16.2.3二次根式的分母有理化
专题六 最简二次根式及分母有理化
专题六 最简二次根式及分母有理化1、二次根式的重要性质 ：注1：式子中a a =2中的a 可以取任意实数，同时注意与a a =2)(的区别。
注2：中a 既可以是单个数字，单个字母，单项式，也可以是可进行因式分解的多项式，等等，总之它是一个整体概念。
2、最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3、同类二次根式的概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式成为同类二次根式4、分母有理化的概念：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
5、有理化因式的概念：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。
6、熟记一些常见的有理化因式：a 的有理化因式是a ；b n a +的有理化因式是b n a -；的有理化因式是b a -；b n a m +的有理化因式是b n a m -；33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。
例1、填空题1、当 _________时，；2、当 时，，当 时， ；3、若a a -=-1)1(2，则 ________；4、 当 时，=2)2(a a ；5、当a +2<0时，442++a a 的化简结果是 ；6、238nm 化为最简二次根式是 ；例2、选择题（1）如果x x =-2成立，那么（ ）（A ）x =0 （B ）x <0 （C ）x ≥0 （D ）x ≤0 （2） 下列各式中正确的是（ ） （A ）112-=-a a （B ）baab b = （C ）b a b a +=+2)( （D ）24a a =（3）下列各组中，是同类二次根式的是（ ）（A ）2与6 （B 3与9 （C ）2与8 （D ）3与6 例3、（1）化简232a （ ） （2）若1≤a ≤2，化简2122-++-a a a（3）化简1216822+--++x x x x （4-<x <1）例4、将下列各式分母有理化。
16.3(3)分母有理化
2a 6ab 和 3ຫໍສະໝຸດ 3b你会把第一个代数式的分母 3b 变成3b吗？
2a = 3b
2a × 3b = 3b × 3b
6ab 3b
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
将下列各式分母有理化:
2 (1) 5
2 2× 5 2 5 解： (1) = = 5 5 5× 5
(2)
5
5 3 3
5× 3 5 3 (2) = = 9 3 3 3 3× 3
a a ab a a+ b (2)原式＝ = a+ b ab ab a+ b
(3)由a>b>0得a＋b>0,a-b>0 原式＝
注意条件的交代
a b a b 2 a b
a 2 - b2 (a b)( a b) 2( a b ) 2 a + 2b
ab 2 = 2 2
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有 理化运算。 2. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简(能开出来的先开出来或分 子和分母先因式分解约分),再考虑如何化去分母 中的根号。
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.3（3） 分母有理化
二次根式的运算（乘除运算）:
a b
a b
ab （a ≥0 ， b≥0）
a （a ≥0 ， b＞0） b
计算：
2a
3b
即
2a 3b 解 : 原式 3b 3b
2a 3b
6ab 3b
6ab 3b
比较代数式
5x > - 3 3
3 3 x> 5 3 15 x> 5
2 12 + 18 x= ∴原不等式的解集是 12 4 3+ 3 2 3 15 x= x> 12 5 4 3+ 3 2 ∴原方程的根是 x = 12
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。
本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。
它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。
二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。
当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。
2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。
3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。
4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。
2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。
四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。
2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。
通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。
3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。
数学知识点二次根式与分式的运算
数学知识点二次根式与分式的运算数学知识点：二次根式与分式的运算在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。
二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。
正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。
本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。
一、二次根式的运算二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。
1. 合并同类项合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。
例如：√9 + √4 = √(9+4) = √132. 分解因式分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。
例如：√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√33. 有理化有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。
例如：1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2二、分式的运算分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。
分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。
1. 四则运算分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。
例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/62. 化简化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。
例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/23. 通分通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。
例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/64. 约分约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。
例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2三、综合运算在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。
例如：例1：计算√(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。
《16.2二次根式的运算》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《二次根式的运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节数学课程作业设计的主要目标是使学生能够熟练掌握二次根式的概念，理解其运算的基本法则，能够进行简单的二次根式加减与乘除运算，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过本次作业，提高学生的数学运算能力和问题解决能力。
二、作业内容本节作业内容主要围绕二次根式的运算展开，具体包括以下几个部分：1. 概念理解：要求学生掌握二次根式的定义、性质及基本运算法则。
2. 基础练习：通过大量的基础练习题，使学生熟练掌握二次根式的加减法运算。
3. 进阶练习：通过乘除法运算的练习题，加深学生对二次根式运算的理解。
4. 实际应用：设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决，如利用二次根式计算物体的体积等。
三、作业要求1. 概念理解部分：要求学生认真阅读教材，理解二次根式的概念及性质，并能够准确表述。
2. 基础练习部分：要求学生独立完成练习题，注意运算的准确性和速度，同时注意运算的规范性。
3. 进阶练习部分：在完成基础练习的基础上，进行乘除法运算的练习，注意运算法则的正确应用。
4. 实际应用部分：结合实际生活，设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决，培养学生的问题解决能力。
5. 作业中如遇到问题，可查阅教材或向老师请教，但不得抄袭他人作业。
四、作业评价本节作业的评价主要从以下几个方面进行：1. 概念理解的准确性。
2. 基础练习的完成情况和正确性。
3. 进阶练习的完成情况和运算法则的正确应用。
4. 实际应用的创新性和问题的解决能力。
五、作业反馈1. 教师批改作业时，需认真记录学生的错误及优点，进行针对性的指导。
2. 对于共性问题，可在课堂上进行讲解，帮助学生共同进步。
3. 对于个别学生的问题，可通过个别辅导或课堂提问的方式，帮助学生解决疑惑。
4. 定期总结学生的作业情况，及时调整教学计划，提高教学质量。
通过以上述设计，不仅能够让学生在掌握二次根式运算知识的同时，还能提升他们的实际运用能力。
二次根式的化简与运算法则
二次根式的化简与运算法则二次根式是数学中的一种特殊表达形式，通常以√来表示。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对二次根式进行化简和运算的情况。
本文将介绍二次根式的化简方法以及运算法则。
一、二次根式的化简方法对于二次根式，我们希望将其化简为最简形式，即分子与分母互质的形式。
1. 化简含有平方数的二次根式当二次根式的被开方数是平方数时，可以直接提取出该平方数的因子。
例如√36，由于36是6的平方，即36 = 6^2，因此√36 = 6。
2. 有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们可以通过有理化分母的方法将其转化为最简形式。
有理化分母的基本思想是将分母中的二次根式去除，实现分母为有理数的形式。
例如，对于分母为√a的二次根式，我们可以将其有理化分母得到如下形式：1/√a = (√a) / a二、二次根式的运算法则在进行二次根式的运算时，我们需要根据运算法则进行相应的操作。
1. 二次根式的加减法对于二次根式的加减法，要求根号下的被开方数相同，即二次根式相同。
例如√a + √a = 2√a2. 二次根式的乘法对于二次根式的乘法，我们直接将根号下的被开方数相乘，并转化为最简形式。
例如√a * √b = √(ab)3. 二次根式的除法对于二次根式的除法，我们可以借助有理化分母的方法进行转化，然后进行乘法运算。
例如√a / √b = (√a * √b) / (√b * √b) = √(a/b)三、综合运用下面通过几个例题来综合运用二次根式的化简与运算法则：例题1：化简√(108)。
解：首先，将108分解成最简的平方数的乘积，即108 = 4 * 27 = 4* 3^3。
然后，根据化简含有平方数的二次根式的方法，√(108) = √(4 * 3^3) = √4 * √(3^3) = 2 * 3√3 = 6√3。
例题2：进行二次根式的加法运算：√(8) + √(18)。
解：首先，化简每个二次根式√(8) = √(4 * 2) = 2√2，√(18) = √(9 * 2) = 3√2。
二次根式性质
二次根式性质二次根式是高中数学中的一个重要概念，它是指含有二次根号的数。
在学习二次根式的过程中，我们需要了解其性质和应用。
本文将介绍二次根式的性质，并探讨其在实际生活中的应用。
首先，让我们回顾一下二次根式的定义。
二次根式是形如√a或a^0.5的数，其中a是一个正实数。
当我们计算二次根式时，需要注意以下几个性质。
首先，二次根式可以进行加减乘除运算。
对于两个二次根式，如果它们的根号内的数相同，那么只需要将它们的系数相加或相减即可。
例如√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 0。
如果根号内的数不同，我们无法直接进行加减运算，但可以通过有理化来化简。
具体而言，需要将根号内的数进行因式分解，并利用公式(a + b)(a - b) = a^2 - b^2将其转化为差的平方。
例如√3 + √2可以有理化为√6 + 1。
其次，二次根式的乘法可以通过指数运算进行简化。
如果我们有两个相同的二次根式相乘，例如√2 × √2，可以利用指数运算的规律，将它们转化为2的平方根，即2。
同样地，如果我们有两个不同的二次根式相乘，例如√2 × √3，可以将其转化为√6。
除了基本的加减乘除运算性质外，二次根式还具有一些特殊的性质。
其中最重要的就是有理化。
当二次根式出现在分母部分时，我们一般需要进行有理化处理。
具体而言，可以通过乘以分母的共轭形式，将分母中的二次根式转化为有理数。
例如1/√2可以有理化为√2/2。
现在让我们来看一些实际生活中的应用。
二次根式在物理学和工程学中广泛应用。
例如，在计算力学问题中，我们常常需要使用二次根式来计算速度、加速度和力的大小。
此外，二次根式也可以应用于电路分析、声学和天文学等领域。
在电路分析中，二次根式可以用于计算电压、电流和电阻等参数。
通过使用二次根式，我们可以更准确地描述电路的特性，并进行电路设计和故障诊断。
在声学中，二次根式可以应用于波长、频率和声强度等参数的计算。
二次根式分母有理化
二次根式分母有理化
二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是同学们的难点，本文介绍几种有理化方法。
供同学们学习时参考。
一. 常规基本法
例1. 化简
解：原式
评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。
二. 分解约简法
例2. 化简
解：原式
评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。
例3. 化简
解：原式
评注：由于的有理化因式可能为零，所以不能将分子分母同乘以
；若分两种情况讨论又比较繁琐。
注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。
例4. 化简
解：
评注：注意到7可分拆为4+3，与可配成，从而与分母约分而获得巧解，避繁就简。
例5. 化简.
解：原式
评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。
三. 巧用通分法
例6. 化简
解：原式
评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。
四. 裂项约简法
例7. 化简
解：原式
评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。
例8. 化简
解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。
故原式
评注：本题解法中，先计算原式的倒数，明显方便多了。
五. 等比性质法
例9. 化简
解：
评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比较繁杂且易出错，注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解。
二次根式分母有理化的依据
二次根式分母有理化的依据【原创实用版】目录1.二次根式分母有理化的依据2.二次根式的定义及性质3.有理化方法及其应用4.二次根式有理化方法的应用示例5.总结正文一、二次根式分母有理化的依据二次根式分母有理化是一种常用的数学方法，它可以将分母中的二次根式化为分数形式，从而简化分式的值。
这种方法的依据是数学中的代数基本性质之一：分式的值不因分母中字母的取值范围而改变。
具体来说，如果一个分式的分母是一个二次根式，那么这个分式的值不会因为分母中字母的取值不同而改变，因此可以将分母中的二次根式化为分数形式。
二、二次根式的定义及性质二次根式是一种数学形式，它表示的是一个数的平方根。
二次根式必须满足两个条件：一是被开方数是非负数，二是二次根式的化简结果是一个非负数。
二次根式的性质包括它的加、减、乘、除等基本运算性质，以及它的被开方数可以加减、可以改变被开方数位置等性质。
三、有理化方法及其应用二次根式有理化方法是一种常用的数学方法，它可以将分母中的二次根式化为分数形式。
有理化方法的具体应用包括：将分母中的二次根式转化为分数形式，将分式的值转化为有理数形式，将分式中的分母转化为有理数形式等。
四、二次根式有理化方法的应用示例下面是一个二次根式有理化方法的示例：设一个二次根式为$sqrt{a}$，其中$a$是一个正整数。
那么它的有理化方法就是将被开方数$a$化为平方数的形式，即将$a$化为$b^{2}$的形式，其中$b$是一个正整数。
那么，$sqrt{a}$就可以表示为$frac{b}{b}$的形式，其中$b$是一个正整数。
这样，我们就将一个二次根式有理化了。
五、总结二次根式分母有理化是一种常用的数学方法，它可以将分母中的二次根式化为分数形式，从而简化分式的值。
这种方法的依据是数学中的代数基本性质之一：分式的值不因分母中字母的取值范围而改变。
二次根式的定义及性质是理解有理化方法的基础，有理化方法的具体应用包括将分母中的二次根式转化为分数形式、将分式的值转化为有理数形式、将分式中的分母转化为有理数形式等。
16.2分母有理化(2)
2n 1 2n 1 1 1 1 ( ) 2 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 3 原式 7
1 (1) 1 2 3
计算
2 3 3 2 6 (2) 2 6 2
2 2 6 4
22 3 5 (3) 3 6 10 15
例
将下列各式分母有理化因式
3 1 m -n （） 1 （） 2 （） 3 ( m ¹ n) 3+ 1 4 3+ 3 2 m+ n 3 3 ?( 3 1) 3 3 = 解：(1) = 3 + 1 ( 3 + 1)( 3 - 1) 2
1 4 3- 3 2 4 3- 3 2 （） 2 = = 2 2 4 3 + 3 2 (4 3) - (3 2) 30
m -n ( m + n )( m （） 3 = m+ n m+ n
n)
= ( m-
n)
例：计算
10 (1) 5 4 1 (2) + 2 5- 1 x + 1+ x x1 1+ x
2
10 5 4( 5 + 1) 解：( 1) 原式= 5 ( 5 - 1)( 5 + 1)
= 2 5 - ( 5 + 1)
2
2
解不等式
2x - 3 <
3x < 3
3x
解： 2 x -
（ 2-
3 ）x < 3
3 x> （ 2- 3 ） 3( 2 + 3) x> - 1 x> - 3 2- 3 3
x> - 3 2- 3 3
∴原不等式的解集是
练习：把下列各式分母有理化
16.2《二次根式的除法》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式除法的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式除法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
iii.分母有理化；
iv.应用二次根式除法解决实际问题。
二、核心素养目标
《二次根式的除法》核心素养目标：
1.培养学生的数学抽象能力，通过二次根式的除法运算，让学生理解和掌握数学表达式的抽象化过程；
2.提升学生的逻辑推理能力，引导学生通过分母有理化等方法，合理运用运算规律，进行逻辑推理和化简；
3.增强学生的数学建模意识，将二次根式除法应用于解决实际问题，培养学生建立数学模型解决现实情境中的问题；
另外，我发现学生们在解决复杂的二次根式除法问题时，仍然会犯一些基本的运算错误。这提示我，在后续的教学中，需要加强对基本运算技能的训练，让学生们通过大量的练习来提高他们的运算速度和准确度。
在总结回顾环节，我试图让学生们自己总结今天的学习内容，这样做有助于他们更好地内化知识。但我也意识到，可能需要更多的时间让学生们提问和解答疑问，确保他们真正掌握了课程的核心内容。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分母有理化和二次根式除法的运算规则这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用实际物品来模拟二次根式除法的过程，演示其基本原理。
在新课讲授后的实践活动中，学生分组讨论和实验操作的部分非常活跃，他们能够将所学的知识应用到解决实际问题中。这让我感到欣慰，因为这说明学生们开始学会将理论知识转化为实际操作能力。
二次根式中分母有理化
二次根式中分母有理化1. 什么是二次根式有理化？嘿，大家好！今天我们来聊聊二次根式中分母有理化的事儿。
这听上去有点复杂，但别担心，我们一步一步来，就像做菜一样，慢慢加料，搞定它！1.1 二次根式的基本概念二次根式，其实就是根号下有数字的那种，比如说√2、√5。
这些根号有个特点，就是它们的分母一般不会是个特别整齐的数。
你会发现，如果分母里也有根号，那就需要动点手脚，让它看起来更简洁。
1.2 为什么要有理化？有理化的意思是，把根号从分母里“赶”出来，这样分母就不再有根号了。
这样做有啥好处呢？首先，这样的表达更规范，数学里经常要求我们用这种方式来写答案。
其次，这让计算变得更简单，不容易出错。
2. 怎么做分母有理化？好啦，接下来我们就要实际操作了，跟着我一起来看看吧！2.1 单根号分母的有理化假设我们有一个分数，像是1/√2。
看着有点让人头疼对吧？但其实处理起来很简单。
我们要做的就是乘上一个合适的数，让分母里的根号“消失”。
在这个例子里，我们可以把分数的分子和分母都乘上√2。
这样：[ frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} ]。
为什么这么做呢？因为分母√2 × √2 就变成了 2，根号就“消失”了，整个分数就变得清爽多了。
2.2 两个根号相乘的分母有理化有时候分母里会有两个根号相乘，比如1/√(2√3)。
这时，我们就得先把根号化简一下，然后再用类似的方法处理。
首先，化简一下根号。
√(2√3) 可以写成√2 × √√3。
然后，我们要让分母变得整齐。
先把1/√2 和1/√√3 分开来处理。
对了，先处理第一个根号：[ frac{1}{sqrt{2}} ]。
我们已经知道处理方法啦，就是乘上√2/√2：[ frac{sqrt{2}}{2} ]。
接下来，对付第二个根号，我们先化简成1/√3。
用相同的法子，乘上√3/√3：[ frac{sqrt{3}}{3} ]。
分母有理化的公式
分母有理化的公式一、有理化分母的方法有理化分母的一般方法有以下几种：1.有理数分母乘法法：当分母是含有一个根号时，可用一个含有相同根号的数乘以分子和分母，使分母中的根号消失。
例如：$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac {2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$2.有理数分母差法：当分母是含有两个根号时，可以利用差的平方公式将根号消去。
例如：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$3.分母倒数法：当分母是含有两个根号时，可将其倒数展开成两个有理数相加的形式。
例如：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$二、常用的有理化公式与例题1.二次根式的有理化：当分母是含有平方根时，可以用以下公式进行有理化：$(a\pm b)\cdot(a\mp b)=a^2-b^2$例如：$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\ sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$2.三次根式的有理化：当分母是含有立方根时，可以用以下公式进行有理化：$(a\pm b)\cdot(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$例如：$\frac{3}{\sqrt[3]{2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt [3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{3\sqrt[3]{4}}{2}$3.四次根式的有理化：当分母是含有四次根时，可以用以下公式进行有理化：$(a\pm b)\cdot(a^2\mp ab+b^2)\cdot(a^4\pm a^3b+a^2b^2\mpab^3+b^4)=a^5\pm b^5$例如：$\frac{5}{\sqrt[4]{3}}=\frac{5}{\sqrt[4]{3}}\cdot\frac{\sqrt [4]{9}}{\sqrt[4]{9}}=\frac{5\sqrt[4]{9}}{3}$4.分母是三次根式形式的有理化：当分母形如$\frac{a}{\sqrt[3]{b}}$时，可以用以下公式进行有理化：$\frac{a}{\sqrt[3]{b}}=\frac{a\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b}\cdo t\sqrt[3]{b^2}}=\frac{a\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^3}}=a\sqrt[3]{b }$例如：$\frac{3}{\sqrt[3]{2}}=3\sqrt[3]{2}$5.分母是四次根式形式的有理化：当分母形如$\frac{a}{\sqrt[4]{b}}$时，可以用以下公式进行有理化：$\frac{a}{\sqrt[4]{b}}=\frac{a\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt[4]{b}\cdo t\sqrt[4]{b^3}}=\frac{a\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt[4]{b^4}}=a\sqrt[4]{b ^3}$例如：$\frac{4}{\sqrt[4]{2}}=4\sqrt[4]{2^3}=4\sqrt[4]{8}$三、综合例题：例1：有理化分母$\frac{2}{\sqrt{2}}$解：根据有理化分母的方法，可以将分母有理化为：$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}= \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$例2：有理化分母$\frac{5}{\sqrt[3]{3}}$解：根据有理化分母的方法，可以将分母有理化为：$\frac{5}{\sqrt[3]{3}}=5\sqrt[3]{3}$例3：有理化分母$\frac{3}{\sqrt[4]{5}}$解：根据有理化分母的方法，可以将分母有理化为：$\frac{3}{\sqrt[4]{5}}=3\sqrt[4]{5^3}=3\sqrt[4]{125}$综上所述，有理化分母的公式包括二次根式的有理化、三次根式的有理化、四次根式的有理化和分母是三次根式、四次根式形式的有理化，根据不同的情况选择合适的有理化方法进行分母有理化。
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式分母有理化及应用试题(含答案)
二次根式分母有理化及应用一、分母有理化1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2. 有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：a=来确定，，ba-与ba-等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定，如：a+a等分别互为有理化因式。
3. 分母有理化的方法与步骤二、两种特殊有理化方法1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。
6====；2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。
分母有理化：22222222++⨯===。
总结：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
分母中含有中分子分母同乘以分母中含有例题1 )12013)(201220131341231121(+++++++++ =（ ）A. 2010B. 2011C. 2012D. 2013解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。
答案：解：)12013)(201220131341231121(+++++++++=)12013)(20122013342312(+-++-+-+-=2013－1 =2012。
故选C 。
点拨：考查二次根式的分母有理化。
主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。
例题2 与212171-最接近的整数是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。
答案：解：原式=832171⨯-=22)8(83231+⨯-=2)83(1-=831-=83+=223+≈5.828。
与6最接近。
故选B 。
点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。
有理化在方程中的应用示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2=1243，代入求值即可。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是指含有平方根的式子，一般形式为√a，其中a为非负实数。
下面将对二次根式的知识点进行归纳：1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的式子，a为非负实数。
2. 简化二次根式：对于二次根式√a，如果a可以写成两个数的乘积，其中一个因数的平方是a，那么就可以将二次根式简化为这个因数。
3. 二次根式的运算：- 加减法：只有当二次根式的根数相同才能相加或相减。
即√a ± √b = √a ±√b。
- 乘法：二次根式的乘法可以按照分配律进行计算，即√a * √b = √(a * b)。
- 除法：二次根式的除法可以借助有理化的方法进行计算，即√a / √b = √(a / b)。
4. 二次根式的合并：- 同根式的合并：当两个二次根式的根数相同且系数相同时，可以合并为一个二次根式。
例如：3√2 + 2√2 = 5√2。
- 合并同类项：当两个二次根式的根数和系数都相同时，可以合并为一个二次根式。
5. 化简含有二次根式的表达式：- 分解因式法：对于含有二次根式的表达式，可以利用分解因式的方法将其化简为乘积的形式。
- 有理化法：利用有理化的方法将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。
6. 二次根式的平方与立方：- 二次根式的平方：(√a)^2 = a。
- 二次根式的立方：(√a)^3 = a * √a。
7. 二次根式的应用：- 几何意义：二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或面积，例如表示一个正方形的对角线长度。
- 物理意义：在物理问题中，二次根式可以用来表示某些量的大小，例如速度的大小。
以上是关于二次根式的一些基本知识点的归纳总结。
掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和运用二次根式。
二次根式的化简与运算知识点总结
二次根式的化简与运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的数，其中a为非负实数。
在数学中，我们经常会遇到对二次根式进行化简和运算的情况。
本文将对二次根式的化简和运算的知识点进行总结和归纳。
一、二次根式的化简1. 同底数相乘：当二次根式的底数相同时，可以将它们放在一起进行运算。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
2. 分解因式法：对于含有多个因式的二次根式，可以尝试将其进行因式分解，以便更好地进行化简。
例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。
3. 有理化分母：当二次根式的分母为二次根式时，可以采用有理化分母的方法。
有理化分母的原则是将分母中的二次根式进行化简，同时保持等式的相等性。
例如，√(3/√2) = √(3/√2) × (√2/√2) = √(3√2/2) = (√6)/2。
4. 化简平方根：对于平方根的二次根式，要想将其化简，需要将其表示为一个平方数的乘积。
例如，√16 = 4，√25 = 5。
二、二次根式的运算1. 加减运算：对于相同底数的二次根式，可以直接进行加减运算。
例如，√2 + √3 = √2 + √3（无法进行化简）。
2. 乘法运算：二次根式的乘法运算可以通过将底数相乘，并进行化简得到结果。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 除法运算：二次根式的除法运算可以通过将分子及分母都进行有理化分母的操作，并进行化简得到结果。
例如，√(2/√3) = √(2/√3) × (√3/√3) = √(2√3/3) = (√(6))/3。
4. 平方运算：对于二次根式的平方运算，可以直接将指数乘2，并进行化简。
例如，(√2)^2 = 2，(√3)^2 = 3。
通过对二次根式的化简和运算的知识点总结和归纳，我们可以更好地理解和应用这些知识。
掌握二次根式的化简和运算方法，可以帮助我们在解题过程中更加高效和准确地进行计算和推导，提高数学解题能力。
16.2.3分母有理化
16.2.3 分母有理化把根式的分母中的根号化去，叫做分母有理化。
62==； ===；4=====。
探究：将根式154+与326-分母有理化。
利用平方差公式计算：（1） （2）(m m（3）1) （4）可以看出，通过以上平方差公式计算，这些根式都变成了整式。
像这样，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：a =来确定，，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a 与a ，练习：写出下列各式的有理化因式：（1 （2 （3 （4 （5（62 （7 （8） （9）现在，我们来解决“探究”中的两个题目：将根式154+与326-分母有理化，只要分子、分母同乘以分母的有理化因式即可。
1)151===-；===- 分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
练习：1．把下列各式分母有理化（1）322（2）3211+ （3）262-（4）133+ （5 （6）23341+（7（8）24332433-+； （9 2．把下列各式分母有理化（1（3（4 34． 解不等式（１）(11x >； （2）x x 332>-。
5．（1）已知2231+=x ，求31-x 的值；（2）已知x =，y =，求221010x xy y ++的值；（3）已知x =，求5x x -的值；（4）已知a =b =的值；（5）已知2a =2b =+的值。
（6）已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+。
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松山湖南方外国语学校集体备课通案主备人：李德泉八年级数学科课题（学习内容）： 16.2.3二次根式的分母有理化第（2）周（1）课时审核人：冯敬波
学习目标（任务）1.最简二次根式的概念
2.二次根式的分母有理化.
学习重、难点
【重点】最简二次根式的概念
【难点】二次根式的分母有理化主要设想、措施
（学法、教法）
合作探究法
课时安排及其它1课时
导学过程一、复习回顾
1.分式的基本性质：分式的分子和分母__________________________，分式的值不变.
2. 填空：
（1）（2）
二、自学教材P9
三、自学检测：
1.最简二次根式：①被开方数不含______；②被开方数中不含_______的因数或因式.
2.阅读下列运算过程：
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请利用上述方法化简：
=___________________________.
3.下列根式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
4.将下列二次根式化为最简二次根式：
（1）=__________；
（2）=__________.
5.计算：
（1）；（2）.
6.设长方形的面积为S，相邻两边长为a，b.已知S= ，b= ，求a的长.
四、归纳新知，解疑惑：
1.最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
问题补充(个性设计)
2.分母有理化：分子、分母都乘适当的二次根式.
五、举例应用巩固：
知识点1：最简二次根式的概念
【例1】
下列二次根式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
知识点2：分母有理化——分母是数字
【例2】化简下列二次根式.
（1）；（2）；（3）；（4）.
知识点3：分母有理化——分母是字母
【例3】化简：
（1）; （2） .
知识点4：应用
【例4】如图，已知等边三角形面积为S，边长为a，则，若，求边长a．
六、变式训练：导学案P10
七、课堂小结：
1.最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.分母有理化：分子、分母都乘适当的二次根式.
八、课后作业：
作业必做：导学案P11第5—10题
选做：导学案P11第11题
板
书
课后反思。