2022届山东省潍坊市高三下学期高中学科核心素养测评数学试题(解析版)

山东省潍坊市2022届高三下学期高中学科核心素养测评数学数学一、选择题（每小题5分，共60分）1．如图，已知全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，()(){}120B x x x =+->，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．“>1,>1a b ”是“>1ab ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()8f =（ ）A ．10B ．9C ．7D ．64．某品牌暖水瓶的内胆规格如图所示，分为①②③④四个部分（水瓶内胆壁厚不计），它们分别为一个半球，一个大圆柱，一个圆台和一个小圆柱．若其中圆台部分的体积为52πcm 3，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出10π3cm 3，则盖上瓶塞后水瓶的最大盛水量为（ ）A ．640πcm 3B ．1930π3cm 3 C ．320πcm 3 D ．965π3cm 35．关于x 的不等式3x a x a +++>恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),2-∞6．5021-除以7的余数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，直线y kx =交E 于第一象限内的点B ．点C 在E上，若四边形OABC 为平行四边形，则（ ） A ．若k 越大，则E 的长轴越长 B ．若k 越大，则E 越扁C ．若33k =，则E 的离心率为223D ．若3k =，则E 的离心率最大8．如图，在边长为a 的等边三角形ABC 中，圆D 1与△ABC 相切，圆D 2与圆D 1相切且与AB ，AC 相切，…，圆Dn+1与圆Dn 相切且与AB ，AC 相切，依次得到圆D 3，D 4，…，Dn ．设圆D 1，D 2，…，Dn 的面积之和为n X ，（n *∈N ），则n X =（ ）A ．1211π129n a -⎛⎫⎪⎝⎭B ．231π1329n a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．211π183na ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．112111π11293n n a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知复数z 满足11z z =-=，且复数z 对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ） A ．复数z 3B ．1132z =C ．21z z =-D ．复数z 的共轭复数为13i 22-+10．已知事件A ，B 满足A B ⊆，且()0.5P B =，则一定有（ ） A ．()0.5P AB >B ．()0.5P B A <C ．()0.25P AB <D ．()0.5P A B >11．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足1213PD PB +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．1B D PB ⊥B ．点P 2C ．直线1B P 与平面11A BC 所成角为3π D ．三棱锥11P BB C -体积的最大值为36212．我们约定双曲线()2212210,0:x y E a b a b -=>>与双曲线()22222:01x y E a bλλ-=<<为相似双曲线，其中相似比为λ.则下列说法正确的是( ) A ．12E E 、的离心率相同，渐近线也相同B ．以12E E 、的实轴为直径的圆的面积分别记为12S S 、，则12S S λ= C ．过1E 上的任一点P 引1E 的切线交2E 于点A B 、，则点P 为线段AB 的中点D ．斜率为(0)k k >的直线与12E E 、的右支由上到下依次交于点、、A B C 、D ，则AC BD > 三、填空题13．在边长为4的菱形ABCD 中，∠A =60°，点P 为CD 的中点，则AB AP ⋅=________．14．已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．15．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin ∠CBD ：sin ∠BDC ：sin ∠BAD =1：1：3，AC =4，则△ABD 面积的最大值为________．16．设函数()()e 1xf x a x b x=+-+（a ，b ∈R ）在区间[]1,3上总存在零点，则22a b +的最小值为________．四、解答题17．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABC 的面积为()22234a b c +-．(1)求C ∠； (2)若2A π∠=，C ∠的角平分线CE 与边AB 相交于点E ，延长CE 至点D ，使得CE DE =，求cos ADB ∠．18．如图，在三棱台ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，将梯形AA 1C 1C 绕AA 1旋转至AA 1D 1D 位置，二面角D 1−AA 1−C 1的大小为30°．(1)证明：A 1，B 1，C 1，D 1四点共面，且A 1D 1⊥平面ABB 1A 1；(2)若AA 1=A 1C 1=2AB =4，设G 为DD 1的中点，求直线BB 1与平面AB 1G 所成角的正弦值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （0，18），点P 到点M 的距离比点P 到x 轴的距离大18，记P 的轨迹为C ． (1)求C 的方程；(2)过点P （0x ，0y ）（其中00x ≠）的两条直线分别交C 于E ，F 两点，直线PE ，PF 分别交y 轴于A ，B 两点，且满足PA PB =．记1k 为直线EF 的斜率，2k 为C 在点P 处的切线斜率，判断12k k +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．20．已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，111a b ==，312a a a =+，542b b a =+，记{11max n c b na =-，22b na -，…，}n n b na -（n=1，2，3，…），其中{1max x ， 2x ，⋯，}s x 表示1x ，2x ，⋯，s x 这s 个数中最大的数．(1)计算1c ，2c ，3c ，猜想数列{}n c 的通项公式并证明；(2)设数列()()132n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，若24n S m m <-+对任意n *∈N 恒成立，求偶数m 的值．21．已知函数()()1ln 0f x a x x a x=-+>． (1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，()()21g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．22．某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第()1,2,,100k k =个箱子中有k 个数学题，100k -个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． (1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p ，答对每一个物理题的概率为q ．①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知1p q +=，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p 、q 的值． (2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．参考答案：1．B 【解析】 【分析】求出集合B ，分析可知阴影部分所表示的集合为()U A B ∩，利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为()(){}{1201B x x x x x =+->=<-或}2x >，则{}12UB x x =-≤≤，由题意可知，阴影部分所表示的集合为(){}1,2UA B =.故选：B. 2．A 【解析】 【详解】试题分析：根据不等式同向正数可乘性可得1,11a b ab >>⇒>；但1ab >，不妨取2,3a b =-=-，不能推出“>1,>1a b ”，故“1,1a b >>”是“1ab >”的充分不必要条件．故A 正确． 考点：充分必要条件． 3．C 【解析】 【分析】利用函数()f x 的解析式可计算出()8f 的值. 【详解】因为()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()()()()()()()812913107f f f f f f f =====.故选：C. 4．A 【解析】 【分析】利用①②③④的体积和，减去溢出的体积，从而求得正确答案. 【详解】 半球体积32π250π533⨯=， 大圆柱的体积2π520500π⨯⨯=，圆台的体积52π，小圆柱的体积2π228π⨯⨯=， 所以最大盛水量为3250π10π500π52π8π640πcm 33+++-=. 故选：A 5．C 【解析】 【分析】结合绝对值三角不等式求得3x a x +++的最小值，由此列不等式来求得a 的取值范围. 【详解】由于()()333x a x x a x a +++≥+-+=-，()()30x a x ++≤时等号成立. 所以3a a ->恒成立， 即3a a -<-或3a a ->， 解得32a <， 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：C 6．D 【解析】 【分析】把502转化成()16471⨯+，再结合二项展开式即可求解. 【详解】()()16165048324242471=⨯=⨯=⨯+()0161151516161616164777C C C C =⨯⋅+⋅++⋅+()0161151516161647774C C C =⨯⋅+⋅++⋅+，则()50016115151616162147773C C C -=⨯⋅+⋅++⋅+，又()016115151616164777C C C ⨯⋅+⋅++⋅是7的倍数，故余数为3.故选：D. 7．C 【解析】 【分析】由题意分析,B C 坐标，得k 与a 关系，对每个选项逐一判断 【详解】由OABC 为平行四边形知BC a =，故(,)22a aB k ,代入椭圆方程得2221144a k b +=，即2223b k a= 对于A ，若k 越大，a 越小，A 错误对于B ，若k越大，则e 越小，椭圆越圆，B 错误对于C，若k =e C 正确对于D，e 无最大值，D 错误故选：C 8．B 【解析】 【分析】结合等边三角形、圆的几何性质求得各圆的半径，从而求得各圆面积，进而求得n X . 【详解】等边三角形内心、重心、外心、垂心四心合一. 所以圆1D的半径为13=，面积为2π12a ⋅， 圆2D的半径为13，面积为21π912a ⋅⋅，圆3D的半径为213⎛⎫ ⎪⎝⎭，面积为221π912a ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭，以此类推，圆n D 的面积为121π912n a -⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭， 所以各圆的面积组成的数列是首项为2π12a ⋅，公比为19的等比数列，所以2221π131129π131132919π1329n n n na a X a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⋅⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭==⋅⋅--⎣ ⎝⎭⎦=⎪. 故选：B 9．BC【解析】 【分析】先求出复数z ，再对四个选项一一验证： 对于A ：直接求出复数z 的虚部，即可判断； 对于B ：直接求出1z，即可判断； 对于C ：直接求出2z 和1z -，即可判断； 对于D ：直接求出复数z 的共轭复数，即可判断. 【详解】设复数()i ,R z a b a b =+∈.因为11z z =-=，且复数z 对应的点在第一象限，所以()22221110,0a b a b a b ⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪>>⎪⎩，解得：12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12z =+. 对于A ：复数z故A 错误； 对于B：1112z ==⎝⎭⎝⎭.故B 正确； 对于C：因为221111222z z ⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以21z z =-.故C 正确； 对于D ：复数z的共轭复数为12-.故D 错误.故选：BC 10．BC 【解析】 【分析】根据事件包含关系的含义以及事件运算的含义和条件概率的计算公式即可判断 【详解】 对于A因为A B ⊆，所以AB B ⊆，所以()()0.5P AB P B ≤= 故A 错误 对于B因为A B ⊆，所以A B ⋂=∅，所以()()()|0P BAP B A P A ==故B 正确 对于C因为A B ⊆，所以A B ⋂=∅，所以()0P AB = 故C 正确 对于D因为A B ⊆，所以A B A =，所以()()P A B P A = 若A =∅，则()()()|0P AB P A B P B ==， 故D 错误 故选：BC 11．ACD 【解析】 【分析】证明出1B D ⊥平面11A BC ，利用线面垂直的性质可判断A 选项；利用勾股定理计算出PE 的长，可判断B 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；计算出1PBC 面积的最大值，结合锥体体积公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，连接11B D ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥， 1DD ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111AC DD ⊥，因为1111B D DD D =，11A C ∴⊥平面11B DD ，1B D ⊂平面11B DD ，111B D AC ∴⊥，同理可证11B D A B ⊥，1111A B AC A ⋂=，1B D ∴⊥平面11ABC ， PB ⊂平面11A BC ，1PB B D ∴⊥，A 对；对于B 选项，设1B D ⋂平面11A BC E =，因为111132A B BC AC ===11111A B BB B C ==，所以，三棱锥111B A BC -为正三棱锥， 因为1B E ⊥平面11A BC ，则E 为正11A BC 的中心，则162sin3A B BE π==所以，22113B E BB BE =-=133B D =，1123DE B D B E ∴=-=1B D ⊥平面11A BC ，PE ⊂平面11A BC ，1PE B D ∴⊥，即1B E PE ⊥，DE PE ⊥，因为1213PD PB +=22123213PE PE ++=0PE >，解得1PE =， 所以，点P 的轨迹是半径为1的圆，B 错；对于C 选项，1B E ⊥平面11A BC ，所以，1B P 与平面11A BC 所成的角为1B PE ∠， 且11tan 3B E B PE PE ∠==102B PE π≤∠≤，故13B PE π∠=，C 对； 对于D 选项，点E 到直线1BC 的距离为162BE =，所以点P 到直线1BC 61， 故1BPC 的面积的最大值为3321623222+，因为1B E ⊥平面11A BC ，则三棱锥11B BPC -的高为1B E ， 所以，三棱锥11P BB C -体积的最大值为332136332+⨯=D 对.故选：ACD. 12．AC 【解析】 【分析】A ：根据双曲线标准方程求出渐近线方程和离心率比较即可；B ：求出12E E 、的实轴，确定两个圆的半径并求它们的面积即可判断；C ：设出切线的方程，分别与12E E 、方程联立，根据韦达定理求出P 点横坐标和AB 中点横坐标比较即可；D ：根据C 中方程求出B C x x +、A D x x +并比较，根据弦长公式即可得到AC BD 、关系. 【详解】①22122:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，离心率为c a ，222222222:(01)1(01)x y x y E a b a b λλλλλ-=<<⇒-=<<，则双曲线2E实轴长为，虚轴长为，∴渐近线方程为by x x a ==±，故两个双曲线的渐近线方程相同，∵在双曲线里面，离心率c e a =∴两双曲线离心率也相同，故A 正确；②21S a π=，222)S a ππλ=⨯=，21221S a S a ππλλ==，故B 错误；③对于C ，若P 为1E 顶点时，切线与x 轴垂直，根据双曲线对称性可知，此时切线与2E 的交点AB 关于x 轴对称，即线段AB 的中点为P ；当该切线与x 轴不垂直时，设切线方程为y kx t =+，联立切线与1222222:y kx t E b x a y a b =+⎧⎨-=⎩，得()22222222220b a k x a ktx a t a b ----=(*)， ∵直线与1E 相切，则方程(*)为二次方程，2220b a k -≠，且0∆=，方程有两个相同的实数根即为P 点横坐标，则根据韦达定理可知2222P a ktx b a k =-，联立切线与2222222:y kx tE b x a y a b λ=+⎧⎨-=⎩，得()22222222220b a b x a ktx a t a b λ----=(**)， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122222a ktx x b a k +=-，122P x x x ∴+=，∵P 在切线y kx t =+上，∴P 为AB 中点.综上，P 为线段AB 中点，故C 正确； ④对于D ，由(*)和(**)可知，22222B C a kt x x b a k +=-，22222A D a ktx x b a k +=-，A DBC x x x x ∴+=+，即A C BD x x x x -=-，2211A C B D AC k x x BD k x x ∴=+-==+-，故D 错误；故选：AC. 13．16 【解析】 【分析】直接利用AP AD DP =+，按照数量积的运算律求解即可. 【详解】()AB AP AB AD DP AB AD AB DP ⋅=⋅+=⋅+⋅1cos 4442162AB AD DAB AB DP =⋅∠+⋅=⨯⨯+⨯=.故答案为：16. 14．1，答案不唯一 【解析】 【分析】化简()f x 的表达式，结合()f x 在区间ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的单调性求得ω的一个取值.【详解】()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1ω=时，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，πππ3π,,0,4848x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，符合题意.故答案为：1，答案不唯一 15．33【解析】 【分析】先通过正弦定理得到::3CD BC BD =再结合托勒密定理求出43AD AB +=最后由面积公式及基本不等式即可求出最大值. 【详解】如图，可知180BAD BCD ∠+∠=，由诱导公式知sin sin BAD BCD ∠=∠，又sin ∠CBD ：sin ∠BDC ：sin ∠BAD =1：13故sin ∠CBD ：sin ∠BDC ：sin ∠BCD =1：13△BCD 中，由正弦定理得::3CD BC BD = 故120,60BCD BAD ∠=∠=，设,,3CD k BC k BD k ===，则由托勒密定理可知CB AD CD AB AC BD ⋅+⋅=⋅，即34k AD k AB k ⋅+⋅=⋅，即43AD AB +=13sin 2ABDSAB AD DAB AB AD =⋅⋅∠=⋅23332AD AB +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭当且仅当AB AD =时取等号.故△ABD 面积的最大值为33故答案为：3316．4e 8##41e 8【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求得22a b +的表达式，结合导数求得22a b +的最小值. 【详解】()()e 1xf x a x b x=+-+在区间[]1,3上总存在零点0x ，即()000e 10x x a b x -⋅++=，即(),a b 在直线()000e 10x x x y x -⋅++=上， 22a b +表示点(),a b 到原点的距离的平方，22a b +的最小值为原点到直线()000e 10x x x y x -⋅++=的距离的平方，即()0022243222200000e e 2211x x x x x x x ==-+⎡⎤⋅-+⎣⎦， 构造函数()()2432e 1322xg x x x x x =≤≤-+，()()()()22'2432e 1222x x x x g x x x x --=-+，所以()g x 在区间()()()'1,2,0,g x g x <递减；在区间()()()'2,3,0,g x g x >递增.所以()()4mine 28g x g ==.所以22a b +的最小值为4e 8.故答案为：4e 8【点睛】函数()f x 的零点0x ，使()00f x =.本题中，相当于零点是一个常数，而,a b 表示变量，主参变量发生了变化.将22a b +的最小值，转化为点到直线距离的最小值，结合导数来进行求解. 17．(1)3C π∠=(2)cos ADB ∠=【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合三角形的面积公式可求得tan C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）令3AC =，利用余弦定理可求得AD ，求出BD ，然后在ABD △中，利用余弦定理可求得cos ADB ∠．(1)解：由题可知)2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△)2222sin a b c ab C +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C+-=，所以sin CC =，可得tan C = 因为()0,C π∈，所以3C π∠=.(2)解：不妨令3AC =，因为3Cπ∠=，可得AB =6BC =，又因为CE 为ACB ∠的角平分线，所以AE =BE CE==DE =所以在ACD △中，由余弦定理可得2222cos216AD CA CD CA CD π=+-⨯⨯=，即AD =在BDE 中，可得ED BE ==，3BED π∠=，所以，BDE 为等边三角形，所以BD =在ABD △中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯∠，得cos ADB ∠= 18．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）由已知可得1AA ⊥平面111A B D ，假设1A ，1B ，1C ，1D 四点不共面，结合已知得平面111A B C ∥平面111A B D ，这与平面111A B C 平面11111A B D A B =矛盾，从而可证得1A ，1B ，1C ，1D 四点共面，可得111C A D ∠二面角111D AA C --的平面角，则可得1111A D A B ⊥，再由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）以1A 为坐标原点，11A B ，11A D ，1AA 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，利用空间向量求解 (1)证明：因为1AA ⊥平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111AA A D ⊥，11111A D A C A ⋂=，所以1AA ⊥平面111A B D ， 假设1A ，1B ，1C ，1D 四点不共面，因为1AA ⊥平面111A B C ， 1AA ⊥平面111A B D ，所以平面111//A B C 平面111A B D ，与平面111A B C 平面11111A B D A B =矛盾，故1A ，1B ，1C ，1D 四点共面， 又因为1111AC A A ⊥，111AD AA ⊥， 所以111C A D ∠二面角111D AA C --的平面角， 所以11130C A D ∠=︒，又11160B AC ∠=︒， 所以1111A D A B ⊥；又111AA A D ⊥，1111AA A B A =，所以11A D ⊥平面11ABB A ； (2)以1A 为坐标原点，11A B ，11A D ，1AA 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -；则()0,0,4A ，()2,0,4B ，()3,4C ，()0,2,4D ，()10,0,0A ，()14,0,0B ，()12,23,0C ，()10,4,0D ，所以()0,3,2G ，则()14,0,4AB =-，()12,0,4BB =-，()0,3,2AG =-， 设平面1AB G 的法向量为(),,n x y z =，则1440320n AB x z n AG y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，令3x =，得()3,2,3n =， 设1BB 与平面1AB G 所成角为θ， 则1113110sin cos ,2220BB n BB n BB nθ⋅====⨯ 所以1BB 与平面1AB G 3110． 19．(1)212x y =或()00x y =< (2)不是定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合抛物线的定义以及已知条件求得C 的方程.（2）根据直线,PE PF 是不是切线进行分类讨论，结合反证法作出判断. (1)由题可知，点P 到点10,8M ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与P 到直线108y +=的距离相等，轨迹一：点P 的轨迹是以10,8M ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线108y +=为准线的抛物线，此时14p =，所以C 的方程为212x y =． 轨迹二：点P 的轨迹在y 轴上，()00x y =<，综上所述，C 的方程为212x y =或()00x y =<． (2)当直线PE 、PF 不是切线时，因为PA PB =，所以△P AB 为等腰三角形，即直线PE 与PF 的斜率存在且互为相反数，即0PE PF k k +=． 设点()11,E x y ，()22,F x y ，直线PE 的方程为()00y y k x x -=-， 联立直线PE 与抛物线方程，消去y 并整理得 20020x kx kx y -+-=，于是102kx x +=，故102k x x =-，因为直线PE 与PF 的斜率互为相反数，令k -代替k ，得202kx x =--所以()221212112012122224y y x x k x x x x x x x --===+=---， 又4y x '=，所以204k x =，即120k k +=，当PE 与PF 有一条为切线，则P 为切点，不妨设PF 为切线，所以点F 与点B 重合， 因PA PB =，所以PAB PBA ∠=∠， 若120k k +=，则PBA EBA ∠=∠， 所以PAB EBA ∠=∠，即PE BE ∥矛盾. 综上所述，12k k +不为定值．20．(1)10c =，21c =-，32c =-，1n c n =-，证明见解析 (2)2m = 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a ，{}n b 的公差分别为1d ，2d ，利用111a b ==，312a a a =+，542b b a =+，利用通项公式可得11122d d +=+，211d d =+，可得n a ，n b ．根据10c =，21c =-，32c =-．猜想数列{}n c 的通项公式1n c n =-，证明数列{}k k b na -为单调递减数列，即可得出结论．（2）1111(3)(2)(1)(2)12n nc c n n n n ==---++++，利用裂项求和方法即可得出n S ，根据24n S m m <-+对任意*n N ∈恒成立即可得出m 的取值范围．(1)解：设等差数列{}n a 和{}n b 的公差为1d 、2d ， 那么()()()11221121114131d d d d d ⎧+=++⎪⎨+=+++⎪⎩，解得1212d d =⎧⎨=⎩，∴n a n =，21n b n =-，那么，111110c b a =-=-=，{}{}21122max 2,2max 121,3221c b a b a =--=-⨯-⨯=-，{}{}3112233max 3,3,3max 131,332,5332c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-，猜想{}n c 的通项公式为1n c n =-，当3n ≥时，()()()()111120k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以数列{}k k b na -关于*N k ∈单调递减， 所以{}112211max ,,,1n n n c b na b na b na b na n =---=-=-；(2) 解：()()()()()()111113221123121n n c c n n n n n n ===---++++----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以1111111123341222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n S n n n， 因为24n S m m <-+对任意n *∈N 恒成立，所有2142m m -+≥m ≤≤ 所以2m =． 21．(1)02a <≤ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知1≥x ，()()01f x f ≤=，分02a <≤、2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤对任意的1≥x 是否恒成立，由此可求得实数a 的取值范围； （2）利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出12101x x e <<<<，证明出31x x >，证明出当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--，可得出()241e 1x x m >=+-，结合不等式的性质可证得结论成立. (1)解：因为()()1ln 0f x a x x a x =-+>，则()222111a x ax f x x x x -+-'=--=，且()10f =， 由题意可知，对任意的1≥x ，()()01f x f ≤=， 设21y x ax =-+-，则24a ∆=-，（ⅰ）当02a <≤时，0∆≤，()0f x '≤恒成立且()f x '不恒为零，()f x 在[)1,+∞上是减函数， 又因为()10f =，所以()0f x ≤恒成立；（ⅱ）当2a >时，0∆>，方程210x ax -+-=的根为1x =，2x =又因为121=x x ，所以121x x ．由()0f x '>得1x ≤<()0f x '<，得x >所以()f x 在⎡⎢⎢⎣⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数， 因为()10f =，所以()0f x ≤不恒成立． 综上所述，02a <≤． (2)证明：当1a =时，()()21ln g x xf x x x x =+-=，()1ln g x x '=+，由()0g x '<，可得10e x <<，由()0g x '>，可得1ex >，所以()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()min 11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0g x x x =<，所以，12101x x e <<<<，且10em -<<， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()g x x <-．设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则3111ln x m x x x =-=->， 下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--， 设()()()111ln 1ln e 1e 1e 1h x x x x x x x ⎡⎤=--=-+⎢⎥---⎣⎦， 令()()11ln e 1e 1p x x x =-+--，则()()()()22e 1111e 1e 1x p x x x x --'=-=--， 当11e e 1x <<-时，()0p x '<，当11e 1x <<-时，()0p x '>， 所以()p x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是增函数， 又因为10e p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10p =，所以当11e x <<时，()0p x <，()0h x <， 故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--． 设直线()111e y x =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则41e 1x m -=-，可得()41e 1x m =+-， 如下图所示：则()241e 1x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 22．(1)①2p q ；②至少要进行27轮游戏，23p =，13q =． (2)99200【解析】【分析】（1）①利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；②利用导数求出学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为2P p q =的最大值，可知学生甲在n 轮活动中获得奖品的个数()~,B n P ξ，由()max 4nP =可求得n 的值，即可得解；（2）设选出的是第k 个箱子，计算出在第k 个箱子中第三次取出的是物理题的概率为100100k k p -=，进而可求得所求概率为10011100k k P p ='=⋅∑，结合数列的求和公式可求得所求事件的概率. (1)解：①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件A ．则()2P A p q =；②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为()22321P p q p p p p ==-=-+，令()32f x x x =-+，[]0,1x ∈，()223233f x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭， 当203x <<时，()0f x '>，当213x <<时，()0f x '<， 所以()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()max 24327f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即当23p =时，32max 2243327P ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 学生甲在n 轮活动中获得奖品的个数()~,B n P ξ，由()max 4nP =，知27n =．故理论上至少要进行27轮游戏，此时23p =，13q =． (2)解：设选出的是第k 个箱子，连续三次取出题目的方法数为()()10010011002--．设数学题为M ，物理题为W ，第三次取出的是物理题W 有如下四种情形： (),,W W W 取法数为()()()10010011002k k k -----，(),,W M W 取法数为()()1001001k k k ---，(),,M W W 取法数为()()1001001k k k ---，(),,M M W 取法数为()()1100k k k --，从而，第三次取出的是物理题的种数为()()()()()()()()()10010011002100100110010011100k k k k k k k k k k k k -----+---+---+--()()()10011002100k =---．则在第k 个箱子中第三次取出的是物理题的概率为100100k k p -=． 而选到第k 个箱子的概率为1100， 故所求的概率为()1001001009922211101100111509999100100100100100100100200k k k k i k P p k i ====-⨯'=⋅=⋅=-===∑∑∑∑． 【点睛】关键点点睛：本题考查概率与数列的综合应用，在求解第三问时，关键要求出在第k 个箱子中第三次取出物理题的概率，那么就应该对前三次取出的题目所属科目进行列举，进而求解.。