t 1t 2＝33.点P (－2，－3)显然在直线l 上．由直线标准参数方程下t 的几何意义知，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝33，所以|P A |·|PB |＝33.8．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值．解 (1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1， 曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.9．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝－4cos θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点的极坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ，两式平方相加，得x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－4y ＝0.①由ρ＝－4cos θ，得ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＝－4x .② ①－②得x ＋y ＝0，代入①得交点为(0,0)，(－2,2)． 其极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫22，3π4. (2)如图．由平面几何知识可知，A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时|AB |最大， 此时|AB |＝22＋4，点O 到AB 的距离为 2. ∴△OAB 的面积为S ＝12×(22＋4)×2＝2＋2 2.10．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝a cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的普通方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝⎛⎭⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，求1|OA |2＋1|OB |2＋1|OC |2的值． 解 (1)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，与x 轴的交点为(2,0)． 又曲线C 的普通方程为x 2a 2＋y 23＝1，所以a ＝2，故所求曲线C 的普通方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝⎛⎭⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，即点A (ρ1cos θ，ρ1sin θ)， B ⎝⎛⎭⎫ρ2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋2π3，ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋2π3， C ⎝⎛⎭⎫ρ3cos ⎝⎛⎭⎫θ＋4π3，ρ3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋4π3在曲线C 上， 故1|OA |2＋1|OB |2＋1|OC |2＝1ρ21＋1ρ22＋1ρ23＝14⎣⎡⎦⎤cos 2θ＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋2π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋4π3＋ 13⎣⎡⎦⎤sin 2θ＋sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋2π3＋sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋4π3＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos 2θ2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋4π32＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋8π32＋ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2θ2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋4π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋8π32 ＝14×32＋13×32＝78.。
第二节 参数方程
所以曲线 C 是以 x 轴为对称轴，开口向右的抛物线．
(2)因为直线 l 的参数方程为x＝32＋t， (t 为参数)，所以消 y＝ 3t
去参数 t，得直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x－323，代入
y2＝x，消去 x 整理得 2 3y2－2y－3 3＝0，设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则 y1＋y2＝ 33，y1y2＝－32，
x＝2cos θ， y＝4sin θ
(θ
为参数)，直线
l
的参数方程为xy＝＝21＋＋ttscions
α， α
(t 为参数)． (1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率．
返回
解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x42＋1y62 ＝1.当 cos α≠0 时， l 的直角坐标方程为 y＝tan α·x＋2－tan α； 当 cos α＝0 时，l 的直角坐标方程为 x＝1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的 方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内， 所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0. 又由①得 t1＋t2＝－421co＋s 3αc＋oss2iαn α， 故 2cos α＋sin α＝0，于是直线 l 的斜率 k＝tan α＝－2.
所以 t1t2＝－3，所以 PA·PB＝|t1t2|＝3.
返回
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
(2019·泰州中学高三年级学情调研)以原点 O 为极点，x 轴正半
第2课时 参数方程
(θ 为参数)的对称中心
√B.在直线y＝－2x上
C.在直线y＝x－1上
D.在直线y＝x＋1上
解析
由xy＝＝－2＋1＋sincθo，s θ，
得cos sin
θ＝x＋1， θ＝y－2.
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上.
x＝cos α＋ 3sin α，
(α 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极
y＝sin α－ 3cos α
轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ＋π6＝2. (1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；
解 由题意，可得 x2＋y2＝(cos α＋ 3sin α)2＋(sin α－ 3cos α)2＝4，
所以直线 l 的斜率为± 2.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
消去参数的方法一般有三种 (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数. (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数. 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小， 必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
(2)若
α∈0，π4，直线
l
x＝2＋tcos α， 的参数方程为
y＝2＋tsin α
(t 为参数)，直线 l 交 C
于 A，B 两点，求|AB|的取值范围.
解 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－1＝0， 将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程得， (2＋tcos α)2＋(2＋tsin α)2－2(2＋tcos α)－2(2＋tsin α)－1＝0， 整理得t2＋(2cos α＋2sin α)t－1＝0， 设t1，t2为该方程的两根， 所以t1＋t2＝－2cos α－2sin α，t1t2＝－1， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝ 8＋4sin 2α， 因为 α∈0，π4，所以 2α∈0，π2， 所以|AB|∈[2 2，2 3).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(t 为参数)；
3x－y＋5－ 3＝0
2 x＝sinθ， y ＝ 1 － x (|x|≤1) (2) (θ 为参数，θ∈[0,2π])． 2 y＝cos θ
x－12 y＋22 例 2、实数 x，y 满足 ＋ ＝1，试求 x－y 的最大值与最小值，并指 16 9 出何时取得最大值与最小值．
思考：如何利用 t 的几何意义求直线上任两点 M1、M2 的距离？（写出表达 式）
M 1 M 2 t1 t 2 (t1 t 2 ) 4t1t 2
2
探究展示
考点3参数方程与普通方程的互化 例 1、把下列参数方程化为普通方程．
x＝1＋1t， 2 (1) 3 y＝5＋ t 2
21 19 当 x＝ ，y＝－ 时，x－y 的最大值为 8 5 5 11 1 当 x＝－ ，y＝－ 时，x－y 的最小值为－2 5 5
例3(2015河北唐山一模)已知椭圆C: (1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程; (2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求 点P的坐标.
达标检测
对点训练4 (2015河北保定一模)已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方 = 4 + ������cos������, 程为 ������ ( t 为参数 , α 为倾斜角 ), 曲线 C 的极坐标方程为 ������ = 2 + ������sin������ ρ=4cos θ(其中坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同单位长度). (1)写出曲线C的直角坐标方程; (2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范 围.
������������ ������
������������ + ������ =1 ,直线 l:
������ = -������ + ������������, (t 为参数). ������ = ������ ������ + ������
对点训练3 已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的参数方程 ������ = 4cos������, 为 ������ = 4sin������ (θ为参数). (1)求直线l和圆C的普通方程; (2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
归纳延伸
直线与圆锥曲线的参数方程的应用 (1)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，t2，则弦长 l＝|t1－t2|； ②定点 M0 是弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； t1＋t2 ③设弦 M1M2 中点为 M， 则点 M 对应的参数值 tM＝ (由此可求|M2M|及中 2 点坐标)． (2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值或距离 等问题.
2 2
x a sec x2 y2 (3)双曲线 2－ 2＝1(a>0,b>0)的参数方程为 ______(θ 为参数) a b y2 b tan x＝2pt 2 (4)抛物线 y ＝2px(p>0)的参数方程为 (t 为参数),参数 t 表示 y＝2pt 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线斜率的倒数 __________________________________________________.
������ = ������-2������, ������ = -4������
精讲点拨
考点4极坐标方程及参数方程的应用 ������ = ������cos������, 例4(2015课标全国Ⅱ,理23)在直角坐标系xOy中,曲线C1: ������ = ������sin������, (t为参数,t≠0),其中 0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 ������ cos θ. (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
课后作业：及时完成考点规范练67 预习作业：10.1随机抽样
选修4－4
坐标系与参数方程 参数方程
第2课时
考
纲
要
求
1、了解曲线的参数方程的意义；
2、掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程并能灵活运用；
3、理解直线与圆的参数的几何意义。
要点回顾
x＝a＋rcosθ 1．圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a，b),半径为 r 的圆的参数方程为__________( y＝b＋rsinθ 为参数) x＝acosθ x y (2)椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的参数方程为________________(参数方程 x＝x0＋tcosα 过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为___________ y＝y0＋tsinα (t 为参数)，其中 t 表示直线上以定点 M0 为起点，任意一点 M(x，y)为终点的 → → M M 向上 ；当 t<0 数量 有向线段M0M的____,即 t=_______ 。当 t>0 时，M0M的方向______ 0 → 重合 ，反之亦然 向下 ；当 t＝0 时，M 与 M0________ 时，M0M的方向______