一种有限变形情况下高聚物本构模型

一种有限变形情况下高聚物本构模型刘亢，翁国飞宁波大学工学院，浙江宁波(315211)E-mail ：liukang2000@摘 要：本文提出了一种有限变形下的高聚物粘塑性本构模型。

认为高聚物网结构节点滑移的应变率和宏观应变率是相关的，同时还假设节点的滑移并不导致能量耗散，因此可以用热力学的方法得到有限变形的本构方程。

与传统的有限变形本构理论不同，本文用了一种新的途径来建立本构关系。

随后用该本构模型对一种高聚物材料进行剪切变形的数值模拟并与实验结果进行对比和分析。

关键词：本构模型，有限变形，简单剪切 中图分类号：o33; o34; o631. 引 言高聚物通常被看成是一个等效的由交联组成的网状结构。

在加载过程中，网结构的节点会相对其初始位置产生滑移。

关于如何处理高聚物节点的滑移一直存在许多的争议。

本文假设高聚物网结构节点滑移的应变率和宏观应变率是相关的，同时还假设节点的滑移并不导致能量耗散，因此可以用热力学的方法得到有限变形的本构方程。

在经典的有限变形本构研究里，有限变形通常被分解成弹性和塑性两部分，这两部分分别通过各自的控制方程来描述。

现有的有限弹塑性的率型本构方程一般基于变形率的弹塑性和分解，但是变形率的这种分解与Lee [1]的变形梯度乘积分解并不一致。

关于变形的弹塑性分解存在许多争议，至今还没有澄清。

本文将提出一种新的方法对高聚物在有限变形下的粘塑性本构关系进行研究。

2. 一种有限变形情况下高聚物本构模型2.1 高聚物网结构节点滑移方程由于等效网状结构的变形所导致的节点的滑移是与其无应力下的位置有关的，所以自然可以假设节点滑移变形的变形率pD 与大变形的变形率D 是成比例关系的[2]。

()()()P D t t D t φ= （1）此时的比例系数φ是关于右Cauchy-Green 伸长张量e C 的第一第二主不变量12,I I 的函数。

方程（1）的优点在于它是线性的，而且包括了一个可调整的函数，并满足了材料的不可压缩性的条件。

但是（1）的不足之处是它不满足客观条件。

如果考虑到有转动的情况，（1）就不能用于建立pD D 和的关系了。

为了使（1）适用于新的本构模型的计算，我们建议对（1）进行转化。

这里我们可以把变形率D 写成110ln ln limn n n t V V D t ++∆→−=∆ （2）其中n V 为左伸长张量把（2）代人（1）我们可得11ln ln ()(ln ln )pn pn n n V V t V V φ++−=− （3）其中pnV 为pD 对应的左伸长张。

再把伸长张量V 化成标准形式的对角阵方程可变为以下形式11ln ln ()(ln ln )pn pn n n V V t V V λλλλφ++−=− （4）式中V λ是左伸长张量的特征值组成的对角矩阵。

2.2比例系数φ的确定通过近似实验数据可以定义φ函数为[2][1exp(a φ=− （5）方程（5）有两个可调整的参数a 和ε。

其中的1I 为右Cauchy-Green 伸长张量的第一主不变量。

2.3应力-应变方程可以通过热力学的一些理论，建立高聚物的应力-应变关系[2]。

由于之前我们假设了节点的滑移不导致网结构内部的耗散，所以我们可以得到[]()()1()()e t p t I G t B t φΣ=−+− （6）这里()p t 为静水压力。

I 为单位张量。

()e B t 为弹性部分左变形张量。

2.4本构关系为了更好的模拟高聚物的有限变形行为，本文将引入了一种新的途径[3]来建立本构关系。

考虑一个弹塑性变形过程123I V F F λ→→→⋅⋅⋅⋅从0t 时刻到1t 时刻是弹性变形，此后是弹塑性变形，这里的下标1，2，3分别表示123,,t t t 时刻。

将左伸长张量和变形梯度分解成以下形式T E E V R V R λ=⋅⋅ (7)i Ei i Li F R V R λΤ=⋅⋅ (1,2,3)i = （8）E R 和LR 是正交张量矩阵变形率分解成1111111()()221()2T T T T T E E E L L L L Ea bD L L F F F FR V V R R V R R V V R R V R D D λλλλλλ−−−−−=+=⋅+⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+ (9) 显然1V V λλ−⋅ 是对角阵，11T T L L L L V R R V V R R V λλλλ−−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 是对角元都为零的对称阵。

假设变形梯度是对角矩阵的变形产生对角应力矩阵，1t时刻的应力可以写作1123(1)(1)(1)t λσσσσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (10)可以发现应力1t λσ关于变形率b D 的功率为零。

我们假设这部分变形率b D 不影响从1t 到2t 时刻过程中的应力，那么L R 的改变不会导致应力的改变，即2t 时刻的应力与L R 无关，根据本构关系的客观性原理，2t 时刻的应力可以写作2222Tt E E R R λσσ=⋅⋅ (11)类似的，在子过程12222E L V F R V R λλ→=⋅⋅中，塑性变形应变率是对角矩阵。

b D 与塑性变形无关。

另外，如果这子过程是纯弹性，变形率的一部分b D 不影响应力。

因此，我们认为这个弹塑性过程中b D 不影响应力。

在12V F λ→中，应力变化是1t λσ到222E E R R λσ⋅⋅,应力主向完全相同于弹性情况。

下面来分析2t 时刻以后的应力计算。

2t 时刻的变形梯度分解成下面形式的弹性和塑性部分22222222()()E L E e p LF R V R R V V R λλλΤΤ=⋅⋅=⋅⋅ (12)变形22E e R V λ⋅相当于产生应力222TE E R R λσ⋅⋅的弹性变形梯度，那么22p L V R λΤ⋅被看做永久变形的度量。

3t时刻的变形梯度可以分解成下面形式333333322()()T E L E b L b p L F R V R R V R V R λλλΤΤ=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ （13）我们假设弹塑性变形体中途卸载再按原途径返回将具有与它一直加载一样的应力响应。

弹性特性可以以初始构型或中间无应力的构型来参考。

这里我们取2t 时刻的中间无应力构型来作为参考分析紧接着的一个子过程。

因此从2t 到3t 时刻这子过程的变形梯度变化可以表示为从222E L R V R λΤ⋅⋅到333TE b L b R V R λ⋅⋅，和上一个子过程分析一样，这一子过程的应力从222E E R R λσ⋅⋅到333TE b bE b R R λσ⋅⋅。

控制方程可以用（6）。

类似的，3t时刻的变形梯度分解成3333333()()E b b L b E b be bp L b R V R R V V R λλλΤΤ⋅⋅=⋅⋅ (14)式中，变形33E b be R V λ⋅是产生应力333TE b b E b R R λσ⋅⋅的弹性变形梯度。

上式代人（13）得 3333333322()()()E L E b be bp L b p LF R V R R V V R V R λλλλΤΤΤ=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ （15）这里3322()()bp L b p L V R V R λλΤΤ⋅⋅⋅被看成3t时刻的塑性变形度量。

以后子过程也作上面类似处理，主应力的控制方程和应力的主向构成了完整的有限弹塑性变形的本构关系。

这里我们将这种方法用于高聚物的粘塑性分析。

3. 简单剪切计算计算过程中存在三个待定的参数G ,a ，ε。

为了确定这三个参数，需要通过对某特定的高聚物材料进行简单剪切实验来确定[2]，实验材料是填充不同数量的短玻璃纤维的聚碳酸酯材料。

玻璃纤维的含量为10.4M v M =（16） 其中1M 是混入的高浓度玻璃纤维聚碳酸酯的质量。

M 是样品总的质量。

通过对实验结果分析可以看出G ,ε与v 近视呈线性关系，因此可以建立线性公式01,G G G v =+ 01,v εεε=+ （17）其中,m m G ε（m=1，0）可以由最小平方法对实验数据分析求得。

由于实验加载速率足够高所以可以假设1a =，计算的结果与实验数据做比较，对不同的试件实验测得剪切应力和k 的关系如下：图1 v=0wt%的试件剪切应力与应变的关系圆圈表示实验数据，实线表示数值计算结果图2 v=0wt%的试件剪切应力与应变的关系圆圈表示实验数据，实线表示数值计算结果图3 v=10wt%的试件剪切应力与应变的关系圆圈表示实验数据，实线表示数值计算结果图4 v=15wt%的试件剪切应力与应变的关系圆圈表示实验数据，实线表示数值计算结果图5 v=20wt%的试件剪切应力与应变的关系圆圈表示实验数据，实线表示数值计算结果4.结论从图1-5我们可以看出，在小应变情况下新的本构模型计算出来的结果与实验结果基本吻合，这说明这种本构模型还是能比较真实的反应高聚物的力学性能的，而且应力-应变的曲线明显不是直线，这说明节点滑移是确实存在的。

参考文献[1]Lee.,E.H.. Elastic-plastic deformations at finite strains, ［J］. Appl. Mech, 1969,36:1-6[2]Drozdov,A.D.,AL-Mulla,A., Gupta, R.K. A constitutive model for the viscoplastic behavior of rubbery polymers at finite strains ［J］. Acta Mechanica ,2003,164:139-160.[3]Shen,Li-Jun. Constitutive relations for isotropic or kinemacti c hardening at finite elastic-plastic deformations ［J］Int.J.of Solids and Structures,2006,43:5613-5627.A constitutive model for polymers at finite deformationsLiu Kang, Weng GuofeiThe Faculty of Engineering, Ningbo University, Ningbo (315211)AbstractIn this thesis, a new constitutive model is derived for the viscoplastic behavior of rubbery polymers at finite strains. The sliding of junctions between chains is associated with the strain rate (not stress) for macro-deformation. The sliding process is supposed not to induce internal dissipation in the network. Constitutive equations are developed by using the laws of thermodynamics.Different from conventional constitutive theory,a new way is applied to build up the constitutive relations of polymers. The current constitutive model is applied to study simple shear of an incompressible medium. Keywords: constitutive model, finite deformation, simple shear。