《复变函数》练习题二
(完整)《复变函数》练习题
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福师12秋《复变函数》练习题注:1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
一、单项选择题1．2sin i =（ )A ． B. C ． D ．答案：D2．函数在复平面上（ ） A ．处处不连续B.处处连续，处处不可导C 。
处处连续，仅在点z =0可导 D.处处连续，仅在点z =0解析 答案:C3．设C 是绕点的正向简单闭曲线，则 ( )A ．B ．C ．D ．0答案：C 4．，分别是正向圆周与，则( ）A ．B ．cos2C ．0D ．sin2答案：D二、填空题1()e ei--1()e ei-+1()e e i --1e e-+2()f z z =00z ≠530()C z dz z z =-⎰2iπ3020z iπ502z i π1C 2C 1z =21z -==-+-⎰⎰dz z zi dz z e i c c z212sin 21221ππ2i π1. 设，则________。
考核知识点:复数代值。
2．设是解析函数．若,则______． 考核知识点:解析函数的导数.3. 设C 为正向圆周,则 。
考核知识点：柯西积分公式.4．幂级数的收敛半径为_________.考核知识点：幂级数的收敛半径。
5. = .考核知识点:复数的乘幂。
提示：6．设为的极点，则____________________．考核的知识点:函数的极点。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
复变函数参考答案(1-8章)
复变函数与积分变换同步练习参考答案中北大学复变函数教研室编印1复变函数同步练习第一章参考答案三、作业题1、(1)设23412i z i +⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则z = 5 ，辐角主值为4arctan()3π−。
(2)设55(1)1(1)1i z i −−=++，则其实部为125−，虚部为3225−。
提示：本题注意到2(1)2i i −=−，2(1)2i i +=。
则52225222(1)1[(1)](1)1(2)(1)1132(1)1[(1)](1)1(2)(1)12525i i i i i z i i i i i i −−−−−−−−====−−+++++++ 。
(3)一复数对应的向量按逆时针方向旋转23π时对应的复数为1i +，则原复数为1122−+−+。
提示：本题相当于解23111(1)()(1)2222i z ei i i i π−−+−=+=−−+=+。
(4)设1z =2z i =−，则12z z 的指数式i122e π，12zz 的三角式为 155[cos sin 21212i ππ+。
(5)2122lim1z zz z z z →+−−=−32。
提示：211122(2)(1)23limlim lim 1(1)(1)12z z z zz z z z z z z z z z →→→+−−+−+===−−++。
(6)设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π−=，那么z=1−+。
提示：（利用复数的几何意义）向量2z −与向量2z +夹角为5632πππ−=，在复平面上，代表复数2z −、z 、2z +的点在平行于x 轴的直线上（由于此三点的虚轴没有发生变2化）。
连接0，2z +，2z −的三角形为Rt Δ。
因此推出向量2z =，2arg 3z π=，即1z =−+。
本题也可以利用代数法来做。
2、把复数πααα≤≤+−=0,sin cos 1i z 化为三角表示式与指数表示式，并求z 的辐角主值。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
大学复变函数题
大学复变函数题复变函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的研究中起着重要的作用。
下面我将介绍几个关于大学复变函数的题目，以便更好地理解和应用这一概念。
1. 题目一：计算复变函数的极限给定复变函数$f(z)=\frac{z^2-1}{z-i}$，求当$z\to i$时，$f(z)$的极限值。
解析：我们可以使用极限的定义来求解这个问题。
首先假设$z=x+iy$，其中$x$和$y$分别表示实部和虚部。
将$z$代入$f(z)$中，得到：$$f(z)=\frac{(x+iy)^2-1}{x+iy-i}$$化简后得到：$$f(z)=\frac{x^2-y^2-1+2xyi}{x+(y-1)i}$$当$z\to i$时，即$x\to 0$且$y\to 1$，代入上式可以得到极限值： $$f(i)=\lim_{z\to i} f(z) = \frac{-1-2i}{-i} = 1-2i$$因此，当$z\to i$时，$f(z)$的极限值为$1-2i$。
2. 题目二：计算复变函数的导数给定复变函数$f(z)=e^z+z^2$，求$f(z)$的导数。
解析：要计算复变函数的导数，我们可以直接对其进行求导。
给定$f(z)=e^z+z^2$，对$z$求导得到：$$f'(z) = \frac{d}{dz}(e^z+z^2) = e^z+2z$$因此，$f(z)$的导数为$f'(z) = e^z+2z$。
3. 题目三：计算复变函数的积分给定复变函数$f(z)=\frac{1}{z^2+4z+3}$，求$\int_C f(z) dz$，其中$C$为单位圆周。
解析：要计算复变函数的积分，我们可以使用留数定理。
首先找到函数$f(z)$在复平面上的奇点，即令分母等于零得到： $$z^2+4z+3 = 0$$解这个方程可以得到$z=-3$和$z=-1$。
根据留数定理，我们只需要计算这两个奇点对应的留数，并将其相加即可得到积分的结果。
复变函数综合练习题及答案
1复变函数综合练习题及答案第一部分 习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.( ) 2. 设z=x+iy , 则=z z 22y x +.()3. 设,2321i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.( ) 5. 方程1=ze 有唯一解z=0.( ) 6.设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)()(z g z f 在点0z 处必可导.()7.设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在00iy x z +=处可导,则)(00,0)()(y x yui y v z f ∂∂-∂∂='.( )8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.()11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则0)(00=-⎰=-r z z n z z dz.()13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰'=1)()]([)(t t cdt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲线c 的起点,终点对应的t 值.( )214. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f .( )15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有)(2)(00z if dz z z z f cπ=-⎰. ( )16. 设幂级数∑+∞=0n n nz c在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z fz f )(!)()(000)(-=∑+∞=. ( )18. 设级数n n nz z c)(0-∑+∞-∞=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它是)(z f 在此环域内的罗朗级数.( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.()20. 设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点,则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( )二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________.A. 45,8πB. 4,24πC. 47,22π2.)Re(1z z -<是__________区域.A. 有界区域B. 单连通区域C. 多连通区域3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零B. 仅存在一个z 使z z-=1C.iz z i=14.在复数域内,下列数中为实数的是__________.A. i cosB. 2)1(i -C.38-35.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch16.函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成___________.A. 412v u -<B. 412v u -≤C. 214v u -<7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导C. 解析8. 下列函数中为解析函数的是_____________.A. )(z f =iy x -2B.)(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x -9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.A. 可导函数B. 调和函数C. 共轭调和函数10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则⎰-cn z z dz)(0=________________. A. 0B. i π2C. 0或i π211. 积分dz z zz ⎰=-22)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin112. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A.⎰=-23z dz z zB. 1sin z zdz z =⎰C.⎰=15z zdz ze 13. 复数项级数∑+∞=13n nnz 的收敛范围是________________.A. 1≤zB.1<zC.1>z14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ⋃⋃组成4复合闭路Γ且D D ⊂Γ,则___________________. A. 0)()()(21=++⎰⎰⎰c c c dz z f dz z f dz z fB. 0)(=⎰Γdz z fC.⎰⎰⎰-=21)()()(c c c dz z f dz z f dz z f15.函数)(z f =221ze z-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数B. 罗朗级数C. 都不是16. 0=z 是4)(zshzz f =的极点的阶数是_____________. A. 1B. 3C. 417. 0=z 是411)(zez f z-=的____________________. A. 本性奇点B. 极点C. 可去奇点18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n nz z cz f )()(0∑+∞-∞=-=,其中系数n c =______________________.A.!)(0)(n z fn , ,2,1,0=nB.!)(0)(n z fn ,,2,1,0±±=nC.,,2,1,0,)()(2110 ±±=-⎰+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =1-ze z,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0B. 1C. i π2 20. 设函数)(z f =)1(cos -z e z z,则积分⎰=1)(z dz z f =________________.5A. i π2B. ]0),([Re 2z f s i πC. .2,0,]),([231i z zz f ik k kππ±=∑=三. 填空题 (共14题)1. 复数方程31i e z-=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3.411<++-z z 表示的区域是___________________________________.4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,),(y x v =_______________________.5. 设函数)(z f =⎩⎨⎧=≠+-0,00,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ⎰=-++22173,则)1(+'i f =________________________.若)(z f =ζζζζd z z ⎰=-+2353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则⎰1)(z z dz z f =_______________________.8. 当a =________时,xyiarctgy x a z f ++=)ln()(22在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的__________阶极点,为)()(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =zzsin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.612. 设∑+∞-∞==n nn z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c .13. 积分dz zez z⎰=11=________________________.14. 留数__________]0,1[Re _,__________]0,1[Re 2sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题(共6题)1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求)(z f '.2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足i f =)0(.3. 试讨论定义于复平面内的函数2)(z z f =的可导性. 4. 试证22),(y x yy x u +=是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f .5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且zz e e =')(.6. 证明⎰⎩⎨⎧>==-c n n n i z z dz1,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.五. 求下列积分 (共24题)1. 计算dz z c⎰sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至)1,1(1z 的折线段.2.⎰+cdz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.73.⎰+-cdz z z)652(2, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.dz ze iz ⎰+π11. 5.dz z z i z ⎰=-++21)4)(1(122 6.dz z z zz ⎰=--ππ2)1(cos 2.7.⎰=-232)(sin z dz z zπ. 8.⎰-+=cz z dzI )2()1(2,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.⎰++=cz z dzI )1)(12(2,其中曲线c 分别为1)1=-i z2)23=+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e cz⎰-3)1(. 11. 23cos sin [](2)zzz e z e I dz z z z ==+-⎰. 12.⎰=--2)1(12z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.13. dz z z e z z⎰=-1302)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.14. dz z e z z⎰=+222)1(π.815.⎰=-24)1(sin z dz z zπ. 16.dz z z zz ⎰=-+12)12)(2(sin π. 17.⎰=1z zdz tg π.18.dz z zz ⎰=22sin . 19.⎰=+-122521z dz z z . 20.dz z z z ⎰=+-14141. 21.dz iz z z ⎰=-+122521.22. dz z z z c ⎰++)4)(1(222,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.23. dz z z c ⎰++1142,其中c 同上.24.⎰++c dz z z )1)(9(122,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)1.421)(z e z f z-=.2. 1sin )(-=z z z f .3.3)1(sin )(z zz f +=.94.224)1(1)(++=z z z f . 5.1)(-=z e z z f . 6.2)1()(-=z z e z f z. 7. 11)(23+--=z z z z f .8.z zz f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)1.)2()1(1)(22z z z z f --=110<-<z2.13232)(2+--=z z zz f231<+z 3.1)(-=z e z f z+∞<-<10z4. 21)(2--=z z z f1)1<z ,2). 1<z <2,3). 2<∞<z5.)1(1)(2z z z f -=110<-<z 6.z z f cos )(=+∞<-πz 7.2)1(1)(z z f +=1<z8.zzz f sin 1)(+=π<<z 0 (写出不为零的前四项)9.)1(cos )(2-=z e z z z f+∞<<z 0 (写出不为零的前三项)1010. zz z f sin )(=π<<z 0 (写出不为零的前三项)11第二部分解答一、判断题.(共20题)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √二、单项选择题.(共20题)1. A.2. B.3. C.4. A.5. B.6. A.7. A.8. B.9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题 1.,210)(235(2ln ±±=++，，k k i ππ) 2.47π ，i 472ln 23π+ 3. 13422<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos +5. 16. i ππ2612+- ，π36-7.)()(01z G z G -8.21 9.n m + ，n m -10.2π 11. π<<z 01212. 1 ，-61 13.i π14. 0 ，1四、求解下列各题1. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2323),(),(lxyx y x v ynx my y x u利用yv nxy x u ∂∂==∂∂2 ，得l n =222233ly x xvnx my y u --=∂∂-=+=∂∂，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy xvi x u z f -+-=∂∂+∂∂='23iz =2. 由于x xu y v 6=∂∂=∂∂ 所以 ⎰+==)(66),(x xy xdy y x v ϕ，)(6x y xvϕ'+=∂∂ 又由yux v ∂∂-=∂∂，即y x y 6)(6='+ϕ 所以 0)(='x ϕ，C x =)(ϕ（C 为常数）故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=23)(3. 由题意知⎩⎨⎧=+=0),(),(22y x v y x y x u ，由于1302=∂∂==∂∂y v x x u ，02=∂∂-==∂∂x v y y u 可得⎩⎨⎧==00y x 由函数可导条件知，2)(z z f =仅在0=z 处可导。
复变函数练习题
复变函数练习题一、填空题1. 复变函数的定义域是__________，值域是__________。
2. 若复数z = a + bi（a, b为实数），则z的共轭复数是__________。
3. 设f(z) = z^2 + 3z + 2，则f(1+i) =__________。
4. 复数z = 1 + i的模为__________，辐角为__________。
5. 若f(z) = e^z，则f'(z) =__________。
二、选择题1. 下列哪个函数是整函数？（）A. f(z) = z^2B. f(z) = 1/zC. f(z) = |z|D. f(z) = sin(z)2. 复变函数f(z) = z^3 3z在z = 0处的泰勒展开式为（）A. f(z) = z^3 3z + 3z^2 zB. f(z) = z^3 3z + 3z^2 z^4C. f(z) = z^3 3z + 3z^2 z^3D. f(z) = z^3 3z + 3z^23. 下列哪个复数是解析函数的孤立奇点？（）A. z = 0B. z = ∞C. z = 1+iD. z = 1i4. 复变函数f(z) = e^z在z = 0处的洛伦兹级数为（）A. f(z) = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + …B. f(z) = 1 + z + z^2/2 + z^3/3 + …C. f(z) = 1 z + z^2/2! z^3/3! + …D. f(z) = 1 z + z^2/2 z^3/3 + …5. 复变函数f(z) = sin(z)在z = π处的留数为（）A. 1B. 1C. 0D. 无法确定三、计算题1. 设f(z) = (z^2 + 1)/(z i)，求f(z)的洛伦兹级数展开。
2. 求解积分∮(1/(z^2 + 4))dz，其中积分路径为以原点为中心，半径为2的圆。
3. 设f(z) = e^zsin(z)，求f(z)在z = 0处的泰勒展开式。
复变函数试题答案
1-3参考答案试题一一1.11)),22i -+2.526632,2,2ii i e e eπππ 3.2exp(2)2z π+4.1ln 2(2)22e e i k k ππ-+++为整数 5.2(1)i e π+6.27.21(2)(1)(21)!n nn z n +∞=-+∑ 823Re()09s s >+ 二．1-5 D A A C D三．1.解:由于=1z ，=2z i ，均位于圆周内，由柯西积分公式得23431212C CCdz dz dz z z i z z i ⎛⎫+=+ ⎪--++⎝⎭⎰⎰⎰ 224212i i i πππ=⨯+⨯=注:其他解法正确也应给分2.解: ()f z 在C 所围成的区域内有121,1z z ==-两个孤立奇点,2211213211Re [(),1]lim(1),Re [(),1]lim(1)1212z z z z s f z z s f z z z z →→-++=-=-=+=--,2' 所以由留数定理,原式()2Re [(),1]Re [(),1]224i s f z s f z i i πππ=⋅+-=⨯=.注:其他解法正确也应给分 3.解:11sin cos z zdz z d z ⋅=-⎰⎰111000cos |cos cos1sin |z z z zdz z =⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰sin1cos1.=-四．1.解:因为22u x axy by =++,22v cx dxy y =++2,2,2,2u u v vx ay ax by cx dy dx y x y x y∂∂∂∂=+=+=+=+∂∂∂∂ 要使,u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 只需22,22x ay dx y ax by cx dy +=++=-- 得到2,1,1,2a b c d ==-=-=2.解:23231,2!3!!(1)1,2!3!!nzn zn z z z e z n z z e z z n -=++++++-=-+-+++3521()23!5!(21)!z z n n e e z z z f z z n -+∞=-∴==+++=+∑ 收敛半径.R =+∞3.解:011z <-<时，()21111()()(1)(1)22f z z z z z '=⋅=⋅----- 因为()()0111121111nn z z z z ∞===-=----+---∑所以()111()12n n n z z ∞-='=---∑所以 ()()12111()111n n n n f z n z n z z ∞∞--===-=--∑∑ 当021z <-<时，220111()(1)(2)(2)12(2)n n n f z z z z z ∞==⋅=⋅---+--∑ 20(1)(2)n n n z ∞-==--∑4.22(2)()(sin )z z f z z π-=sin()0z z k πππ=⇒=，故()f z 的奇点为,0,1,2,z k k ==±± ---------当()(),sin |0,sin |0z k z k z k z z ππ=='==≠，z k ∴=是sin()z π的一级零点， 是2(sin())z π的二级零点 ------------------又由于12z =，是(1)(2)z z --的一级零点 所以12z =，是()f z 的一级极点，-------当,1,2z k z =≠时，k 是()f z 的二级极点。
【复变函数期末考卷】复变函数考试试题
《复变函数》练习题一.单项选择题.1. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 2.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 3.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 4.下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 5. 使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 6. z e 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 7. 设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的8. 设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能9. 设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π410. 10. 复数ii+=1z 位于复平面第( ) 象限. A ．一 B ．二 C ．三 D ．四11. 下列等式成立的是( ).A ．Lnz Lnz 77=； B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i； D ．)z z Re(z z =。
复变函数复习考卷及其答案好!
复变函数复习考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. $e^z$B. $\frac{1}{z}$C. $\sqrt{z}$D. $\ln(z)$2. 复变函数在孤立奇点处的洛朗级数展开中，负幂项系数的含义是？（）A. 函数在该点的留数B. 函数在该点的导数C. 函数在该点的极限D. 函数在该点的幅角3. 复变函数在解析区域内解析的充分必要条件是？（）A. 柯西黎曼方程成立B. 洛朗级数展开存在C. 原函数存在D. 哈尔迪惠特尼定理成立A. 柯西积分定理B. 奇点定理C. 留数定理5. 复变函数在孤立奇点处的留数等于？（）A. 奇点处的函数值B. 奇点处的导数C. 奇点处的极限D. 奇点处 Laurent 展开式中负幂项系数的和6. 复变函数的导数等于？（）A. 实部关于 x 的偏导数B. 虚部关于 y 的偏导数C. 实部关于 x 的偏导数与虚部关于 y 的偏导数的和D. 实部关于 x 的偏导数与虚部关于 y 的偏导数的差7. 复变函数在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径无关的条件是？（）A. D 为单连通区域B. D 为多连通区域C. D 为有界区域D. D 为无界区域8. 复变函数的泰勒级数展开式在收敛圆内的性质是？（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 无条件收敛D. 不能确定二、填空题（每题4分，共40分）1. 复变函数 $f(z) = e^z$ 在 $z=0$ 处的泰勒级数展开式为______。
2. 复变函数的导数 $f'(z)$ 满足______方程。
3. 若复变函数 $f(z)$ 在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径______。
4. 复变函数在孤立奇点处的留数等于该点______项系数的和。
5. 复变函数在解析区域内解析的充分必要条件是______。
6. 复变函数在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径无关的条件是 D 为______区域。
7. 复变函数的泰勒级数展开式在收敛圆内的性质是______。
复变函数练习题
复变函数练习题一、选择题1. 复数 \( z = x + yi \) 中，\( x \) 和 \( y \) 分别代表什么？A. 模和幅角B. 实部和虚部C. 虚部和实部D. 幅角和模2. 以下哪个是复平面上的单位圆？A. \( |z| = 1 \)B. \( |z| = 2 \)C. \( |z| > 1 \)D. \( |z| < 1 \)3. 复数 \( z \) 的共轭 \( \bar{z} \) 表示什么？A. \( z \) 的实部B. \( z \) 的虚部C. \( z \) 的实部和虚部的相反数D. \( z \) 的虚部的相反数二、填空题4. 若 \( z = 3 - 4i \)，则 \( z \) 的模是________。
5. 复数 \( z \) 的导数 \( \frac{d}{dz} \) 在 \( z \) 为纯虚数时，等于________。
三、简答题6. 描述复数的四则运算规则，并给出一个具体的例子。
7. 解释什么是解析函数，并给出一个解析函数的例子。
四、计算题8. 计算复数 \( z = 2 + 3i \) 的幅角 \( \arg(z) \)。
9. 给定 \( f(z) = z^2 + 2z + 1 \)，求 \( f(2 + i) \)。
五、证明题10. 证明 \( |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \) 对所有复数\( z_1 \) 和 \( z_2 \) 成立。
11. 证明 \( \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 对所有非零复数 \( z \) 成立。
六、综合题12. 考虑函数 \( f(z) = \frac{1}{z - 1} \)，求其在 \( z = 2 \) 处的留数。
13. 利用柯西积分公式，计算 \( \oint_C \frac{e^z}{z^2} dz \)，其中 \( C \) 是以原点为圆心，半径为 \( 1 \) 的圆周。
《复变函数》考试试题与答案(二)(可编辑修改word版)
0 《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20 分）1.若函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 在D 内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D 内连续.( )2.cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4.有界整函数必为常数. ( )5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则lim f (z) 一定不存在. ( )z →z06.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7.若f(z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ⎰C f (z)dz = 0 .( )8.若数列{zn } 收敛，则{Re zn} 与{Im zn} 都收敛. ( )9.若f(z)在区域D 内解析，则|f(z)|也在D 内解析. ( )10.存在一个在零点解析的函数f(z)使二. 填空题. (20 分) f (1n +1) = 0 且f (1) =2n1, n= 1,2,... .2n( )1. 设z =-i ，则| z |=, a rg z =, z =2.设f (z) = (x2+ 2xy) +i(1 - sin(x2+y2 ),∀z =x +iy ∈C，则limz →1+if (z) =.3. ⎰|z-z|=1dz(z -z) n=.（n 为自然数）4.幂级数∑n z n的收敛半径为.n=05.若z0是f(z)的m 阶零点且m>0，则z0是f '(z) 的零点.6.函数e z 的周期为.7.方程2z5-z3+ 3z + 8 = 0 在单位圆内的零点个数为.8.设f (z) =11 +z2，则f (z) 的孤立奇点有.9.函数f (z) =| z | 的不解析点之集为.∞z i)10.10.Res( z -1z 4,1) = .三. 计算题. (40 分)1. 求函数sin(2z 3) 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z = i 处的值.3. 计算积分： I的右半圆.=⎰-i| z | d z ，积分路径为（1）单位圆（| z |= 1）4. 求 sin z dzz =2(z - 2 2 . 四. 证明题. (20 分)1. 设函数 f (z )在区域 D 内解析，试证：f (z )在 D 内为常数的充要条件是 f (z ) 在 D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题⎧2i n = 11.1， - ， 2i ；2. 3 + (1- sin 2)i ；3. ⎨⎩ ； 4. 1；5. n ≠ 1m -1 .6. 2ki ， (k ∈ z ) .7. 0；8. ±i ； 9. R ；10. 0.三. 计算题3∞(-1)n(2z 3 )2n +1∞(-1)n 22n +1 z 6n +31. 解 sin(2z ) =∑n =0(2n +1)!= ∑n =0(2n +1)!.2. 解 令 z = re i .则 f (z ) = =+2kire2,(k = 0,1) .z⎰ 0i )0 z =22又因为在正实轴去正实值，所以 k = 0 . i 所以 f (i ) = e4 .3. 单位圆的右半圆周为 z = e i,- ≤≤ . 22⎰-i⎰所以4. 解z dz =2de i = e i2 - - 22= 2i .⎰sin zdz = 2i (sin z )'(z - z =2= 2i c os z 2z = 2 =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令 f (z ) = c 1 + ic 2 ,则 f (z ) = c 1 - ic 2 . ( c 1 , c 2 为实常数). 令u (x , y ) = c 1 , v (x , y ) = -c 2 . 则u x = v y = u y = v x = 0 .即u , v 满足C . - R ., 且u x , v y , u y , v x 连续, 故 f (z ) 在 D 内解析.(充分性) 令 f (z ) = u + iv , 则 f (z ) = u - iv , 因为 f (z ) 与 f (z ) 在 D 内解析, 所以u x = v y , u y = -v x , 且u x = (-v ) y = -v y ,u y = -(-v x ) = -v x .比较等式两边得 u x = v y = u y = v x = 0 . 从而在 D 内u , v 均为常数,故 f (z ) 在 D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 a z n + a z n -1 + ⋅⋅⋅ + a z + a = 0 (a ≠ 0) 有且只有 n 个根”.1nn -1n -1n⎧⎪ a 1 + ⋅⋅⋅ + a n ⎫⎪证明 令 f (z ) = a 0 z + a 1 z + ⋅⋅⋅ + a n -1 z + a n = 0 , 取 R > max ⎨⎪⎩ a 0 ,1⎬ , 当 z ⎪⎭在C : z = R 上时, 有 (z ) ≤ a 1 R n -1 + ⋅⋅⋅ + a R + a n < ( a 1 + ⋅⋅⋅ + a n )Rn -1< a R n .由儒歇定理知在圆z < R = f (z ) .内, 方程a z n + a z n -1 + ⋅⋅⋅ + a z + a = 0 与 a z n = 0 有 相 01n -1n同个数的根. 而 a z n= 0 在z < R 内有一个 n 重根 z = 0 . 因此 n 次方程在 z < R内有 n 个根.n -1 0。
复变函数练习题及答案
复变函数卷答案与评分标准一、填空题：1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。
定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。
（3分）定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。
（3分）定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =⎰ 。
（3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。
（3分）2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。
（3分）3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222i k i π++，其中k 为整数。
（3分） 4、设()2010sin z f z z+=，则()0Re z s f z ==2010。
（3分） 二、验证计算题（共16分）。
1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。
（8分）解：（1）22u x x ∂=+∂，222u x ∂=∂；2u y y∂=-∂，222u y ∂=-∂。
由于22220u u y x∂∂+=∂∂，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。
（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有22v u x y x∂∂==+∂∂，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++⎰ 2,v u y x y∂∂=-=∂∂又2()v y C x x ∂'=+∂ ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。
复变函数第二章习题解答
习题二解答1、解：1）连续 令iyx z zy x iv y x u z f +=+=+=,11),(),()(2则由222222222212111111zxy izy x zz z+-++-+=++=+显然，),(),,(y x v y x u 在1<z 内连续2）不一致连续 因为取⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=+=>∀=δδεδδ11'',1',0,51n inn z i n n z 取显然，()δδδ<+=--+=-1111'''n n nn n n z z但()()()()222222111111''11'11nn n n z z ---⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-+δδ()()ε>=->--=-+-=41421412121212222222nn n n n n n n2、()iyx z y x zz f +=+==,222则，0),(,),(22=+=y x v y x y x u0,2,2====y x y x v v y u x u显然上述四个偏导在整个复平面上连续 由R C-条件⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==00202y x y x22222222)2()1(2),(,)2()1(1),(xy y x xyy x v xy y x yx y x u +-+-=+-+-+=∴()2zz f =∴只在0=z 处可导，而处处不解析3、证明：()yy x xziUV R C iV U z f D iy x V--+='=∈+=0,0====∴y x yx V V UU),(),,(y x V y x U 在D 内为常数 故)(z f 在D 内为常数 4、证明（1）令()),(),(y x iv y x u z f +=若),(y x u 在D 内为常数，则在D 内，0==y xu u由C-R 条件知，对),(y x v 有在D 内0==y xv v∴),(),,(y x v y x u 在D 内为常数 )(z f在D 内为常数对),(y x v 于D 内为常数时，同理可证得结论 （2）由()222v u z f +=在D 内为常数设()*22cv u =+若0=c 知()0=z f 于D若0≠c ，此时：对()*求偏微分得22022=+=+y y x x vv uu vv uu再由C-R 条件，并讨论二元一次方程组的解，可解出====y x y x v v u u ，由此可得)(z f 在D 内为常数5、证明：若∈z 上半平面，则∈z 下半平面 设()),(),(y x iv y x u z f +=，则()),(),(),(),(y x i y x y x iv y x u z f ψϕ+∆---=)(z f 在上半平面解析),(),,(y x v y x u ⇔在上半平面解析且满足RC -方程x y y x v u v u -==,又()()),(,),,(,y x v y x y x u y x --=-=ψϕ()()()()yy x v y x y x v x yy x u y x y x u x x ∂-∂=∂∂∂-∂-=∂∂∂-∂-=∂∂∂-∂=∂∂,,,,,,ψψϕϕ∴当)(z f 在半平面解析时，),(,,y x y ）（x ψϕ在下半平面可微，且满足R C -方程xyy x2222,2222ψϕψϕ-==)(z f ∴在下半平面解析6、证明：（1）xyi y x iy ）（x z 2.2222+-=+=xv y v y uy x ux xy y x v y x y x u y x 2,2,2,22),(,),(22==-===-=显然y x y xv v u u,,,在整个复平面连续，且xy x v uy v u -==,2z ∴在复平面解析 （2）yie y e ee xx iyx zsin cos +==-ye v y e v y e u y e u yie y x v y e y x u xy xx xy xx xxcos ,sin ,sin ,cos sin ),(,cos ),(==-====显然，yx y xv v u u,,,在整个复平面上解析，且x y y xv v v u-==,满足C-R 方程z e ∴在整个复平面上解析()()()()[]()xee y x v x ee y x u xeei x e e xe ei x eeieei z yyyyyyyyy yyyizizcos 2),(,sin 2),(cos 2sin 2sin cos 2121sin3--------=+=--+=++-=-=xee u x ee u yyy yyx sin 2,cos 2---=+=x eev x ee v yyy yyx cos 2,sin 2++=--=--yx y x v v u u ,,,在复平面上连续，且满足x y y xv u v u-==,zsin ∴在整个复平面上解析（4）同理z cos 在整个复平面上解析 （5）()xyi y x iy x z 222--=+=xv y v y u x u xy y x v y x y x u y x y x 2,2,2,22),(,),(22-=-=-==-=-=yx y x v v u u ,,,在复平面上连续由得xy y x v u v u ⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=--=02222y x y y x x所以2z 只在0=z 处可导，而在整个复平面上均不解析 同理可证z z e z cos ,sin ,在复平面上不解析、7、证明()θθθθθθθθθθθθ∂∂⋅=∂∂∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂+⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂-===vr ru x uy u r R C r yv r xv y y vxx v v y u x u r yy u r x x u ru r y r x y x iv y x u z f 1cos sin cos sin 22sin cos sin ,cos ),,(),(条件则设()()rv ru y u xu y v x v r yy v r x x v rv x u y u r r yu r xu y yu x x u u ∂∂-=∂∂∴⋅∂∂-⋅∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=∂∂+-⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂θθθθθθθθθθθθcos sin sin cos sin cos cos sinrv ru vr ru ：∂∂-=∂∂∂∂⋅=∂∂∴θθ,1条件是极坐标下的柯西一黎曼8、证明：（1）如同证明)(z f 存在则),(),,(y x v y x u 的偏导数也存在一样归纳可证明：)(z f 的实部和虚部在D 内也有任意阶导数 而xy y xv u u u-==,xy yy xy xxv u v u -==∴,=+∴yy xxv u，同理0=+yy xxv v（2）设()()),(,y x iv y x u z f +=，则()222vu z f +=()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∴22222222222222222222y v vy v y u u y uyz f x v v x v x u u x u xz f又0,022222222=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂yv xv yu xu且,,xv yu yv xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂代入整理得：()()()22222222244z f x v x u yz f xz f '=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂+∂∂9、()()()()()[]()[]()()()()()()()()()()()()()()(),1,0,122sin122cos 2122sin 122cos2,1,022ln 22cos 1,1,0,,2,1,0,242ln 2121arg 1ln 11sin 1cos 2122ln 222arg 2ln 2222222221arg 1ln 2122222202arg ln 222ln 2±=+++=+++====-±=+=====±=====+±+⎪⎭⎫⎝⎛++=++++=++==+++-+--++⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++k k i k k i k e e e e k k is k e eeek e eee i k k i k i i i i Ln i ee e ek i k i Ln k i k i k i i Ln k k i i k i i i i iLnii i ziπππππππππππππππππππ10、()()()()()1111221cos 22222-+-=-+=∴-+==+-+==-z z iLn w z z Ln iw z z ezee eez w ziwiwiwiwiw即故11、证明：()()()()()zz eeiz ee z iz i z e e ieeiee i iz ee z zzzzzzzziz i izi zzcosh cosh 21cos 2cosh sin sinh 212121sin 2sinh =∴+=+=-=∴-⋅-=-=-=-=---+---()()()()()()()222221ln 1ln 11ln 101221sin 1z iz i iiz i w iiz iw iiz eizee eeiz w ziwiwiwiwiw-+-=-+=-+=∴-+==---==-即故()()()()212112212121222222sinh cosh cosh sinh cos sin cos sin )sin()(1sin cos sin cos sinhcoshz z z z iz iz i iz iz i iz iz i z z son iz iz z i iz z z +=--=+-=+=+=--=-212121212121212121sinh sinh coshcosh )sin )(sin (cos cos sin sin cos cos )cos()(cos )cosh(z z z z iz i iz i z iz z iz iz iz iz iz z z i z z +=--+=-=+=+=+yz i y z z siyiy i i iy z ziy iy z iy x sinh cos cosh cos cos )(cos sin cos sin cos sin )sin(+=-+=+=+yx i y x iy i x i iy z iyx iy z iy x sinh sin cosh cos sin )(sin cos cos sin sin cos cos )cos(-=--=-=+ziz i iz dzd z dzd z iz iz i i iz i dz d z dz d sinh sin )(cos cosh cosh cos cos )sin (sinh =-====⋅-=-=12、证明()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂-+=-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=+=-=+=y u i x u zv y u i xui zux u zy y u zx xu z u y u i x u i y u x u z y y u y x x u z u i zz z z u y x u izy zx izy zx z z iy ，z z x iy x z iy x z 21212121212121)2,2(),(21,21,21,21,2121,同理于是得由),(0,2121212121=∂∂+∂∂=∂∂∴=∂∂+∂∂=∂∂∂∂-=∂∂∂∂=∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+=zv iz u zf z f zv izu zf y ux v y v x u：x v y u i y v x u y v i x v i y u i x u zv i z u zf ivu f 成柯西一黎曼条件可以写对于得由柯西一黎曼条件13、解：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+====z z Ln z z Ln z f z z Ln z f ，z e zf e z f z z111111)11(20)1(,)(11从而不解析点无定义在。
复变函数复习考卷及其答案好!
复变函数复习考卷及其答案（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5题，每题4分，满分20分）1. 下列函数中，哪个是全纯函数？（）A. f(z) = zB. f(z) = |z|C. f(z) = z^2 + 1D. f(z) = ln|z|2. 复变函数f(z)在z=0处解析，则下列结论正确的是？（）A. f'(0) = 0B. f(0) = 0C. f(z)在z=0的某个邻域内可展开成幂级数D. f(z)在z=0的某个邻域内不可导3. 复变函数f(z)在区域D内解析，则下列说法正确的是？（）A. f(z)在D内必定有极值B. f(z)在D内必定有零点C. f(z)在D内必定满足柯西黎曼方程D. f(z)在D内必定是单调函数4. 复变函数f(z)在区域D内解析，且f'(z) ≠ 0，则f(z)在D 内？（）A. 必定有极值B. 必定是单调函数C. 必定是双值函数D. 必定是一一映射5. 下列级数中，哪个是收敛的？（）A. ∑(n=1 to ∞) z^n / nB. ∑(n=1 to ∞) (1/z)^nC. ∑(n=1 to ∞) sin(nz)D. ∑(n=1 to ∞) n^2 z^n二、填空题（共5题，每题4分，满分20分）1. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y) = x^2 y^2，v(x, y) = 2xy，则f'(z) = _______。
2. 若f(z) = e^z，则f'(z) = _______。
3. 复变函数f(z)在z=0处解析，且f(0) = 1，f'(0) = i，则f(z)在z=0处的泰勒展开式为 _______。
4. 复变函数f(z)在区域D内解析，且满足|f(z)| ≤ M，则f(z)在D内满足 _______。
5. 复变积分∮(C) (1/z) dz中，C为以原点为中心，半径为R的圆，则该积分的值为 _______。
复变函数复习题二(参考答案)
复习题二一、 判断题（正确打∨，错误打⨯，把判断结果填入下表。
）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内解析。
（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。
（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）7、若0z 为)(z f 的孤立奇点,且)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f (z )的可去奇点。
（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。
（ ）10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。
（ ）二、 单项选择题（将选择结果填入下表。
）.)Re()Re()(;)(;)(;)()(,12121212121z z D z z C z z B z z A z z =====则必有若、.)2,3,2()()2,3,2()(;)2,3,2()(;)2,2,3()()(),,()23()()(222----=+++++-=D C B A c b a y x cxy i by ax y x z f 处处解析，则若、.2)(;2)(;)12()(;)()12()()(13ππππk D i k z C k z B k i k z A e z =-=+==为整数，则此方程解为方程、.0)(;0)(;)(;)()(4122但发散，通项趋于通项不趋于绝对收敛条件收敛为级数、D C B A ne n in ∑∞=.)(;)(;)(;)()(0sin 52二级极点一级极点可去奇点本性奇点是在点函数、D C B A z zz =三、填空题.,2,1,0,23,2311 ±±=+-=-=k k Argz iz ππ则设、2、=+-++→11lim 22z iz z i z _21i -_________。
复变函数习题二解答.docx
第二章部分习题解答1 •试证下列函数在7平面上任何点都不解析。
(2) /(z ) = Rez o色=1色=0空=o 勿’金 >,知1爪)在刁平面上任何点都不解析。
2.下列函数何处可导？何处解析?(1)旳“+的解 (1)由于OXf(z) = xy 2+ix 2y 仅在点“0处可导，在？平面处处不解析。
3•证明：如果函数/(z )=w + /v在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么/⑴ 是常数。
仃)在。
内广^ =°； ⑵雨在D 内解析。
⑶"(z)l 在D 内是一个常数。
解(1)的证明由于/⑵P+必丸，故由引理得纵"=°,根据C.R 条件 即有亏9 = 于是讥乙刃、风兀丿)恒为常数，即/⑵在D 内恒为常数。
(2)若7U) = ^ = u-iv 在区域D 内解析，贝I 」du _ d(- v) _ dv _ d(— v) _ Sudx dy dy ? dy dx dx又f(z) = u^iv 在区域D 内解析，贝IJdu du __dx , 5y dx dy知/(z)在z 平面上任何点都不解析。
du dx(1)在Z 平面上处处连续，且当且仅当 沪0时，6 才满足C~R 条件，故du dv du dv—=— —— --------- dx dy, dy dx结合(1)、(2)两式，有du _ du _dv _dv dx dy dx vy故以在〃内均为常数，分別记之为均=C 19u 2=C 2(C l9C 2为实常数), 则 /(Z ) = M+ ,V =C] +iC 2 =C 为一复常数。
(3)若1%)1在D 内为一常数，记为G,则两边分别对于x 和y 求 偏导，得由于/C)在〃内解析，满足C-R 条件du dv dudv II■I■,dx dy ?dx代入上式又可写得duu---- dx du v ——+ dxSv dv c——=——=U同理，可解得％ 巧 故均为常数，分别记为U = C^V = C 29 则 /(z) = u + iv=C {+iC 2=C 为一复常数。
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复变函数练习题第二
一、单项选择题
1．若z =x +iy ，则)(||2=z 。
D
(A) z z ⋅ (B) 22y x - (C) 22x y - (D) 22y x +
2．设有点集}1|:|{<=z z G ，点i z 3
131+=为G 的（ C ）。
(A) 孤立点 (B) 外点 (C) 内点 (D) 边界点
3．若f (z )=u +iv 在区域G 内是解析函数，则)()(='z f 。
A
(A) x x iv u + (B) x x iv u - (C) x x iu v + (D) x x iu v -
4．
⎰==9||)(z z dz e 。
A (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
5．)(
)1(=-Ln 。
C (A) 0 (B) k πi (k 为整数) (C) (2k +1)πi (k 为整数) (D) (k +1)πi (k 为整数)
二、填空题
1．若点a 为f (z )的可去奇点，则)(lim z f a
z →= 常数c (≠∞) 。
2．)0,1(Re z
s 1 。
3．设w =f (z )为分式线性映射，若扩充复平面上两点1z ,2z 关于圆周c 对称，则)(11z f w =与)(22z f w =两
点关于圆周)(c f c =' 对称 。
4．将扩充z 平面上的点∞,0,1分别映射为扩充w 平面上的点0,1,∞的分式线性映射为 z w -=11 。
5．z e z f =)(在点z=0的幂级数的收敛圆的收敛半径= ∞ 。
三、计算题
1．计算6
23⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=i β 解 66)6sin 6(cos 23ππβi i +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
ππsin cos i += （6分）
=1 （7分）
设23)(z z f =，试求z
z f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim
000 解：因 z z z z z z f z z f z z ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆202000003)(3lim )()(lim 试将1
)(2
-=z z z f 在0<｜z -1｜<+∞内展成罗朗级数 解：f (z )在0<｜z -1｜<+∞内可展成罗朗级数，
有
1
]1)1[(1)(2
2-+-=-=z z z z z f 1
12)1(-++-=z z ，+∞<-<|1|0z 设u =2(x -1)y ，试求解析函数w =f (z )=u +iv ，使得u =2(x -1)y ，且f (2)=-i
解：由C －R 条件
)(22x y v v y u y x ϕ+=⇒==
c x x x x u y +-⇒'-=-=22)(22ϕ
于是
)2()1(2)(22c x x y i y x z f +-++-=
由f (2)=-i 得c =-1 （10分）
故
)12()1(2)(22-+-+-=x x y i y x z f
经验证
)12()1(2)(22-+-+-=x x y i y x z f 或
22)1()12()(--=--=z i z z i z f
即为所求。
（12分）
5．计算积分dx x ⎰+π
20
sin 454 解：令ix e z =，有
z i z x 21sin 2-=，dz z
i dx 1= 于是
⎰⎰=-+=+π
201||2
2524sin 454z dz z i z dx x ππ38)2
,2524(
Re 22=--+⋅=i iz z s i
四、证明题 1．试证：x n x x n nx x x 2sin 2
sin 21sin
sin 2sin sin +=+++ 。
证：令
nx x A cos cos 1+++= ，nx x B sin sin ++= 有 ix
x n i inx x i ix e e e e
e Bi A --=++++=++111)1(2 )2sin 2(cos 21sin 21sin 2sin 221sin
2221x n i x n x x n x ie n n ie x n i x i ++=⋅-+⋅-=+ 故 x n x x Bi A nx x x n
2sin sin sin )Im(sin 2sin sin 2
121+=+=+++ （
2．试利用解析函数的惟一性定理证明：1cos sin 22=+z z 。
证：令
z z z f 221cos sin )(+=，1)(2=z f
因)(1z f 与)(2z f 在复平面解析，且在实轴上相等（8分），所以，由解析函数的惟一性定理在复平面恒有
1cos sin 22=+z z。