2016-2017年福建省厦门六中高二上学期期中数学试卷及解析(理科)

2016-2017学年福建省厦门六中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知数列{a n}满足：a1＜0，=，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．不确定2．（5分）不等式（x+5）（3﹣2x）≤6的解集是（）A．{x|x≤﹣1或x} B．{x|﹣1≤x}C．{x|x或x≥1} D．{x|x≤﹣1}3．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定4．（5分）对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则＞C．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b，＞，则ab＜05．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=29，则a3+a6+a9=（）A．22 B．18 C．20 D．136．（5分）在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．7．（5分）在2015年年底，某家庭打算把10万元定期存入银行后，既不加进存款也不取钱，每年到期利息连同本金自动转存，定期存款期限为10年．如果不考虑利息税，且中国银行人民币定期存款的年利率为5%，则到期时的存款本息和是（）A．10×1.0510B．10×1.059C．200×（1.059﹣1）D．200×（1.0510﹣1）8．（5分）在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．a=7，b=14，A=30°B．b=4，c=5，B=30°C．b=25，c=3，C=150°D．a=，b=，B=60°9．（5分）函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，则+的最小值是（）A．12 B．13 C．24 D．2510．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A．B．C．10 D．2011．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣312．（5分）已知t=（u＞1），且关于t的不等式t2﹣8t+m+18＜0有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为．14．（5分）已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．15．（5分）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷水的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测的水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B．在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是．16．（5分）已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．18．（12分）各项均为正数的等差数列{a n}前n项和为S n，首项a1=3，数列{b n}为等比数列，首项b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设f（n）=（n∈N*），求f（n）最大值及相应的n的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=4，求△ABC周长的取值范围．20．（12分）某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如表：已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，其前n项和为S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2n ﹣1（n≥3，n∈N*）（Ⅰ）试求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）令b n=，T n是数列{b n}的前n项和．证明：对任意给定的m∈（0，），均存在n0∈N*，使得当n≥n0时，T n＞m恒成立．2016-2017学年福建省厦门六中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知数列{a n}满足：a1＜0，=，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．不确定【解答】解：由=，数列{a n}是公比为的等比数列，又a1＜0，∴数列{a n}是递增数列，故选：A．2．（5分）不等式（x+5）（3﹣2x）≤6的解集是（）A．{x|x≤﹣1或x} B．{x|﹣1≤x}C．{x|x或x≥1} D．{x|x≤﹣1}【解答】解：不等式（x+5）（3﹣2x）≤6可化为2x2+7x﹣9≥0，即（x﹣1）（2x+9）≥0，解得x≤﹣或x≥1；∴原不等式的解集是{x|x≤﹣或x≥1}．故选：C．3．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．4．（5分）对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则＞C．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b，＞，则ab＜0【解答】解：对于A：c=0时，不成立，A错误；对于B：若a＞b＞0，则＜，B错误；对于C：令a=﹣2，b=﹣1，代入不成立，C错误；对于D：若a＞b，＞，则a＞0，b＜0，则ab＜0，D正确；故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=29，则a3+a6+a9=（）A．22 B．18 C．20 D．13【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a4+a7=3a4=45，a2+a5+a8=3a5=29，解之可得a4=15，a5=，故a6=a5+（a5﹣a4）=故a3+a6+a9=3a6=13故选：D．6．（5分）在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．【解答】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3 cosC，∴cosC=，∴sinC=，==，∴S△ABC故选：D．7．（5分）在2015年年底，某家庭打算把10万元定期存入银行后，既不加进存款也不取钱，每年到期利息连同本金自动转存，定期存款期限为10年．如果不考虑利息税，且中国银行人民币定期存款的年利率为5%，则到期时的存款本息和是（）A．10×1.0510B．10×1.059C．200×（1.059﹣1）D．200×（1.0510﹣1）【解答】解：由题意这10万元1年后连本带利变为10（1+5%）=10×1.05，2年后连本带利变为10×1.052，…故到第10年连本带利变为10×1.0510，故选：A．8．（5分）在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．a=7，b=14，A=30°B．b=4，c=5，B=30°C．b=25，c=3，C=150°D．a=，b=，B=60°【解答】解：A、∵a=7，b=14，A=30°，∴由正弦定理得：sinB===1，又B为三角形的内角，∴B=90°，故只有一解，本选项不合题意；B、∵b=4，c=5，B=30°，∴由正弦定理得：sinC===，又C为三角形的内角，∴C∈（30°，180°），可得C有2解，本选项符合题意；C、∵b=25＞c=3，∴B＞C=150°，∴B+C＞300°，矛盾，这样的三角形不存在．D、∵a=，b=，B=60°，∴sinA===＞1，这样的A不存在，这样的三角形不存在．故选：B．9．（5分）函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，则+的最小值是（）A．12 B．13 C．24 D．25【解答】解：函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P（1，4），∵点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，∴m+4n=1．则+=（m+4n）=17+≥17+4×2=25，当且仅当m=n=时取等号．故选：D．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A．B．C．10 D．20【解答】解：∵100=﹣=﹣=1000d，解得d=．故选：B．11．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B．12．（5分）已知t=（u＞1），且关于t的不等式t2﹣8t+m+18＜0有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）【解答】解：∵u＞1，∴u﹣1＞0．∴t===﹣[（u﹣1）+]+5≤+5=3，当且仅当u=2时取等号．∴t∈（﹣∞，3]．∵不等式t2﹣8t+m+18＜0，化为m＜﹣t2+8t﹣18，∴关于t的不等式t2﹣8t+m+18＜0有解⇔m＜（﹣t2+8t﹣18）max．令f（t）=﹣t2+8t﹣18=﹣（t﹣4）2﹣2≤f（3）=﹣3．因此m＜﹣3．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为．【解答】解；因为成等差数列，所以a3=a2+a1⇒a1•q2=a1•q+a1⇒q=或q=（舍去）又因为=q=．故答案为：．14．（5分）已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围[﹣2，）．【解答】解：设f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，当a2﹣4=0，即a=﹣2（a=2不是空集）时，不等式解集为空集；当a2﹣4≠0时，根据题意得：a2﹣4＜0，△＜0，∴（a+2）2+4（a2﹣4）＜0，即（a+2）（5a﹣6）＜0，解得：﹣2＜x＜，综上a的范围为[﹣2，）．故答案为：[﹣2，）15．（5分）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷水的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测的水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B．在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是50m．【解答】解：如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h．∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．∴=h2+1002﹣，化为h2+50h﹣5000=0，解得h=50．故答案为：50m．16．（5分）已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4} ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1﹣1．【解答】解：由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为{1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1﹣1，故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．【解答】解：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知=18．（12分）各项均为正数的等差数列{a n}前n项和为S n，首项a1=3，数列{b n}为等比数列，首项b 1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设f（n）=（n∈N*），求f（n）最大值及相应的n的值．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则d ＞0，∴，依题意：，解得或（舍）．∴a n=2n+1，；（Ⅱ）∵S n=n（n+2），∴f（n）==≤．当且仅当n=，即n=10时取等号．∴当n=10时，所求最小值为．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=4，求△ABC周长的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）将（2b﹣c）cosA=acosC代入正弦定理得：（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，由B∈（0，180°），得到sinB≠0，所以cosA=，又A∈（0，180°），则A的度数为60°…6分（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=16， (7)分bc≤（）2，当且仅当b=c=4时等号成立，…8分∴16=（b+c）2﹣3bc≥=（b+c）2﹣3（）2=（b+c）2，∴b+c≤8，…10分∵b+c＞4，…11分∴△ABC的周长取值范围为：（8，12]…12分20．（12分）某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如表：已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？【解答】解：设生产A、B两种产品分别为x，y吨，利润为z万元，依题意可得：，目标函数为z=7x+12y，画出可行域如图：6﹣2阴影部分所示，当直线7x+12y=0向上平移，经过M（20，24）时z取得最大值，所以该企业生产A，B两种产品分别为20吨与24吨时，获利最大．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．22．（12分）已知数列{a n }中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和为S n 满足S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n﹣1（n ≥3，n ∈N*）（Ⅰ）试求数列{a n }的通项公式 （Ⅱ）令b n =，T n 是数列{b n }的前n 项和．证明：对任意给定的m ∈（0，），均存在n 0∈N*，使得当n ≥n 0时，T n ＞m 恒成立．【解答】解：（Ⅰ）由S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1（n ≥3，n ∈N*），整理得：S n ﹣S n ﹣1=S n﹣1﹣S n ﹣2+2n ﹣1，∴a n =a n ﹣1=2n ﹣1，即a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，n ≥3， ∵a 2﹣a 1=2， a 3﹣a 2=4， a 4﹣a 3=23， …a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，将上式累加整理得：a n ﹣a 1=2+4+23+…+2n ﹣1， ∴a n =+3=2n +1，数列{a n }的通项公式a n =2n +1； 证明：（Ⅱ）b n ===（﹣），∴数列{b n }的前n 项和T n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（﹣），T n +1﹣T n =＞0，∴T n 随着n 的增大而增大， 若T n ＞m ，则（﹣）＞m ，化简整理得：＞，∵m ∈（0，）， ∴1﹣6m ＞0，∴2n+1＞﹣1，n＞log2（﹣1）﹣1，当log2（﹣1）﹣1＜1时，即0＜m＜，取n0=1，当log2（﹣1）﹣1≥1时，解得：≤m＜，记log2（﹣1）﹣1的整数部分为p，取n0=p+1即可，综上可知，对任意m∈（0，），均存在n 0∈N*，使得当n≥n0时，T n＞m恒成立．。