考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

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高考数学真题考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

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考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T12)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为 ( ) A.8√6π B.4√6πC.2√6πD.√6π【解析】方法一:选D .设PA =PB =PC =2x ,E ,F 分别为PA ,AB 的中点,所以EF ∥PB ,且EF =12PB =x ,因为△ABC 是边长为2的等边三角形, 所以CF =√3,又∠CEF =90°,所以CE =√3-x 2,AE =12PA =x ,在△AEC 中,利用余弦定理得cos ∠EAC =x 2+4-(3-x 2)2×2×x,作PD ⊥AC 于D ,因为PA =PC ,所以D 为AC 中点,cos ∠EAC =AD PA =12x, 所以x 2+4-3+x 24x =12x, 所以2x 2+1=2,所以x 2=12,x =√22,所以PA =PB =PC =√2,又AB =BC =AC =2,所以PA ,PB ,PC 两两垂直, 所以2R =√2+2+2=√6,所以R =√62,所以V =43πR 3=43π×6√68=√6π,故选D .方法二:选D .因为PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的等边三角形,所以P -ABC 为正三棱锥, 易得PB ⊥AC ,又E ,F 分别为PA ,AB 的中点,所以EF ∥PB ,所以EF ⊥AC ,又EF ⊥CE ,CE ∩AC =C , 所以EF ⊥平面PAC ,PB ⊥平面PAC ,所以∠BPA =90°,所以PA =PB =PC =√2,所以P -ABC 为正方体一部分,2R =√2+2+2=√6,即R =√62,所以V =43πR 3=43π×6√68=√6π,故选D .【题后反思】本题考查学生空间想象能力,补形法解决外接球问题.可通过线面垂直定理,得到三棱两两互相垂直关系,快速得到侧棱长,进而补形成正方体解决.2.(2019·浙江高考·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是 ( )A.158B.162C.182D.32【命题意图】本题主要考查由几何体的三视图求原几何体的体积.【解析】选B .由三视图可知,俯视图可以补充为完整的正方形,边长为6,所以底面五边形的面积为S =62-12×2×3-12×4×3=27,所以V =Sh =27×6=162.二、填空题3.(2019·全国卷Ⅱ理科·T16同2019·全国卷Ⅱ文科·T16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为 .【命题意图】考查空间几何体的结构特征、空间想象以及数学运算能力.【解析】上下各一个面,中间三层每层8个面,共26个面.最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形,如图:,)+x=1,解得x=√2-1.则有8θ=360°,解得θ=45°,即设棱长为x,可得2(√2x2答案:26√2-14.(2019·全国卷Ⅲ理科·T16同2019·全国卷Ⅲ文科·T16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.【解析】S四边形EFGH=4×6-4×12×2×3=12(cm2),V=6×6×4-1×12×3=132(cm3).3m=ρV=0.9×132=118.8(g).答案:118.85.(2019·北京高考理科·T11同2019·北京高考文科·T12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.【命题意图】本题考查几何体的三视图,以及求体积,考查空间想象能力,体现了直观想象的核心素养.试题难度:易.【解析】由三视图可知,正方体体积V 1=43=64,四棱柱体积V 2=(2+4)×22×4=24, 所以该几何体体积V =V 1-V 2=40. 答案:40【方法总结】三视图还原几何体6.(2019·天津高考理科·T11同2019·天津高考文科·T12)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 . 【解题指南】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径. 【解析】四棱锥的高为√5-1=2, 故圆柱的高为1,圆柱的底面半径为12, 故其体积为π×(12)2×1=π4. 答案:π4【方法技巧】求几何体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值. 7.(2019·江苏高考·T9)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是 . 【命题意图】主要考查空间几何体的体积,可通过棱锥和棱柱的体积转化求得.【解析】设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的体积为abc=120,三棱锥E-BCD的体积为13S△BDC×12c=13×12ab×12c=112abc=10.答案:10【题后反思】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“补”的方法解题.。

学案3：§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图

§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图考纲展示1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．考点1空间几何体的结构特征第1步回顾基础一、自读自填空间几何体的结构特征(1)一个几何体由5个面围成，其中两个面是互相平行且全等的三角形，其他面都是全等的矩形，则该几何体是________；一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周后形成的封闭曲面所围成的几何体是________．(2)如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．三、易错问题空间几何体的认识误区．给出下面四种说法：①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；④棱台各侧棱的延长线交于一点．其中错误说法的序号为________．第2步自主练透典题1(1)给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3(2)下列说法中正确的是________．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面组成的几何体是棱锥；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③用一个平面去截棱锥，可得到一个棱锥和一个棱台；④棱锥的各侧棱长相等．点石成金解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．考点2空间几何体的三视图第1步回顾基础一、自读自填空间几何体的三视图是用________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是________的，三视图包括________、________、________.二、易错问题三视图：注意三个视图之间的长度关系．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．第2步多角探明角度一由三视图还原几何体典题2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A B C D角度二由空间几何体的直观图判断三视图典题3一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()A B C D角度三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图典题4已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．(把你认为正确的图的序号都填上)点石成金三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．考点3空间几何体的直观图第1步回顾基础一、自读自填空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．第2步师生共研典题5已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2C.68a2 D.616a2点石成金用斜二测画法画直观图的技巧(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行；(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线；(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．第3步跟踪训练如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．参考答案考点1空间几何体的结构特征第1步回顾基础一、自读自填(1)平行且相等全等(3)相似(1)矩形(2)直角边(3)直角腰(4)直径二、链接教材(1)【答案】三棱柱两个同底的圆锥【解析】根据多面体和旋转体的概念知，第一个几何体是三棱柱，第二个几何体是两个同底的圆锥．(2)【答案】侧视图俯视图【解析】根据三视图的概念知，图②是侧视图，图③是俯视图.三、易错问题【答案】①②③【解析】①如果上、下两个面平行，但不全等，即使其余各面是四边形，那也不可能是棱柱．②如图所示，平面ABC∥平面A1B1C1，但图中的几何体不是棱柱．③棱锥的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．④棱台是由棱锥截得的，故侧棱延长线交于一点．第2步自主练透典题1(1)【答案】B【解析】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)【答案】②【解析】棱锥的侧面三角形有一个公共顶点，故①错误；三棱锥又叫四面体，其各个面都是三角形，都可以作为棱锥的底面，故②正确；用平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分叫做棱台，故③错误；④明显错误．考点2空间几何体的三视图第1步回顾基础一、自读自填正投影完全相同正视图侧视图俯视图二、易错问题【答案】48【解析】由三视图可知，上面是一个长为4、宽为2、高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是上、下底分别为2,6，高为2的梯形．又长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48.典题2 【答案】 D【解析】 A ，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，故选D. 典题3 【答案】 B【解析】由直观图可知，该几何体是由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．故选B. 典题4 【答案】 ①②③④【解析】直观图如图①的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图①；直观图如图②的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图②；直观图如图③的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图③；直观图如图④的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图④.① ② ③ ④考点3 空间几何体的直观图第2步师生共研典题5 【答案】 D【解析】图①所示的是△ABC 的实际图形，图②是△ABC 的直观图．由图①②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2. 第3步跟踪训练解：建立如图所示的坐标系xOy ′，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ′轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理，得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ，所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.。

考点30空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的表面积与体积

考点30 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2015·浙江高考理科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( )cm 3 cm 3 C.3323cm D.3403cm 【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积V=23+×22×2=(cm 3).2.(2015·浙江高考文科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( )cm 3cm 3 C. cm 3D. cm 3【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积3322231223=⨯⨯+=V (cm 3).3. （2015·安徽高考文科·T9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( )（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。

【解析】选C 。

由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示：其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ABC ≅，由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=2，取AC 中点O 连接PO,BO ，则在Rt POB 中，PO=BO=1，可得PB=2，所以31=22+22=2+32S ⨯⨯⨯⨯C 。

4. （2015·安徽高考理科·T7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A 、13+、23+ C 、122+、22【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。

理科数学笔记空间几何体的结构及其三视图与直观图

考点28 空间几何体的结构及其三视图与直观图一、空间几何体的结构1．多面体棱柱：①底面互相平行②侧面都是平行四边形③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.棱锥：①底面是多边形.② 侧面都是三角形.③侧面有一个公共顶点.棱台：① 上、下底面互相平行，且是相似图形.② 各侧棱的延长线交于一点.③各侧面为梯形. 可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥2．旋转体圆柱：① 圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.② 圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等.③ 平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面( 轴截面) 是全等的矩形.圆锥：①底面是圆面.② 有无数条母线，长度相等且交于顶点.③ 平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面, 过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.圆台：① 圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.② 有无数条母线，等长且延长线交于一点.③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面, 过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.球：①球心和截面圆心的连线垂直于截面.② 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式:d2=R2-r2.二、空间几何体的三视图与直观图1．空间几何体的三视图（1 ）三视图的概念几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．① 光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图 ;② 光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图 ;③ 光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.（ 2 ）三视图的画法规则① 排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.② 画法规则正视图与俯视图的长度一致，即“ 长对正”；。

空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1．（2011·安徽高考理科·Ｔ6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）（A ）48 （B ）32+178 （C ）48+178 （D ）80【思路点拨】将三视图还原成直观图，可以知道这是一个底面为等腰梯形的直棱柱，之后利用面积公式，求出六个面的面积.【精讲精析】选C.这是一个底面为等腰梯形的直棱柱,两底面等腰梯形的面积和为，）（24442212=⨯+⨯⨯四个侧面的面积为，）（178********+=++⨯所以该几何体的表面积为48+178.2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到几何体的直观图，然后再推出侧视图. 【精讲精析】选D. 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D3．（2011·辽宁高考文科·Ｔ10）已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为（）（A）3(B)3(C) 3(D)3【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C ，设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边4,=SC 故2==BO AO ，且有SC AO ⊥，SC BO ⊥．∴)(31OC SO S V V V AOB AOB C AOB S ABC S +=+=∆---=3344243312=⨯⨯⨯．BCA4.（2011·广东高考文科·Ｔ7）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）（A ）20 （B ）15 （C ）12 （D ）10【思路点拨】本题主要考查空间想象能力及体对角线的概念，由多面体体对角线的概念可得答案. 【精讲精析】选D.上底面内的每个顶点，与下底面内不在同一侧面内的两个顶点的连线，可构成正五棱柱的对角线，所以共10条，故选D.5.（2011·广东高考文科·Ｔ9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）（A ）34 （B ）4 （C ）32 （D ）2【思路点拨】首先由三视图得该几何体为一四棱锥，然后由图中数据求出底面面积及高，再由锥体体积公式求解.【精讲精析】选C.由三视图可得原几何体是一四棱锥，底面是边长为2的菱形，其一条对角线长为2，则另一条对角线长为32，从而底面面积3232221=⨯⨯=底S .该棱锥其中两条侧棱长为32，另外两条侧棱长相等，从而得棱锥的高3)3()32(22=-=h ，所以该几何体的体积3233231=⨯⨯=V ，故选C.6.（2011·广东高考理科·Ｔ7）如图某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）（A ）36 （B ）39 （C ）312 （D ）318 【思路点拨】先由三视图还原直观图，然后再求体积.【精讲精析】选B.由三视图得，几何体为一平行六面体，底面是边长为3的正方形，高3122=-=h .所以几何体的体积V 33=⨯=故选B.7.（2011·山东高考理科·Ｔ11）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图．其中真命题的个数是（）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0【思路点拨】本题可寻找特殊的几何体，三棱柱，正四棱柱，圆柱.【精讲精析】选A.只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使三个命题为真.8.（2011·辽宁高考理科·Ｔ12）已知球的直径SC =4，B A ,是该球球面上的两点，AB =3，︒=∠=∠30BSC ASC ，则棱锥ABC S -的体积为（）（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1 【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C.由题意可知SAC ∆和SBC ∆是两个全等的直角三角形，过直角顶点B A ,分别作斜边上的高线BH AH ,，由于︒=∠=∠30BSC ASC ，求得3==BH AH ，所以等边ABH ∆的面积为2ABH S ∆==ABC S -的体积等于以ABH ∆为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC 的长，故⨯=-31ABC S V 43334=⨯．9.（2011·北京高考理科·T7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）（A ）8 （B）（C ）10 （D）【思路点拨】先画出直观图，标出尺寸后，再分别求出四个面的面积，逐个比较. 【精讲精析】选C.该四面体的直观图，如图所示，090B ∠=，ABC PA ⊥面，PA=4,AB=4,BC=3.该四面体的四个面都是直角三角形.四个面的面积分别为6,8,10.ABC PAB PBC PAC S S S S ∆∆∆∆==== 故最大面积为10.10.（2011·北京高考文科·T5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）（A ）32 （B）16+（C ）48 （D）16+【思路点拨】作出直观图，先求出斜高，再计算表面积. 【精讲精析】选B.=214(44162⨯⨯⨯+=+11.（2011·湖南高考理科·T3）设如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）（A ）1229+π（B ）1829+π（C ）429+π （D ）1836+π正（主）视图侧（左）视图俯视图正（主）视图侧（左）视图俯视图正视图侧视图ABCP【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力.【精讲精析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23 的球，下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱.故体积为3439332+()18.322π⨯⨯⨯=+π12.（2011·湖南高考文科T4）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）（A ）942π+ （B ）3618π+（C ）9122π+ （D ）9182π+【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力. 【精讲精析】选D. 由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23的球，下面是一个底面边长是3高为2的正四棱柱. 故体积为3439()+33218.322π⨯⨯⨯=π+ 13.（2011·江西高考文科·Ｔ9）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【思路点拨】在左视图中，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，易得.【精讲精析】选D.根据正投影的性质，结合左视图的要求知，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，结合选项即得答案.14．（2011·陕西高考理科·T5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A ）283π- （B ）83π-（C ）82π-（D ）23π 【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A ．由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-.15.（2011·浙江高考理科·Ｔ3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）【思路点拨】逐个检验筛查.【精讲精析】选D.由正视图来看符合条件的只有C,D.从俯视图来看只有D 选项中的几何体符合. 16.（2011·浙江高考文科·Ｔ7）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）【思路点拨】逐个检验选项中的几何体的直观图是否与所给三视图相符合. 【精讲精析】选B.二、填空题17.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为__ .【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD 的体积.【精讲精析】如图所示，OO '垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O '，连接O 'B ，OB ，则在Rt ∆OO B '中，由OB ＝4, O B '=OO '＝2,116233O ABCD V S OO -'∴=⋅=⨯⨯=【答案】18.（2011·天津高考理科·T10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：211332163=+=⨯⨯+⨯⨯=+V V V ππ圆锥长方体【答案】6+π19.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解. 【精讲精析】如图设球的半径为R ，圆锥的底面圆半径为r ，则依题意得223416r R ππ=⨯，即cos 2r O CO R '=∠= 130,2O CO OO R ''∴∠=︒∴=，11,22AO R R BO R R ''∴=-=+, 112.332RAO BO R '∴==' 【答案】1320.（2011·辽宁高考理科·Ｔ15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_________.【思路点拨】先求底面边长，再求矩形的面积．【精讲精析】设棱长为a ，由体积为32可列等式=⋅a a 24332，2=a ，所求矩形的底边长为323=a ，这个矩形的面积是3223=⨯．【答案】3221.（2011·天津高考文科·Ｔ10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体，上面是长、宽、高分别为1、1、2的长方体，所以所求的体积是：12+=211+112=4=⨯⨯⨯⨯V V V【答案】422. （2011·福建卷理科·Ｔ12）三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC 的体积等于______. 【思路点拨】利用公式13P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅求体积.【精讲精析】由题意得：2112333P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯=三、解答题23.（2011·江西高考文科·Ｔ18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将,'∆∆PDA PD PDA 沿翻折至.'⊥PDA PBCD 使平面平面（1）当棱锥'A -PBCD 的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A【思路点拨】(1)首先根据面面垂直，证出A P PBCD '⊥平面，再将四棱锥的体积表示出来，借助导数求体积最大时PA 的长.（2）根据平行线的性质，两条平行线中有一条与一条直线垂直，另一条也与该直线垂直，故易证.【精讲精析】（1）设x PA = (0<x<2), 则A ′P=PD=x, BP=2-x,因为A ′P ⊥PD 且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故 A ′P ⊥平面PBCD则2A -PBCD PDCB11x V PA Sx(2)332'=⋅=-底面. 令231x 2x x f (x)x(2)(x 0),3236=-=->则232)(2x x f -='.由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值.（2）作B A '的中点F ，连接EF 、FP, 由已知得：FP ED PD BC EF ////21//⇒ 又'A P PB ⊥，∴PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.24.（2011·福建卷文科·Ｔ20）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，点E 在线段AD 上，且CE∥AB. (I)求证：CE⊥平面PAD ；（II ）若PA=AB=1，AD=3，P-ABCD 的体积. 【精讲精析】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥. 因为,//,AB AD CE AB ⊥所以CE AD ⊥. 又PAAD A =，所以CE ⊥平面PAD.(2)由（1）可知CE AD ⊥.在Rt ECD ∆中，cos 451DE CD =⋅︒=，sin 451CE CD =⋅︒=.AE=AD-DE=3-1=2，又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形. 所以1++2ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE ∆⋅⋅矩形四边形＝＝＝1512+11.22⨯⨯⨯＝又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，所以-11551.3326P ABCD V S PA =⋅⨯⨯四棱锥四边形ABCD ＝＝。

空间几何体的三视图、直观图、表面积及体积

空间几何体的三视图及直观图、表面积及体积导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，并且会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图．探究点一空间几何体的结构例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式迁移1 下列结论正确的是( ) A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线探究点二空间几何体的三视图例2 (2009·福建)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )变式迁移2 (2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )探究点三直观图及斜二测画法例3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()变式迁移3一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.24a2B．22a2C.22a2D23a21.(2012·湖北省黄冈中学高三五月模拟)下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( )A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形2.(2012·山东省济宁第三次质检)在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )3.(2013·昌平二模)已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为.5.(2012·福建省泉州市3月质量检查)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为.6.(2013·广东佛山市质检)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中满足条件的序号是②③.7.如图，四边形ABCD 在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是 .8.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．9.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值．空间几何体的表面积和体积1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．5 2.(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.3603B.5803 C ．200 D ．240 3.(2012·山东省日照市高三12月)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( )A. 3 B．4 3 C．8 D．244.如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于( C ) A．15πB．18πC．21πD．24π5.(2012·南通市教研室全真模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为1 m的半圆，则该圆锥的体积是m3.6.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.7.(2013·上海市高三下七校联考)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB ⊥BC，SA＝1，AB＝BC＝2，则球O的表面积为.8.下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．9.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．。

(优选)空间几何体的三视图直观图表面积与体积

③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图 2 所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等. 答案 A
题型分类·深度剖析
题型一
空间几何体的结构特征
思维升华 (1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱.
（优选）空间几何体的三视图直观图表面积与体积
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投
影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图 . 3.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤： (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝ 45°(或135°) .
(B )
A思.维有启两迪个平从面多互面体相、平旋行转，体其的余定各义面入都手，是可平以行借四助边实形例或的几多何面模体型是理
解棱几柱何体的结构特征. B解 B.正四析确棱，(锥1)如A的图错四2，个，如其侧图中面1底都；面可A以BC是D直是角矩形三，角可形证明 C∠.P有AB两，个∠平PC面B 互都相是直平角行，，这其样余四各个面侧面都都是是梯直形角的三多角面形体；是棱台
题型分类·深度剖析
题型二
空间几何体的三视图和直观图
(2) 正三角形 AOB 的边长为 a，建立如图所示的直角坐标系
xOy，则它的直观图的面积是___1_66_a_2 ___.
∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝166a2.

考点29 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

温馨提示：考点29 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2017·浙江高考·T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 ( )A.2π+1 B. 2π+3 C.32π+1 D. 32π+3【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图,意在考查学生由空间几何体的三视图还原空间几何体的能力及圆锥与棱锥的体积公式的应用.【解析】选A.根据所给几何体的三视图,画出该几何体的直观图,如图所示,可知该几何体是由一个半圆锥和一个三棱锥组合成的,圆锥的底面半径为1,高为3,三棱锥底面是斜边为2的等腰直角三角形,高也为3,所以该几何体的体积为:V=π·12×3×13×12+2×1×12×3×13=2π+1.2.(2017·全国甲卷文·T6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π【命题意图】本题考查三视图以及几何体的体积计算,意在考查学生空间想象能力与化归思想的运用,通过体积的计算考查运算求解能力.【解析】选B.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,故其体积为V=错误！未找到引用源。

×π×32×6+π×32×4=63π.【误区警示】本题由三视图不能正确的还原成空间几何体,从而造成计算失误.3.(2017·全国甲卷理科·T4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π【命题意图】本题考查三视图以及几何体的体积计算,意在考查学生空间想象能力与化归思想的运用,通过体积的计算考查运算求解能力.【解析】选B.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,故其体积为V=12×π×32×6+π×32×4=63π. 4.(2017·全国丙卷·文科·T9)同(2017·全国丙卷·理科·T8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A.π B.34π C.2π D.4π 【命题意图】本题考查圆柱和球,考查学生的空间想象能力和计算能力. 【解析】选B.如图,画出圆柱的轴截面:r=BC=, 那么圆柱的体积V=πr 2h=π×22⎛⎫⎪⎝⎭×1=34π. 5.(2017·全国丙卷·理科·T8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A.π B.34π C.2π D.4π 【命题意图】本题考查圆柱和球,考查学生的空间想象能力和计算能力. 【解析】选B.如果,画出圆柱的轴截面:r=BC=2,那么圆柱的体积V=πr 2h=π×22⎛ ⎝⎭×1=34π. 6.(2017·北京高考理科·T7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 ( )D.2【命题意图】本题主要考查根据几何体三视图求几何体的体积与表面积.意在培养学生的数形结合与运算能力. 【解析】选B.几何体是四棱锥,如图为三视图还原后的几何体,最长的棱长为所在正方体的体对角线,l==2【技巧点拨】如何依据三视图确定空间几何体,长方体是确定空间几何体的主要模型,充分把三视图与(投影面)长方体两两垂直的三个平面建立联系.7.(2017·北京高考文科·T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )A.60B.30C.20D.10【命题意图】本题主要考查根据几何体三视图求几何体的体积.意在培养学生的数形结合与运算能力.【解析】选C.由三棱锥的三视图可知,该三棱锥的直观图为A-BCD ,如图所示,其所在长方体的长、宽、高分别为5,3,4,所以V A-BCD =3×4×5-4×1134532⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭错误！未找到引用源。

空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

①三变：坐标轴的夹角改变，与 y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，侧面展开图图形改变．
侧面积公式
S圆柱侧 2 rl
S圆锥侧 rl
S圆台侧（r +r '）l
②三不变：平行性不变，与 x, z 轴平行的线段的长度不变，相对位置不变．三．典例精析
（2）柱、锥、台和球的表面积与体积：名称表面积几何体柱体（棱柱与圆柱）锥体（棱锥与圆锥）台体（棱台与圆台）球二．要点整合 1．辨明三个易误点（1）台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．（2）注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．（3）求组合体的表面积时，要注意几何体重叠部分的处理． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” 体积
①三视图：空间几何体在正投影下在投影面上留下的轮廓线．三视图包括正视图、侧视图和俯视图． ②画法：长对正，高平齐，宽相等，即正俯一样长，正侧一样高，侧俯一样宽．看不到的线画虚线．（2）直观图：斜二测画法： ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中 x ' 轴与 y 轴的夹角为 45 （或 135 ）， z 轴与 x ' 轴和 y 轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
S表 S侧 S上 S下
S 4 R2
1 V ( S 上 S下 S 上 S 下 ) h 3 4 V R3 3
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

高考数学考点30空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

15.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T10)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 ( )
A.36πBபைடு நூலகம்64πC.144πD.256π
【解题指南】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,利用VO-ABC=VC-AOB列出关于半径R的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积.
【解析】选B.由三视图可知，该几何体为半个圆锥和一个圆柱构成的组合体..由图中数据可知，半个圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以几何体的体积为 .
20.(2015·福建高考文科·T9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等
于 ( )
A.8+2 B.11+2
C.14+2 D.15
【解题指南】根据三视图确定每个面的面积.
A.1B.2C.4D.8
【解析】选B.由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的底面半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为 ×4πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.
10.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ( )
6.(2015·北京高考文科·T7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱棱长

第一节空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积

1 3
4 2 3
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1.解决组合体问题的关键是分清该组合体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合方式; 2.由三视图求几何体的表面积、体积时,关键是由三视图还原几何体,同时还需掌握求体积的常用技巧,如:割补法和等价转化法.
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3-1 (2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( )
图①
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2 ∵在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE= . 2
∵四边形AECD为矩形,AD=1, ∴EC=AD=1.∴BC=BE+EC= +1.
2 2
由此可还原原图形如图②.
图②
2 +1,且A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C', 在原图形中,A'D'=1,A'B'=2,B'C'= 2
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3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是 ( )
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答案 A 由直观图的画法可知,落在y轴上的对角线的长度为2 2 .
4.直角三角形两直角边AB=3,AC=4,以AB所在直线为轴旋转一周所得的几何体的体积为 ( A.12π
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第一节空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积
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1.空间几何体的结构特征
(1)棱柱:侧棱都① 平行且相等 ,上、下底面平行且是② 全等多面体的多边形. (2)棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台:可以由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是

1空间几何体的结构特征及三视图与直观图、表面积与体积(学生版)汇总

专题复习立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图知识点一空间几何体的结构特征1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的形成易误提醒(1)棱台可以看成是由棱锥截得的，但截面一定与底面平行．(2)球的任何截面都是圆．球面被经过球心的平面截得的圆叫作大圆，大圆的半径等于球的半径；被不经过球心的平面截得的圆叫作小圆，小圆的半径小于球的半径．必记结论球的截面的性质(1)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r＝R2－d2.[自测练习]1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等2．如图，在球中被平面所截面的截面小圆的半径为2，球心半径为3，则球心到截面圆心距离为________．知识点二空间几何体的三视图1．三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．2．三视图的画法(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．易误提醒(1)画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示．(2)一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．[自测练习]3．(2016·深圳调研)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()4．某几何体的三视图如图所示，根据三视图可以判断这个几何体为()A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台知识点三空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．[自测练习]5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()1．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．其中正确命题的序号是()A．①②③B．②③C．③D．①②③④2．下列结论中正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线考点二空间几何体的三视图|(2016·温州模拟)(1)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()(2)(2016·汕头模拟)如图是一正方体被过棱的中点M，N，顶点A及过N，顶点D，C1的两个截面截去两角后所得的几何体，该几何体的正视图是()1．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为()A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm22．已知△ABC是边长为a的等边三角形，则其直观图△A′B′C′的面积为________．第二节空间几何体的表面积与体积知识点一空间几何体的表面积1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表(侧)面积易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．[自测练习]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．1442．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．8＋4 2B ．10πC ．11πD ．12π知识点二空间几何体的体积空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh . (2)V 锥体＝13Sh .(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．(4)V 球＝43πR 3(球半径是R )．易误提醒 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．[自测练习]3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A.43 cm 3 B.83 cm 3 C ．3 cm 3 D ．4 cm 34.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．考点一空间几何体的表面积|1．(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A ．8＋2 2 B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．152．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8考点二空间几何体的体积(1)(2015·高考山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π(2)(2015·辽宁五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．考点能力演练11.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为()A．8B．4 3C．4 2 D．43．(2016·武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是()4．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．45．(2016·长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④6.如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，则△ABC 的面积为________．考点能力演练21．(2016·长春模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.323 B ．64 C.3233 D.6432.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．43π D ．23π3．(2016·唐山模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8π＋16B ．8π－16C ．8π＋8D ．16π－84．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π B ．22π C.π3 D.2π35．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.323π B ．12π C ．16π D ．32π6.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________。

高考文数考点解析空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点26 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T7)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是 ( )A.17πB.18πC.20πD.28π【解析】选A.该几何体是一个球体挖掉18剩余的部分,如图所示,依题意得78×43πR 3=28π3,解得R=2, 所以该几何体的表面积为4π×22×78+43π×22=17π. 2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T7)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )A.20πB.24πC.28πD.32π【解题指南】观察三视图,确定圆柱和圆锥的底面半径和高,再利用表面积是各个面的和进行计算.【解析】选C.几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r ,周长为c ,圆锥母线长为l ,圆柱高为h.由图得r=2,c=2πr=4π,h=4,由勾股定理得: l =,S 表=πr 2+ch+21c l =4π+16π+8π=28π.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( ) A.12π B.323π C.8π D.4π 【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为2,所以正方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4π·()2=12π. 4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T10)与(2016·全国卷3·理科·T9)相同如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( )B.54+18C.90D.81【解题指南】根据三视图作出原几何体是关键.【解析】选B.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱,上下底面为边长为3的正方形,左右为底边长为3,侧棱为的矩形,前后为底边为3,侧棱为的平行四边形,且底边上的高为6,所以S=9+9+18+18+9+9.5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T11)与(2016·全国卷3·理科·T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是 ( ) A.4π B.9π2 C.6π D.32π3【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时,球已不在直三棱柱内.【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为AB ⊥BC ,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r=68102+-=2,直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3,半径为32,此时体积V=9π2. 6.(2016·山东高考文科·T5)同(2016·山东高考理科·T5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为 ( )A.13+23πB.13+πC.13+ππ【解题指南】充分利用三视图各测度的数值,还原几何体本身各测度的数值,进而求其体积.【解析】选C.由三视图可知,半球的半径为,四棱锥底面正方形边长为1,高为1,所以该组合体的体积=43π·3⎝⎭×12+13×1×1×1=13π. 7.(2016·天津高考文科·T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )【解题指南】利用正视图和俯视图进行判断.【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.8.(2016·北京高考理科·T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )A.61B.31 C.31D.1【解题指南】三棱锥的体积为31Sh.【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=21×1×1=21,所以体积V=31Sh=61.二、填空题9.(2016·浙江高考理科·T11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是 cm 2,体积是 cm 3.【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】几何体为两个相同长方体组合而成,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2×(2×2×4)=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=72(cm2).答案:723210.(2016·浙江高考理科·T14)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.【解题指南】利用三棱锥的体积公式表示出体积,再利用不等式求最值.【解析】结合图形利用不等式的放缩进行求值,注意基本不等式的适用条件.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,所以AC==设CD=x,则AD=2-x,所以PD=2-x,所以V P-BCD=13S△BCD·h≤13×12BC·CDsin30°·PD=16×2x×12×(2)=16x(2)≤216⎝⎭=16×2⎝⎭=12, 当且仅当x=2-x ,即x==”, 此时PD=BD=1,PB=2,满足题意. 答案: 1211.(2016·浙江高考文科·T9)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是 cm 2,体积是 cm 3.【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体,S 表=6×22+2×42+4×2×4-2×22=80(cm 2),V=23+4×4×2=40(cm 3).答案:80 4012.(2016·四川高考理科·T13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .【解题指南】先根据正视图和已知条件判断几何体的形状,代入公式即可得出几何体的体积. 【解析】由题可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得如下俯视图,且三棱锥高为h=1,则体积V=13Sh=13×112⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×1=.答案:13.(2016·四川高考文科·T12)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .【解题指南】根据俯视图求出底面积,根据侧视图求出高,从而得出几何体的体积.【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=12××高为1,所以该几何体的体积V=13Sh=13××1=答案:14.(2016·天津高考理科·T11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m ),则该四棱锥的体积为 m 3.【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解. 【解析】底面为平行四边形,面积为2×1=2,高为3,所以V=2×1×3×13=2. 答案:215.(2016·北京高考文科·T11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.【解题指南】四棱柱的体积为底面积乘以高.【解析】由俯视图可知底面面积为错误！未找到引用源。

考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2018·全国卷I高考理科·T7) 同(2018·全国卷I高考文科·T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.3D.2【解析】选B.将三视图还原为圆柱,M,N的位置如图1所示,将侧面展开,最短路径为M,N连线的距离,所以MN==2.2.(2018·全国卷I高考文科·T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.12πB.12πC.8πD.10π【解析】选B.截面面积为8,所以高h=2,底面半径r=,所以该圆柱表面积S=π·()2·2+2π··2=12π.3.(2018·全国卷I高考文科·T10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为()A.8B.6C.8D.8【解析】选C.如图,连接AC1和BC1,因为AB⊥平面BB1C1C,AC1与平面BB1C1C所成角为30°,所以∠AC1B=30°,所以=tan30°,BC,所以CC1=2,所以V=2×2×2=8.4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T3)同(2018·全国Ⅲ高考文科·T3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【命题意图】本题考查几何体的三视图,考查空间想象能力,体现了直观想象的核心素养.试题难度:易.【解析】选A.由直观图可知选A.5.(2018·全国Ⅲ高考理科·T10)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ()A.12B.18C.24D.54【命题意图】本题考查三棱锥的体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,体现了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.=a2sin C=a2=9,解得a=6,【解析】选B.设△ABC的边长为a,则S如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO中,AH=××6=2,OA=R=4,则OH===2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V=S×DH=×9×6=18.6.(2018·北京高考理科·T5)同 (2018·北京高考文科·T6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ()A.1B.2C.3D.4【命题意图】本小题主要考查空间几何体的三视图,意在考查三视图与直观图的转化,培养学生的空间想象能力,体现了直观想象的数学素养.【解析】选C.将四棱锥三视图转化为直观图,如图,侧面共有4个三角形,即△PAB,△PBC,△PCD,△PAD,由已知,PD⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD,同理PD⊥CD,PD⊥AB,所以△PCD,△PAD是直角三角形.因为AB⊥AD,PD⊥AB,PD,AD⊂平面PAD,PD∩AD=D,所以AB⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以AB⊥PA,△PAB是直角三角形.因为AB=1,CD=2,AD=2,PD=2,所以PA==2,PC==2,PB==3,在梯形ABCD中,易知BC=,△PBC三条边长为2,3,,△PBC不是直角三角形.综上,侧面中直角三角形个数为3.7.(2018·浙江高考T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8【命题意图】考查由三视图还原几何体的能力及空间几何体的体积.【解析】选C.由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,底面面积S==3,高h=2,所以V=Sh=6.8.(2018·全国Ⅲ高考文科·T12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ()A.12B.18C.24D.54【命题意图】本题考查三棱锥的体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,体现了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.=a2sin C=a2=9,解得a=6,【解析】选B.设△ABC的边长为a,则S如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO中,AH=××6=2,OA=R=4,则OH===2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V=S×DH=×9×6=18.二、填空题9.(2018·全国卷II高考理科·T16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.【命题意图】本题考查空间几何体的表面积公式的运用,同时考查了线线角和线面角的有关知识.【解析】如图:设SA=SB=l,底面圆半径为r,因为SA与圆锥底面所成角为45°,所以l=r,在△SAB中,AB2=SA2+SB2-2SA·SB·cos∠ASB=r2,AB=r,AB边上的高为=r,△SAB的面积为5,所以·r·r=5,解得r=2,所以该圆锥的侧面积为πr l=πr2=40π.答案:40π10.(2018·全国卷II高考文科·T16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.【命题意图】本题考查空间几何体的体积公式的运用,同时考查了线线角和线面角的有关知识.【解析】设底面圆的半径为r,底面圆心为O,因为SA与圆锥底面所成角为30°,所以SA=,SO=r,又直角△SAB的面积为8,所以=8,解得r=2.所以V=πr2·SO=π(2)2··2=8π.答案:8π11.(2018·天津高考理科·T11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.【命题意图】本题考查四棱锥的概念、体积的求法,直线与平面的垂直,考查考生空间想象能力以及运算求解能力.【解析】依题意得:该四棱锥M-EFGH为正四棱锥,其高为正方体棱长的一半,即为,正方形EFGH的边长为,其面积为,所以四棱锥M-EFGH的体积V M-EFGH=Sh=××=.答案:12.(2018·天津高考文科·T11)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.【命题意图】本题考查四棱锥的概念、体积的求法,直线与平面的垂直,考查考生空间想象能力以及运算求解能力.【解题指南】依据题设条件,先找到四棱锥的高和底,利用体积公式即可求解.【解析】连接A1C1,交B1D1于O1点,依题意得A1O1⊥平面BB1D1D,即A1O1为四棱BB1D1D的高,且A1O1=,而四棱锥A1-BB1D1D的底面为矩形,其面积为,锥ABB1D1D的体积V=Sh=××=.所以四棱锥A答案:13.(2018·江苏高考·T10)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.【解析】平面ABCD将多面体分成了两个以为底面边长,高为1的正四棱锥,所以其体积为××1××2=.答案:关闭Word文档返回原板块。

空间几何体的体积与表面积、三视图

空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．空间几何体的结构特征2(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段；(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图． 4．柱、锥、台和球的表面积和体积题型一空间几何体的结构特征例1 (1)下列说法正确的是( )A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°题型二空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是________．(1)(2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于 ( )A ．1B. 2C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形题型三空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A.2π3＋12 B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12(2012·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ( )A.26B.36C.23 D.22转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥C—MNP的体积．1.【2017课标II ，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）103.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+4.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）5.【2015北京文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A ．BCD ．6.【2015新课标2文6】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.8 1B.7 1C.6 1D.57. (2014课标全国Ⅰ，文8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )．A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱 8.【2015高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A ）1+ （B ）1+ （C ）2+ （D ）9.【2014湖北卷7】在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 10.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(A) 123π+ (B)136π(C) 73π (D) 52π11.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ． 3cmB ．123cm C ．3233cm D ．4033cm12.【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A ）12+π33 （B）1+π33 （C）1+π36（D）1+π613. 【2014四川，文4】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：13V Sh，其中S 为底面面积，为高） A 、 B 、 CD 、侧视图俯视图1122221114. 2016高考新课标Ⅲ文数]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）8115.【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A 、89πB 、827πC 、21)πD 、21)π16.【2016高考新课标1文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π17.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A ．BCD ．。

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考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1. (2014·湖北高考文科·T7)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【解题提示】由已知条件,在空间坐标系中作出几何体的大致形状,进一步得到正视图与俯视图.【解析】选D.在坐标系中标出已知的四个点,根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④,俯视图为②,故选D.2. (2014·湖北高考文科·T10)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 ( ) A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.15750 D.355113 【解题提示】考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力.根据近似公式V ≈275L 2h ,建立方程,即可求得结论.【解析】选B.设圆锥底面圆的半径为r ,高为h ,依题意,L=(2πr )2,V=错误！未找到引用源。

Sh=13πr 2h=112π(2πr )2h ≈275L 2h , 所以112π≈错误！未找到引用源。

,即π的近似值为258. 3. （2014·湖北高考理科·Ｔ5）.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解析】选D . 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D .4. （2014·湖北高考理科·Ｔ8）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。

又以高乘之，三十六成一。

该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） A.227 B .258C .15750D .355113【解题提示】考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力。

根据近似公式2275V L h ≈，建立方程，即可求得结论【解析】选B . 设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，2)2(r L π=，2221112(2)331275V Sh r h r h L h πππ===≈，所以121275π≈，即π的近似值为2585. （2014·湖南高考理科·Ｔ7）7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解题提示】先由三视图画出直观图，判断这个几何体是底面是边长为6，8，10的直角三角形，高为12的躺下的直三棱柱，底面的内切圆的半径就是做成的最大球的半径。

【解析】选B. 由三视图画出直观图如图，判断这个几何体是底面是边长为6，8，10的直角三角形，高为12的躺下的直三棱柱，直角三角形的内切圆的半径为221086=-+=r ，这就是做成的最大球的半径。

6. （2014·湖南高考文科·Ｔ8）与（2014·湖南高考理科·Ｔ7）相同一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．4【解题提示】先由三视图画出直观图，判断这个几何体是底面是边长为6，8，10的直角三角形，高为12的躺下的直三棱柱，底面的内切圆的半径就是做成的最大球的半径。

7. （2014·上海高考理科·Ｔ16）(1,2,8)(1,2,8)i i i AB AP i =∙=如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P 是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）（A)1 (B)2 (C)4 (D)8【解题提示】根据向量数量积的定义可得. 【解析】2cos 1.i i i i i AB AB AP AB AP BAP AB AP AB AP ∙=<>=∙∙==所以取值只有一个 8.（2014·福建高考文科·Ｔ3）3．以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）.2..2.1A B C D ππ【解题指南】本题考查的是圆柱的侧面积的计算．根据圆柱侧面展开图为矩形可知，圆柱的侧面积应该是底面周长⨯母线长.【解析】A ．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1，母线长为1．故侧面积为22112r l πππ⋅=⋅⋅=．故选A ．9.（2014·福建高考理科·Ｔ2）2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱【解题指南】通过三视图还原原几何体时，注意排除干扰项．【解析】A.无论如何放置，圆柱的正视图都不可能为三角形.10.（2014·浙江高考文科·Ｔ3）某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（）A. 372cm B. 390cm C. 3108cm D. 3138cm【解析】选B.由三视图可知，原几何体是一个长方体和一个三棱柱的组合体，如图所示：所以其体积为1346343902V =⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选B.【误区警示】此题利用三视图还原几何体时容易出现错误.11.（2014·浙江高考理科·Ｔ3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（）A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm 【解题指南】由三视图还原成几何体，再根据几何体的特征求表面积. 【解析】选D.由三视图可知，几何体如图所示：所以表面积是：1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=12.（2014·辽宁高考理科·Ｔ7）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()82()8()8()824A B C D ππππ----【解题提示】结合三视图的特点，该几何体是由一个正方体在相对的两个角上各割去四分之一个圆柱后剩下的．【解析】选Ｂ.截得该几何体的原正方体的体积2228⨯⨯=；截去的圆柱（部分）底面半径为１，母线长为２，截去的两部分体积为21(12)24ππ⨯⨯⨯=；故该几何体的体积为8π-． 13.(2014·陕西高考文科·T5)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 ( ) A.4π B.8π C.2π D.π【解题指南】正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周所得几何体为圆柱,利用圆柱的侧面积公式求解.【解析】选C.边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,得几何体为底面半径为1,高为1的圆柱,则所得几何体的侧面积为2π·1·1=2π.14.(2014·陕西高考理科·T5)已知底面边长为1,侧棱长为错误！未找到引用源。

的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为 ( ) A.错误！未找到引用源。

B.4π C.2π D.错误！未找到引用源。

【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R 1,则错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1可得错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

;又侧棱长为错误！未找到引用源。

,所以球心到截面圆的距离d=错误！未找到引用源。

;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=1,代入球的体积公式得球的体积为错误！未找到引用源。

.15.(2014·江西高考理科·T5)一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是 ( )【解题指南】由三视图中的俯视图是几何体在下底面上的投影可得. 【解析】选B.因为俯视图是几何体在下底面上的投影,所以选B.16.（2014·安徽高考文科·Ｔ8）一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）A.233B.476C.6D.7【解题提示】将三视图还原为原几何体，原几何体是一个正方体截取两个全等小正三棱锥所得的组合体。

【解析】选A 。

由三视图可知原几何体是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥。

正方体的体积为V 1=8，两个相等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直接三角形，一个三棱锥的体积为2111=111=326V 创创，所以两个三棱锥的体积为212=3V ，故所求几何体的体积为12123=V 2833V V -=-=.【误区警示】没有正确将三视图还原为几何体而无法进行计算。

17.（2014·安徽高考理科·Ｔ7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.21+3B.18+3C.21D.18【解题提示】将三视图还原为原几何体，原几何体是一个正方体截取两个全等小正三棱锥所得的组合体。