解答题突破练(六) 高考数学(理科)二轮复习讲义
高考解答题突破(六)高考数学大二轮复习课件(共46张PPT)
(3)f(x)＝ex－12bx2＋ax，f′(x)＝ex－bx＋a， 由 f(x)为 R 上的单调函数，可知 f(x)一定为单调递增函数， 因此 f′(x)＝ex－bx＋a≥0. 令 g(x)＝f′(x)＝ex－bx＋a，则 g′(x)＝ex－b. 当 b＝0 时，ab＝0. 当 b<0 时，g′(x)＝ex－b>0，g(x)在 R 上为增函数． 当 x→－∞时，g(x)→－∞，与 g(x)≥0 矛盾． 当 b>0 时，由 g′(x)>0，得 x>lnb，由 g′(x)<0，得 x<lnb，当 x＝lnb 时，g(x)min＝b －blnb＋a≥0， 即 ab≥b2lnb－b2(b>0)．
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考向一 导数与函数的单调性、极值与最值问题 1．讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问 题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论． 2．对含参数的函数解析式求最值时，常常分类讨论，分类的原则是极值点在给定 区间的内部还是外部，从而根据单调性求出最值．
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[解题指导] (1)求定义域及 g′(x)→分类讨论 g′(x)的符号→得结论 (2)构造函数 F(x)＝f(x)－(a－e)x－b 转化为 F(x)≤0 恒成立→讨论 F(x)的最大值→ 建立 b 与 a 的关系→转化为关于 a 的函数→研究函数的最值→得结果
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[解] (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． 由题意，得 g(x)＝lnx－ax＋1，则 g′(x)＝1x－a. 当 a≤0 时，g′(x)>0，则函数 g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当 a>0 时，令 g′(x)＝0，解得 x＝1a，
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解决方程根或函数零点个数问题的 3 步 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 x 轴(或直线 y ＝k)在该区间上的交点问题． 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进 而画出其图像； 第三步：结合图像求解．
高考数学二轮复习 解答题题型练习6 解析几何中的探索性问题
题型六 解析几何中的探索性问题(推荐时间：30分钟)1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，△AF 1F 2为正三角形，且以AF 2为直径的圆与直线y ＝3x ＋2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．2．(2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．答 案1．解 (1)∵△AF 1F 2是正三角形，∴a ＝2c .由已知F 2(c,0)，A (0，b )，∴以AF 2为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，12b ，半径r ＝12a . 又该圆与直线3x －y ＋2＝0相切，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －b 2＋22＝a 2. 由a ＝2c ，得b ＝3c ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －32c ＋22＝a 2. 得a ＝2，∴c ＝1，b ＝ 3.椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 2(1,0)，l ：y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， ∴PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)．由菱形对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，∴(x 1＋x 2－2m )(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0，得k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，得k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 由已知条件k ≠0，且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4. ∵3k 2>0，∴0<m <14. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 2．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4， 解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一．。
高三数学二轮复习解答题压轴题突破练理新人教版
解答题压轴题突破练(建议用时：30分钟)2 21. 已知椭圆E: /+/二1(a>b >o ),A 为椭圆E 的右顶点,B, C 分别为椭圆E 的上.下顶点.(1) 若N 为AC 的中点,ABAN 的而积为\/2,椭圆的离心率为2 ,求椭圆E 的方程.\CM\_(2) F 为椭圆E 的右焦点，线段CF 的延长线与线段AB 交于点斗与椭圆E 交于点P,求I CP I 的最小值.1 1 1[解析】⑴因为 S.M=2sgc 二2 x 2 x 2bX a=\2cQ所以 ab 二2\2 又a 二 2 , a-b 2=c :,所以可解得 a=2, c 二b=\22 2 x y(2)直线 AB ：y=b-Qx,直线 CF ：y-b+Cx,联立方程解得+ c a + c(lac ab 一 be- _ ------ , ------- + b 设CM“CPa>o ),P (“),则W + c a + c2ac lab - Ab (a + c)所以沪久⑺+ c), y =久(a + c).4c 2[2a-A(a + c)]2把上式代入椭圆方程得几2(a + c)2+ zl 2(a + c)2二1, 即 4c ：+[2a-X (a+c)] =X 2(a +c)2.a 2 + c 2 1+ e 2 2所以 x=a(a + c)二 1 + e 二 @+i )+e + 1-2.因为0<e<l,所以l<e+l<2,所以X 22\E-2,当且仅当e+l=j2即e^'2-1时，等号成立，此所以椭圆E 的方程为4 + 2二1.bb2ac ab - bC=X (x, y+b),时X取到最小值27'2-2,\CM\_「即|CP|的最小值为㊁-2.2.已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点0,离心率等于2 ,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4\'§.直线,：y二kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A, B两个点.⑴求椭圆E的方程.(2)若AP二3PB,求的取值范围.2 2n【解析】⑴根据已知设椭圆E的方程为*+b〈i(a>b>0),焦距为2c,口R 2由已知得0= 2，所以c二2 a> b==a:-c==4因为以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4寸5所以椭圆E的方程为£+4二1.(2)根据已知得P (0, m),设A (x x, kxi+m), B (x2, kx s+m),‘ y = kx + 讥,2 2由14无+ y - 4 = °得，k+4)x：+2mkx+m'-4二0・由已知得A =4m：k-4 (k2+4) (m-4) >0,即k"-m'+4>0,・ 2 km m2一4且XI+XF/ + 4, X1X2=fc2 + 4由AP二3PB得Xi=-3x：.2 2所以3 (xx+xo) C+4X1X：=12X2-12X2=0.12/<2m2 4(m2 - 4)所以(以 + 4) 2+ k2 + 4 =0,即m¥+m-k-4=o.4- m22 当m c=l 时,m:kW-k^4=0 不成立，所以k2=m - 1.因为k:~m2+4>0,4 - m2(4 - m2)7?i22 2“所以m - l-m2+4>o,即rn - 1 >o.所以l<m：<4.所以的取值范围为(1,4).3.已知椭圆C的焦点坐标是几(-1, 0),F=(l, 0),过点F：垂直于长轴的直线1交椭圆C于B,D两点，且BD|=3.⑴求椭圆C的方程.5⑵是否存在过点P(2,1)的直线厶与椭圆C相交于不同的两点M, N,且满足PM・PN二4?若存在,求岀直线厶的方程;若不存在,请说明理由.2 2【解析】(1)设椭圆的方程是Q =l(a>b>0),由题可知c二1,因为BD =3,所以Q二3,又a:-b:=l,所以a=2, b』3,2 2所以椭圆c的方程为4 + 3二1.(2)假设存在直线厶且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为y=k(x-2)+l.y = k(x -2) + 1,由I 4 3 得(3+4k:)x c-8k (2k-l) x+16k:-16k-8=0.因为直线厶与椭圆C 相交于不同的两点见N, 设 M (xi, yi), N(xs, y ：),所以 A = [-8k (2k-l)]M (3+4k s ) (16k 3-16k-8) >0,1所以k>-2,8fc(2/c - 1) 16以-16k - 8X1+x ；= 3 + 4/c 2, X1X;= 3 + 4以， 5—> f因为PM・ PN 二&厂力(x=-2) + (y-l) (y 厂 1)=4,5所以 *-2) (x :-2) (1+F)二4,5即[xiX s -2 (X I +X 3)+4] (1+k 3)二4,1 1 1解得k=±2.因为k>-2,所以k 二2,1故存在宜线厶满足条件，其方程为y=2x.2X4. 已知函数f (x)二apX-3 (x >0),其中e 为自然对数的底数. ⑴当a 二0时，判断函数y 二f (x)极值点的个数.⑵若函数有两个零点x“ x^CxXxc),设t'l,证明:x’+x ：随着t 的增大而增大.2 X【解析】⑴当圧0时,f(x)二-& (x>0),16/<2-16fc-8 所以.3+ 4Q 2.8/C (2/C -1)3 + 4/4 + 4/d 5(i+k=)=3 +4“ 二a,・ 2x-e x - ( - x z\e x x(x 一2) F (x)= (巧二” 令f T (x)=0,则X二2,当xe(0, 2)时,f' (x)<0,y二f(x)单调递减, 当xG(2, +8)时,f1 (x)〉0, y=f(x)单调递增, 所以x 二2是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数尸f(x)有一个极值点.2X 3厂~~x 2(2)令f (x)=a\'X-* 二0,则X =ae x,因为函数有两个零点X：, XcCx/x：),3-ji 尢］今勺一所以V\ =aC , =aC ,可得21nxi=lna+xi t321nxc=lna+x：.X2X l=t,则t>l,且X2 = tX lf l ln(.3 2x?-x1 = -Int, , 2解得肿",-tint23(t + l)lnt所以Xx+X:=2 t-1•①(x + l)lnx令h(x)= X — 1,xW(l,+8),1-2lnx + x-一x 则h r (x)= (%_1)2故x:-Xi=2 lnx：-2 lnxi=2 1.文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑•欢迎下载支持.16word 版本可编辑•欢迎下载支持.当xe(l,+oo)时,f (x)>0.因此,u(x)在(1, +8)上单调递增. 故对于任意的 xG (1, +8), u(x) >u(l)=0, 由此可得h' (x) >0,故h (x)在(1, +8)上单调递增. 因此，由①可得x,+x ：随着t 的增大而增大.x- a5•已知立义在(0, e)上的函数f (x) =lnx- X . (1) 求此函数的单调区间.(2) 若过点A(b -1)有且仅有一条直线与函数y=f(x)的图象相切，求&的取值范围・x- a【解析】(1)由题意f‘ (x)= X 2当aNe 时,函数f(x)在(0, e)上是减函数：当0〈a<e 时，此时函数f(x)^t(0, a)上是减函数，在(a, e)上是增函数; 当aWO 时，函数f(x)在(0. e)上是增函数.%0 - a勺-a 血。
高考数学大二轮复习刷题首选卷第二部分刷题型解答题(六)课件理
－x0＝4，
x0＝－4，
∴p2－y0＝0， 即y0＝p2，
代入 x2＝2py(p>0)中得 16＝p2，解得 p＝4.
∴抛物线 C 的方程为 x2＝8y.
(2)由题意知直线 AB 的斜率存在，故设其方程为 y＝kx＋b.
由yx＝2＝k8xy＋，b， 整理得 x2－8kx－8b＝0，则
x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝8k2＋2b， 设 AB 的中点为 Q，则点 Q 的坐标为(4k,4k2＋b)．
解 (1)∵C1 的极坐标方程是 ρ＝4cosθ2＋43sinθ， ∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，整理得 4x＋3y－24＝0， ∴C1 的直角坐标方程为 4x＋3y－24＝0. 曲线 C2：xy＝ ＝csionsθθ，， ∴x2＋y2＝1， 故 C2 的普通方程为 x2＋y2＝1.
(2)将曲线 C2 经过伸缩变换yx′′＝＝22y 2x， 后得到曲线 C3 的方程为x′8 2＋
E(2a,1,0)，A(0,2,0)，所以B→1C1＝(2a,0，－2)，D→E＝(2a，－1，－1)．因为异
面直线 DE 与 B1C1 所成的角为 30°，
所以
cos〈D→E，B→1C1〉＝
→→ DE·B1C1 →→
|DE||B1C1|
＝ 4a2＋4a42·＋24a2＋2＝ 23，
解得 a＝1，于是 C1(2,0,0)． 设平面 AB1C1 的法向量为 n＝(x，y，z)， 因为A→C1＝(2，－2,0)，B→1C1＝(2,0，－2)，
(1)求抛物线 C 的方程； (2)直线 AB 与抛物线 C 交于不同两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x2－x1|＝3， 直线 AB 与切线 l 平行，设切点为 N 点，试问△ABN 的面积是否是定值？若 是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
高考数学二轮复习高考大题专项突破6名师课件(全国通用)
抽取次序 零件尺寸 抽取次序 零件尺寸
1 9.95 9 10.26
2 10.12 10 9.91
3 9.96 11 10.13
4 9.96 12 10.02
5 10.01 13 9.22
6 9.92 14 10.04 =
7 9.98 15 10.05
8 10.04 16 9.95
经计算得������ =
题型一
题型二
1.1
集合的概念与运算
考情概览备考定向 必备知识预案自诊 关键能力学案突破 关键能力学案突破
-7-
题型三
题型四
题型五
题型六
题型一 样本的数字特征的应用 例1(2017全国Ⅰ,文19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过 程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺 寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
高考大题专项突破六 高考中的概率、统计与统计案例
专题一
1.1
集合的概念与运算
必备知识预案自诊 关键能力学案突破
考情概览备考定向
-2-
从近五年的高考试题来看,在高考的解答题中,对概率、统计与 统计案例的考查主要有三个方面:一是统计与统计案例,以实际生 活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出 估计、判断,其中回归分析、独立性检验、用样本的数据特征估计 总体的数据特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直 方图、概率等知识交汇考查,考查学生的数据处理能力;二是统计 与概率综合,以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、 茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;三是古典概型的 综合应用,以现实生活为背景,求某些事件发生的概率,常与抽样方 法、茎叶图等统计知识交汇考查.
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标 教师用书：高考解答题的审题与答题示范(六) 函数与导数类解答
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第二部分 专题六 函数与导数
4
(本题满分 12 分)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝aex－ln x－1.
典例 (1)设 x＝2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间； (2)证明：当 a≥1e时， f(x)≥0.
(1)要求 f(x)的单调区间⇔应解 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0⇔f′(x)＝aex－1x 审题
a 的值．
路线 (2)要证明 f(x)≥0
f(x)≥eex－ln x－1⇒令 g(x)＝eex－ln x－1⇒证明
因此，当 a≥1e时，f(x)≥0.⑥
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第二部分 专题六 函数与导数
7
阅卷现场
得分点
第(1)问
①
②
③
1
1
3
5分
第(2)问
④
⑤
⑥
2
3
2
7分
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第二部分 专题六 函数与导数
8
阅卷现场
第(1)问踩点得分说明 ①有正确的求导式子得 1 分. ②由 f′(2)＝0，求出 a 的值得 1 分. ③求出 f(x)的单调区间得 3 分. 第(2)问踩点得分说明 ④由 a≥1e，利用放缩法得 f(x)≥eex－ln x－1 得 2 分. ⑤构造函数 g(x)＝eex－ln x－1.利用导数求出 g(x)的最小值 g(1)得 3 分. ⑥正确得出结论得 2 分.
最新高考数学二轮复习-专题六-第1讲-直线与圆-学案讲义
第1讲直线与圆[考情分析] 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1(1)(多选)已知直线l 的倾斜角等于30°，且l 经过点(0,1)，则下列结论中正确的是()A ．直线l 的方程为y ＝33x ＋1B ．l 的一个方向向量为n 33，1C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0平行D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0垂直答案ACD解析由题意知直线l 的斜率为tan 30°＝33，且过点(0,1)，所以直线l 的方程为y ＝33x ＋1，方向向量为n ＝(1，k )1，33，A 正确，B 错误；直线3x －3y ＋2＝0的斜率为33，且不过点(0,1)，故两直线平行，C 正确；直线3x ＋y ＋2＝0的斜率为－3，则两直线斜率之积为－1，故两直线垂直，D正确．(2)当点M(2，－3)到直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距离取得最大值时，m等于() A．2 B.47C．－2D．－4答案C解析将直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0转化为(4x－y＋2)m－x＋y＋1＝0，x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0，＝－1，＝－2，所以直线恒过定点N(－1，－2)，当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，此时4m－1m－1×－3－(－2)2－(－1)＝－1，解得m＝－2.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1(1)(多选)下列说法错误的是()A．过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5B．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)答案AC解析对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，则－3＝－2k，即k＝32，此时直线方程为y＝32x，也满足题意，所以A错误；对于B中，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，由方程x＋y－5＝0，x－3y＋7＝0，解得x＝1，y＝3，即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，所以B正确；对于C中，当倾斜角θ＝π2时，此时直线的斜率不存在，tanθ无意义，所以C错误；对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适合上式，所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正确．(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是25，则m＋n ＝________.答案3解析因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以21＝n－2≠－6m，解得n＝－4且m≠－3，所以直线l2为2x－4y－6＝0，直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，因为两平行线间的距离为25，所以|2m－(－6)|22＋(－4)2＝25，得|2m＋6|＝20，因为m>0，所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3.考点二圆的方程核心提炼1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0－D2，－为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．例2(1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为()A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4B．(x－4)2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝4答案A解析由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，(－2)＝－1，×a 2＋b2＋5＝0，＝－4，＝－2，所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.(2)(2023·泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0关于直线l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|＋|OB|的最大值等于()A．2B．4C．8D．16答案B解析圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0，即＋(y－1)2＝1＋m 24，圆心为－m2，直线l：(a＋1)x－ay－1＝0，因为a≠－1，所以直线l的斜率不为0，又a(x－y)＋(x－1)＝0，－y＝0，－1＝0，＝1，＝1，即直线l恒过定点D(1,1)，又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，所以－m2＝1，解得m＝－2，所以圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，半径r＝2，显然(0－1)2＋(0－1)2＝2，即圆C过坐标原点O(0,0)，因为l与C交于A，B两点，即A，B为直径的两个端点，如图，所以∠AOB＝90°，所以|OA |2＋|OB |2＝|AB |2＝(22)2＝8≥2|OA |·|OB |，即|OA |·|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，所以(|OA |＋|OB |)2＝|OA |2＋|OB |2＋2|OA |·|OB |＝8＋2|OA |·|OB |≤16，即|OA |＋|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，即|OA |＋|OB |的最大值等于4.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2(1)(2023·龙岩质检)写出一个与圆x 2＋y 2＝1外切，并与直线y ＝33x 及y 轴都相切的圆的方程____________．答案(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1或(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123(写出其中一个即可)解析设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为与圆x 2＋y 2＝1外切，所以a 2＋b 2＝1＋r ，又因为与直线y ＝33x 及y 轴都相切，所以r ＝|a |＝|3a －3b |(3)2＋(－3)2＝|a －3b |2，所以2|a |＝|a －3b |，即|2a |＝|a －3b |，所以2a ＝3b －a 或2a ＝a －3b ，所以b ＝3a 或a ＝－3b ，当b ＝3a 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得3a 2＝2|a |＋1，＝1，＝3或＝－1，＝－3，r ＝1，所以求得圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1，当a ＝－3b 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得13a 2＝2|a |＋1，＝3＋23，＝－3－2＝－3－23，＝3＋2，r ＝3＋23，所以求得圆的方程为(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123.(写出其中一个即可)(2)(2023·福州模拟)已知⊙O 1：(x －2)2＋(y －3)2＝4，⊙O 1关于直线ax ＋2y ＋1＝0对称的圆记为⊙O 2，点E ，F 分别为⊙O 1，⊙O 2上的动点，EF 长度的最小值为4，则a 等于()A ．－32或56B ．－56或32C ．－32或－56 D.56或32答案D解析由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当EF 所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，点E ，F 又接近于对称轴时，EF 长度最小，此时圆心O 1到对称轴的距离为4，所以|2a ＋6＋1|a 2＋4＝4，即(2a ＋7)2＝16(a 2＋4)，解得a ＝32或a ＝56.考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，联立方程＋By ＋C ＝0，－a )2＋(y －b )2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系例3(1)(多选)(2023·阳泉模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0.则下列说法正确的是()A ．直线l 过定点(－2,2)B ．直线l 与圆C 相离C ．圆心C 到直线l 距离的最大值是22D ．直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为4答案AD解析对于A ，因为l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )，即y ＝k (x ＋2)＋2，令x ＋2＝0，即x ＝－2，得y ＝2，所以直线l 过定点(－2,2)，故A 正确；对于B ，因为(－2)2＋22－2×2－8<0，所以定点(－2,2)在圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0的内部，所以直线l 与圆C 相交，故B 错误；对于C ，如图，因为圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0，可化为x 2＋(y －1)2＝9，圆心C (0,1)，当圆心C 与定点(－2,2)的连线垂直于直线l 时，圆心C 到直线l 的距离取得最大值，此时其值为(－2)2＋(2－1)2＝5，故C 错误；对于D ，由弦长公式|AB |＝2r 2－d 2可知，当圆心C 到直线l 的距离最大时，弦长取得最小值，所以直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为2×9－5＝4，故D 正确．(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值为________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设直线x －my ＋1＝0为直线l ，点C 到直线l 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，又d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±12或m ＝±2.考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2023·淄博模拟)“a ≥22”是“圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：(x －a )2＋(y ＋a )2＝1有公切线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，若两圆有公切线，则|C1C2|≥|r1－r2|，即a2＋(－a)2≥1，解得a≤－22或a≥22，所以“a≥22”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的充分不必要条件．(2)(多选)(2023·福建统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是()A．若r＝2，两圆的公切线过点(－2,0)B．若r＝2，两圆的相交弦长为3C．若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r＝3D．当r>3时，两圆的位置关系为内含答案AD解析当r＝2时，如图，两圆的一条公切线分别与⊙O，⊙O1切于点A，B，交x轴于点Q，|OQ| |O1Q|＝|OA||O1B|＝12⇒|OQ|＝2，故Q(－2,0)，故A正确；当r＝2时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，公共弦所在的直线方程为x＝14，相交弦长为＝152，故B错误；若MO⊥MO1，则|MO|2＋|MO1|2＝|OO1|2，即12＋r2＝4，则r＝3，故C错误；当r>3时，r－1>2＝|OO1|，故两圆的位置关系是内含，D正确．规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3(1)(2023·邯郸模拟)已知直线l ：x －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0交于A ，B 两点，若M 是圆上的一动点，则△MAB 面积的最大值是____________．答案22＋3解析圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，则圆C 的圆心为C (1,2)，半径r ＝3，圆心C 到直线l (弦AB )的距离d ＝|1－2＋5|2＝22，则|AB |＝2r 2－d 2＝29－8＝2，则M 到弦AB 的距离的最大值为d ＋r ＝22＋3，则△MAB 面积的最大值是12×|AB |×(22＋3)＝22＋3.(2)(多选)(2023·辽阳模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5,5)作圆E 的切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中真命题是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与⊙E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与⊙E 交于G ，H 两点，则当△EHG 面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2,1)，半径为2，如图，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5,5)，所以|PE |＝(5－2)2＋(5－1)2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以点P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F 的方程为＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；如图，设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S △EHG ＝12|EH |·|EG |sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取得最大值，最大值为2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．专题强化练一、单项选择题1．(2023·丹东模拟)若直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，则a 等于()A ．－2B ．1C ．－2或1D ．－1或2答案A解析由题意知，直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，∴1×2＝a (a ＋1)，解得a ＝－2或a ＝1.当a ＝－2时，l 1：x －2y －3＝0，l 2：－x ＋2y －6＝0，l 1∥l 2.当a ＝1时，l 1：x ＋y －3＝0，l 2：x ＋y －3＝0，l 1与l 2重合．综上所述，a ＝－2.2．(2023·蚌埠质检)直线l ：x ＋my ＋1－m ＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定答案A解析已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1,1)，将点(－1,1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1,1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．3．(2023·湖北星云联盟模拟)过三点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－3)的圆与直线x－2y－1＝0交于M，N两点，则|MN|等于()A.455B.655C.855D．25答案B解析依题意，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，＋D＋F＝0，＋2D＋E＋F＝0，＋2D－3E＋F＝0，＝－6，＝2，＝5，则圆的方程为x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝5，其圆心为(3，－1)，半径r＝5，点(3，－1)到直线x－2y－1＝0的距离d＝|3－2×(－1)－1|12＋(－2)2＝45所以|MN|＝2r2－d2＝＝655.4．(2023·滨州模拟)已知直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则mn的最大值为()A.14B.12C．1D．2答案B解析由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，故圆心到直线l的距离d＝1m2＋n2＝1，即m2＋n2＝1，故mn≤m2＋n22＝12，当且仅当m＝n＝22时取等号．5．(2023·洛阳模拟)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1与圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为()A ．5B ．3C ．2D ．1答案B 解析由圆C 1：(x －4)2＋(y －1)2＝1，可得圆心C 1(4,1)，半径r 1＝1，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1，可得圆心C 2(0,4)，半径r 2＝1，可得圆心距|C 1C 2|＝(4－0)2＋(1－4)2＝5，如图，|PM |≥|PC 1|－r 1，|PN |≥|PC 2|－r 2，所以|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－r 1－r 2＝|PC 1|＋|PC 2|－2≥|C 1C 2|－2＝3，当点M ，N ，C 1，C 2，P 共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，故|PM |＋|PN |的最小值为3.6．(2023·信阳模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －3＝0与过原点O 的直线l ：y ＝kx (k ≠0)相交于A ，B 两点，点P (m ，0)为x 轴上一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0，则实数m 的值为()A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案D 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的方程为y ＝kx ，代入圆C 的方程，得(k 2＋1)x 2＋2x －3＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋1，x 1x 2＝－3k 2＋1.所以k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝kx 1x 1－m ＋kx 2x 2－m ＝2kx 1x 2－km (x 1＋x 2)(x 1－m )(x 2－m )＝(2m －6)k (x 1－m )(x 2－m )(k 2＋1)＝0.因为k ≠0，所以2m －6＝0，解得m ＝3.7．(2023·全国乙卷)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C 解析方法一令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.方法二由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故x －y 的最大值为32＋1.8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x －y －22＝0上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，当∠APB 最大时，记劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ，则()A ．2<S <3B ．1<S ≤2C ．1<S ≤3D ．0<S <1答案D 解析如图所示，圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为在Rt △OBP 中，sin ∠OPB ＝r |OP |＝1|OP |，且y ＝sin x 所以当|OP |最小时，∠OPB 最大，即∠APB 最大，此时OP 垂直于直线l ，且|OP |＝2212＋(－1)2＝2，|PA |＝|PB |＝3，从而四边形OAPB 的面积为S 四边形OAPB ＝2×12×3×1＝3，设∠AOP ＝θ，则∠AOB ＝2θ，S 扇形OAB ＝12×12×2θ＝θ，从而劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ＝3－θ，又因为sin θ＝32，θθ＝π3，从而0<S ＝3－θ＝3－π3<1.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A ．直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)B ．直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为1C ．直线3x ＋3y ＋5＝0的倾斜角为120°D ．过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0答案AD 解析对于A 选项，直线方程可化为y ＝a (x －2)＋4，－2＝0，＝4，＝2，＝4，所以直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)，A 正确；对于B 选项，直线方程可化为y ＝3x －1，故直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为－1，B 错误；对于C 选项，直线3x ＋3y ＋5＝0的斜率为－33，该直线的倾斜角为150°，C 错误；对于D 选项，过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程可设为2x ＋y ＋c ＝0，则2×(－2)＋3＋c ＝0，可得c ＝1，所以过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0，D 正确．10．(2023·湖南联考)已知直线l 1：y ＝kx ＋1，l 2：y ＝mx ＋2，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝6，下列说法正确的是()A ．若l 1经过圆心C ，则k ＝1B ．直线l 2与圆C 相离C ．若l 1∥l 2，且它们之间的距离为55，则k ＝±2D ．若k ＝－1，l 1与圆C 相交于M ，N ，则|MN |＝2答案AC 解析对于A ，因为圆心C (1,2)在直线y ＝kx ＋1上，所以2＝k ＋1，解得k ＝1，A 正确；对于B ，因为直线l 2：y ＝mx ＋2恒过定点(0,2)，且(0－1)2＋(2－2)2<6，即点(0,2)在圆C 内，所以l 2与圆C 相交，B 错误；对于C ，因为l 1∥l 2，则m ＝k ，故kx －y ＋1＝0与kx －y ＋2＝0之间的距离d ＝1k 2＋1＝55，所以k ＝±2，C 正确；对于D ，当k ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋1，即x ＋y －1＝0，因为圆心C (1,2)到直线x ＋y －1＝0的距离d 2＝21＋1＝2，所以|MN |＝26－(2)2＝4，D 错误．11.如图所示，该曲线W 是由4个圆：(x －1)2＋y 2＝1，(x ＋1)2＋y 2＝1，x 2＋(y ＋1)2＝1，x 2＋(y －1)2＝1的一部分所构成，则下列叙述正确的是()A ．曲线W 围成的封闭图形的面积为4＋2πB ．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)与曲线W 有8个交点，则2≤r ≤2C.BD ︵与DE ︵的公切线方程为x ＋y －1－2＝0D ．曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离的最小值为4答案ACD 解析曲线W 围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2＋2×π×12＝4＋2π，故A 正确；当r ＝2时，交点为B ，D ，F ，H ；当r ＝2时，交点为A ，C ，E ，G ；当0<r <2或r >2时，没有交点；当2<r <2时，交点个数为8，故B 错误；设BD ︵与DE ︵的公切线方程为y ＝kx ＋t (k <0，t >0)，由直线和圆相切可得|t －1|1＋k 2＝1＝|k ＋t |1＋k 2，解得k ＝－1，t ＝1＋2(t ＝1－2舍去)，则其公切线方程为y ＝－x ＋1＋2，即x ＋y －1－2＝0，故C 正确；同理可得HB ︵，HG ︵的公切线方程为x ＋y ＋1＋2＝0，则两平行线间的距离d ＝|52＋1－1－2|2＝4，因为曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离最小值为HB ︵，HG ︵上的切点到直线的距离，即为两平行线间的距离，为4，故D 正确．12．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法正确的是()A．圆O与圆C有四条公切线B．|PQ|的取值范围是[32－4，32＋4]C．x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线D．过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°答案ABD解析对于选项A，由题意可得，圆O的圆心为O(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(3,3)，半径r2＝2，因为两圆圆心距|OC|＝32>2＋2＝r1＋r2，所以两圆外离，有四条公切线，A正确；对于B选项，|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2＝32＋4，最小值为|OC|－r1－r2＝32－4，B 正确；对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y＝x，设直线为y＝x＋t，则两平行线间的距离为2，即|t|2＝2，则t＝±22，故y＝x±22，故C不正确；对于D选项，易知当∠MQN＝90°时，四边形OMQN为正方形，故当|QO|＝22时，∠MQN ＝90°，故D正确．三、填空题13．(2023·锦州模拟)写出过点P(2,4)且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的一条直线的方程__________________．答案x＝2或3x－4y＋10＝0(写出其中一个即可)解析圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心C(1,2)，半径r＝1，当直线斜率不存在时，验证知x＝2满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)＋4，即kx－y－2k＋4＝0，圆心到直线的距离为|2－k|1＋k2＝1，解得k＝34，故直线方程为34x－y－32＋4＝0，即3x－4y＋10＝0.综上所述，直线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.14．(2023·潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－4x cosθ－4y sinθ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是________________．答案x2＋y2＝16解析圆C的标准方程为(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝4，则圆C的圆心为(2cosθ，2sinθ)，半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C 上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D 的方程是x 2＋y 2＝16.15．(2023·烟台模拟)已知实数a ，b 满足a 2＋b 2－4a ＋3＝0，则a 2＋(b ＋2)2的最大值为____________．答案9＋42解析方程a 2＋b 2－4a ＋3＝0整理得(a －2)2＋b 2＝1，设点A (a ，b )，即点A 是圆C ：(x －2)2＋y 2＝1上一点，又点B (0，－2)在圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外，所以|AB |＝a 2＋(b ＋2)2，则|AB |max ＝|BC |＋r ＝(2－0)2＋(0＋2)2＋1＝22＋1，所以a 2＋(b ＋2)2的最大值为(22＋1)2＝9＋4 2.16．(2023·葫芦岛模拟)自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆．某自动驾驶讯车在车前O 点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB .如图所示，在平面直角坐标系中，O (0,0)，直线OA ，OB 的方程分别是y ＝12x ，y ＝－12x ，现有一个圆形物体的圆心为C ，半径为1m ，圆C 与OA ，OB 分别相切于点M ，N ，则|MN |＝________m.答案455解析如图，连接MC ，NC ，MN ，由题意可设C (a ，0)(a >0)，又圆C 与OA 相切，则d ＝|12a |14＋1＝r ＝1，解得a ＝5，由题意可得MC ⊥OM ，NC ⊥ON ，在Rt △MOC 中，|OM |＝|OC |2－|MC |2＝2，所以S △MOC ＝12|OM |×|MC |＝1，同理S △NOC ＝1，所以S 四边形MONC ＝2，又MN ⊥OC ，所以S 四边形MONC ＝12|MN |×|OC |＝52|MN |＝2，即|MN |＝455.。
2019届二轮复习 高考解答题突破6 课件(24张)(全国通用)
古典概型概率问题的关注点 求古典概型的概率，关键利用列举法求解基本事件数，求解 时要避免“重”和“漏”．要做到正确理解题意，明确一些常见 的关键词，如“至多”“至少”“只有”等，还要熟练使用常用 的列举方法，如表格法，树图法等．只有有规律地列举基本事件， 才能避免“重”和“漏”．
[对点训练] 1．某校拟从高二年级 2 名文科生和 4 名理科生中选出 4 名 同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相 等． (1)求被选中的 4 名同学中恰有 2 名文科生的概率； (2)求被选中的 4 名同学中至少有 1 名文科生的概率．
[对点训练] 2． (2018· 东北三校联考)为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久 性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了 60 个样本，得到了 相关数据如下表：
(1)根据表中数据，求出 s，t 的值，利用独立性检验的方法判 断，能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为使用淡化海砂 与混凝土耐久性是否达标有关？ (2) 若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个，现从这 6 个样本中任取 2 个，则取出的 2 个样本混凝土耐久 性都达标的概率是多少？
第 二 篇
ห้องสมุดไป่ตู้
专题整合、突破篇
专 题 七
概率与统计
高考解答题突破(六)
概率与统计
突破“两辨”——辨析、辨型 [思维流程]
[技法点拨] 概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模 型，问题便迎刃而解．而概率模型的提取往往需要经过观察、分 析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不 准，某个概念认识不清而误入歧途．另外，还需弄清楚概率模型 中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回 和不放回试验的区别，合理划分复合事件．
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质
第二篇 专题六 第1讲一、选择题1．(2021·全国甲卷)设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f (－x ).若f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，则f ⎝⎛⎭⎫53＝( C )A ．－53B ．－13C ．13D ．53【解析】 方法一：由题意得f (－x )＝－f (x )， 又f (1＋x )＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (2＋x )＝f (x )，又f ⎝⎛⎭⎫－13＝13， 则f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝13.故选C.方法二：由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又f (x )为奇函数，所以f (x )是周期函数，且T ＝4⎪⎪⎪⎪0－12＝2， 则f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫53－2＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x -1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 2 3)等于( B )A ．112B ．132C ．152D ．10【解析】依题意f (－3)＋f (log 2 3)＝log 2 4＋22log 2 3－1＝2＋2log 2 92＝2＋92＝132.3．设函数f (x )＝4x 23|x |，则函数f (x )的图象大致为( A )【解析】观察函数解析式发现，x 是以平方、绝对值的形式出现的，所以f (x )为偶函数，排除B ；当x >0时，f (x )＝4x 23x ，当x →＋∞时，f (x )→0，排除C ；因为f (2)＝4×2232＝169<2，选项D 中f (2)>2，所以D 不符合题意．4．(2022·济宁模拟)函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且对于任意的x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1成立．如果f (m )＞m ，则实数m 的取值集合是( C )A ．{0}B ．{m |m ＞0}C ．{m |m ＜0}D ．R【解析】令g (x )＝f (x )－x ， 因为f (x )为奇函数，所以g (x )为R 上的奇函数，不妨设x 1＜x 2， 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1成立可得f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2，即f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，所以g (x 1)＞g (x 2)，即g (x )在R 上单调递减， 由f (m )＞m 得g (m )＞0＝g (0)， 所以m ＜0.故选C.5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x －2，则( B ) A ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6>f ⎝⎛⎭⎫cos π6 B ．f (sin 3)<f (cos 3) C ．f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3<f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3 D ．f (2 020)>f (2 019)【解析】由f (x ＋2)＝f (x )，得f (x )是周期函数且周期为2，根据f (x )在x ∈[－1，0]上的图象和f (x )是偶函数可得f (x )在[0，1]上是增函数．对于A ，0<sin π6<cos π6<1，∴f ⎝⎛⎭⎫sin π6<f ⎝⎛⎭⎫cos π6，A 错误； 对于B ，0<sin 3<－cos 3<1，∴f (sin 3)<f (－cos 3)＝f (cos 3)，B 正确； 对于C ，0<－cos4π3<－sin 4π3<1， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3<f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3，C 错误； 对于D ，f (2 020)＝f (0)<f (2 019)＝f (1)，D 错误．6．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值为( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.又∵y ＝x －2，y ＝x 3－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.7．(2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|，则f (x )( D ) A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞单调递增 B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递减 C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递减 【解析】f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln |－2x ＋1|－ln |－2x －1| ＝ln |2x －1|－ln |2x ＋1| ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，12时， f (x )＝ln (2x ＋1)－ln (1－2x )＝ln 2x ＋11－2x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1＋21－2x . ∵y ＝－1＋21－2x 在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递增， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，12上单调递增．故排除B. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时， f (x )＝ln (－2x －1)－ln (1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减． 故选D.8．对任意实数a ，b ，定义运算“⊙”：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2.设f (x )＝3x +1⊙(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( C )A ．[－1，2]B ．(0，3]C ．[0，2]D ．[1，3]【解析】由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x +1，x ≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减．若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2.故选C.二、填空题9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)≥2的x 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫12，＋∞__．【解析】∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，∴当x ≤0时，x －1≤－1，f (x )＋f (x －1)＝2x ＋1＋2(x －1)＋1＝4x ≥2，无解；当⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －1≤0，即0<x ≤1时， f (x )＋f (x －1)＝4x ＋2(x －1)＋1＝4x ＋2x －1≥2，得12≤x ≤1；当x －1>0，即x >1时，f (x )＋f (x －1)＝4x ＋4x -1≥2，得x >1. 综上，x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.10．(2021·山西太原模拟)若a ＞0且a ≠1，且函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1，在R 上单调递增，那么a 的取值范围是__(1，2]__．【解析】 a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2a －2，解得a ∈(1，2].11．对于函数y ＝f (x )，若存在x 0使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围是__(－．【解析】当x <0时，f (x )＝x 2＋2x 关于原点对称的函数是y ＝－x 2＋2x (x >0)， 由题意得，y ＝－x 2＋2x (x >0)与y ＝kx ＋2有交点， 即－x 2＋2x ＝kx ＋2(x >0)有解，∴k ＝－x －2x ＋2(x >0)有解，又－x －2x ＋2≤－22＋2，当且仅当x ＝2时等号成立，∴k ≤2－2 2.12．(2020·全国Ⅲ)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的图象关于原点对称； ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__②③__． 【解析】∵f (x )＝sin x ＋1sin x的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }， f (－x )＝sin (－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，关于原点对称，故①错误，②正确． ∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确．当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0时，f (x )<0，故④错误． 三、解答题13．(2020·江苏省南京市高三联考)已知f (x )是定义在区间(－1，1)上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (x －1).已知m 满足不等式f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的取值范围．【解析】当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)，可得f (x )在(－1，0)上单调递减；由f (x )是定义在区间(－1，1)上的奇函数，可得f (x )也是区间(－1，1)上的减函数． 因为f (1－m )＋f (1－m 2)<0， 所以f (1－m )<f (m 2－1)，可得如下不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，1－m >m 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <2，0<m <2或－2<m <0，－2<m <1，解得：0<m <1.所以实数m 的取值范围为(0，1).。
高考数学二轮复习 板块2 高考专项突破—解答题 命题区间精讲 精讲6 导数课件 文
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[高考题型全通关] 1．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)． (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． [解] (1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，则f′(x)＝ex－1. 当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
01 1 命题 点 (mìng tí)
02 命题 点2 (mìng tí)
03
3 命题 点 (mìng tí)
04 命题点4
05 专题限时集训
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01 命题点1 导数的简单 应用 (jiǎndān)
12/8/用导数研究函数的单调性、极值、最值应注意的 4点
(3)f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0 的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化， 则不是极值点．
(4)比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大 小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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(2)f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故f(x) 至多存在1个零点，不合题意． 当a>0时，由f′(x)＝0可得x＝ln a．当x∈(－∞，ln a)时， f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，ln a)上单调 递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．故当x＝ln a时，f(x)取得最小值， 最小值为f(ln a)＝－a(1＋ln a)．
高考数学二轮复习阶段提升突破练(六)理新人教A版(2021学年)
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阶段提升突破练(六)(函数与导数）(60分钟10０分）一、选择题（每小题5分,共40分)１。
(201７·日照一模)“lｏg２(2x—3）＜1”是“4x〉8”的( )Ａ。
充分不必要条件ﻩB。
必要不充分条件C．充要条件ﻩD。
既不充分也不必要条件【解析】选A。
loｇ２（２x－3)〈1,化为0<２ｘ-３〈2,解得<x〈;4ｘ〉8，即2２x〉2３，解得x＞.所以“log2（２ｘ—３）〈1”是“4x〉8”的充分不必要条件.2．（２017·衡阳二模）函数f（x）=lnx＋eｘ(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是（ )A.ﻩﻩB.C.（１,e）ﻩﻩﻩD.（e,+∞）【解析】选Ａ.函数f(x）＝ｌnx＋e x在(0,＋∞)上单调递增,因此函数ｆ（x）最多只有一个零点。
当x→0时,f(x)→—∞;又ｆ=ln+=-1〉０，所以函数f（x）＝ｌnｘ+e x(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是。
3.(2017·泰安二模)函数f(x）=cosｘ的图象大致是( ）【解题导引】先判断奇偶性，再取特殊值验证。
【解析】选C。
因为函数f(x)的定义域为{x｜x≠0},关于原点对称，又因为f （-x)=cos(－x）＝—ｃoｓｘ=—f(x),所以f（ｘ）为奇函数，其图象关于原点对称,排除A，B;又x=时，f=coｓ〉０,结合图象知C正确。
高考数学二轮复习 专题知识突破 解答题六大题型解答策略 2136 函数与导数课件(文、理)新人教A版
[标准解答] (1)由已知得 f′(x)＝－sin1θ·x2＋1x≥0 在[1，＋∞) 上恒成立，
即sisniθn·θx·－x21≥0 在[1，＋∞)上恒成立． ∵θ∈(0，π)， ∴sinθ>0， ∴sinθ·x－1≥在[1，＋∞)上恒成立， 只需 sinθ·1－1≥0，
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易知 m(x)max＝m(1)＝－1e，(11 分) 从而对一切 x∈(0，＋∞)，都有 lnx>e1x－e2x成立．(12 分)
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对点训练 2.(2014·沈阳二模)已知函数 f(x)＝lnx，g(x)＝12ax＋b. (1)若 f(x)与 g(x)在 x＝1 处相切，试求 g(x)的表达式； (2)若 φ(x)＝mxx＋－11－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数 m 的 取值范围；
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解 (1)f′(x)＝(x＋a＋1)ex，x∈R. 因为函数 f(x)是区间[－3，＋∞)上的增函数， 所以 f′(x)≥0， 即 x＋a＋1≥0 在[－3，＋∞)上恒成立． 因为 y＝x＋a＋1 是增函数， 所以满足题意只需－3＋a＋1≥0， 即 a≥2.
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即 sinθ≥1， ∴sinθ＝1，由 θ∈(0，π)，知 θ＝2π.(3 分) (2)∵t＝0， ∴g(x)＝－－1＋ x 2e－lnx，x∈(0，＋∞)．(4 分) ∴g′(x)＝2ex－2 1－1x＝2e－x12 －x， 令 g′(x)＝0， 则 x＝2e－1∈(0，＋∞)， 当 x 变化时，g′(x)和 g(x)的变化情况如下表：
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当 x＝3 时，ln13<12×42， 当 x＝4 时，ln14<12×53， …… 当 x＝n＋1 时，lnn1＋1<12·n＋n 2，n∈N*，n≥2， 上述不等式相加得：
高考数学课标版二轮习题：考前冲刺 突破6类解答题 含解析
突破6类解答题三角函数问题重在“变”——变角、变式思维流程策略指导1.常用的变角技巧: (1)已知角与特殊角的变换; (2)已知角与目标角的变换; (3)角与其倍角的变换;(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如:α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2·α+β2,α+β2=(α-β2)-(α2-β). 2.常用的变式技巧:主要从函数名、次数、系数等方面入手,常见的情况有:(1)讨论三角函数的性质时,常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论;(2)涉及sin x±cos x 、sin x ·cos x 的问题,常做换元处理,如令t=sin x±cos x,t ∈[-√2,√2],将原问题转化为关于t 的函数来处理; (3)在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等方法.规范解答典例1 (2019课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin 2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.标准答案阅卷现场解析 (1)由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc.(2分)① 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12.(4分)②因为0°<A<180°,所以A=60°.(5分)③(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, (7分)④即√62+√32cos C+12sin C=2sin C, 可得cos(C+60°)=-√22.(9分)⑤由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,(10分)⑥故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)·sin60°=√6+√24.(12分)⑦ 第(1)问踩点得分 ①由正弦定理将角之间的关系转化为边之间的关系b 2+c 2-a 2=bc 得2分.②将所得边之间的关系变形并求得cos A 的值得2分. ③由cos A 的值及A 的取值范围求出A 的值得1分. 第(2)问踩点得分④借助第(1)问的结果,利用正弦定理将条件√2a+b=2c 转化为三角函数间的关系得2分. ⑤利用三角恒等变换求得cos(C+60°)的值得2分. ⑥利用同角三角函数基本关系求sin(C+60°)的值得1分. ⑦通过变角,利用三角恒等变换求得sin C 的值得2分.题后悟通1.利用正、余弦定理求解问题的策略2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”数列问题重在“归”——化归思维流程策略指导 化归的常用策略化归:首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量,将已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系.归纳:对于不是等差或等比的数列,可从特殊的情景出发,归纳出一般性的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.规范解答典例2 (2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;切入点:利用等比数列的通项公式求出公比q.(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m.关键点:根据等比数列的前n 项和公式,列出方程,求出m.标准答案阅卷现场解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1.(1分)① 由已知得q 4=4q 2,(2分)②解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.(4分)③ 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(6分)④(2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)n3.(7分)⑤由S m =63得(-2)m =-188,(8分)⑥ 此方程没有正整数解.(9分)⑦ 若a n =2n-1,则S n =2n -1.第(1)问踩点得分 ①正确写出通项公式得1分.②根据题目中的条件,结合通项公式列出关于q 的方程得1分.③正确求出公比q 得2分,没有将q=0舍去扣1分.④每正确写出一个通项公式得1分. 第(2)问踩点得分⑤正确写出前n 项和公式得1分.由S m=63得2m=64,(11分)⑧解得m=6.综上,m=6.(12分)⑨⑥根据⑤及题目中的条件,写出关于m的方程得1分.⑦判断方程是否有正整数解,判断正确得1分.⑧正确写出当a n=2n-1时,2m=64得2分.⑨解得m=6,正确得1分.题后悟通如果一个数列是等差(比)数列或者是可以转化为等差(比)数列的数列,破解此类题的关键点如下:(1)做判断.根据条件判断数列是等差(比)数列或者特殊的数列.(2)求基本量.若是等差(比)数列,求出其首项和公差(比).(3)得结论.根据条件灵活选用公式,代入求值.立体几何问题重在“建”“转”——建模、转换思维流程策略指导立体几何解答题建模、转换策略立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度,距离等的计算模型.建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.规范解答典例3 (2019课标全国Ⅰ,18,12分)如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是BC,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE;(2)求二面角A-MA 1-N 的正弦值.标准答案阅卷现场解析 (1)证明:连接B 1C,ME.因为M,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME ∥B 1C,且ME=12B 1C.(1分)①又因为N 为A 1D 的中点,所以ND=12A 1D.由题设知A 1B 1 DC,可得B 1C A 1D,故ME ND,(2分)②因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED.(3分)③ 又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE.(4分)④(2)由已知可得DE ⊥DA.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,(5分)⑤则第(1)问踩点得分①证明ME 12B 1C 得1分. ②证得ME ND 得1分. ③利用平行四边形的性质,证明MN ∥ED 得1分.④利用线面平行的判定定理证得结论得1分.第(2)问踩点得分 ⑤建立恰当的空间直角坐标系得1分.⑥正确求出各点坐标、向量坐标得1分.⑦正确求出平面A 1MA 的法向量得2分.A(2,0,0),A 1(2,0,4),M(1,√3,2),N(1,0,2),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-4),A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-2),A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,0).(6分)⑥ 设m=(x,y,z)为平面A 1MA 的法向量,则{m ·A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{-x +√3y -2z =0,-4z =0.可取m=(√3,1,0).(8分)⑦设n=(p,q,r)为平面A 1MN 的法向量,则{n ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.所以{-√3q =0,-p -2r =0.可取n=(2,0,-1).(10分)⑧于是cos<m,n>=m ·n |m||n|=√32×√5=√155,(11分)⑨ 所以二面角A-MA 1-N 的正弦值为√105.(12分)⑩ ⑧正确求出平面A 1MN 的法向量得2分.⑨正确求出两法向量夹角的余弦值得1分.⑩正确求出二面角的正弦值得1分.题后悟通利用法向量求解空间角的关键在于“四破”概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图思维流程策略指导概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略 (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立等.(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生等. (3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等. (4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率. (5)确定随机变量的取值并求其对应的概率,写出分布列再求期望.(6)会套用求b ^、K 2的公式求值,从而进一步求值与分析. (7)理解各图表所给的信息,根据信息找出所要数据.规范解答典例4 (2019课标全国Ⅰ,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.标准答案阅卷现场解析(1)X的所有可能取值为-1,0,1.(1分)①P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).(3分)②所以X的分布列为X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(4分)③(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.(5分)④因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1,第(1)问踩点得分①正确写出随机变量X的取值得1分.②正确求出X取不同值时的概率得2分.③列出X的分布列得1分.第(2)问踩点得分④求出a,b,c的值得1分.⑤通过变形得出关系式p i+1-p i=4(p i-p i-1)得2分.故0.1(p i+1-p i )=0.4(p i -p i-1),即p i+1-p i =4(p i -p i-1).(7分)⑤ 因为p 1-p 0=p 1≠0,续表标准答案阅卷现场所以{p i+1-p i }(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p 1的等比数列.(8分)⑥ (ii)由(i)可得p 8=p 8-p 7+p 7-p 6+…+p 1-p 0+p 0=(p 8-p 7)+(p 7-p 6)+…+(p 1-p 0)=48-13p 1. 由于p 8=1,故p 1=348-1,(10分)⑦ 所以p 4=(p 4-p 3)+(p 3-p 2)+(p 2-p 1)+(p 1-p 0)=44-13p 1=1257.(11分)⑧p 4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.(12分)⑨⑥得出{p i+1-p i }的性质得1分.⑦根据p 8,利用累加法求得p 1得2分.⑧利用累加法求得p 4得1分. ⑨根据p 4的值解得这种试验方案的合理得1分.题后悟通1.本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力,解决本题的关键是正确理解题意,准确将实际问题转化为数列问题,利用数列的性质求解.2.概率问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要找到模型,问题便迎刃而解了.而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,常常因题设条件理解不准而出错.另外,还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复合事件.圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线思维流程策略指导圆锥曲线解答题的常见类型:第1小题通常是根据已知条件,求曲线方程或离心率,一般比较简单;第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等,这一小题综合性较强,可通过巧设“点”“线”,设而不求. 在具体求解时,可将整个解题过程分成程序化的三步:第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出; 第二步,用两个交点的同一类坐标的和与积来表示题目中涉及的位置关系和数量关系;第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何问题中. 在求解时,要根据题目特征恰当地设点、设线,以简化运算.规范解答典例5 (2019课标全国Ⅲ,21,12分)已知曲线C:y=x 22,D 为直线y=-12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB 过定点;切入点:(1)D 为直线y=-12上的动点;(2)A,B 为过D 作C 的两条切线的切点.(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.标准答案阅卷现场解析 (1)证明:设D (t,-12),A(x 1,y 1),则x 12=2y 1.(1分)① 由于y'=x,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x 1-t =x 1. 整理得2tx 1-2y 1+1=0.(2分)②设B(x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0.(3分)③ 故直线AB 的方程为2tx-2y+1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(4分)④ (2)由(1)得直线AB 的方程为y=tx+12.(5分)⑤ 由{y =tx +12,y =x22可得x 2-2tx-1=0.(6分)⑥于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=-1,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1,|AB|=√1+t 2|x 1-x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2(t 2+1).(8分)⑦设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1=√t 2+1,d 2=2√t +1.(9分)⑧因此,四边形ADBE 的面积S=12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1.(10分)⑨设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2+12). 由于EM ⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2-2),AB ⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行, 所以t+(t 2-2)t=0.解得t=0或t=±1.(11分)⑩ 当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4√2.因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.(12分)第(1)问踩点得分 ①正确设出D,A 两点的坐标得1分.②利用切线的斜率建立t,x 1,y 1的关系得1分.③建立与B 点坐标的关系得1分.④正确证明结论得1分. 第(2)问踩点得分⑤用参数表示出AB 的方程得1分.⑥联立直线与抛物线的方程并正确化简得1分.⑦利用弦长公式得出|AB|得2分.⑧求出D,E 到AB 的距离得1分.⑨表示出四边形ADBE 的面积得1分.⑩利用直线与圆相切求出参数t 的值得1分.求出四边形的面积得1分.题后悟通解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤 (1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是不是零);(3)得到根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.函数与导数问题重在“分”——分离、分解思维流程策略指导函数与导数问题一般以函数为载体,导数为工具,重点考查函数的一些性质,如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论,复杂函数零点的讨论,有关函数不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题,一般是先求导,再变形、分离或分解出基本函数,再根据题意处理.规范解答典例6 (2018课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=e x -ax 2. (1)若a=1,证明:当x ≥0时, f(x)≥1;切入点:构造新函数,利用导数判断其单调性并进行证明.(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.关键点:对函数f(x)求导,并构造函数,结合函数的单调性,确定函数零点的情况,最后求a.标准答案阅卷现场解析(1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,(1分)①则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.(2分)②当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减.(3分)③而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(4分)④(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(5分)⑤(ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在(0,+∞)的最小值.(6分)⑥①若h(2)>0,即a<e24,h(x)在(0,+∞)没有零点;(7分)⑦②若h(2)=0,即a=e24,h(x)在(0,+∞)只有一个零点;(8分)⑧③若h(2)<0,即a>e24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-16a3e4a =1-16a3(e2a)2>1-16a3(2a)4=1-1a>0.(10分)⑨故h(x)在(2,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=e24.(12分)⑩第(1)问踩点得分①构造函数g(x)=(x2+1)e-x-1得1分.②正确求导得1分.③判断出g(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减得1分.④得出结论得1分.第(2)问踩点得分⑤判断出当a≤0时,h(x)没有零点得1分.⑥求出h(x)在(0,+∞)的最小值为h(2)得1分.⑦得出a<e24时,h(x)在(0,+∞)没有零点得1分.⑧得出a=e24时,h(x)在(0,+∞)只有一个零点得1分.⑨对h(2)<0时,分析得出h(4a)>0得2分.⑩判断出h(x)在(2,4a)有一个零点,并求出a的值得2分.题后悟通函数与导数综合问题的解题关键(1)求函数的极值点,先求方程f'(x)=0的根,将函数的定义域分成若干个开区间,再列成表格,最后根据表格内容即可写出函数的极值;(2)证明不等式常构造函数,并利用导数法判断新构造函数的单调性,从而可证明原不等式成立;(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法外,还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手,求参数的取值范围.。
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(六)函数与导数1.(2019·保山检测)若定义在D 上的函数f (x )满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界，已知函数f (x )＝1－mg (x )1＋mg (x )，g (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x .(1)求函数g (x )在⎝⎛⎭⎫1e －1，e －1上的值域，判断函数g (x )在⎝⎛⎭⎫1e －1，e －1上是否为有界函数，并说明理由；(2)若函数f (x )在[1，e －1]上是以3为上界的函数，求实数m 的取值范围.解 (1)g (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，x >－1.则g ′(x )＝ln(1＋x )－x x ＋1， 设函数h (x )＝g ′(x )＝ln(1＋x )－x x ＋1，x >－1， 则h ′(x )＝x (x ＋1)2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e －1，0时，h ′(x )<0，h (x )为减函数；当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )>0，h (x )为增函数.故当x ∈⎝⎛⎭⎫1e －1，e －1时，h (x )≥h (0)＝0，当且仅当x ＝0时，h (x )＝0，从而g ′(x )≥0，当且仅当x ＝0时，g ′(x )＝0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫1e －1，e －1上单调递增，又g ⎝⎛⎭⎫1e －1＝1－3e，g (e －1)＝3－e ， 故g (x )在⎝⎛⎭⎫1e －1，e －1上的值域为⎝⎛⎭⎫1－3e ，3－e ， 故|g (x )|≤M ＝3－e ，故g (x )在⎝⎛⎭⎫1e －1，e －1上是有界函数.(2)由|f (x )|≤3，得－3≤1－mg (x )1＋mg (x )≤3在[1，e －1]上恒成立. 故－1≤11＋mg (x )≤2在[1，e －1]上恒成立，① 由(1)可知g (x )在[1，e －1]上单调递增，且0<3ln 2－2≤g (x )≤3－e.当m ≥0时，有m (3ln 2－2)＋1≤1＋mg (x )≤m (3－e)＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m (3ln 2－2)＋1>0，m (3ln 2－2)＋1≥12，解得m ≥0. 当m <0时，有m (3－e)＋1≤1＋mg (x )≤m (3ln 2－2)＋1，若m (3－e)＋1>0，则⎩⎪⎨⎪⎧ m (3－e )＋1>0，m (3－e )＋1≥12， 所以12e －6≤m <0； 若m (3ln 2－2)＋1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧m (3ln 2－2)＋1<0，m (3ln 2－2)＋1≤－1， 所以m ≤－23ln 2－2. 综上，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，22－3ln 2∪⎣⎡⎭⎫12e －6，＋∞. 2.(2019·齐齐哈尔模拟)已知函数f (x )＝ax －2ln x ＋2(1－a )＋a －2x(a >0). (1)若f (x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：1＋13＋15＋…＋12n －1> 12ln(2n ＋1)＋n 2n ＋1(n ∈N *). (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －2x －a －2x 2＝ax 2－2x ＋2－a x 2＝a (x －1)⎝⎛⎭⎫x －2－a a x 2. ①当0<a <1时，2－a a >1，若1<x <2－a a， 则f ′(x )<0，f (x )在⎣⎡⎭⎫1，2－a a 上是减函数， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2－a a 时，f (x )<f (1)＝0， 即f (x )≥0在[1，＋∞)上不恒成立.②当a ≥1时，2－a a≤1， 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，又f (1)＝0，所以f (x )≥0.综上所述，所求a 的取值范围是[1，＋∞).(2)证明 由(1)知当a ≥1时，f (x )≥0在[1，＋∞)上恒成立.取a ＝1，得x －2ln x －1x≥0， 所以x －1x≥2ln x . 令x ＝2n ＋12n －1>1，n ∈N *， 得2n ＋12n －1－2n －12n ＋1>2ln 2n ＋12n －1， 即1＋22n －1－⎝⎛⎭⎫1－22n ＋1>2ln 2n ＋12n －1， 所以12n －1>12ln 2n ＋12n －1＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. 上式中n ＝1,2,3，…，n ，然后n 个不等式相加，得到1＋13＋15＋…＋12n －1>12ln(2n ＋1)＋n 2n ＋1，n ∈N *. 3.(2018·福建省百校模拟)已知函数f (x )＝x －1＋a e x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e. (1)解 f ′(x )＝1＋a e x ，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增.当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 令f ′(x )<0，得x >ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. 综上所述，当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明 方法一 设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3， 由g ′(x )<0得x >ln 3；由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0，从而得g (x )＝f (x )＋2x <0，∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0，即x 1－2x 2>－4＋1e. 方法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴x 1＝12e e x x＋－x 2－3，∴x 1－2x 2＝12e e x x ＋－3x 2－3，设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3，由g ′(x )<0得x <ln 3，由g ′(x )>0得x >ln 3，故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3.∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝1e－3ln 3， ∵3ln 3＝ln 27<4，∴x 1－2x 2>－4＋1e. 4.(2019·衡水市第二中学期中)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)若x 1，x 2满足f (x 1)＝f (x 2)＝1，证明：x 1＋x 2>2e 2.(1)解 因为f (x )＝ln x －ax ，x >0，所以f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x. ①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.②当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <1a， 由f ′(x )<0，得x >1a， 即函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)证明 由(1)知，a >0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 由f (x 1)＝f (x 2)＝1，得f (x )－1＝0有两个不同的实数根，所以有f ⎝⎛⎭⎫1a >1，即ln 1a－1>1， 所以1a>e 2， 不妨设0<x 1<1a<x 2， 要证明x 1＋x 2>2e 2，只需证x 1＋x 2>2a. 即证x 2>2a －x 1>1a， 即证f (x 1)＝f (x 2)<f ⎝⎛⎭⎫2a －x 1， 令F (x )＝f (x )－f ⎝⎛⎭⎫2a －x ＝ln x －ax －ln ⎝⎛⎭⎫2a －x ＋a ⎝⎛⎭⎫2a －x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ， F ′(x )＝1x －2a ＋12a－x ＝2(ax －1)2x (2－ax )>0， 所以F (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数， F ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1－ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎫2a －1a ＝0， 所以F (x )<0，即f (x )－f ⎝⎛⎭⎫2a －x <0，f (x 2)＝f (x 1)<f ⎝⎛⎭⎫2a －x 1， 因为x 2>1a ，2a －x 1>1a， 又f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数， 所以x 2>2a －x 1，所以x 1＋x 2>2a， 所以x 1＋x 2>2e 2.5.设函数f (x )＝x －ln(x ＋1＋x 2).(1)探究函数f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，恒有f (x )≤ax 3，试求a 的取值范围；(3)令a n ＝19⎝⎛⎭⎫126n ＋ln ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122n ＋ 1＋⎝⎛⎭⎫124n (n ∈N *)，试证明：a 1＋a 2＋…＋a n <13. (1)解 函数f (x )的定义域为R .由f ′(x )＝1－11＋x 2≥0， 知f (x )是R 上的增函数.(2)解 令g (x )＝f (x )－ax 3＝x －ln(x ＋1＋x 2)－ax 3，则g ′(x )＝1＋x 2(1－3ax 2)－11＋x 2， 令h (x )＝1＋x 2(1－3ax 2)－1，则h ′(x )＝(1－6a )x －9ax 31＋x 2＝x [](1－6a )－9ax 21＋x 2.①当a ≥16时，h ′(x )≤0， 从而h (x )是[0，＋∞)上的减函数，注意到h (0)＝0，则当x ≥0时，h (x )≤0，所以g ′(x )≤0，进而g (x )是[0，＋∞)上的减函数， 注意到g (0)＝0，则当x ≥0时，g (x )≤0， 即f (x )≤ax 3.②当0<a <16时，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1－6a 9a 上， 总有h ′(x )≥0，从而知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－6a 9a 时，f (x )>ax 3； ③当a ≤0时，h ′(x )≥0，同理可知f (x )>ax 3， 综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫16，＋∞.(3)证明 在(2)中，取a ＝19， 则x ∈⎣⎡⎭⎫0，33时，x －ln(x ＋1＋x 2)>19x 3，即19x 3＋ln(x ＋1＋x 2)<x ，取x ＝⎝⎛⎭⎫122n ， a n ＝19⎝⎛⎭⎫126n ＋ln ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122n ＋ 1＋⎝⎛⎭⎫124n <⎝⎛⎭⎫14n ， 则a 1＋a 2＋…＋a n <14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14<13.。