2015-2016年黑龙江省大庆四中高一下学期期末数学试卷及答案

2015-2016学年黑龙江省大庆四中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}2．（5分）如果等差数列{a n}中，a3=3，那么数列{a n}前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．303．（5分）已知直线l1：2x+y+1=0，l：4x+2y﹣1=0，则l1，l2之间的距离为（）A．B．C．D．24．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则|+|=（）A．B．2 C．3 D．45．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．6．（5分）已知2x=3y=a，且+=2，则a的值为（）A．B．6 C．±D．367．（5分）两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离分别为a海里、2a海里，灯塔A在观察站的北偏东35°，灯塔B在观察站的南偏东25°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．3a海里B．a海里C．a海里D．a海里8．（5分）设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β9．（5分）不等式x2+x＜+对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，3）∪（2，+∞）B．（﹣6，1）C．（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）D．（﹣3，2）10．（5分）在一个数列中，如果对于所有的n∈N*，都有a n a n+1a n+2=k（k为常数），那么这个数列叫做“等积数列”，k叫做这个数列的“公积”．已知数列{a n}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则数列{a n}的前41项的和为（）A．91 B．92 C．94 D．9611．（5分）已知点A（3，4），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]∪[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[，3）D．[，3]12．（5分）定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，且函数y=f（x+1）为偶函数，设a=f（30.3），b=f（log5），c=f（0），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c二、填空题：本题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则sin2α=．14．（5分）若关于x，y的不等式组（a＞0）所表示的平面区域的面积为4，则a的值为．15．（5分）已知P是等腰直角△ABC的斜边BC上的动点，||=2，则•（+）=．16．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=g（x）恰有3个零点，则b的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等腰△ABC中，AB=AC，AB所在直线方程为2x+y﹣4=0，BC边上的中线AD所在直线方程为x﹣y+1=0，D（4，5）．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；（Ⅱ）求B点坐标及AC边所在直线方程．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，]时，求函数g（x）的最大值与最小值，并指出取得最值时的x的值．20．（12分）如图，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD=2，A 是PB中点．E是BC中点．现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB，连结PB．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAE；（Ⅱ）求AE与平面PDE所成角的正弦值．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，S n=2a n﹣1且n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（S n+1）（n∈N*），令T n=++…+，求T n．22．（12分）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），f（x）满足f（x+1）﹣f （x）=2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣mx，若对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|g（x1）﹣g（x2）|≤2成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年黑龙江省大庆四中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}【解答】解：A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，故A错误；B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误；C、M∩N={2}≠N，故C错误；D、M∩N={2}，故D正确．故选：D．2．（5分）如果等差数列{a n}中，a3=3，那么数列{a n}前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．30【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3=3，∴数列{a n}前5项的和为：．故选：A．3．（5分）已知直线l1：2x+y+1=0，l：4x+2y﹣1=0，则l1，l2之间的距离为（）A．B．C．D．2【解答】解：直线l1：2x+y+1=0化成4x+2y+2=0由平行两条直线之间的距离，得l1与l2的距离为d==故选：B．4．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则|+|=（）A．B．2 C．3 D．4【解答】解：平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，可得m=﹣4，|+|=|（﹣1，﹣2）|=．故选：A．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选：A．6．（5分）已知2x=3y=a，且+=2，则a的值为（）A．B．6 C．±D．36【解答】解：∵2x=3y=a，∴xlg2=ylg3=lga，∴，，∴2===，∴lga=lg6=，解得a=．故选：A．7．（5分）两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离分别为a海里、2a海里，灯塔A在观察站的北偏东35°，灯塔B在观察站的南偏东25°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．3a海里B．a海里C．a海里D．a海里【解答】解：依题意知∠ACB=180°﹣25°﹣35°=120°，在△ABC中，由余弦定理知AB==a．即灯塔A与灯塔B的距离为a．故选：B．8．（5分）设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β【解答】解：若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A错误；若γ⊥α且γ⊥β，则α与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与γ垂直），故B错误；若a∥α且a∥β，则与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与a平行），故C错误；若γ∥α且γ∥β，则α∥β，故D正确；故选：D．9．（5分）不等式x2+x＜+对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，3）∪（2，+∞）B．（﹣6，1）C．（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）D．（﹣3，2）【解答】解：不等式x2+x＜+对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，等价于x2+x ＜（+）min恒成立．当a，b∈（0，+∞）时，+，当且仅当a=3b时取等号．则有：x2+x＜6，解得：﹣3＜x＜2所以实数x的取值范围是（﹣3，2）．故选：D．10．（5分）在一个数列中，如果对于所有的n∈N*，都有a n a n+1a n+2=k（k为常数），那么这个数列叫做“等积数列”，k叫做这个数列的“公积”．已知数列{a n}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则数列{a n}的前41项的和为（）A．91 B．92 C．94 D．96【解答】解：依题意，数列{a n}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，∴a 1•a2•a3=8，即1×2a3=8，∴a3=4．同理可求a4=1，a5=2，a6=4，…∴{a n}是以3为周期的数列，∴a1=a4=a7=a10=a13=a16=a19=a22=a25=a28=a31=a34=a37=a40=1，a2=a5=a8=a11=a14=a17=a20=a23=a26=a29=a32=a35=a38=a41=2，a3=a6=a9=a12=a15=a18=a21=a24=a27=a30=a33=a36=a39=4．∴a1+a2+a3+…+a41=（1+2+4）×14﹣4=94．故选：C．11．（5分）已知点A（3，4），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]∪[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[，3）D．[，3]【解答】解：由题意得：点A（3，4），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则（k﹣3）（﹣4k+2）≤0，∴k∈（﹣∞，]∪[3，+∞），故选：B．12．（5分）定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，且函数y=f（x+1）为偶函数，设a=f（30.3），b=f（log5），c=f（0），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，且函数y=f （x+1）为偶函数，则f（x）=f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，故f（x）在（1，+∞）上单调递增．a=f（30.3）=f（2﹣30.3），b=f（log5）＜f（﹣2），c=f（0），且|﹣1|＞|0﹣1|＞|30.3﹣1|，∴b＞c＞a，故选：A．二、填空题：本题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则sin2α=．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故答案为：．14．（5分）若关于x，y的不等式组（a＞0）所表示的平面区域的面积为4，则a的值为1．【解答】解：不等式组（a＞0）所围成的区域如图所示．∵其面积为4，∴|AC|=4，∴C的坐标为（2，3），代入ax﹣y+1=0，解得a=1．故答案为：1．15．（5分）已知P是等腰直角△ABC的斜边BC上的动点，||=2，则•（+）=4．【解答】解：如图，∵||==2，∴•（+）=====4λ+4﹣4λ=4．故答案为：4．16．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=g（x）恰有3个零点，则b的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2﹣x）=，∵函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=g（x）恰有3个零点，∴方程b﹣f（2﹣x）=0有3个解，即函数y=f（2﹣x）与y=b的图象有3个交点，y=f（2﹣x）=，作函数y=f（2﹣x）与y=b的图象如下，结合图象可知，0＜b＜2，故答案为：（0，2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等腰△ABC中，AB=AC，AB所在直线方程为2x+y﹣4=0，BC边上的中线AD所在直线方程为x﹣y+1=0，D（4，5）．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；（Ⅱ）求B点坐标及AC边所在直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，AD⊥BC．因为l AD：x﹣y+1=0，所以BC边所在直线斜率k=﹣1，…（2分）又D（4，5），所以BC边所在直线方程为x+y﹣9=0．…（4分）（Ⅱ）联立直线AB，BC方程：，解得，所以B（﹣5，14）…（5分）联立直线AB，AD方程：，解得，所以A（1，2）；…（6分）因为D（4，5）是B点、C点中点，所以C（13，﹣4）．直线AC的斜率，…（8分）所以AC边所在直线方程为x+2y﹣5=0．…（10分）18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，所以2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，…（2分）因为sinB=sin（A+C）＞0，所以，…（4分）因为A∈（0，π），所以．…（6分）法二：由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及余弦定理得，整理得b2+c2﹣a2=bc，…（2分）从而，…（4分）因为A∈（0，π），所以．…（6分）（Ⅱ）△ABC的面积，故bc=4．…（8分）而a2=b2+c2﹣2bccosA=4，故b2+c2=8，…（10分）所以b=c=2．…（12分）19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，]时，求函数g（x）的最大值与最小值，并指出取得最值时的x的值．【解答】解：（Ⅰ）观察图象得，A=2．因为，所以T=π，ω=2．当x=0时，，，故．所以所求解析式为．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，故；当时，，，由正弦函数的性质可知，当即时，g（x）取得最大值2，当即时，g（x）取得最小值．20．（12分）如图，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD=2，A 是PB中点．E是BC中点．现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB，连结PB．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAE；（Ⅱ）求AE与平面PDE所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）△PAD中，PA⊥AD，又PA⊥AB，AD∩AB=A，所以PA⊥面ABCD．…（2分）又DE⊂面ABCD，所以PA⊥DE．…（3分）在直角△CDE中，，同理，所以AD2=AE2+DE2=4，所以AE⊥DE．…（4分）又PA∩AE=A，…（5分）所以DE⊥面PAE．…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥面PAE，而DE⊂面PDE，所以面PAE⊥面PDE．…（7分）在面PAE内，过A做AF⊥PE，垂足为F，因为面PAE⊥面PDE，面PAE∩面PDE=PE，所以AF⊥面PDE，…（9分）EF就是AE在面PDE内的射影，∠PEA就是AE和面PDE所成的角．…（10分）在Rt△PAE中，，，所以，即AE与平面PDE所成角的正弦值为．…（12分）21．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，S n=2a n﹣1且n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（S n+1）（n∈N*），令T n=++…+，求T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由S1=2a1﹣1，得a1=1．当n≥2时，S n=2a n﹣1，S n﹣1=2a n﹣1﹣1，=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1，则S n﹣S n﹣1所以，n≥2，故数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．（n∈N*）．（Ⅱ）因为，所以b n=log2（S n+1）=n，因为，所以===．22．（12分）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），f（x）满足f（x+1）﹣f （x）=2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣mx，若对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|g（x1）﹣g（x2）|≤2成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），f（x）满足f（x+1）﹣f （x）=2x﹣1，∴a（x+1）2+（b﹣2）（x+1）+3﹣ax2﹣（b﹣2）x﹣3=2x﹣1，即2ax+a+b﹣2=2x﹣1，∴2a=2且a+b﹣2=﹣1，解得a=1，b=0，∴f（x）=x2﹣2x+3，（Ⅱ）∵对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|g（x1）﹣g（x2）|≤2成立，∴g（x）max﹣g（x）min≤2，∵g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+3，∴对称轴为x=，①当≤1时，即m≤0时，函数g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）max=f（2）=3﹣2m，g（x）min=f（1）=2﹣m，∴3﹣2m﹣（2﹣m）≤2，解得﹣1≤m≤0，②当≥2时，即m≥2时，函数g（x）在[1，2]上单调递减，∴g（x）min=f（2）=3﹣2m，g（x）max=f（1）=2﹣m，∴2﹣m﹣（3﹣2m）≤2，解得2≤m≤3，③当1＜＜时，即0＜m＜1时，函数f（x）在[1，）为减函数，在（，2]为增函数，∴g（x）min=f（）=3﹣（m+2）2，g（x）max=f（2）=3﹣2m，∴3﹣2m﹣[3﹣（m+2）2]≤2，解得2﹣2≤m≤2+2，此时0＜m＜1，④当≤＜2时，即1≤m＜2时，函数f（x）在[1，）为减函数，在（，2]为增函数，∴g（x）min=f（）=3﹣（m+2）2，g（x）max=f（1）=2﹣m，∴2﹣m﹣[3﹣（m+2）2]≤2，解得﹣2≤m≤2，此时1≤m＜2，综上所述m的取值范围为[﹣1，3]。