人教版高中数学必修二期末考试试题

人教版高中数学必修二期末考试试题

一、选择题

1. 若函数 $f(x)=x^3-3x^2+bx+c$ 的图像过点 $(1,5)$，则

$b=$（）

A．$-1$ B．$-2$ C．$-3$ D．$-4$

2. 函数 $y=\frac{x+1}{x-1}$ 的图象关于直线 $y=-x$ 对称。

3. 从集合 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 中取两个不同的元素组成一个二元组，则其中不含 $3$ 的二元组的数目为（）。

A．$20$ B．$10$ C．$15$ D．$18$

4. 已知集合$A=\{x\mid 2x-1\in \mathbb{N}\}$，则$A=$（）。

A．$\bigl\{\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\cdots\bigr\}$ B ．$\bigl\{\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\cdots,b\bigr\}$

C．$\bigl\{1,2,3,\cdots\bigr\}$ D．$\bigl\{\cdots,-

\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\cdots\bigr\}$

5. 如图所示，大三角形的三个点坐标分别为 $A(-2,0)$，

$B(0,2)$，$C(2,-4)$，以 $C$ 为顶点小三角形顶点的坐标为（）。

A．$(-\frac{7}{5},-

\frac{14}{5})$ B．$(\frac{7}{5},\frac{6}{5})$

C．$(\frac{2}{5},-\frac{18}{5})$ D．$(\frac{6}{5},-

\frac{4}{5})$

二、填空题

6. 下列各组数中互为相反数的是（）。

$${1\over3},-{1\over3};\qquad {\sqrt{10}},-\sqrt{10};\qquad -3,3\sqrt{2}$$

7. 容量为 $500 \rm mL$ 的杯中盛满水，再加进糖水搅拌，这时每 $100 \rm mL$ 的液体中含糖 $10\%$。加入多少糖水后，整个杯中液体中的糖分为 $20\%$？

8. 假设 $A$，$B$，$C$，$D$ 均是正数，且 $ABCD=1$，$BCD+aA\leq 2$，其中 $a>0$，则 $ABC+aD$ 的最小值为

$\underline{\hspace{1.5cm}}$。

9. 设 $f(x)=\cos{x}$，$g(x)=\cos{x}{\rm e}^{-x}$，则

$f(x)\leqslant g(x)$ 的解集是 $\underline{\hspace{1.5cm}}$。

10. 若 $A=\begin{pmatrix}2&k\\2&1\end{pmatrix}$，$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$，则

$k=$ $\underline{\hspace{1.5cm}}$。

三、解答题

11. 已知函数 $y=\log_3 x$ 的图像上有三个点 $A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$，$C(3,y_3)$。

（1）证明：圆 $x^2+y^2=4$ 和函数的图像有交点，并求出交点坐标；

（2）设 $G$ 为三角形 $ABC$ 的重心，求出 $G$ 的坐标。

12. 如图所示，四棱锥 $S-ABCD$ 中，$\angle A=\angle

B=90^\circ$，底面为菱形 $ABCD$。以 $S$ 为圆心，$SA$ 为半径作球面，则四棱锥 $S-ABCD$ 切于球面上的圆的直径长为 $4$。

（1）证明：$AC=BD$；

（2）设 $SA=a$，求 $a$。

13. 解方程 $(\sqrt{3}+1)^{2x+3}+(\sqrt{3}-1)^{2x+3}=0$。

14. $6$ 个人排成一排，其中甲必须站在第 $2$ 位，乙必须站在第 $4$ 位，丙必须站在第 $6$ 位，且 $6$ 个人围成一圈时，无论从哪个人开始报数，都是从 $6$ 开始报数。则这 $6$ 个人排成一排的方法数为 $\underline{\hspace{1.5cm}}$。