函数的奇偶性的判断和证明

函数的奇偶性的判断和证明

一、函数的奇偶性的定义

对于函数 f(x) ，其定义域 D 关于原点对称，如果 x D,恒有 f( x) f ( x) ，那么函数 f(x)为奇

函数；如果 x D,恒有 f( x) f (x) ，那么函数 f (x)为偶函数 . 二、奇偶函数的性质

1、奇偶函数的定义域关于原点对称；

2、 偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；

3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；

4、 奇函数在原点有定义时，必有

f(0) 0.

三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法 .

1 、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如

果 函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f( x)和 f (x)的关系，如果有 f( x)=f (x)， 则函数是偶函数，如果有 f ( x) 2、和差判别法

=- f (x) ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 .

对于函数定义域内的任意一个

x ，若

f( x) f(x) 0，则 f(x) 是奇函数；若

f(x) f ( x)

0 ，

则 f (x) 是偶函数 .

3、 作商判别法

对于函数定义域内任意一个 x ，设 f ( x) 0，若

f (x)

1，则 f(x) 是奇函

数，

f (x) 1，则 f

(x)

f( x)

f ( x)

是偶函数

解题步骤

首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非 偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f ( x) 和 f(x)的关 系，如果有 f( x)= f (x) ，则函数是偶函数，如果有 f( x)=- f ( x) ，则函数是奇函数，否 则是非

奇非偶函数 .

例 1】判断下列函数的奇偶性

②令 x 0，则 f (y) f( y) 2f (0) f (y)

2) f (x)

2

lg(1 x 2

) x2

2

点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则 函数是非奇非偶函数 . (2) 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件 . (3)函数的

定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式 .第 2小题就是利用求出的定义域对函

数进行了化简 .

例 2】定义在实数集上的函数

f (x) ，对任意 x 、y R ，有 f(x y) f(x y) 2f (x) f(y)

且 f (0) 0

①

证： f (0) 1 ②求证： y f (x)是偶函数

解析】证明：①令 x y 0，则 f (0) f (0) 2[ f (0)] 2

f (0) 0 ∴ f(0) 1

∴ f ( y) f (y)

1) f (x) (1 x)

1x 1x

∴ y f (x) 是偶函数

【点评】 对于抽象函数的奇偶性的判断， 和具体函数的判断方法一样， 不同的是， 由于它是抽象函数， 所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如 0、-1、1等. 学科 * 网

【例 3】判断函数

f (x)

x x (x 0)

的奇偶性

x 2

x (x 0)

【点评】(1)对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函 数，所以要分类讨论 . (2)注意，当 x 0时，求 f ( x) 要代入下面的解析式，因为 x 0, 不是还代入上 面一段的解析式 .

1)证明函数 f (x)是奇函数；(2)讨论函数 f(x)在区间 [ 1,1]上的单调性；

3)设 f(1) 1 ，若 f (x) m 2

2am 1，对所有 x [ 1,1]， a [ 1,1]恒成立，求实数 m 的取值范 围.

反馈检测 1】已知 f(x)

2x 1 2x 1

1)判断 f(x) 的奇偶性； 2)求 f(x) 的值域．

反馈检测 2】已知函数 f (x) 定义域为 [ 1,1] ，若对于任意的 x,y [ 1,1]，都有

f (x y) f(x)

f (y)，且 x 0时，有 f (x) 0.

例 4】判断函数 f(x) lg(x x 1) 的奇偶性 .

【点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差 判别法可以化繁为简，简捷高效 .

【反馈检测 3】已知函数 f(x) log a x 2

(a 0且a 1).

a

x 2

(1)求 f (x)的定义域； (2)判定 f (x)的奇偶性；

3)是否存在实数 a ，使得 f (x)的定义域为 [ m,n ]时，值域为 [log a

n

数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由

xx

例 5】判断函数 g(x)

x x

x

的奇偶性 .

2x

1 2

x x x 0，所以 g( x) g(x) ，所以g(x)是偶函数 .

点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差

判别法可以化繁为简，简洁高效

1, log a m 1] ？若存在，求出实

解析】由题得 x 0 ，因为 g( x) g(x)

xx

2 x 1 2 xx 2x 1 2

x(2x 1)

2x 1