2022届山东省潍坊市高三下学期高中学科核心素养测评数学试题(解析版)

山东省潍坊市2022届高三下学期高中学科核心素养测评数学

数学

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．如图，已知全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，()(){}120B x x x =+->，则图中阴影部分表示的集合中，

所包含元素的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．“>1,>1a b ”是“>1ab ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．设函数()(

)()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()8f =（ ）

A ．10

B ．9

C ．7

D ．6

4．某品牌暖水瓶的内胆规格如图所示，分为①②③④四个部分（水瓶内胆壁厚不计），它们分别为一个半球，一个大圆柱，一个圆台和一个小圆柱．若其中圆台部分的体积为52πcm 3，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出

10π3

cm 3

，则盖上瓶塞后水瓶的最大盛水量为（ ）

A ．640πcm 3

B ．

1930π

3

cm 3 C ．320πcm 3 D ．

965π3

cm 3

5．关于x 的不等式3x a x a +++>恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,0,2⎛⎫

-∞+∞ ⎪⎝⎭

B ．()2,+∞

C ．3,2⎛

⎫-∞ ⎪⎝

⎭

D ．(),2-∞

6．5021-除以7的余数是（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7．已知椭圆E ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的右顶点为A ，直线y kx =交E 于第一象限内的点B ．点C 在E

上，若四边形OABC 为平行四边形，则（ ） A ．若k 越大，则E 的长轴越长 B ．若k 越大，则E 越扁

C ．若33k =

，则E 的离心率为

22

3

D ．若3k =，则

E 的离心率最大

8．如图，在边长为a 的等边三角形ABC 中，圆D 1与△ABC 相切，圆D 2与圆D 1相切且与AB ，AC 相切，…，圆Dn+1与圆Dn 相切且与AB ，AC 相切，依次得到圆D 3，D 4，…，Dn ．设圆D 1，D 2，…，Dn 的面积之和为n X ，（n *∈N ），则n X =（ ）

A ．1

211π129n a -⎛⎫

⎪

⎝⎭

B ．2

31π1329n a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

C ．211π183n

a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

D ．11

2111π11293n n a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫

-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

二、多选题

9．已知复数z 满足11z z =-=，且复数z 对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ） A ．复数z 3

B ．1132z =

C ．21z z =-

D ．复数z 的共轭复数为13

i 22

-+

10．已知事件A ，B 满足A B ⊆，且()0.5P B =，则一定有（ ） A ．()

0.5P AB >

B ．()

0.5P B A <

C ．()

0.25P AB <

D ．()0.5P A B >

11．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足

1213PD PB +=+，则下列结论正确的是（ ）

A ．1

B D PB ⊥

B ．点P 2

C ．直线1B P 与平面11A BC 所成角为

3

π D ．三棱锥11P BB C -体积的最大值为36

212．我们约定双曲线()2212210,0:x y E a b a b -=>>与双曲线()22

222:01x y E a b

λλ-=<<为相似双曲线，其中相

似比为λ.则下列说法正确的是( ) A ．12E E 、的离心率相同，渐近线也相同

B ．以12E E 、的实轴为直径的圆的面积分别记为12S S 、，则

1

2

S S λ= C ．过1E 上的任一点P 引1E 的切线交2E 于点A B 、，则点P 为线段AB 的中点

D ．斜率为(0)k k >的直线与12

E E 、的右支由上到下依次交于点、、A B C 、D ，则AC BD > 三、填空题

13．在边长为4的菱形ABCD 中，∠A =60°，点P 为CD 的中点，则AB AP ⋅=________．

14．已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

上单调递增，则ω的一个取值为________．

15．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin ∠CBD ：

sin ∠BDC ：sin ∠BAD =1：1：3，AC =4，则△ABD 面积的最大值为________．

16．设函数()()e 1x

f x a x b x

=+-+（a ，b ∈R ）在区间[]1,3上总存在零点，则22a b +的最小值为________．

四、解答题

17．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABC 的面积为

()

22234

a b c +-．

(1)求C ∠； (2)若2

A π

∠=

，C ∠的角平分线CE 与边AB 相交于点E ，延长CE 至点D ，使得CE DE =，求cos ADB ∠．

18．如图，在三棱台ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，将梯形AA 1C 1C 绕AA 1旋转至AA 1D 1D 位置，二面角D 1−AA 1−C 1的大小为30°．

(1)证明：A 1，B 1，C 1，D 1四点共面，且A 1D 1⊥平面ABB 1A 1；

(2)若AA 1=A 1C 1=2AB =4，设G 为DD 1的中点，求直线BB 1与平面AB 1G 所成角的正弦值．

19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （0，18），点P 到点M 的距离比点P 到x 轴的距离大18，记P 的

轨迹为C ． (1)求C 的方程；

(2)过点P （0x ，0y ）（其中00x ≠）的两条直线分别交C 于E ，F 两点，直线PE ，PF 分别交y 轴于A ，B 两点，且满足PA PB =．记1k 为直线EF 的斜率，2k 为C 在点P 处的切线斜率，判断12k k +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．