福建省永安市高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件2
高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用课件苏教版选修2-2
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类 问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准 确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0 时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点 取得最大(小)值．
用料最省、成本(费用)最低问题 位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1-4-3所示，若
两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最 短．
图1-4-3 【精彩点拨】 可设CD＝x，则CE＝3－x，利用勾股定理得出AC，BC的 长，从而构造出所需电线总长度的函数．
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小
时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝
1 3
x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变
化率的最小值是________．
【解析】 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，
所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值为－1.
1．解决面积、体积最值问题的思路 要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义 域，利用导数求解函数的最值． 2．解决导数在实际应用时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域； (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内 只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意 义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
阶
阶
段
高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件新人教A版选修2_2
令 V′(x)＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝1. 当 0<x<1 时，V′(x)>0； 当 1<x<32时，V′(x)<0，故在 x＝1 处 V(x)取得极大值，并 且这个极大值就是 V(x)的最大值， 从而 Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3 m3，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 即当长方体的长为 2 m、宽为 1 m、高为 1.5 m 时，体积最 大，最大体积为 3 m3.
费用最省(成本最低)问题
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为 y＝1281000x3－830x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距 100 千 米．
(1)当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地 要耗油多少升？
家获取最大年利润的年产量为( )
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
解析： y′＝－x2＋81， ∴当 x>9 时，y′<0，当 x∈(0,9)时，y′>0， ∴函数 y＝－13x3＋81x－234 在(0,9)上递增，在(9，＋∞)上 递减． 故当 x＝9 时，y 有最大值．
• 答案： C
•
解决面积或体积的最值问题，要正确
引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合
实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
• 1．用长为18 m的钢条围成一个长方体的框架，要求 长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、 高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解析： 设长方体的宽为 x m，长为 2x m， 则高为 h＝18－412x＝4.5－3x0<x<32. 故长方体的体积为 V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x30<x<32， 从而 V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
福建省永安市高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例导学案 新人教A版选修22
1．4生活中的优化问题举例【第一环节】：导学 2分钟1、生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数解决一些生活中的优化问题。
2、请认真阅读例题，抓住题目中的关键字眼，并按照提示解决问题。
读题一般要读三遍：粗读、细读、带着问题读，关键字眼还可以划起来。
【第二环节】：自我探究、小组合作、老师评析探究点一面积、体积的最值问题自我探究5分钟、小组合作2分钟、老师评析3分钟例1：学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺贴的海报,要求版心面积为128 2寸,才能使四周空心面积最小?分析：1、这是一个求面积的最值问题。
首先请把题目中的信息标在图上。
2、版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？3、如果设版心的高为xdm，那么版心的宽能用x表示吗？海报的面积能用x表示吗？海报四周空白的面积S能用x表示吗？其定义域是什么？4、海报四周空白的面积S(x)是否存在最值？若存在，如何求其最值？5、如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？反思(1)在解决最优化问题时,往往要建立函数关系式,转化为求函数最值的问题。
(2)在列函数关系式时,要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.探究点二利润最大问题导引 (1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？自我探究5分钟、小组合作2分钟、老师评析3分钟例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？分析：1、利润=收入-成本2、一个半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？3、每瓶满装的饮料的利润(单位：分)是多少？4、设每瓶满装饮料的利润为f(r)，则函数f(r)的定义域是什么？5、函数f(r)是否存在最值？若存在，如何求其最值？反思解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数探究点三费用(用材)最省问题自我探究5分钟、小组合作2分钟、老师评析3分钟例题3 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y (单位：元 ) 表示为速度x (海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？分析：1、运输成本=每小时的运输成本 所用的时间2、速度为x，从A地到B地距离是500海里，需要多少时间？3、每小时的运输成本=每小时的燃料费+每小时的其余费用，每小时的燃料费多少？每小时的其余费用是多少？4、速度的取值范围是什么？【第三环节】练一练 12分钟1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式 ，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．2．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？2y=+10(x-6)3a x【第四环节】课堂小结1分钟：解“最优化”的应用题首先要正确理解题意，然后建立函数模型，利用导数或者不等式等知识求解．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系，注意定义域。
(完整)生活中的优化问题举例
§1.4生活中的优化问题举例（一)教材分析本节内容是数学选修2-2 第一章导数及其应用1。
4生活中的优化问题举例，是在学习了导数概念、导数的计算及导数在研究函数中的应用后体会导数在解决实际问题中的作用。
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习可知,导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节利用导数，解决一些生活中的优化问题。
教材首先给出背景性的问题，在生活经验的基础上,逐步引入到数学问题中，按照学生的思维过程,逐步展开问题,解决问题，让学生体会数学建模的过程.培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。
课时分配本节内容用1课时的时间完成，通过两个例题的教学，培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。
教学目标：重点: 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，让学生体会数学建模的过程，体会导数在解决实际问题中的作用。
难点:让学生发现问题、分析问题、解决问题,数学建模。
知识点：利用导数求函数最大(小）值，解决一些生活中的优化问题。
能力点：主动发现问题、分析问题、解决问题，曾强数学的应用意识。
教育点：利用导数,解决一些生活中的优化问题。
自主探究点：分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域,再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决.考试点：利用导数求函数最大（小）值，解决一些生活中的优化问题。
易错易混点:建立适当的函数关系,并确定函数的定义域.拓展点：利用导数解决优化问题的基本思路：教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小）值的有力工具．这一节，我们利用导数,解决一些生活中的优化问题。
二、探究新知探究(一）:海报版面尺寸的设计【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。
高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件新人教A版选修2_2
.r83 3
r
2
r ,0
6
令 f r 0.8(r2 2r) 0 解得 r 2 （ r 0 舍去）
当 r 0, 2 时， f r 0 ；当 r 2, 6 时， f r 0 ．
当半径 r 2 时， f r 0 它表示 f r单调递增，即半径越大，利润越高；
复习引入
问题一：导数在研究函数中有哪些应用？ 问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决 生活中的什么问题有什么作用呢？ 问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什 么问题呢？
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最
高等问题，这些问题通常称为优化问题．通 过前面
的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有 力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的 优化问题．
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
2019/7/9
精选最新中小学教学课件
33
thank
you!
2019/7/9
m 最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 2 r 。
n 所以，磁盘总存储量
f (r) R r × 2 r 2 r(R r) m n mn
（1）它是一个关于 r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是 r 越小，磁盘的存储量越大． （2）为求 f (r) 的最大值，计算 f (r) 0．
当半径 r 2 时， f r 0 它表示 f r单调递减，即半径越大，利润越低．
福建省永安市高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修22
生活中的优化问题举例【教材分析】本节课是人教版高中数学选修2-2第一章第四节“生活中的优化问题举例”第一课时，主要内容是用导数求生活中面积、体积的最值问题。
生活中的优化问题是在导数的概念、运算，用导数求极值、最值等内容的基础上教学的，它既是对导数知识的复习巩固，也是导数知识在实际生活中的应用。
本节课以生活实例为题材，培养学生的阅读能力和建模意识。
学习过程中的认知冲突，不同思维的碰撞，易激发学生思维的积极性，有助于创新能力的培养。
【学情分析】学生刚学完导数的概念、运算、用导数求极值、最值等知识，为用导数解决实际生活中的问题创造了条件。
高二年级的学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，并有相应的认知基础，乐于探索、敢于探究。
但逻辑思维能力还属于经验型，运算能力不强，数学建模方法的运用还不够熟练，有待进一步加强训练。
【教学目标】知识与技能：掌握利用函数思想、导数方法求有关面积、体积的最值问题。
过程与方法：以日常生活、生产实践中典型的问题为载体，探讨利用函数思想、导数方法求面积和体积问题的应用。
情感态度与价值观：学生分享将实际问题转化为数学问题的学习乐趣，感受数学与生活的密切联系。
【教学重点】从实际问题中抽象出函数模型，用导数方法求解函数最值问题的程序化步骤。
【教学难点】从实际问题中抽象出函数模型，对最值、最值与极值概念的区别与联系的理解。
授课人：永安一中罗薇授课时间：12月1日授课地点：永安市十二中教学环节教学活动设计意图学情预设小试牛刀，知识复习问题一1.求函数导数的常用方法有哪些？（1）定义法（2）公式法（3）运算法则问题一的引入目的在于帮助学生简单回顾一些常用函数的导数公式以学生对于问题二如何求解应用题，学生可能存在较多遗忘。
（4）复合函数法2.请写出以下函数的导数公式()f x c =（c 为常数） '()f x = *()()af x x a Q =∈ '()f x =()sin f x x = '()f x = ()cos f x x = '()f x = ()xf x a = '()f x = ()x f x e = '()f x = ()log a f x x = '()f x =()ln f x x = '()f x =问题二应用题的解题步骤是什么？ 审题—建模—求解—还原实际及如何利用导数工具求解函数单调区间、最值。
高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例2a22a高二22数学
究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一
个点使 f′(x)＝0 时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不
与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
2021/12/9
第二十二页，共四十五页。
跟踪训练
2．甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，
因为 0＜x＜60，所以当 0＜x＜40 时，V′(x)>0，
此时 V(x)单调递增；
当 40<x<60 时，V′(x)<0，此时 V(x)单调递减，所以 x＝40
是 V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长
所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得 的利润最大．
2021/12/9
第三十页，共四十五页。
名师指津
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，
以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利
【答案】 115
2021/12/9
第七页，共四十五页。
类型1 面积、体积(tǐjī)的最值问 题例 1 请你设计一个包装盒，如图，ABCD 是边长为 60 cm
的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直
角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合
于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，
2021/12/9
第六页，共四十五页。
2．某一件商品的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件 x
元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元
福建省永安市高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例教学反思 新人教A版选修22
1.4 生活中的优化问题
本节课我采用“学生自主探究，合作交流，教师总结”的教学模式。
这种模式对学生的能力培养有较好的效果，体现了以学生为主体，以教师为主导的理念。
这种模式新颖有效，比老师的“一言堂”更能调动学生的积极性。
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,学生已经知道了,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这节课主要是利用导数解决一些生活中的优化问题。
教学中我要求学生认真阅读例题，抓住题目中的关键字眼，并按照提示解决问题。
指导学生读题一般要读三遍：粗读、细读、带着问题读，关键字眼还可以划起来，意在培养学生的阅读理解能力。
这节课的不足之处是对学生的审题指导不够，例题与例题的关联性不够，还有就是求最值的方法没有归纳总结。
1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）定义法 （2）公式法 （3）运算法则 （4）复合函数法
1.写出以下函数的导数公式
f ( x) c （ c 为常数）
f ( x) sin x
f ( x) 0
'
'
f ( x) x (a Q )
a *
f ( x) a
x
f ( x) co 0
(20,30)
—
单调递增 极大值 单调递减 因此， x 20 是函数 V ( x ) 的极大值，也是最大值点， 此时 V (20) 2000 。 答：当箱底边长为 20dm ，容积最大，为 2000dm 。
1.建一个面积为512平方米的矩形堆料场，为 充分利用已有资源，可以利用原有的墙壁作 为一边，其他三边需要砌新的墙壁，要使新 砌墙壁所用的材料最省，则长宽分别为多少
米？
2.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量为
x 吨，且每吨产品的价格为 302 x 2 元，生产 x 吨
的成本为 500 2 x 元，该工厂每月生产多少吨该产 品才能使利润最大？并求出最大利润。
• 1.求解优化问题的基本思路
函数
导数
• 2. 求函数最值的常用方法有哪些？
函数 代数 不等式 方程 几何
• 3. 本节课所涉及的数学思想方法有哪 些？
（1）函数与方程思想 （2）数形结合思想
若海报材料用的是 30dm 的正方形硬纸板，活动结束后， 学校准备将海报做成废品收集箱进行再利用。如下图所 示，从正方形纸板的 4 个角上分别切去面积相等的正方 形，再把纸板的边沿虚线折起，用胶粘好，做成一个无盖 的方底箱子。问箱底面的边长是多少时，其容积最大？ 最大容积是多少？
此时四周空白面积为
128 S ( x) ( x 4)( 2) 128 x 512 2x 8, x 0 x 512 求导数，得 S ' ( x) 2 2 x 512 ' 令 S ( x) 2 2 0 ， x 解得 x 16( x 16 舍去） 。 128 128 于是宽为 8 x 16
' x
f ( x) cos x
'
f ' ( x) ax a 1
x
f ( x) log a x
f ( x) a ln a
1 f ( x) x ln a
'
f ( x) e
'
f ( x) sin x
' x
f ( x) ln x
f ( x) e
1 f ( x) x
x
S ' ( x)
(0,16)
—
单调递减
16 0 极小值
(16, )
+
单调递增
S ( x)
因此， x 16 是函数 S ( x ) 的极小值，也是 最小值点。所以，当版心高为 16dm ，宽为 8dm 时，能使四周空白面积最小，最小为 S (16) 72 dm 。 答：当版心高为 16dm ，宽为 8dm 时，能 使四周空白面积最小，最小为 72dm 。
解法二：
512 512 S ( x) 2 x 8 2 2x 8 x x
2 32 8 72
512 当且仅当2x ,即x 16( x 0)时S 取最小值 x
128 此时y 8 16
答：应使用版心宽为8dm，长为16dm，四周空白面积最小.
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题通常称 为优化问题.
2.应用题的解题步骤是什么？
如果海报为如下图所示的 竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm 上、下两边
2
各空 2dm ，左、右两边各空
1dm ,若海报版心高为 xdm .
1. 求四周空白面积关于 x 的函数解析式； 2.求四周空白面积最小值。
128 解法一：设版心的高为 xdm ，则版心的宽为 dm , x
30 x 解：设箱底边长为 xdm ，箱子高为 h dm ，则 0 x 30 。 2 30 x 2 x3 箱子容积 V ( x) x h 2
2
3x2 ' V ( x) 30 x 令 V ( x) 0 2
'
解得 x 0(舍去)或x 20
x
V ' ( x) V ( x)