江苏专用版高考数学专题复习专题11算法复数推理与证明第83练坐标系与参数方程练习理

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(江苏专用)高考数学大一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数 12.4 复数教师用书文苏教版

12.4 复数1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0 a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )1．(2016·全国乙卷改编)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________. 答案－3解析 ∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3.2．(2016·某某模拟)已知复数z 满足(3＋i)z ＝10i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是__________．答案 1－3i解析复数z ＝10i 3＋i ＝10i 3－i10＝1＋3i ，则复数z 的共轭复数是z ＝1－3i.3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是______．答案 2＋4i解析 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i. 4．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.答案 1解析原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.5．(教材改编)在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是____________．答案－3－4i解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.题型一复数的概念例1 (1)(2016·某某模拟)若复数z ＝(1－i)(m ＋2i)(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为________．(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的____________条件．(3)(2016·某某)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 (1)－2 (2)充分不必要 (3)1解析 (1)z ＝m －m i ＋2i ＋2＝(m ＋2)＋(2－m )i. ∵z 为纯虚数，∴m ＝－2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件． (3)∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i＝1－i ， ∴其实部为1. 引申探究将本例(3)中的条件“(1＋i)z ＝2”改为“(1＋i)3z ＝2”，求z 的实部．解 z ＝21＋i3＝2－2＋2i＝－12－12i ，∴z 的实部为－12.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)(2016·某某模拟)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．(2)如果复数m 2＋i 1－m i是实数，则实数m ＝________.答案 (1)45(2)－1解析 (1)∵|4＋3i|＝42＋32＝5， ∴z ＝53－4i ＝53＋4i 25＝35＋45i ，虚部为45.(2)因为m 2＋i 1－m i ＝m 2＋i 1＋m i1＋m 2＝m 2－m ＋1＋m 3i1＋m2是实数，所以1＋m 31＋m 2＝0，所以m ＝－1. 题型二复数的运算命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2016·某某改编)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝________.(2)(2016·全国乙卷改编)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝________. (3)(2015·课标全国Ⅱ改编)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝________. 答案 (1)2i (2) 2 (3)0解析 (1)(1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i.(2)由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2.(3)因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0.命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2016·全国丙卷改编)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝________.(2)(2016·改编)复数1＋2i2－i ＝________.(3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________.答案 (1)i (2)i (3)－1＋i 解析 (1)z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(2)1＋2i 2－i ＝1＋2i 2＋i 2－i 2＋i ＝5i5＝i.(3)原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算例4 (1)(2016·某某改编)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________.(2)(2016·全国丙卷改编)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝______.答案 (1)1－2i (2)45－35i解析 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i.(2)z ＝4－3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2016·某某模拟)若i 为虚数单位，复数z ＝1＋2i ，则z 2|z |2＝________.(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________.答案 (1)－35＋45i (2)i (3)22＋(22＋1)i解析 (1)因为z ＝1＋2i ，所以z 2＝(1＋2i)2＝－3＋4i ，|z |＝5，所以z 2|z |2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.(2)(1＋i 1－i )2 017＝[1＋i 21－i 1＋i ]2 017＝i 2 017＝i.(3)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 017＝i 1＋23i 1＋23i＋(21－i )[(21－i)2]1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋(22＋1)i. 题型三复数的几何意义例5 (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的________．答案外心解析由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，某某数a 的取值X 围．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值X 围是(2,6)．23．解决复数问题的实数化思想典例 (14分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思想方法指导 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法．(3)本题的易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．规X 解答解设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，[3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分]根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3a 2＋b 2＝－6，[7分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.[10分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[14分]1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．答案－1解析由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.2．(2016·苏北联考)如果复数1，a ＋i,3＋a 2i(a ∈R )成等比数列，那么a 的值为________．答案 2解析由题意知，(a ＋i)2＝1×(3＋a 2i)，即a 2－1＋2a i ＝3＋a 2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，2a ＝a 2，解得a ＝2.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是________．答案 H解析由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i1－i ＝4－2i2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .4．(2017·某某月考)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝________.答案 1－i解析方法一设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i.∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i. 5．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________．答案 3 解析 f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．6．集合M ＝{4，－3m ＋(m －3)i}(其中i 为虚数单位)，N ＝{－9,3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为________．答案 3解析由题意可知－3m ＋(m －3)i 必为实数，则m ＝3，经检验符合题意．7.(2016·某某模拟)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________. 答案10解析因为(1－z )z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，所以|(1－z )z |＝10.8．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值X 围是________．答案 (－∞，23)解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.9．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．10．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，则(m ＋n i m －n i)2 017＝________. 答案 i解析由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1，所以(m ＋n i m －n i )2 017＝(1＋i 1－i)2 017＝i 2 017＝i. 11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________. 答案－2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知，⎩⎨⎧1＋2i ＋1－2i ＝－b ，1＋2i 1－2i ＝c ，∴b ＝－2，c ＝3. 12．给出下列命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是______．(填上所有正确命题的序号) 答案 ④解析由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则(a ＋1)i ＝0，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确． 13．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i 2＋31－i2＋i；(3)1－i1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i 3＋i2.word 11 / 11 解 (1)－1＋i 2＋i i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i. (2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i3＋i 2＝3＋i －i 3＋i 2＝－i 3＋i ＝－i 3－i 4 ＝－14－34i. 14.若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数； ②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5a －b i a 2＋b 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，∴a ＋3＋b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题11算法复数推理与证明第82练矩阵与变换练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第82练矩阵与变换练习理1．(2016·苏北四市一模)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4，求矩阵A 的特征值和特征向量．2．(2016·南通、扬州、淮安、连云港二模)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232的一个特征向量，求实数a 的值．3．(2016·南通二模)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31.求矩阵M .4．(2016·南京三模)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ak 0 1(k ≠0)的一个特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3,1)变为点(1,1)．求实数a ，k 的值．5．(2016·宿迁三校调研)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 b 13属于特征值λ的一个特征向量为a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求实数b 的值； (2)若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下，得到的曲线为C ′：x 2＋2y 2＝2，求曲线C 的方程．6．(2016·南京、盐城一模)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 021的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．答案精析1．解矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6，由f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ＝2时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，x －2y ＝0，故属于特征值2的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ＝3时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2y ＝0，x －y ＝0，故属于特征值3的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 2．解设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a23 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋6＝2λ，12＝3λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，a ＝1.3．解设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，c －d ＝－1.再由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝1.联立以上方程解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1.4．解设特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1对应的特征值为λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ak 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，即⎩⎪⎨⎪⎧ak －k ＝λk ，λ＝1. 因为k ≠0，所以a ＝2.因为A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以2＋k ＝3，解得k ＝1.综上，a ＝2，k ＝1.5．解 (1)因为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 b 13属于特征值λ的一个特征向量为a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b 1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－b －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ λ－λ. 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝λ，－2＝－λ.解得b ＝0，λ＝2.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 3. 设曲线C 上任一点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用后变为曲线C ′上一点P (x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2x x ＋3y ，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝x ＋3y . 因为点P 在曲线C ′上，所以x 20＋2y 20＝2，即(2x )2＋2(x ＋3y )2＝2，从而3x 2＋6xy ＋9y 2＝1.所以曲线C 的方程为3x 2＋6xy ＋9y 2＝1.6．解由题意，知矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－a )(λ－1)，因为矩阵M 有一个特征值为2，所以f (2)＝0，所以a ＝2.设曲线C 上任一点的坐标为(x ，y )，其在矩阵M 的变换下的对应点的坐标为(x ′，y ′)．所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤202 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝2x ＋y ，因为曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1，所以(2x )2＋(2x ＋y )2＝1，即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.。

江苏专用2020版高考数学专题复习专题11算法复数推理与证明第80练推理与证明练习理

与证明第80练推理与证明练习理训练目标（1）会应用合情推理、演绎推理进行判断推理；⑵会用综合法、分析法、反证法进行推理证明.训练题型（1）推理过程的判泄；（2）合情推理、演绎推理的应用：（3）证明方法的应用.解题策略（1）应用合情推理时，找准变化规律及问题实质，借助左义、性质、公式进行类比归纳；（2）用分析法证明时，要注意书写格式，执果索因逐步递推：（3）用反证法证明时，对所要证明的结论的否左性假设要具有全而性，防止片而性.照此规律，第五个不等式为_____________________________________________________ ・2.已知数列&｝为等差数列，若绥 f ^=b（n-^l.加n^）9则◎尸亜■竺类比n—m上述结论，对于等比数列仏｝仏＞0, nWNJ,若b t=c, bn=d（n-mM2, m、nEN*）,则可以得到b十 ____________ .3.（2016 •合肥二模）正六边形AAG.D.E..F、的边长为1,它的6条对角线又用成了一个正六边形2GDEF：,如此继续下去，则所有这些正六边形的而积和是 _____________ .4.已知等差数列｛韵中，有竺匚吒…一住=企土兰I•一竺则在等比数列UJ中，会有类似的结论： _____________________ •5.下而是一个类似杨辉三角的数阵，则第n（n22）行的第2个数为 _______ .13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 96.（2016 •苏北联考）若直角三角形的两直角边为a, b,斜边c上的高为方，则i=p+p.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥尸一MG刊为该棱锥的高，记古，AM右+矗+£,那么"，再的大小关系是」_____________________ 吃_（填＞, ＜或=）7.设等差数列｛打的前n项和为,，若存在正整数皿n（m＜n）,使得S=S”则弘.,=（）.（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11算法、复数、推理类比上述结论，设正项等比数列仏,｝的前”项积为7；,若存在正整数皿nSVn）,使得乙=T"贝ljTa\a=________________ .8.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一宜角边为股，斜边为弦.若a, b, c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则/+歹=£,称这个泄理为勾股左理.现将这一左理推广到立体几何中：在四而体＜7-/1證中，ZAOB= ZBOC=ZCOA=90a , S为顶点0所对而的面积，S,, 5,分别为侧面⑹△Q1G △宓的而枳，则下列选项中对于S, £, S, &满足的关系描述正确的为.①/=&+€+◎ ②齐g+g+g:s. A X③S=' + ,+ &：④s=g+l+占・dl 02 bsQ IO C9.设数列UJ的首项戲=尸前刀项和为弘且满足2如,+,= 3（朋『），则满足讦＜亍＜o专的所有C的和为_______ ・10.（2016 •湖南师大附中月考三）将正整数按如图方式排列，其中处在从左到右第皿列，从下到上第n行的数记为月（皿n）,如水3,1） =4, A（4, 2）=12,则川1, n） = ____________ ,A（IO9 10） = ____ ・• •• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• •••28 ..... ....... ..... ......... ..... ........ ..... ......................... •••21 27 ................................................................................15 20 26 ...........................................................................10 14 19 25 ......................................................................6 9 13 18 24 .................................................................3 5 8 12 17 23 ...........................................................1 2 4 7 11 16 22 ........................................................11.（2015 •福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中也4=1,2,…，£称为第&位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1或者由1变为0）・已知某种二元码沁…乂的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：0 0=0,0 1 = 1, 1 0=1, 1 1 = 0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第&位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k= _______________ .12.(2016 -武昌调研)如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分：画2条相交线段，将圆分割成4部分：画3条线段，将圆最多分割成7部分：画4条线段，将圆最多分割成11部分.则(1)在圆内画5条线段，将圆最多分割成 _________ 部分；⑵在圆内画n条线段，将圆最多分割成__________ 部分.13.(2016 •江西联考)"求方程(》”+ (|)x=l的解”有如下解题思路:设f(x) = (|)x+ (討,则在R上单调递减，且f(2)=l,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路，方程x +¥= (x+2)'+x+2 的解集为_____________________________ .14.在一次珠宝展览会上，某商家展岀一套珠宝首饰，第1件首饰是1颗珠宝，第2件首饰是由6颗珠宝构成的如图1所示的正六边形，第3件首饰是由15颗珠宝构成的如图2所示的正六边形，第4件首饰是由28颗珠宝构成的如图3所示的正六边形，第5件首饰是由45 颗珠宝构成的如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一泄数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断：(1)第6件首饰上应有______ 颗珠宝；(2)前/lUGN*)件首饰所用珠宝的总颗数为________ •(结果用n表示)答案精析】•】+訐尹存★吉罟解析在 RtAJiAJ ：中，Z/L&丘=30° ,应& = 1,・•.应丘=±=止E,又易知这些正六边形的边长成等比数列，公比为缶・•・这些正六边形的而积成等比数列，公比为严右又•・•正六边形AbCDE 、F\的面积S s =6Xl 故所有这些正六边形的而枳和为S= 1 3A /3 . '1—亍 S 、 2 琲 I — 一-—J —-匚嘉-— -4 • 1 — 1 — 3 3解析设第n(n^2)行的第2个数为对则比=3,②=6,彳=11,念=18,…，所以更决=3, a 〕一& = 5,令一&i = 7,…，场一比-, = 2(”一1) —1 = 2力一3,由累加法得 a$_ a 二[2”一3+3： n-2 =〜所以岔"一2卄『/一2卄3於2).6. 解析由题意Sz ・ P0= ^ • PA • PB • PC,所以Q 存名_丈 w+ 比磁 +1 1 - 】 ' 和■ PE ■ PC 47. 1解析因为Tx = Tnf 所以如』十・・・人=1，加=鸟+ :即心： 2.3普1_3^32~ 2 '从而 ba\ lbn =1 9 Tm= &bz ・・・bbr …bb 、\…=爲•仏亦—）•••（£＞』+） •（也厶）…=18. ①解析如图，作ODLBC 于点0,连结初，由立体几何知识知，ADLBC,从而/=（詁C •肋尸 =新・曲=新•（射+肋弓抄+0・。

江苏专用2018版高考数学专题复习专题11算法复数推理与证明第84练不等式选讲练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第84练不等式选讲练习理训练目标理解不等式的解法及证明方法．训练题型(1)绝对值不等式的解法；(2)不等式的证明；(3)柯西不等式的应用．解题策略(1)掌握不等式的基本性质；(2)理解绝对值的几何意义；(3)了解柯西不等式的几种形式.1．(2016·苏北四市一模)设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋x2－2xy＋y2≥2y＋3.2．(2016·南京、盐城二模)已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥8.3．(2016·常州一模)已知a＞0，b＞0，证明：(a2＋b2＋ab)·(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2. 4．(2016·南通模拟)已知：a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.5．(2016·泰州一模)已知正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，求证：1a2＋1b4＋1c6≥27.6．(2016·苏、锡、常、镇四市二模)已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a的取值范围．答案精析1．证明由题意得x＞0，y＞0，x－y＞0，因为2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y2≥3 3x－y21x－y2＝3，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.2．证明因为x为正数，所以1＋x≥2x，同理，1＋y≥2y，1＋z≥2z，所以(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥2x·2y·2z＝8xyz＝8，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立．3．证明因为a＞0，b＞0，所以a2＋b2＋ab≥33a2·b2·ab＝3ab＞0，ab2＋a2b＋1≥33ab2·a2b·1＝3ab＞0，所以(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．4．证明因为|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|. 又a≥2，故|2a－1|≥3.所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.5．证明因为正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，所以1≥33ab2c3，即ab2c3≤127，所以1ab2c3≥27，因此1a2＋1b4＋1c6≥331a2b4c6≥27.6．解存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x＝3×x＋2＋1×14－x，因为(3×x＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，所以f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，故常数a的取值范围是(－∞，8)．。

苏教版高中数学高考总复习(理科)知识讲解_几何证明选讲、参数方程与极坐标

高考总复习：几何证明选讲、参数方程与极坐标【考纲要求】1、相似三角形的判定及有关性质（1）了解平行线分线段成比例定理。

（2）会证明并应用直角三角形射影定理。

2、直线与圆的位置关系（1）会证明并应用圆周定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

（2）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

3、极坐标（1）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。

能进行极坐标和直角坐标的互化；（2）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。

4、参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义；（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。

【知识网络】【考点梳理】考点一、相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

（2）推论：①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

如右图：l 1∥l 2∥l 3，则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===2．平行线分线段成比例定理及推论（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3．相似三角形的判定及性质（1）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

（2）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如图，若EF//BC ，则⊿AEF ∽⊿ABC 。

②判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。

③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

江苏专用2020版高考数学专题复习专题11算法复数推理与证明第71练复数练习文

文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编借•欢迎下载支持.14. （2016 •苏州一模）对任意复数z=x+yi （AS yER ）, i 为虚数单位，则下列结论正确的 lword 版本可编辑•欢迎下载支持.与证明第71练复数练习文9 4- i2. （2016 •南京、盐城一模）已知复数z=l ・（i 是虚数单位），则z = ____________ ・3. （2016 •泰州一模）如图，在复平而内，点A 对应的复数为z“若-=i （i 为虚数单位）, 则 Z == _______ .4. ___________________________________ 设复数 z 满足（l-j ）z = 2i,贝ijz= .5. （2016 •全国甲卷改编）设复数z 满足z + f=3T,则T= ____________________ ・6. __________________________________________________________________ 已知,为虚数单位，Z 2=2-J ,且Z =：Z =L 则实数a 的值为 ___________________________________7. 若复数z=2—几8. （2016 •长沙模拟）已知集合M=T,『，集合ZCM 中的元素个数是10. （2015 •江苏）设复数z 满足/=3 + 4i （i 是虚数单位），则^的模为 ____________11・i 是虚数单位.若复数（l-2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数&的值为 ____________ ・212. （2016 -山东实验中学诊断）在复平而内，复数亡对应的点到直线y=-v+l 的距离是（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题 11算法、复数、推理13. (2016 •江苏一模)设 f(n)=( T+( 1-i r+i）7nefT ）,则集合｛&）｝中元素的个数为，是虚数单位，Z 为整数集，则 9. 已知a 是实数,巳是纯虚数, 则a=版.word版本可编辑:•欢迎下载支持.是 _______ ・（填序号）① |z—z | =2y： ©/=/+y；③|z—z④+ ；y|.版.word 版本可编辑:•欢迎下载支持.5. 3+2i6. ±27. 6+3i8. 2解析由已知得.Q{i, — 1，一i,2}, Z 为整数集, ・・・ZC 片{一1,2},即集合ZG"中有2个元素.9. 1 a+i 1-i a —1+ a+1 i= 2 '当芒|为纯虚数时，号即尸1・10. ^5解析设 z=a+bi(a, bWR),则 z=a~ I)+2abi,—歹=3由复数相等的左义得.2必=4,a=2, [a=—2,解得仁、或仁’6=1 b= — lf从而 Z =7£ +11. 一2解析 I (l-2i) (a+i) =2 + a+ (1 一20 i 为纯虚数,12.答案精析3 1 3. —2 —i 4. 一 1 + i解析 2 _ 2 1 + i l~i 1 + i 2= l + i,所以复数亡对应的点为(1,1),点(1,1)到直线y 解析 —10 10 • ,+_=(2+i)+__=(2+i)4 10 2 + i2^1 2+i= 6+3i. 1 —2aH0,2 + a=0, 解得a= — 2.文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑:•欢迎下载支持.13. 3解析因为 fS) =(F 〒)"+(=)"=i”+(-i)”，所以 f(l)=0, f(2) = — 2, f(3)=0, f(4)=2, f(5)=0=f(l),故集合｛f(c)｝中共有 3 个元素.14. ④解析对于①，T z =x —yGR), I z — z =|x+yi —%+yi = I 2yi I = 2y\, •:①不正确：对于②，#+2xyi,故不正确；对于③V z — z \ = \2y\ ^2x 不一立成立, •••③不正确：对于|z|=>/7+7<刃+ |厂，故④正确. x+1的距藹为 1-1 + 1。

精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题11算法复数推理与证明第81练几何证明选讲练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第81练几何证明选讲练习理1.如图所示，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BF FC的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值．2.(2016·南京六校联考)如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE 、CFD 、CGE 都是⊙O 的割线，已知AC ＝AB .求证：FG ∥AC .3.(2016·南京、盐城一模)如图，已知点P 为Rt△ABC 的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt△ABC 的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D .若PA ＝18，PC ＝6，求线段CD 的长． 4.(2016·南通三模)如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H.求证：PA·AH＝PC·HB.5.(2016·南京、盐城一模)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连结AD，BD.若AC＝4，DE＝3，求BD的长．6．(2016·苏北四市一模)如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.答案精析1．解(1)过D点作DG∥BC，交AF于G点．∵E是BD的中点，∴BE＝DE.又∵∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG，∴△BEF ≌△DEG ，∴BF ＝DG ，∴BF ∶FC ＝DG ∶FC .∵D 是AC 的中点，∴DG ∶FC ＝1∶2，∴BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12. (2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底，则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2，其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高，则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16，则S 1∶S 2＝1∶5.2．证明 ∵AB 为切线，AE 为割线，∴AB 2＝AD ·AE ，又∵AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2.∴AD AC ＝AC AE ，又∵∠EAC ＝∠CAD ，∴△ADC ∽△ACE ，∴∠ADC ＝∠ACE ，又∵∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF ＝∠ACE ，∴GF ∥AC .3．解由切割线定理，得PC 2＝PA ·PB ，解得PB ＝2，所以AB ＝16，所以Rt△ABC 的外接圆半径r ＝8，记Rt△ABC 外接圆的圆心为O ，连结OC ，则OC ⊥PC ，在Rt△POC 中，由面积法得OC ·PC ＝PO ·CD ，解得CD ＝245.4．证明连结AC ，AB ，因为BC 为圆O 的直径，故AC ⊥AB .又AH ⊥PB ，故AH 2＝CH ·HB ，即AH CH ＝HB AH .因为PA 为圆O 的切线，故∠PAC ＝∠B .在Rt△ABC 中，∠B ＋∠ACB ＝90°，在Rt△ACH 中，∠CAH ＋∠ACB ＝90°，所以∠CAH ＝∠B ，所以∠PAC ＝∠CAH ，所以PC CH ＝PA AH ，即AH CH ＝PA PC .所以PA PC ＝HB AH ，即PA ·AH ＝PC ·HB .5．解因为CD 与⊙O 相切于点D ，所以∠CDA ＝∠DBA ，因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ADB ＝90°.又DE ⊥AB ，所以△EDA ∽△DBA ，所以∠EDA ＝∠DBA ，所以∠EDA ＝∠CDA ，DE BD ＝AE AD .又∠ACD ＝∠AED ＝90°，AD ＝AD ，所以△ACD ≌△AED .所以AE ＝AC ＝4，所以AD ＝AE 2＋DE 2＝5，又DE BD ＝AE AD ，所以BD ＝DE AE ·AD ＝154.6．证明连结OT .因为AT 是切线，所以OT ⊥AP . 又因为∠PAQ 是直角，即AQ ⊥AP ，所以AB ∥OT ，所以∠TBA ＝∠BTO .又OT ＝OB ，所以∠OTB ＝∠OBT ，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.。

高中数学必修+选修全部知识点精华归纳(苏教版)讲义

专题一：推理与证明知识结构1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：∙通过观察个别情况发现某些相同的性质；∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；∙证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；∙用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；∙检验猜想。

3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法n 的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.专题二：数系的扩充与复数 1、复数的概念 ⑴虚数单位；⑵复数的代数形式(,)z a bia b R =+∈；⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数. 2、复数的分类复数(),z a bi a b R =+∈3、相关公式⑴d c b a di c bi a ==⇔+=+且, ⑵00==⇔=+b a bi a ⑶22b a bi a z +=+=⑷z a bi =-z z ，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）. 4、复数运算⑴复数加减法：()()()()i d b c a di c bi a ±+±=+±+； ⑵复数的乘法：()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++；⑶复数的除法：()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- （类似于无理数除法的分母有理化→虚数除法的分母实数化） 5、常见的运算规律)9(设231i +-=ω是1的立方虚根，则012=++ωω，1,,332313===+++n n n ωωωωω6、复数的几何意义x 轴叫做复平面的实轴，y 轴叫做复平面的虚轴. 专题三：排列组合与二项式定理 1、基本计数原理⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事情共有n m m m N +++= 21种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)做一件事情，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法……做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事情共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法. 2、排列与组合⑴排列定义：一般地，从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的一个排列.⑵组合定义：一般地，从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的一个组合.⑶排列数：从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的排列数，记作mn A .⑷组合数：从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的组合数，记作m n C .⑸排列数公式：①()()()121+---=m n n n n A mn()!m n n A m n -=！；②!n A n n =，规定1!0=.⑹组合数公式： ①()()()!121m m n n n n C mn +---=或()!!m n m n C mn -=！；②m n n m n C C -=，规定10=n C .⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.⑻排列与组合的联系：mm m n m n A C A ⋅=，即排列就是先组合再全排列.()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-⑼排列与组合的两个性质性质排列11-++=m n m n m n mA A A ；组合11-++=m nm n m n C C C . ⑽解排列组合问题的方法①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）. ④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）. ⑤有序问题组合法.⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法.⑧相同元素分组可采用隔板法.⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以n ！. 3、二项式定理⑴二项展开公式：()011222nnn n r n r rn n n n a b C a C ab C a b C a b ---+=++++ ()n nn C b n N +++∈.⑵二项展开式的通项公式：()+-+∈∈≤≤=N n N r n r b a C T rr n r n r ,,01.主要用途是求指定的项.⑶项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如在()nax b +的展开式中，第1r +项的二项式系数为rn C ，第1r +项的系数为rn rr n C a b -；而1()n x x+的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.⑷()n x +1的展开式：()0221101x C x C x C x C x n n n n n n n n n++++=+-- ，若令1=x ，则有()nnn n n n n C C C C ++++==+ 210211. 二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即131202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n C C C C⑸二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=；（2）增减性与最大值：当12n r +≤时，二项式系数C r n 的值逐渐增大，当12n r +≥时,C rn 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

江苏高考数学理二轮专题复习课件8.3坐标系与参数方程

x＝2，联立方程①②，得 y＝2
1 x＝，或 2 y＝－1.
1 ∴直线l与曲线C的公共点坐标为(2,2)，2，－1.
[探究提升] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法，或三角恒等变换消去参数． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．
解
(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
ρ＝2，解 ρ＝4cos
π 得ρ＝2，θ＝± ， 3 θ
故圆C1与圆C2交点的坐标为
π π 2，，2，－ . 3 3
(2)法一由x＝ρcos θ，且y＝ρsin θ，得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1， 3)，(1，－ 3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
2 x＝2tan θ， (t为参数)，曲线C的参数方程为 y＝2tan θ
(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
[思路点拨] 用代入法消去参数t，θ化为普通方程，联立方程求出公共点的坐标．
解
由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，
∴直线l的普通方程2x－y－2＝0.① 又x＝2tan2θ，且y＝2tan θ，消去tan θ，得曲线C的普通方程为y2＝2x.②
[思路点拨] (1)将方程ρ＝2 5sin θ变为ρ2＝2 5 ρsin θ，进而化为直角坐标方程．(2)直线l与圆C的方程联立，运用参数t的几何意义求解．
解 (1)由ρ＝2 5sin θ，得ρ2＝2 5ρsin θ.
∴x2＋y2＝2 5y，即x2＋(y－ 5)2＝5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程．

江苏高考数学理二轮专题复习演练8.3坐标系与参数方程

第3讲坐标系与参数方程1．(2012·江苏)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解如图，在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1. ∴圆心C 的坐标为(1,0)．又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在圆C 上． ∴在△POC 中，由余弦定理得|PC |2＝12＋(2)2－2×1×2cos π4＝1. ∴圆C 的半径|PC |＝1，则圆C 过极点．于是圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，∴⎩⎨⎧5cos t ＝x －4，5sin t ＝y －5.∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎨⎧(x －4)2＋(y －5)2＝25，x 2＋y 2＝2y ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 3．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．4．(2013·湖北改编)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m (m 为非零数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率．解椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m ，得ρsin θ＋ρcos θ＝m ， ∴直线l 的普通方程为x ＋y ＝m ，又圆ρ＝b 的普通方程为x 2＋y 2＝b 2(b ＞0)，不妨设直线l 过椭圆C 的右焦点F 2(c,0)，则c ＝m ，又直线l 与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)， ∴c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率e ＝63.。

江苏专用2020版高考数学专题复习专题11算法复数推理与证明第84练不等式选讲练习理

文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑:•欢迎下载支持.与证明第84练不等式选讲练习理训练目标理解不等式的解法及证明方法. 训练题型（1）绝对值不等式的解法：（2）不等式的证明：（3）柯西不等式的应用.解题策略（1）掌握不等式的基本性质；（2）理解绝对值的几何意义：（3）了解柯西不等式的几种形式.1. （2016 •苏北四市一模）设"p 均为正数，且Qy,求证：2十：...一詩2y+3.2. （2016 •南京、盐城二模）已知x, y, z 都是正数，且X yz=l,求证：（1 + x ）（1+y ）（1 + z ）豪8・3. （2016 •常州一模）已知 &>0, b>0,证明:（子+• （atf £>+1） ^9a 3Zf.4. （2016 •南通模拟）已知：xGR.求证：:X — 1 + a + x~a \ ^3. 5. （2016 •泰州一模）已知正实数a, b, c 满足卄歹+£=1,求证：£+吕+2$27・ a b c6. （2016・苏、锡、常、镇四市二模）已知函数f3=#3x+6, &3=寸14_<若存在实数x 使f （x ）+g （x ）>a 成立，求实数a 的取值范围・答案精析1 •证明由题意得垃>0, y>0. x-y>0,因为2奸/—2；+广2y=2(x-y) + --------- - --- : X — y=Cv —y) + (-v —y) H ------ --- : x — y42时产2十・2•证明因为x 为正数，所以1+<工2心，同理，l +所以（I+.Y ）（1 + y ）（1 + z ） 22心• 2心• 2\[z=8y[xyz=89lword 版本可编辑•欢迎下载支持.当且仅当x=y=z=l 时等号成立.3. 证明因为a>0, b>Q.（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题 11算法、复数、推理 23x — y文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑:•欢迎下载支持.所以h + Zf• S • ab=3ab>0,訪+為+1工3寻訪• Xb・l = 3ab>0,所以(那 + Zf+ab) (aZf+a7+l) ,当且仅当a=b=l时等号成立.4.证明因为也+川2 jn~n \»所以)X— 1 + a + :X— a| 2 x~l-\-a— {x~a) I = | 2a—1 ・又a22,故|2&—1 M3・所以'x— 1 + a + x— a\ ^3.5.证明因为正实数a, b, c满足a+F + c'=l,所以1鼻3引訪即aU6.解存在实数*使f&)+g(x)>a成立, 等价于f{x) +g(x)的最大值大于a, /(-¥)+gO =寸3%+6+寸14 —x =羽乂心+2 + 1><714-阳因为(羽X 寸x+2 +1X y/14_x)3W (3+1)6+2+14 —JV) =64,所以 /(-¥)+gGr) =yj3x+6+y/14 — xW8,当且仅当x=10时取“=”，故常数a的取值范围是(一叫8).2word版本可编辑•欢迎下载支持.。

(江苏专用)高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第71练复数练习文-人教版高三全

（某某专用）2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第71练复数练习文训练目标(1)熟记复数的有关概念；(2)掌握复数代数形式的四则运算；(3)理解并能简单应用复数的几何意义.训练题型(1)复数及其相关概念的应用；(2)复数的计算；(3)复数的模与共轭复数的求解与应用；(4)复数的几何意义的应用.解题策略(1)正确理解复数的有关概念，会利用复数相等列方程；(2)复数除法的运算是难点，应重点掌握；(3)复数的模的问题常与两点间的距离相联系.1．(2016·某某一模)i 为虚数单位，则1－i 2－i＝____________. 2．(2016·某某、某某一模)已知复数z ＝2＋i 1－i(i 是虚数单位)，则|z|＝________. 3．(2016·某某一模)如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i (i 为虚数单位)，则z 2＝________.4．设复数z 满足(1－i )z ＝2i ，则z ＝________.5．(2016·全国甲卷改编)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝______________.6．已知i 为虚数单位，z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值为______．7．若复数z ＝2－i ，则z ＋10z＝________. 8．(2016·某某模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，1＋i 2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是________．9．已知a 是实数，a ＋i 1－i是纯虚数，则a ＝________. 10．(2015·某某)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．11．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．12．(2016·某某实验中学诊断)在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是________．13．(2016·某某一模)设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________．14．(2016·某某一模)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2；③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |. 答案精析1.35－15i2.1023.－2－i4.－1＋i 5．3＋2i 6.±27．6＋3i解析 ∵z ＝2－i ，∴z ＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋102＋i 2－i 2＋i ＝6＋3i. 8．2解析由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z∩M ＝{－1,2}，即集合Z∩M 中有2个元素．9．1解析a ＋i 1－i ＝a ＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝a －1＋a ＋1i2，当a ＋i 1－i 为纯虚数时，a －12＝0，即a ＝1. 10. 5解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1，从而|z |＝a 2＋b 2＝ 5.11．－2解析 ∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a ＝－2.12.22解析 21－i ＝21＋i 1－i 1＋i ＝1＋i ，所以复数21－i对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x ＋1的距离为1－1＋112＋－12＝22. 13．3 解析因为f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n ＝i n ＋(－i)n ，所以f (1)＝0，f (2)＝－2， f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0＝f (1)，…，故集合{f (n )}中共有3个元素．14．④解析对于①，∵z ＝x －y i(x ，y ∈R)，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；对于③∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确．。

江苏专版高考数学一轮复习板块命题点专练十三算法复数推理与证明文含解析苏教版

江苏专版高考数学一轮复习板块命题点专练十三算法复数推理与证明文含解析苏教版板块命题点专练(十三) 算法、复数、推理与证明命题点一算法1.(2018·江苏高考)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．I ←1S ←1While I ＜6I ←I ＋2 S ←2SEnd WhilePrint S解析：I ＝1，S ＝1，此时I ＜6，进入循环；I ＝3，S ＝2，此时I ＜6，进入下一次循环；I ＝5，S ＝4，此时I ＜6，进入下一次循环；I ＝7，S ＝8，此时I ＞6，不满足I ＜6，退出循环，输出S ＝8.答案：82．(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥1，2＋log 2x ，0＜x ＜1，所以当输入的x 的值为116时，y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.答案：－23．(2016·江苏高考)如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________．解析：由a ＝1，b ＝9，知a ＜b ，所以a ＝1＋4＝5，b ＝9－2＝7，a ＜b .所以a ＝5＋4＝9，b ＝7－2＝5，满足a ＞b .所以输出的a ＝9.答案：94．(2015·江苏高考)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．S ←1I ←1While I ＜8S ←S ＋2 I ←I ＋3End WhilePrint S解析：由程序可知，S ＝1，I ＝1，I ＜8；S ＝3，I ＝4，I ＜8；S ＝5，I ＝7，I ＜8；S ＝7，I ＝10，I ＞8，此时结束循环，输出S ＝7.答案：7命题点二复数1.(2018·江苏高考)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．解析：由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i i＝2－i ， ∴z 的实部为2.答案：22．(2017·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．解析：法一：复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，则|z |＝－12＋32＝10. 法二：|z |＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10.答案：103．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.答案：54．(2015·江苏高考)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝32＋42＝5，所以|z |＝ 5.答案： 55．(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________. 解析：6＋7i 1＋2i ＝6＋7i 1－2i 1＋2i1－2i ＝20－5i 5＝4－i. 答案：4－i命题点三合情推理与演绎推理1.(2017·全国卷Ⅱ改编)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则下列说法正确的序号为________．①乙可以知道四人的成绩②丁可以知道四人的成绩③乙、丁可以知道对方的成绩④乙、丁可以知道自己的成绩解析：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩．故④正确．答案：④2．(2016·天津高考)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑k ＝12n (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑k ＝1n1T k ＜12d 2. 证明：(1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1. 因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝2d ·n a 2＋a 2n 2＝2d 2n (n ＋1)．所以∑k ＝1n 1T k ＝12d 2∑k ＝1n1k k ＋1＝12d 2∑k ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1 ＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＜12d 2.。

高考数学(江苏版)一轮配套课件：§22.2 坐标系与参数方程

x y
4cos , 3sin
(θ为参数,θ∈R),直线l:x 3
2 t, 2
y 3
2t 2
(t为参数,t∈R),求曲线C
上的动点P到直线l的距离的最小值.
解析
将直线l的参数方程x 3
2 t,
2 化为普通方程为x-y-6=0.
y 3
2t 2
因为点P在曲线C:xy
4cos , 3sin
(2)极坐标与直角坐标的转化设M为平面上任意一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面的关系式成立:
x y
cos sin
,
或
ρ2 tan
x2
y2, y (x x
0).
顺便指出,上式对ρ<0也成立.
这就是极坐标与直角坐标的互化公式. (3)圆的极坐标方程 a.圆心在极点,半径为R的圆的极坐标方程为ρ=R. b.圆心在极轴上的点(a,0)处,且圆过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2acos
例1 (2017江苏南通中学期中)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直
线l的极坐标方程为
ρsin
π 6
=m.若直线l与曲线C有且只有一个公共
点,求实数m的值.
•பைடு நூலகம்
1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。
•
2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的17:14:4717:14:4717:1410/16/2021 5:14:47 PM
高考数学
§22.2 坐标系与参数方程
知识清单
1.极坐标系 (1)在平面上取一个定点O,由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位、一个角度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.O点称为极点,Ox轴称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标,ρ称为极径,θ称为极角.

江苏专版2020届高三数学一轮复习《坐标系与参数方程》典型题精选精练附答案详析

曲线
C
的参数方程是

x y

t t
，（
2
t
为参数）．以原点
O
为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 sin( 4) 2 ．
4
求：（1）直线 l 的直角坐标方程；（2）直线 l 被曲线 C 截得的线段长．
16 、（苏州市 2019 届高三上学期期中调研）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为
18、（徐州市 2019 届高三上学期期中质量抽测）在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 2 cos( ) +1 4
＝0。以极点 O 为坐标原点，极轴正方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系 xoy，曲线 C 的参数方程
为

x y

r r
cos sin
（θ为参数，r＞0），若直线
3 （t 为参数）的普通方程为 y
3x 2 ．…………6 分
（2）圆心 (0，1) 到直线 l: y 3x 2 的距离为 d 1 2 1 ， 1 32 2
又因为半径为 1，所以弦长为 2 1 (1)2 3 ． 2
………………10 分
5、解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为 x2＋y2＝2ay，整理得 x2＋(y－a)2＝a2.(3 分) 将直线ρcos(θ＋π)＝1 化成普通方程为 x－y－ 2＝0.(6 分) 4 因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|a＋ 2|＝a，(9 分) 2
………………………10 分
2、解：消去参数 t ，得直线 l 的普通方程为 y 2x 1 ，

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（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理
与证明第83练坐标系与参数方程练习理
1．(2016·苏北四市一模)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρsin(θ－3
)＋13＝0，已知A (1，3π2)，B (3，3π2
)，P 为圆C 上一点，求△PAB 面积的最小值．
2．(2016·南京、盐城一模)在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(22，－π4
)，圆E 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋4sin θ，试判断点A 和圆E 的位置关系．
3．(2016·南通调研)在极坐标系中，已知点A (2，π4
)，圆C 的方程为ρ＝42sin θ(圆心为点C )，求直线AC 的极坐标方程．
4．(2016·南京六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22＋r cos θy ＝－22＋r sin θ(θ为参数，r ＞0)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4
)＝1，若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．
5．(2016·镇江一模)已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π3
)＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，设P 点是曲线C 上的任意一点，求P 点到直线l 的距离的最
大值．
6．(2016·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos α
y ＝r sin α(α为
参数，r 为常数，r ＞0)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ＋π4
)＋2＝0.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝22，求r 的值．
答案精析
1．解圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋43x －4y ＋13＝0，即(x ＋23)2＋(y －2)2＝3，
由题意得A (0，－1)，B (0，－3)，
所以AB ＝2.
P 到直线AB 距离的最小值为23－3＝ 3.
所以△PAB 面积的最小值为12×2×3＝ 3.
2．解点A 的直角坐标为(2，－2)，
圆E 的直角坐标方程为
(x －2)2＋(y －2)2＝8，
则点A 到圆心E 的距离
d ＝－2＋－2－2＝4＞22，
所以点A 在圆E 外．
3．解圆C 的直角坐标方程为
x 2＋y 2＝42y ，
即x 2＋(y －22)2＝8，圆心C 的直角坐标为(0,22)．又点A 的直角坐标为(2，2)．
所以直线AC 的斜率k AC ＝22－2
0－2＝－1.
所以直线AC 的直角坐标方程为
y ＝－x ＋22，
所以直线AC 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝22，即ρsin(θ＋π
4)＝2.
4．解圆C 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－22＋r cos θ
y ＝－2
2＋r sin θ(θ为参数，r ＞0)，
消去参数θ得(x ＋2
2)2＋(y ＋2
2)2＝r 2(r ＞0)，
∴圆心C (－2
2，－2
2)，半径为r .
直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π
4)＝1，
化为普通方程为x ＋y －2＝0.
∴圆心C (－2
2，－2
2)到直线x ＋y －2＝0的距离
d ＝|－22－22
－2|
2＝2，
∵圆C 上的点到直线l 最大距离为3，即d ＋r ＝3，
∴r ＝3－d ＝3－2＝1. 5．解由ρsin(θ－π
3)＝3，
可得ρ(12sin θ－3
2cos θ)＝3，
所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，得x 2＋y 2＝4，圆心坐标为(0,0)，圆的半径r ＝2. 所以圆心到直线l 的距离d ＝62＝3，
所以P 点到直线l 的距离的最大值为 d ＋r ＝5.
6．解由2ρcos(θ＋π
4)＋2＝0，
得ρcos θ－ρsin θ＋2＝0，
所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos α，
y ＝r sin α，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，圆心坐标为(0,0)，
所以圆心到直线l 的距离d ＝2，
由AB ＝2r 2－d 2＝22及r ＞0，得r ＝2.。