2017年秋九年级数学上册 滚动小专题(八)与圆的切线有关的计算与证明 (新版)新人教版
九年级数学证明圆的切线专题
证明圆的切线专题证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路：1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直.1不常用,一般常用2.1. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ︒∠+∠=,过点,A D 作O e ，使圆心O 在AB 上，O e 与AB 交于点E ．（1）求证：直线BD 与O e 相切；（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O e 的直径．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为»EF的中点。
（1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切（2）（4分）当AD=23，∠CAD=30º时，求»AD 的长。
3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ．(1)求证：直线AB 是OO 的切线；(2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。
5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ．（1）求证：⊙O 与BC 相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ．7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．OPCB A O P CB A8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E 作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．（1）求证：AH=HD；（2）若cos∠C= 4/5，，DF=9，求⊙O的半径9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．10如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11.如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求证：△ACM ∽△DCN ；（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．12、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线PO 交⊙O 与点E ，F 过点A 作PO 的垂线AB 垂足为D ，交⊙O 与点B ，延长BO 与⊙O 交与点C ，连接AC ，BF ．（1）求证：PB 与⊙O 相切；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan ∠F=，求cos ∠ACB 的值．。
人教版初三数学上册切线的有关证明和计算
与切线的有关的证明和计算邹岗中学 戴多芬教学目标分析：一．知识与技能1. 证明圆的的切线时，可以分以下两种情况：a. 直线过圆上某一点：连半径，b. 直线与圆没有已知公共点2. 解决与切线有关的求角度或者线段长度的方法：构造直角三角形，利用勾股定理或者寻找相似三角形求线段长度；求角时，利用圆心角和圆周角的关系，三角形外角与内角的关系，平行线的性质求解。
二．过程与方法通过典型例题讲解，对知识进行归纳三．情感态度价值观在复习阶段，尽最大努力让学生能够自己体会一些解题方法和技巧，并进行经验交流，让大部分同学能够共同提高。
共同享受一起进步的快乐！教学过程1. 知识点的简单回顾切线的判定定理，切线的性质，切线长，切线长定理2. 与切线有关的计算和证明例1 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，BA 平分∠CBF,过点A作AD ⊥BF ，垂足为D.① 求证：AD 为⊙O 的切线；② 若BD ＝1，tan ∠BAD ＝21,求⊙O 的直径.CP B例1图 练习1图分析：证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半径，证明这条半径与直径垂直即可.可简述为“连半径，证垂直，得切线”.练习1 如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是BA 延长线上的一点，PC是⊙O 的切线，切点为C ，过点B 作BD ⊥PC 交PC 的延长线与点D ，连接BC. 求证：① ∠PBC ＝∠CBD ② BC 2=AB ·BD分析：当已知切线时，连切点和圆心，或者寻找直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形.例2.如图，在Rt △ABC 中，∠ ACB=90°,AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O.① 求证：AB 是⊙O 的切线.② 已知AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D, tanD=21,求AC AE 的值C A例2图 练习2图分析：①此题直线AB 与圆没有已知的公共点，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径即可.可简述为：“作垂直，证半径，得切线”.②求ACAE 的值.必定是要证相似，那么已知条件与哪些三角形有关，AE 与AC 又与哪些三角形有关？练习2：如图，AB 为⊙O 的直径，C 为半圆的三等分点，过B,C 两点的切线交于点P,若AB 的长是2a,求PA 的长.课堂小结：1. 切线证明的两种类别2. 切线的有关计算会运用勾股定理，相似.。
小专题与圆的切线有关的计算与证明
小专题(十二) 与圆的切线有关的计算与证明1．如图，I 是△ABC 的内心，∠1＋∠2＝65 °，求∠BAC 的度数．(黄石中考)如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC ＝30°，BC 交⊙O于D，D 是BC 的中点．(1) 求BC 的长；(2) 过点D 作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE 是⊙O 的切线．3．如图，AB ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D，过D 作DE⊥BC，垂足为E. (1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)作DG⊥AB 交⊙O 于G，垂足为F，若∠A ＝30°，AB ＝8，求弦DG 的长．4．A，D 两点，过C作CE⊥BD 于点E. (1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若∠D＝30°，如图所示，MN 是⊙O 的切线，B 为切点，BC 是⊙O 的弦且∠CBN ＝45°，过C 的直线与⊙BD＝2＋2 3，求⊙O 的半径r.5．已知直线(1)如图(2)如图l 与⊙O ，1，当直线2，当直线AB 是⊙O 的直径，AD⊥l 于点D.与⊙O 相切于点与⊙O 相交于点C 时，若∠DAC ＝30°，求∠BAC 的大小；6．O 是边长为 6 的等边△ABC如图，⊙E，连接AD ，CD.(1)DE 与⊙O 的位置关系是_(2)求△ADC 的内切圆半径r.的外接圆，点D 为BC的中点，过点D 作DE∥BC ，DE 交AC 的延长线于2．7．(桂林中考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，AB ＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C，D 为切点．(1) 如图1，求⊙O 的半径；(2) 如图1，若点E 是BC 的中点，连接PE，求PE 的长度；(3) 如图2，若点M 是BC 边上任意一点(不含B ，C)，以点M 为直角顶点，在BC 的上方作∠AMN ＝90°，交直线CP 于点N，求证：AM ＝MN.参考答案1．∵I 是△ABC 的内心，11∴∠1＝∠ABC ，∠2＝∠ACB.221∴∠1＋∠2＝2(∠ABC ＋∠ACB) ．∵∠1＋∠2＝65°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝65°×2＝130°.∴∠BAC ＝180°－(∠ABC ＋∠ACB) ＝180°－130°＝50°.2. (1)连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∠ABC＝30°，AB＝4，∴BD ＝2 3.∵D 为BC 的中点，∴BC＝2BD ＝4 3.(2)证明：连接DO，∵D，O 分别为BC ，AB 的中点，∴DO 是△ABC 的中位线．∴DO∥AC.又∵DE⊥AC，∴DO⊥DE.又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 是⊙O 的切线．3. 证明：(1)连接OD.∵OA＝OD，∴∠A ＝∠ODA. 又∵AB＝BC，∴∠A ＝∠C.∴∠ODA ＝∠C.∴DO∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE.又点D 在⊙O上，∴DE 是⊙O 的切线．(2)∵∠A ＝30°，∴∠DOF＝2∠A＝60°.又1DG⊥AB ，且OD＝2AB＝4，1∴OF＝2OD＝2.∴DF＝DO 2－OF2＝42－22＝2 3，∴DG＝2DF＝4 3.4. (1) 证明：连接OB，OC.∵MN 是⊙O 的切线，∴OB⊥MN.∵∠CBN ＝45°，∴∠OBC＝45°，∠BCE ＝45°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB ＝45°.∴∠OCE＝90°.又∵点C在⊙O 上，∴CE是⊙O的切线．(2)∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，∴四边形BOCE 是矩形，又OB＝OC，∴四边形BOCE 是正方形．∴BE＝CE＝OB＝OC＝r.在Rt△CDE 中，∵∠D ＝30°，CE＝r，∴DE＝3r.∵BD ＝2＋2 3，∴r＋3r＝2＋2 3，∴r＝2，即⊙O 的半径为2.5. (1) 连接OC.∵直线l 与⊙O 相切于点C，∴OC⊥l，得∠OCD ＝90°.由AD ⊥l ，得∠ADC ＝90°.∴AD ∥OC，∴∠ACO ＝∠DAC.在⊙O 中，由OA ＝OC，得∠BAC ＝∠ACO ，∴∠BAC＝∠DAC＝30°.(2)连接BF.∵∠AEF 为Rt△ADE 的一个外角，∠DAE ＝18°，∴∠AEF ＝∠ADE ＋∠DAE ＝90°＋18°＝108°.在⊙O 中，四边形ABFE 是圆内接四边形，有∠AEF＋∠B＝180°.∴∠B＝180°－108°＝72°.由AB 是⊙O 的直径，得∠AFB ＝90°.∴∠BAF ＝90°－∠B＝18°.︵︵︵6. (1)相切(2)∵D 为BC的中点时，有BD＝DC，∴∠BAD ＝∠DAC ＝30°，又AB＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，∴AD 为⊙O 的直径．∴∠ACD ＝90°.在Rt△ACD 中，∠DAC ＝30°，设DC＝x，则AD ＝2x. 由勾股定理得AD2＝DC2＋AC 2，即(2x)2＝x2＋62.解得x＝2 3. ∴DC＝2 3.∴AD＝2DC＝4 3.作Rt△ADC 的内切圆⊙O′，分别切AD ，AC ，DC 于F，G，H 点，易知CG＝CH＝r，∴AG＝AF ＝6－r，DH ＝DF＝2 3－r.∵AF＋DF＝AD，∴6－r ＋2 3 －r＝4 3.∴r＝3－3.7. (1)连接BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，∠BAD ＝90°，∴BD 为⊙O的直径．在Rt△ABD 中，∠BAD ＝90°，AB＝AD＝4，∴BD＝AB 2＋AD 2＝42＋42＝4 2.∴⊙O的半径为2 2.(2)连接EO，OC，OP，∵PC，PD 是⊙O的两条切线，C，D 为切点，∴∠ODP＝∠OCP＝90°.∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，∴∠DOC＝90°，OD＝OC，∴四边形DOCP 是正方形，∴OP＝OD 2＋PD2＝ (2 2)2＋( 2 2)2＝4，∠POC＝45°.∵点E 是BC 的中点，1 1 1 1 ∴OE⊥BC，EC＝2BC＝2×4＝2，OE＝2DC＝2×4＝2.∴∠EOC＝45°.∴∠EOP＝90°.在Rt△OPE 中，∠EOP＝90°，OE＝2，OP＝4，∴PE＝OE2＋OP2＝2 5.(3) 证明：在AB 上截取AF ＝MC ，连接OC、OD. ∵AB ＝BC，∴BF＝BM.∵∠B＝90°，∴∠BFM ＝∠BMF ＝45°.∴∠AFM ＝135°. 又∵在正方形OCPD 中，∠DCN ＝45°，∴∠MCN ＝∠AFM ＝135°，∵∠AMN ＝90°，∴∠AMB ＋∠CMN ＝90°.∵∠B＝90°，∴∠AMB ＋∠BAM ＝90°.∴∠MAB ＝∠CMN.∴△AFM ≌△MCN.∴AM ＝MN.。
小专题22__与圆的切线有关的计算与证明
《小专题22 与圆的切线有关的计算与证明》1. （白银中考改编）如图，在△ABC中，∠ABC=90°（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）试判断（1）中AC与⊙O的位置关系，并证明2. （沈阳中考）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是O上的两点，过点A作⊙O 的切线交BE延长线于点C（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长3. （黄石中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC 的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD=DF，连接CF，BE.求证：（1）DB=DE：（2）直线CF为⊙O的切线4. （天津中考）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°（1）如图1，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；（2）如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小5. 如图所示，MN是⊙O的切线，点B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，过点C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过点C作CE⊥BD于点E（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2+2，求⊙O的半径r6. （河南中考）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G.填空：①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形,②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形7. （教材P102习题T12变式）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，DE=2，CD=4（1）求证：AC平分∠BAD；（2）求⊙O的半径R；（3）延长AB，DC交于点F，OH⊥AC于点H.若∠F=2∠ABH，则BH的长为（直接写出）参考答案1. 解：（1）作图略，（2）AC与⊙O相切，证明：过点O作OD⊥AC于点D.∵CO平分∠ACB，∠ABC=90°，∴OB=OD.∵OB为⊙O的半径，⊙O与直线AC相切.2. 解：（1）连接OA.∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，即∠OAC=90°.∵∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°∴∠C=90°－∠AOE=90°－50°=40°.（2）∵AB=AC，∴∠B＝∠C.∴∠AOC=2∠B=2∠C.∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C＝3∠C=90°.∴∠C=30∴OC.设⊙O的半径为r.∵CE=2，∴（r+2）.解得r=2.∴⊙O的半径为2.3. 证明：（1）∵E为△ABC的内心，∴∠DAC=∠DAB，∠CBE=∠EBA.又∵∠DBC=∠DAC，∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB＝∠EAB+∠EBA，∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE.（2）连接OD∵BD=DF，O是BC的中点，∴OD∥CF.又∵BC为⊙O的直径，OB=OD，∴∠ODB=∠DBO=∠DAC=45°.∴∠BCF=∠BOD＝90°.∴BC⊥CF.又OC为⊙O的半径，∴直线CF为⊙O的切线.4. 解：（1）∵AB是⊙O的直径，∠BAC=38°，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=180°－∠ACB－∠BAC=180°－90°－38°=52°.∵D为的中点，∴.∴∠ACD=∠BCD=ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.（2）连接OD. ∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP=90°.∵DP∥AC，∠BAC=38°，∴∠P=∠BAC＝38°，∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°.∴∠∠AOD=64°.∵OC=OA，∠BAC=38°，∴∠OCA=∠BAC=38°.∴∠OCD=∠ACD－∠OCA=64°－38°=26°.5. 解：（1）证明：连接OB，OC.∵MN是⊙O的切线，∴OB⊥MN.∵∠CBN=45°，CE⊥BD，∴∠OBC=45°，∠BCE=45°.∵OB=OC，∴∠OBC＝∠OCB=45°.∴∠OCE=90°，即OC⊥CE.又∵点C在⊙O上，∴CE是⊙O的切线.（2）∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，∴四边形BOCE是矩形.又∵OB=OC，∴四边形BOCE是正方形.∴BE=CE=OB=OC=r.在Rt△CDE中，∠D=30°，CE=r，∴DE=r.∵BD=2+2，∴r+r=2+2.解得r=2.即⊙O的半径r为2.6. （1）证明：连接OC.∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°.∴∠ECF+∠FCO=90°.∵DO⊥AB，∴∠BFO+∠B=90°.又∵∠CFE=∠BFO，∴∠CFE+∠B=90°.∵OB=OC，∴∠FCO＝∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=FE.（2）①30°②22.5°7. 解：（1）证明：连接OC，∵FD切⊙O于点C，∴OC⊥FD.∵AD⊥FD，∴OC∥AD.∴∠ACO=∠DAC.∵OC=OA，∴∠ACO＝∠CAO.∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB.（2）作OG⊥AE于点G，则AG=EG，四边形OCDG为矩形.∴OG=CD=4，OC=DC ＝R.∴EG=R－2=AG.在Rt△AGO中，∴R＝5.（3）2。
九年级中考数学专题复习--圆切线的相关证明及计算专题
圆切线的相关证明及计算类型一角平分线模型(2016·云南省卷)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.(1)求证：DE是⊙O 的切线；(2)若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】(1)连接OC，先证明∠OAC＝∠OCA，结合AC平分∠BAE，得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD 的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影＝S△COD－S扇形OBC即可得到答案．【自主解答】1．(2017·营口)如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是BE︵的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若cos∠CAD＝45，BF＝15，求AC的长．2．如图，半圆O的直径AB＝5，AC、AD为弦，且AC＝3，AD平分∠BAC，过D作AC延长线的垂线，垂足为E.(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)求AD的长．3．(2018·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．4．(2018·咸宁)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC 的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O 于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB＝25，BC＝5，求DE的长．5．(2019·原创)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠CAB ＝30°，⊙O经过点C，且直径AD在线段AB上，连接OC，OE平分∠AOC交弧AC于点E，连接AE，EC.(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若M在边AC上，OM＝CM＝2，求△ABC的面积．6．(2018·成都)如图，在Rt△A BC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)设AB＝x，AF＝y，试用x，y的代数式表示线段AD的长；(3)若BE＝8，sin B＝513，求DG的长．类型二弦切角模型(2018·云南省卷)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．【自主解答】1．(2018·玉林)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O 交BC 于点D ，∠DAC＝∠B. (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)点E 是AB 上一点，若∠BCE＝∠B ，tan ∠B＝12，⊙O 的半径是4，求EC 的长．2．(2018·齐齐哈尔)如图，以△ABC 的边AB 为直径画⊙O ，交AC 于点D ，半径OE∥BD ，连接BE ，DE ，BD ，设BE 交AC 于点F ，若∠DEB＝∠DBC. (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BF ＝BC ＝2，求图中阴影部分的面积．3．(2018·兰州)如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上的一点，D 为BA 延长线上的一点，∠ACD＝∠B. (1)求证：DC 为圆O 的切线；(2)线段DF 分别交AC ，BC 于点E ，F ，且∠CEF＝45°，圆O 的半径为5，sin B ＝35，求CF 的长．类型三 双切线模型(2017·云南省卷)已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，AC∥OP，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)设OP ＝32AC ，求∠CPO 的正弦值；(3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围． 【分析】 (1)连接OC ，根据等腰三角形的性质得到∠A ＝∠OCA ，由平行线的性质得到∠A ＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，等量代换得到∠COP＝∠BOP ，由切线的性质得到∠OBP＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过O 作OD⊥AC 于D ，根据相似三角形的性质得到CD·OP＝OC 2，根据已知条件得到OC OP ＝33，由三角函数的定义即可得到结论；(3)连接BC ，根据勾股定理得到BC＝AB2－AC2＝12，分别讨论点M与点A重合时，与AB垂直时和与点B重合时d＋f的值，从而得到结论．【自主解答】1．(2018·曲靖)如图，AB为⊙O的直径，点C 为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC 的中点D.恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC.(1)判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PC＝3，求四边形OCDB的面积．2．(2018·江西)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.(1)求证：AB为⊙O的切线；3．(2018·临沂)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BD＝3，BE＝1，求阴影部分的面积．4．(2018·武汉)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若∠APC＝3∠BPC，求PECE的值．。
九年级数学证明圆的切线专题(教学类别)
证明圆的切线专题证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路：1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直.1不常用,一般常用2.1. 如图，在Rt ABC ∆中，90C︒∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ︒∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ．（1）求证：直线BD 与O 相切；（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。
（1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切（2）（4分）当AD=23，∠CAD=30º时，求AD 的长。
3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ．(1)求证：直线AB 是OO 的切线；(2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。
5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ．（1）求证：⊙O 与BC 相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ．7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E 作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．（1）求证：AH=HD；（2）若cos∠C= 4/5，，DF=9，求⊙O的半径9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．10如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11.如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求证：△ACM ∽△DCN ；（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．12、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线PO 交⊙O 与点E ，F 过点A 作PO 的垂线AB 垂足为D ，交⊙O 与点B ，延长BO 与⊙O 交与点C ，连接AC ，BF ．（1）求证：PB 与⊙O 相切；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan ∠F=，求cos ∠ACB 的值．。
人教版九年级上册圆专题复习2切线证明及计算
人教版九年级上册圆专题复习2切线证明及计算一、知识回顾1、切线证明的两种主要类型：（1）已知直线经过圆上某一点,辅助性的作法是连接圆心和这一点,判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。
（2）未知直线是否经过圆上的某一点,辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段,判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。
二、例题讲解：例1：如图1,在Rt △ABC 中,C 90∠=,BE 平分∠ABC 交AC 于点E,点D 在AB 上,DE EB ⊥.（１） 求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；（２）若26,62==AE AD ,求EC 的长.注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中,任意两个作为条件都可以推导出第三个。
（2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。
例2：如图2,在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠A 的平分线交BC 于D,E 为AB 上一点,DE=DC,以D 为圆心,以DB 的长为半径画圆。
求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC 。
证明：（1）过点D 作DF ⊥AC 于F.∵AB 为⊙D 的切线, AD 平分∠BAC, ∴BD=DF .∴AC 为⊙D 的切线 .（2）在△BDE 和△DCF 中, ∵BD=DF, DE=DC,∴△BDE ≌△DCF （HL ）, ∴EB=FC .又AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC .三、课堂练习：1、如图3,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,在∠ACD的外部作∠ACE=∠ACD,CE的反向延长线交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若PC=4,PA=8,求sinP的值．2、如图4,在Rt△ABC中,∠B＝90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE＝DC,以D为圆心,DB长为半径作⊙D,AB＝5,EB＝3.求证:⑴AC是⊙O的切线；⑵求线段AC的长.3、如图5,已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O,∠B的平分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB = 15,EF = 10,求AE的长．4、已知：如图6,∠ACB=60°,CE为∠ACB的角平分线,O为射线CE上的一点,⊙O切AC于点D．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6,P为⊙O上一点,且使得∠DPC=90°,求DP的长．5、（2009年元月调考试题）如图7,在边长为4的正方形ABCD中,以AD为直径作⊙O,以C为圆心,CD长为半径作⊙C,两圆交于正方形内一点E,连CE并延长交AB于F.(1)求证：CF与⊙O相切；（2）求△BCF和直角梯形ADCF周长之比.四、课后作业：1、如图8,AB为⊙O的直径,D是⊙O 外一点, AD交⊙O于C,AE平分∠BAD交⊙O于E,AD⊥ED于D。
圆的相关证明与计算--与切线有关的证明与计算(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
圆的相关证明与计算-中考数学重难点题型与切线有关的证明与计算（专题训练）1.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若1tan 3ACE ∠=，3OE =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据BE BC =，可得BEC BCE ∠=∠，根据对顶角相等可得AED BEC ∠=∠，进而可得BCE AED ∠=∠，根据AD AC =，可得ADC ACE ∠=∠，结合90ACB ∠=︒，根据角度的转化可得90AED D ∠+∠=︒，进而即可证明AD 是O 的切线；（2）根据ADC ACE ∠=∠，可得1tan tan 3EA D ACE DA ==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，分别求得,,AC AB BC ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ，进而根据6BC x =+即可求得．【详解】（1） BE BC =，∴BEC BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，∴BCE AED ∠=∠，AD AC =，∴ADC ACE ∠=∠，AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，90D AED ACD BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴AD 是O 的切线；（2）AD AC = ，∴ADC ACE ∠=∠，1tan tan 3EA D ACE DA ∴==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+，226AB OA x ==+，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=，即()()()2223626x x x ++=+，解得122,0x x ==（舍去），68BC x ∴=+=．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．2.如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）DF =【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD ∠+∠=︒，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△，继而运用相似比FB FD FD FA =即可求出DF 的长．【详解】解：（1）证明：∵AD 是O 的直径∴90ABD ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）即90ABC CBD ∠+∠=︒∵AB AC=∴ABC C ∠=∠（等边对等角）∵ AB AB=∴ADB C ∠=∠（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ABC ADB∠=∠∵//BC DF ，∴CBD FDB∠=∠∴90ADB FDB ∠+∠=︒即90ADF ∠=︒∴AD DF⊥又∵AD 是O 的直径∴DF 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵12AB AC ==，15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F ∠=∠，90FBD FDA ∠=∠=∴FBD FDA ~△△（两个角分别相等的两个三角形相似）∴FB FD FD FA=，∴231545FD FB FA =⋅=⨯=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E，CE 交O 于点G，连接AC，AG，在EA 的延长线上取点F，使2FCA E ∠=∠．（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若6AC =，AG ，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定ADG DCB ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠＝，从而可得FCA AGD ∠∠＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒＝，从而判定CF 是O 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ∠∠＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ∠∠ ＝，ADG CDB ∠∠＝，ADG DCB ∴ ∽，BD BC GD GA∴=，BD BC ＝，GD GA ∴＝，ADG DAG ∴∠∠＝，又AE AB ⊥ ，90EAD ∴∠︒＝，90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒＝＝，GAE E ∴∠∠＝，AG DG EG ∴＝＝，2AGD E ∠∠＝，2FCA E ∠∠ ＝，FCA AGD B ∴∠∠∠＝＝，AB 是O 的直径，90CAB B ∴∠+∠︒＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB ∴∠∠＝，90FCA ACO ∴∠+∠︒＝，90FCO ∴∠︒＝，即CF 是O 的切线；（2） CF 是O 的切线，AE AB ⊥，AF CF ∴＝，2FAC FCA E ∴∠∠∠＝＝，6AC AE ∴＝＝，又AG DG EG ＝＝在Rt ADE △中，2AD ===，设O 的半径为x，则2AB x ＝，22BD BC x＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O ∴ 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练4.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE⊥AD 交AD 的延长线于点E，延长EC，AB 交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD 内接于⊙O，得CDE OBC ∠∠＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE ∠︒＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ∠∠＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴180CDA ABC ∠+∠=︒又180CDE CDA ∠+∠=︒∴CDE OBC ∠∠＝，∵CE AD ⊥，∴90E CDE ECD ∠∠∠︒＝＋＝，∵ECD BCF ∠∠＝，∴90OCB BCF ∠∠︒＋＝，∴90OCE ∠︒＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，∵90E OCE ∠∠︒＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x，Rt△CDE 中，31CD DE ＝，＝，∴EC =∴OG =1GD xOD x ＝﹣，＝，由勾股定理得222OD OG DG +：＝，∴222(1)x x =+-，解得： 4.5x ＝，∴⊙O 的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．5.如图， ABC 内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D．（1）求证：直线AD 是⊙O（2）若【答案】（1）见解析；（2）6π-【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【详解】解：（1）如图，连接OA 并延长交BC 于E，∵AB=AC，△ABC 内接于⊙O，∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴，也是⊙O 的对称轴，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接OB，∴△AOD∽△EOC，∴AD OA EC OE =，由（1）可知AO 是ABC ∆的对称轴，OE ∴垂直平分BC ，132CE BC ∴==，设半径为r ，在Rt EOC ∆中，由勾股定理得，OE∴，解得6r =（取正值），经检验6r =是原方程的解，即6OB OC OA ===，又6BC = ，OBC ∴∆是等边三角形，60BOC ∴∠=︒，OE ==BOC BOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．6.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点D 作//DG BC ，DG 交线段AC 于点G，交AB 于点E，交⊙O 于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若AE＝OE，CF 平分∠ACB，BD＝12，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图1，延长DB 至H ，证明90ABD ∠=︒，即可根据切线的判定可得BD 与O 相切；（2）如图2，连接OF ，先根据圆周角定理证明OF AB ⊥，再证明EFO EDB △∽△，列比例式可得4OF =，即O 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．【详解】（1）证明：如图1，延长DB 至H ，，DG BC//∴∠=∠，CBH D，∠=∠A D∴∠=∠，A CBH的直径，Q是OAB∴∠=︒，ACB90∴∠+∠=︒，A ABC90∴∠+∠=︒，90CBH ABC∴∠=︒，90ABD∴AB⊥BD，相切；∴与OBD（2）解：如图2，连接OF，CF平分ACB∠，∴∠=∠，ACF BCF∴=，AF BF∴∠AOF＝∠BOF＝90°，OF AB ∴⊥，BD AB ⊥ ，//OF BD ∴，EFO EDB ∴△∽△，∴OF OE BD BE=，AE OE = ，∴13OE EB =，∴1123OF =，4OF ∴=，4OA OB OF ∴===，246BE OE OB ∴=+=+=，DE ∴=．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO EDB △∽△．7.如图，在Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，点O 在CD 上，作⊙O，使⊙O 与AD 相切于点B，⊙O 与CD 交于点E，过点D 作DF∥AC，交AO 的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F 的值．【答案】（1）见详解；（2）12．【分析】（1）由题意，先证明OA 是∠BAC 的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F 的值．【详解】解：（1）∵DF∥AC，∴∠CAO=∠F，∵∠OAB＝∠F，∴∠CAO=∠OAB，∴OA 是∠BAC 的角平分线，∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO，又∵AC⊥OC，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由题意，∵OC＝3，DE＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴4BD ==，由切线长定理，则AB=AC，设AB AC x ==，在直角三角形ACD 222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+，解得：6x =，∴6AB AC ==，6410AD =+=，∵∠OAB＝∠F，∴10DF AD ==，∵90FDO ACO ∠=∠=︒，∴51tan 102OD F DF ∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．8.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）75ED =．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM⊥MN．（2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可．【详解】（1）证明：连接OM ，OC OM = ，OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==，DCB DBC ∴∠=∠，OMC DBC ∴∠=∠，//OM BD ∴，MN BD ⊥ ，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =，4cos 5B ∴=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==．在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=，327555ED BE BD ∴=-=-=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．9.如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 BC于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，AB为⊙O的直径，90,ACB∴∠=︒∵DE∥BC，∴∠E＝ACB=∠90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BF BA BD=，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．11.如图，在⨀O中，AB为⨀O的直径，C为⨀O上一点，P是 BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC 的延长线于点D．（1）求证：DP 是⨀O 的切线；（2）若AC=5，5sin 13APC ∠=,求AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）AP=．【解析】【分析】（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；（2）根据题意连接BC，交于OP 于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解：（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P 为 BC的中点；∴ PCPB =∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP 为⨀O 半径；∴DP 为⨀O 的切线；（2）连接BC，交于OP 于点G；∵AB 是圆O 的直径；∴∠ACB 为直角；∵5sin 13APC ∠=∴sin∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=，那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP ==.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE ＝12，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝BC AC ＝tan∠BCE＝BE CE ＝12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC ＝CD AD ＝12，∵AD＝8，∴CD＝4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．13.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，CAB ∠的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，连接BD ．若1OF =，2BF =，求BD 的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC 得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD 平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）因AB 为直径，则90ADB ∠=︒∵1OF =，2BF =∴OB=3∴4AF =，6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°,∠B=∠B∴△DBF∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =⋅=⨯=所以BD ．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．。
中考九年级证明圆的切线例题方法
切线证明法一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3. DC∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.D ∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP，OCOPOD OC. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △ ∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt △CFG 的外心. ∵OC=OG ， ∴∠3=∠G ， ∵AD ∥BC ， ∴∠G=∠4.∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE ≌△CDE （SAS ）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF. ∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴OD OCOB AC =. ∵OA=OB ，∴ODOCOA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,O∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==21. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解. 以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
九年级数学证明圆的切线专题(可编辑修改word版)
12、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线 PO 交⊙O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D， 交⊙O 与点 B，延长 BO 与⊙O 交与点 C，连接 AC，BF． （1）求证：PB 与⊙O 相切； （2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明； （3）若 AC=12，tan∠F= ，求 cos∠ACB 的值．
10 如图，已知在△ABP 中，C 是 BP 边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的 直径，且交 BP 于点 E． （1）求证：PA 是⊙O 的切线； （2）过点 C 作 CF⊥AD，垂足为点 F，延长 CF 交 AB 于点 G，若 AG•AB=12，求 AC 的长； （3）在满足（2）的条件下，若 AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O 的半径及 sin∠ACE 的值．
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90º，O、D 分别为 AB、BC 上的点，经过 A、D 两点的⊙O 分别交
AB、AC 于点 E、F，且 D 为 EA F 的中点。
（1）（4 分）求证：BC 与⊙O 相切
（2）（4 分）当 AD=2 3 ，∠CAD=30º 时，求 AAD 的长。
3. 如图，已知 CD 是 O 的直径，AC⊥CD，垂足为 C，弦 DE∥OA，直线 AE、CD 相交于点 B．
9.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E ，BE 交⊙O 于点 F，连接 AF，AF 的延长线交 DE 于点 P． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求 tan∠ABE 的值； （3）若 OA=2，求线段 AP 的长．
5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交 AB 于点 O，以 O 为圆心的⊙O 与 AC 相切于点 D．
小专题与切线有关的证明与计算人教版九年级数学上册作业课件
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(2)若 AC＝3，CD＝2.5，求 FG 的长． 解：连接 DF，∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5， ∴BC＝ AB2－AC2＝4，∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC， ∴BF＝12BC＝2，又∵S△BFD＝12×BF×DF＝12×BD×GF， ∴FG＝65.
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(2)求 BD 的长． 解：∵∠AEB＝90°， ∴AE＝ AB2－BE2＝ 52－32＝4， ∵△ABC 的面积＝12AC×BD＝12BC×AE， ∴BD＝BCA×CAE＝6×5 4＝254.
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解：∵AF 与⊙O 相切于点 A，∴AF⊥OA， ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC， ∴OA⊥BC，∴∠BOA＝90°－30°＝60°， ∴∠ADB＝12∠AOB＝30°；
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类型 3：利用勾股定理列方程计算 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为直径作⊙O，点 D 为⊙O 上一点，且 CD＝CB，连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E. (1)判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
人教版九年级数学上册小专题证明圆切线两种类型
新人教版九年级数学上册小专题证明圆的切线的两各种类种类 1已知直线与圆的交点【例 1】如图， AB=AC， AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交 BC于 D， DM ⊥ AC 于 M.求证： DM 与⊙O相切.【方法总结】直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”时平时利用圆中的关系获取90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等 .变式练习1(湖州中考改编 )如图，已知P 是⊙ O 外一点， PO交⊙ O 于点 C， OC=CP=2，弦 AB 垂直均分OC.(1)求 BC 的长；(2)求证： PB 是⊙ O 的切线 .变式练习2(德州中考 )如图，已知⊙ O 的半径为1， DE 是⊙ O 的直径，过 D 作⊙ O 的切线， C 是 AD 的中点， AE 交⊙ O 于 B 点，四边形BCOE是平行四边形.(1)求 AD 的长；(2)BC 是⊙ O 的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明原由.变式练习3(临沂中考 )如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以 BC 为直径的⊙ O 与底边 AB 交于点 D，过 D 作 DE⊥AC，垂足为 E.(1)证明： DE 为⊙ O 的切线；(2)连接 OE，若 BC=4，求△ OEC的面积 .种类 2未知直线与圆的交点【例 2】如图， AB=AC， D 为 BC中点，⊙ D 与 AB 切于 E 点 .求证： AC 与⊙ D 相切 .【方法总结】直线与圆没有已知的公共点时，平时“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等也许利用角均分线上的点到角的两边的距离相等.变式练习4如图，O为正方形ABCD 对角线 AC 上一点，以O 为圆心， OA 长为半径的⊙ O 与 BC相切于点M，与AB、 AD 分别订交于点E、 F.求证： CD与⊙ O 相切 .变式练习 5 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的均分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB 长为半径作⊙ D， AB=5，EB=3.（ 1）求证： AC 是⊙ D 的切线 ;（ 2）求线段AC 的长 .参照答案种类 1已知直线与圆的交点【例 1】法一：连接OD.∵AB=AC，∴∠ B=∠ C.∵OB=OD，∴∠ BDO=∠B.∴∠ BDO=∠C.∴OD∥AC.∵DM ⊥AC，∴ DM ⊥ OD.∴DM 与⊙O相切.法二：连接OD， AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴ AD⊥ BC.∵ AB=AC,∴∠ BAD=∠ CAD.∵DM ⊥AC，∴∠ CAD+∠ ADM=90° .∵OA=OD，∴∠ BAD=∠ ODA.∴∠ ODA+∠ ADM=90° .即 OD⊥ DM ，∴DM 是⊙ O 的切线 .变式练习1(1)连接 OB.∵弦 AB 垂直均分 OC ，∴ OB=BC.又∵ OB=OC ，∴△ OBC 是正三角形 .∴ BC=OC=2.(2)∵ BC=CP ，∴∠ CBP=∠ CPB.∵△ OBC 是正三角形，∴∠ OBC=∠ OCB=60° .∴∠ CBP=30°，∴∠ OBP=∠ CBP+∠ OBC=90°，即 OB ⊥ BP.∵点 B 在⊙O 上，∴PB 是⊙ O 的切线 .变式练习 2(1)连接 BD ，则∠ DBE=90° .∵四边形 BCOE 是平行四边形，∴ BC ∥ OE ， BC=OE=1.在 Rt △ ABD 中， C 为 AD 的中点，∴ BC=1 AD=1.∴ AD=2.2(2)连接 OB ，由 (1)得 BC ∥ OD ，且 BC=OD.∴四边形 BCDO 是平行四边形 .又∵ AD 是⊙ O 的切线，∴ OD ⊥AD.∴四边形 BCDO 是矩形 .∴ OB ⊥ BC ，∴ BC 是⊙ O 的切线 .变式练习 3(1) 证明： DE 为⊙ O 的切线；证明：连接 OD.word 版习题∵等腰△ ABC 的底角为 30°，∴∠ A=∠ B=30° .∵ OB=OD ，∴∠ ODB=∠ B=30° .∴∠ ODB=∠A.∴ OD ∥AC.又∵ DE ⊥ AC ，∴ DE ⊥OD.∴ DE 为⊙ O 的切线；(2)连接 DC ，∵∠ B=∠ BDO=30°，∴∠ DOC=60° .又∵ OD=OC ，∴ OD=OC=DC=12BC=2. ∵∠ ODE=90°，∴∠ EDC=30° ,∴在 Rt △ DEC 中，EC=1 DC=1,DE=2×13=3 2 2∵∠ ODE=∠ DEA=90°，∴ OD ∥ AC, ∴ S △ OCE △ DEC 1 × CE × DE=1 × 1× 3=S =2 2 13 .= 2 种类 2 未知直线与圆的交点【例 2】法一：连接 DE ，作 DF ⊥ AC ，垂足为 F. ∵ AB 是⊙ D 的切线，∴ DE ⊥AB.∵ DF ⊥ AC ，∴∠ DEB=∠ DFC=90° .∵ AB=AC ，∴∠ B=∠C.∵ BD=CD ，∴△ BDE ≌△ CDF.∴ DF=DE ∴. F 在⊙ D 上.∴ AC 是⊙D 的切线 .法二：连接 DE ，AD ，作 DF ⊥AC ， F 是垂足 .∵ AB 与⊙ D 相切，∴ DE ⊥AB.∵ AB=AC ， BD=CD ，∴∠ DAB=∠ DAC.∵ DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，∴ DE=DF.∴ F 在⊙ D 上，∴ AC 与⊙ D 相切 .【方法总结】直线与圆没有已知的公共点时，平时“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方 法是利用三角形全等也许利用角均分线上的点到角的两边的距离相等 . 变式练习 4word 版习题连接 OM ，过点 O 作 ON⊥ CD，垂足为N，∵⊙ O与 BC相切于 M，∴OM⊥ BC.∵正方形ABCD中， AC 均分∠ BCD，又∵ ON⊥ CD，OM ⊥ BC,∴OM=ON.∴N 在⊙ O 上 .∴CD与⊙ O 相切 .变式练习5（1）AC是⊙ D的切线;证明：过点 D 作 DF⊥ AC于 F.∵∠ ABC=90°∴AB⊥ BC.∵AD 均分∠ BAC， DF⊥ AC,∴BD=DF∴.点 F 在⊙ D 上∴AC 与⊙ D 相切；（2）在 Rt△BDE和 Rt△ FDC中 ,∵BD=DF， DE=DC，∴Rt△ BDE≌ Rt△FDC（HL），∴EB=FC.∵AB=AF，∴AB+EB=AF+FC，即 AB+EB=AC，∴AC=5+3=8.。
人教版九年级数学上册专题复习圆的切线证明与相关计算
BBA人教版九年级数学上册专题复习圆的切线证明与相关计算1AB 为⊙O 的直径，PA 为⊙O 的切线，BC//OP 交⊙O 于C，PO 交⊙O 于D，(1)求证：PC 为⊙O 的切线；（2）过点D 作DE⊥AB 于E,交AC 于F，PO 交AC 于H,BD 交AC 于G,DF=FG,DF=5,CG=6,求⊙O 的半径。
2如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于D，与边AC 交于E，过D 作DF⊥AC 于F.(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若DE=25，AB=25,求AE 的长．3如上右图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，E 为AB 上一点，∠C=∠BEO，O 是BC上一点，以D 为圆心，OB 长为半径作⊙O，，AC 是⊙O，的切线．(1)求证：OE=OC；(2)若BE=4，BC=8，求OE 的长.4如图，△ABE 中，AB=AE ，以AB 为直径作⊙O ，⊙O 交BE 于D ，交AE 于F ，过D 点作CD ⊥AE 于M ，交AB 的延长线于C（1）求证：直线CM 是⊙O 的切线OM F EDCBAOECBA（2）若CD=5，DM=3，求EF的长。
5在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于点O，E为AB上一点，OE=OC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AC=10，AB=6，求BE的长．6.如图D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交ΔABC三边于E,F,G三点，连接FE,FG.（1）求证∠EFG=∠B;(2)若AC=2BC=45,D为AE的中点，求CD的长。
7如图9，⊙0是 ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，DE ⊥BC于E，AF⊥BC于F(1)求证BE=CF;(2)作OG⊥BC于G，若DE=BF=3，OG=1，求弦AC的长．FE BDOCA8．如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于D，与边AC 交于E，过D 作DF⊥AC 于F.(1)求证：DF 为⊙O 的切线；2)若DE=25，AB=25,求AE 的长．9.已知：如图8，AD 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF⊥BC，F 为垂足．(1)求证：BF=EC;(2)若C 点是AD 的中点，且DF=3AE=3，求BC 的长．10.在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.（1）求证CF与⊙O相切；（2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比11．小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD 于点N，若OM=ON，则AB=CD．（1）请帮小雅证明这个结论；（2）运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心，以O为圆心，OB为半径的O D与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G．若AD=9，CF=2，求△ABC的周长．。
九年级数学证明圆的切线专题
九年级数学证明圆的切线专题证明一条直线是圆的切线；主要有两个思路：1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：2；是利用切线的判判定定理；证明这条直线经过一条半径的外端；并且和这条半径垂直. 1不常用；一般常用2.1.如图；在Rt ABC 中；90C ；点D 是AC 的中点；且90A CDB ；过点,A D 作O ；使圆心O 在AB 上；O 与AB 交于点E ．（1）求证：直线BD 与O 相切；（2）若:4:5,6AD AE BC ；求O 的直径．2.如图；在Rt △ABC 中；∠C=90o ；O 、D 分别为AB 、BC 上的点；经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ；且D 为EF 的中点。
（1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切（2）（4分）当AD=23；∠CAD=30o 时；求AD 的长。
3. 如图；已知CD 是O 的直径；AC ⊥CD ；垂足为C ；弦DE ∥OA ；直线AE 、CD 相交于点B ．(1)求证：直线AB 是OO 的切线；(2)如果AC =1；BE =2；求tan ∠OAC 的值．4.如图；在△ABC中；AB=AC；以AB为直径作⊙O；交BC于点D；过点D作DE⊥AC；垂足为E。
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果BC=8；AB=5；求CE的长。
5.如图；在△ABC中；∠C=90°；∠ACB的平分线交AB于点O；以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．（1）求证：⊙O与BC相切；（2）当AC=3；BC=6时；求⊙O的半径6.如图；AB是⊙O的直径；AM；BN分别切⊙O于点A；B；CD交AM；BN于点D；C；DO平分∠A DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=4；BC=9；求⊙O的半径R．7.如图；在平面直角坐标系中；△ABC 是⊙O 的内接三角形；AB ＝AC ；点P 是AB 的中点；连接P A ；PB ；PC ．（1）如图①；若∠BPC ＝60°；求证：AP AC 3；（2）如图②；若2524sin BPC；求PAB tan 的值．8.如图；AB 为⊙O 的直径；弦CD 与AB 相交于E ；DE=EC ；过点B 的切线与AD 的延长线交于F ；过E 作EG ⊥BC 于G ；延长GE 交AD 于H ．（1）求证：AH=HD ；（2）若cos ∠C= 4/5；；DF=9；求⊙O 的半径9.如图；在△ABC 中；∠BAC=90°；AB=AC ；AB 是⊙O 的直径；⊙O 交BC 于点D ；DE ⊥AC 于点E ；BE 交⊙O 于点F ；连接AF ；AF 的延长线交DE 于点P ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求tan ∠ABE 的值；（3）若OA=2；求线段AP 的长．10如图；已知在△ABP 中；C 是BP 边上一点；∠PAC=∠PBA ；⊙O 是△ABC 的外接圆；AD 是⊙O 的直径；且交BP 于点E ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）过点C 作CF ⊥AD ；垂足为点F ；延长CF 交AB 于点G ；若AG?AB=12；求AC 的长；OP第22题图①CB A 第22题图②O P C B A（3）在满足（2）的条件下；若AF ：FD=1：2；GF=1；求⊙O 的半径及sin ∠ACE 的值．11.如图；在⊙O 中；直径AB ⊥CD ；垂足为E ；点M 在OC 上；AM 的延长线交⊙O 于点G ；交过C 的直线于F ；∠1=∠2；连结CB 与DG 交于点N ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求证：△ACM ∽△DCN ；（3）若点M 是CO 的中点；⊙O 的半径为4；cos ∠BOC=41；求BN 的长．12、如图；PA 为⊙O 的切线；A 为切点；直线PO 交⊙O 与点E ；F 过点A 作PO 的垂线AB 垂足为D ；交⊙O 与点B ；延长BO 与⊙O 交与点C ；连接AC ；BF ．（1）求证：PB 与⊙O 相切；（2）试探究线段EF ；OD ；OP 之间的数量关系；并加以证明；（3）若AC=12；tan ∠F=；求cos ∠ACB 的值．。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题(八) 与切线有关的证明与计算
第二十四章 圆
专题(八) 与切线有关的证明与计算
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以 CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°.
(1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若DF＝2，DC＝6，求BE的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝DB，又CO＝OE，∴OD∥BE， ∴∠CEB＝∠DOC＝90°，∴CE⊥AB， ∴AB是⊙O的切线
(1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若△ABC的边长为4，求EF的长．
解：(1)证明：如图，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝ 60°.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝60°.∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝30°，∴∠ODE＝90°.∴DE⊥OD.∵点D在⊙O上，∴DE是 ⊙O的切线
(2)如图，连接 AD，BF，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AFB＝∠ADB＝90°，∴AF⊥BF，AD⊥ BD.∵△ABC 是等边三角形，边长为 4，∴DC ＝21 BC＝2，FC＝21 AC＝2.∵∠EDC＝30°，
∴EC＝12 DC＝1，∴EF＝FC－EC＝1
3．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A. (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)求∠B的度数．
(2)如图，连接 EF，ED，∵BD＝CD＝6，∴BF＝BD－DF＝4，∵CO＝ OE，∠DOC＝90°，∴DE＝DC＝6，∵CE 为⊙O 的直径，∴∠EFC＝ 90°，∴EF＝ DE2－DF2 ＝4 2 ，∴BE＝ BF2＋EF2 ＝4 3
2．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D， 交AC边于点F，作DE⊥AC于点E.
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