专题7 三、四边形存在性问题 教师版 01

1. （2012海南省I13分）如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON（1）求该二次函数的关系式.（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积.（3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM=∠ONM②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.【答案】解：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。

又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴，解得。

∴二次函数的关系式为，即。

（2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。

∴直线OA的解析式为。

把代入得。

∴M（4，－2）。

又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。

∴。

（3）①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D。

则设A（）,则直线OA的解析式为。

则M（），N（），H（）。

∴OD=4，ND=，HA=，NH=。

∴。

∴。

∴∠ANM=∠ONM。

②能。

理由如下：分三种情况讨论：情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，∴△AHN是等腰直角三角形。

∴HA=NH，即。

整理，得，解得。

∴此时，点A与点P重合。

故此时不存在点A，使∠ONA是直角。

情况2，若∠AON是直角，则。

∵，∴。

整理，得，解得，。

舍去，（在左侧）。

当时，。

∴此时存在点A（），使∠AON是直角。

情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴。

∵OD=4，MD=，ND=，∴。

整理，得，解得。

∴此时，点A与点P重合。

故此时不存在点A，使∠ONA是直角。

综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，存在点A（），使∠AON是直角，即△ANO为直角三角形。

2. （2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．【答案】解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。

∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。

当x=0时，y=3。

∴C点的坐标为（0，3）。

设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则，解得。

∴直线AC的解析式为y=3x+3。

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。

（2）抛物线上有三个这样的点Q。

如图，①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。

综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。

（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。

过点B′作B′E⊥x轴于点E。

∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。

∴Rt△AOC∽Rt△AFB。

∴。

由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4。

∴，解得。

∴BB′=2BF=，由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。

∴。

∴B′E=，BE=。

∴OE=BE﹣OB=﹣3=．∴B′点的坐标为（﹣，）。

设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则，解得。

∴直线B'D的解析式为：。

联立B'D与AC的直线解析式可得：，解得。

∴M点的坐标为（）。

3. （2012陕西省10分）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）等腰。

（2）∵抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，∴该抛物线的顶点满足（b＞0）。

∴b=2。

（3）存在。

如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形。

当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形。

又∵AO=AB，∴△OAB为等边三角形。

作AE⊥OB，垂足为E，∴，即，∴．∴。

设过点O、C、D三点的抛物线，则，解得，。

∴所求抛物线的表达式为。

4. （2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x。

∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。

∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。

∴，即。

解得：x=2，即BE=2。

（2）存在满足条件的t，理由如下：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。

∴，即。

∴ME=2﹣t。

在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8。

在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。

过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1。

在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。

（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=。

（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t 1=﹣3+，t 2=﹣3﹣（舍去）。

∴t=﹣3+。

（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M 2=B′D 2+DM 2，即t 2﹣2t+8=（t 2﹣4t+13）+（t 2+t+1），此方程无解。

综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM 是直角三角形；（3）。

【分析】（1）首先设正方形BEFG 的边长为x ，易得△AGF ∽△ABC ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE 的长。

（2）首先由△MEC ∽△ABC 与勾股定理，求得B′M ，DM 与B′D 的平方，然后分别从若∠DB′M 、 ∠DB′M 和∠B′DM 分别是直角，列方程求解即可。

（3）分别从，， 和时去分析求解即可求得答案：①如图③，当F 在CD 上时，EF ：DH=CE ：CH ，即2：3=CE ：4，∴CE=。

∴t=BB′=BC ﹣B′E ﹣EC=6﹣2﹣。

∵ME=2﹣t ，∴FM=t ，∴当时，S=S △FMN =×t×t=t 2。

②如图④，当G 在AC 上时，t=2，∵EK=EC•tan ∠DCB= ，∴FK=2﹣EK=﹣1。

∵NL=，∴FL=t ﹣，∴当时，S=S△FMN ﹣S △FKL =t 2﹣（t ﹣）（﹣1）=。

③如图⑤，当G 在CD 上时，B′C ：CH=B′G ：DH ，即B′C ：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C ﹣2=。

∴t=。

∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。

∴当时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（﹣1）=。

④如图⑥，当时，∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=。

综上所述：。

5. （2012甘肃白银12分）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA 所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）过C作CH⊥OA于H，∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=。

∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，∴OC=OA=，∠AOC=60°。

∴OH=，CH=3 。

∴C的坐标是（，3）。

（2）∵抛物线经过C（，3）、A（，0）两点，∴，解得。

∴此抛物线的解析式为（3）存在。

∵的顶点坐标为（，3），即为点C。

MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，∵∠BOA＝300，所以ON＝∴P（），作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E。

把代入得：。

∴M（，），E（，）。

同理：Q（，t），D（，1）。

要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，即，解得：，（舍去）。

∴P点坐标为（，）。

∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）。