第14章第72讲 古典概型

10 1 倍数 "的概率P＝ ＝ . 100 10
运用古典概型的概率计算公式解 题时，首先要确定试验中各基本事件 出现的机会是均等的，如本题中卡片 的抽取，同时还要注意分析题中的条 件，如本题中抽取的第一张卡片是否 放回等条件
【变式练习1】 一个口袋内装有大小相同的5个红球和3 个黄球，从中一次摸出两个球． (1)求摸出两个球都是红球的概率； (2)求摸出的两个球一红一黄的概率．
1 答案： 6
选题感悟： 本题将概率与复数 的概念及运算有机地交汇在一 起，重点考查考生对基础知识 掌握的程度及运算能力．
等价转化思想将复 杂条件明确化求概率
【例2】 连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记 向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为， 则 (0， ]的概率为 ________ ． 2

【解析】因为cos＝
， (0， ]， 2 m2 n2
mn

所以m n满足条件． 6 1 又m＝n的概率为 ＝ ； 36 6 1 5 5 m n的概率为 ＝ ， 2 6 12 1 5 7 所以， (0， ]的概率为 ＋ ＝ . 2 6 12 12
【解析】先后两次抽取卡片，每次都有1～10 这10种结果，故形成有序实数对( x，y )共有 10 10＝100个．因为x＋y是10的倍数，它包含 下列10个数对： 1,9 ， 2,8， 3,7 ， 4,6 ， 5,5 ，
6, 4 ， 7,3， 8, 2 ， 9,1， 10,10 ，故" x＋y是10的
1 答案： 9
选题感悟： 古典概型是高考常考 的考点，主要考查等可能事件的 概率．本题用点在直线上作为限 制条件，考查学生的数形结合的 解题理念．
2． (2010·南通一模卷) 抛掷甲、乙两枚质地 均匀且四面上分别标有1, 2,3, 4的正四面体， 其底面落于桌面，记底面上的数字分别为 x x，y，则 为整数的概率是 ______ ． y
甲丙乙；乙甲丙；乙丙甲；丙甲乙；丙乙甲 共6种等可能的站法．其中甲、乙两人相邻的 4 2 站法共有4种，故所求概率为P＝ ＝ . 6 3
2.袋中有100个大小相同的红球、白球和 黑球，从中任取一球，取出红球、白球 的 概 率 分 别 是 0.4 和 0.35 ， 则 黑 球 共 有 25 个． ________
15 5 1 x y的概率P x y ＝ ＝ ； 36 12 2 5 x＋y 10的概率 20 5 P(5 x＋y 10)＝ ＝ . 36 9
3 【解析】甲、乙、丙3人站在一排，有甲乙丙；
1. 甲、乙、丙 3 人站在一排合影留念， 则甲、乙两人恰好相邻的概率是 2 ______________
满足5 x＋y 10的基本事件有 1,5 ， 1,6 ，
2, 4 ， 2,5 ， 2,6 ， 3,3， 3, 4 ， 3,5 ， 3,6 ， 4, 2 ， 4,3， 4, 4 ， 4,5 ， 5,1， 5, 2 ， 5,3 ， 5, 4 ， 6,1， 6, 2 ， 6,3，共20个．
2 用B表示事件“| x－y | ＝2 ，则B的结果 有 1,3， 2, 4 ， 3,5 ， 4, 6 ， 6, 4 ， 5,3， 4, 2 ， 3,1，共8个基本事件．
8 2 所以P B ＝ ＝ . 36 9 2 答：事件“ | x－y | 2”的概率为 . 9
字之和为偶数有(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)四种可
பைடு நூலகம்
能，故两张卡片上的数字之和为偶数的概率
4 2 为 10 5 2 ，填 5
.
• 1.基本事件的特点 • ①任何两个基本事件是互斥的； • ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基 本事件的和. • 2.古典概型 • 具有：①试验中所有可能发生的基本事件只 有有限个； • ②每个基本事件出现的可能性相等.满足这 两个特征的概率模型称为古典概率模型，简 称古典概型.
1 设“摸出两个球都是红球”为事件A，则A
中包含的基本事件有10个， 10 5 因此P A ＝ ＝ . 28 14 2 设“摸出的两个球一红一黄”为事件C， 则事件C包含的基本事件有15个， 15 因此P C ＝ . 28 5 答： 1 摸出两个球都是红球的概率为 ； 14 15 2 摸出的两个球一红一黄的概率为 . 28
共2种情况，所以它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 2 1 P＝ ＝ . 10 5
4. 用红、黄、蓝三种不同颜色给 3 个矩形 染色，每个矩形只染一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不相同的概率．
【解析】 1 所有可能的基本事件总数为27.事件 A“3个矩形颜色都相同 含的基本事件有 个， 3 1 故P A ＝ ＝ . 27 9 2 事件B“3个矩形颜色都不相同 的基本事件 为(红、黄、蓝)， (红、蓝、黄)， (黄、红、蓝)， (黄、蓝、红)， (蓝、红、黄)， (蓝、黄、红)，共6种． 6 2 故P B ＝ ＝ . 27 9
• 1.下列试验是古典概型的是（ ） C • A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基 本事件 • B.为求任意的一个正整数平方的个位数字是 1的概率，将取出的正整数作为基本事件 • C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选 中最短路线的概率 • D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
•
根据古典概型的两个特征判断只有C满 足，故选C. • 易错点：古典概型的理解.一个试验是否 为古典概型，在于这个试验是否具有古典 概型的两个特征：有限性与等可能性.
【解析】红球、白球分别有 100×0.4 ＝ 40 个 、 100×0.35 ＝ 35 个 ， 所 以 黑 球 有 100－(40＋35)＝25(个)．
3. 现有 5 根竹竿，它们的长度 ( 单位： m) 分 别为 2.5,2.6 ， 2.7 ， 2.8,2.9 ，若从中一次随 机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 1 0.3 m的概率为 ______
【解析】分别对红球编号为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 号，对黄球编号 6 、 7 、 8 号，从中任取 两球，有如下等可能基本事件，枚举如 下： (1,2) 、 (1,3) 、 (1,4) 、 (1,5) 、 (1,6) 、 (1,7)、(1,8)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、 (2,7)、(2,8)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(3,7)、 (3,8)、(4,5)、(4,6)、(4,7)、(4,8)、(5,6)、 (5,7)、(5,8)、(6,7)、(6,8)、(7,8)共有28个 等可能事件
1 答案： 2
选题感悟：本题主要考查古典概型概率的 计算，题目情境简单，难度不大，是最基 础的概率应用问题．
3 ． (2011· 南京一模卷 ) 投掷两颗骰子，得 到其向上的点数分别为 m 和 n ，则复数 (m ＋ni)(n－mi)为实数的概率为______．
【解析】因为(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n 2－m 2 )i 为实数，所以n 2＝m 2，所以m＝n， 则可以取1、 2,3, 4,5,6，共6种可能， 6 1 所以P＝ ＝ 66 6
【解析】记基本事件为 (x，y)，则有 (1,1)，(1,2) ， (1,3) ， (1,4) ， (1,5) ， (1,6) ， (2,1) ， (2,2) ， (2,3) ， (2,4) ， (2,5) ， (2,6) ， (3,1) ， (3,2) ， (3,3) ， (3,4) ， (3,5) ， (3,6) ， (4,1) ， (4,2) ， (4,3) ， (4,4) ， (4,5) ， (4,6) ， (5,1) ， (5,2) ， (5,3) ， (5,4) ， (5,5) ， (5,6) ， (6,1) ， (6,2) ， (6,3)， (6,4) ， (6,5) ， (6,6) ，共 36个 基本事件． 其中满足 x<y 的基本事件有 (1,2) ， (1,3) ， (1,4) ， (1,5) ， (1,6) ， (2,3) ， (2,4) ， (2,5) ， (2,6) ， (3,4) ， (3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．
【解析】在5个长度中一次随机抽取2个，则有 2.5, 2.6，
5
2.5, 2.7 ， 2.5, 2.8， 2.5, 2.9， 2.6, 2.7， 2.6, 2.8， 2.6, 2.9 ， (2.8， 2.9)，共10种情况． 2.7, 2.8 ， 2.7, 2.9 ， 满足长度恰好相差0.3 m的基本事件有 2.5, 2.8 ， 2.6, 2.9 ，
因为 a 与 b 不共线，所以“夹 角 θ∈(0,π/2]” 的 充 要 条 件 是 “cosθ≥0”，即“m≥n”．
【变式练习2】 甲、乙两人各掷一次骰子 ( 均匀的正 方体，六个面上分别为 1,2,3,4,5,6 点 ) ， 所得点数分别为x，y. (1)求x<y的概率； (2)求5<x＋y<10的概率．
• 4.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲乙
1 两人各住一间房的概率是 . 2
•
基本事件总数为2×2=4，甲、乙各 住一间的事件数为2，即（甲，乙），（
1 乙，甲），故P= . 2
• 5.从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中 任取两张，求这两张卡片上的数字之和为偶 数的概率为
2 . 5
•
五张卡片中任取两张有10种可能，数
5.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的 点数分别为 1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次，记 第一次出现的点数为 x ，第二次出现的点 数为y. (1)求事件“x＋y≤3”的概率； (2)求事件“|x－y|＝2”的概率．
【解析】设( x，y )表示一个基本事件，则掷两 次骰子包括： 1,1， 1, 2 ， 1,3， 1, 4 ， 1,5 ， 1,6 ， ， 2,1， 2, 2 ， 6,5， 6,6 ，共36个基本事件． 1 用A表示事件" x＋y 3"，则A的结果有 1,1， 1, 2 ， 2,1，共3个基本事件． 3 1 所以P A＝ ＝ . 36 12 1 答：事件 " x＋y 3"的概率为 . 12