方程(组)
方程(组)与不等式(组)
方程和方程组知识点:一、方程有关概念1、方程:含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根:在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元一次方程1、一元一次方程的标准形式:ax+b=0(其中x 是未知数,a 、b 是已知数,a ≠0)2、一元一次方程的最简形式:ax=b (其中x 是未知数,a 、b 是已知数,a ≠0)3、解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
4、一元一次方程有唯一的一个解。
三、二元一次方程组1、方程组的解:方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2、解方程组:求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组:(1)二元一次方程组:一般形式:⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a (212121,,,,,c c b b a a 不全为0) 解法:代入消远法和加减消元法解的个数:有唯一的解,或无解,当两个方程相同时有无数的解。
(2)三元一次方程组:解法:代入消元法和加减消元法强化训练1.求适合的x ,y 的值.2.解下列方程组(1)(2) .(3)(4)3.解方程组:(1)(2).(3)4.已知关于x,y的二元一次方程y=kx+b的解有和.(1)求k,b的值.(2)当x=2时,y的值.(3)当x为何值时,y=3?.5.在解方程组时,由于粗心,甲看错了方程组中的a,而得解为,乙看错了方程组中的b,而得解为.(1)甲把a看成了什么,乙把b看成了什么?(2)求出原方程组的正确解.不等式及不等式组知识点:一、不等式与不等式的性质1、不等式:表示不等关系的式子。
(表示不等关系的常用符号:≠,<,>)。
2、不等式的性质:(l)不等式的两边都加上(或减去)同一个数,不等号方向不改变,如a> b, c为实数⇒a+c>b+c(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变,如a>b, c>0⇒ac>bc。
与方程(组)、不等式(组)有关的参数问题
4´10 - (3a +1) = 6´10 - 2a +1,
40 - 3a -1 = 60 - 2a +1 ,
39 - 3a = 61- 2a ,
-3a + 2a = -39 + 61,
-a = 22 ,
a = -22 ,
故 a 的值为 -22 .
5.已知关于
x,
y
的方程组
ì2x - y = 2m - 4①
解得: 8 < a £ 3 , 3
即此时 a 的取值范围是 8 < a £ 3 . 3
12.已知
ì2x + íîx + 2
y y
= =
3 3
+
2a 2a
a
¹
0
是关于
x,y
的二元一次方程组.
(1)求方程组的解(用含 a 的代数式表示); (2)若 x - 2 y > 0 ,求 a 的取值范围.
【答案】(1)
mx - 2x > m + 3 , (m - 2)x > m + 3 ,
Q
它的解集是
x
<
m m
+ -
3 2
,
\m-2 < 0,
解得 m < 2 ;
(2) 2x -1 > 3 - x ,
解得: x > 4 , 3
Q
它的解集是
x
>
m m
+ -
3 2
,
\
m m
+ -
3 2
=
4 3
,且
m
-
2
>
第三讲 方程组
方程( 和不等式( 第二章 方程(组)和不等式(组)
金 榜 之 路 数 学 1.如果3a7xby+7和-7a2-4yb2x是同类项,则x、y的值是 ( B ) A.x=-3,y=2 C.x=-2,y=3 B.x=2,y=-3 D.x=3,y=-2 · ·
6x=5y A. x=2y-40 5x=6y C. x=2y+40 6x=5y B. x=2y+40 5x=6y D. x=2y-40
思路分析:本题给出的两个相等关系:①(1)班得分×5 =(5)班得分×6;②(1)班得分=(5)班得分×2-40分. 答案:D
代入法解这个方程组,可得关于x的方程是
2x2+3x-24=0 ________________.
方程( 和不等式( 第二章 方程(组)和不等式(组)
金 榜 之 路 数 学 · ·
4x2-9y2=15① 5.解方程组: 2x-3y=5②
解:方程①可变形为(2x-3y)(2x+3y)=15
2x+3y=1700 2x 3y 1700 由题意得: 3x+y=1500 x=400 解得: y=300
,
答:甲、乙两种花木每株成本分别为400、300元.
方程( 和不等式( 第二章 方程(组)和不等式(组)
金 榜 之 路 数 学 · · 1.二元一次方程(组)及解的应用,注意:方程(组)的解 适合于方程,任何一个二元一次方程都有无数个解,有时 考查其整数解的情况,还经常应用方程组的概念巧求代数 式的值. 2.解二元一次方程组:解方程组的基本思想是消元,常 用方法是代入消元和加减消元,转化思想和整体思想也是 本章考查重点. 3.二元一次方程组的应用:列二元一次方程组的关键是 能正确分析出题目中的等量关系,题目内容往往与生活实 际相贴近,与社会关系的热点问题相联系,请平时注意搜 集、观察与分析.
方程(组)与不等式(组)
11.方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1,x2,则(x1-1)(x2-1)=______.
12.已知方程ax2+4x-1=0,则(1)当a取什么值时,方程有两个相等的实数根?(2)当a取什么值时,方程没有实数根?(3)当a取什么值时,方程有实数根?
归类示例
类型之一 等式的概念和等式的性质
[2010·威海]如图6-1①,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图②,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与________个砝码C的质量相等.
►类型之二 一元一次方程的解法
[2011·滨州]依据下列解方程=的过程,请在前面的括号内填写变形步骤,在后面的括号内填写变形依据.
A.3(x+1)-2x-3=6B.3(x+1)-2x-3=1
C.3(x+1)-(2x-3)=12D.3(x+2a=7的解,则a的值为______.
5.解方程:-=1.
考点2二元一次方程组及其解法
二元一次方程组的概念
含有______个未知数,并且未知数的最高次数是______的方程叫二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组.
归类示例
►类型之一 一元二次方程的有关概念
[2011·济宁]已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则a-b的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2
►类型之二 一元二次方程的解法
[2011·南京]解方程:x2-4x+1=0.
类型之三 一元二次方程根的判别式
[2011·江津]已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()
人教版初三数学知识点总结之方程(组)
人教版初三数学知识点总结之方程(组)下面是小编为了帮助同学们学习数学知识而整理的人教版初三数学知识点总结之方程(组),希望可以帮助到同学们!★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)☆ 内容提要☆一、基本概念1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)2. 分类:二、解方程的依据-等式性质1.a=ba+c=b+c2.a=bac=bc (c0)三、解法1.一元一次方程的解法:去分母去括号移项合并同类项系数化成1解。
2. 元一次方程组的解法:⑴基本思想:消元⑵方法:①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式:2.解法:⑴直接开平方法(注意特征)⑵配方法(注意步骤-推倒求根公式)⑶公式法:⑷因式分解法(特征:左边=0)3.根的判别式:4.根与系数顶的关系:逆定理:若,则以为根的一元二次方程是:。
5.常用等式:五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想:⑶基本解法:①去分母法②换元法(如, )⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想:⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例,)⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、列方程(组)解应用题一概述列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是:⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元(未知数)。
①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。
一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。
一般地,未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。
专题二:方程(组)与不等式(组)
专题二: 方程(组)与不等式(组)复习目标:1、能够运用恰当的方法熟练地解方程(组)或不等式(组)。
2、会运用方程(组)与不等式(组)解决实际问题。
复习重点:熟练地运用恰当方法解方程(组)或不等式(组) 复习难点:方程(组)或不等式(组)在实际问题中的运用。
学教过程:一、基本知识填空(一)一次方程(组)的有关概念:1、方程中只含有___个未知数,未知数的指数是____次,未知数的系数_____________,这样的方程叫一元一次方程。
2、一元一次方程的一般形式为__________________________。
练习:若(m-2)x 32m=5是一元一次方程,m 的值是( )A.±2B.﹣2C.2D.43、含有____个未知数,并且未知数的项的最高次数都是____次的整式方程叫二元一次方程。
4、把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个___________________。
5、一般地,二元一次方程组的两个方程的________,叫做二元一次方程组的解。
6练习:1、若方程组 则a+b=_______. 2、解方程组(二)等式的基本性质:1、等式的两边加(或减)________,结果仍相等,用式子表示:若a=b,则a ±c=________.2、等式两边乘以_________(或除以)____________,结果仍相等,用式子表示:若a=b ,则ac=________;若a=b ,则ca=_______(c ≠0)练习:根据等式的基本性质,下列各式中变形正确的是( )A 若2x+5=13 则2x=13+5B 若5x=3x-2 ,则5x-3x=2C 若-x=5,则x= -5D 若3x =1,则x=31(三) 一元二次方程 1、定义:只含有 个未知数,且未知数的最高次是 ,这样的 方程叫做一元二次方程。
2、一元二次的一般形式: 。
练习:(1)若方程(a-1)x 12+a+5x-3=0是一元二次方程,则a= .(2)把方程21+x =33-x 2化为一般形式 。
解方程(组)的十五种技巧
解方程(组)的十五种技巧包括:
移项法:将方程左右两边上的变量移动到另一边。
加减法:同时加减方程左右两边的相同项,以使得左边或右边为零。
乘除法:乘或除方程的左右两边的相同数,以使得左边或右边的系数为1。
用分数或小数代替:把方程的整数解转化为分数或小数解。
消元法:通过将方程组中的某些方程相加或减来消除其中一个未知数。
高斯消元法:通过将方程组的系数矩阵转化为一个上三角矩阵来求解方程组。
高斯-约旦法:通过将方程组的系数矩阵转化为一个单位矩阵来求解方程组。
分数解法:通过多项式除法或数学证明的方法解决分数方程。
因数分解法:通过因数分解的方法解决方程。
牛顿迭代法:通过牛顿迭代法求解方程。
导数法:通过函数的导数和原函数来解决方程。
拉林法:通过构造拉普拉斯矩阵来求解方程组。
配方法:通过代入值来求解方程。
牛顿-raphson法:通过对函数的近似值进行迭代来求解方程。
这些技巧可以根据具体的方程类型和求解目的来选择使用。
常用的解方程的技巧包括移项法,加减法,乘除法,高斯消元法和高斯-约旦法。
第6讲 一次方程与方程组
一次方程(组)的应用 例 4(2014· 遂宁)我市某超市举行店庆活动,对甲、 乙两种商品实行打折销售.打折前,购买 3 件甲商品 和 1 件乙商品需要 190 元;购买 2 件甲商品和 3 件乙 商品需要 220 元.而店庆期间,购买 10 件甲商品和 10 件乙商品仅需 735 元,这比不打折前少花多少钱? 【点拨】本题考查实际问题中的打折销售问题, 可列出方程组解答.
解:设打折前 1 件甲商品需要 x 元,1 件乙商品需
3x+y=190, x=50, 要 y 元,得 解得 2x+3y=220. y=40.
打折前购买 10 件甲商品和 10 件乙商品需要: 10× (50+40)=900(元 ), 少花:900-735=165(元). 答:店庆期间,购买 10 件甲商品和 10 件乙商品 比不打折前少花 165 元.
1.如果方程 2x
2 k-1
-3=1 是关于 x 的一元一次方
程,那么 k 的值是 1 . 解析:根据题意,得 2k -1=1,解得 k =1.
y-1 y +2 2.解方程 y- =2- 2 3
考点三
二元一次方程组及其解法
1.二元一次方程组 (1)二元一次方程的一般形式:ax+by+c=0(a, b,c是常数,且a≠0,b≠0). (2)两个含有相同未知数的二元一次方程合在一 起,构成二元一次方程组. 2.解二元一次方程组的基本思路:消元.
)
3 5 x + y=1.2, 60 60 x +y=16
C.
3x +5y =1.2, x +y =16
3 5 x+ y=1 200, 60 D. 60 x +y=16
3 解析:1 200 米= 1.2 千米,3 千米 /时= 千米 /分, 60 5 5 千米 /时= 千米 /分,由小颖所走的路程为 1.2 千米, 60 3 5 可列方程 x+ y= 1.2,由小颖所用的时间为 16 分 60 60 钟 , 可 列 方 程 x + y = 16 , 故 可 列 方 程 组 3 5 60x+ 60 y= 1.2, 故选 B. x+ y=16. 答案: B
非线性代数方程(组)的解法
06
应用举例与算法实现
应用举例
经济学
非线性方程组在经济学中广泛应用于描述市场均衡、消费者行为等问题。例如,求解供需平衡价格时,可以通过构建 非线性方程组来表示供给和需求函数,进而求解市场均衡价格。
工程学
在机械、电子等工程领域,非线性方程组常用于描述系统的动态行为。例如,在控制系统中,通过建立非线性状态方 程来描述系统的状态变化,可以求解系统的稳定性、响应特性等问题。
拟牛顿法是对牛顿法的改进,通过近 似计算雅可比矩阵或其逆矩阵来减少 计算量。常见的拟牛顿法有BFGS方 法、DFP方法等。程序设计时,需要 实现拟牛顿法的迭代过程,包括选择 合适的拟牛顿公式、更新近似矩阵等 步骤。
信赖域方法
信赖域方法是一种全局收敛的非线性 方程组求解算法,其基本思想是在每 次迭代中构造一个信赖域,然后在该 区域内寻找使目标函数充分下降的试 探步。程序设计时,需要实现信赖域 方法的迭代过程,包括构造信赖域、 求解子问题、更新信赖域半径等步骤 。
04
解析解法分离变量法源自01 适用于可将方程中的变量分离为两个或多个独立 函数的情况。
02 通过将方程两边同时积分,得到各变量的通解。 03 需要注意积分常数的确定,以及解的合理性验证。
行波法
01
适用于可化为行波形式的非线性方程。
02
通过引入行波变换,将原方程化为关于行波参数的常微分方 程。
03
步骤
1. 选定适当的坐标轴,将方程的变量表 示为坐标轴上的点。
等倾线法
定义:等倾线法是一种通过绘 制等倾线(即斜率相等的线) ,从而找出方程解的方法。
步骤
1. 将方程转化为斜率形式, 即 y' = f(x, y)。
3. 通过观察等倾线的交点、 切线等性质,可以判断方程 的解的存在性、唯一性等。
第2讲 方程(组)与不等式(组)
第2讲 方程(组)与不等式(组)知识点1 一元一次方程1.等式及其性质 ⑴ 等式:用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质:① 如果,那么b ±c ;② 如果,那么bc ;如果,那么b c2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程:含有未知数的等式叫做方程;使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解;求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程:在整式方程中,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程;它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤:①去分母;②去;③移;④合并;⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用:(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系.(2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ,但有时也可以间接设未知数. (3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一.(4)“解”就是解方程,求出未知数的值.(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出,舍去即可.b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a(6)“答”就是写出答案,注意单位要写清楚.【典例】例1如果3m =3n ,那么下列等式不一定成立的是( ) A .m ﹣3=n ﹣3 B .2m +3=3n +2C .5+m =5+nD .m −3=n −3例2解方程:(1)2﹣3(x ﹣1)=2(x ﹣2); (2).例3若方程12﹣3(x +1)=7﹣x 的解与关于x 的方程6﹣2k =2(x +3)的解相同,求k 的值.例4若方程2(2x ﹣1)=3x +1与关于x 的方程2ax =(a +1)x ﹣6的解互为倒数,求a 的值.例5我市某区为鼓励毕业大学生自主创业,经过调研决定:在2021年对60名自主创业的大学生进行奖励,共计奖励50万元.奖励标准是:大学生自主创业连续经营一年以上的给予5000元奖励;自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的,再给予1万元奖励.问:该区自主创业大学生中连续经营一年以上的和自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生分别有多少人?例6两辆汽车从相距80km 的两地同时出发相向而行,甲车的速度比乙车的速度快20km /h ,半小时后两车相遇? (1)两车的速度各是多少? (2)两车出发几小时后相距20km ?【随堂练习】1.在下列方程的变形中,正确的是( ) A .由2x +1=3x ,得2x +3x =1 B .由25x =34,得x =34×52C .由2x =34,得x =32D .由−x+13=2,得﹣x +1=62.解方程:(1)3x +2=4(2x +3); (2)﹣1.3.某同学在解关于y 的方程﹣=1去分母时,忘记将方程右边的1乘以12,从而求得方程的解为y =10.(1)求a 的值; (2)求方程正确的解.4.已知关于x 的方程2(x ﹣1)=3m ﹣1与3x ﹣2=﹣4的解相同,求m 的值.5.为加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段达到节水的目的.该市自来水收费价格如表:每月用水量 单价(元)不超过23立方米的部分 m 超过23立方米的部分m +1.1(1)某用户4月份用水10立方米,共交费26元,求m 的值;(2)在(1)的前提下,该用户5月份交水费82元,请问该用户5月份用水多少立方米?知识点2 一元二次方程1.一元二次方程:在整式方程中,只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项,bx 叫做一次项,c 叫做常数项;a 叫做二次项的系数,b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法:(1)直接开平方法:形如或的一元二次方程,就可用直接开平方的方法.)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x(2)配方法:用配方法解一元二次方程的一般步骤是:①化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项,③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方,④化原方程为的形式,⑤如果是非负数,即,就可以用直接开平方求出方程的解.如果n <0,则原方程无解.(3)公式法:一元二次方程的求根公式 .(4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:①将方程的右边化为0;②将方程的左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式:关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. (1)>0一元二次方程有两个不相等的实数根,即242ab b ac -±-.(2)=0一元二次方程有两个相等的实数根,即2ba-. (3)<0一元二次方程没有实数根.4. 一元二次方程根与系数的关系关于x 的一元二次方程有两根分别为,,那么 a b -,c a. 【典例】例1若关于x 的方程(m +1)x |m |+1+x ﹣3=0是一元二次方程,求m 的值.()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠221,2440)b b ac x b ac -±-=-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x例2解方程:9(x﹣1)2=16(x+2)2.例3用配方法解方程:x2﹣8x+13=0.例4若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有实数根,求k的取值范围.例5岳池县是电子商务百强县,某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉.已知每瓶西板豆豉的成本价为16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.为了回馈广大顾客,该商店现决定降价销售(销售单价不低于成本价).经市场调查反映:若销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶.(1)当销售单价降低1元时,每天的销售利润为元;(2)为尽可能让利于顾客,若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元,求西板豆豉的销售单价.例6在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田,为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道,如图.已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米,小道的宽为多少米?【随堂练习】1.解方程:(1)(x﹣1)2﹣=0;(2)2x2+8x﹣1=0.2.已知关于x的方程x2+kx﹣2=0.(1)求证:不论k取何实数,该方程总有两个不相等的实数根;(2)若该方程的一个根为2,求它的另一个根.3.惠友超市于今年年初以25元/件的进价购进一批商品.当商品售价为40元/件时,一月份销售了256件.二、三月份该商品十分畅销,销售量持续走高.在售价不变的基础上,三月份的销售量达到了400件.(1)求二、三月份销售量的月平均增长率.(2)从四月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经调查发现,该商品每件每降价1元,销售量增加5件.当每件商品降价多少元时,商场获利4250元?4.如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖纸盒.(1)这个无盖纸盒的长为cm,宽为cm;(用含x的式子表示)(2)若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒,求x的值.知识点3 分式方程1.分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2.解分式方程的一般步骤:(1)去分母,在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;(2)解这个整式方程;(3)验根,把整式方程的根代入最简公分母中,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤:① 设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;② 解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③ 把辅助未知数的值代入原设中,求出原未知数的值;④ 检验作答.4.分式方程的应用:分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验:(1)检验所求的解,是否是所列分式方程的解;(2)检验所求的解,是否为增根.【典例】例1解方程:(1)=﹣2.(2)=.例2用换元法解方程(xx+1)2+5(x x+1)+6=0时,若设xx+1=t,则原方程可化为关于t的一元二次方程是.例3定义一种新运算“⊗”,规则如下:a⊗b=,(a≠b2),这里等式右边是实数运算,例如:1⊗3==﹣.求x⊗(﹣2)=1中x的值.例4疫情过后,为做好复工复产,某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料.已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克,且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料.例5 2020年春节寒假期间,小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的:原计划每天都做相同页数的数学作业,做了5天后,由于新冠疫情加重,当地加强了防控措施,对外出进行限制,小伟有更多的时间待在家里,做作业的效率提高到原来的2倍,结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业,已知数学寒假作业本共有34页,求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业?例6要在规定天数内修筑一段公路,若让甲队单独修筑,则正好在规定天数内按期完成;若让乙队单独修筑,则要比规定天数多8天才完成.现在由乙队单独修筑其中一小段,用去了规定时间的一半,然后甲队接着单独修筑2天,这段公路还有一半未修筑.若让两队共同再修筑2天,能否完成任务?【随堂练习】1.用换元法解方程x−1x=3x x−1−2时,设x−1x=y ,换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为 .2.解方程: (1)=;(2)﹣3.3.若关于x 的方程有增根,则增根是多少?并求方程产生增根时m 的值.4.虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间,开展“我为群众办实事”活动,为某小区铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,须缩短施工时间,实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍,结果提前2天完成任务,求原计划每天铺设管道的长度.5.某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动.已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍,A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天,求A、B两班每天各植树多少棵?知识点4 方程组(1)二元一次方程:含有两个未知数(元)并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组:由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解:适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解,一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解:使二元一次方程组成立的未知数的值,叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1下列方程中,是二元一次方程的是()A.xy=2B.3x=4y C.x+1y=2D.x2+2y=4例2解方程组:(1);(2).例3已知方程组与有相同的解,求m 和n 值.例4糖葫芦一般是用竹签串上山楂,再蘸以冰糖制作而成.现将一些山楂分别串在若干根竹签上.如果每根竹签串5个山楂,还剩余4个山楂;如果每根竹签串8个山楂,还剩余7根竹签.这些竹签有多少根?山楂有多少个?例5中药是我国的传统医药,其独特的疗效体现了我们祖先的智慧,并且在抗击新冠疫情中,中医药发挥了重要的作用.现某种药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产厂,现有甲、乙两种车型供运输选择,每辆车的运载能力(假设每辆车均满载)和运费如下表所示:车型 甲 乙 运载量(吨/辆) 10 12 运费(元/辆)700720若全部中药材用甲、乙两种车型一次性运完,需支付运费9900元,问甲、乙两种车型各需多少辆?【随堂练习】1.如果3x 3m﹣2n﹣4y n﹣m+12=0是关于x 、y 的二元一次方程,那么m 、n 的值分别为( ) A .m =2,n =3 B .m =2,n =1C .m =﹣1,n =2D .m =3,n =42.如果方程组{ax −by =134x −5y =41与{ax +by =32x +3y =−7有相同的解,则a ,b 的值是( )A .{a =2b =1B .{a =2b =−3C .{a =52b =1D .{a =4b =−53.解方程组:.4.列二元一次方程组解应用题:小颖家离学校1880米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路.她跑步去学校共用了16分钟,已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟,在下坡路上的平均速度是200米/分钟.求小颖上坡、下坡各用了多长时间?5.某市要在A ,B 两景区安装爱心休闲椅,它有长条椅和弧形椅两种类型,其中每条长条椅可以同时供3人使用,每条弧形椅可以同时供5人使用.(列二元一次方程组解答) (1)市政府现在要为B 景区购买长条椅120条,弧形椅80条,若购买一条长条椅和一条弧形椅的价格共360元,为B 景区购买共花费了32800元,求长条椅和弧形椅的单价分别为多少元?(2)现决定从某公司为A 景区采购两种爱心休闲椅共400条,且正好可让1400名游客同时使用,求A 景区采购的长条椅和弧形椅分别为多少条?知识点5不等式(组)1. 用不等号连接起来的式子叫不等式;使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解;一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2.不等式的基本性质:(1)若<,则+<; (2)若>,>0则> (或> ); a b a c c b a b c ac bc c a cb(3)若>,<0则 < (或< ). 3.一元一次不等式:只含有一个未知数,且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式,称为一元一次不等式;一元一次不等式的一般形式为ax >b 或;解一元一次不等式的一般步骤:去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.4.一元一次不等式组:几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地,几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成的不等式组的解集. 5.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况:(已知)的解集是,即“小小取小”;的解集是,即“大大取大”;的解集是,即“大小小大中间找”;的解集是空集,即“大大小小取不了”. 6.求不等式(组)的特殊解:不等式(组)的解一般有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解,非负整数解,求这些特殊解应先确定不等式(组)的解集,然后再找到相应答案. 7.列不等式(组)解应用题的一般步骤:①审:审题,分析题中已知什么、求什么,明确各数量之间的关系;②找:找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系;③设:设未知数(一般求什么,就设什么为;④列:根据这个不等关系列出需要的代数式,从而列出不等式(组);⑤解:解所列出的不等式(组),写出未知数的值或范围;⑥答:检验所求解是否符合题意,写出答案(包括单位).a b c ac bc c a cb ax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x【典例】例1如果a <b ,c <0,那么下列不等式中成立的是( ) A .a +c >b +c B .ac <bcC .ac 2>bc 2D .ac +1>bc +1例2解不等式10−x 3≤2x +1,并在数轴上将解集表示出来.例3解不等式组{2x −2≤xx +2>−12x −1,并把解集在数轴上表示出来.例4已知某校六年级学生超过130人,而不足150人,将他们按每组12人分组,多3人,将他们按每组8人分组,也多3人,该校六年级学生有多少人?例5为了美化校园,我校欲购进甲、乙两种工具,如果购买甲种3件,乙种2件,共需56元;如果购买甲种1件,乙种4件,共需32元. (1)甲、乙两种工具每件各多少元?(2)现要购买甲、乙两种工具共100件,总费用不超过1000元,那么甲种工具最多购买多少件?【随堂练习】1.若a >﹣1,则下列各式中错误的是( ) A .6a >﹣6 B .a 2>−12C .a +1>0D .﹣5a <﹣52.解不等式: (1)x +1>2x ﹣4; (2)−2x−13>4.3.解不等式组﹣2≤7x−53+2<5,并在数轴上表示出它的解集.4.某街道组织志愿者活动,选派志愿者到小区服务.若每一个小区安排4人,那么还剩下78人;若每个小区安排8人,那么最后一个小区不足8人,但不少于4人.求这个街道共选派了多少名志愿者?5.“端午节”将至,某商家预测某种粽子能够畅销,就准备购进甲、乙两种粽子.若购进甲种400个,乙种200个,需要用2800元;若购进甲种粽子700个,乙种粽子300个,需要4500元.(1)该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元?(2)该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子,计划销售每个甲种粽子可获利3元,销售每个乙种粽子可获利5元,且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1900元,那么商家至少应购进甲种粽子多少个?综合运用1.若关于x 的方程x+m 3=x −m2与方程3+4x =2(3﹣x )的解互为倒数,求m 的值.2.解方程: (1)x−12=4x 3;(2)5x+13−2x−16=1.3.解不等式组{3−2(x −1)<3x 1−x−13≥0,把其解集在数轴上表示出来,并写出它的整数解.4.已知方程x 2﹣(k +1)x +k ﹣1=0是关于x 的一元二次方程. (1)求证:对于任意实数k ,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是2,求k 的值及方程的另一个根.5.某工厂生产一批小家电,2018年的出厂价是144元,2019年,2020年连续两年改进技术,降低成本,2020年出厂价调整为100元.(1)这两年出厂价下降的百分比相同,求平均下降率.(2)某商场今年销售这批小家电的售价为140元时,平均每天可销售20台,为了减少库存,商场决定降价销售,经调查发现小家电单价每降低5元,每天可多售出10台,如果每天盈利1250元,单价应降低多少元?6.假期里,学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动,计划分乘大、小两辆车前往相距140km的乡村敬老院.(1)若小车速度是大车速度的1.4倍,则小车比大车早一个小时到达,求大、小车速度.(2)若小车与大车同时以相同速度出发,但走了60千米以后,发现有物品遗忘,小车准备加速返回取物品,要想与大车同时到达,应提速到原来的多少倍?7.某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎.该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成,其中里程费按x元/千米计算,耗时费按y元/分钟计算.小聪、小明两人用该打车方式出行,按上述计价规则,他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表:里程数(千米)时间(分钟)车费(元)小聪3109小明61817.4(1)求x,y的值;(2)该公司现推出新政策,在原有付费基础上,当里程数超过8千米后,超出的部分要加收0.6元/千米的里程费,小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村,总里程为23千米,耗时30分钟,求小强需支付多少车费.8.我市创全国卫生城市,梅溪湖社区积极响应,决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱,若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元,垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?(2)如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个.该街道计划费用不超过35万元,而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍,求有几种可供选择的方案?并找出资金最少的方案,求出最少需多少元?。
各类方程(组)的解法
一、一元一次方程步骤:系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。
1、系数化整:分子分母带有小数或分数的系数化成整数,方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数;2、去分母:将包含的分母去掉,方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数;3、去括号:根据去括号法则将括号去掉;4、移项:过等号要变号,将含未知数的放等号左边,常数放等号右边;5、合并同类项:根据合并同类项法则将同类项合并:6、系数化1:将未知数的系数化成1,方法是等式两边同时除以未知数的系数。
注:不一定严格按照步骤,例如移项的同时可以合并同类项,a(A)=b(a、b是已知数,A是含未知数的一次二项式)型方程可以先将括号前的系数化成1,第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。
二、二元一次方程(组)一个二元一次方程有无数个解,它表示平面内一条直线,直线上每个点的坐标都是方程的解。
由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线,其公共点坐标就是方程组的解。
当然,若两直线平行则方程组无解,若两直线重合则方程组有无数个解。
当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式,然后求解。
1、代入消元法:⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式,代入另一个方程,变成一个一元一次方程;⑵解一元一次方程;⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值,并写出解。
2、加减消元法:⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等(若已有系数的绝对值相等则这一步跳过);⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程(系数相等用减,系数互为相反数用加);⑶解一元一次方程;⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值,并写出解。
3、图像解法:根据图像与方程的关系,在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线,找出公共点的横坐标与纵坐标(不推荐此方法,因为当解为分数时看不出,这只能表示一种关系)。
*当x、y系数不成比例时有唯一解,当x、y系数成比例且比值不等于常数的比值时无解,当x、y的系数与常数都成比例时有无数个解。
专题二 方程(组)、不等式(组)的解法
专题二 方程(组)、不等式(组)的解法类型一 解方程(组)、不等式(组)一、基本概念及性质 【1】基本概念方程:含有未知数的等式;方程的解:使方程成立的未知数的值;不等式(组)的解集:使不等式(组)成立的未知数的值的集合. 【2】基本性质:等式的基本性质1 若a=b ,那么a+c=b+c ,a -c=b -c ;性质2 若a=b ,那么有a·c=b·c ,或a÷c=b÷c (c≠0) 不等式性质1:.如果x>y ,而z 为任意实数或整式,那么x+z>y+z性质2:如果x>y ,z>0,那么xz>yz , xz>yz ;性质3:如果x>y ,z<0,那么xz<yz , x z <yz .分式的基本性质:A B =,A M A A M B M B B M⨯÷=⨯÷(其中M 是不等于零的整式)等比性质: 若a/b=c/d=...=m/n (b+d+...+n 不等于0) ,则a/b=(a+c+...+m)/(b+d+...+n) 合比性质: 若a/b=c/d 则(a+b)/b=(c+d)/d 或(a -b)/b=(c -d)/d . 分式的符号法则: a b =a a a bb b --=-=---其它性质:①如果x>y ,m>n ,那么x+m>y+n②(不)等式具有传递性:如果x=y ,y=z ;那么x=z ;如果x>y ,y>z ;那么x>z 。
练习:1.若由x <y 可得到ax >ay ,应满足的条件是( ). (A)a ≥0(B)a ≤0(C)a >0(D)a <02. 不等式ax >b 的解集是x <ab,那么a 的取值范围是( ) (A )a ≤0 (B )a <0 (C )a ≥0 (D )a >0 3.如果a 2x >a 2y (a ≠0).那么x ______y . 4.已知23,2343a b c a b c a b c+-==-+则的值为________.5.若分式的和扩大为原来各自的倍,则分式的值( )A. 缩小到原分式的B. 缩小到原分式的C. 缩小到原分式的D. 不变二、基本解法{整式方程{一二一去分母 分式方程(需方程【1】解一元一次方程 1. 方程2-2x 4x 7312--=-去分母得( )。
方程(组)与不等式(组)问题
方程(组)与不等式(组)是代数中的重要内容,有的已知方程(组)的解求方程(组)、应用题的条件编制、也有根据方程进行数学建模等等.解决有关方程(组)与不等式(组)的试题,首先弄清题目的要求;其次,充分考虑结果的多样性,使答案简明、准确.
1010350
3020850
信息三:按件计酬,每生产一件甲产品可得1.50元,每生产一件乙产品可得2.80元.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分?
(2)小王该月最多能得多少元?此时生产甲、乙两种产品分别多少件?
类型之二 借助方程组合或不等式(组)解决方案问题
借助二元一次方程组和一元一次不等式(组)求解方案问题是中考一种新题型,考察了同学们综合运用方程组不等式深入的分析、比较、归纳和说理的能力.
4.(. 济南市)某校准备组织290名学生进行野外考察活动,行李共有100件.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆,经了解,甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
3.(. 济南市)某厂工人小王某月工作的部分信息如下:
信息一:工作时间:每天上午8∶20~12∶00,下午14∶00~16∶00,每月25元;
信息二:生产甲、乙两种产品,并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件.
生产产品件数与所用时间之间的关系见下表:
生产甲产品件数(件)生产乙产品件数(件)所用总时间(分)
(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;
方程(组)与不等式(组)
一 。
由①得 l , 3将 =4x 3 一4 F , 1 , =. _ z
窿篷 因为C = = x D AB 2 ,
所 以CD: — 盯
.
所 以原方程 组的 解是 『l- , X=- 4 -
1 2 4
所 以AD:1AB C — - D
-
—
l2 - x
分 式 方 程 与 的分 式 不 等 式 联 系
紧 密 , 式 的化 解 ( 别 是 繁 分 式 的 自变
解不等式组
f2 一 ≤ ≤2 ,
化 解 ) 初 中进 行 了 弱化 , 于 分 式 在 对 方 程 的求解 容 易产 生增 解 , 这是 易错
量满足 的条件 , 再解 不等式 组即 可.
( 11u( ,] 一 ,) 12.
例题1 已知关于 的方程—L +
xz X —
m -
嘲
建立不等式组的依据 : ①
一
5
=
主要是三大 “ 禁区”0 ,不能作除数: 负
图2
无解 , 的值. 求
Z编
豳 对于两个 以上根号的无
:+ 2佰
 ̄y - 时 ,1 / x+ 0+ = 9 = 9 I X 5 21x 1 一 ,  ̄ 7
解集 , 再求 交集. 6 .方程 ( ) 组 与不等式 ( ) 组 的应用 例题 6 用长 为f 丝弯 成下部 的铁
注意 具体 问题 具 体 分析 . 比如本 题 中
的边 长都有 限制等.
1 分 式方程 .
为矩 形 , 为 半 圆形 的框架 ( 图2 上部 如 所 示 ) 矩 形底 边 长为 , 此 框架 , 若 求 围成 的面积y 的 函数 式 ,并 写 出它 与 的定 义域.
类型③ 方程(组)的解法
类型③ 方程(组)的解法,备考攻略)1.解一元一次方程.2.解二元一次方程组.3.解一元二次方程.4.解分式方程.1.去分母时,容易出现漏项或者是两边所乘的不是最简公分母.2.去括号时,如果括号前是负因数,容易出现部分变号错误.3.移项时,对“被移动的项”理解错误,导致该变号的不变,不该变号的变了号.4.化系数为1时,两边同时除以未知数的系数,容易把该系数写到分子上.消元:代入消元、加减消元降次:直接开方、因式分解近几年直接考查解方程(组)题目较少,但方程(组)是解决实际问题的有效工具,所以能够准确解方程(组)就显得尤为重要.1.一元一次方程的解法是解方程(组)的基础,而这类方程的解法又分为两类:⎭⎪⎬⎪⎫有分母——去分母有括号——去括号移项、合并同类项、化系数为1 2.一元二次方程的解法较多,所以要掌握各类方法的特征:(1)因式分解法较为常用(判别式能够开方开尽的基本可以进行因式分解),最终要整理为乘积为0的形式.只有二次项和一次项的通常考虑提公因式;只有二次项和常数项的通常考虑平方差公式;暂时无法分解因式时可以先考虑打开括号,整理后再做观察.(2)直接开平方法,能够直接实现降次目的,但比较局限,只针对能够整理成完全平方式等于非负数的题型.(3)配方法的目的是实现直接开平方;配方时要首先化二次项系数为1,再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.(4)求根公式法较为通用,只要b 2-4ac>0,均可把a ,b ,c 代入x =-b±b 2-4ac 2a 求解.应用此法首先要把方程整理为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式.3.解分式方程目标是化分式方程为整式方程,首先要找到各分母的最简公分母,其次不要出现漏项,最后一定要记得检验求得的根是否是增根.4.解二元一次方程组的目标是消元,代入消元法是通用法,但通常只针对其中一个未知数的系数较为简单时,否则会导致计算困难;加减消元法关键看相同未知数的系数特征决定,要注意两式加减时的符号问题.,典题精讲)【例】(广州中考)解方程:5x =3(x -4).【解析】先去括号,才能进行移项、合并同类项和化系数为1.【答案】解:去括号,得5x =3x -12,移项,得5x -3x =-12,合并同类项,得2x =-12,系数化为1,得x =-6.1.(2017泰安中考)一元二次方程x 2-6x -6=0配方后化为( A )A .(x -3)2=15B .(x -3)2=3C .(x +3)2=15D .(x +3)2=32.(2017黔东南中考)分式方程3x (x +1)=1-3x +1的根为( C )A .-1或3B .-1C .3D .1或-33.(2017泰安中考)分式7x -2与x2-x 的和为4,则x 的值为__3__.4.(2017咸宁中考)解方程:12x =1x -3.解:方程两边同乘2x(x -3)得,x -3=2x ,解得x =-3,检验:当x =-3时,2x(x -3)≠0,∴原方程的根是x =-3.5.(2017陕西中考)解方程:x +3x -3-2x +3=1.解:方程两边同乘(x -3)(x +3),得(x +3)2-2(x -3)=(x +3)(x -3),解得x =-6,检验:当x =-6时,(x -3)(x +3)≠0,∴x =-6是原分式方程的解.6.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2(x -y )3-(x +y )4=-112,①3(x +y )-2(2x -y )=3.②解:将①两边同时乘以12,得8(x -y)-3(x +y)=-1,去括号、合并同类项,得5x -11y =-1,③将②去括号、合并同类项,得-x +5y =3,④ ③+④×5,得14y =14,解得:y =1;将y =1代入④,得-x +5=3,解得x =2,故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =1.7.解方程:2(x -3)2=x 2-9.解:由2(x -3)2=x 2-9,得2(x -3)(x -3)=(x +3)(x -3),移项、合并同类项,得(x -3)(x -9)=0, ∴x -3=0或x -9=0,即x =3或x =9.8.解方程:x x -1-1=3x 2+x -2.解:方程的两边同乘(x +2)(x -1),得x(x +2)-(x +2)(x -1)=3,去括号,得x 2+2x -x 2-x +2=3,移项、合并同类项,得x =1,检验:把x =1代入(x +2)(x -1)=0, ∴原方程无解.。
方程(组)的概念及解法
方程(组)的概念及一次方程(组)的解法【知识梳理】1.等式:性质1:等式两边都加上或减去 ,其结果仍是等式。
性质2:等式两边都乘以或除以(除数不为 ),其结果仍是等式。
2.方程:含有未知数的 叫方程 。
方程的解:使方程 相等的未知数的值。
3.解方程:求方程 的过程4.一元一次方程的一般形式是: 最简形式是:5.解一元一次方程的一般步骤:6方程ax=b 的解的情况:(1)当a=0,b=0时,方程ax=b 的解是(2)当a ≠0时,方程ax=b 的解是(3)当a=0,b ≠0时,方程ax=b 的解是7.解一次方程组消元的基本方法是【基础训练】1.下列等式中:①1+2=3 ②a+3=6 ③y 2+2y=0 ④4x-3y=10⑤3x=2中 是方程, ,是一元一次方程。
(填序号)2.如果x=2是方程3mx-m+2=0的解,则m=3. 已知⎩⎨⎧-==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+122y nx my x 的解,则 m=________,n=________。
4.如果|x-2|=1,则x=5.在2x-3y-4=0中,用x 的代数式表示y 结果是 如果2y=3,则此方程的解为6.以方程组⎩⎨⎧=-=+32112y x y x 的解为两根的一元二次方程是( ) A.t 2+6t -5=0 B. t 2+6t +5=0C. t 2-6t+5=0D. t 2-6t -5=07.已知x=y ,下列变形中,不一定正确的是( )A .x -5 =y-5B .-3x=-3yC mx=myD .22cy c x = 8.若131+m 与372-m 互为相反数,则m=( )A . 34B .43C . 34- D . 43- 9.甲商品的进价是1400元,按标价1700元的9折出售,乙商品的进价是400元,按标价560元的8折出售,两种商品哪种利润率高些?【典型例析】1. 解方程163242=--+x x2. 已知方程组⎩⎨⎧-=++=+m y x m y x 13133 的解满足x+y>0 ,求m 的取值范围是3.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+5791034y x y x (代数第一册下)4.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=--=-1124z y x y z z x (代数第一册下P 51)【发展探究】已知关于 的方程:b a a x ab b a ab x a 2222()(21)3(2321+-=-++ +)2(3)212ab ab -- ⑴此方程的解与b 的取值是否有关?请说明理由。
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知识点3:一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是特殊的一次函数,一次函数 包含正比例函数。 一次函数当 k 0,b 0时是正比例函数。 一次函数可以看作是由正比例函数平移 ︱b︱个单位得到的, 当b>0时,向 平移b个单位;当b<0时, 向 平移︱b︱个单位。
知识点4:待定系数法确定一次函数解析式
的值
解方程
x 1.7 2 x (1) 1 0.7 0.3 2 x 2 (2) 3 x 3 3 x
考查目标六 一元一次方程的应用
例、王老师去集贸市场买鸡蛋,小 贩称好以后,王老师发现所买的10 斤鸡蛋好象比原来少了一些,于是 王老师就把鸡蛋拾进了自己的篮子 {已知篮子重一斤}里又让小贩称了 一下,结果是11斤1两,于是王老师 就让小贩找回自己一斤鸡蛋钱,你 知道王老师是怎么知道小贩少给自 己一斤鸡蛋的吗?
一次方程组
例1. 方程ax-4y=x-1是二元一次方程, 则a的取值为( ) A、a≠0 B、a≠-1 C、a≠1 D、a≠2
例2.若二元一次方程3x-2y=1有正整数解, 则x的取值应为( ) A、正奇数 B、正偶数 C、正奇数或正偶数 D、0
例3.请写出一个以x,y为未知数的二元 一次方程组,且同时满足下列两个条件: ①由两个二元一次方程组成;
例:已知直线l1经过点(-1,6)和(1,2), 它和x轴、y轴分别交于B和A;直线l2经过 点(2,-4)和(0,-3),它和x轴、y轴 的交点分别是D和C。 (1)求直线l1和l2的解析式; (2)求四边形ABCD 的面积; (3)设直线l1与l2交于点P, 求△PBC的面积。
知识点2:一次函数的图象和性质
形状: 一次函数的图象是一条直线 画法: 确定 个点就可以画一次函数图像。 性质 (1)一次函数y=kx+b,当k 0时,y的值随x值得增大而增大; 当k 0时,y的值随x值得增大而减小。 (2)正比例函数,当k 0时,图象经过一、三象限; 当k 0时,图象经过二、四象限。 强调:k,b与 一次函数y=kx+b 的图象与性质: k决定函数的增减性;b决定图象与y轴的交点位置 ②当k>0时,y随着x的增大而增大, ③当k<0时,y随着x的增大而减小, ④当b>0时,直线交于y轴的正半轴, ⑤当b<0时,直线交于y轴的负半轴 ⑥当b=0时,直线经过原点,
跟踪练习:世纪金榜P13巩固练习1
考查目标二 巧解一元一次方程
3 4 1 1 3 x 8 x 4 3 2 4 2
考查目标三 根据方程解的概念, 求待定系数值
关于x的方程,
3m x 1 m 1 1 m
的解与方程3x-2a=0的解相同,都 是a-1,则m的值是____
(一次)方程(组)
一元一次方程
一元一次方程: 在整式方程中(化简后 ),只含有 个未知数,并且未知数的次数是 ,系 数不等于0的方程叫做一元一次方程; 它的一般形式为 .
如果(m-1)x |m| +5=0是一元一次方程, 那么m=___.
考查目标一 方程解的应用
例、已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1, 求m的值
跟踪练习: 若关于x的两个方程x2-x-2=0与
1 2 x 2 x a
有一个解相同,则a=_______
考查目标四 根据方程ax=b解的情况, 求待定系数值 例1、已知关于x的方程
x x 1 a ( x 6) 3 2 6
无解,则a的值是( ) A.1 B.-1 C.±1 D.不等于1的数
跟踪练习1:
白皮书检测(七)第一题(2)
跟踪练习2:
若关于x的方程
k 3 x 0 x 1 1 x
有增根,则k的值为________
2、当m取什么整数时,关于x的方 程 1 5 1 4
2
mx
3
(x ) 2 3
的解是正整数?
m 2 x 1 m 23 已知关于x的方程 x x 1 2
跟踪练习:
的解是正数,则m的取值范围是 _______
考查目标五
运用整体思想求解方程
用换元法解分式方程时,若
x 1 3x 1 0 x x 1
设
将原方程化为关于y的整式方程, 那么这个整式方程_______
x 1 y x
,
跟踪练习:
已知
2
1 x 4 x
,
1 4 1 x , x 求 2 4 x x
x 2 ②方程的解为 y 3 ,
这样的方程组可以是-----------。
考查目标一、确定二元一次方程组中的字母系数 或字母系数的范围
例、若方程组 满足 >0,
的解
则a的取值范围是( ) A、a<-1 B、a<1 C、a>-1 D、a>1
考查目标二、方程组解的判定
2 x y 3, 例、方程组 D.
考查目标三、可化为解方程组的知识
如果 | x 2 y 1| | 2 x y 5 | 0 , 则 x y 的值为
可转化为一次方程的分式方程
1、定义
2、解分式方程的一般步骤: 3、增根的问题
一次方程与一次函数
一次函数
知识点1:一次函数与正比例函数的概念