2017年四川省绵阳市高考数学三诊试卷与解析PDF(理科)
绵阳市高中2017级(2019.10.31)第一次诊断性考试数学理科试题(PDF版,含答案答题卡)
绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ACDBB DBCAC AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．e 14．4π 15． 16．12m =−或m ≥0 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）22()(cos sin )2sin f x x x x =−−212sin cos 2sin x x x =−−cos 2sin 2x x =−)4x π+， ……………………………………………4分 ∴ T =22ππ=， 即()f x 的最小正周期为π. ……………………………………………………5分 ∵ cos y x =的单调递减区间为[2k π，2k ππ+]，k ∈Z ，∴ 由2k π≤2x +4π≤2k ππ+，k ∈Z ，解得8k ππ−≤x ≤38k ππ+，k ∈Z ， ∴ ()f x 的单调递减区间为[8k ππ−，38k ππ+]，k ∈Z ． ……………………7分（2）由已知0()=1f x −，可得0)14x π+=−， ………………………10分即0cos(2)4x π+=， 再由0()2x ππ∈−−，，可得0732()444x πππ+∈−−，， ∴ 05244x ππ+=−， 解得 03=4x π−．………………………………………………………………12分18．解：（1）∵ a n +2+a n =2a n +1，n ∈N *，即a n +2-a n +1=a n +1-a n ，∴ 数列{}n a 是等差数列.由1411+37a a a d ，===，解得112a d ，==，∴1=+(1)21n a a n d n −=−. ………………………………………………………4分 当1n =时，12b =，当n ≥2时，1122(22)n n n n n b S S +−=−=−−−1222222=n n n n n +−=⨯−=.∴ 数列{}n b 的通项公式为2n n b =．……………………………………………8分（2）由（1）得，212n n c n −=+，………………………………………………9分 3521(21)(22)(23)(2)n n T n −=++++++++ 3521(2222)(123)n n −=+++++++++ 2(14)(1)142n n n −+=+− 2122232n n n +−+=+． ……………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即B =π-(A +C )，∴ sin B =sin(A +C )，由题意得 cos B =sin B +1． …………………………………………………3分 两边平方可得2cos 2B =sin 2B +2sin B +1，根据sin 2B +cos 2B=1，可整理为3sin 2B+2sin B -1=0， 解得31sin =B 或sin B =-1（舍去）．……………………………………………5分 ∴ 31sin =B ． ……………………………………………………………………6分 （2）由2C A π−=，且A B C π++=， 可得22A B π=−，C 为钝角， ∴ sin 2cos A B =，又b =由正弦定理得sinsin a b c A C===∴a A =，c C =． 又C 为钝角，由（1）得cos B =． ………………………………………9分 ∴ △ABC 的面积为111sin 223S ac B A C ==⨯⨯⨯99sinsin()sin cos 222A A A A π=+= 999sin 2cos 444A B ==== 综上所述，△ABC 的面积为2． …………………………………………12分 20．解：（1）由题意得ln 244()1ln 2ln 2x f x x x +−==−++， ………………………2分 由x ≥1，知ln x ≥0，于是ln x +2≥2，∴ 10ln 2x <+≤12，即420ln 2x −≤−<+， ∴-1≤41ln 2x −+<1， ∴()f x 的值域为[-1，1)． ……………………………………………………5分(2)=+)()(21x f x f 2ln 412ln 4121+−++−x x 21=， 所以232ln 42ln 421=+++x x ． 又1211x x >>，，∴2121ln ln ln x x x x +=42ln 2ln 21−+++=x x ………………………………8分4)2ln 42ln 4()]2(ln )2[(ln 322121−+++⋅+++=x x x x 21124(ln 2)4(ln 2)2[8]43ln 2ln 2=x x x x ++++−++≥220(8433+−=， ……………………………………………11分 当且仅当21124(ln 2)4(ln 2)ln 2ln 2x x x x ++=++，即x 1=x 2时取“=”， 故20312min ()e x x =，∵ ()f x 在(1，+∞)上是增函数，∴ 137)(min 21=x x f ． ………………… ………………………………………12分 21．解：（1）由题意得e ()e 2(2)x x f x ax x a x '=−=−，令e ()xh x x=， 则2e (1)()x x h x x−'=． ……………………………………………………………2分 ∴ 当0<x <1时，得()h x '<0，此时()h x 单调递减，且x →0，()h x →+∞，当x >1时，得()h x '>0，此时()h x 单调递增，且x →+∞，()h x →+∞， ∴ ()h x min =h (1)=e ．①当2a ≤e ，即a ≤e 2时，()f x '≥0，于是()f x 在(0，+∞)上是增函数， 从而()f x 在(0，+∞)上无极值．②当2a >e ，即a >e 2时，存在0<x 1<1<x 2，使得1()f x '=2()f x '=0， 且当x ∈(0，x 1)时，()f x '>0，()f x 在(0，x 1)上是单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，()f x '<0，()f x 在(x 1，x 2)上是单调递减；当x ∈(x 2，+∞)时，()f x '<0，()f x 在(x 2，+∞)上是单调递增，故x 2是()f x 在(0，+∞)上的极小值． 综上，e 2a >． …………………………………………………………………6分 （2）要证f (x )>ax (ln x -x )即等价于证明e x >ax ln x ．①当0<x ≤1时，得e x >1，ax ln x ≤0，显然成立； ………………………………………………………………………7分 ②当x >1时，则x ln x >0，结合已知0<a ≤2e 2，可得0<ax ln x ≤2e 2x ln x ．于是问题转化为证明e x >2e 2x ln x ， 即证明22e ln 0x x x−−>． …………………………………………………………8分 令22e ()ln 1x g x x x x−=−>，， 则222e (1)()x x x g x x −−−'=， 令2()2e (1)x h x x x −=−−，则2()2e 1x h x x −'=−，易得()h x '在(0)+∞，上单调递增. ∵2(1)=10(2)=30eh h ''−<>，， ∴存在0(12)x ∈，使得0()=0h x '，即0202e 1x x −=. ∴()h x 在区间(1，0x )上单调递减，在区间(0x ，+∞)上单调递增， ………………………………………10分 又(1)=10(2)=0h h −<，，∴当(12)x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(2)x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()g x ≥(2)g =1-ln2>0，故g (x )>0，问题得证． ……………………………………………………12分22．解：（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=，∴ 曲线C 的普通方程为224x y +=． …………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴ 代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． ………………………………5分（2）把=3πθ代入ρcos(6πθ−)=3中， 可得ρcos(36ππ−)=3，解得ρ=，即B 点的极径B ρ=，由（1）易得A ρ=2，∴ |AB |=|A ρ-B ρ|=-2． ………………………………………………10分23．解：（1）当m =2时，f (x )=︱x -2︱+︱x+1︱-5．当x ≤-1时，()(2)(1)50f x x x =−−−+−≥，解得x ≤-2； ……………………………………………………………………1分 当-1<x <2时，()(2)15f x x x =−−++−≥0，无解． ……………………………………………………………………………3分 当x ≥2时，()215f x x x =−++−≥0，解得x ≥3； ……………………………………………………………………4分综上，原不等式的解集为(2][3)−∞−+∞，，． ………………………………5分 （2）∵()|||1|5f x x m x =−++−≥|()(1)|5x m x −−+−|1|5m =+−≥-2，∴ |1|m +≥3， …………………………………………………………………8分 ∴ m +1≥3或m +1≤-3，即m ≥2或m ≤-4，∴ 实数m 的取值范围是(−∞，-4][2)+∞，． ……………………………10分。
绵阳市2017届高三第三次诊断性考试数学精彩试题(理)含问题详解
市高中2014级第三次诊断性考试数学〔理工类〕第1卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每一小题5分,共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.R U =，}02{2<-=x x x A ，}1{≥=x x B ，如此=)(B C A U ( )A ．),0(+∞ B. )1,(-∞ C ．)2,(-∞ D ． 〔0,1〕2. i 是虚数单位，如此=+ii12 ( ) A ．1 B ．22 C ．2 D ．23. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，如此当你到达该路口时，看见不是．．黄灯的概率是( ) A ．1514 B 151． C. 53 D ．214. 等比数列}{n a 的各项均为正数，且4221=+a a ，73244a a a =，如此=5a ( )A ．161 B ．81C. 20D. 40 5. 正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且BM BC 3=，N 为DC 的中点，如此=•BN AM ( )A ．-6B ．12 C.6 D ．-126. 在如下列图的程序框图中，假如函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-),0(2),0)((log )(21x x x x f x如此输出的结果是( )A ．16B ．8 C.162 D ．827. 函数)cos(4)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω<<>为奇函数，)0,(a A ，)0,(b B 是其图像上两点，假如b a -的最小值是1，如此=)61(f ( )A ．2B ． -2 C.23 D ．23-8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵〞的记载，“堑堵〞“堑堵〞被一个平面截去一局部后，剩下局部的三视图如下列图，如此剩下局部的体积是 ( )A ．50B ．759. 函数x m x m x f sin )2(2cos 21)(-+=，其中21≤≤m .假如函数)(x f 的最大值记为)(m g ，如此)(m g 的最小值为( )A ．41-B ．1 C.33- D ．13- F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.O 为坐标原点，D 为C 上一点，x DF ⊥A 的直线l 与线段DF 交于点E ，与y 轴交于点M ,直线BE 与y 轴交于点N ，假如ON OM 23=，如此双曲线C 的离心率为〔 ) A ．3 B ．4 C.5 D ．611. 三棱锥ABC P -中，PA ，PB ，PC 互相垂直，1==PB PA ，M 是线段BC 上一动点，假如直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是26，如此三棱锥ABC P -的外接球外表积是( )A ．π2B ．π4 C. π8 D ．π1612. 函数3ln 2)(2+-=ax x x f ，假如存在实数]5,1[,∈n m 满足2≥-m n 时，)()(n f m f =成立，如此实数a 的最大值为( )A ．83ln 5ln - B ．43ln C. 83ln 5ln + D ．34ln 第2卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分为20分，将答案填在答题纸上〕yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥,5,02,0yxyxy，如此yx2+的最小值是．M的直线：021=-+-kykx与圆：9)5()1(22=-++yx相切于点N，如此=MN．nyxx)2(2-+的展开式中各项系数的和为32，如此展开式中25yx的系数为．〔用数字作答〕}{na的前n项和为nS，假如2a，5a，11a成等比数列，且)(211nmSSa-=),,0(*∈>>Nnmnm，如此nm+的值是．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17. 在ABC∆中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acbca3)(22+=+. 〔Ⅰ〕求角B的大小；〔Ⅱ〕假如2=b，且AACB2sin2)sin(sin=-+，求ABC∆的面积.“年轻人〞〔20岁~39岁〕和“非年轻人〞〔19岁与以下或者40岁与以上〕两类，将一周使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户〞，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户〞.在“经常使用单车用户〞中有65是“年轻人〞.〔Ⅰ〕现对该市市民进展“经常使用共享单车与年龄关系〞的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全如下22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用单车用户120不常使用单车用户80合计 160 40 200〔Ⅱ〕将频率视为概率，假如从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人〞人数为随机变量X ，求X 的分布与期望. 〔参考数据：独立性检验界值表)(02k K P ≥0k其中，))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，d c b a n +++=〕19. 矩形ADEF 和菱形ABCD 所在平面互相垂直，如图，其中1=AF ，2=AD ，3π=∠ADC ，点N 是线段AD的中点.〔Ⅰ〕试问在线段BE 上是否存在点M ，使得直线//AF 平面MNC ？假如存在，请证明//AF 平面MNC ，并求出MEBM的值；假如不存在，请说明理由；〔Ⅱ〕求二面角D CE N --的正弦值.)0,2(-E ，点P 是圆F ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线交FP 于点M ，点M 的轨迹记为曲线C . 〔Ⅰ〕求曲线C 的方程；〔Ⅱ〕过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点,交y 轴于点N ，AF m NA =，BF n NB =，求n m +的值.21. 函数4ln )(-+=x x x p ，)()(R a axe x q x∈=.〔Ⅰ〕假如e a =，设)()()(x q x p x f -=，试证明)(x f '存在唯一零点)1,0(0ex ∈，并求)(x f 的最大值；〔Ⅱ〕假如关于x 的不等式)()(x q x p <的解集中有且只有两个整数，数a 的取值围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ααsin 3,cos 31y x 〔α为参数〕.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1=ρ.〔Ⅰ〕分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕假如射线l 的极坐标方程)0(3≥=ρπθ，且l 分别交曲线1C 、2C 于A 、B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲函数633)(-+-=x a x x f ，12)(+-=x x g . 〔Ⅰ〕1=a 时，解不等式8)(≥x f ；〔Ⅱ〕假如对任意R x ∈1都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，数a 的取值围.市高2014级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答与评分标准一、选择题1-5: CDABA 6-10: ABDDC 11、12：BB二、填空题13. 0 14. 4 15.120 16. 9三、解答题17.解：〔Ⅰ〕 把ac b c a 3)(22+=+整理得，ac b c a =-+222,由余弦定理有acb c a B 2cos 222-+=212==ac ac , ∴3π=B .〔Ⅱ〕ABC ∆中，π=++C B A ，即)(C A B +-=π，故)sin(sin C A B +=， 由A A C B 2sin 2)sin(sin =-+可得A A C C A s 2sin 2)sin()sin(=-++, ∴++C A C A sin cos cos sin A C A C sin cos cos sin -A A cos sin 4=,整理得A A C A cos sin 2sin cos =. 假如0cos =A ，如此2π=A ，于是由2=b ，可得332tan 2==B c ， 此时ABC ∆的面积为33221==bc S . 假如0cos ≠A ，如此A C sin 2sin =， 由正弦定理可知，a c 2=，代入ac b c a =-+222整理可得432=a ，解得332=a ，进而334=c ，此时ABC ∆的面积332sin 21==B ac S . ∴综上所述，ABC ∆的面为332. 18.解：〔Ⅰ〕补全的列联表如下：于是100=a ，20=b ，60=c ，20=d ，∴4016080120)206020100(20022⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 072.2083.2>≈， 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人〞占样本总数的频率为%10%10020020=⨯，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人〞的概率为0.1， ∵)1.0,3(~B X ,,3,2,1,0=X∴729.0)1.01()0(3=-==X P ，001.01.0)3(3===X P ， ∴X 的分布列为∴X 的数学期望3.01.03)(=⨯=X E .19.解：〔Ⅰ〕作FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点.证明：连接PN ，∵N 是AD 的中点，P 是FE 的中点， ∴AF PN //，又⊂PN 平面MNC ，⊄AF 平面MNC ， ∴直线//AF 平面MNC . ∵AD PE //，BC AD //， ∴BC PE //， ∴2==PEBCME BM . 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知AD PN ⊥，又面⊥ADEF 面ABCD ，面 ADEF 面AD ABCD =，⊂PN 面ADEF ， 所以⊥PN 面ABCD . 故AD PN ⊥，NC PN ⊥.以N 为空间原点，ND ，NC ，NP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系xyz N -， ∵3π=∠ADC ，2==DC AD ，∴ADC ∆为正三角形，3=NC ，∴)0,0,0(N ，)0,0,3(C ，)0,1,0(D ，)1,1,0(E ，∴)1,1,0(=NE ，)0,0,3(=NC ，)1,0,0(=DE ，)0,1,3(-=DC ，设平面NEC 的一个法向量),,(1z y x n =，如此由01=•n ，01=•n 可得⎩⎨⎧==+,03,0x z y 令1=y ，如此)1,1,0(1-=n . 设平面CDE 的一个法向量),,(1112z y x n =，如此由02=•n ，02=•n 可得⎩⎨⎧=-=,03,0111y x z 令11=x ，如此)0,3,1(2=n .如此46223,cos 212121==•=n n n n n n ， 设二面角D CE N --的平面角为θ，如此410)46(1sin 2=-=θ， ∴二面角D CE N --的正弦值为410. 20.解：〔Ⅰ〕由题意知，MP MF ME =+46=>==+EF r MF ，故由椭圆定义知，点M 的轨迹是以点E ，F 为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为3=a ，短半轴长为52322=-=b ，∴曲线C 的方程为：15922=+y x . 〔Ⅱ〕由题意知)0,2(F ，假如直线AB 恰好过原点，如此)0,3(-A ，)0,3(B ，)0,0(N ， ∴)0,3(-=NA ，)0,5(=AF ，如此53-=m ， )0,3(=，)0,1(-=，如此3-=n ，∴518-=+n m . 假如直线AB 不过原点，设直线AB ：2+=ty x ，0≠t ，),2(11y ty A +，),2(22y ty B +，)2,0(tN -.如此,2(1+=ty NA )21t y +，),(11y ty AF --=，,2(2+=ty NB )22ty +，),(22y ty BF --=，由m =，得)(211y m t y -=+，从而121ty m --=； 由n =，得)(222y n t y -=+，从而221ty n --=；故=+n m 121ty --)21(2ty --+)11(2221y y t +--=212122y y y y t +⨯--=. 联立方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,159,222y x ty x 整理得02520)95(22=-++ty y t ， ∴9520221+=+t t y y ，9525221+=t y y ， ∴=+n m 212122y y y y t +⨯--518582252022-=--=⨯--=t t . 综上所述，518-=+n m . 21.〔Ⅰ〕证明：由题意知x exe x x x f --+=4ln )(，于是=+-+='xe x e x xf )1(11)(xexe x e x e x x x x )1)(1()1(1-+=+-+令x exe x -=1)(μ，)0(0)1()(><+-='x e x e x x μ， ∴)(x μ在)0(∞+上单调递减.又01)0(>=μ，01)1(1<-=e e eμ，所以存在)1,0(0ex ∈，使得0)(0=x μ， 综上)(x f 存在唯一零点)1,0(0ex ∈.解：当),0(0x x ∈，0)(>x μ，于是0)(>'x f ，)(x f 在),0(0x 单调递增； 当),(0+∞∈x x ，0)(<x μ，于是0)(<'x f ，)(x f 在),(0+∞x 单调递减； 故00000max 4ln )()(xe ex x x xf x f --+==， 又01)(000=-=x eex x μ，001x x e e =，00ln 11ln 0x ex x --==， 故)ln 1(ln )(00max x x x f --+=615140-=--=•--ex ex . 〔Ⅱ〕解：)()(x q x p >等价于xaxe x x >-+4ln .x axe x x >-+4ln x x xe x x xe x x a 4ln 4ln -+=-+<⇔， 令x xe x x x h 4ln )(-+=，如此x ex x x x x h 2)5)(ln 1()(-++='， 令5ln )(-+=x x x ϕ，如此011)(>+='xx ϕ，即)(x ϕ在),0(+∞上单调递增. 又023ln )3(<-=ϕ，04ln )4(>=ϕ，∴存在),0(t t ∈，使得0)(=t ϕ.∴当),0(t x ∈，)(0)(0)(x h x h x ⇒>'⇒<ϕ在),0(t 单调递增；当),(+∞∈t x ，)(0)(0)(x h x h x ⇒<'⇒>ϕ在),(+∞t 单调递减. ∵03)1(<-=e h ，0222ln )2(2<-=eh ，0313ln )3(3>-=e h ， 且当3>x 时，0)(>x h ， 又e h 3)1(=，>-=222ln 2)2(e h 3313ln )3(e h -=，44ln 2)4(e h =， 故要使不等式)()(x q x p >解集中有且只有两个整数，a 的取值围应为≤≤-a e 3313ln 222ln 2e-. 22.解：〔Ⅰ〕将1C 参数方程化为普通方程为3)1(22=+-y x ，即02222=--+x y x ， ∴1C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ.将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为122=+y x . 〔Ⅱ〕将3πθ=代入1C ：02cos 22=--θρρ整理得022=--ρρ， 解得21=ρ，即21==ρOA .∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆， ∴射线)0(3≥=ρπθ与2C 相交，即12=ρ，即12==ρOB . 故11221=-=-=ρρAB .23.解：〔Ⅰ〕当31≤x 时，x x f 67)(-=，由8)(≥x f 解得61-≤x ，综合得61-≤x ，当231<<x 时，5)(=x f ，显然8)(≥x f 不成立， 当2≥x 时，76)(-=x x f ，由8)(≥x f 解得25≥x ，综合得25≥x ， 所以8)(≥x f 的解集是),25[]61,(+∞--∞ . 〔Ⅱ〕633)(-+-=x a x x f a x a x -=---≥6)63()3(， 112)(≥+-=x x g ， ∴根据题意16≥-a ，解得7≥a ，或5≤a .。
2017年四川省高考数学试卷与解析word(理科)(全国新课标Ⅲ)
2017年四川省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB． C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣ B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
2017届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学（理）试题一、选择题1．已知全集，，，则 ( )A. B. C. D. （0,1）【答案】C【解析】由题意得，集合，，所以，所以，故选C.2．已知是虚数单位，则 ( )A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】由题意得，故选D.3．某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是．．黄灯的概率是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，看见不是黄灯的时间为秒，所以不是黄灯的概率为，故选A.4．等比数列的各项均为正数，且，，则 ( )A. B. C. 20 D. 40【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由，则，所以，又因为数列的各项均为正数，所以，又因为，所以，解得，所以，故选B.5．已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则 ( )A. -6B. 12C. 6D. -12【答案】A【解析】由题意得，建立如图所示的直角坐标系，因为为的中点，则，所以，所以，故选A.6．在如图所示的程序框图中，若函数则输出的结果是( )A. 16B. 8C.D.【答案】A【解析】由题意得，当时，第1次循环得：，，第2次循环：，，第3次循环：，，第4次循环：，，故选A.7．已知函数为奇函数，，是其图像上两点，若的最小值是1，则 ( )A. 2B. -2C.D.【答案】B【解析】由题意得为奇函数，所以，所以，所以，又，是其图像上两点，若的最小值是，所以，解得，所以，所以，即，所以，故选B.8．已知函数，其中.若函数的最大值记为，则的最小值为( )A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】由题意得设，即，所以二次函数开口向下，对称轴为，所以函数的最大值为，因为，所以，所以的最小值为.9．已知是双曲线：的右焦点，，分别为的左、右顶点. 为坐标原点，为上一点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点,直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】由题意得，因为轴，设，则在中，，所以，又中，，所以，又由，即，解得，所以.10．三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，过点作，连接，则为直线与平面所成最大角，设，则中，，所以，解得，此时可把该三棱锥补成一个长方体，所以长方体的对角线长等于球的直径，即，所以球的表面积为，故选B.点睛：本题主要考查了的直线与平面所成的角的应用和组合体的性质等知识点，解答此类问题的关键在于正确作出几何体的结构图，找到线面角的最大值，确定的长，进而利用组合体得到球的直径，计算球的表面积.11．已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，定义域为，则，当时，恒成立，不符合要求，当时，由，得，因为存在时，成立，所以，此时在上递增，在单调递减，由于，①当，即是，只需，即，所以；②当，即时，只需，即，所以综上所述，所以实数的最大值为.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，解答的关键在于正确的理解题设条件，转化为函数的单调性与极值（最值）的应用，其中根据值之间的关系是解答本题的难点.二、填空题12．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 ( )A. 50B. 75C. 25.5D. 37.5【答案】D【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥，所得的几何体，所以截去后剩余的几何体的体积为，故选D.13．若实数满足则的最小值是__________．【答案】2【解析】由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设，则，当直线过原点时，目标函数取得最小值，此时最小值为.14．过定点的直线：与圆：相切于点，则________．【答案】4【解析】由直线，即，直线经过点，又圆，则圆心坐标，半径为所以，所以.15．已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】120【解析】由题意得，令，则，解得，即展开式的通项为，令，则，又二项式的展开式中项为，所以展开式中的系数为.点睛：本题主要二项展开式的通项的应用，本题解答的关键在于把三项式转化为二项式，再利用二项式的展开式的通项，找到的系数，其中合理转化为二项式问题时解答的难点.16．设公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，且，则的值是__________．【答案】9【解析】由题意得，因为成等比数列，得，即，解得，又，所以，整理得，因为且为整数，所以且，所以点睛：本题主要考查了等差、等比数列的通项公式以及数列的求和问题，其中利用题设条件，利用等差数列的求和公式得出是解答的关键，再根据且为整数进行整体赋值和代换是解答的难点.三、解答题17．在中，，，分别是内角，，的对边，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理有，即可得到.（Ⅱ）在中，利用两角和与差的三角函数，得到，再由正弦定理，得，即可求得，进而，利用三角形的面积公式求解三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）把整理得，,由余弦定理有,∴.（Ⅱ）中，，即，故，由已知可得,∴,整理得.若，则，于是由，可得，此时的面积为.若，则，由正弦定理可知，，代入整理可得，解得，进而，此时的面积.∴综上所述，的面为.18．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布与期望.（参考数据：其中，，）【答案】（1）有85%的把握（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）补全的列联表，利用公式求得，即可得到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.于是，，，，∴，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，∵,∴，，∴的分布列为∴的数学期望.19．已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，，点是线段的中点.（Ⅰ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）连接，得，进而得到直线平面，利用平行线的性质.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，进而得到面，得到，，以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的大小.试题分析：（Ⅰ）作的中点，连接交于点，点即为所求的点.证明：连接，∵是的中点，是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面.∵，，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又面面，面面，面，所以面.故，.以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，∵，，∴为正三角形，，∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，则由，可得令，则.设平面的一个法向量，则由，可得令，则.则，设二面角的平面角为，则，∴二面角的正弦值为.20．已知点，点是椭圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，，利用椭圆的定义，即可得到椭圆的标准方程.（Ⅱ）由题意知，当直线恰好过原点，可求得.当直线不过原点，设直线：，得到，联立方程组，利用根与系数的关系和韦达定理，得到.试题解析：（Ⅰ）由题意知，，故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，∴曲线的方程为：.（Ⅱ）由题意知，若直线恰好过原点，则，，，∴，，则，，，则，∴.若直线不过原点，设直线：，，，，.则，，，，由，得，从而；由，得，从而；故.联立方程组得：整理得，∴，，∴.综上所述，.21．函数，.（Ⅰ）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，求得，令，，进而判定出函数的单调性，求得函数的最大值.（Ⅱ）由题意等价于，令，求得，令，则，即在上单调递增，求得，，的值，进而得到实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）证明：由题意知，于是令，，∴在上单调递减.又，，所以存在，使得，综上存在唯一零点.解：当，，于是，在单调递增；当，，于是，在单调递减；故，又，，，故.（Ⅱ）解：等价于.，令，则，令，则，即在上单调递增.又，，∴存在，使得.∴当，在单调递增；当，在单调递减.∵，，，且当时，，又，，，故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两点，求.【答案】（1）（2）1【解析】试题分析：（Ⅰ）将参数方程化为普通方程为，进而得到的极坐标方程，再得极坐标方程化为直角坐标方程为.（Ⅱ）将代入解得，即，进而得到，即可求得的值.试题解析：（Ⅰ）将参数方程化为普通方程为，即，∴的极坐标方程为.将极坐标方程化为直角坐标方程为.（Ⅱ）将代入：整理得，解得，即.∵曲线是圆心在原点，半径为1的圆，∴射线与相交，即，即.故.23．选修4-5：不等式选讲已知函数，.（Ⅰ）时，解不等式；（Ⅱ）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2），或.【解析】试题分析：（Ⅰ）去掉绝对值号，分类讨论，解求解不等式的解集；（Ⅱ）由绝对值不等式得，，得，即可求解实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当时，，由解得，综合得，当时，，显然不成立，当时，，由解得，综合得，所以的解集是.（Ⅱ），，∴根据题意，解得，或.。
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ）A ．}2,1{B ．}3,2{C ．}3,2,1{D ．}4,3,2{【答案】A2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R xB ．01,0200≤+-∉∃x x R xC ．01,2≤+-∈∀x x R xD ．01,0200≤+-∈∃x x R x【答案】D【解析】试题分析：p ⌝为01,0200≤+-∈∃x x R x ，选D. 考点：命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B考点：等差数列4.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 【答案】C【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中11(0,0),(1,0),(,)22A B C ，所以直线y x z +=2过点B 时取最大值2，选C.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.设命题p ：1)21(<x ，命题q ：1ln <x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元【答案】B【解析】试题分析：设购买的商品的标价为x ，则(200)20%10%;(200)20%30;400,350400x x x x x x -⨯>⋅-⨯>⇒>>⇒>，选B.考点：不等式应用7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ）A ．6π个单位B ．3π个单位C ．4π个单位D ．12π个单位 【答案】A【解析】试题分析：因为()sin 222sin(2)3f x x x x π=+=+，所以可将x y 2sin 2=的图象向左平移3=26ππ，选A.考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z). 8.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ）A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos =C ．02cos 22cos =+αβD ．αβ2cos 22cos =【答案】D9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=++543a a a （ ）A ．7B ．87 C ．45 D ．14 【答案】A【解析】 试题分析：23412345113111111(),()2(),(2)2()1,2()2,2()4,242222222a f a f f a f f a f a f ======+======，所以3451247a a a ++=++=，选A.考点：函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系10.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．1【答案】C考点：余弦定理11.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若m =，n =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A ．56B ．512C ．524D ．548【答案】C【解析】 试题分析：232555AP AC DP DA DC =⇒=+,设DP xDM yDN =+,则1x y +=，又DP mxDA ynDC =+,所以3232,15555mx ny m n ==⇒+=，因此3219412423(23)()(12)(1255555n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当23m n =时取等号，选C. 考点：向量表示，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞- D ．),212(+∞- 【答案】A二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=，)1,2(=，)1,(x =满足条件-3与垂直，则=x .【答案】1【解析】试题分析：(3)0(1,1)(,1)01a b c x x -⋅=⇒-⋅=⇒=考点：向量垂直【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .【答案】13考点：等差数列15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x e y 41-=平行，则)(x f 的极值点是 .【答案】e【解析】 试题分析：2(1ln )()a x f x x -'=，所以244(12)1()1a f e a e e-'==-⇒=，因此)(x f 的极值点是1ln 0,x x e -== 考点：导数几何意义，函数极值【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .【答案】3-≤t 或1≥t 或0t =【解析】试题分析：由题意得0x <时，3()()f x f x x =-=-，即3()||f x x =，因此33(3)8()|3|8|||3|2||f x t f x x t x x t x -≥⇒-≥⇒-≥，当0t =时，x R ∈,满足条件；当0t >时，5t x t x ≥≤-或,要满足条件，需2123150t t t t t t ⎧-≥+≤-⎪⇒≥⎨⎪>⎩或；当0t <时，5t x x t ≥-≤或,要满足条件，需2123350t t t t t t ⎧-≥-+≤⎪⇒≤-⎨⎪<⎩或；综上实数t 的取值范围是3-≤t 或1≥t 或0t = 考点：不等式恒成立【思路点睛】求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+考点：求三角函数解析式，给值求值【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）12-=n n a （2）)643[∞+， 【解析】试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥n n 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n n n n n n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ． 试题解析：(1)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．……………………………2分由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ，两式相减得122--=n n n a a a ，化简得12-=n n a a （n ≥2），∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起. 19.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心.（1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； （2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.【答案】（1（2）552sin =B 【解析】考点：向量投影，正弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：4.12≈，4.26≈）（2）若存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）有且只有1个零点（2）π22<k(2)由题意等价于x x x cos sin +x kx cos 2+>，整理得x x k sin <．…………7分 令x x x h sin )(=，则2sin cos )(xx x x x h -='， 令x x x x g sin cos )(-=，0sin )(<-='x x x g ，∴g(x)在)24(ππ，∈x 上单调递减， …………………………………………9分 ∴0)14(22)4()(<-⨯=<ππg x g ，即0sin cos )(<-=x x x x g ， ∴0sin cos )(2<-='x x x x x h ，即xx x h sin )(=在)24(ππ，上单调递减， ……11分 ∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x-=)(.（1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a-，；单调递减区间是)21(∞+-，a．（2）m ≥e 3．②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然x me x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x x me x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='xme x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e ， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e eme x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.【答案】（1）24y x =（2）∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=.（1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<<(2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分于是由题意可得11a -<<．…………10分考点：绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．：。
四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性测试理科数学试卷含答案
绵阳市高中2017级第二次诊断性考试理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集{}|0U x x =>，{}2|1x M x e e =<<，则U C M =（ ） A . ()1,2B . ()2,+∞C . (][)0,12,+∞UD . [)2,+∞2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A . 2i - B . 2i + C . 12i -D . 2i -3. 已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A . ()1,5-B . ()1,5-C . ()5,1-D . ()5,1-4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A .18B .14C .38D .125. 已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要6. 若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A . -80B . -10C . 10D . 807. 已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A . m 的值是20B . 该回归直线过点()2,22C . 产品的销售额与广告费用成正相关D . 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元8. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A .B . 2C .D . 39. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（ ） A . 1B . 2C . 3D . 410. 已知圆C ：2268410x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（ ）A . 8B .C . 4D . 11. 已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A . 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B . ()0,2C . ()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D . ()2,+∞12. 函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A . 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B . [)3,+∞C . ()[)1,23,+∞UD . [)2,3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______.14. 法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______.15. 函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.16. 过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：5NA AF =u u u r，则ABF ∆与AMN ∆的面积之和的最小值是______. 三、解答题：共70分。
四川省绵阳市2017级高三第三次诊断性测试理科数学试题 含答案
理科数学注意事项21.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷土无效。
3.考试结束后，将答题卡交回．－、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的。
1.设集合A={(x,y) I x 2 + y 2 = 1}, B=｛衍，y)lx+户l｝，则A门B中元素的个数是A.0B.12.己知复数z 满足(l-i)·Z =I 占＋i I ，则FA.1-iB.l+i 3.己知x·log 32=1，则4-r =c.2 D.3c.2-2i D.2+2iA.4B.6C .41鸣／ D.94.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、0、AB 血型与COV ID-19易感性存在关联，具体调查数据统计如下：武汉市36’4名正常人血型占比武汉市1775名C OVID-19患者血型占比40.00o/o32.16%30.00%→气20.00o/o --f ·←－－r I10.00%寸．·卜寸．｜0.00%汇l 自I AB O根据以上调查数据，则下列说法错误的是A.与非0型血相比，0型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低B.与非A 型血相比，A 型血人群对CO VI D -19相对易感，风险较高c�与A 型血相比，非A 型血人群对C OVID-19都不易感，没有风险D.与0型血相比，B型、AB 型血人群对COVI D -19的易感性要高理科数学试题第1页（共4页〉四川省绵阳市2017级高三第三次诊断性测试。
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题及答案(超清)
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}3,2{ C ．}3,2,1{ D ．}4,3,2{2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R xB ．01,0200≤+-∉∃x x R x C ．01,2≤+-∈∀x x R x D ．01,0200≤+-∈∃x x R x3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．114.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 5.设命题p ：1)21(<x，命题q ：1ln <x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ） A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位8.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ） A ．αβcos 2cos = B ．αβ22cos 2cos =C ．02cos 22cos =+αβD ．αβ2cos 22cos =9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=++543a a a （ ） A ．7 B ．87 C ．45D ．1410.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．111.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若m =，DC n DN =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A ．56 B ．512 C ．524 D ．54812.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞-二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=a ，)1,2(=b ，)1,(x c =满足条件-3与垂直，则=x . 14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x ey 41-=平行，则)(x f 的极值点是 .16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数k 的取值范围.19.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心. （1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； （2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：4.12≈，4.26≈）（2）若存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，求实数k 的取值范围.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x-=)(. （1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=. （1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题答案一、选择题1、A2、D3、B4、C5、B6、B7、A8、D9、A 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、1 14、 13 15、e 16、3t ≤-或1t ≥或0t = 三、解答题17、【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+ 【解析】试题分析：（1）由图像最值关系确定振幅2=A ，由最值点与相邻零点之间横坐标距离为四分之一周期得213165424=-==ωπT ，解得πω=，最后根据最值坐标求初始角：由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，62ππϕ+=k 又2πϕ<，可得6πϕ=（2）先根据34)(=παf 得32)6sin(=+πα，再根据给值求值，将欲求角化为已知角]6)6cos[(cos ππαα-+=，最后根据同角三角函数关系以及两角差余弦公式求结果：35)32(1)6cos(2=-=+πα，]6)6cos[(cos ππαα-+=6sin)6sin(6cos)6cos(ππαππα+++=6215+考点：求三角函数解析式，给值求值n 64【解析】试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥nn 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ．(2)由(1)n k S +≥29n -，整理得k ≥nn 292-， 令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ， ………………………8分 n=1，2，3，4，5时，0221111>-=-++n n n nb b ，∴54321b b b b b <<<<．………10分n=6，7，8，…时，0221111<-=-++n n n nb b ，即⋅⋅⋅>>>876b b b ．∵b 5=321<6436=b ， ∴n b 的最大值是6436=b ．∴实数k 的取值范围是)643[∞+，．…………………………………………12分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值5试题解析：(1)由54cos =A 得53sin =A ，∴5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分(2)由AC AB DA DO 4131+=-， 可得AC AB AO 4131+=，于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131， ……………………………………5分即OAC OAB ∠∠=2，①又O 为△ABC 的的外接圆圆心，则OAB ∠，OAC ∠，②…………………………7分将①代入②得到28161+=1288114461⨯+⨯=401624=+=解得102=．……………………………………………………………10分由正弦定理得1042sin ===R B b ， 可解得552sin =B ．…………12分 考点：向量投影，正弦定理20、【答案】（1）有且只有1个零点（2）π22<k【解析】试题分析：（1）判定函数零点个数从两个方面，一是函数单调性，二是函数零点存在定理，先求函数导数()cos f x x x '=，确定函数在(2，3)上是减函数，即函数在(2，3)上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，得函数在(2，3)上至少一个零点，综上可得函数在(2，3)上有且仅有一个零点（2）先将不等式变量分离得：xxk sin <，再根据不等式有解问题转化为对应函数最值：x xk sin <的最大值，然后利用导数求函数xx x h sin )(=在)2,4(ππ∈x 上最大值试题解析：(1)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴)32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ，∴函数)(x f 在(2，3)上是减函数． ……2分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ， ……4分∵75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos -≈+-=--=-=<ππππ，∴03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上只有1个零点．…………………6分∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解21、【答案】（1）a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a -，；单调递减区间是)21(∞+-，a ．（2）m ≥e3．（2）先化简不等式：2()ln 10x m e e x x ---+>，再变量分离转化为求对应函数最值：2ln 1x x x m e e +->-的最大值，利用导数求函数2ln 1x x x y e e+-=-最值，但这样方法要用到洛必达法则，所以直接研究=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x 单调性及最值，先求导数=')(x h x xme x 21--，再研究导函数符号变化规律：当m ≤0时，导函数非正，所以)(x h 在)1(∞+，上单调递减，注意到(1)=0h ，)(x h <h(1)= 0，不满足条件．当m>0时,讨论x x q xme x p x 2)(1)(=-=，大小关系，即确定导函数符号规律，注意到(1)=0h ，(),()p x q x 皆为单调递增函数，所以3(1)(1)p q m e≥⇒≥，从而导函数符号为正，即满足条件(2)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ，令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m=e 3． ①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x x me x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴)(x h <h(1)= 0，不满足条件． ……………………………………………6分 ②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x xme x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='x me x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e e me x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e 3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围22、【答案】（1）24y x =（2）【解析】试题分析：（1）根据sin ,cos y x ρθρθ==将曲线极坐标方程化为直角坐标方程：24y x =（2）根据直线参数方程几何意义得12PA PB t t +=-入曲线方程24y x =，利用韦达定理代入化简得结果试题解析：(1)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为24y x =．………………………………………………………4分(2)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+， 整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分∵01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间， ∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23、【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<<试题解析：(1)∵1=a 时，111)(+--+=x x x f ，∴当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负．当-1<x<1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x<1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立． ∴不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分(2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分 于是由题意可得11a -<<．…………10分 考点：绝对值定义。
四川绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学试题解析版(16页)
秘密★启用前【考试时间：2019年10月31日15:00-17：00】注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，0}4x -x |{x 2≤=B ，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2=≤=B ，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。
特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学否满足元素的互异性．2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ）A.ba 11< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 【答案】C【解析】由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾.【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。
||||||||||b a b a b a -≥+≥+ 3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.2)(x x f = B.x x f =)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(= 【答案】D【解析】B.的定义域为[)∞+，0，C 的定义域0≠x ，排除。
四川省2017届高三数学三诊试卷 理(含解析)
四川省2017届高三数学三诊试卷理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q2．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（）-2 -A ．2016B ．1024 C． D ．﹣18．已知M （x 0，y 0）是函数C ： +y 2=1上的一点，F 1，F 2是C上的两个焦点，若•＜0，则x 0的取值范围是（ ） A ．（﹣，）B ．（﹣，） C ．（﹣，） D ．（﹣，）9．等差数列{a n }中的a 2、a 4032是函数的两个极值点，则log 2（a 2•a 2017•a 4032）=（ ） A．B ．4C．D．10．函数f （x ）=sinx•（4cos 2x ﹣1）的最小正周期是（ ） A．B．C ．πD ．2π11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（ ） A ．男医生 B ．男护士 C ．女医生 D ．女护士 12．设集合，C={（x ，y ）|2|x ﹣3|+|y ﹣4|=λ}，若（A ∪B ）∩C ≠ϕ，则实数λ的取值范围是（ ） A． B．C．D．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．14．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m ﹣2n的取值范围是．15．成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有种．（用数字作答）16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A 区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．如图，设抛物线C1：y2=﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．21．已知函数f（x）=x﹣a x（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．- 4 -23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．2017年四川省成都七中高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的意义即可得出．【解答】解：￢P，表示“甲抛的硬币正面向下”，￢q表示“乙抛的硬币正面向下”．则（￢p）∨（￢q）表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选：A．2．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】1D：并集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣1＜1，解得：0＜x＜2，即A=（0，2）∵B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）∴A∪B=（﹣1，2）故选：B．3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．- 6 -【解答】解：∵，∴1+ai=（2+i）（1+2i）=5i，∴a===5+i．故选：D．4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．【考点】3L：函数奇偶性的性质；31：函数的概念及其构成要素．【分析】根据题意，由函数的周期性以及奇偶性分析可得=﹣f（）=﹣f（），又由函数在解析式可得f（）的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，则=﹣f（）=﹣f（），又由当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则f（）=（）2﹣（）=﹣，则=，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C．6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴=（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣- 8 -（+）=﹣+．故选：A ．7．执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ．2016B ．1024C ．D ．﹣1【考点】EF ：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当y=1024时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=2，y=0满足条件y ＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1满足条件y ＜1024，执行循环体，x=，y=2满足条件y＜1024，执行循环体，x=2，y=3满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=4…观察规律可知，x的取值周期为3，由于1024=341×3+1，可得：满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1024不满足条件y＜1024，退出循环，输出x的值为﹣1．故选：D．8．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若•＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，）D．（﹣，）【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合椭圆的方程，即可求出x0的取值范围．【解答】解：椭圆C： +y2=1，的焦点坐标F1（﹣，0），F2（，0），=（﹣﹣x0，﹣y0），=（﹣x0，﹣y0）则•=x02﹣3+y02=﹣2，∵•＜0，∴﹣2＜0，解得：﹣＜x0＜，故答案选：C．9．等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，则log2（a2•a2017•a4032）=（）- 10 -A．B．4 C．D．【考点】84：等差数列的通项公式；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出f′（x）=x2﹣8x+6，由等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，利用韦达定理得a2+a4032=8，a2•a4032=6，从而=4，由此能求出log2（a2•a2017•a4032）的值．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣8x+6，∵等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，∴a2+a4032=8，a2•a4032=6，∴=4，∴log2（a2•a2017•a4032）=log2（4×6）==3+log23．故选：C．10．函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx•cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（）A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．【解答】解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：①a+b≥c+d②c＞a，③a＞b④d≥2得出：c＞a＞b＞d≥2，假设：d=2，仅有：a=5，b=4，c=6，d=2时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b﹣1符合，即女医生．假设：d＞2则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是女医生，故选：C12．设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；- 12 -结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠∅，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆；集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆；集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如下图所示：若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=2；当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=6，故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．故选：A．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【解答】解：∵•（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．故答案为：．14．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．【考点】7C：简单线性规划；DB：二项式系数的性质．【分析】首先求出a，然后画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．【解答】解：二项式（x+y）5的展开式中，x2y3的项的系数是a==10，所以，对应的可行域如图：由目标函数变形为n=，当此直线经过C（）时u最小为，经过B（4，0）时u最大为4，所以u的取值范围为- 14 -；故答案为：．15．成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有150 种．（用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，②、将分好的3组全排列，对应3 个社团，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，若分成2、2、1的三组，有=15种分组方法，若分成3、1、1的三组，有=10种分组方法，则共有15+10=25种分组方法，②、将分好的3组全排列，对应3 个社团，有A33=6种情况，则不同的选择方案有25×6=150种；故答案为：150．16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣} ．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点- 16 -①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据二倍角公式即可求出A，再根据三角形的内角和定理即可求出C，（2）根据余弦定理和b2+c2=a﹣bc+2，求出a，再根据两角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面积公式即可求出【解答】解：（1）因为cosA﹣cos2A=0，所以2cos2A﹣cosA﹣1=0，解得cosA=﹣，cosA=1（舍去）．所以，又，所以．（2）在△ABC中，因为，由余弦定理所以a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，又b2+c2=a﹣bc+2，所以a2=a+2，所以a=2，又因为，由正弦定理得，所以．18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A 区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．- 18 -【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）返券金额不低于30元包括指针停在A区域和停在B区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果．（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．做出各种情况的概率，写出分布列，算出期望．【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．；；；；．所以，随机变量X的分布列为：其数学期望-20 -．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）证明：AC=AB 1；（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．【考点】MR ：用空间向量求平面间的夹角；M7：空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】（1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ，可证B 1C ⊥平面ABO ，可得B 1C ⊥AO ，B 10=CO ，进而可得AC=AB 1； （2）以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ， ∵侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，且O 为BC 1和B 1C 的中点， 又∵AB ⊥B 1C ，∴B 1C ⊥平面ABO ， ∵AO ⊂平面ABO ，∴B 1C ⊥AO ， 又B 10=CO ，∴AC=AB 1，（2）∵AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，∴AO=CO ， 又∵AB=BC ，∴△BOA ≌△BOC ，∴OA ⊥OB ， ∴OA ，OB ，OB 1两两垂直， 以O为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB 1=60°，∴△CBB 1为正三角形，又AB=BC ，∴A （0，0，），B （1，0，0，），B 1（0，，0），C （0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x ，y ，z ）是平面AA 1B 1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos ＜，＞==，∴二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值为20．如图，设抛物线C 1：y 2=﹣4mx （m ＞0）的准线l 与x 轴交于椭圆C 2：的右焦点F 2，F 1为C 2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ，连接PF 1并延长其交C 1于点Q ，M 为C 1上一动点，且在P ，Q 之间移动．（1）当取最小值时，求C 1和C 2的方程；（2）若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ 面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）用m 表示出a ，b ，根据基本不等式得出m 的值，从而得出C 1和C 2的方程； （2）用m 表示出椭圆方程，联立方程组得出P 点坐标，计算出△PF 1F 2的三边关于m 的式子，从而确定m的值，求出PQ的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出△MPQ面积的最大值．【解答】解：（1）∵，∴，∴=m+≥2，当且仅当m=即m=1时取等号，当m=1时，a=2，b=，∴抛物线C1的方程为：y2=﹣4x，椭圆C2的方程为．（2）因为，则，∴椭圆的标准方程为，设P（x0，y0），Q（x1，y1），由得3x2﹣16mx﹣12m2=0，解得或x0=6m（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，又△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3．∴抛物线方程为y2=﹣12x，，∴直线PQ的方程为．联立，得或x1=﹣2（舍去），于是．∴，设到直线PQ的距离- 22 -为d，则，∴当时，，∴△MPQ的面积最大值为．此时M（﹣，﹣），∴直线MP的方程为y=﹣x﹣．21．已知函数f（x）=x﹣a x（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）问题转化为恒成立，令g（x）=x2+x﹣e x，根据函数的单调性求出b的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最小值即可．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=x﹣e x，原题分离参数得恒成立，令g（x）=x2+x﹣e x，g′（x）=x+1﹣e x，g″（x）=1﹣e x＜0，故g′（x）在22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）圆O的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O的直角坐标方程；直线l的极坐标方程化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）圆O与直线l的直角坐标方程联立，求出圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O和直线l的公共点的极坐标．【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y=0，直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：x﹣y+1=0．（2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得．即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为（0，1），转化为极坐标为．23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）让绝对值内各因式为0，求得x值，再由求得的x值把函数定义域分段化简求解，取并集得答案；（2）由（1）可得函数f（x）的最小值，把不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空转化为|m﹣2|大于f（x）的最小值求解．【解答】解：（1）原不等式为：|2x+3|+|2x﹣1|≤5，当时，原不等式可转化为﹣4x﹣2≤5，即；当时，原不等式可转化为4≤5恒成立，∴；当时，原不等式可转化为4x+2≤5，即．∴原不等式的解集为．- 24 -（2）由已知函数，可得函数y=f（x）的最小值为4，∴|m﹣2|＞4，解得m＞6或m＜﹣2．。
四川绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学试题解析版(16页)
秘密★启用前【考试时间：2019年10月31日15:00-17：00】注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，0}4x -x |{x 2≤=B ，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2=≤=B ，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。
特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学否满足元素的互异性．2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ）A.ba 11< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 【答案】C【解析】由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾.【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。
||||||||||b a b a b a -≥+≥+ 3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.2)(x x f = B.x x f =)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(= 【答案】D【解析】B.的定义域为[)∞+，0，C 的定义域0≠x ，排除。
2017年四川省大教育联盟高考数学三诊试卷及答案(理科)
2017年四川省大教育联盟高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论正确的是（）A．M∪N=U B．（∁U M）∪（∁U N）=U C．M∩（∁U N）=∅D．（∁U M）∪（∁U N）=∅2．（5分）已知复数z满足（2+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知α是锐角，若cos（α+）=，则sin（α﹣）=（）A．﹣ B．﹣C．D．4．（5分）已知实数x，y满足不等式，则3x+2y的最大值为（）A．0 B．2 C．4 D．55．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）A．100πcm3B．C．400πcm3D．6．（5分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．0或﹣1 C．±1 D．17．（5分）设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D 两点，则=（）A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．98．（5分）利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A．P=lg（1+）B．P=C．P=D．P=×9．（5分）已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+在区间内单调递增，则函数f（x）（）A．最小值为，其图象关于点对称B．最大值为，其图象关于直线对称C．最小正周期为2π，其图象关于点对称D．最小正周期为π，其图象关于直线对称10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示，若E 为线段BC的中点，则直线AE与平面ABD所成角的余弦为（）A．B．C．D．11．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在上运动（如图）．若，其中λ，μ∈R，则2λ﹣5μ的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．12．（5分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（）A．2 B．C．D．﹣2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从0，1，2，3，4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）14．（5分）曲线y=和直线y=x围成的图形面积是．15．（5分）在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，点D在BC上，且AD=BD，则AD=．16．（5分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）有两个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n }中，a 2=2，其前n 项和S n满足：（n∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量t （袋），得到如下数据：（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出t 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还．若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入﹣原材料费用）．（参考公式：=，）19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，，AB ⊥AC ，D 是棱BB 1的中点． （Ⅰ）证明：平面A 1DC ⊥平面ADC ；（Ⅱ）求平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值．20．（12分）已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=me x+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）．（Ⅰ）求证：l1⊥l2（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），P为直线l1，l2的交点，求|OP|•|AP|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|﹣|，其中﹣3≤a≤1．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）对于任意α∈[﹣3，1]，不等式f（x）≥m的解集为空集，求实数m的取值范围．2017年四川省大教育联盟高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论正确的是（）A．M∪N=U B．（∁U M）∪（∁U N）=U C．M∩（∁U N）=∅D．（∁U M）∪（∁U N）=∅【解答】解：∵全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，作出文氏图，如下：∴由文氏图得M∩（∁U N）=∅．故选：C．2．（5分）已知复数z满足（2+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（2+i）z=2﹣i，得，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故悬案：D．3．（5分）已知α是锐角，若cos（α+）=，则sin（α﹣）=（）A．﹣ B．﹣C．D．【解答】解：∵α是锐角，α+∈（，），且cos（α+）=，∴sin（α+）==，∴sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=﹣=．故选：C．4．（5分）已知实数x，y满足不等式，则3x+2y的最大值为（）A．0 B．2 C．4 D．5【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），令z=3x+2y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y 轴上的截距最大，z有最大值为5．故选：D．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）A．100πcm3B．C．400πcm3D．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB=6，AD=2，PD=6．则该阳马的外接球的直径为PB====10．∴该阳马的外接球的体积==cm3．故选：B．6．（5分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．0或﹣1 C．±1 D．1【解答】解：根据如图所示的程序语言知，该程序运行后输出函数y=；当x≥0时，y=2x=1，解得x=0；当x＜0时，y=|x|=1，解得x=﹣1；综上，输出y的值为1时，输入x的值为0或﹣1．故选：B．7．（5分）设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D 两点，则=（）A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9【解答】解：直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2，由双曲线的定义可得轨迹E是以A，B为焦点的双曲线，且c=2，a=1，b=，方程为x2﹣=1，x=2代入方程得：y=±3，可设C点的坐标为（2，3），D（2，﹣3），则=（4，3）•（0，﹣3）=4×0+3×（﹣3）=﹣9．故选：A．8．（5分）利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A．P=lg（1+）B．P=C．P=D．P=×【解答】解：当d=5时，其概率为P==，对于B，P=，对于C，P=0，对于D，P=，故B，C，D均不符合，故选：A．9．（5分）已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+在区间内单调递增，则函数f（x）（）A．最小值为，其图象关于点对称B．最大值为，其图象关于直线对称C．最小正周期为2π，其图象关于点对称D．最小正周期为π，其图象关于直线对称【解答】解：∵f（x）=sinωxcosωx+=sin2ωx+﹣=sin （2ωx+），又∵f（x）在在区间内单调递增，∴由﹣≤2×（﹣）ω+，2×ω+≤，解得：ω≤，ω≤，∴由ω为正整数，可得ω=1，f（x）=sin（2x+），∴f（x）的最大值为，最小正周期为π，故A，C选项错误；∵令2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈z，可得当k=﹣1时，f（x）关于直线x=﹣对称．∴B选项错误，D选项正确．故选：D．10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示，若E 为线段BC的中点，则直线AE与平面ABD所成角的余弦为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，取DB中点O，连接CO、AO，∵四边形ABCD为正方形，∴CO⊥DB．又∵面DCB⊥面ADB，∴CO⊥面ABD，过E作EH∥CO交DB于H，则有EH⊥面ADB．H为OB中点，连接AH，则∠EAH就是直线AE与平面ABD所成的角．设正方形ABCD的边长为2，则EH=，AH=，∴，cos∠EAH=，∴直线AE与平面ABD所成角的余弦为．故选：C．11．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在上运动（如图）．若，其中λ，μ∈R，则2λ﹣5μ的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α≤π），由=λ+μ得，（cosα，sinα）=λ（2，1）+μ（﹣1，）⇒cosα=2λ﹣μ，sinα=λ+⇒λ=，∴2λ﹣5μ=2（）﹣5（）=﹣2（sinα﹣cosα）=﹣2sin（）∵∈[﹣，]∴﹣2sin（）∈[﹣2，2]，即2λ﹣5μ的取值范围是[﹣2，2]．故选：C12．（5分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：由题意可知c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：，当直线AB斜率不存在时，t可以为任意非零实数，当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x1，y1），则，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x 1+x2=，x1x2=，由∠APO=∠BPO，则直线PA与PB的斜率之和为0，则+=0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，∴2×﹣（t+1）×+2t=0，解得：t=2，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从0，1，2，3，4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）【解答】解：从0，1，2，3，4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，基本事件总数n=4×4=16，所得两位数为偶数包含的基本事件的个数m=4×1+2×3=10，∴所得两位数为偶数的概率p=．故答案为：．14．（5分）曲线y=和直线y=x围成的图形面积是．【解答】解：曲线和直线y=x交点为：（1，1），所以围成的图形面积为=（）|=；故答案为：．15．（5分）在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，点D在BC上，且AD=BD，则AD=．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，∴由余弦定理得BC==2，由正弦定理，得：，∴sinB===，∴cosB==，∵AD=BD，∴设AD=BD=x，由余弦定理得：cosB==，∴AD=x==．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）有两个零点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．【解答】解：f′（x）=）=（x﹣1）e x+e x+ax=x（e x+a），①当a≥0时，e x+a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，且f（0）=0，此时f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）不存在有两个零点；②当a=﹣1时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）单调，此时f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）不存在有两个零点；③当a＜0且a≠﹣1时，令f′（x）=0，解得x1=0，x2=ln（﹣a）（a≠﹣1）．a∈（﹣1，0）时，x2＜0，函数在（﹣∞，ln（﹣a）））递增，在（ln（﹣a），0）递减，在（0，+∞）递增，而f（0）=0，此时函数恰有两个零点；a∈（﹣∞，﹣1），时，x2＞0，函数在（﹣∞，0）递增，在（0，ln（﹣a））递减，在（ln（﹣a），+∞）递增，而f（0）=0，此时函数恰有两个零点；综上，则a的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}中，a2=2，其前n项和S n满足：（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意有．所以，则有（n≥2），所以2（S n﹣S n﹣1）=na n﹣（n﹣1）a n﹣1，即（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1（n≥2）．所以（n﹣1）a n+1=na n，两式相加得2（n﹣1）a n=（n﹣1）（a n+1+a n﹣1），即2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2），即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1（n≥2，n∈N），故数列{a n}是等差数列．又a1=0，a2=2，所以公差d=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则…+n•22n﹣2，两边同乘以22得+…+（n ﹣1）•22n ﹣2+n•22n ， 两式相减得+22n ﹣2﹣n•22n ，即=，所以．18．（12分）第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量t （袋），得到如下数据：（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出t 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还．若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入﹣原材料费用）．（参考公式：=，）【解答】解：（Ⅰ）由数据，求得，，10×25+12×29=1273，102+122=510，=，，∴t关于x的线性回归方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的线性回归方程，当x=14时，，即预计需要原材料34.2袋，∵∴，若t＜35，利润L=600t﹣（300t+20）=300t﹣20，当t=34时，利润L max=300×34﹣20=10180元；若t≥35，利润L=600×34.2﹣290t=20520﹣290t，当t=35时，利润L max=20520﹣290×35=10370元；综上所述，该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）求平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，又∵AB⊥AC，AB∩AC=A，∴AC⊥平面ABB1A1，∵A1D⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1D，设AB=a，由，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．得，AA 1=2a，则+，∴AD⊥A1D，∵AD∩AC=A，∴A1D⊥平面ADC．又∵A1D⊂平面A1DC，∴平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）解：如图所示，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=1，则A（0，0，0），D（1，0，1），C（0，1，0），A1（0，0，2）．显然是平面ABC的一个法向量，设平面A 1DC的法向量，由令z=1，得平面A 1DC的一个法向量，∴=，即平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值为．20．（12分）已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则，所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（4分）（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1；可得B（，3），直线AB：y=4x﹣6；当y1≠﹣2时，直线AP的方程为，化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0．与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为．因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．因此，B点的坐标为．当，即时，直线AB的斜率．所以直线AB的方程为，整理得．当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，此时，直线AB恒过定点（2，2），也在y=4x﹣6上，当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…（13分）21．（12分）已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=me x+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导函数，由曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0，知f'（1）=1，f（1）=0，所以a=1，b=0．（Ⅱ）令=，则=，当0＜x＜1时，u'（x）＜0，u（x）单调递减；当x＞1时，u'（x）＞0，u（x）单调递增，所以，当x=1时，u（x）取得极小值，也即最小值，该最小值为u（1）=0，所以u（x）≥0，即不等式成立．（Ⅲ）函数g（x）=me x+lnx（x＞0），则，当m≥0时，g'（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）内单调递增，g（x）无极值，不符合题意；当m＜0时，由，得，结合y=e x，在（0，+∞）上的图象可知，关于x的方程一定有解，其解为x0（x0＞0），且当0＜x＜x0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，x0）内单调递增；当x＞x0时，g'（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）内单调递减．则x=x0是函数g（x）的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，x=x0也是g'（x）=0在（0，+∞）上的唯一零点，即，则．所以g（x）max=g（x0）==．由于g（x）≤0恒成立，则g（x）max≤0，即，（*）考察函数，则，所以h（x）为（0，+∞）内的增函数，且，，又常数k满足klnk=1，即，所以，k是方程的唯一根，于是不等式（*）的解为x0≤k，又函数（x＞0）为增函数，故，所以m的取值范围是．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）．（Ⅰ）求证：l1⊥l2（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），P为直线l1，l2的交点，求|OP|•|AP|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l1的参数方程为（t为参数）；消去参数t可得：直线l1的普通方程为：xsinα﹣ycosα=0．又直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）．展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+）．即直线l2的直角坐标方程为：xcosα+ysinα﹣2sin（α+）=0．因为sinαcosα+（﹣cosα）sinα=0，根据两直线垂直的条件可知，l1⊥l2．（Ⅱ）当ρ=2，时，ρcos（θ﹣α）=2cos=2sin（α+）．所以点A（2，），在直线ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）上．设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知，d的最大值为=1．于是|OP|•|AP|=d•|OA|=2d≤2所以|OP|•|AP|的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|﹣|，其中﹣3≤a≤1．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）对于任意α∈[﹣3，1]，不等式f（x）≥m的解集为空集，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+2|﹣|x|，①当x＜﹣2时，不等式即为﹣x﹣2+x≥1，不等式无解；②当﹣2≤x≤0时，不等式即为x+2+x≥1，解得；③当x＞0时，不等式即为x+2﹣x≥1，不等式恒成立．综上所述，不等式的解集是．（Ⅱ）由．而=4+4=8，∴，∴．要使不等式f（x）≥m的解集为空集，则有，所以，实数m的取值范围是．。
绵阳市高中2017级第三次诊断性考试数学理科答案
Y 6000 3600 1200 511
P 848
故 E(Y ) = 6000 5 + 3600 1 +1200 1 = 4800 元； ……………………………9 分
8
4
8
若租赁 4 辆车，则 Y 的可能取值为 8000，5600，3200，800，其分布列为：
Y 8000 5600 3200 800
若租赁 1 辆车，则 Y 的值为 2000 元； 若租赁 2 辆车，则 Y 的可能取值为 4000，1600，其分布列为：
Y 4000 1600 71
P 88
故 E(Y ) = 4000 7 +1600 1 = 3700 元；…………………………………………7 分
8
8
若租赁 3 辆车，则 Y 的可能取值为 6000，3600，1200，其分布列为：
1 1 11 P
8 2 48
故 E(Y ) = 8000 1 + 5600 1 + 3200 1 + 800 1 = 4700 元； …………………11 分
8
2
4
8
因为 4800＞4700＞3700＞2000，
所以为使该物流公司每天的营业利润最大，该公司应租赁 3 辆车． ………12 分
20．解：（1）当 a=4 时， f (x) = 4x − 6ln x − 2 + 2 ，x>0， x
2
2
当 x=1 时，函数 f (x) 取得极小值 f (1) = 4 ．……………………………………5 分
理科数学答案第3页（共 6 页）
（2）
f
(x)
=a
−
a+ x
2
2017年四川省高考数学试卷与解析word(理科)(全国新课标Ⅲ)
2017年四川省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB． C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣ B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数精彩试题及问题详解(超清)
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}3,2{ C ．}3,2,1{ D ．}4,3,2{ 2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ） A ．01,2>+-∉∀x x R x B ．01,0200≤+-∉∃x x R x C ．01,2≤+-∈∀x x R x D ．01,0200≤+-∈∃x x R x3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．114.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 5.设命题p ：1)21(<x，命题q ：1ln <x ，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ） A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位8.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ） A ．αβcos 2cos = B ．αβ22cos 2cos = C ．02cos 22cos =+αβ D ．αβ2cos 22cos =9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=++543a a a （ ）A ．7B ．87C ．45D ．1410.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．111.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若DA m DM =，n DN =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A ．56 B ．512 C ．524 D ．54812.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞-二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=a ，)1,2(=b ，)1,(x c =满足条件-3与垂直，则=x . 14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x ey 41-=平行，则)(x f 的极值点是 .16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数k 的取值范围.19.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心. （1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； （2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：4.12≈，4.26≈）（2）若存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，求实数k 的取值范围.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x-=)(. （1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=. （1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题答案一、选择题1、A2、D3、B4、C5、B6、B7、A8、D9、A 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、1 14、 13 15、e 16、3t ≤-或1t ≥或0t = 三、解答题17、【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+ 【解析】试题分析：（1）由图像最值关系确定振幅2=A ，由最值点与相邻零点之间横坐标距离为四分之一周期得213165424=-==ωπT ，解得πω=，最后根据最值坐标求初始角：由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，62ππϕ+=k 又2πϕ<，可得6πϕ=（2）先根据34)(=παf 得32)6sin(=+πα，再根据给值求值，将欲求角化为已知角]6)6cos[(cos ππαα-+=，最后根据同角三角函数关系以及两角差余弦公式求结果：35)32(1)6cos(2=-=+πα，]6)6cos[(cos ππαα-+=6sin)6sin(6cos)6cos(ππαππα+++=6215+考点：求三角函数解析式，给值求值n 64【解析】试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥nn 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ．(2)由(1)n k S +≥29n -，整理得k ≥nn 292-， 令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ， ………………………8分 n=1，2，3，4，5时，0221111>-=-++n n n nb b ，∴54321b b b b b <<<<．………10分n=6，7，8，…时，0221111<-=-++n n n nb b ，即⋅⋅⋅>>>876b b b ．∵b 5=321<6436=b ， ∴n b 的最大值是6436=b ．∴实数k 的取值范围是)643[∞+，．…………………………………………12分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值55试题解析：(1)由54cos =A 得53sin =A ，∴5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分 (2)由AC AB DA DO 4131+=-， 可得AC AB AO 4131+=，于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131， ……………………………………5分即OAC OAB ∠∠=2，①又O 为△ABC 的的外接圆圆心，则OAB ∠OAC ∠，②…………………………7分将①代入②得到28161AO +=1288114461⨯+⨯=401624=+=解得102=．……………………………………………………………10分由正弦定理得1042sin ===R B b ， 可解得552sin =B ．…………12分 考点：向量投影，正弦定理20、【答案】（1）有且只有1个零点（2）π22<k【解析】试题分析：（1）判定函数零点个数从两个方面，一是函数单调性，二是函数零点存在定理，先求函数导数()cos f x x x '=，确定函数在(2，3)上是减函数，即函数在(2，3)上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，得函数在(2，3)上至少一个零点，综上可得函数在(2，3)上有且仅有一个零点（2）先将不等式变量分离得：xxk sin <，再根据不等式有解问题转化为对应函数最值：x xk sin <的最大值，然后利用导数求函数x x x h sin )(=在)2,4(ππ∈x 上最大值试题解析：(1)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴)32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ，∴函数)(x f 在(2，3)上是减函数． ……2分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ， ……4分∵75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos -≈+-=--=-=<ππππ，∴03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上只有1个零点．…………………6分∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解21、【答案】（1）a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a -，；单调递减区间是)21(∞+-，a．（2）m ≥e 3．（2）先化简不等式：2()ln 10x m e e x x ---+>，再变量分离转化为求对应函数最值：2ln 1x x x m e e +->-的最大值，利用导数求函数2ln 1x x x y e e+-=-最值，但这样方法要用到洛必达法则，所以直接研究=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x 单调性及最值，先求导数=')(x h x xme x 21--，再研究导函数符号变化规律：当m ≤0时，导函数非正，所以)(x h 在)1(∞+，上单调递减，注意到(1)=0h ，)(x h <h(1)= 0，不满足条件．当m>0时,讨论x x q xme x p x 2)(1)(=-=，大小关系，即确定导函数符号规律，注意到(1)=0h ，(),()p x q x 皆为单调递增函数，所以3(1)(1)p q m e≥⇒≥，从而导函数符号为正，即满足条件(2)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ，令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m=e 3． ①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x x me x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴)(x h <h(1)= 0，不满足条件． ……………………………………………6分 ②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x xme x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='x me x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e e me x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围22、【答案】（1）24y x =（2）【解析】试题分析：（1）根据sin ,cos y x ρθρθ==将曲线极坐标方程化为直角坐标方程：24y x =（2）根据直线参数方程几何意义得12PA PB t t +=-入曲线方程24y x =，利用韦达定理代入化简得结果试题解析：(1)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为24y x =．………………………………………………………4分(2)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+， 整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分∵01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间， ∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23、【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<<试题解析：(1)∵1=a 时，111)(+--+=x x x f ，∴当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负．当-1<x<1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x<1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立． ∴不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分(2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分 于是由题意可得11a -<<．…………10分 考点：绝对值定义。
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2017年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁U B）=（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．（0，1）2．（5分）已知i是虚数单位，则||=（）A．1 B．2 C．2 D．3．（5分）某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）A．B．C．.D．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（）A．B．C．20 D．405．（5分）已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则=（）A．﹣6 B．12 C．6 D．﹣126．（5分）在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（）A．16 B．8 C．216D．287．（5分）已知函数f（x）=4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（）=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣8．（5分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）A．50 B．75 C．25.5 D．37.59．（5分）已知函数f（x）=mcos2x+（m﹣2）sinx，其中1≤m≤2，若函数f （x）的最大值记为g（m），则g（m）的最小值为（）A．﹣ B．1 C．3﹣D．﹣110．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（）A．3 B．4 C．5 D．611．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC 上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．16π12．（5分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2+3，若存在实数m、n∈[1，5]满足n﹣m ≥2时，f（m）=f（n）成立，则实数a的最大值为（）A．B． C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若实数x、y满足，则x+2y的最小值是．14．（5分）过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k=0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于点N，则|MN|=．15．（5分）已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为．（用数字作答）16．（5分）设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a11成等比数列，且a11=2（S m﹣S n）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2=b2+3ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X ，求X 的分布列与期望． （参考数据： 其中，K 2=，n=a +b +c +d ）19．（12分）已知矩形ADEF 和菱形ABCD 所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC=，点N时线段AD的中点．（Ⅰ）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF∥平面MNC？若存在，请证明AF∥平面MNC，并求出的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角N﹣CE﹣D的正弦值．20．（12分）已知点E（﹣2，0），点P时圆F：（x﹣2）2+y2=36上任意一点，线段EP的垂直平分线交FP于点M，点M的轨迹记为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过F的直线交曲线C于不同的A、B两点，交y轴于点N，已知=m，=n，求m+n的值．21．（12分）函数p（x）=lnx+x﹣4，q（x）=axe x（a∈R）．（Ⅰ）若a=e，设f（x）=p（x）﹣q（x），试证明f′（x）存在唯一零点x0∈（0，），并求f（x）的最大值；（Ⅱ）若关于x的不等式|p（x）|＞q（x）的解集中有且只有两个整数，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（Ⅰ）分别写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ=（ρ≥0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|．23．已知函数f（x）=|3x﹣a|+|3x﹣6|，g（x）=|x﹣2|+1．（Ⅰ）a=1时，解不等式f（x）≥8；（Ⅱ）若对任意x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2017年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁U B）=（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．（0，1）【解答】解：由A中的不等式解得：0＜x＜2，∴A=（0，2），∵全集U=R，B={x|x≥1}，∴∁U B=（﹣∞，1），则A∪（∁U B）=（﹣∞.2），故选：C．2．（5分）已知i是虚数单位，则||=（）A．1 B．2 C．2 D．【解答】解：=，则||=．故选：D．3．（5分）某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）A．B．C．.D．【解答】解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，设黄灯为事件A．满足条件的事件是红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．根据等可能事件的概率得到：出现黄灯的概率P（A）===，故看见不是黄灯的概率是1﹣=，故选：A．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（）A．B．C．20 D．40【解答】解：设公比为q，则q＞0，由题意得：，解得，∴a5=2×=，故选A．5．（5分）已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则=（）A．﹣6 B．12 C．6 D．﹣12【解答】解：以A为原点建立坐标系，如图所示：则A（0，0），B（6，0），M（6，2），N（3，6），∴=（6，2），=（﹣3，6），∴=﹣18+12=﹣6．故选A．6．（5分）在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（）A．16 B．8 C．216D．28【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=﹣16≤0，执行循环体，b=log16=14＜0，a=log4=﹣2＜0，不满足条件a＞4，执行循环体，b=log2=﹣1＜0，a=log1=0，不满足条件a＞4，执行循环体，b=2°=1＞0，a=21=2，不满足条件a＞4，执行循环体，b=22=4＞0，a=24=16，满足条件a＞4，退出循环，输出a的值为16．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（）=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：∵函数f（x）=4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=﹣4sinωx．A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则•=1，∴ω=π，f（x）=﹣4sinπx，则f（）=﹣4sin=﹣2，故选：B．8．（5分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）A．50 B．75 C．25.5 D．37.5【解答】解：由已知得到几何体为直三棱柱截去一个四棱锥，如图：体积为=37.5；故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=mcos2x+（m﹣2）sinx，其中1≤m≤2，若函数f （x）的最大值记为g（m），则g（m）的最小值为（）A．﹣ B．1 C．3﹣D．﹣1【解答】解：函数f（x）=mcos2x+（m﹣2）sinx，化简可得：f（x）=m（1﹣2sin2x）+（m﹣2）sinx=m﹣msin2x+（m﹣2）sinx=m ﹣[msin2x+（2﹣m）sinx]，令y=msin2x+（2﹣m）sinx，∵1≤m≤2，开口向上，对称轴sinx=，∴≤sinx≤0．故当sinx=时，f（x）取得最大值为g（m）=﹣m×（）2+（m﹣2）×=．由=，（当且仅当，即m=时取等号）故得g（m）的最小值为：．故选：D．10．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图，设A（﹣a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，﹣3m）．则直线AM：，直线BN：．∵直线AM，BN的交点D（c，y），∴，则，∴双曲线的离心率为5．故答案为：C．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC 上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．16π【解答】解：M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．此时，PM=，在Rt△PBC中，PB•PC=BC•PM⇒PC=⇒PC=．三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=4π．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2+3，若存在实数m、n∈[1，5]满足n﹣m ≥2时，f（m）=f（n）成立，则实数a的最大值为（）A．B． C．D．【解答】解：由f（m）=f（n）⇒2lnn﹣an2+3=2lnm﹣am2+3，∴a=．令n=m+t，（t≥1），则a=，（m∈[1，5]，t≥2）显然g（m）═，在m∈[1，+∞）单调递减，∴a≤g（1）=，（t≥1）令h（t）=g（1）=，（t≥2），h′（t）=∵t≥2，∴2ln（t+1）＞1，则t2+2t﹣2ln（t+1）（t+1）2＜0，∴令h（t）=g（1）=，（t≥2），单调递减，∴∴实数a的最大值为．故选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若实数x、y满足，则x+2y的最小值是2．【解答】解：依题意作出实数x、y满足的可行性区域，标函数z=x+2y可看做斜率为﹣的动直线在y轴上的纵截距．数形结合可知，当动直线过点A时，目标函数值最小z=2+0=2．故答案为：214．（5分）过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k=0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于点N，则|MN|=4．【解答】解：直线：kx﹣y+1﹣2k=0过定点M（2，1），（x+1）2+（y﹣5）2=9的圆心（﹣1，5），半径为：3；定点与圆心的距离为：=5．过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k=0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于点N，则|MN|==4．故答案为：4．15．（5分）已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为120．（用数字作答）【解答】解：由题意，（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，∴n=5，那么（2x2+x﹣y）5=[（2x2+x）﹣y]5，=，通项公式T r+1展开式中含有x5y2，可知r=2．那么（2x2+x）3中展开必然有x5，由通项公式，可得含有x5的项：则t=1，∴展开式中x5y2的系数为=120．故答案为120．16．（5分）设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a11成等比数列，且a11=2（S m﹣S n）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是9．【解答】解：设公差d不为0的等差数列{a n}，a2，a5，a11成等比数列，可得a52=a2a11，即为（a1+4d）2=（a1+d）（a1+10d），化简可得a1=2d，a11=2（S m﹣S n），即有12d=2[ma1+d﹣na1﹣d]，12d=4md﹣4nd+d（m2﹣m﹣n2+n），即有（m﹣n）（m+n+3）=12，由于m＞n＞0，m，n∈N*，可得m+n+3≥6，m﹣n≤2，若m=2，3，n=1则方程不成立；若m=3，4，n=2，则方程不成立；若m=4，5，n=3，则方程不成立；若m=5，n=4，则方程成立；m=6，n=4则方程不成立．故m+n=5+4=9．故答案为：9．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2=b2+3ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵（a+c）2=b2+3ac，∴可得：a2+c2﹣b2=ac，∴由余弦定理可得：cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．…6分（Ⅱ）∵sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，∴sin（C+A）+sin（C﹣A）=2sin2A，∴sinCcosA+cosCsinA+sinCcosA﹣cosCsinA=4sinAcosA，可得：cosA（sinC﹣2sinA）=0，∴cosA=0，或sinC=2sinA，=•b•c==；∴当cosA=0时，A=，可得c==，可得S△ABC当sinC=2sinA时，由正弦定理知c=2a，由余弦定理可得：4=a2+c2﹣ac=a2+4a2﹣2a2=3a2，解得：a=，c=，S=acsinB=××=．…12分△ABC18．（12分）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X ，求X 的分布列与期望． （参考数据：其中，K 2=，n=a +b +c +d ）【解答】解：（Ⅰ）补全的列联表如下：于是a=100，b=20，c=60，d=20，…（4分）∴K2=≈2.083＞2.072，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为=10%，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，∵X～B（3，0.1），X=0，1，2，3，∴P（X=0）=（1﹣0.1）3=0.729，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=0.13=0.001，∴X的分布列为：∴X的数学期望E（X）=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3．…（12分）19．（12分）已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC=，点N时线段AD的中点．（Ⅰ）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF∥平面MNC？若存在，请证明AF∥平面MNC，并求出的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角N﹣CE﹣D的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点．…（2分）证明：连接PN，∵N是AD的中点，P是FE的中点，∴PN∥AF，又PN⊂平面MNC，AF⊄平面MNC，∴直线AF∥平面MNC．…（5分）∵PE∥AD，AD∥BC，∴PE∥BC，∴．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PN⊥AD，又面ADEF⊥面ABCD，面ADEF∩面ABCD=AD，PN ⊂面ADEF，所以PN⊥面ABCD．…（8分）故PN⊥ND，PN⊥NC．…（9分）以N为空间坐标原点，NC，ND，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz，∵∠ADC=，AD=DC=2，∴△ADC为正三角形，NC=，∴N（0，0，0），C（，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），∴=（0，1，1），=（，0，0），=（0，0，1），=（，﹣1，0），设平面NEC的一个法向量n1=（x，y，z），则由n1•=0，n1•=0可得令y=1，则n1=（0，1，﹣1）．设平面CDE的一个法向量n2=（x1，y1，z1），则由n2•=0，n2•=0可得令x1=1，则n2=（1，，0）．则cos＜n1，n2＞=，设二面角N﹣CE﹣D的平面角为θ，则sinθ=，∴二面角N﹣CE﹣D的正弦值为．…（12分）20．（12分）已知点E（﹣2，0），点P时圆F：（x﹣2）2+y2=36上任意一点，线段EP的垂直平分线交FP于点M，点M的轨迹记为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过F的直线交曲线C于不同的A、B两点，交y轴于点N，已知=m，=n，求m+n的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，|ME|+|MF|=|MP|+|MF|=r=6＞|EF|=4，故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为a=3，短半轴长为b==，∴曲线C的方程为：．…（4分）（Ⅱ）由题知F（2，0），若直线AB恰好过原点，则A（﹣3，0），B（3，0），N（0，0），∴=（﹣3，0），=（5，0），则m=，=（3，0），=（﹣1，0），则n=﹣3，∴m+n=．…（2分）若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2，t≠0，A（ty1+2，y1），B（ty2+2，y2），N（0，﹣）．则=（ty1+2，y1+），=（﹣ty1，﹣y1），=（ty2+2，y2+），=（﹣ty2，﹣y2），由，得y1+=m（﹣y1），从而m=；由，得y2+=n（﹣y2），从而n=；故m+n=+（）==﹣2﹣．…（8分）联立方程组得：，整理得（5t2+9）y2+20ty﹣25=0，∴y 1+y2=﹣，y1y2=，∴m+n=﹣2﹣═=﹣2﹣=．综上所述，m+n=．…（12分）21．（12分）函数p（x）=lnx+x﹣4，q（x）=axe x（a∈R）．（Ⅰ）若a=e，设f（x）=p（x）﹣q（x），试证明f′（x）存在唯一零点x0∈（0，），并求f（x）的最大值；（Ⅱ）若关于x的不等式|p（x）|＞q（x）的解集中有且只有两个整数，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由题知f（x）=lnx+x﹣4﹣ex•e x，于是，令μ（x）=1﹣ex•e x，则μ′（x）=﹣e（x+1）e x＜0（x＞0），∴μ（x）在（0，+∞）上单调递减．又μ（0）=1＞0，=1﹣＜0，所以存在x0∈（0，），使得μ（x0）=0，综上f（x）存在唯一零点x0∈（0，）．…（3分）当x∈（0，x0），μ（x）＞0，于是f′（x）＞0，f（x）在（0，x0）单调递增；当x∈（x0，+∞），μ（x）＜0，于是f′（x）＜0，f（x）在（x0，+∞）单调递减．故f（x）max=f（x0）=lnx0+x0﹣4﹣ex0e，又，e=，x0=ln=﹣1﹣lnx0，故=﹣5﹣1=﹣6．…（6分）（Ⅱ）解：|p（x）|＞q（x）等价于|lnx+x﹣4|＞axe x．⇔a＜||，…（7分）令h（x）=＜，则h，令φ（x）=lnx+x﹣5，则φ＞0，即φ（x）在（0，+∞）上单调递增．又φ（3）=ln3﹣2＜0，φ（4）=ln4﹣1＞0，∴存在t∈（3，4），使得φ（t）=0．…（9分）∴当x∈（0，t），φ（x）＜0⇒h′（x）＞0⇒h（x）在（0，t）单调递增；当x∈（t，+∞），φ（x）＞0⇒h′（x）＜0⇒h（x）在（t，+∞）单调递减．∵h（1）=﹣＜0，h（2）=，h（3）=，且当x＞3时，h（x）＞0，又|h（1）|=，|h（2）|=＞|h（3）|=，|h（4）|=，故要使不等式式|p（x）|＞q（x）解集中有且只有两个整数，a的取值范围应为：．…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（Ⅰ）分别写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ=（ρ≥0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）将C1的参数方程化为普通方程为（x﹣1）2+y2=3，即x2+y2﹣2x﹣2=0，∴C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．将C2的极坐标方程ρ=1化为直角坐标方程为x2+y2=1．（Ⅱ）将（ρ≥0），代入C1：ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．整理得ρ2﹣ρ﹣2=0，解得：ρ1=2，即|OA|=2．∵曲线C2是圆心在原点，半径为1的圆，∴射线θ=（ρ≥0）与C2相交，则ρ2=1，即|OB|=1．故|BA|=|ρ1﹣ρ2|=2﹣1=1．23．已知函数f（x）=|3x﹣a|+|3x﹣6|，g（x）=|x﹣2|+1．（Ⅰ）a=1时，解不等式f（x）≥8；（Ⅱ）若对任意x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+|3x﹣6|，当x≤时，不等式为：7﹣6x≥8，解得x≤﹣，∴x≤﹣，当＜x＜2时，不等式为：5≥8，无解，当x≥2时，不等式为6x﹣7≥8，解得x≥，∴x≥，综上，f（x）≥8的解集是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（Ⅱ）∵对任意x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，∴f min（x）≥g min（x），∵f（x）=|3x﹣a|+|3x﹣6|≥|3x﹣a﹣（3x﹣6）|=|6﹣a|，g（x）=|x﹣2|+1≥1，∴|6﹣a|≥1，解得a≥7，或a≤5．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。